UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA ASIGNATURA: Métodos Numéricos
Views 93 Downloads 1 File size 455KB
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA ASIGNATURA: Métodos Numéricos CICLO: 2019-II TIEMPO: 120 minutos
PRÁCTICA CALIFICADA 01 GRUPO G4
APELLIDOS Y NOMBRES Suazo Apolinario Cristian
CÓDIGO 16200158
INDICACIONES: Desarrolle la prueba siguiendo las indicaciones y los métodos sugeridos. Plantee la solución en su hoja de examen, sea claro y ordenado. Puede utilizar octave. No se permite ningún otro instrumento o aplicación, esta conlleva a la anulación de la prueba. Copiar los resultados intermedios del octave en la solución del problema en forma de texto, salvo que sea un gráfico. Copiar en la solución del problema el programa utilizado en Octave. Para el cálculo de todos los problemas use 8 decimales. Use solo los programas dadas en el aula virtual, puede modificarlas si desea de acuerdo al problema dado.
Problema 01. (2ptos.) En una compañía minera uno de los ingenieros realiza una medición del volumen de un mineral y encuentra que su valor es 1.5756457865 independientemente de las unidades físicas. Después de la medición observa en las tablas experimentales, el error absoluto es menor o igual a 0.000000005 . Determinar cuántos decimales correctos tiene la medición del volumen del mineral como mínimo.
clear; clc; & fprintf('\nCálculo de el numero de decimales\n\n'); tolerancia=input('Ingrese el error : '); fprintf('\n\n N de decimales Error\n'); error=1; numter=0; a=10; while error>tolerancia; a=a/10; error=a; fprintf('%15.10f %15.10f\n',numter,a); numter=numter+1; end if error>
Problema 02. (2ptos.) Un ingeniero civil desea cimentar un área circular (𝐴 = 𝜋 𝑟 2 ), se sabe que el radio medido fue de 𝑟 2 con una precisión de 0.01. Para el valor de utiliza un valor aproximado de 3.1416 con una precisión de 4 cifras decimales exactas. Determine que error se espera al evaluar el área del círculo.
>> pi=3.1416 pi = 3.1416 >> r=2 r=2 >> Er=0.01 Er = 0.010000 >> Epi=0.5*10^-4 Epi = 0.000050000 >> Ea=2*pi*r*Er+r^2*Epi Ea = 0.12586000 𝜀𝑎 = 2𝜋𝑟𝜀𝑟 + 𝑟 2 𝜀𝜋 = 2 ∗ 3.1416 ∗ 2 ∗ 0.01 + 22 ∗ 0.5 ∗ 10−4 = 0.1259
Problema 03. Se construye un tanque de almacenamiento de agua esférico de radio R = 12 m. y cuyo volumen de agua almacenado es: V = 60 m3 .
a) (1 Pto.) Usando el teorema de Bolzano encontrar los intervalos donde se encuentra la altura del líquido H. -60.000 -23.348 82.419 251.018 476.165
0 1 2 3 4
Por teorema de Bolzano se ve que existe una raíz entre [1;2]
b) (1 Pto.) Hallar el número de iteraciones para encontrar la altura del líquido H en un intervalo encontrado en a, con el método de la Bisección. Encontrar la raíz de la ecuación por el método de Bisección función: (pi. *(12-(x./3)).*(x.^2))-60 intervalo inferior: 1 intervalo superior: 2 el porcentaje de error: 0.00001
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
a 1.0000000000 1.0000000000 1.2500000000 1.2500000000 1.2500000000 1.2812500000 1.2812500000 1.2812500000 1.2812500000 1.2832031250 1.2841796875 1.2846679688 1.2846679688 1.2846679688 1.2846679688 1.2846679688 1.2846832275
