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• Carlos Alfredo Huamán Ormeño

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Universidad Nacional de Ingenier´ıa SEMESTRE 2013–III, 20/02/2014 Campus: C.U. FIM CONTROL DIGITAL Tercera Pr´actica Calificada (Tiempo: 1:50 horas) NOTA: No se permite copias ni apuntes. S´olo est´a permitido las tablas proporcionadas por el Profesor del curso.

1. La Figura 1 muestra un sistema de control de temperatura. En el sistema Rd (s) es la entrada de disturbio considerado como un impulso unitario, H es la ganancia, G p (s) es la planta, D(z) = K es un controlador discreto proporcional, R(s) = 1/s es la entrada de referencia, y Ce (s) es la salida. Considere el periodo de muestreo T = 0.6 segundos. (10 Ptos)

Figura 1: Sistema de control de temperatura.

a) Analice la estabilidad del sistema por Jury. b) Para qu´e valor de ganancia K se da un error en estado estacionario m´ınimo?. Justifique su respuesta en forma anal´ıtica.

CONTINUA

–2–

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2. Considere la ecuaci´on caracter´ıstica para cierto sistema discreto:

(4 Ptos)

Q(z) = z3 − 1.9z2 + 1.4z − 0.45 Asuma T = 1 segundo. a) Determine la estabilidad del sistema por Hurwitz. b) A partir del an´alisis de los polos de Q(z). Obtener el t´ermino que gobierna a la respuesta. Qu´e puede decir del t´ermino planteado, decae o no en el tiempo?. 3. Una planta de un sistema realimentado tiene la funci´on de transferencia: G p (s) =

(6 Ptos)

1 s+2

Asuma el per´ıodo de muestreo de T = 1 segundo. a) Halle la funci´on de transferencia discreta para G p (s) usando el m´etodo del mapeo. b) Para la funci´on de transferencia del sistema discreto en (a). Escriba la correspondiente ecuaci´on en diferencias. c) Asuma una ganancia proporcional usado para el controlador D(z) = K p y con la planta G p (z) discretizada con el equivalente ZOH. Analice el root–locus del sistema para K p > 0. Que valores de K p hace estable a la planta?.

Profesor. Ricardo Rodr´ıguez Bustinza, M.Sc.

ANEXO

–3–

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Soluci´on P2 Probaremos las condiciones de Jury: √ Q(1) = 1 − 1.9 + 1.4 − 0.45 = 0.5 > 0 → √ (−1)3 Q(−1) > 0 → (−1)[−1 − 1.9 − 1.4 − 0.45] > 0 → √ a3 > |a0 | → 1 > 0.45 →

Desde la tabla: z0 z1 -0.45 1.4 1 -1.9 -0.7975 1.27

z2 z3 -1.9 1 1.4 -0.45 -0.545

Aplicando, |b0 | > |b2 |, entonces 0.7975 > 0.545 →

√

. Entonces el sistema es ESTABLE.

Obteniendo las ra´ıces de la ecuaci´on caracter´ıstica Q(z): Q=[1 -1.9 1.4 -0.45]; r=roots(Q); % r = % 0.9000 % 0.5000 + 0.5000i % 0.5000 - 0.5000i abs_z=sqrt(real(r(2))^2+imag(r(2))^2); % 0.7071 ang_z=angle(r(2))*180/pi; % 45◦ A=1; theta=0; % Valores asumidos k=0:10; eq=A*(abs_z).^k.*cos(ang_z.*k+theta); stem(k,eq,’filled’)

Soluci´on P3 Usando MPZ para los polos/ceros en el plano–z para T = 1: CONTINUA

ANEXO

–4–

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s = −2 → z = esT = e−2 = 0.1353 Adicionando un cero en z = 1, el numerador y denominador tienen el mismo orden:

Gmpz (z) = Kd

z+1 z − 0.1353

Emparejando las ganancias: 1 1+1 = Kd , 0+2 1 − 0.1353

1 Kd = (1 − 0.1353) = 0.2162 4

Entonces:

Gmpz (z) = 0.2162

z+1 z − 0.1353

o tambi´en:

Gmpz (z) =

0.4323 z − 0.1353

Calculando la ecuacion en diferencias para la se˜nal de control:

y(k + 1) − 0.1353y(k) = 0.2162u(k) + 0.2162u(k + 1) Para la planta ZOH equivalente:

G(z) = (1 − z−1 )Z

{

1 } 1 (1 − e−4T ) 0.4323 = = −4T s(s + 2) 2 (z − e ) z − 0.1353

Para la planta el root–locus se muestra en la Figura ?? Analizando la ecuaci´on caracter´ıstica en lazo cerrado: CONTINUA

ANEXO

–5– 0.4323 0 = 1 + Kp z − 0.1353 z=−1

con ello obtenemos K p = 2.6262. Concluimos que es inestable para K p > 2.6262.

G=tf(1,[1 2]); Gd=c2d(G,1,’zoh’) rlocus(Gd), hold plot([-3 0.1353],[0 0],’b’,’linewidth’,1.5) plot([0.1353 0.1353],[0 0],’bx’,’Markersize’,12,’linewidth’,1.5) axis([-2.2 2.2 -2.2 2.2]) text(0.5,1,’C.U.’) text(0.01,-0.25,’0.1353’) text(-0.7,0.15,’Estable’) text(-1.7,0.15,’Inestable’)

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