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LABORATORIO FISICA II “AÑO DE LA PROMOCIÓN DE LA INDUSTRIA RESPONSABLE Y COMPROMISO CLIMÁTICO””

Facultad de Ingeniería y Arquitectura Escuela Profesional de Ingeniería Civil

Física II

ABORATORIO SICO Y TEOREMA Profesor

:

Ing. Marco Olarte V.

Ciclo

:

II

Turno

:

Mañana

Integrantes

:

Melo congona Erick

:

Pulido Villanueva Stefany

:

Wong Astoncondor Nasumi

:

Condori Coaquira Jose Luis

Lurín– 2014

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

1

D

LABORATORIO FISICA II

INDICE

INTRODUCCION.........................................................................................................................................3 OBJETIVO....................................................................................................................................................4 FUNDAMENTO TEORICO......................................................................................................................5 EQUIPOS Y MATERIALES.....................................................................................................................9 PROCEDIMIENTOS.................................................................................................................................10 BIBLIOGRAFIA.........................................................................................................................................19

INTRODUCCION En este experimento, una de las variables a estudiar, es el tiempo de oscilación cuya medición puede realizarse manual o automáticamente. La ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

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medición manual en muchas ocasiones permite la introducción de errores sistemáticos en el proceso que pueden influir negativamente en los resultados. La medición automática minimiza dicho error con lo cual la incertidumbre en la medida queda asociada fundamentalmente a las características del instrumento utilizado. El tema nos es útil para entender los diferentes métodos que existen para hallar el momento inercia de un cuerpo, sobre todo si tiene una geometría desconocida. También es una nueva oportunidad que tenemos los alumnos pertenecientes al grupo, para poder dar un aporte que sea útil a nuestros compañeros, con los cuales intercambiaremos información sobre el tema desarrollado, resultados, y así sacar conclusiones, con las cuales sacar recomendaciones para mejorar el experimento realizado. OBJETIVO - Realizar el experimento sobre oscilación en laboratorio de física. - Calcular los momentos de inercia de un péndulo físico que oscila. - Comprobar experimentalmente el teorema de Steiner. - Comparar el tiempo teórico con el tiempo experimental

FUNDAMENTO TEORICO

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Un péndulo físico es un sólido rígido de forma arbitraria que puede oscilar en un plano vertical alrededor de un eje perpendicular a un plano que contenga a su centro de masas. El punto de intersección del eje con dicho plano es el punto de suspensión. La posición de equilibrio es aquella en que el centro de masas se encuentra en la misma vertical y por debajo del punto de suspensión. En la figura 1 se presenta esquemáticamente un sólido plano de pequeño espesor utilizado como péndulo físico.

Figura 1. Sólido plano empleado como péndulo físico. El punto de suspensión es O, su centro de masas es c.m., y la distancia entre ambos se representa por d. En la posición indicada, formando un ángulo θ con la vertical, el peso produce respecto a O un momento que se opone al aumento del ángulo.

Se producen oscilaciones como consecuencia de desviaciones de la posición de equilibrio, ya que entonces el peso del cuerpo, aplicado en su centro de masas, produce un momento respecto del punto de suspensión que tiende a restaurar la posición de equilibrio.

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El momento respecto del punto de suspensión O es: τ = d × m. g

(1)

Donde d es la distancia entre c.m. y el punto de suspensión y m es la masa del cuerpo. El módulo de este momento puede escribirse como: τ = - mgd.sen θ

(2)

El signo negativo indica que se trata de un momento recuperador, es decir, actuando en sentido opuesto a las variaciones angulares. Este momento puede relacionarse por medio de la ecuación fundamental de la dinámica de rotación con la aceleración angular α del péndulo y su momento de inercia I respecto al punto de suspensión. En forma escalar la relación es: τ = I. α

(3)

Teniendo en cuenta la ecuación (2), esto puede escribirse como: I.α+mgd. senθ = 0

(4)

La aceleración angular α es la derivada segunda del ángulo θ respecto al tiempo. En el caso (frecuente) de oscilaciones de pequeña amplitud, en las que se verifica que sen α ≈ α, la ecuación (4) puede reescribirse como una ecuación diferencial de segundo orden que corresponde a un movimiento armónico simple:

La frecuencia angular de este M.A.S. es:

Y su periodo de oscilación vale:

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Oscilaciones de una varilla delgada Una varilla delgada en forma de paralelepípedo, larga en comparación con su anchura y grosor, puede utilizarse como péndulo físico para realizar medidas de periodos o de momentos de inercia. Aquí consideraremos una varilla homogénea como la mostrada en la figura 2. en la que se han practicado pequeños orificios a lo largo de su eje de simetría a intervalos regulares. Estos orificios sirven como puntos de suspensión.

Figura 2. Varilla delgada de longitud L. (a) Vista frontal. Los agujeros Para su suspensión se han practicado a intervalos regulares y. (b) Vista Lateral. La distancia entre el punto de suspensión y el extremo superior es a. La distancia entre el punto de suspensión y el c.m. es d.

