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• Noemi Morales Diaz

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IV

ONDAS y APLICACIONES

9

Ecuaciones de Maxwell

¿Quieres ser un héroe? No te contentes con ver hacer proezas a los demás o ignorar lo que ocurre a tu alrededor. Actúa. Quienes actúan desean ardientemente cumplir sus propósitos, avanzar, servir a sus semejantes, ser los mejores y cambiar su mundo. GlENN

VAN EKEREN

9.1. Introducción En la parte II (capítulos 4 a 6) de este libro nos ocupamos de los campos electrostáticos, denotados con E(x, y, z), mientras que en la parte III (capítulos 7 y 8) estudiamos los campos magnetostáticos, representados con H(x, y, z). Esto significa que hasta aquí hemos restringido nuestro análisis a los campos electromagnéticos estáticos, o invariables en el tiempo. En lo sucesivo examinaremos situaciones con campos eléctricos y magnéticos dinámicos, o variables en el tiempo. Señalemos en primer término que los campos eléctrico y magnético estáticos son independientes entre sí, en tanto que los dinámicos son interdependientes. En otras palabras, un campo eléctrico variable en el tiempo implica necesariamente un campo magnético correspondiente variable en el tiempo. En segundo término, los campos electromagnéticos variables en el tiempo, representados con E(x, y, z, t) y H(x, y, z, t), poseen mayor valor práctico que los estáticos. No obstante, el conocimiento de los campos estáticos proporciona sólidas bases para comprender los dinámicos. En tercer lugar, recuérdese que los campos electrostáticos suelen ser producidos por cargas eléctricas estáticas y que los campos magnetostáticos se deben al movimiento de cargas eléctricas a una velocidad uniforme (corriente directa) o de cargas magnéticas estáticas (polos magnéticos); en cambio, los campos variables en el tiempo u ondas suelen deberse a cargas aceleradas o corrientes variables en el tiempo como las que se muestran en la figura 9.1. Una corriente pulsatoria producirá radiación (campos variables en el tiempo). El tipo de corriente pulsatoria que aparece en la figura 9.1(b) es la causa de la emisión radiada en tarjetas lógicas digitales. En suma: cargas estacionarias ~ campos electrostáticos corrientes estacionarias ~ campos magnetostáticos corrientes variables en el tiempo ~ campos (u ondas) electromagnéticos El propósito de este capítulo es sentar las bases para el estudio subsecuente. Esto supone la presentación de dos importantes conceptos: 1. la fuerza electromotriz, basada en experimentos de Faraday, y 2. la corriente de desplazamiento, producto de hipótesis de Maxwell. Como resultado de estos conceptos, las ecuaciones de Maxwell-tal como se les formuló en la sección 7.6- y las condiciones en la frontera para campos electromagnéticos

370

.

ECUACIONES DEMAXWELL

-9flf

-~-

(b)

(a)

(e)

Figura 9.1. Diversos tipos de corriente variable en el tiempo: (a) sinusoidal, (b) rectangular, (e) triangular.

estáticos se modificarán para dar cuenta de la variación temporal de los campos. Conviene destacar que las ecuaciones de Maxwell resumen las leyes del electro magnetismo y servirán de fundamento a nuestros análisis en lo que resta del libro. Por tal motivo, la sección 9.5 debe considerarse el núcleo de este texto.

9.2. Ley de Faraday Tras el descubrimiento experimental de Oersted (en el que Biot, Savart y Ampere basaron sus leyes) de que una corriente estacionaria produce un campo magnético, pareció lógico indagar si el magnetismo producía electricidad. Once años después del hallazgo de Oersted, en 1831, Michael Faraday en Londres y Joseph Henry en Nueva York descubrieron que un campo magnético variable en el tiempo producía una corriente eléctrica.! De acuerdo con los experimentos de Faraday, un campo magnético estático no produce flujo de corriente, pero un campo variable en el tiempo produce un voltaje inducido (llamado fuerza electromotriz [fe]) en un circuito cerrado, el cual provoca un flujo de corriente. Faraday descubrió que la fuerza electromotriz inducida, Vfe (en volts), en un circuito cerrado es igual a la rapidez de cambio del eslabonamiento de flujo magnético por el circuito. Ésta es la ley de Faraday, la cual puede expresarse como V

re

=

- dA dt

=

-Nd1fr dt

(9.1)

donde N es el número de vueltas en el circuito y 1frel flujo a través de cada una de ellas. El signo negativo indica que el voltaje inducido es contrario al flujo que lo produce. Ésta 1Para detalles sobre los experimentos de Michael Faraday (1791-1867) y Joseph Henry (1797-1878), véase W. F. Magie, A So urce Book in Physics, Harvard University Press, Cambridge, MA, 1963, pp. 472-519.

9.2. LEYDEFARADAY .

1

371

Figura 9.2. Circuito en el que se muestra un campo generador de fuerza electromotriz E¡ y un campo electrostático Ee'

t R

es a su vez la ley de Lenz,2 según la cual la dirección del flujo de corriente en el circuito es tal que el campo magnético inducido resultante de la corriente inducida se opondrá al campo magnético original. Recuérdese que un campo eléctrico se describió como aquel en el que cargas eléctricas experimentan fuerza. Los campos eléctricos considerados hasta este punto son causados por cargas eléctricas; en ellos, las líneas de flujo comienzan y terminan en las cargas. No obstante, existen otros tipos de campos eléctricos, no directamente causados por cargas eléctricas. Éstos son los campos producidos por fuerza electromotriz. Los generadores eléctricos, las baterías, pilas termo eléctricas, pilas de Grove y pilas fotovoltaicas son fuentes de fuerza electromotriz; todos ellos convierten energía no eléctrica en eléctrica. Considérese el circuito eléctrico que aparece en la figura 9.2, en el que una batería es fuente de fuerza electromotriz. La acción electro química de la batería da como resultado un campo producido por fuerza electromotriz E¡. La acumulación de carga en las terminales de la batería causa asimismo un campo electrostático Ee (= - VV). El campo eléctrico total en cualquier punto es

E=~+~

~~

Cabe hacer notar que El es de cero fuera de la batería, E¡ y Ee siguen direcciones opuestas dentro de ésta y la dIrección de Ee en la batería es la contraria a la que sigue fuera de ella. Si se integra la ecuación (9.2) sobre el circuito cerrado,

tE.

di

{ El.

di + O =

r

(a través de la batería)

(9.3a)

E¡. di

donde p Ee . di = O,porque Ee es conservativo. La fuerza electro motriz de la batería es la integral de línea del campo producido por esa fuerza; es decir, Vfe =

r N

E¡. di

=-

r N

.

Ee di

= IR

(9.3b)

puesto que E¡ y Ee son iguales pero contrarios dentro de la batería (fig. 9.2). Esto también podría interpretarse como la diferencia de potencial (V p - VN) entre las terminales de la batería en circuito abierto. Es importante señalar que:

1. Un campo electrostático Ee no puede mantener una corriente estacionaria en un circuito cerrado, ya que PL Ee . di = O = IR. 2. Un campo producido por fuerza electromotriz E¡no es conservativo. 3. Excepto en electrostática, voltaje y diferencia de potencial por lo general no son equivalentes. 2

Así llamada en honor a Heinrich Friedrich Emil Lenz (1804-1865), profesor de física de nacio-

nalidad

rusa.

372

.

ECUACIONES DEMAxWELl

9.3. Fuerza electromotriz estática y cinética Una vez analizada la relación entre fuerza electromotriz y campo eléctrico, examinemos ahora la relación entre los campos eléctrico y magnético en el marco de la ley de Faraday. En el caso de un circuito con una vuelta (N = 1), la ecuación (9.1) se convierte en

~

~

(9.4)

En términos de E y B, la ecuación (9.4) puede expresarse como Vfe

= f E. di = -~ J B . dS L dt s

(9.5)

donde 1/1'ha sido reemplazada por fs B . dS y S es el área de la superficie del circuito delimitado por la trayectoria cerrada L. De la ecuación (9.5) se deduce claramente que los campos tanto eléctrico como magnético están presentes y se interrelacionan en una situación de variación en el tiempo. Adviértase en la ecuación (9.5) que di y dS son acordes con la regla de la mano derecha y el teorema de Stokes, lo que puede observarse en la figura 9.3. La variación del flujo con el tiempo, como en las ecuaciones (9.1) o (9.5), puede deberse a tres causas: 1. Una espira estacionaria en un campo B variable en el tiempo. 2. Una espira de área variable en el tiempo en un campo B estático. 3. Una espira de área variable en el tiempo en un campo B variable en el tiempo. Consideremos por separado cada una de estas posibilidades.

A. Espira estacionaria en un campo B variable en el tiempo (fuerza electromotriz estática) Este caso se representa en la figura 9.3, en la que una espira conductora estacionaria se ubica en un campo magnético B variable en el tiempo. En estas condiciones la ecuación (9.5) se convierte en Vfe

B (t) creciente

=

fL

E. dI = - aB. dS Js at

(9.6)

Figura 9.3. Fuerza electromotriz inducida debida a una espira estacionaria en un campo B variable en el tiempo.

9.3.

FUERZA ElECTROMOTRIZ ESTÁTICAy ClNÉTICA

.

373

A esta fuerza electromotriz inducida por una corriente variable en el tiempo (causa también del campo B variable en el tiempo) en una espira estacionaria se le llama fuerza electromotriz estática, o de transformador en análisis de potencia, ya que se debe a la acción de un transformador. De la aplicación del teorema de Stokes al término intermedio de la ecuación (9.6) se obtiene

f (V

X

s

E) . dS = -

f aBat .

dS

(9.7)

s

Para igualar estas dos integrales,sus integrandos deben ser iguales;es decir,

I

VXE

~

-~

(9.8) I

Ésta es una de las ecuaciones de Maxwell para campos variables en el tiempo. Indica que el campo E variable en el tiempo no es conservativo (V X E O).Esto no quiere decir que se infrinjan los principios de la conservación de la energía. El trabajo realizado para incorporar una carga alrededor de una trayectoria cerrada en un campo eléctrico variable en el tiempo, por ejemplo, se debe a la energía procedente del campo magnético variable en el tiempo. Obsérvese que la figura 9.3 obedece la ley de Lenz; el flujo de la corriente inducida 1 produce un campo magnético que se opone a B(t). -4=

B. Espira móvil en un campo B estático (fuerza electromotriz cinética) Cuando una espira conductora se halla en movimiento en un campo B estático, en ella se induce una fuerza electromotriz. Recuérdese que, de acuerdo con la ecuación (8.2), la fuerza sobre una carga en movimiento a una velocidad uniforme u en un campo magnético B es Fm = Qu X B

(8.2)

Así, el campo eléctrico cinético Em se define como E

Fm

=-=uxB m Q

(9.9)

Si se parte del supuesto de que una espira conductora en movimiento a una velocidad uniforme u se compone de gran número de electrones libres, la fuerza electromotriz inducida en ella es

~~ I

Ve.

~

{ E..

di

~

{ (o x B) . di

I

Esta fuerza se llama fuerza electromotriz cinética o por corte de flujo porque se debe a una acción de movimiento. Se trata del tipo de fuerza electromotriz presente en máquinas eléctricas como motores, generadores y altemadores. En la figura 9.4 se ilustra una máquina de corriente directa de dos polos con bobina de armadura y un conmutador de dos barras. Aunque el análisis de máquinas de corriente directa rebasa el alcance de este libro, cabe señalar que, en su caso, la generación de voltaje es producto de la rotación de la bobina dentro del campo magnético. En la figura 9.5 se ofrece un ejemplo adicional

374

.

ECUAClONES DE MAXWELL Figura 9.4. Máquina de corriente directa.

s

de fuerza electromotriz cinética, consistente esta vez en una varilla que se mueve entre un par de rieles. En esta circunstancia,B y u son perpendiculares,de modo que, en combinación con la ecuación (8.2), la ecuación (9.9) se convierte en (9.11) o (9.12) y la ecuación (9.10) en Vfe

= uBe

(9.13)

Tras aplicar el teorema de Stokes a la ecuación (9.10),

o (9.14) Nótese que, a diferencia de la ecuación (9.6), en la ecuación (9.10) no hay necesidad de un signo negativo, puesto que ya se ha tenido en cuenta la ley de Lenz.

y @

@

@

IT@

R
dz = -0.04(1007T)(0.05) cos 4>dz

= -0.27T

COS 4>dz

(O.03

~e =

JZ=O

- 0.27TCOS4>dz

=

-67T COS.4>mV

Para determinar 4>,recuérdese que d4> w = - ~ A.= wt + C dt 'f' o donde Co es una constante de integración. En t = O,4> = 7T/2,ya que la espira se sitúa en el plano yz en ese instante, Co = 7T/2.En consecuencia, 4> = wt + 7T 2

y Vfe = -67T cos( wt + ;)

= 67Tsen(1007Tt) mV

En t = 1 ms, Vfe= 67Tsen(O.l7T) = 5.825 mV b) La corriente inducida es i En t

Vfe

= - R = 607Tsen (1007Tt)mA

= 3 ms, i = 607Tsen(0.37T)mA = 0.1525 A

Ejercicio 9.2 Repita el ejemplo 9.2 con los mismos datos, excepto que el campo B cambia a: a) B = 50ay mWb/mz; esto es, el campo magnético ción de y.

se orienta

a lo largo de la direc-

b) B = 0.02t ax Wb/mz; esto es, el campo magnético es variable en el tiempo. Respuestas: a) -17.93mV,-0.1108A

Ejemplo 9.3

y b)20.5/LV,-41.92mA.

El circuito magnético que se presenta en la figura 9.8 posee una sección transversal uniforme de 10-3 mZ.Si está energizado por una corriente de ¡¡(t) = 3 sen 1007TtA en la bobina de N¡ = 200 vueltas, halle la fuerza electromotriz inducida en la bobina de Nz = 100 vueltas. Suponga que /L = 500/Lo.

380

.

ECUAClONES DEMAXWELL

Figura 9.8. Circuito magnético para el ejemplo 9.3. +

i¡ (t)

+

Solución: El flujo en el circuito es

De acuerdo con la ley de Faraday, la fuerza electromotriz inducida en la segunda bobina es

V2=-N2-=

d 1Jf

dt

N ¡N 2J.tS di¡

.

-

27TPo dt

100. (200) . (500) . (47TX 27T

= -67T

10-7)

. (10-3) . 3007T cos

1007Tt

. (10 X 10-2)

cos 1007TtV

Ejercicio 9.3 Un núcleo magnético de sección transversal uniforme de 4 cm2 está conectado a un generador de 120 V, 60 Hz, como se muestra en la figura 9.9. Calcule la fuerza electromotriz inducida V2 en la bobina secundaria. Respuesta:

72 V.

ti fa

-

1

~1

¡

tr

ti:: -~::... ~ - - --

Figura 9.9. Para el ejercicio 9.3.

'11

..:=:.~::...::...~.~~

+

9.4. CORRIENTE DEDESPLAZAMIENTO.

381

9.4. Corriente de desplazamiento En la sección anterior reconsideramos en esencia la ecuación del rotacional de Maxwell para campos electrostáticos y la modificamos para situaciones de variación en el tiempo a fin de satisfacer la ley de Faraday. Reconsideremos ahora la ecuación del rotacional de Maxwell para campos magnéticos (ley de los circuitos de Ampere) en función de la variación en el tiempo. Recuérdese que en el caso de campos electromagnéticos estáticos

VxH=J

(9.17)

Sin embargo, la divergencia del rotacional de un campo vectorial es idéntica a cero (véase el ejemplo 3.10). Por consiguiente,

v . (V X H) = O = V . J

(9.18)

No obstante, la continuidad de corriente en la ecuación (5.43) exige que V . J = --

apv at

*O

(9.19)

Es evidente, así, que las ecuaciones (9.18) y (9.19) son incompatibles respecto de condiciones de variación en el tiempo. Debe modificarse entonces la ecuación (9.17), a fin de que sea acorde con la ecuación (9.19). Se añade para ello un término a la ecuación (9.17), la que se convierte en VXH

=J

(9.20)

+ Jd

donde J d está por determinarse y definirse. De nueva cuenta, la divergencia del rotacional de un vector es igual a cero. Por tanto:

V . (V X H) = O = V . J + V . J d

(9.21)

Para que la ecuación (9.21) sea acorde con la ecuación (9.19),

apv a V.Jd= -V'J=-=-(V'D) at at

aD = V.- at

(9.22a)

o (9.22b) La sustitución de la ecuación (9.22b) en la ecuación (9.20) resulta en (9.23) I

VXH~J+~

I

Ésta es la ecuación de Maxwell (basada en la ley de los circuitos de Ampere) para un campo variable en el tiempo. El término Jd = aD/at se conoce como densidad de corriente de desplazamiento, en tanto que J es la densidad de corriente de conducción

382

.

