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República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Defensa Universidad Nacional Experimental Politécnica de las Fuerzas Armadas Nacionales (UNEFA) Núcleo Anzoátegui Asignatura: Vibraciones Mecánicas

“ECUACIONES DE LAGRANGE”

Prof. Pablo Quijada

Integrante: Yetsy J, Domínguez M C.I: 15015522 Ing. Mecánica 8vo BN

San Tome, Noviembre de 2011. INDICE

Introducción…………………………………………………………………….. 3 Vinculación de las Ecuaciones de Lagrange……………………………..…4 Clasificación de vínculos………………………………………………….….4-6 Coordenadas Generalizadas…………………………………………………….5-6 Teorema y desplazamientos virtuales……………………………………….6-8 Ecuaciones

de

Lagrange

para

sistemas

Holónomos

idealmente

vinculados………………………………………………………………………8-9 Conclusión……………………………………………………………………....10 Bibliografía……………………………………………………………………….11

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INTRODUCCION

Fue Lagrange (1736-1813) quien en su obra MécaniqueAnalytique de 1788 desarrolló la mecánica analítica, que denominó así por el uso que hace en ella del análisis matemático, junto con el método de multiplicadores y técnicas variacionales. Las leyes fundamentales de la mecánica clásica, están basadas en los enunciados de Newton. Existen, sin embargo, otras formulaciones de las leyes del movimiento, equivalentes a la de Newton, y que han sido enunciadas partiendo esencialmente de los conceptos de trabajo y energía cinética. Es el caso de las ecuaciones de Lagrange que permiten obtener ecuaciones del movimiento de un sistema mecánico sin que las reacciones interiores entre las distintas partes compliquen la formulación y sin necesidad de evaluar los vectores de aceleración. Otro enunciado equivalente lo constituye el llamado principio de Hamilton que proporciona una interpretación física importante de las ecuaciones de la dinámica y cuyos métodos sirven de introducción a la mecánicacuántica.

La formulación de Lagrange se basa en los principios de definición de la masa y de los desplazamientos virtuales, la de Newton como ya hemos visto, se basa en los principios de definición de la masa, de acción y reacción y de la inercia. La formulación de Hamilton, en cambio, se basa en un único principio, llamado de Mínima acción. Lastres son equivalentes entre sí, es decir, cada una implica a la otra.

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VINCULACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE.

Una forma equivalente a la formulación newtoniana de la mecánica, la constituye la formulación lagrangiana. La principal ventaja practica que tiene esta formulación del sistema y además que no es necesario conocer el detalle de las fuerzas de vínculos para su formulación, siempre que ellas satisfagan ciertos requisitos

CLASIFICACIÓN DE VÍNCULOS Sistemas holónomos: Un sistema se dice holónomo cuando todas sus ligaduras son geométricas o cinemáticas integrables. A su vez, existen dos tipos de sistemas holónomos: •

Sistemas holónomos esclerónomos: Aquellos en las que todas sus ligaduras son estacionarias (ligaduras independientes del tiempo).

• Sistemas holónomos reónomos: En los que alguna de sus ligaduras depende explícitamente del tiempo. •

Sistemas no holónomos: Un sistema es no holónomo cuando alguna de sus ligaduras es cinemática no integrable.

Ejemplo: Clasifiquemos ahora los casos vistos hasta ahora: Péndulo simple: La condición que determina que la cuerda sea inextensible es independiente del tiempo, se trata por tanto de un sistema holónomo esclerónomo.

Vínculos holonómicos. Este tipo de Vínculos permiten disminuir el número de variables de las inicialmente consideradas, por constituir relaciones funcionales que permiten hacer la eliminación de variables redundantes. Rara vez se procede a eliminar variables redundantes explícitamente. En vez, razonando se decide sobre cuantas variables son necesarias y se las elige. Así, para el caso de vínculos holónomos, si el sistema tiene N

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partículas, existencia en principio N vectores posición o 3N coordenadas por determinar. La existencia de un cierto número de vínculos constantes o funciones conocidos del tiempo, hace que sea necesario un número menor de coordenadas n (n