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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA QUIMICA

CURSO: INGENIERÍA DE MATERIALES UNIDAD: I INTEGRANTES: ALVARADO RODRIGUEZ, DIANY ARAUJO JARA, LESLY CALLIRGOS LEYVA, BEATRIZ CAPRISTAN SABINO, EVELYN SEMESTRE: 2020 - I DOCENTE: ING. NELSON FARRO FECHA DE PRESENTACIÓN: LUNES 21 DE JULIO HASTA LAS 23:59 PM

TRUJILLO - PERÚ

2020 1

XRD. DENSIDADES ATÓMICA, LINEAL Y VOLUMÉTRICA. FACTORES DE EMPAQUETAMIENTO

1. El wolframio es BCC y tiene una constante de red a de 0.31648 nm. Calcule

los siguientes espacios interplanares: a) d310 b) d110 c) d220  

Parámetros de red del wolframio es BCC Con la ayuda de la ecuación (4.2) hallaremos los espacios interplanares 𝑑ℎ𝑘𝐿 =

𝑎 ඥℎ 2 + 𝑘 2 + 𝑙 2

a) d310 



Índices de Miller (3 1 0) - H=3 - K=1 - L=0 Constante de red a = 0.31648 nm 𝑑310 =

𝟎. 𝟑𝟏𝟔𝟒𝟖 𝐧𝐦 ඥ32 + 12 + 02

𝑑310 = 0,10008 𝑛𝑚

b) d110 



Índices de Miller (1 1 0) - H=1 - K=1 - L=0 Constante de red a = 0.31648 nm 𝑑110 =

𝟎. 𝟑𝟏𝟔𝟒𝟖 𝐧𝐦 ඥ12 + 12 + 02

𝑑110 = 0,22379 𝑛𝑚

c) d220 



Índices de Miller (2 2 0) - H=2 - K=2 - L=0 Constante de red a = 0.31648 nm 𝑑220 =

𝟎. 𝟑𝟏𝟔𝟒𝟖 𝐧𝐦 ඥ22 + 22 + 02

𝑑220 = 0,11189 𝑛𝑚 2

…Ecuación 4.2

2. Un difractograma para un elemento que tiene una estructura cristalina BCC

o FCC, presenta picos de difracción a los valores de ángulo siguientes: 41.069°, 47.782°, 69.879° y 84.396°. (La longitud de onda de la radiación incidente,  es de 0.15405 nm. a) Determine la estructura cristalina del elemento. b) Determine la constante de red del elemento. c) Identifique al elemento. SOLUCIÓN a) Determine la estructura cristalina del elemento. Primero calcularemos los valores de 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 a partir de los valores de 2𝜃 de los ángulos de difracción.

-

Ángulo 2θ

Ángulo θ

sen 𝜽

𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽

41.069 47.782 69.879 84.396

20.535 23.891 34.940 42.198

0.3508 0.4050 0.5727 0.6717

0.1230 0.1640 0.3280 0.4512

A continuación calcularemos la relación entre 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑑e los ángulos primero y segundo. 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 0.1230 = = 0.75 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 0.1640 

los

valores

de

La estructura cristalina es FCC debido a que la relación es de 0.75. Si la relación hubiera sido 0.5, la estructura sería BCC.

b) Determine la constante de red del elemento.  Reordenando la ecuación 3.12 del libro de Smith y Hashemi despejamos a2. 𝜆 ℎ2 + 𝑘 2 + 𝑙 2 𝑎= √ 2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 PRIMER PLANO FCC (APÉNDICE I)

{111} H K L 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝛉 λ

1 1 1 0.1230 0.15405 nm

0.15405 12 + 12 + 12 √ 𝑎= 2 0.1230 𝑎 = 0.38036𝑛𝑚

3

c) Identifique al elemento.  Para identificar el elemento, se tendrá que hallar el radio atómico de la estructura del cristal cubico centrado en las caras

𝑎0 =

4𝑟 ඥ2

TABLA N° 4 De la separata brindada en clase Estructura del cristal cubico centrada en las caras. (FCC) 𝑎0 =

