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• Angie B. Luna

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Practica 7: Análisis en el dominio de la frecuencia Table of Contents ........................................................................................................................................ 1 1. Diagrama de Bode ........................................................................................................... 1 2. Diagrama de Nyquist ....................................................................................................... 4 3.Compensadores en frecuencia: ........................................................................................... 10 Adelanto-Atraso ................................................................................................................ 10 Atraso-Adelanto ................................................................................................................ 16 Análisis ............................................................................................................................ 18 Análisis ............................................................................................................................ 19 Análisis ............................................................................................................................ 23 Conclusiones ..................................................................................................................... 24 Bibliografía ...................................................................................................................... 24

ESTUDIANTES: Cindy Tatiana Flórez Misas Luisa Fernandez Madrid

1. Diagrama de Bode Para los sistemas G1a y G1b: a) Obtener el Diagrama de Bode del G1a. b) Obtener el Diagrama de Bode del G1b con un rango de frecuencias entre [10^-1, 10^-2] y con 101 puntos de referencia. ¿Qué sucede? ¿Cómo se puede solucionar? Analizar ambos ítems en términos de ganancia y fase. a). G1a=tf([1 7], [1 4 8]); bode(G1a)

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Practica 7: Análisis en el dominio de la frecuencia

Al observar la gráfica tanto de magintud como de fase, se evidencia comportamiento típico de filtro pasabajas de segundo orden. en las frecuencias bajas hay una ligera disminución de la ganacia, alrededor de -1dB, hasta que sobrepasa la frecuencia de corte y luego las atenúa aún más. En términos de fase, esta disminuye de forma más rápida cuando sobre pasa la frecuencia de corte hasta que llega a una fase máxima (sin la presencia de zeros llegaría hasta -180° aproximadamente). b) G1b=tf([1 0 10],[1 25 150]); logs=logspace(-1,2,101); bode(G1b,logs) %el logspace sirve para demilitar el eje de frecuencias, %en este caso, en términos logarítmicos y también modificar la cantidad de %muestras o puntos

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Como los dos ceros presentes de la función de transferencia en lazo abierto se encuentran en el eje imaginario (zeros imaginarios puros)el sistema presenta una discontinuidad para esa frecuencia de corte específica, 3.16 o raiz de 10. Una solución sería modificar la función de transferencia, cambiando los zeros por zeros reales y/o, de forma gráfica, por medio del comando losgpace, aumentar el número de puntos de muestreo, por tanto, en vez de 101 puntos de referencia se modifica a un muestreo mayor (en este caso 1000 puntos), por lo tanto el bode queda de la siguiente manera: G1b=tf([1 0 10],[1 25 150]); logs=logspace(-1,2,1000); bode(G1b,logs);

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Para ver la ubicación de los zeros se puede usar el comando zeros, así: zero(G1b)

ans = 0.0000 + 3.1623i 0.0000 - 3.1623i

2. Diagrama de Nyquist a) Representar el Diagrama de Nyquist para la siguiente función de transferencia: G2a b) Dado un sistema realimentado con la siguiente función de transferencia en lazo abierto: G2b - Para K = 12 representar el Diagrama de Bode y Nyquist. - Estudiar la estabilidad del sistema, margen de ganancia y de fase. - En el caso crítico de oscilación pura, encontrar el valor de K y la frecuencia de oscilación crítica. a) G2a= tf([12 48],[1 5 30]); %Ft relacionada nyquist(G2a)

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b) K=12 G2b=tf([K 15*K],[1 8 10 4]); feedy=feedback(G2b,1); step(feedy); allmargin(G2b)

K = 12

ans = GainMargin: GMFrequency: PhaseMargin: PMFrequency: DelayMargin: DMFrequency: Stable:

[0.9048 Inf] [4.5671 Inf] -1.2746 4.7786 1.3102 4.7786 0

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Con el allmargin y la respuesta del sistema a la entrada nos damos cuenta de que el sistema presenta inestabilidad para el K determinado. Por medio del comando rltool podemos encontrar el valor de K crítico que hace que el sistema se vuelva M.E (marginalmente estable) Bode y Nyquist del sistema inestable: bode(G2b)

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nyquist(G2b)

