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PLACAS NERVADAS UNIDIRECCIONALES: Cuando los nervios o vigas que conectan las columnas se colocan solo en una dirección, la placa de fundación se transforma en una losa trabajando en el sentido corto de la luz. En forma similar al caso de las placas macizas analizadas precedentemente para que las losas resulten rígidas la solicitación que controla el diseño debe ser el corte, resistido únicamente por el concreto. Los nervios continuos forman vigas T invertidas con la losa de apoyo como ala, y se diseñaran como bases corridas independientes, en su ancho tributario, debiendo cumplir con las condiciones y especificaciones de la Sección 8.6. Este ancho tributarlo corresponde a la mitad de las luces que separan los nervios adyacentes de la placa. Ver figura 10.9- El nervio que conecta las columnas debe tener un ancho Bw no menor al lado menor de las columnas de esa fila, para asegurar la rigidez del conjunto.

El dimensionado de este tipo de losas y vigas T es similar al analizado en la Sección 8.6 y ejemplo 8.A. Coco la viga esta solicitada a momentos positivos y negativos en sus diferentes tramos, es conveniente diseñarla como rectangular de ancho B w. La losa de la fundación se diseña con la forma usual, como continua, apoyada en los nervios longitudinales, y de ancho unitario. Se debe verificar, al igual que en las

placas macizas analizadas, quo el centro de presiones de la resultante de las cargas se ubique lo más cercano posible al baricentro de la base. El corto critico en la losa se halla a distancia “d” de la cara del nervio de la viga. Para facilitar el diseño, es aceptable obtener los momentos flectores en las losas mediante las envolventes de la Sección 7.8 y Tabla 7.12. La figura 10.10 da un detalle del armado de la losa y el nervio mencionado.

PLACAS NERVADAS CRUZADAS. METODO DE MARCUS LOSER Las placas de fundación con nervios dispuestos ortogonalmente, reducen el área total de grandes dimensiones, a placas o losas continuas de menor tamaño, que pueden ser resueltas mediante algunos de los métodos convencionales de cálculo. Ver figura 10.11. En el presente capítulo se aplicará el Método de Marcus Loser.

Para aplicar esto método, las placas deben apoyar en todo su perímetro en vigas de borde, y pueden tener volados laterales, como muestra la figura. A1 igual que en los casos anteriores de placas macizas, la resultante de las cargas y momentos de las columnas debe tener su centro de presiones coincidente con el baricentro de la placa, para obtener una distribución uniforme de las reacciones del suelo, en toda el área bajo la placa. Cada una de las placas que se analizan mediante este método, deben cumplir la relación. 0.5 ≤

Ly ≤2 Lx

……….. (10.8)

Siendo Lx y Ly los lados de la placa. Cuando no se cumple la ecuación. 10.8, la placa trabaja como una losa, y la y casi totalidad de las cargas se transmiten a las vigas perimetrales por flexión, en sentido de la luz más corta. La figura 10.12 a) Esquematiza este caso, para el cual la deformación bajo las cargas uniformes será con una única curvatura tipo cilindro trunco. Estas losas se diseñan simplemente apoyadas o continuas, según el caso, como vigas de ancho untarlo, apoyadas en las valgas laterales paralelas. Cuando se cumple la ecuación. 10.8, las placas o losas cruzadas definidas entre las valgas del retículo, trabajan en forma bidireccional y deben armarse en dos sentidos ortogonales. El análisis matemático exacto de una placa soportada en todo su perímetro, es sumamente complejo. Desde 1820 se han realizado numerosas investigaciones para resolver este problema, y se obtuvieron soluciones clásicas, tales como las de Lagrange, Timoshenko y Danusso. En la práctica, sin embargo, es más usual aplicar criterios simplificativos que permiten abordar el problema en forma más sencilla, si bien los resultados son solo aproximados, ya que se parte de hipótesis tales como la de suponer el concrete un

material perfectamente elástico, isótropo y homogéneo. Cada placa se analiza como formada por una sucesión de franjas o bandas unitarias cruzadas, paralelas a los lados, soportando cargas uniformemente distribuidas y apoyadas en las vigas perimetrales. La figura 10.12 b) Muestra el caso más elemental de una placa rectangular cuyos lados cumplen la ecuación. 10.8, y esta simplemente apoyada en todos sus lados, donde se analiza el comportamiento de dos franjas unitarias centrales ortogonales. Si bien el Método de Marcus Loser se utiliza usualmente para resolver placas de entrepisos, su aplicación se extenderá azul para placas de fundación. Por lo tanto, en este caso, la carga total que actúa sobre la placa es la reacción del suelo de fundación bajo cargas de servicio, y se debe cumplir: q ≤ σ adm

