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Practica 4 Primer Parcial Métodos Numéricos

Práctica 4: Métodos Numéricos Ejercicio 1: Considere la conducción de calor unidimensional en estado estacionario en una pared plana con generación de calor variable y conductividad térmica constante. La red nodal del medio consta de los nodos 0, 1, 2, 3, 4 y 5, con un espaciamiento nodal uniforme de Δx. Mediante la forma de diferencias finitas de la primera derivada (no el enfoque del balance de energía), obtenga la formulación en diferencias finitas de los nodos frontera para el caso de aislamiento en la frontera izquierda (nodo 0) y radiación en la frontera derecha (nodo 5), con una emisividad de ε y una temperatura de los alrededores de Talred.

Ejercicio 2: Considere la placa base de una plancha doméstica de 800 W que tiene un espesor de L=0.6 cm, área de la base de A=160 cm2 y conductividad térmica de k=20 W/m·°C. La superficie interior de la placa base está sujeta a un flujo de calor uniforme generado por los calentadores internos de resistencia. Cuando se alcanzan las condiciones estacionarias de operación, se mide la temperatura de la superficie exterior de la placa que resulta ser de 85°C. Si descarta cualquier pérdida de calor a través de la parte superior de la plancha y se toma el espaciamiento nodal de 0.2 cm: a) obtenga la formulación en diferencias finitas para los nodos b) determine la temperatura de la superficie interior de la placa al resolver esas ecuaciones. Rpta: 100ºC

Operaciones Unitarias II – PRQ 502 Camacho Dalenz Rodrigo Marcelo

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Ejercicio 3: Una aleta circular de sección transversal uniforme, con un diámetro de 10 mm y longitud de 50 mm, se adhiere a una pared con temperatura superficial de 350ºC. La aleta es de un material con una conductividad térmica de 240 W/m·°C y está expuesta a una condición de aire ambiental de 25ºC y el coeficiente de transferencia de calor por convección es de 250 W/m2·°C. Suponga que la transferencia de calor unidimensional se produce a lo largo de la aleta y que el espaciamiento nodal es uniforme de 10 mm. a) mediante el método de balance de energía, obtenga las ecuaciones en diferencias finitas para determinar las temperaturas nodales b) determine las temperaturas nodales a lo largo de la aleta al resolver esas ecuaciones c) calcule la transferencia de calor Rpta: 304,1ºC; 269,9ºC; 245,9ºC; 231ºC; 224,8ºC; 99,2 W

Ejercicio 4: Considere una aleta de aleación de aluminio (k=180 W/m·°C) de sección transversal triangular, cuya longitud es L=5 cm, el espesor de la base es b=1 cm y el ancho w en la dirección perpendicular al plano del papel es muy grande. La base de la aleta se mantiene a una temperatura de T0=180°C. La aleta pierde calor por convección hacia el aire ambiente a T∞=25°C, con un coeficiente de transferencia de calor de h=25 W/m2·°C, y por radiación hacia las superficies circundantes que están a una temperatura promedio de Operaciones Unitarias II – PRQ 502 Camacho Dalenz Rodrigo Marcelo

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Talred=290 K. Mediante el método de las diferencias finitas, con seis nodos igualmente espaciados a lo largo de la aleta en la dirección x, determine a) las temperaturas en los nodos b) la razón de la transferencia de calor desde la aleta para w=1 m. Tome la emisividad de la superficie de la aleta como 0.9 y suponga la existencia de transferencia de calor unidimensional en estado estacionario en ella. Rpta: 177ºC; 174,1ºC; 171,2ºC; 168,4ºC; 165,5ºC; 537 W