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Practica 7: Análisis en el dominio de la frecuencia

Los otros dos factores que podemos mostrar para analizar estabilidad son el margen de fase y de ganancia: El Margen de Ganancia posee dos valores de frecuencia de cruce de fase para los cuales este valor es igual (0.90 e inf), y si se toma el primer valor el sistema estaría muy cerca de ser M.E (que requiere un MG=0), sin embargo, el "culpable" de la inestabilidad es el Margen de Fase, es cual viene siendo negativo (-1.27) lo que quiere decir que a la frecuencia de cruce de ganancia, que hace que el sistema tenga una ganancia de 0dB, posee una fase menor a -180°,lo que al final, se traduce en inestabilidad. Nótese que para la constante K requerida en este numeral, a pesar de la inestabilidad el sistema, éste está cercano a ser M.E, así que modificaremos el valor de K para buscar ese límite de estabilidad. Mediante los cálculos realizados según el criterio de estabilidad de Nyquist, el K que hace que el sistema se comporte M.E tiene un valor de K=9.95, el cuál será multiplicado a la función de transferencia (en vez de K=12)y de nuevo, con allmargin y la respuesta al impulso podremos mirar los cambios: Kc=9.899; G2bc=tf([Kc 15*Kc],[1 8 10 4]); feedy=feedback(G2bc,1); step(feedy); allmargin(G2bc)

ans = GainMargin: GMFrequency: PhaseMargin: PMFrequency: DelayMargin:

[1.0969 Inf] [4.5671 Inf] 1.2244 4.3786 0.0049

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Practica 7: Análisis en el dominio de la frecuencia DMFrequency: 4.3786 Stable: 1

nyquist(G2bc)

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3.Compensadores en frecuencia: Diseñe un compensador adelanto-atraso Gc(s) tal que la constante de error estático de velocidad sea de 10 seg^-1, el margen de fase sea de 50° y el margen de ganancia sea de 10 dB o más. Presente los diagramas de Bode, Nyquist y la respuesta a la rampa, tanto del sistema sin compensar como del compensado y analice los cambios al sistema. G3=tf([1],[1 5 4 0]); %Funcion de transferencia del sistema a compensar

Adelanto-Atraso con K=40, necesaria para que el sistema cumpla el error estático de velocidad requerida, genera en el sistema inestabilidad por lo que es necesario compensar. Con allmargin se observa precisamente aquella inestabilidad. G3s=tf([40],[1 5 4 0]);%FT original multiplicada por K allmargin(G3s)

ans = GainMargin: 0.5000 GMFrequency: 2.0000 PhaseMargin: -15.0110

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Practica 7: Análisis en el dominio de la frecuencia PMFrequency: DelayMargin: DMFrequency: Stable:

2.7797 2.1661 2.7797 0

G3cd=tf([48.4 40],[0.02057 1]); %Ft de compensación sólo de adelanto G3td=series(G3,G3cd); %Ft total (original+compensador adelanto) G3c=feedback(G3,1); %se debe cerrar el lazo de realimentación para obtener %la respuesta a la rampa G3tdc=feedback(G3td,1); %respuesta de ambos sistemas a la rampa t=0:0.01:100; lsim(G3c,t,t);hold on;lsim(G3tdc,t,t); legend('Original','Original+Adelanto'); hold off;

allmargin(G3td)

ans = GainMargin: 4.5556 GMFrequency: 14.2673 PhaseMargin: 26.2360

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Practica 7: Análisis en el dominio de la frecuencia PMFrequency: DelayMargin: DMFrequency: Stable:

6.3617 0.0720 6.3617 1

El error en estado estacionario del sistema compensado es menor que el sistema sin compensar, esto es debido al factor K hallado el cual mejoró este parámetro, aunque alteró la estabilidad del sistema,además, el margen de ganancia y la frecuencia de fase no estan cerca de las requeridas, por tanto debemos aplicar un compensador mas, en este caso, de atraso: %logs=logspace(-1,2,1000); %bode(Gt3,logs) %usamos esto para poder hallar el ángulo de compensación %necesario, para así obtener la frecuencia de ganancia. G3a=tf([40 1],[168.8 1]); %compensador de atraso G3tda=series(G3td,G3a); %FT adelanto-atraso G3tdac=feedback(G3tda,1); Para una mejor visualización usaremos la respuesta al escalón para observar los efectos en la respuesta transitoria: step(G3c);hold on;step(G3tdc);hold on; step(G3tdac,'g'); legend('Original','Original + Adelanto','Original Adelanto-Atraso'); hold off;