……….. (10.9)

La carga qx es la fracción de la carga total q, resistida por la franja central de dirección x y longitud Lx, mientras que q y es la homologa, pero en la dirección y. Por lo tanto: q=q x +q y

……….. (10.10)

Es evidente que la deflexión máxima ∆ de las franjas centrales en su punto de cruce debe ser la misma, pues corresponde a una única sección de la placa. Por compatibilidad se cumple: 4 4 5 q x + Lx 5 q y+ L y = 384 EI 384 EI

Sin

embargo,

el

producto

El

no

es

……….. (10.11)

el

mismo

en

ambas

direcciones

consideradas,pues la altura “d” varia, ya que las barras en una dirección van

superpuestas a la de la dirección ortogonal, lo cual trace variar el momento de inercia respectivo. Pero como ambos valores son muy cercanos se acepta en la practica un único momento de inercia para ambas direcciones. Por lo tanto, de la ecuación. 10.11 se deduce: q x +L4x =q y + L4y

……….. (10.12)

Y de la ecuación 10.10 y 10.12: L4x L4x q=q x +q x 4 =q x (1+ 4 ) Ly Ly

……….. (10.13)

Se despeja en consecuencia: q L4y q q x= = L4x L4x + L4y 1+ 4 Ly

……….. (10.14)

4

qL q y= 4 y 4 Lx + Ly

Designado por:

……….. (10.15)

L4y x= 4 4 Lx + Ly

……….. (10.16)

La parte de la carga que corresponde a cada dirección, se obtiene. para las franjas cruzadas en estudio: q x =x q

…….. (10.17)

q y =(1−x)q

…….. (10.18)

Los valores de x dependen de la relación de las luces ℓ y de la forma de sustentación de la placa. Las diferentes formas de apoyo de una placa se indican en la Tabla 10.1, con los respectivos valores de X.

En la Tabla 10.1, la forma de sustentación se indica : Con línea llena: Con línea rayada:

correspondiente a un apoyo simple para empotramientos perfectos, o por continuidad de la

placa La Tabla 10.2, a continuación, da los valores de x para diferentes relaciones de x . Se evidencia así que a medida que aumenta la relación ℓ entre Ios lados, se incrementa también el valor de x. Se asume: X = 0 para ℓ < 0,5 X = 1 para ℓ > 2 Lo cual indica que la totalidad de la carga se trasmite según la dirección corta de la placa, cuando no se cumple la ec. 10.8. y esta comienza a trabajar como una losa, es decir unidireccionalmente. En el caso en que las dos franjas centrales ortogonales de la; figura 10.12

b) Estuvieran aisladas e independientes del resto de la placa, los momentos flectores en ambas direcciones se pueden obtener en la forma usual: q x L2X M X= 8

q y L2y MY= 8

Pero en la realidad, los franjas analizadas no están aisladas, sino que se hallan conectadas con todas las restantes franjas que forman la placa, actuando paralelamente en ambas direcciones. Cada una de estas franjas , de ancho unitario, se sustenta no solo en sus extremos apoyados en las vigas perimetrales, sino también en las franjas ortogonales, las cuales provocan un cierto Impedimento a su libre deflexión. En efecto, si se analiza el comportamiento de dos franjas ortogonales cuales quiera, como se muestra en la figura 10.13, se ve que en la sección de contacto I, común a ambas, la deformación por flexión de una de ellas provoca torsión en la otra, y viceversa. Si lográramos separar estas franjas y analizarlas independientemente, su deformación por flexión se indica en el esquema b). Al flexar libremente la franja CD, la sección rota en el sentido horario un ángulo β con respecto a su posición no deformada, y esta deformación por flexión torsiona la franja AB. Si los extremos de AB estuvieran posibilitados de rotar en torsión este mismo ángulo β, toda la franja AB girarla en torsión, libremente. Pero si los extremos de AB están fijos, esta franja ofrece una cierta resistencia a ser torsionada , y con esto se disminuye la magnitud de la deformación por flexión, es decir se reduce el ángulo β. Es evidente, en consecuencia, que la franja CD, por efecto de la torsión producida, se aliviana, y su memento flector se reduce. Análogos razonamientos se pueden hacer con relación a la torsión de la franja CD alivianando la flexión de la franja AB, es decir disminuyendo el ángulo Y debido únicamente a la deformación por flexión. En síntesis, se deduce que los momentos flectores en una franja originan torsión en las franjas ortogonales y viceversa. Por lo tanto, la carga es llevada a los apoyos perimetrales, no solo por flexión sino también por torsión.

