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• J Jhonatan Astucuri B

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PLAN DE CLASES DE INGENIERIA ECONOMICA I I.-

ASPECTOS GENERALES ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA DE SISTEMAS SEMANA 2 DIA Y HORA: HORA

LUNES

MARTES

MIERCOLES

JUEVES

7 - 9 am

VIERNES

EC 441

11 - 1 am

EC 441

5 - 7 pm

EC 441

EC 441

II.- OBJETIVOS 1.1. Los estudiantes deben conocer los conceptos básicos de interés simple y compuesto. 1.2. Los estudiantes deben conocer las formulas del interés simple y compuesto 1.3. Los estudiantes deben saber resolver los problemas de interés simple y compuesto. III.- METODOLOGIA El docente expone los conceptos básicos de interés simple y compuesto y los relaciona con la realidad. Los alumnos participan activamente. IV.- MATERIALES Silabo, pizarra, mota, plumones y separatas. V.- TEMAS Y SUB TEMAS 5.- INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO 5.1.- INTERES SIMPLE a) Concepto. El capital gana el mismo interés en cada periodo o frecuencia de pago o cobro durante el plazo de la operación o transacción económica y/o financiera. La fórmula general es: 𝑃=

𝐼 𝑖�

𝐼= 𝑃𝑖�

𝑖=

𝐼 𝑃�

�=

𝐼 𝑃�

b) Valor Futuro y Valor Presente del Interés Simple

P

F

I I2

I1 0

1

I3

2

In-1

3

n-1

In n

(i , n) Dónde: I1, I2, I3, …. In-1, In, se calculan sobre el principal, es decir no se capitalizan los intereses.

Interés

Periodo

Valor Presente

0

P

1

P

Pi

2

P

Pi

Pi

3

P

Pi

Pi

Pi

…

…

……

…

…

n–1

P

Pi

Pi

Pi

…

Pi

n

P

Pi

Pi

Pi

…

Pi

1

Formula

2

3

…

n-1

n

Calculando

Valor Futuro F

P(1+i)

P(1+i)

P+2Pi

P(1+2i)

P+3Pi

P(1+3i)

P+(n-1)Pi

P(1+(n-1)i)

P+nPi

P(1+ni)

Pi

F = P(1+ni)

𝑃= 𝐹[

𝐹= 𝑃[1 + ��]

𝐼= 𝐹− 𝑃 𝐼= 𝑃[1 + ��] − 𝑃 𝐼= 𝑃[(1 + ��) − 1 ]

1

(1 + ��) 𝐹 ( )−1 𝑃 �= 𝑖 𝐹 ( )−1 𝑖= 𝑃 �

]

c) Variaciones da variables Variación en la tasa de interés: Cuando en el mercado se producen variaciones en las tasas de interés, el principal se mantiene constate durante el plazo o tiempo de las transacciones económicas y/o financieras. 𝐼= 𝑃�1 �1 + 𝑃𝑖2 �2 + 𝑃�3 �3 + ⋯ + 𝑃����

𝐼= 𝑃(𝑖1�1 + 𝑖2 �2 + 𝑖3 �3 + ⋯ + 𝑖���)

Variación del principal: Cuando en saldo de un depósito de ahorro cambian constantemente, la tasa de interés se mantiene constante durante el plazo o tiempo de las transacciones económicas y/o financieras. 𝐼= �1 𝑖�1 + �2 𝑖�2 + �3 𝑖�3 + ⋯ + � �𝑖��

𝐼= 𝑖(�1 �1 + �2�2 + �3 �3 + ⋯ + � ���)

Monto con Variación de Tasa Cuando se producen variaciones de tasas. 𝐹= 𝑃+ 𝑃�1 �1 + 𝑃�2 �2 + 𝑃�3 �3 + ⋯ + 𝑃����

𝐹= 𝑃( 1 + 𝑖1�1 + 𝑖2 �2 + 𝑖3 �3 + ⋯ + 𝑖���)

5.2.- INTERÉS COMPUESTO. a) Concepto. Es el proceso mediante el cual el interés generado por un capital en una unidad de tiempo, se capitaliza, es decir se adiciona al capital anterior, formando un nuevo capital, el mismo que genera un nuevo interés en la siguiente unidad de tiempo y así sucesivamente durante el plazo pactado, experimentando al final de cada unidad de tiempo un crecimiento geométrico. La fórmula general es:

b) Valor Futuro y Valor Presente del Interés Compuesto

P

F

I I1

0

1

I2

I3

2

In-1

3

In

n-1

n

(i , n)

Dónde: I1, I2, I3, …. In-1, In, se calculan sobre el principal, es decir no se capitalizan los intereses.

