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SIS-209

Práctica 1. Realizar.

Ing. V. Belianskaya

Construcción de modelos de PL. Construir el modelo de PL para el problema indicado, definiendo claramente las variables, restricciones y función objetivo. El informe debe contener la explicación detallada de todas las expresiones del modelo. No se exige, pero se recomienda realizar el análisis dimensional de las expresiones desarrolladas. (Nota: Independientemente de la tarea indicada en el problema dado, solo se construye el modelo en esta práctica)

Entrega de la práctica: martes, 2 de abril del 2019, en la clase. Problemas. 1. La Dog Food Company de Steve Gold desea introducir una nueva marca de bisquets para perro. El nuevo producto, con sabor a hígado y pollo, cumple con ciertos requerimientos nutricionales. Los bisquets con sabor a hígado contienen 1 unidad de nutriente A y 2 unidades de nutriente B, mientras que los de sabor a pollo contienen 1 unidad d nutriente A y 4 unidades de nutriente B. De acuerdo a los requerimientos federales cada paquete de la nueva mezcla debe contener por lo menos, 40 unidades de nutriente A y 60 unidades de nutriente B. Adicionalmente, la compañía a decidido que no puede haber mas de 15 bisquets con sabor a hígado en cada paquete. Si cuesta 1 centavo hacer un bisquets con sabor a hígado y 2 centavos hacer un bisquets con sabor a pollo, ¿cuál es la mezcla óptima de producto para un paquete de los bisquets con el fin de minimizar el costo de la empresa? 2. The Electrocomp Corporation manufactura dos productos eléctricos: acondicionadores de aire y grandes ventiladores. El proceso de ensamblaje para cada uno es similar en que ambos requieren de una cierta cantidad de cableado y barrenado. Cada acondicionador de aire lleva tres horas de cableado y una hora de barrenado. Cada ventilador de aire lleva 2 horas de cableado y una hora de barrenado. Durante el siguiente periodo de producción, están disponibles 240 horas de tiempo de cableado y se pueden utilizar hasta 140 horas de tiempo de barrenado. Cada acondicionador de aire vendido genera una utilidad de 25 dólares. Cada ventilador ensamblado puede ser vendido con una utilidad de 15 dólares. Formule y resuelva esta situación de mezcla de producción por programación lineal, y encuentre la mejor combinación de acondicionadores de aire y ventiladores que genere la utilidad más alta. 3. MSA Computer Corporation manufactura dos modelos de computadoras, la Alpha y la Beta . La empresa emplea 5 técnicos que trabajan 160 horas por mes cada uno, en su línea de ensamble. La administración insiste que el total empleo (es decir, todas las 160 horas de tiempo) se mantenga para cada trabajador durante las operaciones del próximo mes. Se requieren 20 horas laborales para ensamblar cada computadora Alpha y 25 horas laborales para ensamblar cada modelo Beta. MSA desea tener por lo menos 10 unidades de Alpha y 15 unidades Beta producidas durante el próximo periodo de producción. Las Alpha generan una utilidad de 1200 dólares por unidad, y las Beta generan 1800 dólares cada una. Determine el número de cada modelo de mini computadora con mayor utilidad para producir el siguiente mes.

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4. Cada mesa para café producida por Chris Franke Designers ofrece a la empresa una utilidad neta de 9 dólares. Cada librero genera 12 dólares de utilidad. La empresa de Franke es pequeña y sus recursos son limitados. Durante cualquier periodo de producción dado (de una semana) están disponibles 10 galones de barniz y 12 largos de pino de alta calidad. Cada mesa para café requiere aproximadamente de 1 galón de barniz y un largo de pino. Cada librero toma 1 galón de barniz y dos largos de pino. ¿Cuántas mesas para café y libreros deben ser producidos cada semana? ¿Cuál será la máxima utilidad?. 5. Gold Furniture manufactura dos diferentes tipos de muebles, un modelo provenzal francés y un modelo danés moderno. Cada mueble producido debe pasar a través de tres departamentos: carpintería, pintura y acabado. La tabla adjunta contiene toda la información relevante sobre los tiempos de producción por cada gabinete fabricado y la capacidad productiva de cada operación por día, además de la utilidad neta por unidad producida. La empresa tiene un contrato con un distribuidor de Indiana para producir un mínimo de 300 gabinetes de cada uno por semana (o 60 gabinetes por día). El propietario Steve Gold desearía determinar una mezcla de producto para maximizar su utilidad diaria.

Estilo de gabinete Provenzal Francés Danés moderno Capacidad del Departamento(horas)

Carpintería (Hrs/Gabinete)

Pintura(Hrs/ Acabado (Hrs/ Gabinete) Gabinete)

3 2

1½ 1

¾ ¾

360

200

125

Utilidad neta/ Gabinete $28 $25

6. Un sastre tiene las siguientes materias primas a disposición: 16 m2 de algodón, 11 m2 de seda y 15 m2 de lana. Un traje requiere lo siguiente: 2 m2 de algodón, 1 m2 de seda y 1 m2 de lana. Una túnica: 1 m2 de algodón, 2 m2 de seda y 3 m2 de lana. Si el traje se vende por $ 30 y la túnica por $ 50, ¿cuántas piezas de cada confección debe hacer el sastre para obtener la máxima cantidad de dinero? 7. La Texas Electronics Inc esta estudiando la posibilidad de agregar nuevas mini computadoras a su línea con el fin de incrementar sus utilidades. Dos nuevas computadoras han sido diseñadas y evaluadas. La computadora 1 tiene un valor esperado en las ventas de 50000 unidades por año, con una contribución a las utilidades de 20$ por unidad. La computadora 2 tiene un valor esperado de ventas de 300000 contribuciones en la utilidad de 5 $. La TEI ha asignado 800 horas mensuales de tiempo de la planta técnica para estos nuevos productos. Las computadoras 1 y 2 requieren de 1 y 0.2 horas técnicas por unidad respectivamente. El sistema de empaque y despachos serán los usados actualmente por la compañía. Este sistema puede empacar y despachar como máximo 25000 cajas de las mini computadoras 1 y 2 por mes. La computadora 1 es empacada en 1 caja, la computadora 2 es empacada en 4 cajas cada una. Formule el problema de programación lineal para determinar las decisiones, que aporten la máxima utilidad de TEI.

