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• raul diego pereira berrios

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PRESENTACIÓN DE CÁLCULO DE POBLACIÓN FUTURA (EJEMPLO) Estimar la población de la ciudad de Potosí para los años 1950, 1965 además graficar la curva para cada método estimado. Datos: Año Pob. 1900 20910 1934 35000 1946 45000

1) Método Aritmético: (Adjuntar información de la aplicación del método) 𝑃𝑓 = 𝑃𝑜 ∗ (1 +

𝑖∗𝑡 ) 100

Cálculos: -

Determinación del índice de crecimiento poblacional: Ecuación a emplear: 𝑖=(

35000 100 − 1) ∗ → 20910 1934 − 1900

𝑖1 = 1.9819

45000 100 − 1) ∗ → 35000 1946 − 1934

𝑖1 = 2.3810

𝑖1 = (

𝑖2 = (

𝑃𝑓 100 − 1) ∗ 𝑃𝑜 𝑡

Para el proyecto determinamos el índice de crecimiento para todos los datos. Ponderamos índice de crecimiento: 𝑖𝑝 =

∑ 𝑖𝑖 ∗ 𝑡𝑖 1.9819 ∗ (1934 − 1900) + 2.3810 ∗ (1946 − 1934) → 𝑖𝑝 = ∑ 𝑖𝑖 (1934 − 1900) + (1946 − 1934)

𝑖𝑝 = 2.08601

-

Determinación de población futura: 𝑃1950 = 45000 ∗ (1 +

2.08601 ∗ (1950 − 1946) ) = 48755 100

𝑃1965 = 45000 ∗ (1 +

2.08601 ∗ (1965 − 1946) ) = 62836 100

Para el proyecto corresponde al último año del censo poblacional t(2012) 2) Método Geométrico: (Adjuntar información de la aplicación del método) 𝑖 𝑡 ) 𝑃𝑓 = 𝑃𝑜 ∗ (1 + 100

Cálculos: -

Determinación del índice de crecimiento poblacional: Ecuación a emplear: 𝑡

𝑖 = (√

𝑖1 = (

𝑃𝑓 − 1) ∗ 100 𝑃𝑜

1934−1900

35000 − 1) ∗ 100 = 1.5266 20910

1946−1934

45000 − 1) ∗ 100 = 2.1164 35000

𝑖2 = (

√

√

Ponderamos índice de crecimiento: 𝑖𝑝 =

∑ 𝑖𝑖 ∗ 𝑡𝑖 1.5266 ∗ (1934 − 1900) + 2.1164 ∗ (1946 − 1934) → 𝑖𝑝 = ∑ 𝑖𝑖 (1934 − 1900) + (1946 − 1934)

𝑖𝑝 = 1.68046

-

Determinación de población futura: 𝑃1950

1.68046 1950−1946 ) = 45000 ∗ (1 + = 48110 100

𝑃1965 = 45000 ∗ (1 +

1.68046 1965−1946 ) = 61763 100

3) Método Exponencial: (Adjuntar información de la aplicación del método) 𝑖∗𝑡

𝑃𝑓 = 𝑃𝑜 ∗ 𝑒 100

Cálculos: -

Determinación del índice de crecimiento poblacional: Ecuación a emplear: 𝑖𝑖 = 𝐿𝑛 (

𝑃𝑓 100 )∗ 𝑃𝑂 𝑡

35000 100 𝑖1 = 𝐿𝑛 ( )∗ = 1.5151 20910 1934 − 1900

𝑖2 = 𝐿𝑛 (

45000 100 )∗ = 2.0943 35000 1946 − 1934

Ponderamos índice de crecimiento: 𝑖𝑝 =

∑ 𝑖𝑖 ∗ 𝑡𝑖 1.5151 ∗ (1934 − 1900) + 2.0943 ∗ (1946 − 1934) → 𝑖𝑝 = ∑ 𝑖𝑖 (1934 − 1900) + (1946 − 1934)

𝑖𝑝 = 1.6662

-

Determinación de población futura:

𝑃1950 = 45000 ∗ 𝑒

1.6662∗(1950−1946)

𝑃1965 = 45000 ∗ 𝑒

100

1.6662∗(1965−1946)

