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• Luis Bruno

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ÁREA Y VOLUMEN DEL TETRAEDRO

Como un t e t r a e d r o está formado por 4 t r i á n g u l o s e q u i l á t e r o s , podemos hallar el ár e a d e u n t r i á n g u l o e q u i l á t e r o y multiplicar p o r 4 para obtener el á r e a d e l t e t r a e d r o .

DODECAEDRO Área del pentágono regular

Área y volumen del dodecaedro

Área del triángulo equilátero

CUBO. ORTOEDRO Área y volumen del cubo

Á R E A Y V O L U M E N D E L O C TA E D R O

Área y volumen del ortoedro ÁREA Y VOLUMEN DEL ICOSAEDRO

Área y volumen del

Capacidad 1 kl 1l 1 ml

Volumen 1 m³ 1 dm3 1 cm³

Masa (de agua) 1t 1 kg 1g

PRISMA

ÁREA Y VOLUMEN DEL CILINDRO ÁREA Y VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE

ÁREA Y VOLUMEN DEL CONO

El área lateral de un prisma es la suma de las áreas de sus caras laterales (los 6 rectángulos). Las 6 caras laterales forman un rectángulo cuya base es el perímetro del exágono de la base. Por tanto, el área lateral del prisma es igual al producto del perímetro de la base por la altura. Área lateral = perímetro de la base x altura. El área total es la suma del área lateral más el área de las 2 bases. Contesta a estos problemas de resolverlos sobre el papel: 1. Las dimensiones de un paralelepípedo rectángulo son 4 m y 3 m de base y 7 m de altura. Halla el área lateral en m2 2. Halla el área total del paralelepípedo anterior en m2 3. Halla el área lateral en m2 de un prisma triangular que tiene de base un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 m y 4 m y la hipotenusa 5 m. Su altura es 6 m. 4. Halla el área total del prisma triangular anterior en m2

ÁREA Y VOLUMEN DEL PRISMA

ÁREA DEL PRISMA. En este prisma exagonal vemos que tiene 6 caras laterales que son rectángulos y 2 bases que son exágonos.

VOLUMEN DEL PRISMA. El prisma rectangular del dibujo tiene 5 cm de largo, 4 cm de ancho y 3 cm de alto. En la primera capa de abajo hay 5 x 4 cm2. Como tiene 3 capas, el número de cm3 será 20 x 3 = 60 cm3. El volumen del prisma rectangular es igual al producto de sus tres dimensiones.

En general, el volumen de cualquier prisma es igual al producto del área de la base por la altura. Haz estos problemas sobre el papel y contesta a la solución correcta: 1. Halla el volumen de un prisma cuya altura mide 5 m y la base es un rombo cuyas diagonales miden 6 m y 8 m. 2. Calcula el volumen de un prisma pentagonal de 27 m2 de base y 72 m de altura. 3. Halla el volumen en m3 de un prisma triangular que tiene de base un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 metros y la altura es de 6 m. 4. Halla el área lateral en m2 de un prisma triangular de 2,24 m de alto y cuya base tiene 3,75 m de perímetro.

ÁREA LATERAL Y TOTAL DE LA PIRÁMIDE. Esta pirámide cuadrada tiene de base un cuadrado de 18 m de lado. La apotema mide 30 metros y queremos saber el área lateral y el área total. Tiene 3 triángulos de 18 m de base por 30 de altura. El área de un triángulo será base x altura : 2. Es decir, 18 x 30 : 2 = 270 m2; como hay 4 triángulos, el área lateral será 270 m2 x 4 = 1080 m2. El área lateral también se puede calcular multiplicando el perímetro de la base por la apotema partido por 2. Área lateral = perímetro de la base (72 m) x apotema (30) = 1080 m2. El área de la base (que es un cuadrado) es 18 x 18 = 324 m2. El área total es la suma del área lateral más el área de la base: 1080 + 324 = 1404 m2.

