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12.3

12.3

509

Conexión estrella-estrella balanceada

Conexión estrella-estrella balanceada

Se comenzará por el sistema Y-Y, porque cualquier sistema trifásico balanceado puede reducirse a un sistema Y-Y equivalente. Por lo tanto, el análisis de este sistema debe considerarse la clave para resolver todos los sistemas trifásicos balanceados. Un sistema Y-Y balanceado es un sistema trifásico con fuente balanceada conectada en Y y carga balanceada conectada en Y.

Considérese el sistema Y-Y balanceado de cuatro conductores de la figura 12.9, en el que una carga conectada en Y se conecta a una fuente conectada en Y. Se supone una carga balanceada, de modo que las impedancias de carga son iguales. Aunque la impedancia ZY es la impedancia de carga total por fase, también puede concebirse como la suma de la impedancia de fuente Zs, la impedancia de línea Zø y la impedancia de carga ZL de cada fase, ya que estas impedancias están en serie. Como se ilustra en la figura 12.9, Zs denota la impedancia interna del devanado de fase del generador; Zø es la impedancia de la línea que une a una fase de la fuente con una fase de la carga; ZL es la impedancia de cada fase de la carga, y Zn es la impedancia de la línea neutra. Así, en general, ZY 5 Zs 1 Zø 1 ZL

Zø

a

(12.9)

A

Zs ZL + −

Van

Zn

n

N

Vcn +−

− +

Vbn

ZL

ZL

Zs

Zs

b

c

C

B Zø

Zø

Figura 12.9 Sistema Y-Y balanceado, en el que se indican las impedancias de fuente, línea y carga. Ia

Zs y Zø suelen ser muy reducidas en comparación con ZL, de modo que puede suponerse que ZY 5 ZL si no se da ninguna impedancia de fuente o línea. En todo caso, mediante la agrupación de las impedancias, el sistema Y-Y de la figura 12.9 puede simplificarse en el que se muestra en la figura 12.10. Suponiendo la secuencia positiva, las tensiones de fase (o tensiones líneaneutro) son Van 5 Vpl 0° ¬ Vbn 5 Vpl2120°,

¬¬

(12.10)

Vcn 5 Vpl1120°

¬¬

A

a + −

Van

ZY

In

n Vcn

N

− +

− +

ZY

Vbn

c

Ib Ic

C

b

Figura 12.10 Conexión Y-Y balanceada.

ZY B

Capítulo 12

510

Circuitos trifásicos

Las tensiones línea-línea, o simplemente tensiones de línea, Vab, Vbc y Vca se relacionan con las tensiones de fase. Por ejemplo, Vbc 5 Van 1 Vnb 5 Van 2 Vbn 5 Vpl 0° 2 Vpl2120°

¬

1 13 5 Vp a1 1 1 j b 5 13Vpl308 2 2

¬¬

(12.11a)

De igual manera puede obtenerse Vbc 5 Vbn 2 Vcn 5 Ï·3Vpl290°

(12.11b)

Vca 5 Vcn 2 Van 5 Ï·3Vpl2210°

(12.11c)

¬ ¬

¬¬

Por lo tanto, la magnitud de las tensiones de línea VL es Ïw 3 veces la magnitud de las tensiones de fase Vp, o VL 5 Ïw 3 Vp

(12.12)

Vp 5 )Van) 5 )Vbn) 5 )Vcn)

(12.13)

VL 5 )Vab) 5 )Vbc) 5 )Vca)

(12.14)

donde y Asimismo, las tensiones de línea se adelantan respecto a las tensiones de fase correspondientes en 30°. La figura 12.11a) ilustra esto. Esta figura también indica cómo determinar Vab a partir de las tensiones de fase, en tanto que la figura 12.11b) indica lo mismo acerca de las tres tensiones de línea. Nótese que Vab se adelanta a Vbc en 120° y Vbc se adelanta a Vca en 120°, de manera que las tensiones de línea suman cero, al igual que las tensiones de fase. Al aplicar la LTK a cada fase de la figura 12.10, se obtienen las corrientes de línea como Vab = Van + Vnb

Vnb Vcn

Ia 5

30° Van

Van , ZY

Ib 5

Vanl21208 Vbn 5 5 Ial21208 ZY ZY

Vanl22408 Vcn Ic 5 5 5 Ial22408 ZY ZY

Vbn

(12.15)

Se infiere fácilmente que las corrientes de línea suman cero, a)

Vca

Vcn

Vab

Van Vbn

Vbc b)

Figura 12.11 Diagramas fasoriales que ilustran la relación entre tensiones de línea y las de fase.