Periodo

p

0

P

1

P

2

Interés 1

P(1+i)

…

3

Formula

…

n-1

n

…

P(1+i)i P(1+2i+𝑖2 )

P(1+2i+𝑖2 )𝑖

…

…

n-1

n

…

Pi

3 …

2

…

…

…

…

…

…

P(1 + 𝑖)�−2

(1+i)

…

…

(1 + 𝑖)�−1 (1+i)

F = P(1 + 𝑖)�

Calculando

F

P(1+i)

P(1+i)

P(1+2i+𝑖2 )

P(1 + 𝑖)2

P(1+3i + 3𝑖2 + 𝑖3 )

P(1 + 𝑖)3

…

… (1 + 𝑖)�−1

P(1 + 𝑖)�

𝑃= 𝐹[

F = P (1 + 𝑖)�=> F = P x FSC,i,n

1

(1 + 𝑖)� 𝐹 𝑙�𝑔( ) 𝑃 �= 𝑙�𝑔(1 + 𝑖)

]

P = F x FSA,i,n

𝐹

𝑖= �√ -1 𝑃

FSC : Factor Simple de Capitalización FSA : Factor Simple de Actualización

c) Calculo del Interés

𝑃= [

I=F–P I = 𝑃(1 + 𝑖)�– P I = 𝑃[(1 + 𝑖)�– 1]

𝐼 (1 + 𝑖)� − 1

]

𝐼 𝑙�𝑔( + 1 ) 𝑃 �= 𝑙�𝑔(1 + 𝑖) 𝐼1 𝑖= ( + 1) � 𝑃

GUIAS DE PRACTICA DIRIGIDA: 1.

El Banco Wisse, otorgo a una empresa un préstamo de S/. 10,000.00 parta devolverlo dentro de un año, cobrando una tasa de interés simple del 24% anual. ¿Cuál será el monto total que pagará la empresa al vencimiento del plazo? DATOS: I=? P = 10,000.00 i = 24.0% anual n = 1 año SOLUCION:

F=?

P = 10,000

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12 meses

i = 24% anual

𝐹= 𝑃[1 + ��]

F = 10,000 [1 + 1x0.24 ] = 12,400.00 2.- ¿Qué capital colocado a una tasa anual del 30% producirá interés simple de S/.1,000.00 en el periodo comprendido entre el 19 de abril y 30 de junio? DATOS P=? I = 1,000.00 i = 30.0% anual n = 73 días SOLUCION

P=? 19 abril

I = 1,000 30 abril

31 mayo

i = 30% anual

n = 73 días 30 junio

𝐼 𝑃= 𝑖� 𝑃=

1,000.00 0.30𝑥72/360

= 16,666.67 3.- ¿Cuál será la tasa mensual de interés simple a cargar en el financiamiento a 45 días sobre un artículo cuyo precio de contado es de S/. 2,000.00 y al crédito sin cuota inicial será de S/. 2,300.00

𝑖=

𝐼

𝑃�

𝑖=

300 45 (2,000𝑥 ) 30

2,300 1 𝑖= 2,000 45 30

o

= 0.10 = 10.0%

− = 0.10 = 10.0%

)

4.- Usted abre una cuenta de ahorros en el Banco Interbanc, el 1 de junio con S/.1.100.00 y realiza a partir de esa fecha durante todo el mes de junio las siguientes operaciones:

Movimiento

Fecha

Monto

Apertura

1 de junio

1,100

Retiro

4 de junio

150

Deposito

6 de junio

200

Deposito

10 de junio

100

Retiro

18 de junio

300

Deposito

23 de junio

60

Deposito

26 de junio

480

Retiro

27 de junio

630

Deposito

28 de junio

100

¿Qué cantidad de interés habrá acumulado al 30 de junio, si la tasa de interés mensual simple es del 4?0%?

Datos

Tasa

0.04

Días

30

Movimiento

Fecha

Monto

Saldo

Interés Diario

n

Apertura

1 de junio

1,100

1,100

3

4.40

Retiro

4 de junio

150

950

2

2.53

Deposito

6 de junio

200

1,150

4

6.13

Deposito

10 de junio

100

1,250

8

13.33

Retiro

18 de junio

300

950

5

6.33

Deposito

23 de junio

60

1,010

3

4.04

Deposito

26 de junio

480

1,490

1

1.99

Retiro

27 de junio

630

860

1

1.15

Deposito

28 de junio

100

960

2

2.56

Interés Total

42.47

𝐼= 𝑖(�1�1 + �2 �2 + �3 �3 + ⋯ + � ���) 𝐼=

0.04

(1,100𝑥3 + 950𝑥2 + 1,150𝑥4 + 1,250𝑥8 + 950𝑥5 + 1,010𝑥3 + 1,490𝑥1 + 860𝑥1 + 960𝑥2)

