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• Gustavo Sarmiento Vargas

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PRÁCTICA En los siguientes problemas se da una función f y un punto P sobre su gráfica. a) Encuentre la pendiente de la recta secante PQ para cada punto Q  ( x, f ( x )) cuyo valor x está dado en la tabla, Redondee sus respuestas a cuatro decimales. b) Use sus resultados para calcular la pendiente de la línea tangente en P . 1. f ( x)  x 3  3 , P  ( 2,11) 3 2.5 2.2 2.1 2.01 2.001 Valor x de Q m PQ 2.

1

0.5

f ( x) 

0.2

0.1

13  x 4 3

5.

f ( x )  4 x 3

6.

f (q) 

7.

f ( x) 

9x 2  9x 2 9 x 6  x 5  x 2

q (5  6q  34 q )

7x3  x 2 x x5 f ( x)  ( x  2)( x  4)

t 2  3t (t 2  1)(t 3  7) x5 10. f ( x )  ( x  2)( x  4) 9.

f (t ) 

11. y  ( x 2  3 x  2)((2 x 2  x  3) 12. h( x )  ( x  3 x  1)( 4 x  2 x ) 13. y  3( x 3  8 x 2  x )100 3

14. y  2 ( x  1) 5

2

15. y 

5x 2  2x

16. y 

x2 x3

17. y  ( 2 x  3) 3 e 2 x  4 18. y  x 2 ln(4 x  3) 19. y 

dy dx

25. xy  y 3  4 x  5 26. 2 x 3 y 3  x  9 27. x 2  y 2  4e x  y

0.01

0.001

30. Si x  xy  y 3  7 , encuentre dy / dx en (1,2) x y  1  y x  1 , encuentre dy / dx en 31. Si

(3,3)

4. h( x)  4 x 4  x 3 

8.

En los siguientes problemas halle

29. x 3 / 4  y 3 / 4  4

En los siguientes problemas halle la derivada de las siguientes funciones. 3.

24. y  ln( x 2 x  1)

28. (1  e 3 x ) 2  3  ln( x  y )

f ( x )  e 2 x , P  (0,1)

Valor x de Q m PQ

ex 1 ex 1 ex 1 23. y  ln( x ) e 1 22. y 

x2 1 ln x

20. y  ln( x  1  x 2 ) 21. y  x 3 e  x

2

32. Encuentre la ecuación de la línea tangente a la curva x 3  y 2  3 en el punto (1,2) 33. Encuentre la ecuación de la recta tangente y  x 2  6 x  4 en x  1 34. La función de costo total de una planta de energía eléctrica es c  16.68  0.125q  0.00439q 2 , 20  q  90 donde q es la producción total en 8 horas (como porcentaje de la capacidad) y c es el costo total del combustible en dólares. Encuentre la función de costo marginal y evalúela en q  70 35. Los ahorros S de un país se definen implícitamente en términos de su ingreso nacional I por medio de la ecuación S 2 

1 2 I  SI  I donde S e I están 4

en miles de millones de dólares. Encuentre la propensión marginal al consumo cuando I  16 y

S  12

r

36. Para cierto fabricante, el ingreso obtenido al vender q unidades de un producto está dado por r  30q  0.3q 2

a) ¿Qué tan rápido cambia r con respecto a q ? b) Cuando q  10 encuentre la razón de cambio relativo de

r

c) Encuentre la razón de cambio de

r

al porcentaje más cercano. d) Repita el problema para la función de ingreso r  20q  0.1q 2 y q  100 37. Un fabricante de bicicletas de montaña encontró que cuando se producen 20 bicicletas por día, el costo medio es de $150 y el costo marginal de $125: Con base a esta información, determine el costo total de producir 21 bicicletas por día. 38. Suponga que la función de consumo de un país está

10 I  0.7 I 3  0.2 I donde I e I están en miles de millones de dólares. dada por c 

c

a) Encuentre la propensión marginal al ahorro cuando el ingreso es de 25 000 millones de dólares. b) Determine la razón de cambio relativa de c con respecto a I cuándo el ingreso es de 25 000 millones de dólares. 39. El costo de producir q unidades de un producto está dado por c  4000  10q  0.1q 2 . Si el precio p está dado por la ecuación q  800  2.5 p . Encuentre la razón de cambio del costo con respecto al precio por unidad cuando p  80 40. Para el producto de un monopolista, la función de demanda es p  72  0.04q y la función de costo es c  500  30q . ¿A qué nivel de producción se maximiza la utilidad? ¿A qué precio ocurre esto y cuál es la utilidad? 41. Para el producto de un monopolista la ecuación de demanda es p  42  4q y la función de costo _

promedio es c  2 

80 . Encuentre el precio que q

maximiza la utilidad. 42. Un fabricante puede producir cuando mucho 120 unidades de cierto artículo cada año. La ecuación de demanda para ese producto es p  q 2  100q  3200 y la función de costo promedio del fabricante es _

c

43.