Ejercicio 5: Una placa grande de acero que tiene un espesor de L=5 in, conductividad térmica de k=7.2 BTU/h·ft·°F y una emisividad de 0.6 está tendida sobre el suelo. La superficie expuesta de la placa intercambia calor por convección con el aire ambiente a T∞=80°F, con un coeficiente promedio de transferencia de calor de h=3.5 BTU/h·ft2·°F, así como por radiación con el cielo abierto a una temperatura equivalente de este último de Tcielo=510 R. La temperatura del suelo por debajo de una cierta profundidad (es decir, 3 ft) no resulta afectada por las condiciones atmosféricas del exterior y permanece casi constante a 50°F en ese lugar. La conductividad térmica del suelo se puede tomar como ksuelo=0.49 BTU/h·ft·°F y se puede suponer que la placa de acero está en contacto perfecto con el suelo. Si se supone una transferencia de calor unidimensional en estado estacionario y se toman los espaciamientos nodales de 1 in en la placa y de 0.6 ft en el suelo, Operaciones Unitarias II – PRQ 502 Camacho Dalenz Rodrigo Marcelo

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a) obtenga la formulación en diferencias finitas para los 11 nodos mostrados en la figura b) determine las temperaturas de las superficies superior e inferior de la placa al resolver esas ecuaciones. Rpta: 74,71ºF; 74,48ºF Ejercicio 6: Un motor DC alimenta de energía mecánica a un eje giratorio de acero inoxidable (k=15.1 W/m·°C) con una longitud de 25 cm y un diámetro de 25 mm. El motor DC está rodeado por aire ambiental de 20ºC y un coeficiente de transferencia de calor por convección de 25 W/m2·°C, mientras que la temperatura base del eje del motor es de 90°C. Mediante un espaciamiento nodal uniforme de 5 cm a lo largo del eje del motor, determine las ecuaciones en diferencias finitas y tras resolverlas, también las temperaturas nodales. Rpta: 52,03ºC; 34,72ºC; 26,92ºC; 23,58ºC; 22,55ºC Ejercicio 7: Una pared plana con una temperatura superficial de 350°C está unida a aletas rectangulares rectas (k=235 W/m·°C). Las aletas están expuestas a aire ambiental de 25°C y el coeficiente de transferencia de calor por convección es 154 W/m2·°C. Cada aleta tiene una longitud de 50 mm, una base de 5 mm de espesor y una altura de 100 mm. Para una sola aleta y utilizando un espaciamiento uniforme nodal de 10 mm, determine: a) las ecuaciones en diferencias finitas b) las temperaturas nodales resolviendo las ecuaciones de diferencia finita c) la razón de transferencia de calor Rpta: 316,6ºC; 291,2ºC; 273,2ºC; 261,9ºC; 257,2ºC; 445 W

Ejercicio 8: Dos tubos de vapor de agua de hierro fundido (k=52 W/m·°C, ε=0.8) de 3 m de largo y 0.4 cm de espesor, con un diámetro exterior de 10 cm, están conectados entre sí a través de dos bridas de 1 cm de espesor y con un diámetro exterior de 20 cm, como se muestra en la figura. El vapor fluye en el interior del tubo a una temperatura promedio de 250°C, con un coeficiente de Operaciones Unitarias II – PRQ 502 Camacho Dalenz Rodrigo Marcelo

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transferencia de calor de 180 W/m2·°C La superficie exterior del tubo está expuesta a convección con el aire ambiente que está a 12°C, con un coeficiente de transferencia de calor de 25 W/m2·°C, así como a radiación con las superficies circundantes que están a una temperatura promedio de Talred=290 K. Si se supone transferencia de calor unidimensional en estado estacionario a lo largo de las bridas y se toma el espaciamiento nodal como de 1 cm a lo largo de cada una de ellas a) obtenga la formulación en diferencias finitas para todos los nodos b) determine la temperatura en la punta de la brida al resolver esas ecuaciones c) determine la razón de la transferencia de calor desde las superficies expuestas de la propia brida. Rpta: 136ºC; 105,7 W

Ejercicio 9: Determine: a) la temperatura de los 16 puntos igualmente espaciados que se muestran en el bosquejo siguiente con una precisión de tres dígitos significativos b) la tasa de flujo de calor por metro de espesor. Suponga flujo de calor bidimensional y k = 1 W/mK. Rpta: 683,2 W

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Ejercicio 10: En la barra larga cuadrada de 30 cm por lado que se muestra en el siguiente bosquejo, la cara izquierda se mantiene a 40 °C y la cara superior a 250 °C. La cara derecha está en contacto con un fluido a 40 °C con un coeficiente de transferencia de calor de 60 W/m2K y la cara inferior está en contacto con un fluido a 250 °C con un coeficiente de transferencia de calor de 100 W/m2K. Si la conductividad térmica de la barra es 20 W/mK, calcule la temperatura de los nueve nodos que se muestran en el bosquejo.