30

𝐼= 42.47

5.- El 1 de setiembre cuando la tasa de interés fue de 3.0%, usted abre una cuenta de ahorros en el Banco BCP, con un importe de S/. 2,000.00 y a partir de esa fecha realizo los siguientes movimientos:

Movimiento Apertura Deposito Retiro

Fecha 1 de setiembre 6 de setiembre 6 de setiembre

Deposito Cambio Deposito Retiro

9 de setiembre 16 de setiembre 20 de setiembre 25 de setiembre

Monto 2,000 500 600 300 0 400 200

Si la tasa bajo al 2.0% a partir del 16 de setiembre y la entidad bancaria abona los intereses simples de la cuenta de ahorros el primer día del mes siguiente. ¿Cuál es el importe disponible al 30 de setiembre?

Datos Tasa 1

0.03

Tasa 2

0.02

Días

30

Movimiento

Fecha

Monto

Saldo

Interés Diario

n

Apertura

1 de setiembre

2,000

2,000

5

10.00

Deposito

6 de setiembre

500

2,500

0

0.00

Retiro

6 de setiembre

600

1,900

3

5.70

Deposito

9 de setiembre

300

2,200

7

15.40

Cambio

16 de setiembre

0

2,200

4

5.87

Deposito

20 de setiembre

400

2,600

5

8.67

Retiro

25 de setiembre

200

2,400

5

8.00

Interés Total

53.63

6.- Hallar el valor presente de un pagare otorgado por el Banco de Crédito por la suma de $ 800.000 para 4 años y medio, al 3% mensual. DATOS: P=? n = 4.5 años i = 3.0% mensual

SOLUCION

P=?

0

F = 800,000

1

2

3

4

i = 3.0% mensual = 36% anual

a) De forma mensual n = 4.5 x 12 = 54 meses

n = 54 meses = 4.5 años

𝑃= 800,000 [

1 (1+54𝑥0.03)

] = 305.34 b) De forma anual

3.0% x 12 = 36.0% anual

𝑃= 800,000 [

1 (1+4.5𝑥0.36)

] = 305.34. 7.- El señor Juan Carlos Pérez, decide depositar en una cuenta de depósito a plazo fijo en el Banco ABC por el importe de S/. 2,000.00 para un plazo de un año, con una tasa de interés nominal anual del 4.0% con capitalización mensual. ¿Cuánto es el valor acumulado? DATOS: F=? P = 2,000.00 i = 4.0% Anual n = 1 año

F=?

P = 2,000

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12 meses

i = 4.0% anual

F = 2,000 (1 +

0.04

)12

= 2,081.48

12

8.- El 6 de abril del 2017, la empresa JHP descontó en el Banco HSBC un pagare cuyo valor nominal fue de S/. 8,000.00 y su vencimiento el 5 de junio del 2017. Calcule el importe abonado por el Banco a JHP, considerando una tasa nominal del 36.0% anual con capitalización mensual. DATOS: P=? F = 8,000.00 i = 36.0% Anual n = 60 días = 2 meses

F = 8,000

P=?

0

1

i = 0.36% anual = (1+ 0.36)2 12

0.36

mensual

12

1

𝑃= 8,000 [

2 meses

] = 7,540.77

9.- ¿A qué tasa efectiva mensual un capital de S/. 1,000.00 se habrá convertido en un monto de S/. 1,100.00 si dicho capital original fue colocado a 3 meses?

DATOS: i=? P = 1,000.00 F = 1,100.00 n = 3 meses

𝑖= 3√

1,100

– 1 = 0.0322801155 = 3.23% efectivo mensual

1,000

10.- Para ganar un interés compuesto de S/.500.00 en un plazo de 18 días. ¿Cuánto debe colocarse en un Banco, que paga una tasa efectiva anual del 20%?

𝑃= [

500

18

(1 + 0.20)360 − 1

] = 54,598.53

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- ¿Qué interés simple podrá disponerse el 18 de mayo, si el 15 de abril se invirtió S/. 5,000.00 a una tasa anual del 24%.? 2.

¿Qué capital colocado al 24% anual ha producido S/.300.00 de interés simple al termino d 18 semanas?

