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• Dariel Figueroa

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Ejercicios de repaso (Gutierrez Pulido): 17. En una fábrica de envases de vidrio se han tenido problemas con la capacidad de las botellas de 750ml. Con la base en el historial del proceso se sabe que la capacidad media de tal tipo de botellas es de 749 ml. con una desviación estándar de 12.a) Si las especificaciones para la capacidad de las botellas son de 750 ± 10, dé un diagnóstico, calculando los límites reales, sobre el tipo de problemas que se tiene en cuanto al volumen. µ= media, σ= desviación estándar - Límite real inferior (LRI) = µ - 3σ. - Límite real superior (LRS) = µ + 3σ LRI = 749 – 3(12) = 749 – 36 = 713.

LRS = 749 + 3(12) = 749 + 36 = 785.

El problema está en que las especificaciones le dan una tolerancia de 10 a las botellas, no menos de 740 ni más de 760 y los límites claramente ubican valores fuera de lo establecido previamente.

18. De acuerdo con el ejercicio anterior, con el propósito de mejorar la calidad de las botellas en cuanto al volumen, se tienen dos propuestas a nivel experimental. Los datos para cada propuesta están en la tabla 8.4. Tabla 8.4 Propues Volumen de las botellas (ml) tas

A

740

759

740

751

751

751 750

757

744

752

738

743

748

742

761

765 754

733

753

752

751

758

747

753

746

753 766

751

750

744

B

746

744

751

747

748

745 748

743

745

746

744

750

741

745

749

743 748

744

747

742

745

749

738

742

751

743 749

748

744

749

a)Calcule los estadísticos básicos para cada propuesta y comente. Media: Propuesta A : 750.1 , Propuesta B : 745.8 Mediana: Propuesta A : 751 , Propuesta B : 745.5 Desviación estándar : Propuesta A : 7.65 , Propuesta B : 3.14 Coeficiente de variación: Propuesta A : 1.02 , Propuesta B : 0.42 Observando el coeficiente de variación se deduce que la variabilidad de la propuesta A es de 1.02% y el de la propuesta B es de tan solo 0.42%.

b) Calcule una aproximación de los límites reales para cada propuesta y compárelos con los del ejercicio anterior. ¿Se logran mejoras? Ejercicio anterior: LRI: 713 LRS: 785

Propuesta A: LRI: 727.15 LRS: 773.05

Propuesta B: LRI: 736.38 LRS: 755.22

Se nota una mejora con respecto a los limites reales antes calculados y más se nota en la propuesta B.

c) Con base en un histograma en el que inserte especificaciones, describa cada una de las propuestas y elija la que considere mejor.

Propuesta A 14 12

10 8 6 4 2 0 733-739

740-746

747-753

754-760

761-767

Propuesta B 12 10 8 6 4 2 0 738-740

741-743

744-746

747-749

750-752

19. En una empresa se están rediseñando los tiempos de salida y llegada de sus autobuses. En particular se tiene el problema de establecer el tiempo de recorrido entre dos ciudades. A continuación se describe una muestra de estos tiempos:

3.49

3.59

3.69

3.42

3.31

3.60

3.58

3.52

3.04

3.69

3.48

3.66

3.57

3.51

3.61

4.0

3.40

3.53

3.61

3.61

3.24

3.63

3.61

3.51

3.50

3.57

3.53

3.67

3.51

3.24

3.70

3.70

3.50

4.40

3.58

3.20

3.15

3.60

3.50

3.60

3.08

3.28

3.60

3.35

3.32

3.20

a) Realice un histograma para estos datos e interprételo. 4.30 - 4.50

4.09 - 4.29 3.88 - 4.08 3.67 - 3.87 3.46 - 3.66 3.25 - 3.45 3.04 - 3.24 0

5

10

15

20

25

30

Obviamente, observando el comportamiento del gráfico, la empresa debe establecer el tiempo de recorrido entre las dos ciudades aproximadamente entre 3.46 horas y 3.66 horas, ya que la mayoría de sus autobuses cumplen su salida y su llegada entre esos tiempos.

20) Dos máquinas cada una operada por una persona se utilizan para cortar tiras de hule, cuya longitudes ideal es de 200 mm con una tolerancia de más o menos 3. Al final del turno, un inspector toma una

muestra y observa que la longitud cumpla las especificaciones. A continuación se muestran las ultimas 110 mediciones para ambas maquinas. a) Es adecuada la tendencia central de las mediciones? Si puesto que todo los valores están dentro de las especificaciones establecidas en el mandato

b) Calcule la desviación estándar y una aproximación de los límites reales y con base en estos decida si la varianza de los datos es aceptable. La desviación estándar es de 1.15, en base a la media de 199.97, aproximadamente el 80% de los datos se concentran en 199.97 ± 1.15. Por tanto la varianza 1.33 es aceptable.

a) Obtenga un histograma e interprételo. Distribución de frecuencia frecuencias Absolutas

Clases 29-38 38-47 47-56 56-65 65-74 74-83 83-92 total

8 14 3 0 3 14 8 50

Frecuencias Frecuencias Acumuladas Relativas 8 0.16 22 0.44 25 0.5 0 0 28 0.56 42 0.84 50 1 2.5

Histograma N Max. min. Rango Int. Clase

50 91 29 62 9

N=50 N. de clase Int. de clase Media Mediana Rango

7 9 80.375 80.5 62

Varianza Des. Est.

16

17.4107143 4.1726148

Histograma

14 12 10 8 6 4 2 0

d) El proceso de cortado de tiras es capaz de cumplir especificaciones? Cumple con las especificaciones debido a que todos los datos están dentro de la tolerancia, sin embargo tiene gran variabilidad, por tanto se puede mejorar significativamente.