ECUAClONES DEMAXWELL

Figura 9.10. Dos superficies de integración que demuestran la necesidad de Jd en la ley de los circuitos de Ampere.

1

1

L

(a)

(J

=

(b)

1

= --

V' H

a

p ap

s

",s

(pH ) =0 ps

Ahora, VxH

s

=Vx

Ho

(

)

-elZa f3 p p 0

jHo/3 =-eIZa P

f3

0

to' Una ecuación de onda, como las ejemplificadas por lasecuaciones (9.51) y (9.52), es una ecuación diferencial parcial de segundo orden. En una dimensión, una ecuación escalar de onda adopta la forma de (10.1) donde u es la velocidad de onda. La ecuación (10.1) es un caso especial de la ecuación (9.51), en la que el medio carece de fuente (Pv = O,J = O). Se le resuelve siguiendo un procedimiento similar al que se describió en el ejemplo 6.5. Sus soluciones son de la forma E-

= f(z

E+

= g(z + ut)

- ut)

(10.2a) (lO.2b)

o E

= f(z -

ut) + g(z + ut)

(10.2e)

donde fy g denotan cualquier función de z - ut y Z + ut, respectivamente. Son ejemplos de tales funciones z :!: ut, sen k(z :!: ut), cos k(z :!: ut) y ejk(z:!:ut),donde k es una constante. Podría demostrarse fácilmente que todas estas funciones satisfacen la ecuación (10.1). Si se adopta en particular la dependencia de tiempo armónico (o sinusoidal) ejiút,la ecuación (10.1) se convierte en (10.3) donde f3 = úJ/uy Es es la forma de fasor de E. La resolución de la ecuación (10.3) es se-

mejante al caso e del ejemplo 6.5[véasela ecuación (6.5.12)].Habiendo insertado el factor de tiempo, las posibles soluciones de la ecuación (10.3) son E+

= Aé(wt

-

I3z)

(10Aa)

E- = Bé(iút+ I3z)

(lOAb)

412.

PROPAGACIÓN

DE ONDAS

ELECTROMAGNÉTICAS

y E = Aej(cuI- f3z) + Bé(cuI+ f3z)

(lOAc)

donde A YB son constantes reales. Consideremos por el momento la solución formulada en la ecuación (lOAa). Si se toma la parte imaginaria de esta ecuación se obtiene E = Asen (úJt- [3z)

(10.5)

Se ha optado por esta onda sinusoidal en razón de su simplicidad; de la elección de la parte real de la ecuación (lOAa) habría resultado una onda cosinusoidal. Repárese en las siguientes características de la onda expresada en la ecuación (10.5):

1. Es armónica en el tiempo, ya que para arribar a tal ecuación se adoptó la dependencia del tiempo écuI. 2. A es la amplitud de la onda, de unidades iguales a las de E. 3. (úJt - [3z)es la fase (en radianes) de la onda; depende del tiempo t y de la variable espacial z. 4. w es la frecuencia angular (en radianes/segundo) y [3la constante de fase o número de onda (en radianes/metro). Dada su variación tanto con el tiempo t como con la variable espacial z, E puede repre-

sentarse gráficamente como una función de t manteniendo constante Z yviceversa.En las figuras 10.1(a) y 10.1(b) aparecen los diagramas de E(z, t = constante) y E(t, Z = constante), respectivamente. En la primera de ellas se observa que la onda tarda en repetirse una distancia A,la que por este motivo recibe el nombre de longitud de onda (en metros). En la segunda, la onda tarda en repetirse el tiempo T, el periodo (en segundos). Puesto que para que la onda recorra la distancia Aa la velocidad u transcurre el tiempo T, es de suponer que

A = uT

(10.6a)

Pero T = l/f, donde f es la frecuencia (el número de ciclos por segundo) de la onda en hertz (Hz). Así, (1O.6b) Por efecto de esta relación fija entre longitud de onda y frecuencia, la posición de una estación de radio en su banda puede identificarse con una u otra, aunque suele preferirse la frecuencia. Asimismo, a causa de que úJ

= 21Tf

(10.7a)

(10.7b)

[3=úJ u

y

T =

.!. -

f

21T

- -¡;;

(1O.7c)

l 10.2. ESTUDIO GENERALDE LASONDAS.

413

z

-Á 2

(a) E

-T 2 T (b)

Figura 10.1. Diagrama de E(z, t) = A sen(wt - f3z):(a) con t constante, (b) con Z constante. de las ecuaciones (10.6) y (10.7) es de esperar que (10.8)

La ecuación (10.8) indica que cualquiera que sea la distancia comprendida por su longitud, una onda sufre un cambio de fase de 2'TT' radianes. Demostremos ahora que la onda representada por la ecuación (10.5) se desplaza a una velocidad u en la dirección + z. Para hacerlo se considera un punto fijo P en la onda y se traza la ecuación (10.5) en los instantes t = O,TI4 Y T12,como en la figura 10.2. En ésta es evidente que el punto P se mueve a lo largo de la dirección + Z a medida que la onda avanza en el tiempo. El punto P es un punto de fase constante, de manera que wt

-

f3z

= constante

o

dz - ~ = u dt - f3

(10.9)

I

I ¡

414.

PROPAGACIÓN

DE ONDAS

ELECTROMAGNÉTICAS

Figura 10.2. Diagrama de E(z, t) = A sen(wt - (3z) en los instantes (a) t = O,(b) t = T/4, (e) t = T/2; P se mueve a lo largo de la dirección +z a una velocidad u.

E

{3z

~

{3z

E

ecuación equivalente a la ecuación (10.7b). La ecuación (10.9) indica que la onda se desplaza a una velocidad u en la dirección +z. De la misma forma podría demostrarse que

la ondaB sen (úJt + (3z)representada por la ecuación (lO.4b) se desplaza a una velocidad u en la dirección -z. En suma, cabe señalar lo siguiente: 1. Una onda es una función tanto del tiempo como del espacio. como punto de 2. No tiene principio ni fin; el instante t = O se elige arbitrariamente referencia. 3. Cuando el signo de (úJt :!: (3z)es negativo, la propagación de la onda ocurre en la dirección + z (onda de avance o de marcha positiva); cuando es positivo, la propagación ocurre en la dirección -z (onda de retroceso o de marcha negativa). 4. Puesto que sen (-I/J) = -sen I/J= sen (I/J:!: 7T),mientras que cos( -I/J) = cos I/J, sen (I/J :!: 7T/2) = :!: cos I/J

=

(lO.lOa)

- sen I/J

(10.10b)

cos (I/J :!: 7T/2) = :!: sen I/J

(lO.lOc)

sen (I/J :!: 7T)

cos (I/J :!: 7T) =

-

cos

I/J

(10.10d)

donde I/J = úJt:!:{3z.Mediante la ecuación (10.10), toda onda armónica en el tiempo puede representarse en forma de seno o coseno.

10.2. ESTUDIOGENERALDE LASONDAS.

415

Tabla 10.1. Espectro electromagnético. Fenómenos

electromagnéticos

Rayos cósmicos Rayos gamma Rayos X Radiación ultravioleta Luz visible Radiación infrarroja Microondas

Radioondas

Ejemplos

de usos

Física, astronomía Terapia contra el cáncer Examinación con rayos X Esterilización Visión humana Fotografía Radares, relevadores de microondas, comunicación satelital Televisión UHF Televisión VHF, radio FM Radio de onda corta Radio AM

Intervalo de frecuencia

aproximado

1014 GHz y superior 1OIL1013 GHz ]()8-109 GHz lOL lOS GHz 105-106 GHz 10-'-104 GHz 3-300 GHz

470-806 MHz 54-216 MHz 3-26 MHz 535-1605 kHz

La clasificación de múltiples frecuencias en orden numérico constituye un espectro. En la tabla 10.1 se detallan las frecuencias en que ocurren diversos tipos de energía en elespectro electromagnético. Las frecuencias útiles para la comunicación por radio ocurren cerca del extremo inferior del espectro. Conforme la frecuencia aumenta, la manifestación de energía electromagnética comporta riesgos para los seres humanos. JLos hornos de microondas, por ejemplo, pueden ser peligrosos si no se les blinda adecuadamente. Las dificultades prácticas para el empleo de energía electromagnética con fines de comunicación también aumentan al incrementar la frecuencia, al grado de volver imposible el uso de tal energía. No obstante, el límite de la frecuencia utilizable se ha elevado gracias a mejores métodos de comunicación. Hoy los satélites de comunicación operan con frecuencias próximas a los 14 GHz. Esta frecuencia está aún muy por debajo de la de la luz, la que sin embargo ya se emplea para la radiocomunicación en el restringido ámbito de la fibra óptica.2

Ejemplo 10.1

El campo eléctrico en el vacío está dado por E = 50 cos (lOSt + (3x) ay Vlm a) Halle la dirección de la propagación de la onda. b) Calcule (3y el tiempo que tarda en recorrer una distancia de A/2. c) Trace la onda en t = O,TI4YT12.

Solución: a) Del signo positivo en (úJt+ (3x)se infiere que la onda se propaga a lo largo de -ax' Esto se confirmará en el inciso c) de este ejemplo. 1Véase la edición especial de marzo de 1987 de la IEEE Engineering in Medicine and Biology Magazine sobre "Efectos de la radiación electromagnética". 2Yéase la edición de octubre de 1980 de IEEE Proceedings sobre "Comunicaciones mediante fibra óptica".

416.

PROPAGACIÓN

DE ONDAS

ElECTROMAGNÉTICAS

b) En el vacío, u = e. l1J {3 = -;;

108

=3

1

X 108

=3

o {3= 0.3333 rad/m Si T es el periodo de la onda, ésta tarda T segundos en recorrer una distancia Aa una velocidad e. De ahí que en recorrer una distancia de A/2tarde 1 21T -

T

tl="2="2-;--108

-.!! = 31.42ns

Opcionalmente, y a causa de que la onda viaja a la velocidad de la luz e, A 2"= et1

o

A tI = 2e

Pero 21T A=-=61T (3

Por tanto, t 1 --

61T 2(3 X 108) = 31.42 ns

como se obtuvo anteriormente. e) En

t = O,

Ey = 50 cos {3x

En t = T/4, Ey = 50 cos

= -50 En

l1J

. ~:

+ (3x

)=

50 cos ({3x + 1T12)

+ (3x

)=

50 cos ({3x + 1T)

sen {3x

t = T/2, Ey = 50 cos

=

( (

l1J

. ~:

-50 cos {3x

Ey en t = O, T/4, T/2 se traza contra x, como se observa en la figura 10.3. Nótese que el

punto P en la onda (seleccionado arbitrariamente) se mueve a lo largo de -ax al incrementarse t, lo que demuestra que la onda se desplaza a lo largo de -ax'

10.3.

PROPAGACIÓN DE ONDAS EN DIELÉORICOS DISIPATIVOS .

417

Figura 10.3. Para el ejemplo 10.1; la onda se desplaza a lo largo de - ax'

y

x

x

x

(e) t= T/2

Ejercicio 10.1 En el vacío, H = 0.1 cos (2 x 108t - kx)ay A/m. a) Calcule k, ÁY T. b) Determine el tiempo tI que la onda tarda en recorrer A/8. e) Trace la onda en el instante tI' Respuestas: a) 0.667 rad/m,9.425 m, 31.42 ns, b) 3.927 ns y e) véase la figura 10.4.

10.3. Propagación de ondas en dieléctricos disipativos Como se mencionó en la sección 10.1, la propagación de ondas en dieléctricos disipativos es un caso general del que pueden deducirse los casos especiales de la propagación de ondas en otros tipos de medios. Por tanto, está sección servirá de fundamento a las tres secciones posteriores.

418.

PROPAGACIÓN

DE ONDAS

ELECTROMAGNÉTICAS

Figura 10.4. Para el ejercicio 10.1, inciso e).

x

Un dieléetrieo disipativo es un medio en el que una onda electromagnética pierde potencia al propagarse a causa de una conducción deficiente. En otras palabras, un dieléctrico disipativo es un medio parcialmente conductor (dieléctrico imperfecto

o conductor

imperfecto)

en el que a

*-O, a

diferencia

de un dieléctrico

sin pérdidas (dieléctrico perfecto o buen dieléctrico), en el que a = O. Considérese un medio dieléctrico disipativo lineal, isotrópico y homogéneo sin carga (Pv = O).Tras adoptar y suprimir el factor de tiempo é"t, las ecuaciones de Maxwell (véase la tabla 9.2) se convierten en

v . Es = O

(10.11)

. Hs = O

(10.12)

V

x Es = - jWJ.LHs V x Hs = (a + jwe)Es V

(10.13) (10.14)

Al tomar el rotacional de ambos miembros de la ecuación (10.13) se obtiene V

x V x Es=

- jWJ.LV

x Hs

(10.15)

La aplicación de la identidad vectorial V x V x A = V (V . A) - V2A

(10.16)

al miembro izquierdo de la ecuación (10.15) y la invocación de las ecuaciones (10.11) y (10.14) produce

7E,)

- V'E,

~

-¡",,,(u + ¡",ejE,

o (10.17) donde (10.18)

j

10.3.

PROPAGACIÓN DE ONDAS EN DIELÉCTRICOSDISIPATIVOS El

419

y donde l' es la constante de propagación (por metro) del medio. Siguiendo un procedimiento semejante, es posible demostrar que en cuanto al campo H, (10.19) Las ecuaciones (10.17) y (10.19) son las ecuaciones vectoriales homogéneas de Helmholtz, o ecuaciones vectoriales de onda. La ecuación (10.17), por ejemplo, equivale en coordenadas cartesianas a tres ecuaciones escalares de onda, una por cada componente de E a lo largo de ax' ay y az' Puesto que en las ecuaciones (10.17) a (10.19) l' es una cantidad compleja, concedamos que I

l'

= a + jJ3

(10.20) I

a y J3se obtienen de las ecuaciones (10.18) y (10.20), en el entendido de que

(10.21) y (10.22)De las ecuaciones (10.21) y (10.22) se obtiene

a

= w~

T )1 [

J3= w)~e

+

[~r

[~1 + [:er

-

1]

+ 1]

(10.23)

(10.24)

Sin menoscabo de la generalización, si suponemos que la onda se propaga a lo largo de +az y que Es sólo cuenta con la componente x, Es = Exs(z)ax

(10.25)

La sustitución de esta expresión en la ecuación (10.17) resulta en (10.26) Por consiguiente,

o

o

o (10.27)

420

.