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8. Un fabricante de equipos de pruebas tiene 3 departamentos principales para la manufactura de sus modelos M1 y M2. Las capacidades manuales son las siguientes: Requerimiento en horas M1 M2 Estructura principal 4 2 Alambrado eléctrico 2.5 1 Ensamblado 4.5 1.5 Beneficio unitario $40 $10

Horas disponibles por mes 1600 1200 1600

Formular un modelo para planificar la producción óptima. 9. Una empresa produce listones de madera en 4 medidas: chico, mediano, grande y extra grande. Estos listones pueden producirse en tres máquinas: A, B y C. La cantidad de metros que puede producir por hora cada máquina es:

Chico Mediano grande extra grande

A 300 250 200 100

B 600 400 350 200

C 800 700 600 300

Supongamos que cada máquina puede ser usada 50 horas semanales y que el costo operativo por hora de cada una es $30, $50 y $80 respectivamente. Si se necesitan 10000, 8000, 6000 y 4000 metros de cada tipo de listones por semana, formular un modelo para minimizar costos. 10. Bloomington Bresweries produce dos tipos de cerveza: rubia y negra. La cerveza rubia se vende a $5 el barril, y la cerveza negra se vende a $2 el barril. Para producir un barril de cerveza rubia hacen falta 5 lb. de maíz y 2 lb. de lúpulo. Para producir un barril de cerveza negra son necesarios 2 lb. de maíz y 1 lb. de lúpulo. Hay disponibles 60 lb. de maíz y 25 lb. de lúpulo. Formular un modelo de PL que maximice las ganancias. 11. El granjero Jones prepara dos tipos de tortas (chocolate y vainilla) para obtener ingresos extra. Cada torta de chocolate se puede vender a $1, y cada torta de vainilla se puede vender a $0.50. Cada torta de chocolate requiere de 20 minutos de cocción y usa 4 huevos. En cambio cada torta de vainilla requiere 40 minutos de cocción y usa 1 huevo. Jones tiene disponibles 8 horas de cocción y 30 huevos. Formular un modelo de PL para maximizar las ganancias de Jones. 12. Para la producción de dos productos A y B se usan como materias primas acero y los metales preciosos, que se tienen en las cantidades limitadas. Para la elaboración de ambos productos se usan tornos y fresadoras. En la tabla se dan los datos del problema: Recursos Cantidad de los Gastos de los recursos por unidad del recursos producto A B Acero (kg) 570 10 70 Metales preciosos (kg) 420 20 50

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Torno (horas) 5600 300 400 Fresadora (horas) 3400 200 100 Ganancia ( $1000) 3 8 Obtener el plan de producción de los productos que permitirá obtener mayores ganancias 13. Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón y 120 m2 de tela de lana. Un traje requiere 1 m2 de algodón y 3 m2 de lana, y un vestido de mujer requiere 2 m2 de cada una de las telas. Qué cantidad de cada confección deber hacer para maximizar su ingreso si un traje se vende por 40 $ y un vestido por 20 $. 14. Un intermediario debe adquirir mercaderías para la próxima temporada, para lo que dispone de un capital de $ 13.000.000. La mercadería A cuesta $ 80 por unidad y requiere un espacio de almacenamiento de 80 dm3, la mercadería B cuesta 70 $ y requiere un espacio de almacenamiento de 20 dm3. La mercadería C cuesta 100 $ y el espacio necesario es de 70 dm3. El espacio disponible de almacenamiento es de 4000 m3. Los beneficios esperados son de 20 $ por unidad de A, 20 $ por unidad de B y 25 $ por unidad de C. Hallar el programa de compra que maximice el beneficio. 15. Un fabricante de televisores tiene que decidir el número de unidades de 27” y 20” que debe producir en una de sus plantas. La investigación de mercado indica que puede vender como máximo 40 unidades de 27” y 10 unidades de 20” al mes. El número máximo de horas de trabajo disponible es 500 por mes. Un televisor de 27” requiere 20 horas de trabajo y uno de 20” requiere 10. Cada unidad de 27” vendida produce una ganancia de $120 y cada una de 20” produce una ganancia de $80. Un distribuidor está de acuerdo en comprar todas las unidades que se produzcan si su número no excede los máximos del estudio de mercado. ¿Cuántos televisores deben producirse para maximizar el beneficio del fabricante? 16. Oil Company puede comprar dos tipos de petróleo crudo: crudo ligero a un costo de $25 por barril, y petróleo pesado a $22 por barril. Cada barril de petróleo crudo, ya refinado, produce tres productos: gasolina, turbosina y queroseno. La siguiente tabla indica las cantidades en barriles de gasolina, turbosina y queroseno producidos por barril de cada tipo de petróleo crudo: GASOLINA TURBOSINA QUEROSENO Crudo ligero 0.45 0.18 0.30 Crudo pesado 0.35 0.36 0.20 La refinería se ha comprometido a entregar 1260000 barriles de gasolina, 900000 barriles de turbosina y 300000 barriles de queroseno. Como gerente de producción, formule un modelo para determinar la cantidad de cada tipo de petróleo crudo por comprar para minimizar el costo total al tiempo que se satisfaga la demanda apropiada. 17. Una compañía de seguros está introduciendo dos nuevas líneas de productos: seguros de riesgos especiales e hipotecas. La ganancia esperada es $5 por unidad sobre el seguro de riesgos especiales y $2 por unidad sobre hipotecas. La administración quiere establecer las cuotas de venta para las nuevas líneas de productos con el fin de maximizar la ganancia esperada. Los requerimientos de trabajo son los siguientes. Departamento Horas de trabajo por unidad de productos Horas disponibles Riesgos especiales Hipotecas Procesamiento 3 2 2400 Administración 0 1 800

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Ing. V. Belianskaya Reclamos

