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• Jesús David Ramirez

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MECÁNICA TEÓRICA Departamento de Física Comité de docentes del área Semestre I, 2014 Taller Unificado, primer corte. (El presente taller es únicamente una guía de estudio para los estudiantes)

“No se va a la Universidad por un cartón, se va a la Universidad por un conocimiento” Ejercicios conversión de unidades [1] El cometa Halley se desplaza a una velocidad de . Expresar ésta cantidad en: . Debe utilizar notación científica y prefijos de potencias de 10 en los resultados finales. [2] La luna tiene un período alrededor de la Tierra 27días 7horas 43,7min y una masa de . Expresar el período y la masa de la luna en segundos y libras, respectivamente. (Utilizar notación científica y prefijos de potencia si es conveniente) [3] La velocidad orbital de la Tierra es de . [4] Si la masa de Saturno es de del planeta en [5] La velocidad de la luz luz. Expresar dicha cantidad en

. Expresar la misma en unidades

y su radio es de

. Calcule la densidad

. Si la distancia de la Tierra a Antares es de 550años y

.

[6] Una pirámide tiene una altura de 481 ft y su base cubre un área de 13 acres. Si el volumen de una pirámide se define como

, donde

es el área de la base y

es la altura de la

misma. Halle el volumen de la pirámide en metros cúbicos. ( Ejercicios análisis dimensional [7] Verificar que las siguientes ecuaciones son dimensionalmente correctas o no: a) donde

es longitud,

,

b)

es aceleración,

, es tiempo,

c)

es velocidad.

[8] Suponga que la aceleración de una partícula que se mueve con velocidad uniforme en un círculo de radio es proporcional a una constante adimensional ; una potencia del radio, es decir, ; y a una potencia de velocidad, es decir, . Determine los valores de m y n, y escriba la forma más simple de una expresión por la aceleración que sea dimensionalmente correcta. [9] La ley de isocronismo del péndulo simple establece que:

donde es el período del péndulo (tiempo), es la longitud y es la aceleración de la gravedad. Calcular el valor numérico de y ; también escriba una expresión dimensionalmente correcta para el período del péndulo.

[10] Hallar

para que la ecuación sea dimensionalmente correcta: {

donde

y

son tiempos,

longitud,

y

}

son constantes.

Ejercicios de vectores [11] De acuerdo con el paralelepípedo de la figura, diga cuáles de las siguientes igualdades son ciertas:

[12] Dado el heptágono irregular de la figura. Dibuje los siguientes vectores:

[13] Dados los vectores libres de la figura, calcule:

[14] Se consideran los siguientes vectores ⃗

̂

̂,

̂

̂ y ⃗⃗

̂

̂.

[15] Dibujar los siguientes vectores en el plano cartesiano 2D y 3D, según corresponda. a) b) ⃗ c) d) e)

̂ ̂ ̂ ̂

̂

̂; ̂; ;̂ ̂ ̂

̂; ̂;

[16] Hallar para los siguientes gráficos el vector resultante en términos de los vectores unitarios ̂ .̂ (Cada cuadrícula tiene lados de 1cm y las flechas de color negro representan los ejes X y Y del plano cartesiano).

[17] Tres vectores de desplazamiento de un juego de croquet ball se muestran en la figura, donde sus magnitudes son A=20 unidades, B=40 unidades, y C=30 unidades.

[18] Una partícula lleva a cabo dos desplazamientos, el primero tiene una magnitud de 150cm y forma un ángulo de 120º con el eje positivo. El desplazamiento resultante tiene una magnitud de 140cm y se dirige en un ángulo de 35º con respecto al eje x positivo. Encuentre, el vector, la magnitud y dirección del segundo desplazamiento.

[19] Una persona sale a caminar la trayectoria que se ilustra en la figura. El total del viaje consiste de cuatro vectores. Al final de la caminata, ¿cuál es el desplazamiento resultante de la persona medido desde el punto de partida? (Sugerencia: Considere todos los vectores en el origen de coordenadas)

[20] Un controlador de tráfico aéreo observa dos naves en su pantalla de radar. La primera está a una altitud de 800m, a una distancia horizontal de 19.2 km y a 25 grados al sur del

oeste. La segunda nave está a una altitud de 1100m, una distancia horizontal de 17,6 km y a 20 grados al sur del este. ¿Cuál es la distancia entre los dos aviones? (Sugerencia: utilice métodos vectoriales) [21] Un barco transbordador transporta turistas en tres islas. Navega de la primera isla a la segunda, a 4.76km de distancia, en la dirección E 37º N. Luego navega de la segunda isla a la tercera en la dirección N 69º O. Finalmente, regresa a la primera isla al navegar en la dirección S 28º E. Calcule la distancia entre: (a) la segunda y tercera islas; (b) la primera y la tercera islas. (Sugerencia: utilice métodos vectoriales) [22] El rectángulo que se muestra en la figura tiene lados paralelos a los ejes y . Los ⃗ vectores de posición en coordenadas polares ( ) de las dos esquinas mostradas son: ⃗ ; . Encuentre: a) El perímetro del rectángulo; b) La magnitud y dirección del vector desde el origen a la esquina superior derecha del rectángulo.