La reducción de los momentos flectores por efecto de la torsión, se conoce como efecto de placa o acción de alivianamiento y ha sido analizada por investigadores tales como Henry Marcus en. Alemania (1929) o Wostergaard en los Estados Unidos (1935). Según los resultados obtenidos. esta reducción puede llegar al 28% para las placas simplemente apoyadas y al 35% para las empotradas en todo su contorno. Los momentos flectores máximos en ambas direcciones, se obtienen según las siguientes ecuaciones 2

M X =α q L X

…….. (10.19)

M y =β q L2y

…….. (10.20)

SI α y β son los coeficientes indicados en la Tabla 10.2, quo dependen de las condiciones de apoyo de las placas. Al igual qua en la Tabla 10.1, los bordes simplemente apoyados se distinguen con línea llena y los continuas o empotrados perfectamente, con línea rayada. Cuando los bordes son simplemente apoyados, la distorsión provocada por la torsión en las placas produce el típico efecto del levantamiento de las esquinas. Para resistirlo, las esquinas deben armarse convenientemente como nuestra la figura 10.14 , con acero adicional de refuerzo en ambas caras de la placa, a distancia L/5, siendo L la mayor do las luces de la placa en estudio. Esta armadura debe ser similar a la que se coloca en el centro de la placa, y puede orientarse paralelamente a los bordes, o a 45°, para absorber los esfuerzos de tracción y compresión resultantes.

Las reacciones en las vigas perimetrales pueden hallarse según dos criterios diferentes. El primero se grafica en la figura 10.15 a) Según una distribución triangular de la carga en los lados cortos y trapecial en los largos, y el segundo es considerar las franjas como independientes, con cargas uniformemente distribuidas, simplemente apoyadas en sus extremes, o empotradas. Ver fig. 10.15 b) En este último caso, qx y qy se obtienen de ec. 11.17 y 1.18 para cada dirección.

En el caso de entrepisos, el método do Marcus Loser aplica el criterio de cargar las placas continuas con las sobrecargas vivas, alternadamente, en forma de damero, para obtener los momentos máximos positivos en las diferentes placas. Si bien este criterio no se puede aplicar en las placas de fundación, se lo explicara brevemente como complemento de la información, para la resolución de los entrepisos. Ver la figura 10.16.

Para hallar los momentos máximos en las placas contlnuas.se deben aplicar las sobrecargas vivas en la forma reas favorable para ello. Por ejemplo, para hallar el máximo M* en la placa A de la figura 10.16, se cargará la misma con el total de las cargas permanentes y accidentales y se descargaran las cuatro placas adyacentes a ella de las sobrecargas vivas. El resto de las placas se carga en igual forma, como damero, indicando con rayado las áreas donde se aplica la carga total y en banco, las que soportan solo cargas permanentes. Cuando se debe determinar el máximo momento M" en un apoyo intermedio, se deben cargar al máximo las dos placas concurrentes a él, y descargar las placas

circundantes, como se indica en el esquema b) Para la viga ab. Este valor de M se halla fácilmente, según corresponda a los cases II o III de la figura 10.15 b). Para hallar los M* en las diferentes placas, Marcus Loser usa el siguiente artificio:

a) Aplica en la totalidad de las placas una carga

'

q =CP+

cv 2

, de modo que en los

apoyos intermedios no se produzcan rotaciones de la tangente a la elástica de deformación, como en el caso II de figura 10.15 b)

b) Aplica en forma alterada una carga

'

q =±

cv 2

con sentidos contrarios en los

tramos adyacentes, permitiendo la libre rotación de la tangente a la elástica en los apoyos, en forma similar al caso I de figura 10.1 5 b). Ver figura 10.17. Sumando estos dos efectos, para las diferentes posibilidades de apoyo de las placas indicadas en la Tabla 10.2, se obtienen los momentos máximos M* en las dos direcciones ortogonales. α n q ' ± α 1 q ) {L} rsub {X} rsup {2} +¿=¿ ¿ MX

……….. (10.21)

β n q ' ± β 1 q ) {L} rsub {y} rsup {2} +¿=¿ M ¿y

……….. (10.22)

max min

max min

Los factores α y β se indican en la. Tabla 10.2, y el subíndice 1 indica el caso 1 de la tabla, para la placa simplemente apoyada, mientras que el subíndice n se refiere a la forma de sustentación correspondiente a los casos 2 a 6.