100

= 48102

= 61760

4) Método curva Logística (Adjuntar información de la aplicación del método):

𝑃𝑓 =

𝐿 1 + 𝑚 ∗ 𝑒 𝑎𝑡

𝐿=

2 ∗ 𝑃𝑂 ∗ 𝑃1 ∗ 𝑃2 − 𝑃1 2 ∗ (𝑃𝑂 + 𝑃2 ) 𝑃𝑂 ∗ 𝑃2 − 𝑃1 2

𝑚=

𝐿 − 𝑃𝑂 𝑃𝑂

1 𝑃𝑂 ∗ (𝐿 − 𝑃1 ) ln ( ) 𝑡1 𝑃1 ∗ (𝐿 − 𝑃𝑂 )

𝑎=

Donde: Pf = Población futura en hab. L = Valor de Saturación t = Número de años de estudio o periodo de diseño m,a = Coeficientes Debe cumplir: 𝑡1 − 𝑡0 ≈ 𝑡2 − 𝑡1

𝑌𝑂 ∗ 𝑌2 ≤1 𝑌1 2

𝑦

Cálculos: -

Determinación de los parámetros de población y tiempo que cumplen las relaciones restrictivas de empleo del método: Datos: Año Pob. 1900 20910 1934 35000 1946 45000

𝑡0 𝑡1 𝑡2

𝑌0 𝑌1 𝑌2

Para (1900-1934-1946): Condición 1: 1934 − 1900 ≈ 1946 − 1934 34 ≠ 12 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑡1 − 𝑡0 ≠ 𝑡2 − 𝑡1

𝑁𝑜 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑏𝑙𝑒

Para el proyecto la adopción de los valores de población y de tiempo podrán corresponder a mediciones censales no secuenciales

𝑦0 Pob. Año

20910 1900

35000 1934

𝑡0

𝑦1 45000 1946

𝑦2

45758 1950

61145 1965

𝑡1

𝑡2

71599 1972

77397 1976

112078 1992

133800 2001

166102 2012

Para (1934-1950-1965): Condición 1: 1950 − 1934 ≈ 1965 − 1950 16 ≈ 15 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑡1 − 𝑡0 ≈ 𝑡2 − 𝑡1 𝐶𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒! Condición 2: 35000 ∗ 61145 = 1.022 457582 1.022 > 1

𝑁𝑜 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑏𝑙𝑒!

Una vez identificado los valores de población y tiempo que cumplen las condiciones se procederá a determinar el valor de saturación y coeficientes de la función de población futura del método. -

Cálculo de valor de saturación de población 𝐿=

-

2 ∗ 𝑃𝑂 ∗ 𝑃1 ∗ 𝑃2 − 𝑃1 2 ∗ (𝑃𝑂 + 𝑃2 ) 𝑃𝑂 ∗ 𝑃2 − 𝑃1 2

Cálculo de los coeficientes “m” y “a” 𝑚=

𝑎=

-

𝐿 − 𝑃𝑂 𝑃𝑂

1 𝑃𝑂 ∗ (𝐿 − 𝑃1 ) ln ( ) 𝑡1 𝑃1 ∗ (𝐿 − 𝑃𝑂 )

Cálculo del tiempo (t): 𝑡𝑖 = 𝑡𝑒 − 𝑡2 Donde: te = tiempo para el cual se desea determinar la población futura

-

Cálculo de la Población Futura:

𝑃𝑓 =

𝐿 1 + 𝑚 ∗ 𝑒 𝑎𝑡𝑖

5) Método ajuste Polinomial curvas de 2° Orden (Adjuntar información de la aplicación del método): 𝑃𝑓 = 𝑎2 ∗ 𝑥 2 + 𝑎1 ∗ 𝑥 + 𝑎0 𝑛

∑𝑋

∑𝑋 | ∑ 𝑋2

∑ 𝑋2

|

∑ 𝑋2

∑𝑌 𝑎0 | | | ∑ 𝑋3 |𝑎1 | = ∑ 𝑌 ∗ 𝑋 | 𝑎2 | | 4 2 ∑𝑋 ∑𝑌 ∗ 𝑋

∑ 𝑋3

Cálculos: -

Determinación de los coeficientes de la matriz de ajuste polinomial Año 1900 1934 1946 Σ

