21. En el siguiente modelo de población, la velocidad de crecimiento en el instante t depende del número de individuos e
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21. En el siguiente modelo de población, la velocidad de crecimiento en el instante t depende del número de individuos en el instante t - T, siendo T una constante positiva, esto nos indica que el modelo incorpora un retardo temporal en la velocidad de nacimientos. Sea N(t) el tamaño de la población en el instante t y suponga que
siendo K y T constantes positivas. (a) Demuestre que
es una solución de (6.2).
N(t) = K + A cos( N’(t) = - A (
N’(t) = N’(t) = N’(t) =
𝜋 2𝑇 𝜋 2𝑇 𝜋 2𝑇
𝜋𝑡
2𝑇
)
… esto es lo que se debe compobar.
𝜋(𝑡−𝑇)
𝜋𝑡
(K + A cos(
2𝑇 2𝑇
) sen(
)
(K – (K + A cos(
−𝐴𝜋
N’(t) =
2𝑇
2𝑇
(K – N(t-T))
−𝐴𝜋
N’(t) =
𝜋
𝜋𝑡
𝜋𝑡
cos(
sen(
2𝑇 𝜋𝑡 2𝑇
)
𝜋 2
𝜋𝑇
2𝑇
-
2𝑇
2𝑇
))
))
) ... se demostró que es una solución.
(b) Dibuje N(t) para K = 100 , A=50 y T = 1. Explique con palabras cómo varía el tamaño de la población con el tiempo.
N(t) = K + A cos(
𝜋𝑡
2𝑇
) 𝜋𝑡
N(t) = 100 + 50 cos(
2
)
Si t = 0 N(t) = 100 + 50 = 150 t = 1 N(t) = 100 + 0 = 100 t = 2 N(t) = 100 – 50 = 50 t = 3 N(t) = 100 – 0
= 100
t = 4 N(t) = 100 + 50 = 150
22. Suponga que N(t) indica que el tamaño de una población en un instante t y N(t) satisface la ecuación
Grafique N’(t)para N ≥ 0, e identifique todos los puntos de equilibrio, esto es, aquellos valores en que N’(t)=0. N’(t) = 3N (1 −
𝑁 ) 20
N(t) ≥ 0 𝑑𝑁 𝑑𝑡
𝑁
= 3N (1 − 20) 𝑁2
∫ 𝑑𝑁 = 3∫ (𝑁 − 20 ) 𝑑𝑡 1
N(t) = 3 (∫ N dt - 20 ∫ N2 dt)
N(t) = 3N (1 −
𝑁 )t 20
N(t) ≥ 0 𝑁
3N (1 − 20)t ≥ 0 (
1-
𝑁 20
≥0
( N ≤ 20
^ ^
3N ≥ 0 N≥0 )
N є [ 0;20 ]
PUNTOS DE EQUILIBRIO… N’(t) = 0 𝑁
3N (1 − 20) = 0 N1 = 0 N2 = 20
)
V V
(
1-
𝑁 20
≤0
( N ≥ 20
^ ^
3N ≤ 0 N≤0 )
N є
)