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Preguntas Propuestas

Trigonometría Identidades trigonométricas del arco múltiple II

1. Si

1 1 + x = 2 sen θ, calcule x 3 + 3 . x x

A) 2sen3q

6. Si

B) – 2sen3q C) 4sen3q

2 sen 2 x 2 sen 2 y 2 sen 2 z + + = a, sen 6 x sen 6 y sen 6 z

calcule tan2x · cot6x+tan2y · cot6y+tan2z · cot6z. A) a –1

B) a+3 C) a – 3

D) 1+2sen3q E) 1– 2sen3q



7. Simplifique la siguiente expresión.

sen 3θ ⋅ cos3 θ + sen 3 θ ⋅ cos 3θ sen 4θ A)

1 4

B)

6−a 2

D) 3 – a E)

2. Reduzca la siguiente expresión

3 4 C) 4 3

D) 1 E)



A) cot2x D) tan2x

1 2

3. Del gráfico, calcule sen2a.

2π  π   tan 2 x + tan  − x  − tan  x −  3   3  tan x + tan 2 x − tan 3 x B) – cot2x C) tan2x E) tan3x

8. Si BC=1, calcule BM. C b

B

a α α α

b− a A) 4b D)

b+ a a− b B) C) 4b 4b

a+ b a− b E) 2b 2b

4. Calcule el valor de la expresión

(

...

5 + 1) ⋅ csc 42º 5 −1 − cos12º ⋅ cos 72º cos 84º +2 sen 6º ⋅ cos12º

A



A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

40º 30º

B) 3 C)

A) 2

N

2 3 3

D) 2 3 E) 3 3 Identidades de transformación trigonométrica

9. Si x =

8π rad, 7

calcule

A) 10 B) 8 C) 4 D) 14 E) 12

5. Si cotx – 3cot3x=2, calcule 3cotx – tanx.

10º 10º

M

A)

(cos 3 x + cos 7 x + cos10 x + 1) tan 2 x . sen 10 x + sen 7 x + sen 3 x

7 8

D) −

B)

7 7 C) − 2 7

7 E) –1 7 2

Trigonometría 10. Calcule el valor de la expresión

sen

14. Calcule el área de la región sombreada en el gráfico siguiente si OA=2.

π  7π 5π 11π  ⋅ sen − sen 2 ⋅ 1 − 2 cos  24 24 24  12 

B) 2 5 u 2

3 1 B) − C) 2 2

1 A) 2

C

A) 2 6 u 2

C) 2 2 u 2

D

D) 2 3 u 2

3 3 D) − E) 4 4

5x 3x

E) 3 2 u 2

O

2x x

B

A

 14 π  π − 4 cos   .  9  9

11. Calcule sec 

A) 0 B) 1 C) 2 D) –1 E) – 2

15. El valor de x =

A) cot10º

12. En un cuadrilátero ABCD, se cumple que

mCAD mBAC mBCA = θ. = = 3 2 1



Calcule cot2q · csc2q, si BC=CD=DA. 3 3 B) C) 2 2

A)

2 3

D)

2 3 E) 2 3 3

13. Si a+b+c=prad y sen ( a + b) + sen ( a + c) sen a



b c ⋅ tan 2 2

B) tan

b c ⋅ tan 2 2

C) cot

b c ⋅ cot 2 2

D) tan

b c ⋅ sec 2 2

E) tan 2

B) tan10º C) cot20º

D) tan20º E) 2tan10º

16. Si

π π   cos ( A − B) ⋅ sen  C −  = cos ( A + B) ⋅ sen  C +    4 4



halle cotA · cotB · cotC. A) 1 B) 1/2 C) 2 D) 3/2 E) 1 Introducción a la geometría analítica I

= sec x,

17. En el gráfico si AC=5, la suma de las coorde-

x calcule tan 2   . 2 A) cot

1 + 4 cos 20º es igual a 3

nadas de C es Y

C (x; y)

A (1; 2)

B (4; 2) X

A) 4 B) 10 C) 8 D) 6 E) 9

b c ⋅ cot 2 2 2 3

Trigonometría 18. Los extremos de la base de un triángulo son 1 nada del vértice opuesto C  ; 2

C

Y

los puntos A(0; 0) y B(3; 0). Determine la orde-

B

 y  , de tal ma

D H E

A

nera que la medida del ángulo CAB es igual al

F

doble de la medida del ángulo CBA.

A) 15

D)

(3; 0)



15 15 C) B) 2 4

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

15 15 E) 6 8

22. En el gráfico, ABCD es un rectángulo, donde A(12; 3) y B(4; 9). Si AD=8 y M es punto medio de CD, determine la diferencia de coordenadas del baricentro del triángulo AMC.

19. A(a; b), B(a; – b), C(– a; – b), D(– a; b) son los vértices de un rectángulo. Si P(x; y) cumple que DP=6 u, CP=7 u y BP=5 u, entonces el

C

valor de AP es A) 5 u

X

B M

B) 2 3 u C) 3 u

D) 4 u E) 3 2 u

20. Dados los siguientes puntos A(0; 0), B(5; 0), R(5; 7) y S(12; 8). Sabiendo que el segmento RS es la diagonal de un cuadrado. Halle un punto P en el perímetro de dicho cuadrado, para que el triángulo ABP tenga área máxima. ¿Cuál es el valor del área máxima?

