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• Fernanda Carrión Varas

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Perfil De Temperaturas De Una Aleta Triangular

figura 1: aleta triangular. Partiremos de la ecuación diferencial para aletas antes hecha en clases, después haremos supuestos para simplificar el cálculo de la ecuación diferencial y llevarla al campo de la ecuación diferencial de Bessel modificada. 𝑑2 𝑇 1 𝑑𝐴(𝑥) 𝑑𝑇 ℎ̅ 𝑃(𝑥) (𝑇(𝑥) − 𝑇̅∞ ) = 0 … … … (1) + − 𝑑𝑥 2 𝐴(𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑘 𝐴(𝑥) Tenemos que hallar los datos que falta para resolver la ecuación diferencial como el perímetro (𝑃(𝑥)) y el área (𝐴(𝑥)). Pero antes de eso hallaremos la relación que tiene y con respecto a x. 𝑦 𝑡1 = 𝑥 2 2𝐿

→

𝑡 𝑦= 𝑥 𝐿

Perímetro: 𝑃(𝑥) = 2𝑤 + 2𝑦 Como el espesor de la aleta es muy pequeño comparado con el ancho de la aleta es aceptable considerar que 2𝑦 es insignificante para el para el cálculo del perímetro. 𝑃(𝑥) = 2𝑤 + 2𝑦 ≈ 2𝑤 Área: 𝑡 𝐴(𝑥) = 𝑤. 𝑦 = 𝑤 𝑥 𝐿 Para cálculo del área transversal de un sector de la aleta triangular no podemos despreciar el “y” ya que si lo despreciamos el área seria cero y no tendrá lógica el resultado de la ecuación diferencial. 𝑑2 𝑇 𝐿 𝑤𝑡 𝑑𝑇 ℎ̅ 2𝑤 (𝑇(𝑥) − 𝑇̅∞ ) = 0 + − 2 𝑑𝑥 𝑤𝑡𝑥 𝐿 𝑑𝑥 𝑘 𝑤𝑡𝑥⁄𝐿

𝑑 2 𝑇 1 𝑑𝑇 2ℎ̅𝐿 1 (𝑇(𝑥) − 𝑇̅∞ ) = 0 … … … (2) + − 𝑑𝑥 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑡𝑘 𝑥 Primer cambio de variable: 𝑇(𝑥) − 𝑇̅∞ = 𝜃

→

𝑑𝑇 = 𝑑𝜃

Con este primer cambio de variable nos queda la siguiente ecuación 𝑑2 𝜃 1 𝑑𝜃 2ℎ̅𝐿 1 + − 𝜃=0 𝑑𝑥 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑡𝑘 𝑥 Ahora se tratara de dar forma de ecuación de Bessel modifica a la ecuación anterior: (2𝑐)2 =

2ℎ̅𝐿 𝑡𝑘

𝑥2

→

𝑑2 𝜃 𝑑𝜃 + 𝑥 − 4𝑐 2 𝑥𝜃 = 0 … … … (3) 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Segundo cambio de variable: 𝑧 = 2𝑐√𝑥

→

𝑑𝜃 4𝑐 2 𝑑𝜃 = 𝑑𝑥 2𝑧 𝑑𝑧

𝑦

4𝑐 2 𝑥 = 𝑧 2

→

𝑥=

𝑧2 4𝑐 2

𝑑2 𝜃 16𝑚4 𝑑2 𝜃 1 𝑑𝜃 = [ − ] 𝑑𝑥 2 4𝑧 2 𝑑𝑧 2 𝑧 𝑑𝑧

Ahora se reemplazara estos valores obtenidos después de hacer el segundo cambio de variable en la ecuación (3). 2

(

𝑧 2 16𝑐 4 𝑑2 𝜃 1 𝑑𝜃 𝑧 2 4𝑐 2 𝑑𝜃 [ − ] + − 𝑧2𝜃 = 0 ) 4𝑐 2 4𝑧 2 𝑑𝑧 2 𝑧 𝑑𝑧 4𝑐 2 2𝑧 𝑑𝑧

Simplificando… 1 2 𝑑2 𝜃 1 𝑑𝜃 𝑧 + 𝑧 − 𝑧2 = 0 4 𝑑𝑧 2 4 𝑑𝑧 𝑑2 𝜃 𝑑𝜃 𝑧 + 𝑧 − 22 𝑧 2 = 0 … … … (4) 𝑑𝑧 2 𝑑𝑧 2

