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• Hermilio Faa

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     

Sólidos limitados por una superficie prismática o piramidal y 2 planos paralelos secantes ó 1 plano secante respectivamente

Prisma

- Recto - Oblicuo

Paralelepípedo PARALELEPIPEDO Es el prisma cuyas caras son paralelogramos

- Irregular - Regular OBJETIVOS: Al finalizar el presente capítulo, el alumno estará en la capacidad de:  Deducir las características principales del prisma. 

DE ACUERDO AL NÚMERO DE LADOS DE LA BASE: Prisma Triangular si la base es un triángulo. Prisma Cuadrangular si la base es un cuadrilátero. Prisma Pentagonal si la base es un pentágono. Prisma Hexagonal si la base es un hexágono. Prisma Heptagonal si la base es un heptágono. Prisma Octogonal si la base es un octógono y así sucesivamente

Establecer las relaciones para el cálculo del área y el volumen del prisma.

CLASES: RECTOEDRO: Es el paralelepípedo formado por seis rectángulos, sus dimensiones se denominan largo, ancho y alto:

CONCEPTO: Es aquel sólido formado por dos polígonos iguales y paralelos llamados BASES y por paralelogramos LATERALES. Es el sólido o poliedro limitado por la superficie prismática cerrada y por dos planos paralelos y secantes a dicha superficie los cuales son polígonos congruentes.

EXAEDRO REGULAR O CUBO:Es el paralelepípedo formado por seis cuadrados iguales. Arista: a Diagonal de una cara: a 2

CLASES: Existen los siguientes tipos: PRISMA OBLICUO: el que tiene sus laterales oblicuas respecto a la base.

Es aristas con

Diagonal de cubo: a 3

B

C

A

PRISMA RECTO: Es el que tiene sus aristas laterales perpendiculares a las bases.

D F

E

aL B´

PRISMA REGULAR: Es el que tiene como base a un polígono regular.

ROMBOEDRO: Es el paralelepípedo cuyas bases son rombos

C´

ÁREAS Y VOLUMEN DE UN PRISMA PRISMA RECTO

D´

A´ P

Diagonal de la base

F´

E´

Es aquel prisma cuyas aristas laterales son perpendiculares a las bases

B

Ejemplo: El prisma cuadrangular regular

PRISMA CÓNCAVO : Cuando la base es polígono cóncavo.

un

B



ÁREA LATERAL ( A L ):

AL=Pbxa

Es igual al perímetro de la base por la arista

A T = A L + 2Sb ÁREA TOTAL ( A T ): Es igual al área lateral más dos veces el área de la base 

V=Sbxh

 VOLUMEN ( V ): El volumen es el producto del área de la base (S a altura.

b

El área total es el duplo de la suma de las combinaciones binarias de sus 3 dimensiones. 

V = a.b.c

VOLUMEN ( V ) :

El volumen es el producto de sus 3 dimensiones: largo (a), ancho (b) y alto (c).

) por

EXAEDRO REGULAR

PRISMA OBLICUO Es aquel cuyas arista laterales son oblicuas a las bases



Es el sólido formado por seis cuadrados iguales, tiene dos clas es de diagonales:

SR

ÁREA LATERAL ( A L ) :

Es igual al perímetro de la sección recta por la arista 

ÁREA TOTAL ( A

T

):

A L = 4a 2

ÁREA LATERAL ( AL ) :

A L = PS.R. x a

El área lateral es igual a cuadrado

A T = A L + 2Sb

ÁREA TOTAL ( A

Es igual al área lateral más dos veces el área de la base

T

cuatro veces su arista al

):

A T = 6a

2

El área total es igual a seis veces su arista al cuadrado. 

VOLUMEN ( V ) :

V=Sbxh

El volumen es el producto del área de la base (S altura.

b

) por a

VOLUMEN ( V ) :

V=a3

El volumen es igual a su arista al cubo 

VOLUMEN ( V ) :

V = A S.R. x a

El volumen también es el producto del área de su sección recta (A S.R.) por la arista lateral (a).