Realiza estos problemas sobre el papel y contesta a la solución correcta: 1. ¿Cuál es el área lateral de una pirámide triangular regular si el lado del triángulo mide 14 m y la apotema de la pirámide 17 m ? 2. Halla el área lateral en m2 de una pirámide pentagonal regular, siendo 2,61 m el lado de la base y 8,25 dm la apotema de la pirámide. 3. Calcula el área total en dm2 de la pirámide cuadrangular regular de 7,3 dm de lado de la base y 9,15 dm de apotema. 4. ¿Cuál es el área lateral de una pirámide triangular regular en m2 si el lado del triángulo mide 20 m y la apotema 17,5 metros ?

VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE. En el dibujo vemos una pirámide P que tiene la misma base que el prisma P' y la misma altura, la pirámide abierta por la base y el prisma abierto por la base superior. Es necesario verter 3 veces la pirámide llena de arena para llenar el prisma. Luego el volumen de la pirámide es 3 veces menor que la del prisma. El volumen de la pirámide será: área de la base x altura dividido por 3. El volumen de una pirámide cualquiera es igual a un tercio del área de la base por su altura. ++Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide cuadrangular de 10 cm de arista básica y 12 cm de altura.

++Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide hexagonal de 16 cm de arista básica y 28 cm de arista lateral.

2. Halla el área total del cono anterior. 3. Un cono tiene de generatriz de doble longitud que el diámetro de la base, cuyo radio mide 25 cm. ¿Cuál es el área lateral en cm2. ? 4. Halla el área total del cono anterior. VOLUMEN DEL CONO

1. Halla el volumen en m3 de la gran pirámide de Cheops en Egipto, cuya base es un cuadrado de 230 m de lado, siendo su altura los 7/10 de dicho lado. 2. Halla el volumen en m3 de una pirámide regular, que tiene por base un cuadrado de 16,7 m de lado, siendo la altura 15 metros. 3. ¿Cuál es la altura de m de una pirámide cuyo volumen es 6,75 m3 y el área de la base es 15 m2 ? 4. ¿Cuál es el área de la base en cm2 de una pirámide de 10,92 cm3 y 7,2 cm altura? ÁREA LATERAL Y TOTAL DEL CONO

¿Te acuerdas de cuál es el volumen de una pirámide? Dijimos que el volumen de la pirámide es igual a un tercio del área de la base por su altura. En el caso del cono, su volumen es igual al producto del área del círculo de su base por la altura dividido por 3. Volumen del cono = área de la base x altura / 3. Realiza estos problemas sobre el papel y contesta a la solución correcta: 1. El radio de la base de un cono es 12 cm y su altura es 15 cm. Halla el volumen en cm3. 2. La circunferencia de la base de un cono es 37,68 cm y la altura 5,25 cm. Halla el volumen en cm3. 3. La altura de un cono mide 14 m y el radio de la base 7 m. Halla el volumen en m3. 4. El radio de la base de un cono es 2 m y su altura 2,6 m ¿cuál es su volumen en m3 ? ++Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya generatriz mide 13 cm y el radio de la base es de 5 cm.

El área lateral de una pirámide es el producto de la base por la apotema, dividido por 2. De forma semejante el área lateral del cono es el producto de la longitud de la circunferencia de la base por el lado o generatriz, dividido por 2. Área lateral del cono = ( 2 x x r ) x lado / 2 El área total es la suma del área lateral más el área del círculo de la base. Área total del cono = área lateral + área de la base. Realiza estos problemas sobre el papel y contesta a la solución correcta: 1. Halla el área lateral en cm2 de un cono cuyo lado o generatriz mide 4,75 cm y el radio de la base 5 cm.

++ Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya altura mide 4 cm y el radio de la base es de 3 cm.

área lateral en dm2 si la altura es el doble de la circunferencia de la base. 4. Halla el área total del cilindro anterior. VOLUMEN DEL CILINDRO.

