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• Eduardo Elgueta

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ELO-377: T´ecnicas Modernas en Autom´atica Certamen 1 31 de Octubre de 2018 Matriz de Transformaci´ on D-H  i−1  Ri i−1 pi i−1 Ti = 0 0 0 1

(1)

donde i−1

Ri

i−1

pi



 cos θi − cos αi sin θi sin αi sin θi =  sin θi cos αi cos θi − sin αi cos θi  0 sin αi cos αi   ai cos θi  ai sin θi  = di

Ecuaci´ on de Newton-Euler M(q)¨ q + V (q, q) ˙ + G(q) = τ

(2)

Par´ametros D-H Joint ai αi di θi 1 0 −π L1 θ1 2 2 L2 0 0 θ2 Figura 1: Robot RR ortogonal

donde q = [θ1 θ2 ]T y τ = [τ1 τ2 ]T

1. Considere el brazo rob´otico RR ortogonal de la figura 1 cuyas articulaciones se mueven en el plano horizontal X0 − Y0 y en el plano vertical X1 − Y1 respectivamente 1a. (15 pts.) Obtenga por geometr´ıa una expresi´on para la posici´on p(x, y, z) del elemento final (EF), relativa al marco de referencia O0 , si la posici´on articular del robot es q = [π/6, π/3]T . Exprese el resultado en funci´on de L1 y L2 1b. (20 pts.) Obtenga mediante la transformaci´on de D-H (1) una expresi´on para la posici´on p(x, y, z) del elemento final (EF), relativa al marco de referencia O0 , si la posici´on articular del robot es q = [π/6, π/3]T . Exprese el resultado en funci´on de L1 y L2 2. Considere el modelo din´amico (2) del brazo rob´otico RR ortogonal de la figura 1 2a. (15 pts.) Obtenga los polos de lazo cerrado que resultan al aplicar el controlador C(s) = a2 (s + a) para cada articulaci´on, en conjunto con el desacoplador por torque calculado 4s (3) con entrada U = [u1 , u2 ]T τ = M(q)(U − 2aq˙ − a2 q) + V (q, q) ˙ + G(q), a > 0 1

(3)

3. Considere una planta SISO de primer orden (n = 1) muestreada, que tiene la siguiente representaci´on interna extendida con entrada incremental (4):     a b b z[k + 1] = z[k] + ∆u[k] 0 1 1 (4) y[k] = 1 0 z[k] donde z[k] = [x[k] u[k − 1]]T y ∆u[k] = u[k] − u[k − 1]

3a. (20 pts.) Obtenga una expresi´on para la predicci´on y[k + 3|k], considerando el modelo de predicci´on Y = H∆u+ + F z[k], con ∆u+ = [∆u[k] 0 0 . . . 0]TM ×1 . Exprese el resultado en funci´on de a, b, ∆u[k] y z[k], considerando que las matrices H y F en (5) se obtienen a partir del modelo (4)     Ce Be 0 ... 0 Ce Ae  Ce Ae Be  Ce A2  Ce Be ... 0  e    H= F =  ..  (5) .. .. ..  . .   .  . . . .  −1 −2 Ce AM Be Ce AM Be . . . Ce Be M ×M Ce AM e e e M ×(n+1) 3b. (15 pts.) Obtenga una expresi´on para obtener la ley de control ∆u[k] que minimiza el error cuadr´atico de predicci´on y el esfuerzo cuadr´atico incremental (6). Utilice el resultado obtenido en 3a para y[k + 3|k]. J=

1 λ (y[k + 3|k] − w[k + 3])2 + ∆u2 [k] 2 2

(6)

Exprese el resultado en funci´on de a, b, λ, w[k + 3], y z[k] 3c. (15 pts.) Obtenga una expresi´on para la predicci´on y[k + 3|k] que resulta al cerrar el lazo con la ley de control ∆u[k] obtenida en 3b, si se elige λ = 0. Exprese el resultado en funci´on de w[k + 3]

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