El sistema original de hecho era estable, pero no cumplía con los parámetros que se necesitaban y ya vimos anteriormente que al multiplicar por K el sistema se volvía inestable. Al aplicar el compensador

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Practica 7: Análisis en el dominio de la frecuencia de adelanto vemos una disminución del factor de amortiguamiento por lo que las oscilaciones en el estado transitorio son mayores,aunque el tiempo de asentamiento disminuye considerablemente; Una vez diseñado el compensador total observamos una mejor respuesta que con solo adelanto, las oscilaciones son menores así como el sobreelongamiento. El sistema mejoró su estado transitorio, almenos en términos del tiempo de asentamiento en comparación con el sistema original, y ahora cumple con el margen de fase y ganancia pedidos. %Respuesta a la rampa t=0:0.01:100; lsim(G3c,t,t); hold on;lsim(G3tdc,t,t);lsim(G3tdac,t,t); legend('Original','Original+Adelanto','Original+Adelanto-Atraso'); hold off;

Debido a que el K hallado fue el necesario para disminuir el error en estado estacionario, el efecto como tal del compensador Adelanto-Atraso no fue tan determinante en este parámetro, por lo que, al compararlo tanto el sistema con solo adelanto con el de Adelanto-Atraso, no hubo un cambio significativo en el margen de error, por que la K ya estaba incluida en este compensador, el compensador tuvo un mayor efecto fue en el margen de ganancia y de fase. allmargin(G3tda)

ans = GainMargin: 19.1297 GMFrequency: 14.2321

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Practica 7: Análisis en el dominio de la frecuencia PhaseMargin: PMFrequency: DelayMargin: DMFrequency: Stable:

59.3992 2.3979 0.4323 2.3979 1

Bode de los sistemas sin compensar y ya compensado bode(G3);hold on; bode(G3tda); legend('Original','Original+Adelanto-Atraso'); hold off;

Nyquist ambos sistemas nyquist(G3); legend('Sin compensar');

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Practica 7: Análisis en el dominio de la frecuencia

nyquist(G3tda,'m'); legend('Compensador Adelanto-Atraso');

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Practica 7: Análisis en el dominio de la frecuencia

En el diagrama de bode, podemos ver que la ganancia máxima aumentó, debido al K agregado al sistema, y la tendencia de la gráfica sigue siendo la misma, al trazar las frecuencias de cruce de ganancia y fase tambien se puede confirmar que generan unos márgenes de ganancia y fase positivas, característicos de un sistema estable. La fase del sistema, al modificar la frecuencia de cruce de fase tambíen, genero algunos cambios en la fase, aunque su tendencia es similar, y es menor al del sistema original. Para Nyquist los ordenes de magnitud entre el sistema original y el compensado son realmente considerables: como el orden del sistema total es mayor al original entonces generan mayores cambios respecto al valor de la asíntota vista en el diagrama (mayor a -1200). No obstante, para analizar la estabilidad debemos saber cuantas veces el contorno del diagrama pasa por -1, según la fórmula N=Z-P, para este caso N=0, por lo que el contorno no debe girar alrededor de -1, lo cual no debe hacer. Con el comando allmargin podemos saber que este sistema es estable por lo tanto el contorno no encierra a -1.