PROPAGACIÓN DE ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

La solución de esta ecuación escalar de onda, una ecuación diferencial lineal homogénea, es (véase el caso B del ejemplo 6.5) E xs(z ) = E oe-YZ+ E'eYz o

(10.28)

donde Eo YE~son constantes. El hecho de que el campo deba ser finito en el infinito impone que E~ = O.Opcionalmente, y a causa de que eyZdenota una onda que se desplaza a lo largo de -az mientras que suponemos que la propagación de la onda ocurre a lo largo de az, E~= O.Desde cualquier punto de vista, así, E~= O.De la inserción del factor de tiempo eiwten la ecuación (10.28) y el empleo de la ecuación (10.20) se obtiene E( z, t) = Re [Exs( z )eiwtaxJ = Re (Eoe-azei(wt

- f3z)ax)

o

I

E(z, t) = Eoe-azcos(cut- f3z)ax

(10.29) I

En la figura 10.5 se presenta el diagrama de IEI en los instantes t = OYt = !1t.Salta a la vista que E sólo cuenta con la componente x y se desplaza a lo largo de la dirección + z. Habiendo obtenido E(z, t), H(z, t) se obtiene con pasos similares mediante la ecuación (10.19) o aplicando la ecuación (10.29) en combinación con las ecuaciones de Maxwell, como se hizo en el ejemplo 9.8. De un modo u otro se llega finalmente a

(10.30) donde Ho

= Eo

(10.31)

TJ

y donde TJes una cantidad compleja conocida como impedancia intrínseca (en ohms) del medio. Siguiendo los mismos pasos que en el ejemplo 9.8, es posible demostrar que

(10.32) x Figura 10.5. Campo E con la componente x en desplazamiento a lo largo de la dirección +z en los instantes t = OYt = !1t;las flechas indican valores instantáneos de E.

z

/

/'

/'

./ ./

10.3.

PROPAGACIÓN DE ONDAS EN DIELÉCTRICOSDISIPATIVOS .

421

con (T

tan 2(Jr¡=

~

(10.33)

donde O ::::;()."::::;45°. La sustitución de las ecuaciones (10.31) y (10.32) en la ecuación (10.30) da como resultado

o

(10.34)

De las ecuaciones (10.29) y (10.34) se desprende que conforme la onda se propaga a lo largo de az, su amplitud decrece o se atenúa en un factor e-az, motivo por el cual a recibe el nombre de constante de atenuación o factor de atenuación del medio. Esta constante mide el índice espacial de la declinación de la onda en el medio y se enuncia en nepers por metro (Np/m) o en decibeles por metro (dB/m). Una atenuación de 1 neper equivale a una reducción de e-l del valor original, mientras que un incremento de 1 neper equivale a un aumento en un factor de e. En el caso del voltaje, así, 1 Np = 20 loglo e = 8.686 dB

(10.35)

En cuanto a la ecuación (10.23), vale hacer notar que si (T = O,como es el caso tanto de un medio sin pérdidas como del vacío, a = O,de modo que la onda no se atenúa al propagarse. La cantidad {3es una medida del corrimiento de fase por longitud y se llama constante de fase o número de onda. En términos de {3,la velocidad de onda u y la longitud de onda A están dadas respectivamente por [véanse las ecuaciones (1O.7b)y (10.8)] ú)

u =-, {3

A=-

27T

{3

(10.36)

Respecto de las ecuaciones (10.29) y (10.34) es posible observar asimismo que E y H están fuera de fase por ()."en cualquier instante, a causa de la impedancia intrínseca compleja del medio. En cualquier momento, así, E se adelanta a H (o H se rezaga de E) por 8.".Señálese por último que, en un medio disipativo, la razón de la magnitud de la densidad de corriente de conducción J a la magnitud de la densidad de corriente de desplazamiento J d es

o (10.37)

422

11

PROPAGACiÓN

DE ONDAS

ELECTROMAGNÉTICAS

donde tan 8 es la tangente de pérdida y 8 el ángulo de pérdida del medio, como se ilustra en la figura 10.6.Aunque no es fácil trazar una línea de demarcación entre buenos conductores y dieléctricos disipativos, tan 8 o 8 pueden usarse para determinar cuán disipativo es un medio. Un medio es un buen dieléctrico (sin pérdidas o perfecto) si, en su caso, el valor de tan 8 es muy reducido (0"« ws), y un buen conductor si tan 8 es muy alto (0"» ws). Desde el punto de vista de la propagación de ondas, el comportamiento característico de un medio depende no sólo de sus parámetros constitutivos 0",s y JL,sino también de la frecuencia de operación. Un buen conductor en bajas frecuencias podría ser un buen dieléctrico en altas frecuencias. En lo que se refiere a las ecuaciones (10.33) y (10.37) 8 = 287J

(10.38)

Con base en la ecuación (10.14)

VXHs=(O"+jWS)Es=jWS[l-

:]Es

(10.39)

=jws;Es donde (10AOa) o se = s' - js"

(10AOb)

y s' = s, s" = O"/w,mientras que se es la permitividad compleja del medio. Adviértase que la razón de s" a s' es la tangente de pérdida del medio; es decir,

S" -O" tan 8 = ;; = ws

(10041)

En las secciones siguientes se examinará la propagación de ondas en otros tipos de medios, casos especiales del considerado en esta sección. Por tanto, de las fórmulas obtenidas para este caso general deduciremos simplemente las que rigen en aquéllos. Se recomienda al estudiante no limitarse a memorizarlas, sino observar además su fácil obtención a partir de las fórmulas relativas al caso general.

J ds =jW8Esf

- - - - - - -;(1 I

I I I I I I I J J s =uE s

Figura 10.6. Ángulo de pérdida de un medio disipativo.

10.5. ONDAS PLANASEN El VAcfo

.

423

10.4. Ondas planas en dieléctricos sin pérdidas En un dieléctrico sin pérdidas, (T« CU8. Éste es un caso especial del referido en la sección 10.3, salvo que [ (T

(10.42)

= O,

Al sustituir estos valores en las ecuaciones (10.23) y (10.24) se obtiene a = O,

(1O.43a)

{3= cuY¡;; ,\ = 27T {3

Asimismo,

(1O.43b)

. (10.44)

l1=~iJE de manera que E y H comparten la misma fase temporal.

10.5. Ondas planas en el vacío Éste es también un caso especial del considerado en la sección 10.3. Esta vez,

[

(T

= O,

P-

= P-o

(10.45) I

Esta situación puede interpretarse asimismo como un caso especial del descrito en la sección 10.4. En consecuencia, basta reemplazar B por 80y p-por P-oen la ecuación (10.43) o sustituir directamente la ecuación (10.45) en las ecuaciones (10.23) y (10.24). De una u otra forma se obtiene a = O,

u=.~

{3=

cuy¡;:;;,= !:!.e

(1O.46a)

,\ = 27T {3

(10.46b)

1 = e, v P-oBo

donde e = 3 x 108mis, la velocidad de la luz en el vacío. El hecho de que las ondas electromagnéticas viajen en el vacío a la velocidad de la luz es importante, pues indica que la luz es manifestación de una onda electromagnética. En otras palabras, la luz es propiamente electromagnética.

I ..1

424.

PROPAGACiÓN

DE ONDAS

ELECTROMAGNÉTICAS

Al sustituir los parámetros constitutivos de la ecuación (10.45) en la ecuación (10.33), (}T¡ = OYT'J= T'Jo'donde T'Joes la impedancia intrínseca del vacío y está dada por

T'Jo

=

o

J€ = -

80

1201T =

E = Eo cos(wt

-

377a

f3z) ax

(10.47)

(1O.48a)

así, Eo

H = Ho cos (wt - f3z) ay = -T'Jocos(wt - f3z)ay

(10.48b)

En la figura 1O.7(a) aparece el diagrama de E y H. En general, si aE' aHYak son vectores unitarios a lo largo del campo E, el campo H y la dirección de propagación de la onda, es posible demostrar que (véase el problema 10.14)

o

x

Figura 10.7. (a) Diagrama de E y H como funciones de z en t = O; (b) diagrama

de E y H en z = O.Las flechas indican valores instantáneos.

z

(a) x

y

I (b)

I

J

10.6. ONDAS PLANASEN BUENOSCONDUCTORES.

425

o

I

3E X 3H

= 3k

(10.49) I

Los campos (u ondas electromagnéticas) tanto E como H son normales en cualquier punto a la dirección de propagación de onda 3k' Esto significa que se sitúan en un plano transversal u ortogonal a esa dirección. Así, forman una onda electromagnética sin componentes de campo eléctrico y magnético a lo largo de la dirección de propagación, llamada onda electromagnética transversal (ET). E YH son a su vez, y por separado, una onda plana uniforme, puesto que E (o H) mantiene igual magnitud a todo lo largo de un plano transversal,

definido

por

z =

constante.

La dirección

en la que apunta

el campo

eléctrico es la polarización de una onda ET.3 La onda de la ecuación (10.29), por ejemplo, está polarizada en la dirección de x. Esto se advierte en la figura 10.7(b), ilustrativa de ondas planas uniformes. La existencia física de una onda plana uniforme es imposible, ya que se extendería al infinito y representaría una energía infinita. Pese a su simplicidad, no carece de importancia pues sirve como aproximación de ondas prácticas -las procedentes de una antena de radio, por ejemplo--a1ejadas de fuentes de radiación. Aunque estas precisiones se refieren al vacío, también se aplican a cualquier otro medio isotrópico.

10.6. Ondas planas en buenos conductores Éste es otro caso especial del expuesto en la sección 10.3. Un conductor perfecto, o buen conductor, es aquel en el que u» we, de modo que u/we ~ 00; es decir, I

u = 00,

e = ea,

JL= JLo/L,

(10.50)

I

Así, las ecuaciones (10.23) y (10.24) se convierten en

a

¡;;;¡;;;.~ = {3= '12 = v7TfJLu

(1O.51a)

= 27T

(1O.51b)

Á

(3

Asimismo, (10.52)

de modo que E se adelanta a H en 45°. Si (10.53a) 3En algunos textos la polarización se define de otra manera.

426.

PROPAGACiÓN

DE ONDAS

ELECTROMAGNÉTICAS

entonces

(10.53b)

De esta forma, a medida que la onda E (o H) se desplaza en un medio conductor, su amplitud es atenuada por el factor e-az. Indicada en la figura 10.8, la distancia D,a lo largo de la cual la amplitud de onda decrece en un factor e-l (alrededor de 37%), es la profundidad pelicular o profundidad de penetración del medio; esto es, Eoe-atJ= Eoe-l o (10.54a)

La profundidad pelicular es una medida del grado de penetración de una onda electromagnética en el medio.

La ecuación (10.54a)suele ser aplicable a cualquier medio material. En el caso de los buenos conductores,las ecuaciones (10.51a)y (10.54a)producen 1 D=

(1O.54b) V'TrllLU

Con referencia a un buen conductor, la imagen contenida en la figura 10.8 resulta exagerada, pero la profundidad pelicular de un medio parcialmente conductor puede ser muy considerable. En cuanto a las ecuaciones (10.51a), (10.52) y (10.54b), alusivas todas ellas a un buen conductor, 1 'TI= - v'2 ej7T14 - 1+ j UD -- UD

x

(10.55)

Figura 10.8. Ilustración de la profundidad pelicular.

o

z I

'=

+--I I I I

(;

.J

10.6. ONDAS PLANASEN BUENOSCONDUCTORES.

427

Tabla 10.2. Profundidad pelicular del cobre." (Hz)

10

60

100

500

Profundidad pelicular (rnrn)

20.8

8.6

6.6

2.99

Frecuencia

"En cobre, O"= 5.8 X 107 mhoslm,

IL = lLoJ, = 66.1/0

0.66

6.6 X 10-3

6.6 X 10-4

(en rnm).

Con relación asimismo a los buenos conductores, la ecuación (1O.53a) puede expresarse como

(

E = E e-zI.5cos wt o

)

~ a 8

x

lo que indica que 8 mide la disminución exponencial de la onda durante su recorrido por el conductor. En la tabla 10.2 se presenta la profundidad pelicular del cobre a varias frecuencias, la cual decrece al aumentar ~a frecuencia. Así, E y H difícilmente pueden propagarse a través de buenos conductores. El fenómeno por el que la intensidad de campo decrece rápidamente en un conduc- tor se conoce como efecto pelicular. Los campos y corrientes asociadas son confinados a una capa muy delgada (la "piel") de la superficie del conductor. Respecto de un cable de radio a, por ejemplo, es válido suponer que, a altas frecuencias, toda la corriente fluye en el anillo circular de grosor 8 que se muestra en la figura 10.9. El efecto pelicular -el cual adopta distintas apariencias en problemas tales como la atenuación en guías de ondas, la resistencia efectiva o en corriente alterna de líneas de transmisión y el blindaje electromagnético- es útil en numerosas aplicaciones. Puesto que, por ejemplo, la plata presenta una profundidad pelicular muy reducida y es insignificante la diferencia de rendimiento entre un componente de plata pura y uno de cobre con revestimiento de plata suele recurrirse a éste para abatir el costo de materiales de componentes de guías de ondas. Esto explica asimismo que en las antenas exteriores de televisión se empleen conductores tubulares huecos en lugar de conductores sólidos. De igual manera, los aparatos eléctricos pueden ser protegidos eficazmente contra ondas electromagnéticas mediante cubiertas conductoras de apenas unas cuantas profundidades peliculares de grosor. La profundidad pelicular sirve para calcular la resistencia en corriente alterna debida al efecto pelicular. La resistencia de la ecuación (5.16) se llama resistencia en corriente directa; es decir, f (5.16) Red = uS Figura 10.9. Profundidad pelicular a altas frecuencias,{)« a.

428.

PROPAGACiÓN

DE ONDAS

ELECTROMAGNÉTICAS

La resistencia superficial o pelicular Rs (en !}/m2) es la parte real de la r¡de un buen conductor. Así, a partir de la ecuación (10.55) (10.56) Ésta es la resistencia de una unIdad de anchura y una unidad de longitud del conductor. Equivale a la resistencia en corriente directa de una unidad de longitud de un conductor con área de sección transversal 1 x 8. Con referencia, así, a una anchura w y una longitud f dadas, la resistencia en corriente alterna se calcula recurriendo a la ya conocida relación de resistencia en corriente directa de la ecuación (5.16) y suponiendo un flujo uniforme de corriente en el conductor de grosor 8; esto es, R ca--=- f u8w

Rsf w

(10.57)

donde S = 8w. Respecto de un cable conductor de radio a (fig.1O.9),w = 27Ta,de modo que f Rea = u27Ta8 Rde

~

a 28

u7Ta2

Puesto que 8 « a a altas frecuencias, esto indica que Reaes mucho mayor que Red'En general, la razón de la resistencia en corriente alterna a la resistencia en corriente directa comienza en 1.0 en corriente directa y muy bajas frecuencias y crece conforme aumenta la frecuencia. Asimismo, aun si la mayor parte de la corriente no está distribuida uniformemente en un conductor de 58 de grosor, la pérdida de potencia es la misma que si aquélla estuviera distribuida uniformemente en un grosor de 8 y cero. Ésta es una razón más de que a 8 se le denomine profundidad pelicular.

Ejemplo- 10.2

.

Un dieléctrico disipativo tiene una impedancia intrínseca de 200 /300 !} en una frecuencia particular. Si, en esa frecuencia, la onda plana que se propaga por el dieléctrico tiene como componente de campo magnético

H

= 10 e-ax cos( wt - ~ x) ayA/m

halle E y a. Determine la profundidad pelicular y la polarización de la onda. Solución: La onda dada se desplaza a lo largo de ax'de modo que ak = ax;aH= ay,de forma que o

10.6. ONDAS PLANASEN BUENOSCONDUCTORES.

429

Asimismo, Ho = 10, de manera que

~oo =

TI

= 200 /300 = 200 ej1T16~

Eo

= 2000ej1T16

Salvo por su diferencia de amplitud y fase, E y H tienen siempre la misma forma. Por tanto,

o

En conocimiento de que {3= 1/2,es preciso determinar a. Puesto que

y

Sin embargo, ~W8 = tan 20."= tan 600 = \1'3. En consecuencia,

o

a=~1 \1'3 - 2\1'3 = 0.2887Np/m y 0=1. = 2\1'3 = 3.464m a La onda tiene una componente Ez; así, está polarizada a lo largo de la dirección de z.

430.

PROPAGACIÓN

DE ONDAS

ElECTROMAGN~TICAS

Ejercicio 10.2 Una onda plana que se propaga por un medio con Sr = 8,JLr= 2 tiene E = 0.5 e-zl3 sen (108t- {3z) axV/m.Determine

a) b) e) d) e)

{3. La tangente de pérdida. La impedancia de la onda. La velocidad de la onda. El campo H.

