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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS (Universidad del Perú, Decana de América) FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y ELECTRICA Escuela Profesional de Ingeniería Electrónica Curso: Probabilidad y Estadística Profesores: Lic. Gregoria Natividad Ramón Quispe. Lic. Heráclides Carlos Dávila.

Práctica N°6 Agosto - Diciembre 2018 Semestre: 2018-II

Práctica 3 de Inferencia Estadística (Variable aleatoria Continua) 1.

Supongamos que la densidad de la variable aleatoria Z, el número de centímetros cúbicos de un fármaco que han de prescribirse para el control de ataques epilépticos, es como la representada en la figura 5 .4a.

. a) Halle la altura del triángulo. b) Halle la función de densidad de Z. c) Utilice esta información para calcular la probabilidad de que deban prescribirse al menos 0.2 cc del fármaco para controlar los ataques. d) Calcular la probabilidad de que deban prescribirse por lo menos 0,1 cc de fármaco. e) Calcular la probabilidad de que deban prescribirse entre 0. 1 y 0.2 cc de fármaco. f) Calcule aproximadamente la dosis media requerida para el control de ataques epilépticos

2.

Sea X el tiempo de supervivencia en años después de un diagnóstico de leucemia. La Figura 5.6 muestra la densidad de X. a) Halle la función de densidad del tiempo de supervivencia en años después de un diagnóstico de leucemia. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el paciente sobreviva menos de 6 meses? c) ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente sobreviva por lo menos 6 meses? d) ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente sobreviva exactamente 6 meses? e) Calcule cuanto sobrevive en promedio un paciente después de un diagnóstico de leucemia.

3.

La comunicación por vía química es una práctica corriente entre los animales. Gran parte de la comunicación entre los insectos se hace mediante hormonas liberadas al exterior, llamadas feromonas. Dichas hormonas las emplean las hormigas para marcar su paso, de modo que, arrastrando su abdomen por el suelo, pueden ir desde su nido hasta una fuente de alimento y regresar, dejando tras ellas una pista química. Cuando ya no queda alimento, las hormigas que utilizan la pista dejan de producir marcadores y ésta desaparece. La Figura 5.7 representa la densidad de X entendida como el tiempo en minutos que la pista de feromonas persiste después de la última secreción hormonal. a) Halle la función de densidad del tiempo en minutos que la pista de feromonas persiste después de la última secreción hormonal. b)

¿Cuál es la probabilidad representada por el área sombreada?

c)

¿Cuál es la probabilidad de que la pista se mantenga entre 1 y 2 minutos?

d)

¿Cuál es la probabilidad de que la pista persista durante más de 3 minutos?

e)

¿Cuál es la probabilidad de que la pista permanezca durante 2 minutos exactos?

f)

¿Cuál es el promedio de tiempo durante el cual persiste la pista?

4.

Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad

1  xk 6 0 f(x) =  a) Hallar k b) Hallar P (1  x  2) c) Halle la esperanza de X.

0 x3 caso contrario

5.

Sea X una variable aleatoria con función de densidad

x  2  x 0 f(x) =  a) Graficar f(x) d) P ( X  4 )

0  x 1 1 x  2 otro caso

b) P ( -1  X  1/ 2) e) P (X  3 )

c) P ( X  3/ 2 ) f) P( 1/ 4 X  3/ 2)

6.

Sea la variable aleatoria X con función de densidad dada por

2 x  f(x) = 0

0  x 1 otro caso

a) Grafique la función de densidad. b) c) d) e)

7.

1 1 P  X   2 4

Halle Halle la esperanza de X 𝐸𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑎𝑞𝑢í 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛. Halle la varianza de X 𝐸𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑎𝑞𝑢í 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛. Halle la desviación estándar de X 𝐸𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑎𝑞𝑢í 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛.

Sea la variable aleatoria X con función de distribución dada por:

0  FX  x    x 3 1  a) Halle la función de densidad de X. b) c) d) e)

1 1 P  X   2 4

Halle Halle la esperanza de X Halle la varianza de X Halle la desviación estándar de X.

x0 0  x 1 x 1

8.