-

x 0 34 46 80

x2 0 1156 2116 3272

x3 0 39304 97336 136640

x4 0 1336336 4477456 5813792

x*y 0 1190000 2070000 3260000

Ensamblado de matriz 3 80 3272

-

Población (y) 20910 35000 45000 100910

80 3272 136640

3272 136640 5813792

*

a0 a1 a2

=

100910 3260000 135680000

*

100910 3260000 135680000

Determinación de los coeficientes de la función de población a0 a1 a2 a0 a1 a2

=

1 -0.051151 0.000639386 -0.051151 0.0191217 -0.00042062 0.0006394 -0.000421 9.69799E-06

=

20910 104.77408 9.1069906

x2*y 0 40460000 95220000 135680000

Función de población 𝑃𝑓 = 9.106 ∗ 𝑋2 + 104.77 ∗ 𝑋 + 20910

- Cálculo de la población futura 𝑃1950 = 9.106 ∗ (1950 − 1900)2 + 104.77 ∗ (1950 − 1900) + 20910 = 48917 ℎ𝑎𝑏 𝑃1965 = 9.106 ∗ (1965 − 1900)2 + 104.77 ∗ (1965 − 1900) + 20910 = 66198 ℎ𝑎𝑏

6) Método ajuste Polinomial curvas de 3° Orden (Adjuntar información de la aplicación del método): El mismo procedimiento que para el apartado 5)

7) Método de Ajuste de función no lineal Potencial (Adjuntar información de la aplicación del método): 𝑃𝑓 = 𝑎 ∗ 𝑥 𝑏 𝑛 | ∑ 𝑙𝑛𝑋

∑ 𝑙𝑛𝑋 ∑ 𝑙𝑛2 𝑋

|∗|

∑ ln(𝑌) ln(𝑎) |=| | 𝑏 ∑ ln(𝑌) ∗ ln(𝑋)

Se puede emplear logaritmos en base 10 o logaritmo neperiano Cálculos: -

Determinación de los coeficientes de la matriz de ajuste Año 1900 1934 1946

-

x 0 34 46 80

Población 20910 35000 45000 100910

ln(X) 3.526 3.829 7.355

ln2(X) 12.435 14.658 27.094

ln(Y) 10.463 10.714 21.178

Ensamblado de matriz 3.0 7.355

7.355 27.094

*

ln (a) b

=

21.18 77.92

ln(X)*ln(Y) 36.897 41.022 77.918

-

Determinación de los coeficientes de la función de población ln (a) b

=

0.997 -0.271

ln (a) b

=

0.03 2.87

a= b=

1.0256 2.8690

-0.271 0.110

*

21.18 77.92

Función de Población

𝑃𝑓 = 1.0256 ∗ 𝑥 2.

690

- Cálculo de la población futura 𝑃1950 = 1.0256 ∗ (1950 − 1900)2.

690

= 76780 ℎ𝑎𝑏

𝑃1965 = 1.0256 ∗ (1965 − 1900)2.

690

= 163028 ℎ𝑎𝑏

8) Método de Ajuste de función no lineal exponencial (Adjuntar información de la aplicación del método): 𝑃𝑓 = 𝑎 ∗ 𝑒 𝑏𝑥 𝑛 | ∑𝑋

∑𝑋

∑ ln(𝑌) ln(𝑎) |∗| |=| | 𝑏 ∑ 𝑋2 ∑ ln(𝑌) ∗ 𝑋

El mismo procedimiento que para el apartado 7) 9) Obtención de los valores Promedio de todos los métodos 𝑃𝑓 =

Para 1950:

∑ 𝑃𝑖 𝑛

𝑃1950 =

48755 + 48102 + 48917+. … . = 𝑛

Para 1965: 𝑃1965 =

62836 + 61762+. … . = 𝑛

GRÁFICAS Método Aritmético:

M. Arimetico Año 1900 1934 1946 1950 1965

Pob. 20910 35000 45000 48755 62836

Método Geométrico:

Método Exponencial:

Adjuntar de todos los métodos