Respuestas: a) 1.374 rad/m, b) 0.5154, e) 177.72 /13.63° n, d) 7.278 x 107mis, y e) 2.817e-zI3 sen(108 t - {3z - 13.63°)ay mNm.

Ejemplo10.3

En un medio sin pérdidas en el que (wt - z)ay Nm,

TI

= 601T,JLr= 1 YH = -0.1 cos (wt - z) ax + 0.5 sen

calcule sr' w y E.

Solución: En este caso, u = O,a = OY{3= 1, de modo que

o

v;, = 1201T = 1201T =2 TI 601T a

fJ

= w ~ ,- = W v;;:;:. v;;:;: = w v4 = 2w ,-0 o ,-r r e e

o

w=--{3c - 1(3 X- 108) = 1.5 X 108rad/s 2 A partir del campo H dado, E puede calcularse de dos maneras: mediante las técnicas desarrolladas en este capítulo (basadas en las ecuaciones de Maxwell) o usando directamente las ecuaciones de Maxwell, como en el capítulo anterior. Método 1. Para emplear las técnicas desarrolladas en este capítulo, sea

10.6. ONDAS PLANASEN BUENOSCONDUCTORES.

431

= -0.1 cos «(J)t - z) ax y H2 = 0.5 sen «(J)t- z) ay y el campo eléctrico corres-

donde Hl pondiente

E = El + E2 donde El = EIo COS(wt - z) aE¡YE2 = E20sen (wt - z) aEi Nótese que aunque H tiene componentes a lo largo de ax y ay, no tiene ninguno a lo largo de la dirección de propagación; se trata en consecuencia de una onda ET. En el caso de El, aE¡= -(ak X aH) = -(az X -ax) = ay E10 = 11H10 = 607T(0.1) = 67T Por tanto, El = 67Tcos «(J)t- z) ay

En el caso de E2, aE, = -(ak X al1,) = -(az X ay) = ax E20 = 11H20 = 607T(0.5) = 307T Por tanto, E2 = 307T sen «(J)t-

z )ax

La adición de El y E2 da como resultado E; es decir,

E = 94.25sen (1.5 X 10St - z) ax + 18.85cos (1.5 X lOSt - z) ay V/m Método 2.

Es posible aplicar directamente

VX H

_

l

las ecuaciones

aE at

E + B-

de Maxwell.

E = ~ J V X H dt

porque u = o. Pero

a ax VXH

= IHiz)

a a ¡;¡ ay = - aHy a + aHx a az x az y Hy(z) O I

= H20 cos «(J)tdonde Hlo

= -0.1

Y H20

1

E = -

B

J

H10 sen «(J)t- z)ay

= 0.5.Por consiguiente,

H 20 V X H dt = sen

= 94.25sen «(J)t como era de esperar.

z) ax +

B(J)

-

H 10

« (J)t

- z) ax - -B(J) cos «(J)t - z) aY .

z) ax + 18.85 cos (M - z) ay V/m

432.

PROPAGACIÓN

DE ONDAS

ELECTROMAGNÉTICAS

Ejercicio 10.3 Una onda plana en un medio no magnético tiene E Halle

= 50 sen

(108t + 2z) ay V/m.

a) La dirección de propagación de la onda. b) A,fy 8r' e) H. Respuestas: a) a lo largo de la dirección -z, b) 3.142 m, 15.92 MHz, 36 Y e) 0.7958 sen(108t + 2z) ax A/m.

Ejemplo 10.4

Una onda plana uniforme que se propaga en cierto medio tiene

= 2e-az sen (108t - f3z) ay V/m. Si el medio se caracteriza por Br = 1,ILr = 20 YO" = 3 mhos/m, halle a, f3y H. E

Solución: Para saber si el medio es un dieléctrico disipativo o un buen conductor debe determinarse la tangente de pérdida. 3

O" úJB

108 X 1

x-

10-9

= 3393 »

1

367T

lo que indica que el medio es un buen conductor en la frecuencia de operación. Por tanto,

a = f3 =

~

IL~O"

=

[47T X 10-7

;

20(108)(3) r2

= 61.4 a = 61.4 Np/m,

Asimismo,

O"

tan 20r¡= -úJB = 3393 En consecuencia,

f3 = 61.4 rad/m

10.6. ONDAS PLANASEN BUENOSCONDUCTORES.

433

donde

y Ho

=

Eo

=

1171

(3 ~soo;

~

= 69.1

X 10-3

Así, H = -69.1 e-61.4zsen

(

lOSt - 61.42z -

:) ax mNm

Ejercicio 10.4 Una onda plana que se desplaza en la 4irección +y en un medio disipativo (sr = 4, = 1,(T = 10-2 mhos/m) tiene E = 30 cos (1091Tt+ 1T/4)azV/m en y = O.Determine

JLr

a) E en y

= 1 m, t = 2 ns.

b) La distancia recorrida por la onda para presentar un corrimiento de fase de 10°. e) La distancia recorrida por la onda para que su amplitud se reduzca 40%. d) H en y = 2 m, t = 2 ns. Respuestas: a) 2.787az V/m, b) 8.325 mm, e) 542 mm y d) -4.71ax mNm.

["¡emplo 10.5

Una onda plana E

= Eo cos

(úJt - ¡3z) axincide en un buen conductor en z = O.Halle la

densidad de corriente en el conductor. Solución:

Puesto que la densidad de corriente J = (TE,es de esperar que J satisfaga la ecuación de onda formulada en la ecuación (10.17);es decir,

Asimismo, la E incidente cuenta sólo con componente x y varía con z. Por tanto, J = Jx(z, t) axy

la cual es una ecuación diferencial ordinaria cuya solución es (véase el caso B del ejemplo 6.5)

434.

PROPAGACIÓN

DE ONDAS

ELECTROMAGNÉTICAS

La constante B debe ser de cero porque Jsxes finita cuando ductor, u» úJ8de manera que a = f3 = l/a. Por tanto,

z -+ oo.Pero en un buen con-

'Y= a + jf3 = a(l + j) = -(1 +a j)

y Jsx = Ae-z(1

+ j)/5

o Jsx

= Jsx(O)

e-z(1 + j)/5

donde Jsx (O) es la densidad de corriente en la superficie del conductor.

Ejercicio 10.5 Con relación a la densidad de corriente del ejemplo ~0.5, halle la magnitud de la corriente total a través de una franja del conductor de profundidad infinita a lo largo de z y anchura w a lo largo de y. JsX (el cual se mide en watts por metro cuadrado [W/m2]);es decir, I

C¿¡>=ExH

(10.65) I

4Así llamado en honor de 1.H. Poynting, quien lo formuló en "Gn the transfer of energy in the electromagnetic field", Phil. Trans., vol. 174, 1883, p. 343.

10.7.

POTENCIA y ELVECTOR DE POYNTING

.

437

Esto representa el vector instantáneo de densidad de potencia asociado con el campo electromagnético en un punto dado. La integración del vector de Poynting sobre cualquier superficie cerrada da como resultado la potencia neta que sale de esa superficie. El teorema de Poynting establece que la potencia neta que sale de un volumen v dado es igual a la rapidez temporal de decremento de la energía almacenada en v menos las pérdidas de conducción. Este teorema se ilustra en la figura 10.10. Cabe señalar que I!Pes normal tanto a E como a H y ocurre, por tanto, a lo largo de la dirección de propagación de onda ak en el caso de ondas planas uniformes. Así, (10.49) El hecho de que I!Papunte a lo largo de ak provocó que el nombre de este vector degenerara en vector de apuntamiento (pointing, en inglés). Si suponemos de nuevo que

entonces

Potencia de salida

Figura 10.10. Ilustración del equilibrio de en campos electromagnéticos.

. potencia

Energía eléctrica almacenada

/

Energía magnética almacenada

Potencia de entrada

438.

PROPAGACIÓN

DE ONDAS

ELECTROMAGNÉTICAS

y E2

iJ'(Z, t) =

~

(10.66) e-2az COS (wt

puesto que cos A cos B = ~ [ cos (A - B)

-

{3Z) COS (wt

-

{3z -

e1)aZ

+ cos (A + B)]. Paradeterminar el vector de

Poynting promedio temporal iJ'prom (z) (en W/m2), de mayor valor práctico que el vector de Poynting instantáneo iJ'(z, t), la ecuación (10.66) se integra sobre el periodo T = 27T/W; es decir,

1 iJ'prom(z) = T

T

I

o iJ'(z, t) dt

(10.67)

Es posible demostrar (véase el problema 10.28) que esto equivale a

(10.68)

Al sustituir la ecuación (10.66) en la ecuación (10.67) se obtiene

(10.69)

La potencia promedio temporal total que atraviesa una superficie S determinada dada por

Pprom

f

= s iJ'prom..dS

está

(10.70)

Repárese en la diferencia entre iJ', iJ'promy Pprom'iJ'(x,y, z, t) es el vector de Poynting en watts/metro y varía en el tiempo. iJ'prom(x,y, z) también se mide en watts/metro y es el pro-

medio temporal del vector de Poynting iJ'; es un vector, pero invariable en el tiempo. Ppromes la potencia promedio temporal total a través de una superficie, en watts; es un escalar.

Ejemplo 10.7

En un medio no magnético E = 4 sen (27TX 107t - 0.8x) az V/m

10.7.

POTENCIA y ELVECTOR DE POYNTING

.

439

Halle a)

Sr' TJ

b) La potencia promedio temporal que porta la onda.

e) La potencia total que atraviesa 100 cm2 del plano 2x + y

= 5.

Solución: a)

Puestoque a = OY{3=FúJ/c,el medio de referencia no es el vacío,sino un medio sin

pérdidas. {3=

0.8,

¡.L= ¡.Lo(no magnético),

Por tanto,

o

-v;:r =(3c = 0.8(3 X 108) --- 12 úJ

X 107

21T

Sr

= 14.59

TJ

= \j -; =

~

1T

) SoSr= v;,

= 1201T.

1201T

¡.Lo

~

= 101T2

= 98.7 11

b) VP =

E

E2

X

H = ~ sen2(úJt - (3x) ax TJ

1

VPprom

=T

T

f

VPdt=

o

_2 E2

0

ax

TJ

16

=

? ax

2 X 101T

= 81 ax mW/m2 e) En el plano 2x + y = 5 (véanse los ejemplos 3.5 u 8.5), 2ax + ay

an=

V5

Así, la potencia total es

Pprom

=

I VPprom . dS =

VPprom

. San 2ax + ay

= (81

.

X 1O-3ax) (100 X 10-4) [

- 162 X 10-5 = 724.5¡.L W V5

'\A

]

440

.

PROPAGACIÓN DE ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

Ejercicio 10.7

En el vacío,H = 0.2 cos (wt - (3x)az Alm. Halle la potencia total que pasa por: a) Una placa cuadrada de 10 cm por lado en el plano x + z = 1. b) Un disco circular de 5 cm de radio en el plano x = 1. Respuestas:

a) O y b) 59.22 mW.

10.8. Reflexión de una onda plana en inCidencia normal. Hasta aquí hemos considerado ondas planas uniformes que se desplazan en medios homogéneos ilimitados. Pero cuando una onda plana procedente de cierto medio se encuentra con un medio diferente, es parcialmente reflejada y parcialmente transmitida. La proporción de la onda incidente por ser reflejada y por ser transmitida depende de los parámetros constitutivos (e, J.L,0")de los dos medios implicados. Aquí supondremos que el plano de la onda incidente es normal a la frontera entre los medios; la incidencia oblicua de ondas planas se tratará en la sección siguiente, una vez comprendido el caso, más simple, de la incidencia normal. Supongamos que una onda plana que se propaga a lo largo de la dirección + Z incide en forma normal en la frontera z = Oentre el medio 1 (z < O),caracterizado por 0"1'el Y J.L1' Yel medio 2 (z > O),caracterizado por 0"2'e2YJ.L2, como se muestra en la figura 10.11. En ésta, los subíndices i, r y t denotan las ondas incidente, reflejada y transmitida, respectivamente. Las ondas incidente, reflejada y transmitida que aparecen en la figura 10.11 se obtienen de la siguiente manera: Onda incidente: (Ei, Hi) se desplaza a lo largo de +az en el medio 1. Si se suprime el factor de tiempo ei"" y se supone que

(10.71) entonces EU. (z) = H. e-Y1Za = ~ e-Y1Za ,$

10

Y

Tl1

y

(10.72)

Onda reflejada:

(Er, Hr) se desplaza a lo largo de -az en el medio 1. Si (10.73)

10.8. REFLEXiÓN DE UNA ONDA PLANA EN INCIDENCIA NORMAL.

441

x

tEt

~0 8k~Hr (Onda reflejada)

8k

(Onda transmitida)

tEr

z

Yy z~

Figura 10.11. Onda plana de incidencia normal en una interfaz entre dos medios distintos. entonces H ~

(z) = H

e'YIZ

ro

( -a ) = -y

Ero

~1

e'Ylza Y

(10.74)

donde Ers se halla presumiblemente a lo largo de ax; supondremos en forma sistemática que, en incidencia normal, Ej, Er YEt tienen la misma polarización. Onda transmitida: (E¡, Ht) se desplaza a lo largo de +az en el medio 2. Si

-'Y,Z E ¡SZ ( ) - E toe ax

(10.75)

entonces (10.76) En las ecuaciones (10.71) a (10.76), EjO'EroYE¡Oson las magnitudes en z = Ode los campos eléctricos incidente, reflejado y transmitido, respectivamente. Adviértase en la figura 10.11 que el campo total en el medio 1 comprende los campos tanto incidente como reflejado, mientras que el medio 2 sólo contiene al campo transmitido; es decir,

~=~+~

~=~+~

En la interfaz z = O,las condiciones en la frontera exigen que las componentes tangencialesde los camposE y H sean continuas.Puestoque las ondas son transversales,los

442.

PROPAGACIÓN

DE ONDAS

ELECTROMAGNÉTICAS

campos E Y H son enteramente tangenciales a la interfaz. En z = O,así, EItan = EZtanY HItan = HZtanimplican que (10.77) (10.78) A partir de las ecuaciones (10.77) y (10.78) se obtiene TJz - TJ¡ Ero

= TJz + TJ¡

E 10.

(10.79)

y (10.80) Con base en las ecuaciones (10.79) y (10.80), el coeficiente de reflexión f y el coeficiente de transmisión l' se definen como

f

= Ero = TJz E¡o

TJ¡

TJz+ TJ\

(10.81a)

o (10.81b) y (1O.82a) o (1O.82b) Cabe hacer notar que 1.1+f=1' 2. Tanto f como l' son adimensionales y pueden ser complejos. 3. 0:5 Ir¡ :5 1

(10.83)

El caso hasta aquí expuesto es el general. Consideremos ahora un caso especial, en el que el medio 1 es un dieléctrico perfecto (sin pérdidas, (T¡= O)Yel medio 2 un conductor perfecto ((Tz= (0). En estas circunstancias, TJz= O;así, f = -1 Yl' = O,lo que indica que la onda es totalmente reflejada. Esto no es de sorprender, puesto que en un conductor perfecto.los campos tienden a cero, de modo que es imposible que exista una onda transmitida (Ez = O).La onda totalmente reflejada se une con la onda incidente para formar una onda estacionaria. Como su nombre lo indica, una onda estacionaria se "estaciona" y no viaja, ya que se compone de dos ondas en movimiento (E¡ YEr) de igual amplitud pero

10.8. REFLEXiÓN DE UNA ONDA PLANA EN INCIDENCIA NORMAL.

443

de dirección contraria. La combinación de las ecuaciones (10.71) y (10.73) da como resultado la onda estacionaria situada en el medio 1, de esta manera (10.84) Sin embargo, Ero

r =-

Eio

= -1,

al

= O,al

-

-

O, ')'1 -- ].{31

Por tanto,

E l s = -E- 10(ej(31Z -

e-j{3¡Z

) ax

o

(10.85) Así

o I

El

= 2E¡o sen {3lz sen

wt ax

(10.86) I

Siguiendo pasos similares es posible demostrar que la componente de campo magnético de la onda es 2Eio

Hl

= - 1I¡

cos {3¡zcos wt ay

(10.87)

En la figura 10.12 se presenta el diagrama de la onda estacionaria representada por la ecuación (10.86) en t = O,T/8, T/4, 3T/8, T/2, etc., donde T = 2'TT'/w. En esta figura puede observarse que, en efecto, la onda no viaja sino oscila. El hecho de que tanto el medio 1 como el 2 sean medios sin pérdidas constituye otro caso especial (al

= O = az).