b 2.0000000000 1.5000000000 1.5000000000 1.3750000000 1.3125000000 1.3125000000 1.2968750000 1.2890625000 1.2851562500 1.2851562500 1.2851562500 1.2851562500 1.2849121094 1.2847900391 1.2847290039 1.2846984863 1.2846984863
Numero de iteraciones: 17>>
Raíz 1.5000000000 1.2500000000 1.3750000000 1.3125000000 1.2812500000 1.2968750000 1.2890625000 1.2851562500 1.2832031250 1.2841796875 1.2846679688 1.2849121094 1.2847900391 1.2847290039 1.2846984863 1.2846832275 1.2846908569
Error 0.5000000000 0.2500000000 0.1250000000 0.0625000000 0.0312500000 0.0156250000 0.0078125000 0.0039062500 0.0019531250 0.0009765625 0.0004882812 0.0002441406 0.0001220703 0.0000610352 0.0000305176 0.0000152588 0.0000076294
c) (2ptos.) Hallar la altura del líquido H y el error cometido usando el método de la bisección con el número de iteraciones encontrado en b). funcin : (pi.*(12-(x./3)).*(x.^2))-60 intervalo inferior : 1 intervalo superior : 2 el porcentaje de error : 0.00001
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
a b 1.0000000000 1.0000000000 1.2500000000 1.2500000000 1.2500000000 1.2812500000 1.2812500000 1.2812500000 1.2812500000 1.2832031250 1.2841796875 1.2846679688 1.2846679688 1.2846679688 1.2846679688 1.2846679688 1.2846832275
Raiz 2.0000000000 1.5000000000 1.5000000000 1.3750000000 1.3125000000 1.3125000000 1.2968750000 1.2890625000 1.2851562500 1.2851562500 1.2851562500 1.2851562500 1.2849121094 1.2847900391 1.2847290039 1.2846984863 1.2846984863
Error 1.5000000000 1.2500000000 1.3750000000 1.3125000000 1.2812500000 1.2968750000 1.2890625000 1.2851562500 1.2832031250 1.2841796875 1.2846679688 1.2849121094 1.2847900391 1.2847290039 1.2846984863 1.2846832275 1.2846908569
0.5000000000 0.2500000000 0.1250000000 0.0625000000 0.0312500000 0.0156250000 0.0078125000 0.0039062500 0.0019531250 0.0009765625 0.0004882812 0.0002441406 0.0001220703 0.0000610352 0.0000305176 0.0000152588 0.0000076294
Raz exacta: 1.28469 Error: 0.0000076294 d) (2ptos.) Hallar la altura del líquido H y el error cometido con el método de NewtonRaphson, usando como error de tolerancia el error encontrado en c). valor inicial: 1 porcentaje de error:0.0000076294 funcion:(pi.*(12-(x./3)).*(x.^2))-60 derivada de la funcion(-1).*pi.*(x-24).*x i
raiz(i) Error aprox(i) 0 1.0000000 100.0000000 1 1.3231272 24.4214789 2 1.2852235 2.9491912 3 1.2846975 0.0409480 4 1.2846974 0.0000079 5 1.2846974 0.0000000 raiz exacta : 1.2847 Iteraciones: 5>>
Problema 04. Una compañía de inversiones ofrece tres portafolios de acciones: A, B y C. El número de bloques de cada tipo de acciones en cada uno de estos portafolios se resume en la siguiente tabla: Un cliente quiere 35 bloques de acciones de alto riesgo, 22 bloques de riesgo moderado y 18 bloques de acciones de bajo riesgo. a) (2 ptos.) Utilizando el método de Gauss ¿Cuántos bloques de acciones de cada portafolio deben sugerirse? 6𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 = 35 3𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 22 𝑥1 + 5𝑥2 + 3𝑥3 = 18
>> Resolviendo con el método de Gauss Usando el siguiente programa :
clear all clc disp(' Método de Gauss') disp(' Resuelve el sistema Ax=b') a=input('Introduzca la matriz A: '); b=input('Introduzca la matriz b (en vectores fila): ');