ÁREA LATERAL Y TOTAL DEL CILINDRO. Si cortamos la superficie de un cilindro por una generatriz y la extendemos sobre un plano obtendremos un rectángulo cuya base es la longitud de la circunferencia de la base del cilindro (2 π r) y la altura será su generatriz. Área lateral = 2 π r g. El área lateral de un cilindro es igual al producto de la longitud de la circunferencia de la base por la generatriz o altura. Para hallar el área total se suma al área lateral el área de las dos bases. El área de círculo es: π x r2 Área total = ( 2 π r g ) + ( 2 π r2 ). Realiza estos problemas sobre el papel y contesta a la solución correcta: 1. El radio de la base de un cilindro mide 8 cm y la altura es el doble del diámetro. Halla el área lateral en cm2. 2. Halla el área total del círculo anterior. 3. El diámetro de la base de un cilindro es de 6 dm. Halla el

Recuerda que el volumen de un prisma es el producto de la superficie de la base por la altura. Con el cilindro sucede el mismo caso. El volumen del cilindro es el producto del área del círculo de la base por la altura. El área del círculo es x r2 . El volumen del 2 cilindro será x r x altura. Realiza estos problemas sobre el papel y contesta a la solución correcta: 1. Un cilindro tiene de radio de la base 5 cm y su altura es el doble del diámetro. Halla el volumen en cm3 2. El diámetro de la base de un cilindro mide 8 m y la altura es el doble de la circunferencia de la base. Halla el volumen en m3. 3. ¿El radio de la base de un cilindro es 4 cm; y la altura son los 3/2 de la circunferencia de la base. Halla el volumen en cm3. 4. Halla el volumen en cm3 de un cilindro de 31,4 cm de circunferencia y 13 dm de altura.

CARAL: PIRAMIDES EN PERU Web oficial del PEACS: http://www.caralperu.gob.pe Caral es la ciudad más antigua del Perú (más de 5000 años desde el presente) y cede de la primera civilización andina que forjó las bases de una organización social propia y singular, que junto a Mesopotamia, Egipto, india, China y Mesoamérica son los focos originarios de cultura en el mundo. Ser constructores de colosales edificios con forma de pirámide distingue a la gente de Caral de los demás pueblos de su tiempo en los andes. La pirámide en los andes es un edificio de grandes proporciones usado por los curacas (gobernantes) como el centro de sus actividades, ya sean religiosas, políticas o económicas. Era el símbolo y centro del poder. Allí se realizaron las ceremonias que garantizarían el orden establecido en fechas señaladas por un calendario ceremonial que emulaba el ritmo de la naturaleza. Las pirámides de Caral son las más antiguas encontradas hasta la fecha en los Andes: datan de hace 5000 años (3000 a.C. aproximadamente). Construir estructuras de este tipo necesitó de un alto grado de tecnología y organización social para afrontar los problemas de su construcción y el elevado gasto de materiales y energía.

Mapa de ubicación. Esta antigua ciudad de pirámides fue levantada en la margen izquierda del río Supe sobre una gran terraza que está a 350 metros sobre el nivel del mar. Este sitio ocupa un área de alrededor de 65 hectáreas. El valle de Supe es una estrecha quebrada fértil que en éste lugar tiene un ancho máximo de 1.5 kilómetros y alberga a lo largo de su recorrido un gran número de otros sitios con pirámides contemporáneos con Caral como: Era de Pando, Lurinhuasi, Miraya, Allpacoto, Aspero, Chupacigarro, entre otros. El Proyecto Caral (PEACS) Hasta antes de las investigaciones arqueológicas en Caral se consideraba que en los inicios de la civilización andina los antiguos peruanos se organizaron en pequeñas aldeas dedicados a la recolección de tubérculos o mariscos y la caza en pequeña escala. Se consideraba, también, que en los momentos previos a la aparición de la cerámica (1800 a.C.) aparecieron las primeras pirámides y templos, como La Galgada o Kotosh, respectivamente, y que los grandes conjuntos de monumentales pirámides corresponden al período siguiente: Inicial (1800 a.C. a 800 a.C.). Sin embargo todo esto cambió, pues los trabajos e investigaciones realizadas desde 1994 por el Proyecto Especial Arqueológico Caral - Supe (PEACS) dirigidos por la Dr. Ruth Shady han demostrado, con fechados en base al método de datación del carbono 14, que en tiempos tan remotos como hace 5000 años (3000 a.C.) Caral era una vibrante ciudad de monumentales pirámides.