En estas condiciones,

111y lIz son reales y, por tanto, r y T tam-

bién lo son. Consideremos los casos siguientes: CASOA

Si lIz > 111'r > O.Así, aunque esta vez también hay una onda estacionaria en el medio 1, hay asimismo una onda transmitida en el medio 2. No obstante, la amplitud de las ondas incidente y reflejada no es de igual magnitud. Es posible demostrar que los valores máximos de IEll ocurren en -{3lzmáx

= n'TT'

o

n = O,1,2,. . .

(10.88)

444

.

PROPAGACIÓN DE ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

-

x 0"1

=0

I

2

-2E.10 I I

-A 2

-Á

Figura 10.12. Ondas estacionarias E

o

~Z

---

=

2E;0 sen {3lZsen CJJtax; las curvas O, 1, 2, 3, 4,. . ., corresponden a los momentos t = O,T/8, T/4, 3T/8, T/2,. . ., respectivamente; A = 27T/{3l'

y que los valores mínimos de IEll ocurren en -{3lZmín = (2n + 1) 7T

2

o Zmáx-

(2n + 1)

(2n + 1)7T =

4

2{3l

n = O,1, 2, . . .

Al>

(10.89)

CASOB Si 772< 771'r < O.En este caso, la ubicación de los valores máximos de IEll está dada por la ecuación (10.89), y la de sus valores mínimos por la ecuación (10.88), como se ilustra en la figura 10.13. Conviene señalar que

1. El valor mínimo de IHll ocurre en asociación con el valor máximo de IEll y viceversa. 2. La onda transmitida (no representada en la figura 10.13) en el medio 2 es una onda puramente móvil, de manera que en esa región no hay valores máximos ni mínimos. La razón de IEllmáxa IEllmín(o de IHllmáxa I"llmío) se llama razón de onda estacionaria s; es decir,

s-

IEllmáx

-

IEllmín

-

IHllmáx IHllmío

-

1

+

Irl

- 1 - Irl

(10.90)

10.8.

REFLEXiÓNDE UNA ONDA PLANA EN INCIDENCIA NORMAL

. 445

x O) con 8 = 480' IL = ILo'Halle la onda reflejada ErsYla onda transmitida Ets. Respuesta: -3.333 exp(j/31Z) ax V/m, 6.667 exp( -j/3zz) ax V/m, donde /3z = 2/31= 2007T/3.

Ejemplo10.9

Dada una onda plana uniforme en el aire como E¡

= 40 cos

- /3z)ax + 30 sen (wt - /3z)ay V/m

(wt

a) Halle H¡. b) Si esta onda se encuentra con una placa perfectamente conductora normal al eje z en Z = O,halle la onda reflejada ErYHr' e) ¿Cuáles son los campos totales E y H en z :5 O? d) Calcule los vectores de Poynting promedio temporal en z :5 OYz ;:::O.

Solución: a) Este problema se asemeja al formulado en el ejemplo 10.3.La onda puede descomponerse en dos ondas Eil y E,¿,donde Eil = 40 cos (wt

-

Ea = 30 sen (wt - /3z) ay

/3z) ax'

A la presión atmosférica, el aire tiene 8r = 1.0006 = 1. Así, es posible considerado como vacío. Sea H¡ = Hil + H¡z. Hil

= H¡lo

cos (wt

- /3z)aH¡

donde

Hilo

=

Eilo 710

-

~ 1207T

= J:... 37T

10.8.

REFLEXiÓNDE UNA ONDA PLANA EN INCIDENCIA NORMAL.

449

Por tanto, 1 Hi! = 31Tcos (wt

-

[3z) ay

HiZ = HiZo sen (wt

-

[3z) aH,

De igual forma,

donde Hizo =

30

110

= 1201T -

Así,

1 HiZ

- 1-

EiZo

= - 41T

41T

. sen (wt - [3z) ax

y

1

= - 41Tsen (wt -

1 [3z)ax + 31Tcos (wt

-

[3z)aymA/m

Este problema también puede resolverse siguiendo el método 2 del ejemplo 10.3. b) Puesto que el medio 2 es un conductor perfecto, O"z »1 W8Z

11z«

111

esto es,

r= -1,

T=O

lo que indica que los campos incidentes E y H son totalmente reflejados.

Por tanto, E, = -40 cos (wt + [3z) ax - 30 sen (wt + [3z) ay V/m H, puede hallarse a partir de E, justo como se hizo en el inciso a) de este mismo ejemplo o a partir de Hi siguiendo el método 2 del ejemplo anterior. Cualquiera que sea el procedimiento, se obtiene 1

1 H, = 31Tcos (wt + [3z) ay - 41Tsen(wt + [3z)axA/m

450.

PROPAGACiÓN

DE ONDAS

ELECTROMAGNÉTICAS

e) Es posible demostrar que, en el aire, los campos totales E¡ = E¡ + Er

y

H¡ = H¡ + Hr

pueden formar una onda estacionaria. En el conductor, los campos totales son

d) En z ::5O,

=0 Enz;::: O,

porque la potencia incidente es reflejada en su totalidad.

Ejercicio 10.9 La onda plana E

= 50 sen

(wt

-

5x) ay V/m en un medio sin pérdidas (p, = 4p,0,

= 80) se encuentra con un medio disipativo (p, = P,O'8 = normal al eje x en x = O.Halle 8

480'(T = 0.1 mhos/m)

a) r, 'Ty s b) Er YHr e) EtyHt d) Los vectores de Poynting promedio temporal en ambas regiones.

Respuestas:a) 0.8186/171.1 0, 0.2295/33.56°,10.025,b) 40.93sen (wt+ 5x + 171.9°) ay V/m, -54.3 sen (wt + 5x + 171.9°) az mA/m, e) 11.47 e-6.021xsen(wt - 7.826x + 33.56°) ay V/m, 120.2 e-6.02lxsen (wt - 7.826x - 4.01°) az mA/m y d) 0.5469 ax W/m2, 0.5469 exp (-12.04x) ax W/m2.

10.9. REFLEXiÓN DE UNA ONDA PLANA EN INCIDENCIA OBLICUA.

451

"10.9. Reflexión de una onda plana en incidencia oblicua Consideremos ahora una situación más general que la descrita en la sección 10.8. Para simplificar el análisis, supondremos que tratamos con medios sin pérdidas. (Bastaría reemplazar B por Bepara prolongar el análisis a medios disipativos.) Es posible demostrar (véanse los problemas 10.14 y 10.15) que una onda plana uniforme adopta la forma general de E(r, t) = Eo cos(k

= Re

.r -

ú.lt)

(10.93)

[Eoej(k . r-«>I)]

donde r = xax + yay + zaz es el radio o vector de posición y k = kxax + kyay + kzaz el vector de número de onda o vector de propagación; k sigue siempre la dirección de propagación de la onda. La magnitud de k se relaciona con ú.I de acuerdo con la relación de dispersión (10.94) En medios sin pérdidas, así, k es en esencia lo que {3en las secciones anteriores. Dada la forma general de E de la ecuación (10.93), las ecuaciones de Maxwell se reducen a k x E = ú.lJLH

k x H = -ú.lBE k.H =0 k. E = O

(10.95a) (10.95b) (10.95c) (1O.95d)

lo que indica que 1. E, H Yk son mutuamente ortogonales y 2. E YH se sitúan en el plano

k . r = kxX + kyy + kzz = constante Con base en la ecuación (1O.95a),el campo H correspondiente al campo E de la ecuación (10.93) es 1 H = - k x E - ak X E (10.96) ú.IJL -'T1 Habiendo expresado E y H en forma general, consideremos ahora la incidencia oblicua de una onda plana uniforme en una frontera plana, como se ilustra en la figura 1O.15(a). El plano definido por el vector de propagación k y un vector unitario an normal a la frontera se llama plano de incidencia. El ángulo Ojentre k y an es el ángulo de incidencia. También en este caso las ondas incidente y reflejada se encuentran en el medio 1, y la onda transmitida (o refractada) en el medio 2. Sea Ej Er

= Ejo = Ero

cos (kixX + kjyy + kjzz - ú.I¡t) cos (krxX

+ kr}y +

krzz - ú.lrt)

E, = EIOcos (kuX + k,yy + k,zz - ú.I,t)

(1O.97a) (1O.97b) (1O.97c)

452.

PROPAGACIÓN

DE ONDAS

ELECTROMAGNITICAS

z

---.. (a)

(b)

Figura 10.15. Incidencia oblicua de una onda plana: (a) ilustración de O¡,O,YO,;(b) ilustración de las componentes normal y tangencial de k.

donde k¡, k, Y k, con sus componentes normal y tangencial se muestran en la figura 10.15(b).Puesto que la componentetangencia!de E debe ser continuaen la frontera z = O, E¡(z = O)+ E,(z = O)= E,(z = O)

(10.98)

Para que las ondas representadas por la ecuación (10.97)cumplan esta condición en la frontera respecto de todas las x y y es indispensable que

L~=~=~=w ~4=~=~=~ 1~=~=~=~ La condición 1 implica que la frecuencia no cambie. Las condiciones 2 y 3 (llamadas condiciones de acoplamiento de fase), requieren que las componentes tangenciales de los vectores de propagación sean continuas. Esto significa que los vectores de propagación k¡, k, y k, deben situarse en el plano de incidenci~. Así, por efecto de las condiciones 2 y 3, k¡ sen O¡= k,sen O,

(10.99)

k¡ sen O¡= k,sen O,

(10.100)

10.9.

REFLEXiÓNDE UNA ONDA PLANA EN INCIDENCIA OBLICUA.

453

donde O,es el ángulo de reflexión y O¡el ángulo de transmisión. Sin embargo, en el caso de medios sin pérdidas,

k¡ = k, = /31= úJ~

(lO.lOla)

k¡ = /32= úJv¡;;;;

(lO.lOlb)

De las ecuaciones (10.99)y (lO.lOla) se desprende claramente que (10.102) de manera que el ángulo de reflexión O,es igual al ángulo de incidencia O¡,como en óptica. Con fundamento asimismo en las ecuaciones (10.100) y (10.101),

sen sen O¡ O¡

lL2 = = k¡ = JL1

)

JL181 JL282

(10.103)

donde u = úJ/k es la velocidad de fase. ~a ecuación (10.103) es la conocida ley de Snell, la que puede expresarse como

(10.104) donde n1 = c~ = c/U1y n2 = cV¡;;;; = c/U2son los índices de refracciónde los medios. Con base en estas generalidades preliminares sobre la incidencia oblicua, consideremos dos casos especiales: uno en el que el campo E es perpendicular al plano de incidencia y otro en el que el campo E es paralelo a ese plano. Cualquier otra polarización representa una combinación lineal de estos dos casos.

A. Polarización paralela Este caso se ilustra en la figura 10.16, en la que el campo E se ubica en el plano xz, el plano de incidencia. Situados en el medio 1, los campos incidente y reflejado están dados por E¡s

=

H.

=~

g

E¡o(cos O¡8x

- sen O¡ 8z)

e-j{3,(xsen8¡+zcos8¡)

Ee-j{3,(xsen8¡+zcos8¡)

~1

8

(lO.lOSb)

Y

E,s = E,o(cos O, 8x + sen O, 8z)e-j{3¡(xsen8,-zcos8,) H 's

(10.lOSa)

= - E,o ~1

e-j{3¡(xsen8,-zcos8,) 8 y

(1O.106a) (10.106b)

donde /31= úJ~. Repárese detenidamente en la forma como se llegó a cada componente de estos campos. La clave en la deducción de sus componentes es obtener en primer término el vector de polarización k de las ondas incidente, reflejada y transmitida, como se muestra en la figura 10.lS(b). Una vez conocido k, se define Es

454.

PROPAGACIÓN

DE ONDAS

ELECTROMAGNÉTICAS

Figura 10.16. Incidencia oblicua en la que E es paralela al plano de incidencia.

x

H.I z=o

Medio 1 (fLl' 81)

de manera que V

k

Hs

= -úJ J.L

X Es

Medio 2 (fL2,82)

. Es =

= ak

E

Oo k

. Es

= O, tras de lo cual se obtiene Hs a partir de

-.

X

YJ

Situados a su vez en el medio 2, los campos transmitidos están dados por Ets

H

= EIO(cos el ax -

sen el az) e-i/3,(xsen8,+zcoS8,)

= ElO e-i/3,(xsen8,+zcoS8,)a ls

YJ2

y

(10.107a) (lO.l07b)

donde /32 = úJ -V;;;;;. Si nuestro supuesto sobre las direccionesrelativas referidas en las ecuaciones (10.105) a (10.107) es erróneo, el resultado final nos lo indicará por medio de su signo. De la imposición

de la condiciones

= e¡ y

de que er

ciales de E y H sean continuas en la frontera z

=

de que las componentes O se obtiene

tangen-

(10.108a) (1O.108b) La expresión

de Ero Y EIOen términos

de E¡o produce

- Ero r 11--E¡o

YJ2cos el - YJ1COSe¡ YJ2cos el + YJ1cos e¡

(1O.109a)

o (10.109b) y EIO 711=-= E¡o

2YJ2cos e¡ YJ2cos el

+ YJ1cos e¡

(10.1l0a)

10.9. REFLEXiÓN DE UNA ONDA PLANA EN INCIDENCIA OBLICUA.

455

o

(1O.110b)

Las ecuaciones (10.109) y (10.110) son las ecuaciones de Fresnel. Cabe referir que estas ecuaciones se reducen a las ecuaciones (10.81)y (10.82)cuando eí = el = O,como es de esperar. Puesto que eí y el se relacionan conforme a la ley de Snell, formulada en la ecuación (10.103), las ecuaciones (10.109) y (10.110) pueden expresarse en términos de eí sustituyendo

(10.111) Con base en las ecuaciones (10.109) y (10.110) es fácil demostrar que

cosel

1 + fll

= 'TII

(cos eí)

(10.112)

La ecuación (1O.109a) evidencia que eii posible que fll = O,porque el numerador es la diferencia de dos términos. En estas condiciones no hay reflexión (Ero = O),y el ángulo incidente en el que esto ocurre se llama ángulo de Brewster eB1o ángulo de polarización, puesto que una onda incidente arbitrariamente polarizada se reflejará con sólo la componente de E perpendicular al plano de incidencia. El efecto de Brewster se aprovecha en tubos láser para controlar la polarización de la luz emitida mediante la colocación de cristales de cuarzo en el ángulo de Brewster. Este ángulo se obtiene disponiendo que eí

= eB¡ cuando

fll

=

O en la ecuación

(10.109); es decir,

112cos el = 111cos e Bu

o 1I~(1 - sen2 el)

= lIi (1 -

sen2 eBu)

La introducción de la ecuación (10.103)o (10.104)resulta en sen2 eBI =

1 -

(10.113)

¡.Lz81/ /.L182

1 - (81/82)2

Por su valor práctico, conviene considerar el caso en que, además de carecer de pérdidas, los medios dieléctricos son no magnéticos; esto es, /.L1= lLz = /.LO.En esta situación, la ecuación (10.113) se convierte en

2

-

1

sen eB1- 1

+

_

81 / 82 ~ sen eBR-

o

r;;

tan eB1 =

\!;; =

n2 n1

~ 81

2

+

82

(10.114)

lo que indica que cualquier combinación de 81 y 81produce un ángulo de Brewster.