44.

45.

46.

47.

2 2 10000 q  40 q  . 3 q

Determine

la

producción q que maximiza la utilidad y la correspondiente utilidad máxima. Los costos totales fijos de una empresa son de $1200, los costos combinados de material y trabajo son de $ 100 2 por unidad y la ecuación de demanda es p  q ¿Qué nivel de producción maximizará la utilidad? Demuestre que esto ocurrirá cuando el ingreso marginal sea igual al costo marginal. ¿Cuál es el precio cuando la utilidad es máxima? Una empresa de cable de televisión tiene 4800 suscriptores que pagan cada uno $18 mensuales, puede conseguir 150 suscriptores más por cada $0,50 menos en la renta mensual. ¿Cuál será la renta que maximice el ingreso y cuál será este ingreso? Un fabricante de recipientes está diseñando una caja sin tapa y con Base cuadrada, que debe tener un volumen de 32 pies cúbicos. Para que la caja requiera de una cantidad mínima de material. ¿Qué dimensiones debe tener la caja? Un fabricante tiene que producir anualmente 1000 unidades de un producto que se vende a una razón uniforme durante el año, El costo de producción de cada unidad es $10 y los costos de inventario (seguro, interés, almacenamiento, etc.) se estiman iguales al 12.8% del valor del inventario promedio. Los gastos de operación por periodo de producción son de $40. Encuentre el tamaño económico del lote. Una empresa fabrica diariamente x toneladas del producto químico A ( x  4) y y toneladas del producto químico B con y 

24  6 x . La utilidad 5 x

con A es de $ 2000 por tonelada y con B es de $ 1000 por tonelada. ¿Cuántas toneladas de A deben producirse por día para maximizar la utilidad? Responda la misma pregunta si la utilidad con A es de P por tonelada y con B es de P/2 por tonelada. 48. La función de demanda para cierto bien está dado por p  10e  x / 6 , para 0  x  10 , donde p es el precio por unidad y x el número de unidades pedidas. a) Encuentre el número de artículos vendidos que maximizan el ingreso total. b) ¿Cuál es el precio que produce el ingreso máximo? c) ¿Cuál es el monto de este ingreso máximo? 49. La demanda y la función de costo total de un monopolista son p  12  4q y c (q )  8q  q 2 . Si se grava con un impuesto t por unidad, encuentre: a) La cantidad q y el precio p que corresponden a la utilidad máxima. b) La utilidad máxima. c) El impuesto, t , por unidad que maximiza el ingreso por impuestos del gobierno. 50. Una compañía cría pollos asaderos. Si los pollos se venden a los t meses, la utilidad de la venta de cada pollo es de P (t )  0.2e 0.06 t dólares. El valor presente de esta utilidad es P (t )e 0.01t , si la tasa de descuento nominal es 1% mensual. ¿A los cuántos meses deben venderse los pollos para maximizar ese valor presente? 51. El modelo matemático de Jenss (1937) constituye una de las fórmulas empíricas más precisas para pronosticar la estatura h (en centímetros) en términos de la edad t (en años) para niños en edad preescolar (de 3 meses a 6 años): a) ¿Qué estatura pronostica este modelo para un niño de 2 años? b) ¿Cuán rápido crece en estatura un niño de 2 años? c) Use una calculadora o un SAC para obtener la gráfica de h sobre el intervalo d) Use la gráfica del inciso c) para estimar la edad de un niño en edad preescolar que mide 100 cm de estatura. 52. Se estima que el precio de mercado de un cierto producto ganadero durante el año próximo vendrá dado por la función p (t )  2(t  1)(t  13) , t  [0,12] , donde la variable t representa el tiempo medido en meses. Por otra parte, el coste de producción de dicho producto viene dado por c(t )  4  20 ln(1  t ) . Se desea calcular cuál es el momento óptimo para poner a la venta el producto obteniendo el máximo beneficio posible.

Msc. Waymer A. Barreto Vega