El tiempo (en días) que tarda un administrador en hacer una auditoría se puede modelar con la función de densidad dada por

k  x  1  0 f(x) = 

2 x4 otro caso

a) Halle el valor de k. b) Halle la función de distribución de X c) Con la función de distribución de X calcule la probabilidad de que el administrador tarde: i. Más de 3 días en hacer la auditoría.

9.

ii.

A lo más 2,5 días en hacer la auditoría.

iii.

Entre 3 y 3.5 días en hacer la auditoría.

iv.

¿Cuánto tarda en promedio el administrador en hacer la auditoría?

v.

Halle la varianza y desviación estándar.

Sea X la cantidad de tiempo durante el cual un libro puesto en reserva de dos horas en una biblioteca una universidad es solicitado en préstamo por un estudiante seleccionado y suponga que X tiene la función de densidad.

0.5 x f ( x)   0

0 x2 de lo contrario

Calcule las probabilidades siguientes: a) P(x≤ 1) b) P(0.5≤ x ≤1.5 ) c) P(1.5< x)

10.

Suponga que la temperatura de reacción x (en C) de cierto proceso químico tiene una distribución uniforme con A= -5 y B=5 a) b) c) d)

11.

Calcule P[X< 0] Calcule P [-2.5< X< 2.5] Calcule P[-2< X< 3] Para que k satisfaga -5 < k < k + 4 < 5 calcule P[k < X < k + 4]

El error implícito al hacer una medición es una variable aleatoria continua X con función de densidad de probabilidad

a) Bosqueje la gráfica de f(x). b) Calcule P(X >0) c) Calcule P(-1< X 0.5)

12.

Un profesor universitario nunca termina su disertación antes del final de la hora y siempre termina su clase dentro de 2 minutos después de la hora. Sea X= tiempo que transcurre entre el final de la hora y el fin de la clase y suponga que la función de densidad de probabilidad de X es :

kx 2 f ( x)   0

0 x2 de lo contrario

a) Determine el valor de k y trace la curva de densidad correspondiente. b) ¿Cuál es la probabilidad de que la disertación termine dentro de un minuto del final de la hora? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la disertación continúe después de la hora entre 60 y 90 segundos? d) ¿cuál es la probabilidad de que la disertación de la clase continúe durante por lo menos 90 segundos después del final de la hora?

13.

Se cree que el tiempo x (minutos) para que un asistente de laboratorio prepare el equipo para cierto experimento tiene una distribución uniforme con a=25 y b=35 a) Determine la función de densidad de probabilidad X y trace la curva de densidad correspondiente. b) ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo de preparación exceda de 33 minutos? c) ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo de preparación este dentro de 2 minutos del tiempo medio? d) Con cualquier a de modo que 25 < a < a +2 1.34) e) 𝑃(𝑧 < −4.32)

2. Encuentre estas probabilidades para la variables aleatoria normal estándar z: a) 𝑃(𝑧 < 2.33) b) 𝑃(𝑧 < 1.645) c) 𝑃(𝑧 > 1.96) d) 𝑃(−2.58 < 𝑧 < 2.58)

3. Encuentre una 𝑧0 tal que 𝑃(−𝑧0 < 𝑧 < 𝑧0 ) = 0.8262.

4. a) Encuentre una 𝑧0 tal que 𝑃(−𝑧0 < 𝑧 < 𝑧0 ) = 0.90. b) Encuentre una 𝑧0 tal que 𝑃(−𝑧0 < 𝑧 < 𝑧0 ) = 0.99.

5. Una variable aleatoria normal x tiene una media 𝜇desconocida y una desviación estándar 𝜎 = 2. Si la probabilidad de que x exceda a 7.5 es de 0.8023, encuentre 𝜇.

6. Los filatelistas (colección de estampas) suelen comprar estampillas a precio de menudeo o cercanos a estos, pero cuando ellos las venden su precio es considerablemente menor. Por ejemplo, sería razonable asumir que (dependiendo del tipo de colección, condición, demanda, condiciones económicas, etc.) una colección se venderá a 𝑥% del precio al menudeo, donde x esta normalmente distribuida con una normal 45% y una desviación estándar de 4.5%. si un filatelista tiene una colección para vender que tiene un precio al menudeo de $30.000. ¿Cuál es la probabilidad de que el filatelista reciba estas cantidades para la colección? a) Más de $15 000. b) Menos de $15 000. c) Menos de $12 000.