456.

PROPAGACIÓN

DE ONDAS

ELECTROMAGNÉTICAS

B. Polarización perpendicular En este caso, el campo E es perpendicular al plano de incidencia (el plano xz), como se ilustra en la figura 10.17, aunque también podría decirse que en esta situación el campo H es paralelo al plano de incidencia. Los campos inciQente y reflejado en el medio 1 están dados por E.g

= E.w e-jf3,(xsen6,+zcos6,)a y Ew

H¡s

=-

711

. ( -cos e. a + sen e. a ) e-¡f3,(xsen6,+zCOS6,) 1

x

En

= Eroe-jf3,(xsen6,-zcos6,)

H

= Ero rs

711

(10.115a)

1

Z

ay

(10.116a)

(cos e a + sen e a ) e-jf3,(xsen6,-zcos6,) r x

(10.115b)

r Z

(1O.116b)

mientras que los campos transmitidos en el medio 2 están dados por Eu

= Ew e-jf3ixsen6,+zcos6,) a y

H/s

= 271 (-cos e/ ax + sen e/ a Z) e-jf32(xsen6,+zcos6,)

(10.117a)

E/o

(10.117b)

Nótese que la definición de las componentes de campos en las ecuaciones (10.115) a (10.117) satisface las ecuaciones (10.95) de Maxwell. Al imponer esta vez las condiciones de que las componentes tangenciales de E y H sean continuas en z = OYde que er sea igual a e¡ se obtiene E¡O+ Ero

1

-711 (E¡o -

= E/o

Ero) cos e¡ = -

(10.118a)

1

712

E/o

cos e/

(10.118b)

La expresión de EroYE/oen términos de E¡oproduce r.L

x

= Ero = 712 cos e¡ - 711cos e/ E¡o 712cos e¡ + 711 cose/

- --- ---..

Figura 10.17. Incidencia oblicua en la que E es perpendicular al plano de incidencia.

k/

z

z=o

Medio 2 (f.k2'82)

(1O.119a)

10.9. REFLEXiÓN DE UNA ONDA

PLANA EN INCIDENCIA OBLICUA.

457

o

(10.119b)

y Era T.L=-= E¡o

2T1zcos ()¡ Tlzcos ()¡ + Tll cos ()t

(10.120a)

o (10.120b) las ecuaciones de Fresnel para polarización perpendicular. Con fundamento en las ecuaciones (10.119) y (10.120) es fácil demostrar que

(10.121) ecuación semejante a la ecuación (10.83) para incidencia normal. Asimismo, cuando ()¡= ()t = O,las ecuaciones (10.119) y (lO.120) se convierten en las ecuaciones (10.81) y (10.82), como debe ser. En el caso en que no hay reflexión, r.L = O (o E, = O), lo que equivale al caso de transmisión total (T.L = 1). Al reemplazar ()¡por el correspondiente ángulo de Brewster ()B"se obtiene

o

La incorporación de la ecuación (10.104) resulta en (10.122)

En medios no magnéticos (JLl= JLz=JLo)' senz ()B"~ 00 en la ecuación (10.122), de modo

que no existe ()B",ya que el seno de un ángulo nunca es mayor que la unidad. Asimismo, si JLl=t= JLzYel = ez,la ecuación (10.122)se reduce a

~ sen()B"=

\j~

o

r;; tan ()B"= \j;; Aunque posible en teoría, esta situación es rara en la práctica.

(10.123)

458

.

PROPAGACIÓN DE ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

Ejemplo 10.10

Una onda electromagnética se desplaza en el vacío con la componente de campo eléctrico

= 100 ej(O.866y+0.5z)ax V/m

Es

Determine a) w y A. b) La componente de campo magnético. e) La potencia promedio temporal en la onda. Solución: a) Al comparar el E dado con

resulta claro que ky

= 0.866,

Así, k = y'k~ + k~ + k; = \1(0.866)2 + (0.5)2= 1 Pero en el vacío,

k = f3 = w' V}.LoBo r;;-;: = ~ - -21T e A Por tanto,

w = kc = 3 X 108rad/s 21T

= k = 21T = 6.283m

A

b) A partir de la ecuación (10.96), el campo magnético correspondiente está dado por 1

Hs

= -JLW =

x

k

Es

(0.866ay + O.5az) 41T x 10 7 X 3 X 108 X 100 axejk' r

o Hs

= (1.33

ay

-

2.3 az) ej(O.866y+O.5z) mA/m

e) La potencia promedio temporal es

1 0'>prom= "2Re (Es

E~

x Un = 21/ak

(100?

= 2(1201T)(0.866 ay + = 11.49 ay +

0.5 az)

6.631 az W/m2

j

10.9. REFLEXiÓN DE UNA ONDA PLANA EN INCIDENCIA OBLICUA.

459

Ejercicio 10.10 Repita el ejemplo 10.10 si E

= (10ay

+ 5aZ) cos (úJt + 2y - 4z) V/m

en el vacío. Respuestas: a) 1.342 X 109rad/s, 1.405 m, b) -29.66 cos (1.342 x 109t+ 2y - 4z) ax mA/m y e) -0.07415 ay + 0.1489 az W/m2.

Ejemplo 10.11

Una onda plana uniforme en el aire con E

= 8 cos (úJt-

4x - 3z) ay V/m

incide en una lámina dieléctrica (z ~ O)~on ILr= 1.0,Sr = 2.5,U

= O.Halle

a) La polarización de la onda. b) El ángulo de incidencia. e) El campo E reflejado. d) El campo H transmitido. Solución: a) Del campo E incidente se desprende claramente que el vector de propagación es k¡

= 4ax +

3az---+k¡ = 5

= úJ~

= ~e

Por tanto, úJ

= 5e = 15 X 108rad/s

Un vector unitario normal a la interfaz (z = O) es az. El plano que contiene a k y az es y = constante, el cual es el plano xz, el plano de incidencia. Puesto que E¡ es normal a este plano, la polarización es perpendicular (como la representada en la figura 10.17). b) Los vectores de propagación se ilustran en la figura 10.18, donde es evidente que tan (). = I

kix

4

k¡z

3

'- = -

---+(). I

= 53 13° .

Opcionalmente, y prescindiendo de la figura 10.18, ()¡puede obtenerse del hecho de que es el ángulo entre k y an;es decir,

3 ) . az = 5"

4ax + 3az

cos()¡= ak. an= ( o

5

460.

PROPAGACIÓN

DE ONDAS

ELECTROMAGNÉTICAS

c) Para determinar E, bastaría recurrir a la ecuación (10.116a), ya que este problema es similar al planteado en el apartado B de la sección 10.9. Pero si suponemos que no estamos al tanto de ello, sea E, = E,o cos (wt - k, 'J')ay el cual es de forma semejante el E¡ dado. Se ha elegido aquí el vector unitario ay en consideración del hecho de que la componente tangencial de E debe ser continua en la interfaz. Con base en la figura 10.18,

donde k,z = k, cos O,

k,x = k, sen O"

No obstante, O, = O¡Yk, = k¡ = 5, puesto que tanto k, como k¡ se encuentran en el mismo medio. De ahí que

Para hallar E,o se precisa de °1,De acuerdo con la ley de Snell nI

sen 01= - sen O¡=

c-V;;;; ~

¡-

sen O¡

n2 c V J.L2e2 sen 53.13° V2.5

o

= 1'/2cos O¡ - 1'/1COS01 1'/2 COS O¡

+

1'/1 COS 01

x

Figura 10.18. Vectores de propagación del ejemplo 10.11. z

j

10.9. REFLEXiÓN DE UNA ONDA PLANA EN INCIDENCIA OBLICUA

donde

711 =

710

= 377, 712

--

~

=

J.toJ.t" 808"

377 m

= 238.4

f = 238.4cos 53.13° - 377 cos 30.39° = - 0389 .L 238.4cos 53.13°+ 377cos 30.390 . Por tanto, E,o = f.LE¡O= -0.398 (8) = -3.112 y

E, = -3.112 cos (15 x 108t- 4x + 3z) ayV/m

.

d) De igual manera, sea el campo eléctrico transmitido

E, = E,o COS (l1Jt - k, . r) ay donde

- 15 X 108VI x 2.5 = 7.906

- 3 x

108

Con base en la figura 10.18, ktx = k, sen O, = 4 k,z = k, cos O, = 6.819

o

Nótese que kix = k,x = ktx, como era de esperar. E,o T.L= E¡o

=

2712COSO¡ 712COSO¡+ 711COSO,

2 x 238.4 cos 53.13° 238.4 cos 53.13° + 377 cos 30.39°

= 0.611 El mismo resultado podría obtenerse de la relación E,o = T.LE¡o = 0.611

T.L

= 1 + ~. Así,

x 8 = 4.888

E, = 4.888cos (15 x 108t- 4x - 6.819z)ay

.

461

462.

PROPAGACiÓN

HI

DE ONDAS

ElEOROMAGNÉTICAS

se obtiene fácilmente de El en esta forma ak XE 1 H=-kXE=' I I

ILzúJ

= HI

I

I

71z

4ax + 6.819az

= (-17.69

x

4.888 ay cos (úJt - k

. r)

ax + 10.37 az) cos (15 x 10St - 4x - 6.819z) mA/m.

Ejercicio 10.11 Si la onda plana descrita en el ejercicio 10.10 incide en un medio dieléctrico con u = O,6 = 460' IL = 1L0Yocupa z ;:::O,calcule a) Los ángulos de incidencia, reflexión y transmisión. b) Los coeficientes de reflexión y transmisión. e) El campo E total en el vacío. d) El campo E total en el dieléctrico. e) El ángulo de Brewster. Respuestas: a) 26.56°, 26.S6°, 12.92°, b) -0.295,0.647, e) (10 ay + Saz) cos (úJ! + 2y - 4z) + (-2.946ay + 1.473az) cos (úJt+ 2y + 4z) V/m y d) (7.0SSay + 1.618az) cos (úJt+ 2y - 8.718z) V/m, e) 63.43°.

Resumen

1. La ecuación de onda es de la forma

con la solución cP= Asen

(úJt

- f3z)

donde u = velocidad de onda, A = amplitud de onda, úJ = frecuencia angular (= 2'1Tf) Yf3 = constante de fase. Asimismo, f3 = úJ/u = 2'1T/Ao u = fA = AlT, donde A = longitud de onda y T = periodo. 2. En un medio disipativo sin carga, la ecuación de onda basada en las ecuaciones de Maxwell es de la forma VZAs- yZAs

dond~ As es Es o Hs Yy Es

=O

= IX + jf3es la constantede propagación.Sisuponemosque

= Exs(z) ax' se obtienen

ondas electromagnéticas de la forma

E(z, t) = Eoe-az cos (úJt- f3z) ax H(z, t) = Hoe-az cos (úJt- f3z - Or¡)ay

RESUMEN.

donde a

463

= constante de atenuación, /3 = constante de fase, TI= ITI ~ = impedan1

cia intrínseca del medio. El recíproco de a es la profundidad pelicular (8 = l/a). La relación entre /3, w y A formulada anteriormente también es válida para ondas electromagnéticas. 3. De la propagación de ondas en medios disipativos puede deducirse la que ocurre en otros tipos de medios, casos especiales de aquél. En el vacío, (J = O,e = eo, J.L= J.Lo; en medios dieléctricos sin pérdidas, (J = O,e = eoe, y J.L= J.LoJ.L" Yen buenos conductores

(J

= 00, e = eo, J.L= J.Loo (Jlwe ---j.O.

4. Un medio puede ser dieléctrico disipativo, dieléctrico sin pérdidas o buen conductor dependiendo de su tangente de pérdida, dada por IJsl (J e" tan O = = - =IJd,1 we e' donde ee = e' - je" es la permitividad compleja del medio. En dieléctricos sin pérdidas, tan 0« 1; en buenos conductores, tan O» 1, y en dieléctricos disipativos tan Oes del orden de la unidad. 5. En un buen conductor, los campos tienden a concentrarse en la distancia inicial 8 considerada desde la superficie del conductor. Este fenómeno se llama efecto pelicular. En el caso de un conductor de anchura w y longitud €, la resistencia efectiva o en corriente alterna es

donde 8 es la profundidad pelicular. 6. El vector de Poynting, g>,es el vector de flujo de potencia, de dirección igual a la de la propagación de la onda y de magnitud igual a la de la potencia que fluye por una unidad de área normal a su dirección. g> =

E X H,

g>prom= l/2 Re (Es X H.n

7. Si una onda plana procedente del medio 1 incide en forma normal en el medio 2, el coeficiente de reflexión r y el coeficiente de transmisión 'Testán dados por

La razón de onda estacionaria, s, se define como

1 + Irl s=l-lrl 8. En el caso de incidencia oblicua de un medio sin pérdidas 1 a un medio sin pérdidas 2, los coeficientes de Fresnel son r 11-

Tlzcos O/ - TI!cos O¡ Tlz cos O/ + TI! cos O¡'

2T1z cos

'TII=

O¡

TlzCOSO/ + TI! cos O¡

464.

PROPAGACiÓN

DE ONDAS

ELECTROMAGNÉTICAS

en polarización paralela y f 1.--

-

111cos el 112cos e¡ + 111cos e/

112COSe¡

=

'r1.

2112cos e¡ 112cos e¡ + 111cos el

en polarización perpendicular. Como en óptica, e, = e¡ sen e¡ el sen

= /32 /31=

La transmisión total o reflexión nula (f

)

/L181 /L282

= O)ocurre cuando el ángulo de incidenciae¡

es igual al ángulo de Brewster.

Preguntas de repaso 10.1. ¿Cuál de las siguientesno es una forma correcta de la onda Ex = cos (wt

-

/3z)?

a) cos (f3z - wt) b) sen (/3z - wt - 7T/2) 27Tt

e) cos

(

27TZ

T -T

)

d) Re (ei(CU' - {3z»

e) cos /3(z - ut) 10.2.

Identifique entre las funciones siguientes las que no satisfacen la ecuación de onda: a)

50eicu(l- 3z)

b) sen w (lOz + 5t) e) (x + 2t)2 d) COS2(y+ 5t) e) sen x cos t f) cos (5y + 2x) 10.3.

¿Cuál de los enunciados siguientes no es cierto con relación a las ondas en general? a) Sólo pueden ser una función del tiempo. b) Pueden ser sinusoidales o cosinusoidales. e) Deben ser una función del tiempo y el espacio. d) Para efectos prácticos, deben ser de extensión finita.

10.4. La componente de campo eléctrico de una onda en el vacío está dada por E + kz) ay V/m. De esto se infiere que a) La onda se propaga a lo largo de ay.

b) La longitud de onda A = 188.5m.

= 10 COS(10?t

PREGUNTAS DE REPASO.

465

e) La amplitud de onda es de 10 V/m. d) El número de onda k

= 0.33 rad/m.

e) La onda se atenúa al desplazarse.

10.5. Puesto que H

= 0.5 e-O.lxseO.(106t -

2x) az Nm, ¿cuáles de los enunciados siguientes son

incorrectos? a) el:= 0.1 Np/m. b) f3

= -2 rad/m.

e) úI = 106rad/s. d) La onda se desplaza a lo largo de ax' e) La onda está polarizada en la dirección de

z.

f) El periodo de la onda es de 1 ¡.Ls. 10.6.

¿Cuál es el principal factor para determinar si un medio es vacío, dieléctrico sin pérdidas, dieléctrico disipativo o buen conductor,? a) Constante de atenuación. b) Parámetros constitutivos «(J',e, ¡.L). e) Tangente!de pérdida. d) Coeficiente de reflexión.

10.7. En cierto medio,E = 10 cos (108t- 3y) axV/m. ¿Qué tipo de medio es? a) b) e) d) 10.8.

Vacío. Dieléctrico perfecto. Dieléctrico sin pérdidas. Conductor perfecto.

Las ondas electromagnéticas se desplazan con mayor rapidez en conductores que en dieléctricos. a) Cierto. b) Falso.