A



21 7 C) 5 5

A)

22 15

D)

23 14 E) 15 15

B)

23. En el gráfico, AB=BC=CO. Calcule el área de 4 la región sombreada, si cot α = . 5

A) 22,5 B) 17,5 C) 48,0

...

D

D) 2,5 E) 27,5 UNI 1998 - I

A) 25 u2 B) 26 u2 C) 27 u2 D) 28 u2 E) 29 u2

Y

B (3; 5) C

A (0; 1) O

21. Sea ABCDEF un hexágono regular, calcule la abscisa del punto D, si la abscisa en el punto H es 5.

E 4

233º – α

X

Trigonometría 24. En el gráfico, calcule

x1 − x2 si BN es bisectriz y y1 − y2

AM altura. Considere 2 = 1, 4.

A) – 9 B) – 8 C) – 6 D) –  5 E) – 4

28. El punto A(3; 9) es uno de los vértices del triángulo ABC y las ecuaciones de dos de sus medianas son L1: y – 6=0, L2: 3x – 4y+9=0. Determine las coordenadas de los otros dos vértices.

B (4; 9)

M (x1;y1)

N (x2; y2)

A (2; 3)



A)

D)

65 9

B)

C (8; 1)

9 13 C) 17 24

35 24 E) 16 13

Introducción a la geometría analítica II

25. Dados los puntos A(– 2; – 3), B(2; 1), C(4; – 9) y M punto medio de BC. La distancia de M al segmento AC es A) 2 B) 2 2 C) 4 D) 4 2 E) 6

26. Sobre las rectas x+y – 4=0 y x – y=0 se encuentran las diagonales de un rombo. Si uno de sus vértices es el origen de coordenadas y la medida de sus diagonales es igual a la medida del lado del rombo, entonces el área del rombo es A) 5 3 D)

B)

A) B(4; 6) y C(2; 4) B) B(1; 6) y C(3; 2) C) B(6; 6) y C(1; 1) D) B(11; 6) y C(1; 3) E) B(6; 6) y C(2; 2)

16 3 C) 6 3 3

9 14 3 E) 3 2 3

UNI 1996 - II

29. Halle la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas L 1: x+2y+1=0 y L 2: 2x+y –1=0 y que es perpendicular a la

cuerda común de las circunferencias c1: x2+y2+3x=0, c2: x2+y2+3y=0. A) 2x+y –1=0 B) y – 2x+3=0 C) 2y+x+1=0 D) x – y – 2=0 E) y+x=0

30. En el plano xy se tiene las rectas paralelas y+2x+4=0 e y+2x – 8=0. Halle la recta equidistante a ellas contenida en el plano xy. A) y+2x –1=0 B) y+2x – 2=0 C) y + 2 x −

2 =0 5

27. Los puntos A(– 2; – 2), B(0; 4) y C(c1; c2) son los

D) y+2x – 3=0

vértices de un triángulo equilátero. Si C esta en el segundo cuadrante, entonces 3 ( c1 + c2 ) es igual a

E) y+2x – 5=0

5

UNI 2005 - I

Trigonometría 31. Sean A(– 2;  1) y B(4; 7) dos vértices de un trián-

34. Sean las funciones f y g con reglas de corres-

gulo ABC, se sabe que las alturas se cortan en

pondencia f(x)=xn, n par y g( x ) = R 2 − x 2 , R constante. Si P y Q son los puntos de corte de las

4 5 el punto P  ;  ; entonces la ecuación de la 3 3

gráficas de f y g siendo a y b los ángulos en posición normal determinados por P y Q, respecti-

recta que pasa por los puntos A y C es

vamente, entonces tana+tanb+cota+cotb es A) 5x – 2y – 27=0 B) 5x+y – 27=0 C) x+2y=0 D) x – 2y=0 E) x+2y – 2=0

igual a

1 1 D) E) 4 4 2

UNI 2007 - I

32. Sean las rectas L1: x – y – 2=0, L2: x – 2y –1=0 y

35. En el gráfico, T, Q y M son puntos de tangencia. Calcule OM(cosa – sena).

L3 con pendiente m > 1, Si L1 es la bisectriz del ángulo formado por L2 y L3, halle m. 5 A) 4

1 1 B) C) 2 2

A) 0

Y 4x+3y – 12=0

5 B) 2 C) 2

M T α

D) 3 E) 4 UNI 1997 - II

Razones trigonométricas de un ángulo en posición normal

33. En el gráfico mostrado, halle tanq+cotq, sa-

O

Q

X

A) 1 D)

biendo que m > 0.

B) 1/5 C) 145

145 E) 5 5

36. En un círculo de radio r=3, se ubica el radio

Y

vector en la posición (x; y) en el instante t=0, después de cinco unidades de tiempo de giro y=mx

constante, el radio vector esta en una posición tal que los valores del seno y del coseno son

θ

...

X

 1 + m2   1 + m2   1 + m2  A) −3  B) −2  C) −     m   m   m  D) −

2m

 m  E) −   1 + m2  1+ m 2

opuestos e intercambiados con respecto a la 3 posición inicial. Si al inicio y > 0 ∧ x = , el án2 gulo de la posición final es ≠ 5≠ ≠ B) C) 6 6 3 7≠ 4≠ D) E) 6 3 A)

UNI 2006 - II

6

Trigonometría 37. Si cosq