[Ma,Na]=size(a); [Mb,Nb]=size(b); a=[a, b']; disp('Matriz ampliada') disp(a)
[M,N]=size(a); %tamano de la matriz aumentada
for j=2:M piv=j-1; for i=j:M
a(i,:)=a(i,:)-a(i,piv)*a(piv,:)/a(piv,piv); end end disp('Matriz Triengular') disp(a) %retrosustitución cont=0; for p=Na+1:N x(M)=a(M,p)/a(M,M); cont=cont+1; for m=M-1: -1: 1 S=0; for n = M: -1: m+1 S=S+a(m,n)*x(n); end x(m)=(a(m,p)-S)/a(m,m); end fprintf('Solucion%3.0f\n', cont) disp(x') end
𝑥1 : El número de bloques de portafolio de acción A. 𝑥2 : El número de bloques de portafolio de acción B. 𝑥3 : El número de bloques de portafolio de acción C. 6 1 3 35 1 (3 2 3 22) 𝑓1 𝑓3 (3 1 5 3 18 6
5 3 18 2 3 22) 1 3 35
18 1 5 3 18 1 5 3 𝑓2 → 𝑓1 (0 −13 −6 −32) 𝑓3 → 𝑓1 (0 −13 −6 −32) 1 5 3 18 0 −29 −15 −73 18 1 5 3 29 −32) Entonces 𝑓3 → 13 𝑓2 (0 −13 −6 21 21 0 0 − 13 − 13
SUSTITUCION REGRESIVA: 𝑥1 + 5𝑥2 + 3𝑥3 = 18 0𝑥1 − 13𝑥2 − 6𝑥3 = −32 0𝑥1 − 0𝑥2 − Luego: 𝑥3 = 1
𝑥2 = 2
21 𝑥 13 3
=−
21 13
𝑥1 = 5
5 BLOQUES DEL TIPO A
; 2 BLOQUES DEL TIPO B; 1 BLOQUE DEL TIPO C
b) (2 ptos.) Resolver con el método de Jacobi hasta que los errores sean menores que 0.5%. Muestre el número de iteraciones. %Método de Jacobi clear all, clc A = input ('Ingrese matriz de coeficientes:'); %matriz A b = input('Ingrese matriz de constantes:'); %vector "b" dim = size(A); %nro de filas y de columnas de A fil = dim(1); %nro de filas en A col = dim(2); %nro de columnas en A D = zeros(size(A)); for i=1:col; D(i,i) = A(i,i); endfor T = D-A; x = zeros(size(b)); %suposicion inicial de x1,x2 y x3 xnew = zeros(size(b)); %Inicio de iteración for ite=1:15 for i=1:col xnew(i)=b(i); for j=1:fil xnew(i)=xnew(i)+T(i,j)*x(j); endfor xnew(i)=xnew(i)/D(i,i); endfor x = xnew; endfor disp('**********************************') disp('Metodo de Jacobi') fprintf('Número de iteraciones %i \nSolucion: ',ite)
fprintf('\n\tX1=%2.5f\n',x(1)) fprintf('\n\tX2=%2.5f\n',x(2)) fprintf('\n\tX3=%2.5f\n',x(3)) Problema 05. Mediante un dispositivo mecánico se ha determinado la distancia recorrida por un atleta al desplazarse por una pista lineal: distancia Distancia 0 6.7 14.5 25.1 39.2 50.3 62.9 75.3 90 t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 a) (2 ptos.) Aproxime la distancia recorrida a los 4.5 segundos con todos los datos usando el método de Newton y Lagrange. >> Metodo_Newton x= 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y= 0.00000 6.70000 14.50000 25.10000 39.20000 50.30000 62.90000 75.30000 90.00000
xy 0.00000 0.00000 6.70000 0.03389 -0.01187 0.00305
0.55000
0.28333 -0.04167 -0.05167
1.00000 6.70000 0.04917 0.01250
1.40000
0.11667 -0.30000
7.80000 0.00000
2.00000 14.50000 10.60000 0.03833 0.00000 0.00000
1.75000 -1.08333
3.00000 25.10000 14.10000 -1.50000 0.00000 0.00000 0.00000 4.00000 39.20000 11.10000 0.00000 0.00000 0.00000
5.00000 50.30000 12.60000 -0.10000 0.00000 0.00000 0.00000
0.45833 -0.14333
0.75000 -0.25833
0.75000 -0.28333
0.41667
0.15167 -
0.08667
0.17500
0.00000
0.00000
0.00000
6.00000 62.90000 12.40000 0.00000 0.00000 0.00000
1.15000
0.00000
0.00000
0.00000
7.00000 75.30000 14.70000 0.00000 0.00000 0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
8.00000 90.00000 0.00000 0.00000