10.9. En un buen conductor, E y H comparten la misma fase temporal. a) Cierto. b) Falso. 10.10. El vector de Poynting denota físicamente la densidad de potencia que sale o entra a un volumen dado en un campo variable en el tiempo.

a) Cierto. b) Falso. Respuestas: 1O.lb, 1O.2d,f, lO.3a, lOAb, e, 10.5b,f, 1O.6c,1O.7c,1O.8b,10.9b, 1O.lOa.

466.

PROPAGACIÓN DE

Pro blemas

I

10.1.

ONDAS

ELECTROMAGNÉTICAS

Una onda electromagnética

que se progaga en cierto medio está descrita por

E = 25 sen (27T X 106t - 6x) az V/m

a) Determine la dirección de propagación de la onda. b) Calcule el periodo T, la longitud de onda A y la velocidad u. e) Trace la onda en t = O,T/8, T/4, T/2. 10.2. a) Deduzca las ecuaciones (10.23) y (10.24) de las ecuaciones (10.18) y (10.20). b) Emplee la ecuación (10.29) en combinación con las ecuaciones de Maxwell para demostrar que jCJJ¡.t r¡=

'Y

e) Deduzca del inciso b) las ecuaciones (10.32) y (10.33). 10.3.

A 50 MHz, un material dieléctrico disipativo se caracteriza por 8 = 3.680, J.L= 2.1J.LoY u = 0.08 S/m. Si Es = 6e-'Yxaz V/m, calcule: a) y, b) A,e) u, d) r¡, e) Hs'

10.4.

Un material disipativo tiene J.L= 5J.Lo,8 = 280' Si a 5 MHz la constante de fase es de 10 rad/m, calcule

a) La tangente de pérdida. b) La conductividad del material. e) La permitividad compleja. d) La constantede atenuación. e) La impedancia intrínseca. 10.5. Un medio no magnético tiene una impedancia intrínseca de /300 n. Halle su .a) Tangente de pérdida. b) Constante dieléctrica. e) Permitividad compleja. d) Constante de atenuación a 1 MHz.

10.6. La amplitud de una onda que se desplaza a través de un medio disipativo no magnético se reduce 18% cada metro. Si la onda opera a 10 MHz y el campo eléctrico se adelanta 240al campomagnético,calcule:a) la constante de propagación, b) la longitud de onda, e) la profundidad pelicular, d) la conductividad del medio. 10.7. El agua de mar desempeña una función vital en el estudio de las comunicaciones submarinas. Suponga que respecto del agua de mar u = 4 S/m, 8r = 80, J.Lr= 1 Yf = 100 MHz, calcule: a) la velocidad de fase, b) la. longitud de onda, e) la profundidad pelicular. d) la impedancia intrínseca.

8 = 480, 10.8. En cierto medio con J.L= J.Lo' H = 12e-0.1ysen (7TX lOSt- (3y)axA/m Determine: a) el periodo T de la onda, b) la longitud de onda A, e) el campo eléctrico E. d) la diferencia de fase entre E y H.

PROBLEMAS.

467

10.9. En cierto medio, E = l6e-O.05xsen (2 X l()8t - 2x) az V/m Halle: a) la constante de pr.opagación, b) la longitud de onda, e) la velocidad de la onda, d) la profundidad pelicular. 10.10. Una onda uniforme en el aire tiene E

= 10 cos (21T X l{)Ót-

f3z) ay

a) Calcule f3 y A. b) Trace la onda en z = O,A/4. e) Halle H.

10.11. La componente del campo magnético de una onda electromagnética que se propaga a través de un medio no magnético (JL= JLo)es

.

H

= 25 sen (2 X lOSt +

6x) ay mAlm

Determine: a) La dirección de propagación de la onda. b) La permitividad del medio. e) La intensidad de campo eléctrico. 10.12. Si H = 10 sen (wt - 4z)axmAlm en un material en el cual u = O,JL= JLo'e = 4eo'calcule w, A y Jd. 10.13. Un fabricante produce un ferrito con JL = 750JLo, e = Seoy u = 10-6S/m a 10 MHz. a) ¿Clasificaría usted este material como un medio sin pérdidas, disipativo o conductor? b) Calcule f3 y A. e) Determine la diferencia de fase entre dos puntos separados por 2 m. d) Halle la impedancia intrínseca.

*10.14. Tras suponer los campos dependientes del tiempo E

= Eoej(k' r-Cú/)y H = Hoej(k'

r-Cú/), don-

de k = kx8x + kyay + kzaz es el vector de número de onda y r = xax + yay + zaz el vector de radio, demuestre que V X E = - aB/at puede expresarse como k X E = JLwH y deduzca ak X aE

= aH'

10.15. Suponga los mismos campos descritos en el problema 10.14 y demuestre que en una región sin fuente las ecuaciones de Maxwell pueden expresarse como

k.E = O k.H=O k X E = wJLH k X H = -weE

468.

PROPAGACiÓN

DE ONDAS

ELECTROMAGNÉTICAS

Deduzca de estas ecuaciones y 10.16. La componente del campo magnético de una onda plana en un dieléctrico sin pérdidas es

-

H

= 30 sen

(27T X 108t

-

5x) a, mNm

a) Si /.Lr= 1, halle 8r' b) Calcule la longitud de onda y la velocidad de onda. e) Determine la impedancia de la onda. d) Determine la polarización de la onda. e) Halle la correspondiente componente del campo eléctrico. /) Halle la densidad de corriente de desplazamiento. 10.17. En un medio no magnético, E = 50 cos (109t - 8x) ay + 40 sen (109t - 8x) a, V/m Halle la constante dieléctrica 8r Yel H correspondiente. 10.18. En cierto medio E

= 10 cos (27T X 107t -

f3x)(ay + a,) V/m

Si /.L = 50/.Lo,8 = 280 Y U = O, halle f3 y H.

10.19. ¿Cuál de los medios siguientes podría considerarse conductor a 8 MHz? a) Tierra pantanos a húmeda

(8

= 1580,/.L= /.Lo'u = 10-2 S/m).

b) Germanio intrínseco (8 = 1680,/.L= /.Lo'u = 0.025S/m). e) Agua de mar (8

= 8180'/.L= /.Lo'u = 25 S/m).

10.20. Calcule la profundidad pelicular y la velocidad de propagación de una onda plana uniforme = 7 X 10-2) a una frecuencia que se desplaza en cloruro polivinílico (/.Lr= 1,8r = 4, tan (}T/ de 6 MHz. 10.21. Una onda plana uniforme en un medio disipativo tiene una constante de fase de 1.6 rad/m a 107Hz, en tanto que su magnitud se reduce 60% por cada 2 m recorridos. Halle la profundidad pelicular y la velocidad de la onda. 10.22. a) Determine la resistencia en corriente directa de un cable redondo de cobre (u = 5.8 X 107 S/m, /.Lr= 1,8r = 1) de 1.2 mm de radio y 600 m de longitud. b) Halle la resistencia en corriente alterna a 100 MHz. e) Calcule la frecuencia aproximada en la que las resistencias en corriente directa y en corriente alterna son iguales.

= 3.5 X 107S/m,/.Lr= 1,8r = 1) de 40 m de largo con radios interno y externo de 9 y 12 mm porta una corriente total de 6 sen 1067TtA. Halle la profundidad pelicular y la resistencia efectiva del tubo.

10.23. Un tubo de aluminio (u

10.24. Demuestre que en un buen conductor la profundidad pelicular {)es siempre mucho menor que la longitud de onda.

PROBLEMAS.

I

469

10.25. Las gUÍas de ondas de cobre suelen recubrirse de plata para reducir pérdidas. Si el grosor mínimo de la plata (}L = }Lo'e = ea, U = 6.1 X 107S/m) debe ser de 50, determine el grosor mínimo requerido para una guía de ondas que opere a 12 GHz. 10.26. Una onda plana uniforme en un medio disipativo no magnético tiene Es

= (5ax+

12ay)e-'YZ, 'Y= 0.2 + j3.4/m.

a) Calcule la magnitud de la onda en z = 4 m. b) Halle la pérdida en dB sufrida por la onda en el intervalo O< z < 3 m. e) Calcule el vector de Poyntingen z = 4, t = T/8.Adopte w = lOSradls. 10.27. En un material no magnético, H = 30 cos (27T X lOSt - 6x) ay mAlm Halle: a) la impedancia intrínseca, b) el vector de Poynting, e) la potencia promedio temporal que atraviesa la superficie x = 1,O< Y < 2, 0< z < 3 m. *10.28. Demuestre que las ecuaciones (10.67) y (10.68) son equivalentes. 10.29. En una línea de transmisión ocupada por un dieléctrico sin pérdidas (8

40 E = -sen p

= 4.580,}L= }Lo),

(cut- 2z) apV/m

Determine: a) cuy H, b) el vector de Poynting, e) la potencia promedio temporal total que atraviesa la superficie z = 1 m,2 mm < p < 3 rnm, 0< 4J < 27T. 10.30. a)

Con relación a una incidencia normal en la interfaz dieléctrico-dieléctrico }LI

= }L2

= }Lo,R Y T son los coeficientes

de reflexión

y transmisión

medio, es decir Pr.prom = RP¡.prom Y p,.prom = TP¡.prom'Compruebe

R

n

=

(

1 nI

+

n

2 n2

en la que

de potencias

pro-

que

2

)

donde nI Yn2 son los índices de reflexión de los medios. b)

Determine la razón n¡!n2de manera que las ondas reflejada y transmitida tengan la misma potencia promedio.

10.31. La onda plana E = 30 cos(wt - z)ax V/m en el aire incide normalmente en un medio sin pérdidas (}L = }Lo,8 = 480)en z = O.a) Halle r, T y s. b) Calculelos camposeléctrico y magnético reflejados.

10.32. Una onda plana uniforme en el aire con H

= 4 sen (ClJt-

5x) ayNm

incide normalmente en una región de plástico con los parámetros }L = }Lo'8 = 480 YU = O. a) Obtenga el campo eléctrico total en el aire. b) Calcule la densidad de potencia promedio temporal en la región de plástico. e) Halle la razón de onda estacionaria.

470.

PROPAGACiÓN

DE ONDAS

ELECTROMAGNÉTICAS

10.33. Una onda plana en el vacío con E interfaz en x

= O.Si en x ;:::Oexiste

= 3.6 cos (wt

- 3x) ay V/m incide normalmente en una un medio sin pérdidas con (T = O,sr = 12.5Yla onda re-

flejada tiene Hr = -1.2 cos (wt + 3x) al mNm, halle 11-2. 10.34. La región 1 es un medio sin pérdidas en el que y ;:::O,/L = /Lo's = 4so' mientras que la región 2 es vacío, y ::s;O.Si en la región 1 existe una onda plana E = 5 cos (108t+ f3y) al V/m, halle: a) la componente del campo eléctrico total de la onda en la región 2, b) el vector de Poynting promedio temporal en la región 1, e) el vector de Poynting promedio temporal en la región 2. 10.35. Una onda plana en el vacío (z ::s;O) incide normalmente en un gran bloque de material con sr = 12, /Lr = 3, (T = Oque ocupa Z ;:::O.Si el campo eléctrico incidente es E

= 30 cos (wt - z) ayV/m

halle: a) w,b) la razón de onda estacionaria, e) el campo magnético reflejado, d) la densidad de potencia promedio de la onda transmitida.

10.36. Una onda plana uniforme a 30 MHz con H

= 10 sen (wt +

f3x) al mA/m

existe en la región x ;:::Ocon (T = O,s = 9so,/L = 4/Lo'En x = O,la onda se encuentra con vacío. Determine a) la polarización de la onda, b) la constante de fase 13,e) la densidad de corriente de desplazamiento en la región x ;:::O,d) los campos magnéticos reflejado y transmitido, y e) la densidad de potencia promedio en cada región.

10.37. Una onda plana Lmiformeen el aire incide en forma normal en un material dieléctrico sin pérdidas infinito con 8 = 380 Y /L = /Lo'Si la onda incidente es E¡ = 10 cos (wt - z) ayV/m, determine: a) A Yw de la onda en el aire y la onda transmitida en el medio dieléctrico. b) El campo incidente H¡. e)

r y T.

d) El campoeléctricototaly la potenciapromediotemporalen ambasregiones. *10.38. Una señal en el aire (z ;:::O) con la componente del campo eléctrico

E

= 10 sen (wt +

3z) axV/m

incide normalmente en la superficie del océano en z = O,como se ilustra en la figura 10.19. Suponga que la superficie del océano es lisa y que en ese medio s = 80so'/L = /Lo'(T = 4 mho~m,determine a) w. b) La longitud de onda de la señal en el aire. e) La tangente de pérdida e impedancia intrínseca del océano. d) El campo E reflejado y transmitido. 10.39. Trace la onda estacionaria representada por la ecuación (10.87) en t = O,T/8, T/4, 3T/8, T/2,

etc., donde T = 27T'/W.

PROBLEMAS.

471

Figura 10.19. Para el problema 10.38.

Océano B

= 80Bo' f.L = f.Lo' O" = 4

10.40. Una onda plana uniforme incide en un ángulo e¡ = 45° en un par de láminas dieléctricas unidas, como se muestra en la figura 10.20. Determine los ángulos de transmisión el! y ea en las láminas. 10.41. Demuestre que el campo

donde k~ + k; = úP¡.L080'puede rep'resentarse como la superposición de cuatro ondas planas móviles. Halle el Hs correspondiente. 10.42. Demuestre que, en medios dieléctricos no magnéticos, los coeficientes de reflexión y transmisión para incidencia oblicua se convierten en

r - tan (8, - 8;)

11- tan (8, + 8;)'

r = sen (8, .l

8;) sen (8, + 8;)'

= 2 cos 8¡ sen

T

8,

sen (8, + 8;)

.l

*10.43. Una onda de polarización paralela en el aire incide E

= (8ay -

6a,) sen (wt

-

4y - 3z) V/m

en la mitad del dieléctrico, como se observa en la figura 10.21. Halle: a) el ángulo de incidencia e¡, b) el promedio del tiempo en el aire (¡.L= ¡.Lo,8 = 80)' e) los campos E reflejado y transmitido.

Vacío

Vacío

o f.L=f.Lo

B = 2.25Bo

Figura 10.20. Para el problema 10040.

472

.

PROPAGACIÓN DE ONDAS ElEOROMAGNÉTICAS

z

Aire (8

Figura 10.21. Para el problema 10.43.

Dieléctrico

= 80,/J- = /J-o)

(8=480,/J-=/J-O)

y

10.44. En un medio dieléctrico (8

= 980'JL=

JLo)'una onda plana con

H = 0.2 cos (109t - kx - kY8z)ay

A/m

incide en una frontera de aire en z = O.Halle a) ()rY(), b) k e) La longitud de onda en el dieléctrico y en el aire. d) El E incidente. e) El E transmitido y reflejado. f) El ángulo de Brewster.

*10.45. Una onda plana en el aire con E = (8ax+ 6ay+ Saz)sen (wt + 3x

-

4y) V/m

incide en una lámina de cobre en y ;:::O.Halle úJ y la onda reflejada. Suponga que el cobre es un conductor perfecto. (Pista: Escriba las componentes de los campos en ambos medios e iguale las condiciones en la frontera.) 10.46. Una onda polarizada en el aire incide en poliestireno, con JL= JLo,8 = 2.68, en el ángulo de Brewster. Determine el ángulo de transmisión.