2

0

1200

18. The Coppins Mfg. Corp. tiene disponibles 250000 dólares para invertir durante 12 meses antes de la expansión de su planta. El dinero puede ser colocado en obligaciones del tesoro generando un 8% de interés, o en bonos municipales a una tasa promedio de 9%. La administración requiere que por lo menos el 50% de la inversión sea colocada en obligaciones. Debido a las fallas en los bonos municipales, esta decidido que no mas del 40% de la inversión sea colocada en bonos. ¿Cuánto debe invertirse en cada uno para maximizar el retorno de la inversión? 19. El director de publicidad de Diversey Paint and Supply , una cadena de cuatro tiendas detallistas en el lado norte de Chicago, está considerando dos posibilidades de medios de publicidad. El primer plan es una serie de anuncios de media página en el periódico dominical Chicago Tribune; y el otro, tiempo de publicidad en la TV de Chicago. Las tiendas están expandiendo sus líneas de herramientas hágalo-usted-mismo, y el director de publicidad está interesado en un nivel de exposición de por lo menos 40% dentro de la cercanía de la ciudad y 60% en las áreas suburbanas del noroeste. El tiempo de televisión que se ha considerado tiene un rango de exposición, por spot, del 5% en las casas de la ciudad y de 3% en los suburbios del noroeste. El periódico dominical tiene tasas de exposición correspondientes de 4% y de 3% por anuncio. El costo de media página de publicidad en el tribune es de 925 dólares; un spot de televisión cuesta 2000 dólares. 20. Andy`s Bicycle Company (ABC) tiene los nuevos productos mas novedosos en el mercado de juguetes, bicicletas para niños y niñas en colores brillantes de moda, con centros y ejes grandes, llantas de seguridad de diseño de concha, un resistente cuadro acojinado, cadenas cromadas y soportes. Debido al mercado del vendedor de juguetes de alta calidad para la nueva generación de niños, ABC puede vender todas las bicicletas que fabrica en los siguientes precios: bicicleta para niño, 220 dólares, bicicleta para niña, 175 dólares. Estos son los precios que se pagan al comprar las bicicletas en la planta de ABC, en Orlando. El contador de la empresa ha determinado que los costos de mano de obra directa serán el 45% del precio que ABC reciba por el modelo para niño, y 40% del precio recibido para el modelo de niña. Los costos de producción diferentes a mano de obra, pero excluyendo la pintura y el empaque son de 44 dólares por bicicleta para niño y 30 dólares por bicicleta para niña. La pintura y el empaque son 20 dólares por bicicleta, sin tomar en cuenta el modelo. La capacidad total de producción de la planta de Orlando es de 390 bicicletas por día. Cada bicicleta para niño requiere de 2.5 horas de mano de obra, mientras que cada modelo para niña toma 2.4 horas para completar. ABC emplea actualmente a 120 trabajadores, que laboran días de 8 horas cada uno. La empresa no desea contratar o despedir afectando la disponibilidad de mano de obra porque cree que su fuerza de trabajo estable es uno de sus activos más grandes. Determine la mejor mezcla de productos para ABC. 21. Coleman Distributors empaca y distribuye productos industriales. Un embarque estándar puede ser empacado en un contenedor de clase A, un contenedor de clase K o un contenedor de clase T. Un solo contenedor de clase A genera una utilidad de $ 8; un contenedor clase K, una utilidad de 6 dólares; y un contenedor clase T, una utilidad de 14 dólares. Cada embarque preparado requiere de una cierta cantidad de material de empaque y una cierta cantidad de tiempo.

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Ing. V. Belianskaya Recursos Necesarios por Embarque Estándar

Clase de Contenedor A K T

Material de empaque (libras) 2 1 3

Cantidad total del recurso Disponible cada semana

Tiempo de empaque (horas) 2 6 4

120 libras

240 horas

John Coleman, director de la empresa, debe decidir el número óptimo de cada clase de contenedores que deben empacarse cada semana. El embarque está limitado por las restricciones de recursos mencionadas previamente, pero también decide que debe mantenerse ocupados a sus seis empacadores de tiempo completo, las 240 horas (6 trabajadores X 40 horas) cada semana. 22. El dueño de un invernadero planea hacer una oferta por el trabajo de proveer de flores los parques de la ciudad. Usará plantas de tulipanes, rosas y jazmines en tres tipos de disposiciones. El primer tipo usa 30 de tulipanes, 20 de rosas y 4 de jazmines. El segundo tipo usa 10 de tulipanes, 40 de rosas y 3 de jazmines. El tercer tipo usa 20 de tulipanes, 50 de rosas y 2 de jazmines. El beneficio neto es de $50 por cada disposición de tipo 1, $30 por cada disposición de tipo 2 y $60 por cada disposición de tipo 3. Cuenta con 1000 plantas de tulipanes, 800 de rosas y 100 de jazmines. Se agregaran las siguientes condiciones: a) El número de disposiciones de tipo 1 no puede exceder a las de tipo 2. b) Debe haber al menos 5 disposiciones de cada tipo. Cuántas disposiciones de cada tipo se deben usar para producir el máximo de ganancia? 23. Un presidente tiene problemas con su paquete de reforma del estado. Le han comentado que hay 12 diputados del partido opositor y 16 diputados oficialistas que aun no han resuelto su voto. Decide llamarlos por teléfono para tratar de convencerlos, pero debido a la puntualidad del comienzo de las deliberaciones en el Senado, solo le resultara posible efectuar 20 llamados. La experiencia le demuestra que tiene 0.6 de probabilidad de convencer a un opositor y 0.9 en el caso oficialista. ¿A cuántos senadores opositores y oficialistas debería llamar para optimizar el uso de las llamadas? 24. Se cuenta con dos tipos de cereales K y C. Es necesario determinar cuántas onzas de K y C se utilizarán en la preparación de un desayuno, de tal manera que su precio sea mínimo y que además satisfaga las necesidades vitamínicas (Tiamina y Niatina) y calorías. Contenido en 1 Onza de K