RECTOEDRO Es el prisma cuyas bases son rectángulas

TRONCO DE PRISMA CONCEPTO: Es el sólido que se obtiene al cortar a un prisma con un plano que no es paralelo a sus bases. Por ejemplo el tronco ABCDEFGH.

TRONCO DE PRISMA RECTO



DIAGONAL ( D ) :

D2 = a2 + b2 + c2

Es la porción de un prisma recto limitado por una de sus bases y un plano no paralelo a dicha base

Es el cuadrado de su diagonal es igual a la suma de los cuadrados de sus 3 dimensiones.



ÁREA LATERAL ( A L ) :

A L = 2 (ac + b c)

El área lateral es el doble de la suma del producto de la altura por el largo y por el ancho.

 ÁREA LATERAL ( A L ): El área lateral es la suma de las áreas de los trapecios laterales. 



ÁREA TOTAL ( A

T

):

A T = 2 (ab + ac + bc)

ÁREA TOTAL ( A

T

):

A T = AL + S1 + S2

El área total es la suma del área lateral (AL) y de las áreas de las 2 bases (S1 y S2)

3. Si las aristas de un cubo se aumenta respectivamente 

VOLUMEN ( V ) :

en 2,4 y 6 el volumen del sólido obtenido excede en

Solo si el tronco es V = S1 a b triangular, el volumen es 3 igual al área de la base por la media aritmética de las 3 aristas laterales, perpendiculares a dicha base.

3

c

TRONCO DE PRISMA OBLICUO

568 m , al volumen del cubo dado. Hallar la longitud de la diagonal de este cubo. a) 5 3 d) 3 4.

b) 2 3 e) 2 3

c) 5

La altura de un prisma triangular es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita a su base. Determinar el volumen del prisma si el producto de los 3 lados de la base es 36. a) 14 d) 18

5.

b) 22 e) 10

Las longitudes de las aristas de un paralelepípedo rectangular

 ÁREA LATERAL ( A L ) : El área lateral es la suma de las áreas de los trapecios laterales.



ÁREA TOTAL ( A

T

):

VOLUMEN ( V ) :

V = S SR

entre

sí

como

3,4

y

12

área total. a) 24 d) 48

b) 32 e) 50

c) 40

6. La diagonal de un rectoedro mide 10m. y su área total 2

es 261 m .

Calcular la suma de las longitudes de

todas sus aristas.

b c 3 EL volumen del tronco oblicuo triangular es igual al producto del área de la sección recta por la media aritmética de las 3 aristas laterales, "a", "b" y "c". 

son

respectivamente. Su diagonal mide 6,5 m. Hallar su

A T = AL + S1 + S2

El área total es la suma del área lateral (SL) y de las áreas de las 2 bases (S1 y S2)

c) 20

a

a) 70 d) 80 7.

b) 74 e) 82

c) 76

En una piscina de 40m. de largo 12. de ancho y 3,5 m. de alto se introducen 720000 lts. de agua. ¿A qué distancia del borde llega el agua?

PROBLEMAS PROPUESTOS

a) 1m d) 3 m

b) 2m e) 4m

c) 0,5m

1. Si a, b y c son las dimensiones de un paralelepípedo 8. Si

rectangular, calcular el área total si: I.

de

un

paralelepípedo obtenido

II. a2 + b2 + c2 = 50 m 2 b) 102 m 2 2 e) 78 m

aristas

cubo

se

aumentan

respectivamente en 1; 3 y 5 m, el volumen del

a + b + c = 12 m

a) 94 m 2 2 d) 44 m

las

excede en 477 m

3

al

volumen del cubo dado. Hallar la longitud de la

c) 64 m 2

diagonal de este cubo. a) 7 3 m d) 5 3 m

2. Responder con (V) si es verdadero y con (F) si es

b) 8 3 m e) 9 3 m

c) 6 3 m

falso. I.

9.

Todo prisma recto es regular.

Calcular el volumen de un prisma triangular regular

II. Solo el prisma recto puede ser regular.

cuya altura mide 6 3

III. En un prisma regular, la base es un polígono

superficie lateral tiene por diagonal 12 .

regular. a) FVV d) VFV

b) FFV e) FFF

c) FVF

a) 18 d) 32

3 3

b) 16 e) 40

, y el desarrollo de su

3 3

c) 30

3

10. La base de un prisma es un cuadrado de lado 4; y su

17. La base de un prisma oblicuo es un hexágono regular

altura es igual al perímetro de la base. Hallar su

de 5 m de lados, en la que las aristas laterales miden

volumen.