Se puede demostrar fácilmente que el periodo teórico de una varilla suspendida en la forma indicada en la figura 2 oscilando con pequeñas amplitudes está dada por:

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Esto puede escribirse en forma similar a la ecuación que nos da el periodo de un péndulo simple:

donde hemos llamado

Momentos de inercia El momento de inercia de una varilla delgada con respecto a un eje perpendicular que pase por su c.m. es (1/12) mL2. Donde m es su masa y L su longitud. Respecto de cualquier otro eje paralelo al primero, el momento de inercia puede obtenerse aplicando el teorema de Steiner. Así, el momento de inercia cuando la varilla está suspendida de un punto O situado a una distancia a de su extremo es:

Supongamos que a la varilla se le coloca sobre su c.m. otro tramo más corto con la misma densidad lineal de masa, según muestra la figura 3. La masa de este tramo corto es x.m, y su longitud x.L, donde 1≥x>0 es la fracción de longitud y masa del tramo corto con respecto a la varilla. El momento de inercia de este conjunto es la suma de los momentos de inercia de los dos elementos que lo componen, y se puede expresar como:

EQUIPOS Y MATERIALES 1. Una barra metálica (péndulo físico) con huecos 2. Una base con eje de oscilación ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

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3. Mordaza simple

4. Wincha, plomada, cronometro y balanza

PROCEDIMIENTOS a) Pesamos la barra de metal, medimos el largo y ancho, ubicamos y marcamos el centro de gravedad de la barra.

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Masa: 1.737 gr.

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0.0305 1.10

b) Colocamos la barra en un ángulo θ =15˚, se suelta y se deja oscilar, se van anotando los datos

c) En el laboratorio se dispone de varios péndulos de longitudes diversas. Seleccionar un péndulo y medir el periodo de oscilación siguiendo las reglas siguientes:

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* Separar el péndulo de la posición vertical un ángulo pequeño (de 15º) y dejarlo oscilar libremente, teniendo cuidado de verificar que la oscilación se produce en un plano vertical. * Cuando se esté seguro de que las oscilaciones son regulares, se pone en marcha el cronómetro y se cuentan N oscilaciones completas a partir de la máxima separación del equilibrio (se aconseja tomar N = 11, bien entendido que una oscilación completa dura el tiempo de ida y vuelta hasta la posición donde se tomó el origen de tiempos). El periodo del péndulo es igual al tiempo medido dividido por N. d) Se repite la medida anterior un total de N veces con el mismo péndulo.

Nota: Lo sugerido en el laboratorio por el docente, fue que trabajemos con 11 oscilaciones y la mayor cantidad de agujeros mi grupo trabajo con 7 agujeros.

CALCULOS 1) Para completar la tabla se usarán las siguientes ecuaciones: Para hallar el periodo: ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

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t 1 +t 2+ t 3 +t 4 4 T= ¿ oscilaciones

(

)

Para hallar el momento de inercia respecto al eje de rotación: Id=m·g·d· nº de agujero

T 2π

2

( ) d(m)

t1(s)

t2(s)

t3(s)

t4(s)

nº de oscilac

T(s)

Id(Kg·m2)

d2(m2)

1

0.51

-

-

-

-

-

-

-

-

2

0.46

16.83

16.82

16.81

16.82

10

1.6820

0.5611

0.2116

3

0.41

16.72

16.75

16.73

16.73

10

1.6733

0.4948

0.1681

4

0.36

16.43

16.41

16.42

16.43

10

1.6423

0.4185

0.1296

5

0.31

16.37

16.37

16.38

16.36

10

1.6370

0.3582

0.0961

6

0.26

16.29

16.27

16.28

16.28

10

1.6280

0.2971

0.0676

7

0.21

13.62

13.60

13.62

13.61

8

1.7016

0.2622

0.0441

8

0.16

11.09

11.11

11.06

11.08

6

1.8475

0.2355

0.0256

9

0.11

8.14

8.17

8.16

8.17

4

2.0400

0.1974

0.0121

10

0.06

5.09

5.07

5.08

5.07

2

2.5388

0.1668

0.0036

DIMENCIONES DE LA BARRA

Longitud(m)=L

1.10

Ancho(m)=a

0.0305

Masa(Kg)=m

1.737

Gravedad(m/s²)=g

9.8

2) Gráfico de Id en función de d2: d2(m2) 0.2116 0.1681 0.1296 0.0961

Id(Kg·m2) 0.5611 0.4948 0.4185 0.3582

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LABORATORIO FISICA II 0.0676 0.0441 0.0256 0.0121 0.0036

0.2971 0.2622 0.2355 0.1974 0.1668

Id(Kg·m2) 0.6000

0.5000

0.4000

0.3000

0.2000

0.1000

0.0000

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Viendo los puntos de la gráfica vemos que la relación entre Id y d2 es lineal, lo cual verificamos con el coeficiente de correlación (r=0.9999) de la ecuación de regresión lineal hallada con el método de mínimos cuadrados: I d=0.1754 +1.8627 · d2