Contenido en 1 Onza de C

Cantidad Requerida

Tiamina

0.10 mg

0.25 mg

1 mg

Niatina

1 mg

0.25 mg

5 mg

Calorías

110.0

120

400

Precio de 1 Onza

3.8 $us

4.2 $us

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25. Un importador dispone de financiación para introducir mercaderías por $20.000.000. De acuerdo con las reglamentaciones, está autorizado para importar hasta $ 16.000.000 en repuestos para maquinarias agrícolas y hasta $ 8.000.000 en sustancias químicas. Puede tener un beneficio del 6% sobre las sustancias químicas y del 2% sobre los repuestos. Por razones de mercado, decide que la suma a importar en repuestos debe ser al menos el doble de la dedicada a sustancias químicas. Determinar el programa de importación que le brinde el máximo beneficio. 26. Una pareja algo calculadora decide contraer matrimonio. Entre sus relaciones, existe la costumbre de hacer en cada boda muchos regalos y espera que cada amigo le haga 7 regalos. Sus relaciones se pueden clasificar en ricos, medianos y pobres. Los ricos, hacen 4 regalos caros, 2 medianos y 1 barato; los medianos, hacen 3 regalos caros, 3 regalos medianos y uno barato; los pobres, hacen 1 regalo caro, 1 regalo mediano y 5 baratos. La nueva pareja, necesita al menos 5 regalos caros, 20 medianos pero no quiere más de cincuenta baratos. Piensan que el dinero gastado en la fiesta de bodas, reflejará la lista de invitados de manera que gastarán 75 $ en atender a cada invitado rico, 50 $ en atender a cada invitado mediano y 30 $ en atender a cada invitado pobre. Determinar qué conjunto de invitados deberán concurrir para satisfacer sus deseos con un costo mínimo. 27. Para la alimentación del animal experimental se debe diariamente entregarse por lo menos 15 unidades del químico H1 (vitamina o alguna sal) y 15 unidades del químico H2. No existe la posibilidad de adquirir estos químicos de alta pureza. Pero se puede adquirir sustancias B1 y B2. El recio de 1 kg de la sustancia B1 es de 1 peso, y de B2 es de 3 pesos. Cada kilogramo de B1 contiene 1 unidad de H1 y 5 unidades de H2, el de B2 contiene 5 unidades de H1 y 1 unidad de H2. Identificar la mezcla óptima de las sustancias B1 y B2 para alimentación del animal. 28. PROBLEMA DE LA DIETA. El objetivo de este programa es determinar una dieta para la reducción calorífica, las cantidades de ciertos alimentos que deberán ser ingeridas diariamente de modo que determinados requisitos nutricionales sean satisfechos a costo mínimo. Suponga que cierta dieta esté restringida a leche descremada, carne magra vacuna, carne de pescado, y una ensalada de composición bien conocida. Sabemos además, que los requisitos nutricionales son expresados en términos de vitaminas A, C y D y controlados por sus cantidades mínimas (en miligramos). Son indispensables para la preservación de la salud de la persona que está sometida a la dieta. La tabla siguiente resume las cantidades de cada vitamina disponible en los alimentos y sus necesidades diarias para la buena salud de una persona. RESTRICCIONES DE NUTRIENTES DE LA DIETA ALIMENTARIA (en miligramos) VITAMINA

A C D COSTO EN PESOS

LECHE(LITRO)

CARNE(KILO)

Requisito Nutricional Mínimo

ENSALADA(100 PESCADO(KILO) GR)

2 50 80

2 20 70

10 10 10

20 30 80

2

4

1,5

1

11 70 250

29. Una compañía manufacturera descontinúo la producción de cierta línea de productos no redituable. Esto creó un exceso considerable de capacidad de producción. La gerencia quiere

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dedicar esta capacidad a uno o más de tres productos desarrollados. En la siguiente tabla se resume la capacidad disponible de cada máquina que puede limitar la producción. Tipo de máquina Tiempo disponible (horas-máquina por semana) Fresadora 500 Torno 350 Rectificadora 150 El número de horas-máquina que se requiere para cada unidad de los productos respectivos es Tipo de máquina Producto Producto Producto 1 2 3 Fresadora 9 3 5 Torno 5 4 0 Rectificadora 3 0 2 El departamento de ventas ha indicado que las ventas potenciales de los productos 1 y 2 exceden las capacidades máximas de producción y que las ventas potenciales del producto 3 son veinte unidades por semana. La ganancia unitaria sería de $50, $20 y $5, respectivamente para los productos 1, 2 y 3. Cuántas unidades de los productos 1, 2 y 3 deben producirse semanalmente para maximizar el beneficio? 30. Walnut Orchard tiene dos granjas con trigo y maíz. Como consecuencia de las distintas condiciones del suelo, hay diferencias entre la cosecha y los costos de producir trigo y maíz en las dos granjas. La cosecha y los costos son los que se muestran en la tabla. Cada granja cuenta con 100 acres disponibles para el cultivo; Walnut Orchard tiene contratos para la entrega de 11000 bushels (medida de capacidad) de trigo y 7000 bushels de maíz. Determinar un plan de cultivo que minimice el costo para satisfacer las demandas. Granja 1 Granja 2 Producción de trigo por acre 500 bushels 650 bushels Costo del trigo por acre $100 $120 Producción de maíz por acre 400 bushels 350 bushels Costo de maíz por acre $90 $80 31. Una compañía de seguros opina que se necesitarán las cantidades siguientes de computadoras personales durante los próximos seis meses: enero, 9; febrero, 5; marzo, 7; abril, 9; mayo, 10; junio, 5. Es posible rentar las computadoras por períodos de uno, dos o tres meses a las siguientes tarifas unitarias: tarifa por un mes, 200$; tarifa por 2 meses, 350$; tarifa por tres meses, 450$. Plantee un PL que se pueda utilizar para minimizar el costo por la renta del equipo necesario. Podría suponerse que si se renta una máquina por un período que se prolonga después de junio, el costo de la renta se prorratea. Por ejemplo, si se renta una computadora por tres meses al principio de mayo, entonces la tarifa de la renta de (2/3)*(450)=300, no 450$, debe establecerse en la función objetivo. 32. Suponga que acaba de heredar $6000 y desea invertirlos. Al oír esta noticia dos amigos distintos le ofrecen la oportunidad de participar como socio en dos negocios, cada uno planeado por uno de ellos. En ambos casos, la inversión significa dedicar un poco de tiempo el siguiente verano, al igual que invertir efectivo. Con el primer amigo al convertirse en socio completo tendría que invertir $5000 y 400 horas, y su ganancia estimada (ignorando el valor de su tiempo) sería $4500. Las cifras correspondientes a la proposición del segundo amigo son $4000 y 500 horas, con una ganancia estimada de $4500. Sin embargo, ambos amigos son flexibles y le permitirían entrar en el negocio