21. En el caso del ejercicio anterior, considerando que los primeros 55 datos corresponden a una máquina, y los últimos 55 a otra, conteste lo siguiente? a) Haga un análisis por separado para cada máquina (tendencia central, variabilidad, histograma). En el primera máquina, la desviación estándar es de 0.62 y la media 200.92; los límites son 199.2 y 202.1; mientras en la segunda maquina tiene una media de 200.92 y una desviación de 0.62; los límites son 197.8 y 200.5. En conclusión las dos máquinas tienen el mismo promedio de mediciones y la desviación es la misma en ambas distribuciones variando solo en los límites.

Máquina 1:

Histograma 16 14

Frecuencia

12 10 8

6 4 2 0 199.2

199.6

200

200.4

200.8

201.2

201.6

202

y mayor...

Clase

Histograma 20 18 16

Frecuencia

14 12

Máquina 2:

10 8 6 4

2 0

197.8

198.2

198.6

199

199.4 Clase

199.8

200.2

y mayor...

b) ¿Cuál es el problema de cada máquina. La primera máquina tiene una distribución normal, mientras que la segunda muestra una variabilidad considerable respecto a las especificaciones.

c) Vuelva a analizar el histograma anterior y vea se de alguna forma se vislumbra lo que detecto con los análisis hechos en este ejercicio. En el primer histograma se encuentran dos máquinas por esto presenta dos picos, en la primera se presenta una distribución normal y en la segunda hay una variabilidad que afecta al conjunto completo de los datos.

22. En un área de servicios dentro de una empresa de manufactura se hace una encuesta para evaluar la calidad del servicio proporcionado y el nivel de satisfacción de los clientes internos. La encuesta consiste en 10 preguntas y cada una de ellas evalúa diferentes aspectos del servicio proporcionado. Las respuestas para cada pregunta es un número entre 0 y 10. Para hacer un primer análisis de los resultados obtenidos se suman los puntos obtenidos de las 10 preguntas para cada cuestionario. A continuación se muestran los puntos obtenidos en 50 cuestionarios.

78 78 82 85 81 86 80 73 84 78 68 84 75 78 76 76 82 85 91 80 70 87 77 82 84 48 49 39 39 43 35 42 34 44 49 34 30 43 31 34 41 42 45 42 35 38 39 42 43 29 a) Analice los datos anteriores y dé una primera opinión sobre la calidad en el servicio. El servicio al cliente en esta compañía es decepcionante. Las puntuaciones son muy bajas lo que refleja obviamente un problema en el servicio.

b) Realice el histograma e interprételo con cuidado

Frecuencia

Histograma 16 14 12 10 8 6 4 2 0

Frecuencia

Clase

Al ver el histograma vemos que los valores etsan muy segregados reflejando la diferencia de opiniones de los clinetes, algunos muy satisfechas y otros se podria decir conformes, pero no se podria afirmar una satisfaccion al 100%

c) Qué es lo más destacado que observa en el histograma? Hay una gran cantidad de clientes insatisfechos y otra concentración conformes.

d) Tendría alguna utilidad hacer un análisis por separado de cada una de las preguntas Sí, porque cada cliente podría expresar con sus palabras la manera que podría satisfacer sus necesidades. Utilizamos este histograma para tener una idea general.

Ejercicios de repaso (James Evans): 5. El refresco New Orleans Punch se vende en latas de 16 onzas. El número medio de onzas en una lata es de 15.8 con una desviación estándar de 0.12 onzas. Suponiendo una distribución normal, ¿qué probabilidad hay de que la máquina llene demasiado una lata, es decir, de que haya más de 16 onzas en una lata? Datos: Latas de 16 onzas µ=15.8 onzas σ=0.12 onzas % latas con más de 16 onzas

15.8

𝑍=

16− 15.8 0.12

16

= 1.67

Z (1.67) = 0.4525 Z = 0.5 – 0.4525 = 0.0475 = 4.75%

6. Georgia Tea se vende en botellas de 2 litros (2 000 mililitros). La desviación estándar es de 15 mililitros. Si el proceso requiere de una probabilidad de 1 por ciento (en total) o menor de un llenado excesivo definido como 1 990 ml, ¿cuál debe ser el significado objetivo para este proceso? Datos Botellas de 2 litros (2000 mililitros) σ = 15 mililitros P= 1%--> menor de un llenado excesivo de 1,990 ml Z=0.01 -> 0.5 - 0.01 = 0.490 𝑍=

𝑋− 𝜇 𝜎

Para P = 0.49, Z = 2.33 µ=X -Zσ µ = 1,990 – (2.33) (15) µ = 1,955.05 La cantidad promedio de mililitros que tienen las botellas es de 1,955.05

7. Se descubrió que las botellas de Outback Beer tienen una desviación estándar de 5 ml. Si 95 por ciento de las botellas contienen más de 230 ml, ¿cuál es el volumen de llenado promedio de las botellas? Datos: σ= 5 ml P= 95% -->más de 230 ml P = 0.5-0.05 = 0.45 Para P = 0.45, Z = -1.65 µ =? 𝑍=

𝑥−µ σ

= 0.95

µ = 230 - (-1.65) (5) µ = 238.25

8. Kiwi Blend se vende en latas de 950 mililitros (ml). El volumen medio de jugo en una lata es de 927.5 ml con una desviación estándar de 15 ml. Suponiendo una distribución normal, ¿qué probabilidad hay de que haya más de 950 ml en una lata? 𝑍=

𝑋− 𝜇 𝜎

Z=(950-927.5)/15= 1.5 P(X>950)=P(Z>1.5)= 1- p(Z