3) El Teorema de Steiner es: I d=I g + m·d 2

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Se comprueba que se cumple el teorema de Steiner en este experimento con la ecuación hallada en la parte 2: I d=0.1754 +1.8627 · d2

Donde se puede ver que el Ig hallado de forma experimental es: Ig = 0.134 Kg·m2 ………………….. (hallado de forma experimental) También de manera analítica podemos hallar el valor de Ig: I g=

1 M ( L2+ a2 ) 12

Ig . teo=

1.621 × ( 1.00072 +0.03082 ) =0.1354 12

Ig(teo) = 0.1354 Kg·m2………………….. (Hallado de forma analítica)

CALCULANDO EL ERROR RELATIVO DEL Ig:

Error . rel=(

Ig . exp−Ig .teo )×100 Ig . teo

( 0.1392−0.1354 ) ×100 0.1354

Error . rel=

Error . rel=2.80

4) Gráfico de “d” en función de “T”:

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Chart Title 12 10 8 6 4 2 0 1.5000

2.0000

T Id=m·g·d· 2π

2.5000

2

( )

I d=I g + m·d

3.0000

…………..…………………………………………….(1) ….…………..……………………………………….(2)

2

A pesar de lo que muestra el gráfico, las ecuaciones no sugieren que exista una relación cuadrática entre T y d. Buscaremos una relación entre T y d Igualando ambas ecuaciones, (1) y (2): m·g·d·

T 2 =I g +m· d 2 2π

( )

..….…………..………………………….(3)

Despejando T:

T =2 π

√

Ig d + mgd g

..…………..………………………….(4)

Se pudo hallar una ecuación para T en función de d. Si se desea hallar el periodo mínimo, entonces primero derivamos T con respecto a d: dT = dd

(

−I g 1 2π + 2 I g d mg d g 2 + mgd g

√

)

..…………..………………………….(5)

Igualando a cero y despejando d se obtiene:

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d=

√

Ig m

..….…………..………………………….(6)

Es la distancia correspondiente al periodo mínimo Reemplazando (6) en (4), se puede hallar el periodo mínimo:

√√

√

Ig Ig m T min=2 π + g I mg g m simplificando:

T min=2 π

√√

2 Ig g m

..….…………..………………………….(7)

Reemplazando Ig=0.13443 y m=1.621 en (6) y (7) obtenemos: d = 0.288m Tmin = 1.522 s Por lo tanto el periodo mínimo de oscilación de la barra es de 1.522 s. Ocurre cuando el eje de rotación dista 0.288 m del centro de gravedad de la barra.

5) Para hallar la longitud del péndulo simple equivalente para cada agujero en el péndulo simple igualaremos el periodo de un péndulo simple al periodo de un péndulo físico.

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T =2 π

T =2 π

√ √

L ps g

Periodo de un péndulo simple

Id mgd

Periodo de un péndulo físico

Igualando: 2π

√

√

L ps Id =2 π g mgd

Despejando la longitud del péndulo simple equivalente: L ps =

Id md

Esta fórmula se usará para hallar la longitud del péndulo simple equivalente correspondiente a cada agujero: nº aguj

d(m)

Id(Kg·m2)

Lps(m)

1

0,4907

0,5338

0,6711

2

0,4507

0,4711

0,6448

3

0,4006

0,3985

0,6137

4

0,3507

0,3388

0,5959

5

0,3007

0,2841

0,5829

6

0,2602

0,2487

0,5897

7

0,2007

0,1998

0,6141

CONCLUSIONES: El cálculo de momento de inercia para cuerpos que no presentan geometría conocida (donde es difícil hallar el momento de inercia con la definición), es más fácil hallarlo con este experimento que hemos realizado. En un péndulo físico, cuanto más se acerca el eje de oscilación al centro de gravedad, su periodo disminuye luego aumenta. Para que el periodo sea mínimo la distancia del eje de oscilación al centro de masa es: d=

√

Ig m

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En un péndulo físico (también en un péndulo simple) la amplitud del ángulo de giro debe ser menor a 15 grados, para que sea un M.A.S (movimiento armónico simple). Si el ángulo de giro es mayor, el movimiento no es armónico simple. En el experimento se pudo hallar la longitud de un péndulo simple equivalente a la barra metálica, utilizando previamente el periodo experimental. En el experimento se pudo poner a prueba las fórmulas de péndulo físico hechas en clases. En el desarrollo del experimento no se tomaron en cuenta otras fuerzas como la fricción debida a la resistencia del aire y la fricción en los apoyos. El periodo de un péndulo no depende de la amplitud del mismo Se cometieron errores humanos en la utilización de los instrumentos. El porcentaje de error podría haber sido menor si se hubiera calculado los momentos de inercia de cada orificio.

BIBLIOGRAFIA  Física (A. Navarro, Taipe) ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

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 Laboratorio Péndulo- Físico  Ciencias e Ingeniería Física

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