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con cualquier fracción de la sociedad; la participación en las utilidades sería proporcional a esa fracción. Como de todas maneras usted está buscando un trabajo interesante para el verano (600 horas a lo sumo), ha decidido participar en una o ambas propuestas, con la combinación que maximice la ganancia total estimada. Es necesario que resuelva el problema de obtener la mejor combinación. 33. Sunco procesa petróleo para producir combustible para aviones y aceite de maquina. Cuesta $40 comprar 1000 barriles de petróleo, que luego destilados producen 500 barriles de combustible para aviones y 500 barriles de aceite. Lo que se obtiene de la destilación puede ser vendido directamente o ser procesado nuevamente con un fraccionador catalítico. Si se vende sin el segundo proceso, el combustible para aviones se vende a $60 pro 1000 barriles y el aceite para calentar se vende a $40 por 1000 barriles. Lleva 1 hora procesar 1000 barriles de combustible para aviones en el fraccionador catalítico, y esos 1000 barriles se venden a $130. El mismo proceso demora 45 minutos para 1000 barriles de aceite para calentar, y esos 1000 barriles se venden a $90. Cada día, se pueden comprar a lo sumo 20000 barriles de petróleo, y se tienen disponibles 8 horas del fraccionador catalítico. Formular un modelo de PL que maximice los beneficios de Sunco. 34. Motores Grummins produce camionetas Diesel. Nuevas medidas gubernamentales indican que el promedio de emisiones de polución (contaminación) de todas las camionetas en los próximos tres años no pueden exceder de 10 gramos por camioneta. Grummins produce dos tipos de camionetas. Cada camioneta tipo 1 se vende a $20000, tiene un costo de producción de $15000 y emite 15 gramos de polución. Cada camioneta tipo 2 se vende a $17000, cuesta $14000 y emite 5 gramos de polución. La capacidad máxima de producción de camionetas es de 320 por año. Grummins conoce la cantidad máxima de camionetas que se pueden vender en cada uno de los próximos 3 años (ver la tabla). La demanda se puede satisfacer con la producción del corriente año, o con la producción del año anterior. Año Tipo 1 Tipo 2 1 100 200 2 200 100 3 300 150 35. Alexis Comby trabaja en la compra-venta de maíz. El primero de enero, tiene 50 toneladas de maíz y $1000. El primer día de cada mes, Alexis puede comprar maíz a los siguientes precios por tonelada: enero, $300; febrero, $350; marzo, $400; abril $500. En el último día de cada mes Alexis puede vender maíz a los siguientes precios por tonelada: enero, $250; febrero, $400; marzo, $350; abril, $550. Alexis guarda el maíz en un depósito que puede almacenar a lo sumo 100 toneladas de maíz. Los pagos que hace Alexis por sus compras deben ser en efectivo. Usar programación lineal para determinar cómo puede maximizar su efectivo al finalizar abril. 36. Una planta recicladora de papel procesa papel de cajas, papel tissue, papel de impresión y papel para libros y produce pulpa para tres tipos de papel reciclado. Los precios por tonelada y los contenidos de pulpa de cada materia prima se muestran en la tabla. Para transformar la materia prima en pulpa, se pueden usar dos métodos, de-inking y dispersión asfáltica. Cuesta $20 el proceso de de-inking por tonelada de cualquier materia prima. El proceso de de-inking saca el 10% de la pulpa de la materia prima, dejando el 90% de la pulpa original. Cuesta $15 aplicar el proceso de dispersión asfáltica a una tonelada de materia prima. Este proceso saca el 20% de la pulpa. A lo sumo 3000 toneladas de materia prima pueden procesarse mediante dispersión asfáltica o el proceso de-inking.

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El papel reciclado de tipo 1, sólo se puede producir a partir de la pulpa de papel de impresión o de papel para libros; el de tipo 2, sólo a partir de papel para libros, papel tissue o papel de cajas; el de tipo 3, sólo con papel de impresión, papel tissue o papel de cajas. Para satisfacer la demanda actual, la compañía necesita 500 toneladas de pulpa para el papel tipo 1, 500 toneladas de pulpa para el papel tipo 2 y 600 toneladas para el papel tipo 3. Formular un modelo de PL que minimice los costos de satisfacer la demanda de pulpa. Costo Contenido de pulpa papel de cajas $5 15% papel tissue $6 20% papel de impresión $8 30% papel para libros $10 40% 37. La Compañía Star Oil está estudiando 5 posibilidades de inversión. En este momento tienen 40 millones para invertir y esperan tener otros 20 millones dentro de un año. La decisión de participar de uno de estos emprendimientos requiere realizar un aporte de capital en el primer año y otro en el segundo. Si hubiera capital sobrante de las inversiones del año 1, este no se puede usar en el segundo año. La empresa puede realizar la inversión completa de cada tipo o participar con una parte de ella (no puede asignar más capital a ella que lo que requiere la inversión completa) La tabla del capital requerido para cada inversión y del beneficio neto obtenido por cada una al final de los dos años, en millones de dólares, está dada por la siguiente tabla: Inv1 Inv2 Inv3 Inv4 Inv5 Capital requerido año 1 11 53 5 5 29 Capital requerido año 2 3 6 5 1 34 Beneficio neto 13 16 16 14 39 Modelar y resolver como un problema de programación lineal. 38. En una investigación de mercado deben entrevistarse distintos tipos de unidades familiares, y obtener para cada uno un mínimo de respuestas. Probabilidad de respuestas en las Mínimo de visitas Tipo de unidad familiar respuestas mañana tarde noche Solos 50 0,40 0,50 0,10 matrimonio sin hijos 100 0,30 0,30 0,40 matrimonio con hijos 150 0,30 0,20 0,50 Se desea definir como deben distribuirse las visitas a los tres tipos de unidades familiares en las distintas partes del día, de forma que la cantidad de las respuestas obtenidas no sea inferior al mínimo impuesto, teniendo en cuenta que los contratos con los encuestadores imponen: 1-El número de visitas de la mañana no debe ser inferior al de la tarde. 2-El número de visitas de la noche no debe ser superior a la mitad del número de visitas de la tarde. El objetivo es minimizar el número total de visitas. 39. Una granja provee de una ración alimenticia a las vacas en el periodo de invierno. Se cuenta con dos raciones científicamente estudiadas: A y B, además de una ración (suplementaria) C, con la siguiente composición. Ración A