7. El número de veces, x, que un humano adulto respira por minuto cuanto está en reposo depende de su edad y varía mucho de una persona a otra. Suponga que la distribución de probabilidad para x es aproximadamente normal, con una media igual a 16 y una desviación estándar igual a 4. Si se elige al azar una persona, y se anota el número x de respiraciones por minuto en reposo, ¿Cuál es la probabilidad de x sea mayor a 22?

8. Las calificaciones de un examen nacional de aprovechamiento tuvieron una distribución aproximadamente normal, con una media de 540 y una desviación estándar de 110. a) Si usted obtuvo una calificación de 680, ¿Qué tanto, medido en desviaciones estándar, se desvía su calificación de la media? b) ¿Qué porcentaje de los examinados logro una puntuación mayor que la suya?

9. Una máquina de refrescos se puede regular para que descargue un promedio de 𝜇 onzas por vaso. Si las onzas de llenado tiene una distribución normal con desviación estándar igual a 0.3 onzas, obtenga el ajuste para 𝜇 de modo que los vasos de 8 onzas se sobrepasen sólo el 1% de las veces.

10. De acuerdo con reportes del consumidor, la vida de un refrigerador antes de su reemplazo es de 18 años. Si se considera que la distribución del tiempo del reemplazo es aproximadamente normal y que 95% de los refrigeradores se reemplaza entre los 12 y 24 años de servicio. a) Encuentre el valor de la desviación estándar. b) Antonio encontró que el refrigerador de su casa tiene 30 años de servicio, ¿Cuál es la probabilidad de que alguien conserve su refrigerador por ese tiempo? c) Una compañía de refrigeradores planea extender una garantía consistente en reemplazar al cliente su refrigerador por una nuevo si el aparato presenta severas fallas dentro del plazo de garantía. La compañía no desea, sin embargo, reemplazar más del 7% de los refrigeradores. ¿por cuantos meses deberá entonces extenderse la garantía? Exprese el número de veces.

11. Se estima que el 3% de la población vivirá más de 90 años. En una generación de 800 estudiantes de sexto año de primaria, ¿Cuál es la probabilidad de que a) 20 o más vivan más allá de su cumpleaños 90? b) Entre 30 y 50 vivan más allá de su cumpleaños 90? c) Más de 40 vivan más allá de su cumpleaños 90?

12. Sólo 25% de los conductores de cierta metrópoli de la República Mexicana usan con regularidad el cinturón de seguridad. Se seleccionada al azar una muestra de 600 automovilistas. ¿Cuál es la probabilidad de que a) Entre 150 y 250(inclusive) de los conductores de la muestra utilicen con regularidad el cinturón de seguridad? b) Menos de 100 conductores de la muestra utilicen con regularidad el cinturón de seguridad?

13. Las calificaciones de los 675 aspirantes presentados a un examen para contratación laboral, se distribuyen normalmente con media de 6.5 y varianza de 4. a) Calcular la probabilidad de que un aspirante obtenga al menos 8 puntos. b) ¿Cuántos aspirantes obtuvieron calificaciones comprendidas entre los 5 y 7.5 puntos? c) Calcular e interpretar el percentil 80. d) ¿Cuál es el puntaje que separa el 5% de los estudiantes más calificados del resto?

14. La estatura media de los estudiantes de un centro educativo es de 164 cm y solo 24 de los 200 alumnos miden menos de 150 cm. Suponiendo que la estatura de los alumnos tiene una distribución normal, ¿Cuál es la desviación estándar de la estatura?

15. En un estudio realizado sobre los ingresos familiares en los que los dos cónyuges trabajan, se ha observado que el salario mensual, en miles de soles, de las mujeres (X) se distribuye normalmente con media 100, en tanto que el de los hombres (Y) está dado por la siguiente transformación 𝑌 = 𝑋 + 20. Además, el 15% de los hombres no superan el percentil 75 de las mujeres. a) Calcular el salario medio de los hombres. b) Calcular la desviación típica del salario de los hombres y de las mujeres. c) Calcular e interpretar el coeficiente de variación del salario de los hombres y de las mujeres. d) Calcular e interpretar el percentil 5 del salario de los hombres.