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• Jaime Ramirez

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UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIER´IA ´ CENTRO DE DOCENCIA DE CIENCIAS BASICAS PARA INGENIER´IA.

BAIN 086 C´ alculo en Varias Variables Examen 20 de Julio de 2017 Nombre:......................................................................................Grupo:..............Profesor:.................... Instrucciones • Conteste en forma ordenada identificando la pregunta e item que corresponde. 1.- (1.5) .................................

• La soluci´ on debe llevar desarrollo y respuesta. Las respuestas sin justificaci´ on no tendr´ an puntaje.

2.- (1.5) ................................. 3.- (1.5) .................................

• No est´ a permitido el uso de celular ni formulario.

4.- (1.5) .................................

• Puede usar calculadora cient´ıfica. • Tiempo: 90 minutos.

Problema 1 Determine los extremos relativos de la funci´ on f (x, y) = 18x + 18y − 27 − 9xy − 3y 2 − 3x2 + x2 y + xy 2 Desarrollo: ∂f =18 − 9y − 6x + 2xy + y 2 ∂x ∂f =18 − 9x − 6y + 2xy + x2 ∂y  18 − 9y − 6x + 2xy + y 2 = 0 ∇f (x, y) = (0, 0) ⇒ 18 − 9x − 6y + 2xy + x2 = 0 Restando ambas ecuaciones, tenemos: (x − y)(3 − x − y) = 0 ⇒ x = y

∨

y =3−x

Si x = y, entonces x2 − 5x + 6 = 0 ⇒ x = 2 ∨ x = 3, lo que implica que P1 (2, 2) Si y = 3 − x, entonces x2 − 3x = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = 3, lo que implica que p3 (0, 3) Adem´ as: −6 + 2y −9 + 2x + 2y H(x, y) = −9 + 2x + 2y −6 + 2x

∧ ∧

P2 (3, 3) P4 (3, 0)

entonces: • H(2, 2) = 3 > 0,

∂2f (2, 2) = −2 < 0, m´aximo. ∂x2

• H(3, 3) = −9 < 0, silla. • H(3, 0) = −9 < 0, silla. • H(0, 3) = −9 < 0, silla. Problema 2 Determine el volumen de la regi´ on dentro del cono x2 + y 2 = z 2 y bajo la esfera x2 + y 2 + z 2 − 8z + 8 = 0, con z > 0. Desarrollo: Al intersectar ambas superficies, se tiene z = 2, lo que implica que la proyecci´on en el plano XY es x2 +y 2 6 4. Usando coordenadas cilindricas, tenemos:  x = r cos θ  p y = r sen θ , 0 6 θ 6 2π, 0 6 r 6 2, r 6 z 6 4 − 8 − r2  z= z Entonces: Z 2π Z V = 0

Z =

2

0 2π

8+ 0

Z

√ 4− 8−r 2

Z

2π

Z

2

(4r − r

r dzdrdθ = r

√

0

0

√

8 8 8 8 8 − − dθ = 16π(1 − ) 3 3 3 3

p

8−

r2

2

Z

− r )drdθ = 0

2π

2 ! 1 p r3 3 2 2r + ( 8 − r ) − dθ 3 3 0 2

Problema 3 Sea la curva

 C:

Calcule

x2 + y 2 + z 2 = x−y = Z

I=

2z 1

(x2 + y 2 + z 2 ) dσ

C

Desarrollo:  Haciendo y = x − 1 se tiene

x−

1 2

2

 +

z−1 2

2 =

1 , que se puede parametrizar como: 4

 1 1   x = cos t +   2 2     1 1 y = cos t − , t ∈ [0, 2π] r(t) = 2 2    √      z = 2 sen t + 1 2 ! √ 1 1 2 0 r (t) = − sen t, − sen t, cos t 2 2 2 r 1 1 1 1 kr0 (t)k = sen2 t + sen2 t + cos2 t = √ 4 4 2 2 Entonces: Z I= 0

2π

√ 4π 1 ( 2 sen t + 2) √ dt = √ 2 2

Problema 4 Sea S la superficie del cono x2 + y 2 = z 2 dentro del cilindro x2 + z 2 = z, con y > 0. Escriba de la manera m´ as reducida posible la integral que expresa el ´ area de S. Desarrollo: La proyecci´ on de S en el plano XZ se puede graficar como sigue:

Usando ”coordenadas polares” podemos parametrizar el cono como:  cos θ  x = r√ 3π π T (r, θ) = 6θ6 , y = r sen2 θ − cos2 θ ,  4 4 z = r sen θ   r cos θ r sen θ Tr × Tθ = − √ , −r, √ sen2 θ − cos2 θ sen2 θ − cos2 θ √ 2r sen θ kTr × Tθ k = √ 2 sen θ − cos2 θ Entonces, el a´rea de la superficie S se puede calcular como: √ Z 3π Z sen θ 4 2r sen θ √ A(S) = drdθ 2 θ − cos2 θ π sen 0 4

0 6 r 6 sen θ