La ecuación 4 podemos compararla con la ecuación diferencial de Bessel modificada. 𝑥2

𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 +𝑥 − 𝑚2 𝑥 2 = 0 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Donde su solución es la siguiente: 𝑦 = 𝑐1 𝐼0 (𝑚𝑥) + 𝑐2 𝐾0 (𝑚𝑥) 𝜃 = 𝑐1 𝐼0 (2𝑧) + 𝑐2 𝐾0 (2𝑧) … … … (5) Regresando a las variables anteriores: 𝑇(𝑥) − 𝑇̅∞ = 𝑐1 𝐼0 (4𝑐√𝑥) + 𝑐2 𝐾0 (4𝑐√𝑥) 8ℎ̅𝐿 8ℎ̅𝐿 𝑇(𝑥) = 𝑐1 𝐼0 (√ 𝑥 ) + 𝑐2 𝐾0 (√ 𝑥 ) + 𝑇̅∞ … … … (6) 𝑡𝑘 𝑡𝑘

𝝏𝑻

Tercer caso ( 𝝏𝒛 = 𝟎): Con la ecuación 5 𝜕𝜃 = −2𝑐1 𝐼1 (2(0)) + 2𝑐2 𝐾1 (2(0)) … … … (7)) 𝜕𝑧 𝒛=𝟎 𝐼1 = 0

→

𝑐2 = 0

Por lo tanto nos queda la ecuación 6 igual a: 8ℎ̅𝐿 𝑇(𝑥) = 𝑐1 𝐼0 (√ 𝑥 ) + 𝑇̅∞ … … … (8) 𝑡𝑘 Cuando 𝑥 = 𝐿 entonces 𝑇(𝐿) = 𝑇𝑏 8ℎ̅𝐿 𝑇(𝐿) = 𝑇𝑏 = 𝑐1 𝐼0 (√ 𝐿 ) + 𝑇̅∞ 𝑡𝑘 𝐶1 =

(𝑇𝑏 − 𝑇̅∞ ) 8ℎ̅𝐿2 ) 𝑡𝑘

𝐼0 (√

Ecuación del perfil de temperaturas de la aleta triangular: 𝑇(𝑥) =

(𝑇𝑏 − 𝑇̅∞ ) 8ℎ̅𝐿2 ) 𝑡𝑘

𝐼0 (√

8ℎ̅𝐿 𝐼0 (√ 𝑥 ) + 𝑇̅∞ … … … (9) 𝑡𝑘

Nota: Tener en cuenta que el análisis se realizó desde la punta de la aleta como se puede apreciar en la figura 1. Es por eso que al calcular la derivada de la ecuación 6 se reemplazó por 0 a “z” ya que el extremó de la aleta esta en x=0 y como z depende directamente de x, entonces z=0. Por lo tanto la base de la aleta se encuentra situada en x=L y en ese punto la temperatura de la aleta es 𝑇𝑏 . Tener en cuenta esto al cálculo de las temperaturas del perfil de temperaturas de la aleta triangular.

Calor perdido por la aleta: 𝜕𝜃 Ley de Fourier 𝑄̇ = −𝑘𝐴 𝜕𝑧

𝑄̇ = −𝑘𝐴 2

𝑥=𝐿

de la ecuación 7.

(𝑇𝑏 − 𝑇̅∞ )

8ℎ̅𝐿2 𝐼0 (√ 𝑡𝑘 ) [

𝑄̇ = −𝑘𝑤𝑡 2 [

8ℎ̅𝐿2 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑍𝐿 = √ 𝐴 = 𝑤𝑡 𝑡𝑘

𝐼1 (2𝑧𝐿 ) ]

(𝑇𝑏 − 𝑇̅∞ ) 8ℎ̅𝐿2 𝑡𝑘 )

𝐼0 (√

8ℎ̅𝐿2 𝐼1 (2√ ) … … … (10) 𝑡𝑘 ]

La ecuación 10 nos da el calor perdido por aleta. Esto sirve para hallar el calor perdido en un sistema de refrigeración diseñado con aletas triangulares.