En el caso de las placas de fundación, para hallar los momentos máximos mayorados en el centro de los tramos se usarán únicamente las siguientes ecuaciones: M UX =α q U L2X

2

M Uy =β q U L y

……….. (10.23)

……….. (10.24)

Ya que en las fundaciones no hay posibilidad de aplicar en forma alterada, y con sentidos opuestos, las cargas accidentales que actúan sobre la superestructura. Se desarrolla a continuación un ejemplo, para ilustrar el método. Por lo tanto, las ecs. 10.21 y 10.22 son solo válidas para placas de entrepiso, y no serán aplicadas aquí. El lector interesado en el tema puede consultar la bibliografía indicada, sobre el particular (Ref.22).

Ejemplo: Diseñe la placa de fundación, para las columnas y muros de la figura, aplicando el método - de Marcus Loser.

Para aplicar el método de Marcus Loser se colocan nervios conectando las columnas y el muro, con lo cual quedan, definidas 2 placas, con volados en tres de sus bordes, con. las luces indicadas en la figura. Los momentos flectores de los volados, con respecto al eje de los nervios son:

Se aplicará a continuación el criterio do asumir como empotrado el borde de la placa que presenta volado, cuando el momento del volado sea al menos el 75% del momento obtenido al aplicar el método de Marcus Loser considerando empotrado ese borde común. Si esto no se cumple, para hallar los momentos en el centro de los tramos, el borde en cuestión se asume como simplemente apoyado. Placa 3 Se supone prunero como empotrado en el perímetro que tiene volados. Corresponde al caso 6 de la Tabla 10.2. El borde común con otra placa, donde existe continuidad. será siempre empotrado.

La placa 3 resultas empotrada en los bordes que apoyan sobre las vigas 5 y 7. La placa 3 resultas empotrada en el borde que apoya sobre la viga 1. Por lo tanto, la placa 3 esta empotrada en todo su contorno, y la configuración elegida, correspondiente al caso 6 es la correcta. Los momentos en el centro de la placa se obtienen, para ambas direcciones:

Las reacciones sobre las vigas perimetrales de la placa 3 son: Viga 1: Viga 5: Viga 7:

Placa 5 En un primer tanteo se supone empotrada en los bordes con volados, y resulta así la configuración del caso 5 de la Tabla 10.2. La placa 5 no se considera empotrada en los bordes apoyados en las vigas 4 y 6, en lo referente a la determinación de los momentos en el centro del tramo. Por lo tanto, la forma de apoyo será la correspondiente al caso 2 de la Tabla 10-2, que se indica a continuación: Nótese que los valores de X, α y β so han intercambiado pues en este caso, el borde empotrado es el horizontal.

El momento de empotramiento sobre el borde común en las placas 3, 5 se obtiene como promedio:

Las reacciones sobre las vigas perimetrales de la placa 5 son: Viga 4: Viga 6:

R4 = 4,91 x 5,5/2 ♦ 23,5 x 1,3 * 44 t/a R6 = 4,91 x 5,5/2 = 23,5 x 1,05 = 38,18 t/a 0

Viga 3:

R3

* -g” x 18*59 x 4,95 = 34,5 t/n

Viga 2:

R2

a x 18,59x 4,95 ♦ 17,86

x 4,15/2

=

94,57 t/a

Los momentos flectores en las placas, en los bordes superior e inferior, se indican en la figura continuación, así como las reacciones sobre las vigas perimetrales, y el acero de la armadura resistente, obtenido en cada caso con la ecuación

Se adopta en este caso una altura útil d= 60 cm. para la placa.

Esta altura útil asumida debe verificarse a flexión y corte. A flexión la altura requerida es:

El corte se verifica a distancia “d” de la cara del nervio de las vigas. Por ejemplo, para una franja vertical central el diagrama de corte y las diferentes cargas se indican a continuación:

Vu se debe verificar igualmente en la franja untarla horizontal central de cada placa. El diagrama de momentos corresponde al de los valores hallados por el método de Marcus Loser. A continuación, se deben diseñar los nervios de las vigas perimetrales de las placas. Por ejemplo, las vigas 4 y 5, que conectan la columna 4, el muro y la columna 1 para las cuales los momentos flectores se hallan por envolvente. Ver Sección 7.8 y ejemplo 7.8.