Atraso-Adelanto Ahora vamos a diseñar un compensador Atraso-Adelanto, y al final compararlo con el hecho previamente: G3=tf([1],[1 5 4 0]);%FT Original G3a=tf([400 40],[211.3 1]);%FT atraso, hallada con el bode del original y % el valor obtenido para margen de ganancia con el comando allmargin G3ta=series(G3,G3a); %Ft original+compensador de atraso. G3tac=feedback(G3ta,1); allmargin(G3ta)

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Practica 7: Análisis en el dominio de la frecuencia ans = GainMargin: GMFrequency: PhaseMargin: PMFrequency: DelayMargin: DMFrequency: Stable:

9.3058 1.8772 47.7406 0.4413 1.8883 0.4413 1

Para la margen de fase se necesita un poco más para poderla tener con el valor deseado, por ello también debemos aplicar el compensador de adelanto. Nótese que a diferencia de la configuración anterior (adelanto -atraso) con sólo aplicar el compensador de atraso se pudo casi que obtener los parámetros deseados. Conociendo el nuevo margen de ganancia y la margen de fase de el sistema con atraso, se usará para obtener el de adelanto: %bode(G3ta,logs); G3d=tf([2.37 1],[1.525 1]); %Nuevo compensador de adelanto G3tad=series(G3ta,G3d);%FT total (original+compensador adelantoatraso) allmargin(G3tad)

ans = GainMargin: GMFrequency: PhaseMargin: PMFrequency: DelayMargin: DMFrequency: Stable:

8.0672 2.1504 57.0120 0.5268 1.8888 0.5268 1

Como se puede evidenciar, el sistema ahora posee los parámetros deseados, Ahora, para hacer un mejor análisis vamos a ver las diferencias en la respuesta transitoria al observar la respuesta al escalón para el sistema sólo con atraso y luego con el compensador completo: G3tadc=feedback(G3tad,1);%realimentación unitaria step(G3c);hold on;step(G3tac);step(G3tadc); legend('Original','Original+Atraso','Original+Atraso-Adelanto'); hold off;

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Análisis %Respuesta a la rampa para el sistema con compensador Atraso-Adelanto t=0:0.01:100; lsim(G3c,t,t); hold on;lsim(G3tadc,t,t); legend('Original','Original+Atraso-Adelanto'); hold off;

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Análisis bode(G3);hold on; bode(G3tad); legend('Sin compensar','Compensado'); hold off;

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nyquist(G3); legend('Original');

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Practica 7: Análisis en el dominio de la frecuencia

nyquist(G3tad,'m'); legend('Original+Atraso-Adelanto');

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Practica 7: Análisis en el dominio de la frecuencia

Finalmente, haremos la comparación de la respuesta de las dos configuraciones para observar el comportamiento ante el escalón unitario y a la rampa: step(G3c);hold on;step(G3tdac);step(G3tadc); legend('Original','Adelanto-Atraso','Atraso-Adelanto'); hold off;

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Practica 7: Análisis en el dominio de la frecuencia

Análisis t=0:0.01:100; lsim(G3c,t,t); hold on;lsim(G3tdac);lsim(G3tadc,t,t); axis([99 100.5 99 100.5]); %para efectos visuales se usa el axis para % observar mejor las diferencias. legend('Original','Adelanto-Atraso','Atraso-Adelanto'); hold off;

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Practica 7: Análisis en el dominio de la frecuencia

Conclusiones - Los diagrama de Bode son útiles si se quiere analizar las frecuencias y fases de un sistema respecto a las frecuencias que este puede tomar, se usan mayormente en temas de filtrado de señales, aunque también para análisis de estabilidad. Nyquist es similar, solo que usa coordenadas polares para visualizar el comportamiento de los sistemas ante diversas frecuencias, y dependiendo de la situación también puede ser más ilustrativo en cuanto a estabilidad. - A veces, si se quiere mejorar el error en estado estacionario basta con modificar la constante K del sistema, sin embargo esto puede generar inestabilidad por lo que se requiere cuidado. Aunque la mejor manera para ello es aplicar un compensador de atraso y así se puede evitar modificar sustancialmente el sistema. - Si se quiere alterar varios parámetros sin alterar la estabilidad del sistema (o si ya estaba inestable desde el inicio), lo mejor es usar compensadores tanto de atraso como de adelanto, ya que se puede mejorar tanto la respuesta en estado transitorio como la permanente. la configuración más eficiente de un compensador combinado es la de Adelanto-Atraso, ya que mejoró mucho el tiempo en estado transitorio, en comparación con el de Atraso-Adelanto, y la diferencia de ambos en el error en estado estacionario es mínima. Lu trata de agregar otra conclusión más porfis :3

Bibliografía Published with MATLAB® R2015b

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