Ia 1 Ib 1 Ic 5 0

(12.16)

In 5 2(Ia 1 Ib 1 Ic) 5 0

(12.17a)

VnN 5 ZnIn 5 0

(12.17b)

de modo que o sea lo cual quiere decir que la tensión en el conductor neutro es de cero. Así pues, la línea neutra puede eliminarse sin afectar el sistema. De hecho, en transmisión de potencia de larga distancia se emplean conductores en múltiplos de tres en los que la tierra actúa como el conductor neutro. Los sistemas de potencia que se diseñan de esta manera se aterrizan cuidadosamente en todos los puntos críticos para garantizar la seguridad. Mientras que la corriente de línea es la corriente en cada línea, la corriente de fase es la corriente en cada fase de la fuente o la carga. En el sistema Y-Y, la corriente de línea es igual a la corriente de fase. Se usará un solo sub-

12.3

511

Conexión estrella-estrella balanceada

índice en las corrientes de línea, porque es natural y convencional suponer que las corrientes de línea fluyen de la fuente a la carga. Otra forma de analizar un sistema Y-Y balanceado es hacerlo “por fase”. Se examina una fase, la fase a por ejemplo, y se analiza el circuito monofásico equivalente de la figura 12.12. El análisis monofásico produce la corriente de línea Ia como V Ia 5 an ZY

a

Ia

A

Van + −

ZY n

N

Figura 12.12 Circuito monofásico equivalente.

(12.18)

A partir de Ia, se aplica la secuencia de fases para obtener las demás corrientes de línea. Así, en tanto el sistema esté balanceado, basta con analizar una fase. Esto puede hacerse aun si la línea neutra está ausente, como en el sistema de tres conductores.

Calcule las corrientes de línea del sistema Y-Y de tres conductores de la figura 12.13. 5 – j2 Ω

a

A

+ 110 0° V − 10 + j8 Ω 110 −240° V +− c

− 110 −120° V + 5 – j2 Ω b

B

5 – j2 Ω

C

10 + j8 Ω

10 + j8 Ω

Figura 12.13 Sistema Y-Y de tres conductores, para el ejemplo 12.2.

Solución: El circuito trifásico de la figura 12.13 está balanceado; se le puede remplazar por su circuito monofásico equivalente, como el de la figura 12.12. Ia se obtiene del análisis monofásico como Ia 5

Van ZY

donde ZY 5 (5 2 j2) 1 (10 1 j8) 5 15 1 j6 5 16.155l21.8°. Así, Ia 5

110l08 16.155l21.88

¬ ¬

5 6.81l221.88 A

Como las tensiones de fuente de la figura 12.13 están en secuencia positiva, las corrientes de línea también están en secuencia positiva: Ib 5 Ial21208 5 6.81l2141.88 A Ic 5 Ial22408 5 6.81l2261.88 A 5 6.81l98.28 A

Ejemplo 12.2

Capítulo 12

512

Problema de práctica 12.2

Circuitos trifásicos

Un generador trifásico balanceado conectado en Y con una impedancia de 0.4 1 j0.3 V por fase se conecta con una carga balanceada conectada en Y con una impedancia de 24 1 j19 V por fase. La línea que une al generador y la carga tiene una impedancia de 0.6 1 j0.7 V por fase. Suponiendo una secuencia positiva de las tensiones de fuente y que Van 5 120l30° V halle: a) las ¬ ¬ tensiones de línea, b) las corrientes de línea. Respuesta: a) 207.85l608 V, 207.85l2608 V, 207.85l21808 V, b) 3.75l28.668 A, 3.75l2128.668 A, 3.75l2111.348 A.