No menos del 40 % de fécula de maíz, no más del 40 % de hierbas alimenticias

Ración B

No menos del 30 % de fécula de maíz, no más del 50 % de hierbas alimenticias Alimentos sin limitaciones

Ración C

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Dadas las siguientes normas limitantes de consumo de cada producto, deducidos de la producción bruta de alimentos: de fécula de maíz es de 200 quintales, hierbas alimenticias - 300 quintales. ¿Qué cantidad de cada una de las raciones deberá elaborar la granja, para recibir un ingreso máximo, si con la ración A ingreso es de 10 $ / quintal, con la ración B 12 $/quintal y con la ración C 5 $/quintal? 40. James Beerd hornea pasteles de queso y pasteles de la Selva Negra. Durante cualquier mes puede hornear cuando mucho 65 pasteles. Los costos por pastel y la demanda de pasteles, la cual se debe cumplir a tiempo, se proporcionan en la tabla. Cuesta 50 centavos conservar un pastel de queso y 40 centavos conservar un pastel de Selva Negra en inventario por un mes. Plantee un PL para minimizar el costo total por cumplir la demanda de los tres meses siguientes. Mes 1 Producto Demanda Costo/pastel($) Pastel de 40 3.00 queso Selva 20 2.50 Negra

Demanda 30 30

Mes 2 Mes 3 Costo/pastel($) Demanda Costo/pastel($) 3.40 20 3.80 2.80

10

3.40

41. Case Chemicals diluye cada litro de ácido sulfúrico concentrado con 20 litros de agua destilada para producir H2SO4. De manera similar, cada litro de ácido clorhídrico concentrado se diluye con 30 litros de agua destilada para producir HCl. Estos dos productos son vendidos a escuelas de segunda enseñanza a $0.10 por botella de 100 mililitros (esto es, 0.1 litros). La compañía actualmente tiene 50000 botellas vacías en inventario. Suponga que existe una cantidad virtualmente ilimitada de agua destilada que cuesta $0.15 por litro y que se dispone de los siguientes datos: ACIDO SULFURICO ACIDO CLORHÍDRICO Costos ($/litro) 12.00 18.00 Suministros (litros) 200.00 150.00 Formule un modelo para determinar la cantidad de cada ácido concentrado por diluir para maximizar las ganancias totales. ¿Puede resolver este modelo como un programa lineal? Explique. 42. ManuMania Company usa una base y dos productos de goma, todos en cantidades iguales, para producir su Gooey Gum. La compañía puede producir un total combinado de hasta 800 libras de la base y dos productos de goma. De manera alternativa, puede comprar estos ingredientes en el mercado abierto en las siguientes cantidades de dólares por libra: PRODUCTO COSTO DE COSTO DE PRODUCCIÓN COMPRA Base 1.75 3.00 GP-1 2.00 3.25 GP-2 2.25 3.75 Formule un modelo para determinar el plan de producción de costo mínimo/compra para satisfacer una demanda de 1200 libras de Gooey Gum.

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43. Cajun World mezcla seis especias para fabricar un producto para atezar pescados. La siguiente tabla proporciona el costo de cada especia y los porcentajes mínimos y máximos por unidad de peso que pueden usarse en el producto final: ESPECIA COSTO ($/gm) MINIMO (%) MÁXIMO (%) Cayena 0.020 18 20 Pimienta negra 0.025 15 18 Semillas de hinojo 0.082 12 14 Polvo de cebolla 0.025 16 20 Ajo 0.028 12 15 Orégano 0.075 14 18 Formule un programa lineal para determinar la cantidad de cada especia utilizada para producir cada kilogramo de producto que minimice el costo total. 44. Incredible Indelible Ink Company mezcla tres aditivos A1, A2 y A3 a una base en diferentes proporciones para obtener diferentes colores de tinta. La tinta roja se obtiene mezclando A1, A2 y A3 en la proporción de 3,1, 2; la tinta azul en la proporción de 2, 3, 4 y la tinta verde en la proporción de 1, 2, 3. Después de mezclar estos aditivos, se añade una cantidad igual de base para cada color: La compañía actualmente tiene 1000 galones de A1, 1500 de A2, 2000 de A3 y 4000 de base. Dado que el precio de venta por galón de cada tipo de tinta es el mismo, desarrolle un modelo para determinar cómo deberían usarse estos recursos para obtener los máximos ingresos. 45. Un productor está planeando su estrategia de plantación para el próximo año. Por informaciones obtenidas de los órganos gubernamentales, se sabe que los cultivos de trigo, arroz y maíz serán los más rentables en la próxima cosecha. De la experiencia se considera que la productividad de su tierra para los cultivos deseados es una constante y se describe en la tabla siguiente: Ganancia por 1Kg Productividad en de producción Cultivo Kg/m2 (en centavos) Trigo 0,2 10,8 Arroz 0,3 4,2 Maíz 0,4 2,3 Por falta de galpones y/o silos de almacenamiento propio, la producción máxima de todos los cultivos en total, en toneladas, está limitada a 60. El área cultivable del campo es de 200.000 m2. Para atender las demandas de su propio campo, es imperativo que se planten 400 m2 de trigo, 800 m2 de arroz, y 10.000 m2 de maíz. Formular el modelo de PL que permita obtener las mayores ganancias para el productor. 46. Una cooperativa agrícola opera 3 campos que tienen una productividad aproximadamente igual entre si. La producción total por campo depende fundamentalmente del área disponible para la plantación y del agua para riego. La cooperativa procura diversificar su producción de modo que va a plantar para este año tres tipos de cultivo en cada campo, a saber: maíz, arroz, y porotos. Cada tipo de cultivo demanda una cierta cantidad de agua. Para reducir el conflicto con los regadores que son alquilados por la cooperativa, se establecen límites del área de producción dentro de cada tipo de cultivo. Para evitar la competencia entre los cooperados, se acordó que la proporción del área cultivada sea la misma para cada campo. Las tablas siguientes resumen los datos tecnológicos.