[23] Telescopio espacial Hubble se desplaza a velocidad de 7,5Km/s. Ahora, el sistema solar se desplaza a una velocidad de 220Km/s. Con respecto a la Vía Láctea, se detecta el movimiento del telescopio definido, en cierto instante de tiempo, por la figura:

Hallar la velocidad con respecto a la galaxia. Sucesivamente, hallar el vector velocidad en términos de las direcciones unitarias. [24] Un bote a motor se dirige en la dirección N 30 E a 25 millas por hora en un lugar donde la corriente es tal que el movimiento resultante es de 30º millas por hora en la dirección N 50º E. Encontrar la velocidad de la corriente a través de vectores y escalarmente.







[25] Dados los siguientes vectores: a   2 iˆ  3 ˆj  kˆ ; b  4 iˆ  3 ˆj  3 kˆ y c   ˆj  4 kˆ . Determinar: a)

  a b

   a  3b  2c    c) ( a  2 b )  3 c    d)  ( 4 b  3 c )  2 b b)

 a con cada uno de los ejes coordenados.  f) El ángulo entre los vectores: 3b y  2c . e) El ángulo que forma el vector

̂

[26] Considere los vectores: ⃗

,̂ ̂,

̂

̂. ̂

Demostrar que:

(⃗

)

⃗(

[27] Demuestre que los vectores ⃗ y

⃗ .

)

son perpendiculares, sí y sólo sí, | ⃗

|

|⃗

|.

[28] Demostrar que un vector unitario en tres dimensiones puede expresarse como: ̂

̂

̂

̂

Ejercicios cinemática: [29]. Dos corredores A y B parten del mismo lugar. A partió 30 segundos antes que B con una velocidad constante de 5 m/s. B sigue la misma trayectoria con una velocidad constante de 6 m/s. ¿A qué distancia del punto de partida el corredor B alcanzará a A? [30]. Un pasajero que va a tomar el autobús observa que justo cuando le faltan 30 m para 2 llegar a la parada, el vehículo emprende la marcha con una aceleración de 0,3 m/s . Justo en ese momento, el peatón va corriendo hacia el autobús con velocidad constante de 6 m/s. ¿Conseguirá el peatón alcanzar el autobús?, si es así, calcule en qué instante y en qué lugar tomando con referencia el origen de coordenadas del peatón cuando inició el movimiento.

[31]. Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba con la velocidad inicial despreciando la resistencia del aire, determine: g) La velocidad del cuerpo al cabo de 10s h) La velocidad del cuerpo al cabo de 30s i) La posición del cuerpo a los 15s del lanzamiento j) La altura máxima que puede alcanzar k) El tiempo de subida.

v o  196 m s ;

[32] Una estrategia en la guerra de bolas de nieve es lazarlas a un gran ángulo sobre el nivel del suelo. Mientras su oponente está viendo ésta primera bola de nieve, no muy tarde se debe lanzar una segunda bola a un ángulo pequeño, lanzada en el momento indicado para que llegue a su oponente ya sea antes o en el mismo tiempo a la primera. Suponga que ambas bolas de nieve se lanzan con una velocidad de 25m/s, la primera se lanza con un ángulo de 70º con respecto a la horizontal. a) A qué ángulo debe lanzarse la segunda bola de nieve para llegar al mismo punto horizontal que la primera? b) Cuántos segundos debe lanzarse la segunda bola después de la primera para que llegue al mismo blanco en el mismo tiempo?

[33]. Se deja caer libremente una piedra desde la boca de un pozo de cierta altura Yo. Después de un tiempo t = 5s se escucha el sonido de la piedra al tocar el fondo del pozo. Si la velocidad del sonido vs = 340m/s, hallar la altura del pozo.

[34] A partir de un esquema de movimiento parabólico. Demostrar expresiones físicas para el “alcance horizontal” y la “altura máxima” en términos de los parámetros . ________________________________________ [35]. Un jugador de Baloncesto tiene el esférico en sus manos a una altura de 1.5m desde el suelo. Él lanza el balón a una velocidad de 20m/s con un ángulo de 60º con respecto al eje X positivo, a un aro que se encuentra a una distancia de él y a una altura de 3m con respecto al suelo. Hallar: a) El vector posición del balón en cualquier instante de tiempo t; b) El vector posición para el aro; c) Las ecuaciones escalares cuando el balón pasa por el aro; d) El tiempo que tarda el balón en llegar al aro; e) El valor de la distancia horizontal que hay entre el jugador y el pie del poste donde está el aro.

[36]. El sensual James patea la bola de modo que adquiere una velocidad de 25 m/s en un ángulo de 45° sobre la horizontal. Si Falcao, se dirige directamente hacia James a una velocidad 5m/s en el mismo plano de la trayectoria de la bola. a) Calcule el vector posición dependiente del tiempo para la bola. b) Determine el vector posición dependiente del tiempo para Falcao. c) A qué distancia debe estar Falcao de James para que golpee el balón con la cabeza, si la altura del Falcao es 1.78m.