12.4

Conexión estrella-delta balanceada

Un sistema Y-D balanceado consta de una fuente balanceada conectada en Y que alimenta a una carga balanceada conectada en D. Éste es quizá el sistema trifásico más práctico, ya que las fuentes trifásicas suelen conectarse en Y, mientras que las cargas trifásicas suelen conectarse en D.

El sistema Y-delta balanceado se presenta en la figura 12.14, en la que la fuente está conectada en estrella y la carga está conectada en D. No hay, desde luego, conexión neutra de la fuente a la carga en este caso. Suponiendo la secuencia positiva, las tensiones de fase son de nueva cuenta Van 5 Vpl 0° ¬ Vcn 5 Vpl1120°

Vbn 5 Vpl2120°, ¬¬

(12.19)

¬¬

Como se mostró en la sección 12.3, las tensiones de línea son 3Vpl30° 5 VAB, Vbc 5 Ï· 3Vpl290° 5 VBC Vab 5 Ï· ¬ ¬ ¬ ¬ (12.20) Vca 5 Ï· 3Vpl2150° 5 VCA

¬¬

lo que indica que las tensiones de línea son iguales a las tensiones en las impedancias de carga en esta configuración de sistemas. De estas tensiones pueden obtenerse las corrientes de fase como IAB 5

VAB , ZD

IBC 5

VBC , ZD

ICA 5

VCA ZD

(12.21)

Estas corrientes tienen la misma magnitud, pero están defasadas 120° entre sí.

Ia

a Van

+ − n

I AB

A Z∆

Vcn +−

c

− Vbn + b

Z∆ Ib Ic

Figura 12.14 Conexión Y-D balanceada.

ICA Z∆

B

C I BC

12.4

513

Conexión estrella-delta balanceada

Otra manera de obtener estas corrientes de fase es aplicar la LTK. Por ejemplo, la aplicación de la LTK a lo largo del lazo aABbna da como resultado 2Van 1 ZDIAB 1 Vbn 5 0 o sea IAB 5

Van 2 Vbn Vab VAB 5 5 ZD ZD ZD

(12.22)

ecuación igual a la ecuación (12.21). Ésta es la manera más general de determinar las corrientes de fase. Las corrientes de línea se obtienen de las corrientes de fase aplicando la LCK en los nodos A, B y C. Así, Ia 5 IAB 2 ICA,

Ib 5 IBC 2 IAB,

Ic 5 ICA 2 IBC

(12.23)

Puesto que ICA 5 IABl2240°,

¬¬

Ia 5 IAB 2 ICA 5 IAB(1 2 1l2240°)

¬¬

5 IAB(1 1 0.5 2 j0.866) 5 IABÏ· 3 l230°

¬ ¬

(12.24)

lo que indica que la magnitud IL de la corriente de línea es Ï·3 veces la magnitud Ip de la corriente de fase, o IL 5 Ï· 3Ip

(12.25) Ic

donde IL 5 uIau 5 uIb) 5 uIcu

(12.26) I CA

y Ip 5 uIABu 5 uIBCu 5 uICAu

(12.27)

Asimismo, las corrientes de línea se atrasan respecto a las corrientes de fase respectivas en 30°, suponiendo la secuencia positiva. La figura 12.15 es un diagrama fasorial que ilustra la relación entre las corrientes de fase y las corrientes de línea. Otra manera de analizar el circuito Y-D es transformar la carga conectada en D en una carga equivalente conectada en Y. Mediante la fórmula de transformación D-Y de la ecuación (12.8), ZY 5

ZD 3

30° I AB 30° Ia

30° Ib

I BC

Figura 12.15 Diagrama fasorial que ilustra la relación entre las corrientes de fase y las corrientes de línea.

(12.28)

Después de esta transformación, se tiene un sistema Y-Y como el de la figura 12.10. El sistema trifásico Y-D de la figura 12.14 puede remplazarse por el circuito monofásico equivalente de la figura 12.16. Esto permite calcular únicamente las corrientes de línea. Las corrientes de fase se obtienen con base en la ecuación (12.25) y en el hecho de que cada corriente de fase se adelanta respecto a la corriente de línea respectiva en 30°.