La Dra. Shady y los miembros del PEACS realizaron entre 1994 y 1995 una prospección en el valle de Supe, identificando sitios arqueológicos considerados muy antiguos, determinando sus características, parecidos y diferencias. Fue entonces que eligen a Caral como punto de inicio basados en la ausencia de restos de cerámica en superficie, la diversidad arquitectónica del sitio, el orden aparente en que están ubicadas las pirámides y la monumentalidad de dichas estructuras. En 1996 se iniciaron las excavaciones que no han parado hasta la actualidad (año 2006). Más aún, han elaborado un "Plan Maestro", documento que da los lineamientos necesarios para convertir el valle de Supe y su patrimonio cultural monumental en un eje de desarrollo socioeconómico integral y sostenible en la región costera nor-central del Perú (Shady 2004). Caral, cuna de la civilización andina Se ha planteado sobre Caral que fue cede de una comunidad formada por varios linajes y dirigida por las cabezas o representantes de dichos linajes (Shady, Dolorier y Casas 2000) en donde uno de ellos sería el "principal" (¿Curaca?) y los otros sus contrapartes. Los Curacas de estos linajes conducirían y organizarían la vida de los habitantes de las diversas ciudades y pueblos contemporáneos a Caral como Aspero, Allpacoto, Miraya, Kotosh y La Galgada entre otros. Todos ellos compartían una misma tradición y formaron una amplia y bien organizada red de reciprocidad e intercambio (Shady, Dolorier y Casas 2000). Caral debió ser la cabeza de toda esta red.

Escalinata en el Templo del Altar Circular. Lo que los mantuvo unidos fue la religión, que se usó como medio de cohesión y coerción (Shady 2004). La religión en esa época fue la política del estado para el control de la población (Shady 2004), de la producción de bienes y su circulación. Ello está representado en los grandes monumentos de carácter

religioso (las pirámides) con sus plazas, atrios y altares del fuego sagrado en donde se llevaron a cabo las diferentes festividades del calendario ceremonial, símbolo de su identidad cultural (Shady 2004). Las periódicas reuniones y actividades conjuntas como la renovación de las pirámides permitían el reconocimiento del poder y fortalecían la identidad cultural (Shady 2004). Todo lo anterior es la base de la civilización andina y están presentes en Caral como los exponentes más antiguos de las principales instituciones peruanas de la época prehispánica, como la reciprocidad (sistema de intercambio y circulación de bienes y servicios), el calendario ceremonial (ligado a la producción, el cultivo y la pesca) o la construcción y renovación de los templos, entre las más destacadas. Caral hoy Como hace 5000 años Caral es de gran importancia en la historia del Perú, como centro de investigaciones permanentes, creadores de ciencia y cultura y como polo de desarrollo que impulsará a su región hacia el desarrollo económico y social.

Festival turístico y cultural organizado por el PEACS con la participación de la población local en Caral. Textos, fotos y dibujo: Lizardo Tavera • La ciudad de las pirámides • Los Conjuntos Residenciales • Técnicas y materiales constructivos • Los Alteres del Fuego Sagrado • Las Plazas Circulares • Música Ancestral: las Flautas y Trompetas

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El Ojo de Dios Economía y producción Cronología