4𝑟 ඥ2

0.38036𝑛𝑚 =

4𝑟 √2

𝑟 = 0.13448 𝑛𝑚

TABLA 4.6, De la separata brindada en clase- Radio atómico 

El elemento es el Rodio ya que su estructura es FCC y tiene un parámetro de red de 0.380 nm y radio 0.13448 nm

3) Calcule la densidad atómica lineal en átomos por milímetro para el vanadio, BCC, que tiene una constante de red de 0.3039 nm en las direcciones siguientes: a) [100], b) [110], c) [111]. Ecuación densidad atómica lineal: 𝜌𝐿 =

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑙í𝑛𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙í𝑛𝑒𝑎

𝜌𝑙 =

1𝑎𝑡𝑜𝑚 (0.3039𝑛𝑚)(

4

=

10−9𝑚 103𝑚𝑚 )( ) 𝑛𝑚 𝑚

3.29𝑥106 𝑎𝑡𝑜𝑚/𝑚𝑚

𝜌𝑙 =

1𝑎𝑡𝑜𝑚 (√2)(0.3039𝑛𝑚)(

𝜌𝑙 =

10−6𝑚𝑚 ) 𝑛𝑚

= 2.33𝑥106 𝑎𝑡𝑚/𝑚𝑚

2𝑎𝑡𝑜𝑚 10−6𝑚𝑚 (√3)(0.3039𝑛𝑚)( ) 𝑛𝑚

=

3.80𝑥106 𝑎𝑡𝑜𝑚/𝑚𝑚

4) Calcule la densidad atómica planar en átomos por milímetro cuadrado para los siguientes planos cristalinos en el cromo, BCC, con una constante de red de 0.28846 nm: a) (100), b) (110), c) (111).

Ecuación densidad atómica planar: 𝜌𝑃 =

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑒𝑙𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎 á𝑟𝑒𝑎 𝑠𝑒𝑙𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎

𝜌𝑃 =

1 (0.28846𝑥10−9 𝑚)2 = 1.202𝑥1019 á𝑡𝑜𝑚/𝑚2 (

𝑚 )2 1000𝑚𝑚

𝜌𝑃 = 1.02𝑥1013 𝑎𝑡𝑜𝑚 /𝑚𝑚2 1á𝑡𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 + 4 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎𝑠 ( = 2á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠

1 )𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎) 4𝑎𝑡𝑜𝑚𝑜

Á𝑟𝑒𝑎 = (√2𝑎)(𝑎) = √2𝑎 𝜌𝑃 =

2á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠 √2(0.28846𝑥10−9 𝑚)2

=(

1.699𝑥1019 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠

𝜌𝑝 = 1.699𝑥1013 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠/𝑚𝑚2 5

2

𝑚2

)(10−6 𝑚2 /𝑚𝑚2 )

1 á𝑡𝑜𝑚𝑜 2 Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑎√2

𝑎√6 1 2 2

𝑎2 √12 4 (0.28846𝑥10−9 𝑚)2 √12 Á𝑟𝑒𝑎 = 4 Á𝑟𝑒𝑎 = 0.07206𝑥10−18 𝑚2 Á𝑟𝑒𝑎 =

1 átomo átomos átomo 2 ρp = = 6.94x1018 = 6.94x1012 −18 2 2 0.07206x10 m m mm2

5) El torio, tiene la estructura FCC y un átomo por punto de red. Su densidad es de 11.72 g/cm3 y su peso atómico es de 232 g/mol. Calcule (a) el parámetro de red y (b) el radio atómico del torio. a) Calculando el parámetro de red Datos de la tabla 4.0 Cantidad de átomos en FCC: 4 átomos Se calcula el 𝑎0 presente en el volumen de la celda

 =

(𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠/𝑐𝑒𝑙𝑑𝑎)(𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑎𝑡ó𝑚𝑖𝑐𝑜) (𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑙𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎)(𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝐴𝑣𝑜𝑔𝑎𝑑𝑟𝑜) 𝑔 (4 á𝑡𝑜𝑚𝑜𝑠)(232 𝑚𝑜𝑙 ) 𝑔 11.72 3 = 𝑎𝑡𝑚 𝑐𝑚 (𝑎0 )3 (6.022 𝑥 1023 𝑚𝑜𝑙 ) (𝑎0 )3 = 1.3149 𝑥 10−22 𝑐𝑚3 𝑎0 = 5.085 𝑥 10−8 𝑐𝑚

b) Calculando el radio atómico del Torio Con la tabla 4.0 El parámetro para FCC 𝑎0 =