Una fuente balanceada conectada en Y en secuencia abc con Van 5 100l10° V ¬fase. se conecta con una carga balanceada conectada en D de (8 1 j4) V por¬ Calcule las corrientes de fase y de línea.

Ia Z∆ 3

Van + −

Figura 12.16 Circuito monofásico equivalente de un circuito Y-D balanceado.

Ejemplo 12.3

Capítulo 12

514

Circuitos trifásicos

Solución: Este problema puede resolverse de dos maneras.

j MÉTODO 1 La impedancia de carga es Z¢ 5 8 1 j4 5 8.944l26.578 V Si la tensión de fase Van 5 100l10°, entonces la tensión de línea es

¬ ¬

Vab 5 Van 13l308 5 100 13l108 1 308 5 VAB o sea VAB 5 173.2l408 V Las corrientes de fase son 173.2l408 VAB 5 5 19.36l13.438 A Z¢ 8.944l26.578 IBC 5 IABl21208 5 19.36l2106.578 A ICA 5 IABl11208 5 19.36l133.438 A

IAB 5

Las corrientes de línea son Ia 5 IAB 13l2308 5 13(19.36)l13.438 2 308 5 33.53l216.578 A Ib 5 Ial21208 5 33.53l2136.578 A Ic 5 Ial11208 5 33.53l103.438 A

j MÉTODO 2 Alternativamente, aplicando el análisis monofásico, Ia 5

100l108 Van 5 5 33.54l216.578 A Z¢y3 2.981l26.578

como se obtuvo anteriormente. Las demás corrientes de línea se obtienen siguiendo la secuencia de fases abc.

Problema de práctica 12.3

Una tensión de línea de una fuente balanceada conectada en Y es VAB 5 180l220° V. Si la fuente se conecta a una carga en D de 20l40° V, halle las ¬ ¬de fase y de línea. Suponga la secuencia abc. ¬ ¬ corrientes Respuesta: 9l260°, 9l2180°, 9l60°, 15.59l290°, 15.59l2150°, 15.59l30° A.

¬ ¬

12.5

¬¬ ¬ ¬

¬ ¬

¬¬

¬ ¬

Conexión delta-delta balanceada

Un sistema D-D balanceado es aquel en el que tanto la fuente balanceada como la carga balanceada están conectadas en D.

La fuente y la carga pueden conectarse en delta como se muestra en la figura 12.17. La meta, como siempre, es obtener las corrientes de fase y de línea.

12.5

Ia

a

A IAB

Vca

− +

+ Vab −

Z∆

Z∆

ICA

Ib c

−+

b

Vbc

515

Conexión delta-delta balanceada

B

Ic

C IBC

Z∆

Figura 12.17 Conexión D-D balanceada.

Suponiendo una secuencia positiva, las tensiones de fase de una fuente conectada en delta son

Vbc

Vab 5 Vpl 0° ¬ 5 Vpl2120°, Vca 5 l1120°

¬¬

(12.29)

¬¬

Las tensiones de línea son iguales a las tensiones de fase. Con base en la figura 12.17, suponiendo que no hay impedancias de línea, las tensiones de fase de la fuente conectada en delta equivalen a las tensiones a través de las impedancias; es decir, Vab 5 VAB,

Vbc 5 VBC,

Vca 5 VCA

(12.30)

Así, las corrientes de fase son IAB 5

VAB Vab 5 , ZD ZD

IBC 5

ICA 5

VCA Vca 5 ZD ZD

VBC Vbc 5 ZD ZD (12.31)

Dado que la carga está conectada en delta como en la sección anterior, algunas de las fórmulas derivadas en ella se aplican aquí. Las corrientes de línea se obtienen de las corrientes de fase aplicando la LCK en los nodos A, B y C, como se hizo en la sección anterior: Ia 5 IAB 2 ICA,

Ib 5 IBC 2 IAB,

Ic 5 ICA 2 IBC

(12.32)

Asimismo, como se indicó en la sección precedente, cada corriente de línea se atrasa de la correspondiente corriente de fase en 30°; la magnitud IL de la corriente de línea es Ï·3 veces la magnitud Ip de la corriente de fase, IL 5 Ï· 3Ip

(12.33)

Otra forma de analizar el circuito D-D es convertir tanto la fuente como la carga en sus equivalentes en Y. Ya se sabe que ZY 5 ZDy3. Para convertir una fuente conectada en D en una fuente conectada en Y, véase la siguiente sección.