EJERCI CIOS DE ÁREAS Y VOLÚMENES 1Calcula el ár ea y el vol ume n de un tetraedro de 5 cm de arista. 2Calcu lar la diagonal , el ár ea later al , el ár ea total y el vol ume n de un cubo de 5 cm de arista 3Calcula el ár ea y el vol ume n de un octaedro de 5 cm de arista. 4Calcula el ár ea y el vol ume n de un dodecaedro de 10 cm de arista , sabiendo que la apotema de una de sus caras mide 6.88 cm. 5Calcula el ár ea y el vol ume n de un icosaedro de 5 cm de arista. 6Calcula el ár ea later al, el ár ea total y el v ol ume n de un pris ma cuya base es un rombo de de diagonales 12 y 18 cm. 7Calcula el ár ea later al, total y el v ol ume n de una pirám ide cuadr angu lar de 10 cm de arista básica y 12 cm de altura. 8Calcula el ár ea later al, total y el v ol ume n de una pirám ide hexago nal de 16 cm de arista básica y 28 cm de arista lateral. 9Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular de aristas básicas 24 y 14 cm, y de arista lateral 13 cm. 10Calcula el ár ea later al, total y el v ol ume n de un cono cuya gener atriz mide 13 cm y el radio de la base es de 5 cm.

11Calcula el ár ea later al, total y el v ol ume n de un cono cuya altur a mide 4 cm y el radio de la base es de 3 cm. 12Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de cono de radios 6 y 2 cm, y de altura 10 cm. 13Calcu lar el ár ea later al , el ár ea tot al y el volu men del tr onco de cono de radios 12 y 10 cm, y de generatriz 15 cm. 14Calcular el ár ea del cír culo resultante de cortar una esfera de 35 cm de radio mediante un plano cuya distancia al centro de la esfera es de 21 cm. 15Calcular el ár ea y el v olu me n de una esf er a inscrita en un cilindro de 2 m de altura. 16Calcular el volu men de una semiesfera de 10 cm de radio. 17Calcu la el ár ea y el vol ume n del siguiente casquete esférico. 18Calcu lar el ár ea y el vol ume n de una zona esférica cuyas circunferencias tienen de radio 10 y 8cm, y la distancia entre ellas es de 5 cm. EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁREAS Y VOLÚMENES 1 Calcula el área y el volumen de un tetraedro de 5 cm de arista.

2 Calcular la diagonal, el área lateral, el área total y el volumen de un cubo de 5 cm de arista.

3Calcula el área y el volumen de un octaedro de 5 cm de arista.

4 Calcula el área y el volumen de un dodecaedro de 10 cm de arista, sabiendo que la apotema de una de sus caras mide 6.88 cm.

5Calcula el área y el volumen de un icosaedro de 5 cm de arista. 8Calcula el área lateral, una pirámide arista básica y 28 cm de

total y el volumen de hexagonal de 16 cm de arista lateral.

6Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un prisma cuya base es un rombo de de diagonales 12 y 18 cm.

9Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular de aristas básicas 24 y 14 cm, y de arista lateral 13 cm.

Ejercicios resueltos de áreas y volúmenes II 7 Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide cuadrangular de 10 cm de arista básica y 12 cm de altura.

12Calcular el área lateral, el área total y volumen de un tronco de cono de radios y de altura 10 cm.

el 6 y 2 cm,

10Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya generatriz mide 13 cm y el radio de la base es de 5 cm.

13Calcular el área lateral, el área total y el volumen del tronco de cono de radios 12 y 10 cm, y de generatriz 15 cm. 11Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya altura mide 4 radio de la base es de 3 cm.

cm y el

15Calcular el área y el volumen de una esfera inscrita en un cilindro de 2 m de altura.

Ejercicios resueltos de áreas y volúmenes II

16Calcular el volumen de una semiesfera de 10 cm de radio.

14Calcular el área del círculo resultante de cortar una esfera de 35 cm de radio mediante un plano cuya distancia al centro de la esfera es de 21 cm.

17Calcula el área y el volumen del siguiente casquete esférico.

18Calcular el área y el volumen de una zona esférica cuyas circunferencias tienen de radio 10 y 8cm, y la distancia entre ellas es de 5 cm.