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AGUA DISPONIBLE Y AREA DE CULTIVO POR CAMPO CAMPO AREA TOTAL PARA EL CULTIVO AGUA DISPONIBLE Acres Litros 1 400 1800 2 650 2200 3 350 950 CONSUMO DE AGUA, AREA DE CULTIVO Y LUCRO POR PRODUCTO CULTIVO AREA MAXIMA DE CULTIVO CONSUMO DE AGUA Acres litros por acre Maíz 660 5,5 Arroz 880 4 Porotos 400 3,5

LUCRO $/acre 5000 4000 1800

47. Un determinado confeccionista opera con dos productos: calzas y camisas. Como se trata de productos semejantes, poseen una productividad comparable y comparten los mismos recursos. La programación de producción es realizada por lote de producto. El departamento de producción informa que son necesarios 10 hombres-hora para un lote de calzas y 20 hombres-hora para un lote de camisas. Se sabe que no es necesaria mano de obra especializada para la producción de calzas, pero son necesarios 10 hombres-hora de ese tipo de mano de obra para producir un lote de camisas. El departamento de personal informa que la fuerza máxima de trabajo disponible es de 30 hombreshora de operarios especializados y de 50 hombres-hora de hombres no especializados. De la planta de producción sabemos que existen solo dos maquinas con capacidad de producir los dos tipos de producto, siendo que la maquina 1 puede producir un lote de calzas cada 20 horas y un lote de camisas cada 10 horas, no pudiendo ser utilizada por mas de 80 horas en el período considerado. La maquina 2 puede producir un lote de calzas cada 30 horas y un lote de camisas cada 35 horas, no pudiendo ser utilizada por mas de 130 horas en el período considerado. Son necesarios dos tipos de materia prima para producir calzas y camisas. En la producción de un lote de calzas son utilizados 12 kilos de materia prima A y 10 kilos de B. En la producción de un lote de camisas son utilizados 8 kilos de materia prima A y 15 kilos de B. El departamento de “almacenes” informa que por restricciones de espacio, solo se pueden proporcionar 120 kilos de A y 100 de B en el período considerado. El lucro por la venta es de $ 800 por cada lote de camisas y de $ 500 por cada lote de calzas. Formule el modelo de PL que permita las mayores ganancias en el período considerado. 48. El Dpto. de policía de Bloomington necesita por lo menos la cantidad de policías que se indica en la tabla siguiente durante cada período de 6 horas. Se puede contratar a los policías para que trabajen 12 o 18 horas consecutivas. Las policías reciben 4$ por hora por cada una de las primeras 12 horas que trabajan, y cobran 6$ por cada una de las siguientes 6 horas que trabajan en un día. Formule un PL que se utilice para minimizar los costos por cumplir con las necesidades diarias de policías en Bloomington. Período Nº necesario de policías 12 a.m. – 6 a.m. 12 6 a.m. – 12 p.m. 8 12 p.m. – 6 p.m. 6 6 p.m. – 12 a.m. 15

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49. OilCo está construyendo una refinería para producir cuatro productos: diésel, gasolina, lubricantes y combustible para avión. La demanda mínima (en barriles por día) de cada uno de esos productos es de 14000, 30000, 10000 y 8000, respectivamente. Iraq y Dubai firmaron un contrato para enviar crudo a OilCo. Debido a las cuotas de producción especificadas por la OPEP (Organización de Países Exportadores de Petróleo), la nueva refinería puede recibir por lo menos 40% de su crudo de Iraq y el resto de Dubai. OilCo pronostica que la demanda y las cuotas de petróleo crudo no cambiarán durante los próximos 10 años. Las especificaciones de los dos crudos conducen a mezclas de productos diferentes: Un barril de crudo de Iraq rinde 0.2 barriles de diésel, 0.25 barriles de gasolina, 1 barril de lubricante y 0.15 barriles de combustible para avión. Los rendimientos correspondientes del crudo de Dubai son: 0.1, 0.6, 1.5 y 0.1, respectivamente. OilCo necesita determinar la capacidad mínima de la refinería (barriles por día). 50. Day Trader desea invertir una suma de dinero que genere un rendimiento anual mínimo de $10,000. Están disponibles dos grupos de acciones: acciones de primera clase y acciones de alta tecnología, con rendimientos anuales promedio de 10 y 25%, respectivamente. Aunque las acciones de alta tecnología producen un mayor rendimiento, son más riesgosas, y Trader quiere limitar la suma invertida en estas acciones a no más de 60% de la inversión total. ¿Cuál es la suma mínima que Trader debe invertir en cada grupo de acciones para alcanzar su objetivo de inversión? 51. Un centro de reciclaje industrial utiliza dos chatarras de aluminio, A y B, para producir una aleación especial. La chatarra A contiene 6% de aluminio, 3% de silicio, y 4% de carbón. La chatarra B contiene 3% de aluminio, 6% de silicio, y 3% de carbón. Los costos por tonelada de las chatarras A y B son de $100 y $80, respectivamente. Las especificaciones de la aleación especial requieren que (1) el contenido de aluminio debe ser mínimo de 3% y máximo de 6%; (2) el contenido de silicio debe ser de entre 3 y 5%, y (3) el contenido de carbón debe ser de entre 3 y 7%. Determine la mezcla óptima de las chatarras que deben usarse para producir 1000 toneladas de la aleación. 52. La demanda de helado durante los tres meses de verano (junio, julio y agosto) en All-Flavor Parlor se estima en 500, 600 y 400 cartones de 20 galones, respectivamente. Dos mayoristas, 1 y 2, le surten helado a All-Flavors. Aunque los sabores de los dos proveedores son diferentes, son intercambiables. El máximo de cartones que cada proveedor puede surtir es de 400 por mes. Además, el precio de los dos proveedores cambia de un mes al siguiente, según la tabla: Proveedor 1 2

Junio 100 115

Precio ($) por cartón en el mes de julio 110 108

agosto 120 125

Para aprovechar la fluctuación del precio, All-Flavor puede comprar más de lo que necesita en un mes y guardar el excedente para satisfacer la demanda en un mes posterior. El costo de refrigerar un cartón de helado es de $5 por mes. En la presente situación es realista suponer que el costo de refrigeración está en función de la cantidad de cartones promedio disponibles durante el mes. Desarrolle un modelo para determinar el programa óptimo de compra de helado a los dos proveedores.