Una carga balanceada conectada en D y con impedancia 20 2 j15 V se conecta con un generador conectado en D en secuencia positiva con Vab 5 330l 0° V. Calcule las corrientes de fase de la carga y las corrientes de línea.

¬

Ejemplo 12.4

Capítulo 12

516

Circuitos trifásicos

Solución: La impedancia de carga por fase es Z¢ 5 20 2 j15 5 25l236.878 V Dado que VAB 5 Vab, las corrientes de fase son 330l08 VAB 5 5 13.2l36.878 A Z¢ 25l236.87 IBC 5 IABl21208 5 13.2l283.138 A ICA 5 IABl11208 5 13.2l156.878 A

IAB 5

En el caso de una carga en delta, la corriente de línea siempre se atrasa de la correspondiente corriente de fase en 30° y tiene una magnitud de Ï· 3 veces la de la corriente de fase. En consecuencia, las corrientes de línea son Ia 5 IAB 13l2308 5 (13.2l36.878)(13l2308) 5 22.86l6.878 A Ib 5 Ial21208 5 22.86l2113.138 A Ic 5 Ial11208 5 22.86l126.878 A

Problema de práctica 12.4

Una fuente balanceada conectada en D en secuencia positiva alimenta a una carga balanceada conectada en D. Si la impedancia por fase de la carga es 18 1 j12 V y Ia 5 22.5l35° A, halle IAB y VAB.

¬ ¬

Respuesta: 13l65° A, 281.5l98.69° V.

¬ ¬

12.6

¬¬

Conexión delta-estrella balanceada

Un sistema D-Y balanceado consta de una fuente balanceada conectada en D que alimenta a una carga balanceada conectada en Y.

Considérese el circuito D-Y de la figura 12.18. Suponiendo otra vez la secuencia abc, las tensiones de fase de una fuente conectada en delta son Vbc 5 Vpl2120° Vab 5 Vpl0° , ¬ ¬ ¬¬ l Vca 5 Vp 1120°

(12.34)

¬¬

Éstas son también las tensiones de línea así como las de fase. Las corrientes de línea pueden obtenerse de muchas maneras. Una de ellas es aplicar la LTK al lazo aANBba de la figura 12.18 y escribir 2Vab 1 ZY Ia 2 ZY Ib 5 0 o sea ZY (Ia 1 Ib) 5 Vab 5 Vpl0°

¬ ¬

Así,

Vpl0° Ia 2 Ib 5

¬ ¬

ZY

(12.35)

12.6

Ia

a

517

Conexión delta-estrella balanceada

A ZY

Vca

− +

+ Vab −

N ZY

Ib −+

c

B

b

Vbc

ZY C

Ic

Figura 12.18

Conexión D-Y balanceada Pero Ib se atrasa de Ia en 120°, ya que se ha supuesto la secuencia abc; esto es, Ib 5 Ial2120°. Por lo tanto,

¬¬

Ia 2 Ib 5 Ia(1 2 1l21208) 1 13 5 Ia a1 1 1 j b 5 Ia 13l308 2 2

(12.36)

La sustitución de la ecuación (12.36) en la ecuación (12.35) produce Ia 5

Vpy13l2308

(12.37)

ZY

De esto se obtienen las demás corrientes de línea Ib y Ic siguiendo la secuencia positiva de fases, es decir Ib 5 Ial2120°, Ic. 5 Ial1120°. Las corrien¬¬ tes de fase son iguales a las corrientes ¬ de¬ línea. Otra forma de obtener las corrientes de línea es remplazar la fuente conectada en delta por su fuente equivalente conectada en estrella, como se señala en la figura 12.19. En la sección 12.3 se determinó que las tensiones línea-línea de una fuente conectada en estrella se adelantan a sus correspondientes tensiones de fase en 30°. En consecuencia, cada tensión de fase de la fuente equivalente conectada en estrella se obtiene dividiendo la correspondiente tensión de línea de la fuente conectada en delta entre Ï· 3 y alterando su fase en –30°. Así, la fuente equivalente conectada en estrella tiene las tensiones de fase Van 5 Vbn 5