3.- Un capital de S/. 2,000.00 ha producido un interés de S/.60.00 durante 36 días. Calcule la tasa anual de interés simple. 4.- En que tiempo podrá quintuplicarse un capital colocado a interés simple percibiendo una tasa trimestral del 15%. 5.- Una deuda de S/. 2,000.00 contraída el 8 de junio para ser cancelada el 8 de julio y pactada originalmente a una tasa anual de interés simple del 24%, sufre las siguientes variaciones a partir de las siguientes fechas: día 12 de junio 2.5% mensual, día 24 de junio 9% trimestral, día 3 de julio 21% semestral. ¿qué interés se pagará al vencimiento? 6.- Una cuenta de ahorros abierta el 4 de abril con un deposito inicial de S/.500 tuvo en ese mes el siguiente movimiento: día 8, depósito de S/.100.00, día 17, retiro de S/.400.00, día 23, depósito de S/.500.00, día 23, retiro de S/.200.00 ¿Qué interés simple se acumuló al 30 de abril percibiendo una tasa anual del 24%.?. 7.- El 25 de junio el saldo de una cuenta de ahorros fue de S/. 5,000.00. Calcule su monto al 30 de septiembre aplicando una tasa mensual de interés simple del 3% considerando que la entidad financiera abona los intereses en la cuenta cada fin de mes. 8.- Una inversión de S/. 8,000.00 colocada durante 5.5 meses a interés simple rindió una tasa mensual del 3% durante los primeros cuatro meses, el quinto mes rindió 40% anual y la última quincena rindió una tasa del 12% trimestral ¿Cuál fue el monto acumulado? 9.- ¿A qué tasa mensual un capital de S/. 10,000.00 se habrá convertido en un monto de S/. 11,500.00 si dicho capital original fue colocado a interés simple durante 3 meses.? 10.- ¿Qué capital fue colocado a una tasa de interés simple del 20% anual, si al cabo de 38 días se convirtió en S/. 5,000.00? 11.- Una persona abre una cuenta bancaria el 14 de abril con S/. 1,000.00 percibiendo una tasa nominal mensual de 4% con capitalización diaria. El 2 de mayo retira S/.400.00, el 15 de mayo retira S/.200.00 y el 3 de junio deposita S/.100.00. ¿Qué monto acumulo dese la fecha de su depósito inicial hasta el 24 de junio, fecha en que cancelo la cuenta? 12.- Una deuda de S/. 1,000.00 con opción a renovarse automáticamente cada 30 días debe cancelarse el 30 de setiembre. ¿Qué monto debe pagarse el 19 de diciembre si el contrato de crédito establece que por la primera renovación se carga una tasa efectiva mensual del 5%, por la segunda una tasa efectiva mensual del 6% y por la tercera una tasa efectiva mensual del 7%? 13.- Aplicando una tasa efectiva del 4% mensual calcule el valor presente de un capital inicial de S/. 2,000.00 que genera una tasa de interés nominal anual del 24% capitalizable mensualmente durante un trimestre.

14.- Calcule el valor presente de un monto de S/. 15,000.00 que se recibirá dentro de 30 dia, si la vigencia de la tasa efectiva mensual será 8 días al 2% y 22 días al 1.5%. 15.- ¿A qué tasa efectiva mensual una inversión de S/. 10,000.00 se convirtió en un monto de S/. 11,151.23 si fue colocado durante 67 días.? 16.- Después de colocar un capital de S/. 1,000.00 a una tasa de interés efectiva del 4% mensual se ha obtenido un monto de S/. 1,500.00 ¿A qué tiempo se colocó el capital? 17.- Calcule el interés bimestral que habrá ganado un depósito de ahorros de S/. 5,000.00 colocado a una tasa nominal anual del 24.0% con capitalización trimestral. 18.- Una inversión efectuada en la bolsa de valores produjo un interés de S/. 1,300.00 durante 77 días, en ese lapso de tiempo la tasa acumulada fue del 5.4% ¿Cuál fue el importe original de la inversión? 19.- ¿A qué tasa de interés efectiva anual debe colocarse un capital para que se duplique en 42 meses? 20.- ¿En cuántos trimestres un capital de S/. 5,000.00 habrá ganado un interés de S/.306.04 colocado a una tasa nominal anual del 245 con capitalización mensual.

VI.- BIBLIOGRAFIA BACA, G. “Ingeniería Económica” THUESEN, H. “Ingeniería economía” PALACIOS, H. “Introducción al Cálculo Actuarial”. ALIAGA, C. “Manual de Matemáticas Financieras: texto, Problemas y Casos”. HERNANDEZ, A. “Matemáticas Financieras” MOORE, J. “Manual de Matemáticas Financieras”. CASTEGNARO, A. “Curso de Calculo Financiero”. CISSCELL, R. y otros “Matemáticas Financieras” GARAYAR, G. “Lecciones de Matemáticas Financieras” GONZALES, E. “Matemática Financiera” GARCIA, J. “Matemáticas Financieras con Ecuaciones de Diferencia Finita”. LEVI, E. “Curso de Matemática Financiera y Actuarial”. FORNES, F. “Curso de Algebra Financiera”. NAVARRO, E. y otros Fundamentos de Matemática Financiera" TERCEÑO, A. y otros “Matemática Financiera”. VILLALON, J. “Matemática de la Financiación e Inversión”