0.00000 0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
0.00000
Valores de X y Y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0.00000 6.70000 14.50000 25.10000 39.20000 50.30000 62.90000 75.30000 90.00000
Polinomio interpolación Newton : P(x) = 0+6.7*(x-0)+0.55*(x-0).*(x-1)+0.28333*(x-0).*(x-1).*(x-2)-0.041667*(x-0).*(x-1).*(x2).*(x-3)-0.051667*(x-0).*(x-1).*(x-2).*(x-3).*(x-4)+0.033889*(x-0 ).*(x-1).*(x-2).*(x-3).*(x-4).*(x-5)-0.011865*(x-0).*(x-1).*(x-2).*(x-3).*(x-4).*(x-5).*(x6)+0.0030456*(x-0).*(x-1).*(x-2).*(x-3).*(x-4).*(x-5).*(x-6).*(x-7 ) X interp = 4.5 Y(4.5) = 45.05
Interpolacion con el Metodo del Polinomio de Lagrange
grado del polinomio: 8 dame los valores de xi:0 dame los valores de xi:1 dame los valores de xi:2 dame los valores de xi:3 dame los valores de xi:4 dame los valores de xi:5 dame los valores de xi:6 dame los valores de xi:7
dame los valores de xi:8 dame los valores de f(xi):0 dame los valores de f(xi):6.7 dame los valores de f(xi):14.5 dame los valores de f(xi):25.1 dame los valores de f(xi):39.2 dame los valores de f(xi):50.3 dame los valores de f(xi):62.9 dame los valores de f(xi):75.3 dame los valores de f(xi):90 x=
0 1 2 3 4 5 6 7 8
xi =
0.00000 6.70000 14.50000 25.10000 39.20000 50.30000 62.90000 75.30000 90.00000
Numero para el que desea interpolar x: 4.5
resultado xi: 45.0502
b) (2 ptos.) Aproxime la distancia recorrida a los 4.5 con 4 datos más próximos con el método de Newton y Lagrange. Valores de X :3 4 5 6 Y :25.100 39.200 50.300 62.900 Método de Newton
x 3.00000 4.00000 5.00000 6.00000
y 25.10000 14.10000 -1.50000 0.75000 39.20000 11.10000 0.75000 0.00000 50.30000 12.60000 0.00000 0.00000 62.90000 0.00000 0.00000 0.00000
Valores de X :3 4 5 6 Y :25.100 39.200 50.300 62.900 Polinomio interpolacion Newton : P(x) = 25.1+14.1*(x-3)-1.5*(x-3).*(x-4)+0.75*(x-3).*(x-4).*(x-5) X interp = 4.5 Y(4.5) = 44.8438
Método de Polinomio de Lagrange: Interpolación con el Método del Polinomio de Lagrange grado del polinomio: 3 dame los valores de xi:3 dame los valores de xi:4 dame los valores de xi:5 dame los valores de xi:6 dame los valores de f(xi):25.1 dame los valores de f(xi):39.2 dame los valores de f(xi):50.3 dame los valores de f(xi):62.9 x= 3 4 5 6 xi = 25.100 39.200 50.300 62.900 Número para el que desea interpolar x: 4.5 resultado xi: 44.8438>>
c) (2 ptos.) ¿Qué tiempo transcurrió cuando el atleta recorrió 60 metros? Con el polinomio de todos los puntos
Polinomio interpolacion Newton : P(x) = 0+0.14925*(x-0)-0.0014516*(x-0).*(x-6.7)-1.5494e-05*(x-0).*(x-6.7).*(x14.5)+1.0957e-06*(x-0).*(x-6.7).*(x-14.5).*(x-25.1)-1.2541e-08*(x-0).*(x-6.7).* (x-14.5).*(x-25.1).*(x-39.2)-3.9869e-10*(x-0).*(x-6.7).*(x-14.5).*(x-25.1).*(x-39.2).*(x50.3)+2.0749e-11*(x-0).*(x-6.7).*(x-14.5).*(x-25.1).*(x-39.2).*(x-50.3).*(x-62.9)-4.9977e13*(x-0).*(x-6.7).*(x-14.5).*(x-25.1).*(x-39.2).*(x-50.3).*(x-62.9).*(x-75.3) X interp = 60 Y(60) = 5.80498 Interpolacion con el Metodo del Polinomio de Lagrange x= 0.00000 6.70000 14.50000 25.10000 39.20000 50.30000 62.90000 75.30000 90.00000 xi = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Numero para el que desea interpolar x: 60 resultado xi: 5.80535