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53. La demanda de un artículo durante los siguientes cuatro trimestres es de 300, 400, 370 y 250 unidades, respectivamente. El precio por unidad es de $20 en el primer trimestre y se incrementa $2 cada trimestre en lo sucesivo. El proveedor no puede surtir más de 400 unidades en cualquier trimestre. Aunque podemos aprovechar los bajos precios en los primeros trimestres, se incurre en un costo de almacenamiento de $3.50 por unidad de trimestre. Además, el máximo de unidades que puede conservar de un trimestre al siguiente no puede exceder de 100. Desarrolle un modelo de PL para determinar el programa de compra óptimo del artículo para satisfacer la demanda 54. El proceso de fabricación de un producto consta de dos operaciones sucesivas, I y II. La siguiente tabla proporciona los datos pertinentes durante los meses de junio, julio y agosto. Demanda del producto terminado (unidades) Capacidad de la operación I (h) Capacidad de la operación II (h)

Junio 500 800 1000

Julio 450 700 850

Agosto 600 550 700

Producir una unidad del producto implica 0.6 horas en la operación I, más 0.8 horas en la operación II. Se permite la sobreproducción o el producto terminado en parte (en la operación I), o el producto terminado (en la operación II) en cualquier mes para su uso en un mes posterior. Los siguientes costos de retención correspondientes son de $0.20 y $0.40 por unidad por mes. El costo de producción varía por operación y por mes. Para la operación 1, el costo de producción unitario es de $10, $12 y $11 en junio, julio y agosto, respectivamente. Para la operación 2, el costo correspondiente de producción unitario es de $15, $18 y $16. Desarrolle un modelo de PL para determinar el programa de producción óptimo para las dos operaciones en el horizonte de 3 meses. 55. En una compañía camionera de cargas pequeñas, los andenes de la terminal incluyen trabajadores eventuales contratados temporalmente para que se encarguen de las cargas pico. En el andén de Omaha, Nebraska, la demanda mínima de trabajadores eventuales durante los 7 días de la semana (a partir del lunes) es de 20, 14, 10, 15, 18, 10 y 12 trabajadores. Cada trabajador es contratado para que labore 5 días consecutivos. Desarrolle el modelo de PL y determine una práctica de contratación semanal óptima de trabajadores eventuales para la compañía. 56. La mayoría de los departamentos académicos de las universidades contratan estudiantes para que realicen encargos de oficina. La necesidad de ese servicio fluctúa durante las horas hábiles (8:00 A.M. a 5:00 P.M.). En un departamento, la cantidad mínima de estudiantes requeridos es de 2 entre las 8:00 A.M. y las 10:00 A.M.; 3 entre las 10:01 A.M. y las 11:00 A.M.; 4 entre las 11:01 A.M. y la 1:00 P.M., y 3 entre la 1:01 P.M. y las 5:00 P.M. A cada estudiante se le asignan 3 horas consecutivas (excepto a los que inician a las 3:01 P.M. que trabajan 2 horas, y a los que inician a las 4:01 que trabajan 1 hora). Debido al horario flexible de los estudiantes, por lo común pueden iniciar a cualquier hora durante el día de trabajo, excepto a la hora del almuerzo (12:00 del día). Desarrolle el modelo de PL y determine un horario que especifique la hora del día y la cantidad de estudiantes que se reportan al trabajo. 57. Una gran tienda de departamentos opera 7 días a la semana. El gerente estima que la cantidad mínima de vendedores requeridos para proporcionar un servicio ágil es de 12 el lunes, 18 el martes, 20 el miércoles, 28 el jueves, 32 el viernes, y 40 para el sábado y el domingo. Cada vendedor trabaja 5 días a la semana, con los dos días de descanso escalonados a lo largo de la semana. Por ejemplo, si

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10 personas inician el lunes, 2 pueden tomar su día de descanso el martes o el miércoles; 5 el miércoles y jueves, y 3 el sábado y domingo. ¿Cuántos vendedores se deben contratar, y cómo se distribuirán sus días de descanso? 58. Hi-V produce tres tipos de jugos enlatados, A, B y C, utilizando fresas, uvas y manzanas frescas. El abasto diario se limita a 200 toneladas de fresas, 100 toneladas de uvas y 150 toneladas de manzanas. El costo por tonelada de fresas, uvas y manzanas es de $200, $100 y $90, respectivamente. Cada tonelada rinde 1500 lb de jugo de fresa, 1200 lb de jugo de uva, y 1000 lb de jugo de manzana. La bebida A es una mezcla de 1:1 de jugo de fresa y jugo de manzana. La bebida B es una mezcla de 1:1:2 de jugo de fresa, jugo de uva y jugo de manzana. La bebida C es una mezcla de 2:3 de jugo de uva y jugo de manzana. Todas las bebidas se envasan en latas de 16 oz. (1 lb). El precio por lata es de $1.15, $1.25 y $1.20 de las bebidas A, B y C. Desarrolle un modelo de PL para determinar la mezcla de producción óptima de las tres bebidas. 59. Una refinería fabrica dos tipos de combustible para avión, F1 y F2, mezclando cuatro tipos de gasolina, A, B, C y D. El combustible F1 incluye las gasolinas A, B, C y D en la proporción 1:1:2:4, y el combustible F2 incluye la proporción 2:2:1:3. Los límites de abasto de A, B, C y D son 1000, 1200, 900 y 1500 barriles/día, respectivamente. Los costos por barril de las gasolinas A, B, C y D son $120, $90, $100 y $150, respectivamente. Las combustibles F1 y F2 se venden a $200 y $250 por barril, respectivamente. La demanda mínima de F1 y F2 es de 200 y 400 barriles/día, respectivamente. Desarrolle un modelo de PL para determinar la mezcla de producción óptima de F1 y F2. 60. Una fundidora de acero, aluminio y hierro colado produce dos tipos de lingotes de metal, I y II, con límites específicos en el contenido de aluminio, grafito y silicio. En el proceso de fundición pueden usarse briquetas de aluminio y silicio para satisfacer las especificaciones deseadas. Las siguientes tablas establecen las especificaciones del problema:

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Desarrolle un modelo de PL para determinar la mezcla óptima que la fundidora debe fundir.