4𝑟 √2

5.085 𝑥 10−8 𝑐𝑚 = 6

4𝑟 √2

𝑟 = 1.798 𝑥 10−8 𝑐𝑚 ANÁLISIS XRD EN LA MEDICIÓN DE LOS PARÁMETROS DE RED Y LOS RADIOS ATÓMICOS

Ejercicio 3.86 Smith & Hashemi Una muestra de un metal BBC se coloca en un difractómetro de rayos X utilizando rayos X de longitud λ = 0.1541nm. La difracción de los planos (221) se obtiene a 2θ = 88.838°. Calcule un valor para la constante de red a para este metal BBC. (Suponga una difracción de primer orden, n=1). 

Con la ecuación de Bragg 𝑛 = 2𝑑ℎ𝑘𝑙 sin() (1)(0.1541 𝑛𝑚) = 2 𝑑ℎ𝑘𝑙 sin (

88.838° ) 2

𝑑ℎ𝑘𝑙 = 0.1101 𝑛𝑚 𝑎

𝑑ℎ𝑘𝑙 =

√ℎ2 + 𝑘 2 + 𝑙 2 𝑎 0.1101 𝑛𝑚 = √22 + 22 + 12 a = 0.3303 nm Ejercicio 3.89 Smith & Hashemi Un difractograma para un elemento que tiene una estructura cristalina BCC o FCC presenta picos de difracción a los valores de ángulo 2θ siguientes: 38.68°, 55.71°, 69.70°, 82.55°, 95.003° y 107.67°. (La longitud de onda de la radiación incidente λ es de 0.15405 nm.) a) Determine la estructura cristalina del elemento. b) Determine la constante de red del elemento. c) Identifique al elemento. SOLUCIÓN: a) Determinando la estructura cristalina del elemento Primero calcularemos los valores de 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 a partir de los valores de 2𝜃 de los ángulos de difracción. Ángulo 2θ 38.68 55.71 69.70

Ángulo θ 19.34 27.855 34.85

senθ 0.331 0.467 0.571 7

sen2θ 0.1097 0.2183 0.3265

82.55 41.275 0.659 0.4352 95.003 47.5 0.737 0.5436 107.67 53.835 0.807 0.6418  A continuación, se calcula la relación entre los valores sen2θ de los ángulos primero y segundo 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 0.1096 = = 0.50 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 0.2183 ∴ La estructura cristalina es BCC ya que la relación es de ≈ 0.50 si la relación hubiera sido ≈ 0.75, la estructura sería FCC b) Determinando la constante de red Reordenando la ecuación 3.12 y despejando a2 se obtiene 𝜆 ℎ2 + 𝑘 2 + 𝑙 2 𝑎= √ 2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 PRIMER PLANO BCC

{110} H K L 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 λ

1 1 0 0.1096 0.15405 nm

De la Tabla 4.1



Sustituimos con el primer índice de Miller de los primeros seis planos en la estructura bcc, (h=1, k=1, l=0)

𝜆 (ℎ2 + 𝑘 2 + 𝑙 2 ) 𝑎𝑜 = √ 2 𝑠𝑒𝑛2 𝛳

8

𝑎=

0.15405 12 + 12 + 02 √ 2 0.1096 𝑎 = 0.3290nm

c) Identificando el elemento  Para identificar el elemento, se tendrá que hallar el radio atómico de la estructura del cristal cubico centrado en el cuerpo.

TABLA N° 4 De la separata brindada en clase Estructura del cristal cubico centrada en el cuerpo (BCC) 𝑎=

𝑟=



4𝑟 √3

0.3290 𝑛𝑚 ×√3 4

=

0.1425 𝑛𝑚

El elemento es el Tantalio ya que su estructura es BCC y tiene un parámetro de red de 0.3290 nm y radio 0.1425 nm

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