Vp 13

Vca

+ V an −

− +

− Vbn +

+− Vcn

c

+ V − ab

n

+−

b

Vbc

Vp 13

l21508,

l2308 Vcn 5

Vp 13

(12.38)

l1908

Si la fuente conectada en delta tiene una impedancia de fuente Zs por fase, la fuente equivalente conectada en estrella tendrá una impedancia de fuente de Zsy3 por fase, de acuerdo con la ecuación (9.69). Una vez transformada la fuente en estrella, el circuito se convierte en un sistema estrella-estrella. Por consiguiente, es posible emplear el circuito monofásico equivalente que aparece en la figura 12.20, con base en el cual la corriente de línea de la fase a es Ia 5

a

Vpy13l2308 ZY

ecuación igual a la ecuación (12.37).

(12.39)

Figura 12.19 Transformación de una fuente conectada en D en una fuente equivalente conectada en Y

Ia Vp −30° √3

+ −

Figura 12.20 Circuito monofásico equivalente.

ZY

518

Capítulo 12

Circuitos trifásicos

Alternativamente, la carga conectada en estrella puede transformarse en una carga equivalente conectada en delta. Esto da por resultado un sistema delta-delta, el cual puede analizarse como en la sección 12.5. Note que VAN 5 Ia ZY 5 VBN 5 VANl21208,

Vp 13

l2308

(12.40)

VCN 5 VANl11208

Como ya se señaló, la carga conectada en delta es preferible que la carga conectada en estrella. Es más fácil modificar las cargas en cualquiera de las fases conectadas en delta, ya que las cargas individuales se conectan directamente entre las líneas. En cambio, la fuente conectada en delta difícilmente se usa en la práctica, porque cualquier leve desbalance en las tensiones de fase provocará corrientes circulantes indeseables. En la tabla 12.1 se presenta un resumen de las fórmulas de corrientes y tensiones de fase y de corrientes y tensiones de línea de las cuatro conexiones. Se aconseja a los estudiantes no memorizarlas, sino comprender cómo se

TABLA 12.1

Resumen de tensiones/corrientes de fase y de línea de sistemas trifásicos balanceados.1 Conexión

Tensiones/corrientes de fase

Y-Y

Van 5 Vpl08 Vbn 5 Vpl21208 Vcn 5 Vpl11208 Misma corriente de línea

Y-¢

Van 5 Vpl08 Vbn 5 Vpl21208 Vcn 5 Vpl11208 IAB 5 VAByZ¢ IBC 5 VBCyZ¢ ICA 5 VCAyZ¢ Vab 5 Vpl08 Vbc 5 Vpl21208 Vca 5 Vpl11208 IAB 5 VabyZ¢ IBC 5 VbcyZ¢ ICA 5 VcayZ¢ Vab 5 Vpl08 Vbc 5 Vpl21208 Vca 5 Vpl11208

¢-¢

¢-Y

Misma corriente de línea

1

Se supone secuencia positiva o abc.

Tensiones/corrientes de línea Vab 5 13Vpl308 Vbc 5 Vabl21208 Vca 5 Vabl11208 Ia 5 VanyZY Ib 5 Ial21208 Ic 5 Ial11208 Vab 5 VAB 5 13Vpl308 Vbc 5 VBC 5 Vabl21208 Vca 5 VCA 5 Vabl11208 Ia 5 IAB 13l2308 Ib 5 Ial21208 Ic 5 Ial11208 Mismo voltaje de fase

Ia 5 IAB 13l2308 Ib 5 Ial21208 Ic 5 Ial11208 Mismo voltaje de fase

Ia 5

Vpl2308

13ZY Ib 5 Ial21208 Ic 5 Ial11208