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Ejercicio 11: Una placa de acero cuadrada de 1 m por lado y 1 cm de espesor está expuesta a la luz solar y absorbe un flujo solar de 800 W/m2. La parte inferior de la placa está aislada, los bordes se mantienen a 20 °C mediante abrazaderas enfriadas por agua y la cara expuesta se enfría con un coeficiente de convección de 10 W/m2K a una temperatura ambiente de 10 °C. La placa está pulida para minimizar la radiación. Determine la distribución de temperatura en la placa utilizando un espaciamiento nodal de 20 cm. La conductividad térmica del acero es 40 W/mK. Ejercicio 12: Los gases calientes de la combustión de un horno fluyen por una chimenea de concreto (k=1.4 W/m·°C) de sección transversal rectangular. La sección de flujo de la chimenea tiene 20 cm x 40 cm y el espesor de la pared es de 10 cm. La temperatura promedio de los gases calientes en la chimenea es Ti=280°C y el coeficiente promedio de transferencia de calor por convección dentro de esta última es hi=75 W/m2 · °C. La chimenea pierde calor por convección desde su superficie exterior hacia el aire ambiente que está a T0=15°C, con un coeficiente de transferencia de calor de h0=18 W/m2·°C, y hacia el cielo por radiación. La emisividad de la superficie exterior de la pared es ε=0.9 y se estima que la temperatura efectiva del cielo es de 250 K. Mediante el método de las diferencias finitas con Δx=Δy=10 cm y si se aprovecha plenamente la ventaja que da la simetría. a) obtenga la formulación en diferencias finitas de este problema para la transferencia de calor bidimensional en estado estacionario b) determine las temperaturas en los puntos nodales de una sección transversal c) evalúe la razón de la transferencia de calor para una sección de 1 m de largo de la chimenea. Ejercicio 13: Considere la transferencia de calor bidimensional en estado estacionario en un cuerpo sólido con forma de L cuya sección transversal se da en la figura.

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La conductividad térmica del cuerpo es k=45 W/m·°C y se genera calor en el cuerpo con una razón de e=5 x 106 W/m3. La superficie derecha del cuerpo está aislada y la inferior se mantiene a una temperatura uniforme de 180°C. La superficie superior completa está sujeta a convección con el aire ambiente que está a T∞=30°C, con un coeficiente de transferencia de calor de h=55 W/m2·°C, y la izquierda está sujeta a flujo de calor con una razón uniforme de qL=8000 W/m2. La red nodal del problema consta de 13 nodos igualmente espaciados con Δx=Δy=1.5 cm. Cinco de los nodos están en la superficie inferior y, como consecuencia, se conocen sus temperaturas. a) Obtenga las ecuaciones en diferencias finitas en los ocho nodos restantes b) determine las temperaturas nodales al resolver esas ecuaciones. Ejercicio 14: Considere la transferencia de calor bidimensional en estado estacionario en una barra sólida larga cuya sección transversal se da en la figura. Las temperaturas medidas en puntos seleccionados sobre las superficies exteriores son como se muestran. La conductividad térmica del cuerpo es k=20 W/m·°C y no hay generación de calor. Mediante el método de las diferencias finitas con un tamaño de malla de Δx=Δy=1.0 cm, determine las temperaturas en los puntos indicados en el medio. Sugerencia: Aproveche la ventaja de la simetría.

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Ejercicio 15: Considere la conducción en régimen permanente bidimensional cerca de un límite curvo. Determine la ecuación de diferencias para un volumen de control apropiado cerca del nodo (i, j). El límite experimenta transferencia de calor por convección con un coeficiente h hacia la temperatura ambiente Ta. La superficie del límite está dada por ys=f(x).

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