10 m y forman 60 con la base. Determinar el volumen

o

a) 32 d) 64

b) 156 e) 128

del prisma.

c) 256

a)560m 3 3 d)564,5m

3

b) 561,5m 3 3 e)567,5 m

c)562,5m 3

11. En un recipiente cubico que contiene 42 cm de agua se introduce un cubo macizo de tal manera que el

18. Calcular el volumen de un paralelepípedo rectangular,

agua se eleva hasta enrazar el nivel del recipiente. Si

el área de la superficie totales 180 m la diagonal de la

la arista del cubo macizo es igual a la mitad de la

base mide 10 m y la suma de las longitudes de las tres

arista del recipiente, hallar el volumen del recipiente.

dimensiones es 17 m.

3

3

a) 48 m 3 d) 28 m

b)30 m 3 e) 32 m

c) 44 m

3

a)148 m 3 3 d)124 m

12. Un paralelepípedo rectangular tiene un volumen de 60 3

m , la suma de las longitudes de todas sus aristas es de 48 m

2

2

y su área lateral es 70 m . Hallar las

longitudes de sus dimensiones. a) 5,4,3 d) 5,4,4

b) 6,3,2 e) 6,3,3

2

b)150 m 3 3 e) 180 m

19. Hallar el volumen de un paralelepípedo rectangular sabiendo que las longitudes de sus tres dimensiones se hallan en progresión aritmética y que ellas suman 18m. su área total es 208m a) 192 m 3 3 d) 194 m

c) 7,2,1

13. Calcular el volumen de un paralelepípedo rectangular, 2

c) 144 m 3

2

b) 190 m 3 3 e) 180 m

c) 184 m 3

20. En un paralelepípedo rectángulo el área de la base es 2

el área de la superficie total es 180 m . La diagonal de

60m , la suma de las longitudes de todas las aristas es

la base mide 10m., la suma de las longitudes de las 3

96m y la suma de los cuadrados de las longitudes de

dimensiones es 17m.

sus tres dimensiones es 200m . Hallar la longitud de la

3

2

3

a) 120 m 3 d) 128 m

b) 130 m 3 e) 132 m

c) 144 m

3

altura del sólido. a) 8 m d) 4 m

b) 6 m e) 10 m

c) 7 m

14. Hallar el volumen de un paralelepípedo rectangular, sabiendo que las longitudes de sus tres dimensiones

21. Hallar el volumen de un paralelepípedo rectangular si

se hallan en prog. aritmética y que ellos suman 18m.

su diagonal mide 10u y forma un ángulo que mide 45º

Su área total es 208m 3

a) 190 m 3 d)196 m

2

con la base y un ángulo que mide 30º con una de la 3

b)192 m 3 e)198 m

c)194 m

3

cara lateral. 3

15. las diagonales de tres caras diferentes de un paralelepípedo

rectangular

miden

b) 220 e) 120

b)148 2 u

3 d) 125 3 u

3 e) 148 3 u

3

c)136 2 u

61 ,

22. El producto de las longitudes de todas las aristas

74 y 85 .calcular su volumen.

a) 214 d) 218

3

a)125 2 u

básicas de un prisma triangular es de 9m y la altura

c) 210

del solido es el doble del diámetro de la circunferencia circunscrita a la base. Calcular el volumen del sólido.

16. ¿Cuál es el volumen de un prisma oblicuo si la sección recta es un triángulo circunscrito a un círculo de 3m.

3

a) 4 m 3 d) 14 m

3

b) 1 m 3 e) 5 m

c) 3 m

3

2

de radio y el área lateral del sólido es 28 m . a) 38 d) 52

b) 42 e) 64

c) 60

23. Se tiene un prisma triangular ABC – DEF, si 2 (AB) = BE, calcule m a) 30º d) 150º

entre AE y BF. b) 80º e) 100º

c) 60º