[37]. Desde una altura de 25m se deja caer una piedra. Otra es lanzada verticalmente hacia abajo un segundo después que se soltó la primera. Las dos llegan al suelo al mismo tiempo. Calcular, escalar y vectorialmente, la velocidad inicial de la segunda piedra.

[38] De acuerdo a las condiciones iniciales:

a) b) c) d)

Hallar el vector posición para cualquier instante de tiempo ; El vector desplazamiento entre los tiempos y ; El vector velocidad promedio entre los tiempos y El vector aceleración tangencial para t=1s.

;

[39] Un tanque de guerra cuyo cañón está a un metro del suelo, dispara un proyectil con un ángulo de 30º y a una velocidad de 20m/s. Con respecto al tanque, a una distancia , se encuentra una base militar en una depresión de 10m con respecto al mismo suelo. Calcular la altura máxima, el alcance y la velocidad final del proyectil cuando impacte contra la base militar. a) escalarmente, b) vectorialmente.

[40]. Desde un globo, a una altura de 175 m sobre el suelo y ascendiendo con una velocidad de 8 m/s, se suelta un objeto. Calcular: a) b) c) d) e) f)

El vector posición en función del tiempo del objeto; El vector velocidad en cualquier instante de tiempo; La altura máxima alcanzada por el objeto desde el suelo; La posición y la velocidad del objeto al cabo de 5segundos; El tiempo que tardará en llegar al suelo; La velocidad final con la que choca contra el piso.

[41]. Se lanza un cuerpo oblicuamente hacia abajo desde una altura de 20 m sobre el suelo, con una velocidad inicial de 10 m/s que forma un ángulo α con la horizontal tal que sen α = 0,6 y cos α= 0,8. Calcular el vector velocidad del móvil en el instante de llegar al suelo.

[42]. Un bombero desea apagar el fuego en un edificio. Para ello deberá introducir agua por una ventana situada a 10 m de altura. Si sujeta la manguera a 1 metro del suelo, apuntándola bajo un ángulo de 60° hacia la fachada (que dista 15 m), ¿con qué velocidad debe salir el agua?

Vo 1m

60º

10 m

m

15 m

[43]. Desde lo alto de una torre se dejan caer dos piedras, la segunda 0,1 s después de la primera. ¿Al cabo de cuánto tiempo la separación de las piedras será 1 metro? ¿Qué espacio habrán recorrido entonces cada una de las piedras?. (Sugerencia: ubicar el origen del sistema de coordenadas sobre la cima de la torre).

[44] Demuestre que la aceleración tangencial para un movimiento curvilíneo está dada por: | |

| | √|⃗⃗⃗⃗ | (Sugerencia: parta del hecho que

⃗⃗⃗⃗ | |

⃗⃗⃗⃗

)

[45] Encontrar: a) la magnitud de la velocidad y b) la aceleración centrípeta de la Tierra en su movimiento alrededor del Sol. El radio de la órbita terrestre es de y su período de revolución es de . (Sugerencia: considere como aproximación una órbita circular).

[46] Un cuerpo, inicialmente en reposo ( y cuando trayectoria circular de 1,3m de radio de acuerdo a la ecuación:

) es acelerado en una

Encontrar la posición angular y la velocidad angular del cuerpo en función del tiempo, y las componentes tangencial y centrípeta de su aceleración. [47] La nave espacial Apolo estuvo orbitando la Luna. Supóngase que la órbita era circular y en un punto de la misma tenía una distancia de 100km desde la superficie de la Luna. El radio de la Luna es de . Determine: (a) la velocidad orbital de la nave espacial; (b) el período de la nave espacial con respecto a la Luna. (gravedad lunar ). [48] Un auto que va inicialmente hacia el este, desvía al norte cuando viaja en una trayectoria circular a rapidez constante. La longitud del arco AC es 235m y el auto le completa en un tiempo de 36s. (a) ¿cuál es la aceleración cuando el auto está en un punto B ubicado a un ángulo 35º?, Exprese su respuesta en términos de los vectores unitarios. Determine b) la rapidez promedio del automóvil y c) su aceleración promedio durante el intervalo de 36.0s.

[49] Calcular la aceleración tangencial y normal actuando sobre un proyectil lanzado horizontalmente desde la cima de un edificio.

_________________________ Ética, reflexión: “No te preocupes por ser una persona de éxito, mejor preocúpate por ser una persona de valor”... (Albert Einstein) Sin embargo, nunca dejen de estudiar.

Cultura general: Una Supernova (del latín nova, «nueva») es una explosión estelar que puede manifestarse de forma muy notable, incluso a simple vista, en lugares de la esfera celeste donde antes no se había detectado nada en particular. Por esta razón, a eventos de esta naturaleza se los llamó inicialmente stellae novae («estrellas nuevas») o simplemente novae. Con el tiempo se hizo la distinción entre fenómenos aparentemente similares pero de luminosidad intrínseca muy diferente; los menos luminosos continuaron llamándose novae(novas), en tanto que a los más luminosos se les agregó el prefijo «super-».