11

Líneas de transmisión Había una vez cuatro hOrQbresllamados Alguien, Cualquiera, Todos y Nadie. Alguien, Cualquiera y Nadie pidieron a Todos hacer algo importante. Todos confió en que Alguien lo haría y Cualquiera habría podido hacerla, pero finalmente Nadie lo hizo. Eso molestó a Alguien, porque Todos debía haberlo hech.o.Todos pensó que Cualquiera podía hacerla, pero Nadie se dio cuenta de que Todos no lo haría. En fin, Todos culpó a Alguien, cuando en realidad Nadie hizo lo que Cualquiera habría podido hacer. ANÓNIMO

11.1. Introducción En el capítulo anterior nos ocupamós de la propagación de ondas en medios ilimitados.. de extensión infinita. De tal propagación se dice que carece de guía, ya que la onda plana uniforme se expande en el espacio y la energía electromagnética asociada con ella se difunde sobre un área extensa. La propagación de ondas en medios ilimitados es distintiva de la transmisión de señales de radio y televisión, cuya información se destina a todos los interesados. Sin embargo, tales medios de propagación no son adecuados para la conversación telefónica, la cual implica una recepción privativa de información. Potencia o información también puede transmitirse por medio de estructuras guiadas, las que dirigen la propagación de energía de la fuente a la carga. Las líneas de transmisión y las guías de ondas son los ejemplos más comunes de tales estructuras. Estudiaremos las primeras en este capítulo y las segundas en el siguiente. Las líneas de transmisión son de uso frecuente en la distribución de potencia (a bajas frecuencias) y las comunicaciones (a altas frecuencias). En redes de computadoras como ethernet e Internet se emplean líneas de transmisión como cables de par trenzado y coaxiales. Una línea de transmisión se compone básicamente de dos o más conductores paralelos que conectan una fuente con una carga. La fuente puede ser un generador hidroeléctrico, un transmisor o un oscilador, y la carga una fábrica, una antena o un osciloscopio, respectivamente. La líneas de transmisión más usuales son el cable coaxial, la línea de dos alambres, la línea plana o de placas paralelas, un alambre sobre un plano conductor y la línea de microcinta, las cuales se presentan en la figura 11.1. Como puede observarse, cada una de estas líneas consta de dos conductores en paralelo. Los cables coaxiales son de uso común en laboratorios eléctricos y para la conexión de televisores a antenas. Las líneas de microcinta [similares a las de la figura 11.1(e)], propias de circuitos integrados, se componen de una cinta metálica engastada en un sustrato dieléctrico para conectar elementos electrónicos. Los problemas de líneas de transmisión suelen resolverse mediante la teoría del campo electromagnético y la teoría de los circuitos eléctricos, principales teorías en las que se funda la ingeniería eléctrica. En este capítulo se utilizará la teoría de los circuitos, de más fácil tratamiento matemático. Se aplicarán asimismo los conceptos básicos de propa-

474

.

LiNEASDETRANSMISiÓN

(b)

(a)

(e)

(d)

(e)

Figura 11.1. Vista de la sección transversal de líneas de transmisión comunes: (a) línea coaxial, (b) línea de dos alambres, (e) línea plana, (d) alambre sobre un plano conductor, (e) línea de microcinta.

gación de ondas (como constante de propagación, coeficiente de reflexión y razón de onda estacionaria) expuestos en el capítulo anterior. Nuestro análisis incluirá la deducción de ecuaciones y cantidades características de líneas de transmisión, el uso del diagrama de Smith, aplicaciones prácticas y transitorios en líneas de transmisión.

11.2. Parámetros de las líneas de transmisión Una línea de transmisión se describe habitual y útilmente en términos de sus parámetros: resistencia por unidad de longitud R, inductancia por unidad de longitud L, conductancia por unidad de longitud G y capacitancia por unidad de longitud C. Cada línea de la figura 11.1 posee fórmulas específicas para la determinación de R, L, G YC; las de las líneas coaxial, de dos alambres y plana se proporcionan en la tabla 11.1, mientras que en la figura 11.2 se indican sus dimensiones. Algunas de las fórmulas! referidas en la tabla 11.1 se dedujeron de los capítulos 6 y 8. Cabe señalar que

1. Los parámetros R, L, G YC no son discretos ni globales,sino distribuidos,como se muestra en la figura 11.3.Esto significaque están distribuidos uniformemente a todo lo largo de la línea.

1Fórmulas similares para otros tipos de líneas de transmisión pueden obtenerse en manuales de ingeniería o libros de datos como M. A. R. Guston, Microwave Transmission-line Impedance Data, Van Nostrand Reinhold, Londres, 1972.

11.2.

Tabla 11.1. Parámetros distribuidos Parámetros

PARÁMETROSDE lAS LINEASDE TRANSMISiÓN.

de líneas de transmisión a altas frecuencias.'

Línea coaxial

Línea de dos alambres

Líneaplana

- 2

- 1 R (üIm)

L (HIm)

1 [1 + b1] 27f5uc - b) (5 «a,c f.L

b

27f

a

-In-

In-

e (F/m)

(5«

'8

=

b

¡.Ld

7fU

UW

cosh-1-

a

(5 «

a)

f.L d -cosh-17f 2a

-

b

d

d 2a

BW d

d 2a

cosh 1-

a

t)

w

7fB

27fB In-

w5uc

7fa5uc

27fu

G (S/m)

475

(w»

d)

.v~ = profundidad pelicular del conductor; cosh-1 ~ = In!!:.si [~r » 1. 1T!¡.t.cUc a .

2. Los conductores de cada línea se caracterizan por (Te'/J-eY ee = eo' en tanto que el dieléctrico homogéneo que los separa se caracteriza por (T,/J-Y e. 3. G '* 1/R; R es la resistencia en corriente alterna por unidad de longitud de los conductores que integran la línea y G la conductancia por unidad de longitud debida al medio dieléctrico que los separa. 4. El valor de L referido en la tabla 11.1 es la inductancia externa por unidad de longitud, es decir L = Lext. Los efectos de la inductancia interna Lin (= R/w) son insignificantes a altas frecuencias, en las que opera la mayor parte de los sistemas de comunicación. 5. En cada línea, LC = /J-e

y

G --C

(T

e

(11.1)

En previsión de la siguiente sección,considéresela propagación de una onda electromagnética a través de una línea de transmisión de dos conductores como la línea

coaxial

que conecta a un generador o fuente con una carga en la figura 11.4(a). Cuando el interruptor S se cierra, el conductor interno se vuelve positivo respecto del externo, de modo que

k--w~ (a)

(b)

(e)

Figura 11.2. Líneas de transmisión comunes: (a) línea coaxial, (b) línea de dos alambres, (e) línea plana.

476 .

LfNEAS DE TRANSMISiÓN R Y L en serie

Figura 11.3. Parámetros distribuidos de una línea de transmisión de dos conductores.

el campo E irradia hacia fuera, como se ilustra en la figura 11.4(b). En ésta también se muestra que, de acuerdo con la ley de Ampere, el campo H circunda al conductor portador de corriente. El vector de Poynting (E X H) apunta a lo largo de la línea de transmisión. Así, el cierre del interruptor causa sencillamente una perturbación que adopta la forma de onda electromagnética transversal (ET), la cual se propaga a lo largo de la línea. Esta onda es una onda plana no uniforme por medio de la cual se transmite potencia a través de la línea.

s

1

--,

===]J:

L. Generador

1-+-- Línea coaxial

Carga

(a)

----

CampoE CampoR

,L, (b) Figura 11.4. (a) Línea coaxialque conecta al generador con la carga; (b) campos E y H en la línea coaxial.

11.3. ECUACIONES DE LfNEADETRANSMISiÓN.

477

11.3. Ecuaciones de línea de transmisión Como se mencionó en la sección anterior, una línea de transmisión de dos conductores soporta una onda ET; es decir, los campos eléctrico y magnético en la línea son transversales a la dirección de propagación de la onda. Una propiedad importante de las ondas ET es que los campos E y H se relacionan en forma específica con el voltaje V y la corriente 1, respectivamente:

V=-

I E . dI,

(11.2)

1= fH'dl

Así pues, en la resolución de problemas de líneas de transmisión emplearemos las cantidades de circuitos Ve 1 en lugar de las cantidades de campos E y H (es decir, en vez de las ecuaciones de Maxwell y las condiciones en la frontera). El modelo de circuitos es en este caso más simple y práctico. Examinemos una porción incremeptal de longitud ~z de una línea de transmisión de dos conductores.

El propósito

es hallar un circuito equivalente

a esta línea y deducir las

ecuaciones de línea de transmisión. De la figura 11.3 se desprende que el circuito que aparece en la figura 11.5 es el circuito equivalente a una porción de la línea. Este modelo hace suyos los parámetros R, L, G Ye de las líneas de transmisión y puede representar a cualquiera de las líneas de dos conductores de la figura 11.3. Llamado circuito equivalente tipo L, este modelo no es el único posible; hay otros (véase el problema 11.1). En él se supone que la onda se propaga a lo largo de la dirección + z, del generador a la carga. De la aplicación de la ley del voltaje de Kirchhoff a la espira externa del circuito de la figura 11.5 se obtiene

Vez, t) = R ~z I(z, t) + L ~z

aI(z,t) at + vez + ~z, t)

o Vez + ~z, t) - V(z, t) ~z = RI(z,t) I(z, t) RtJ.z

LtJ.z

+-

I(z + tJ.z,t) o +

Al generador

.

aI(z, t) + L- at

A la carga

V(z,t)

I I L Z

GtJ.z

V(z+ tJ.z,t) --t

ctJ.z

z + tJ.z ~z

Figura 11.5. Modelo de circuito tipo L de longitud diferencial.lz equivalente a una línea de transmisión de dos conductores.

(11.3)

-

478.

UNEAS

DE TRANSMISiÓN

La adopción del límite de la ecuación (11.3) cuando ¿lz ~ Oproduce

al(z, t) aV(z,t) az = Rl(z, t) + L---at

(11.4)

De igual manera, la aplicación de la ley de la corriente de Kirchhoff al nodo principal del circuito de la figura 11.5 da como resultado

l(z, t) = l(z + ¿lz,t) + M = l(z + ¿lz, t) + G ¿lz V(z + ¿lz, t) + C ¿lz

aV(z + ¿lz, t) at

o l(z + ¿lz, t) - l(z, t) aV(z + ¿lz, t) = GV(z + ¿lz,t) + C z at

(11.5)

Cuando ¿lz ~ O,la ecuación (11.5) se convierte en

av(z, t) aI(z, t) = G V(z, t) + C---at az

(11.6)

Si suponemos dependencia de tiempo armónico de tal forma que V(z, t) = Re [V.(z) é"1

(l1.7a)

l(z, t) = Re [ls(z) é"1

(l1.7b)

donde V.(z) y l.(z) son las formas de fasor de V(z, t) e l(z, t), respectivamente, las ecuaciones (11.4) y (11.6)se convierten en dVs - dz = (R + júJL) Is - ~~ = (G + júJC) Vs

(11.8) (11.9)

Vs y Is están acoplados en estas ecuaciones diferenciales. Para separados se obtiene la segunda derivada de Vs de la ecuación (11.8) y se emplea la ecuación (11.9), de lo que resulta d2V. dz; = (R + júJL)( G + júJC) V.

o (11.10)

11.3. ECUAClONES DE LINEADETRANSMISiÓN.

479

donde

I

'Y

= el + j{3 = Y(R + jwL)(G + jwC)

(11.11) I

Al obtener a su vez la segunda derivada de Is de la ecuación (11.9) y emplear la ecuación (11.8) resulta (11.12) Cabe hacer notar que las ecuaciones (11.10) y (11.12) -las ecuaciones de onda para voltaje y corriente, respectivamenteson de forma similar a la de las ecuaciones de onda para ondas planas (10.17) y (10.19). En nuestra notación usual, así, en la ecuación (11.11) 'Yes la constante de propagación (por metro), el la constante de atenuación (en nepers por metro o decibeles2 por metro) y {3la constante de fase (en radianes por metro). La longitud de onda Ay la velocidad de onda u están dadas respectivamente por A = 27T (3

(11.13)

(11.14) La solución de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas (11.10) y (11.12) es semejante al caso B del ejemplo 6.5,

v s (z) =

V+ o e-YZ +

+ +z -z

V-o eYZ

+--

(11.15)

e 1s(z ) = 1+e-YZ + 1-eYZ o o + +z -z +--

(11.16)

donde V¿-,V~, ¡: e I~ son amplitudes de onda y los signos + y - denotan que la onda se desplaza a lo largo de la dirección + z y -z, respectivamente, como lo indican asimismo las flechas.De este modo, la expresión instantánea del voltaje es V(z, t) = Re [Vs(z) ej",~ = V¿- e-az cos (wt - (3Z) + V~ eaz COs(wt + (3z)

(11.17)

La impedancia característica 20 de una línea de transmisión es la razón de la onda de voltaje de desplazamiento positivo a la onda de corriente en cualquier punto en la línea.

2Recuérdese que, de acuerdo con la ecuación (10.35), 1 Np = 8.686 dB.

480.

UNEAS

DE TRANSMISiÓN

Zo

es análoga a T/,la impedancia intrínseca del medio de propagación de la onda. Al sus-

tituir las ecuaciones (11.15) y (11.16) en las ecuaciones (11.8) y (11.9) e igualar los coeficientes de los términos eYZy e-YZse obtiene V+ Zo

V;

R + júJL

= I~ o = - ro =

'Y

'Y

=

G + júJC

(11.18)

o

Zo

=

R + júJL = Ro + jXo G + júJC

(11.19)

donde Ro YXo son las partes real e imaginaria de Zo' Ro no debe confundirse con R: ésta se mide en ohms por metro, y Ro en ohms. La constante de propagación 'Yy la impedancia característica Zo son propiedades importantes de la línea, porque ambas dependen de los parámetros R, L, G Y e y la frecuencia de operación. El recíproco de Zo es la admitancia característica Yo,es decir Yo = liZo' La línea de transmisión considerada hasta aquí es del tipo disipativo, ya que los conductores que la componen son imperfectos (O"e*- 00) y el dieléctrico en el que están inmersos es disipativo (O"*- O).Habiendo descrito este caso general, examinemos ahora dos casos especiales: los de las líneas de transmisión sin pérdidas y sin distorsión.

A. Línea sin pérdidas (R = O = G) Una línea de transmisión sin pérdidas consta de conductores perfectos (O"e~ 00) y medio dieléctrico sin pérdidas (O"= O). Como se desprende claramente de la tabla 11.1, cuando O"e= 00 YO"= O,

IR=O=GI

(11.20)

condición necesaria de una línea sin pérdidas. Respecto de una línea de este tipo, así, la ecuación (11.20) convierte las ecuaciones (11.11), (11.14) Y(11.19) en

a = O,

'Y= j{3 = júJ VLC

u=úJ{3-

Xo

= O,

1

VLC = fA

(11.21a)

(11.21b)

(11.21c)

11.3. ECUACIONES DE LrNEADETRANSMISiÓN.

481

= G/C)

B. Línea sin distorsión (R/L

Una señal consiste normalmente en una banda de frecuencias; en una línea disipativa, la amplitud de onda de componentes a distinta frecuencia se atenuará de diferente manera, puesto que a depende de la frecuencia. Esto resulta en distorsión.

Una línea sin distorsión es aquella en la que la constante de atenuación a es independiente de la frecuencia y la constante de fase f3linealmente dependiente de la frecuencia. De acuerdo con la expresión general de a y f3[referida en la ecuación (11.11)], una línea sin distorsión es consecuencia de que los parámetros adopten la forma siguiente

En una línea sin distorsión, así,

C

y

(11.22)

I~~~I

. júJC

júJL

( )(1 + G ) . r;:;;:::, j = RG (1 + G ) = a + jf3 = 'VRG 1 + R

úJC

V

o ex =

vRG,

f3 =

úJVLC

(l1.23a)

lo que indica que mientras que exno depende de la frecuencia, f3 es una función lineal de la frecuencia. De igual modo

Zo

=

R(l + júJL/R) G(l + júJC/G)

IR

(i

= \le = 'Ve = Ro

+ jXo

o (l1.23b)

y u=úJf3 -

1

VLC= fA

(l1.23c)

Adviértase que 1. La velocidad de fase es independiente de la frecuencia, a causa de que la constante de fase f3 depende linealmente de la frecuencia. A menos que exy u sean independientes de la frecuencia, la forma de las señales sufrirá distorsión. 2. u y Zo son iguales que en las líneas sin pérdidas.

482.

Líneas de transmisión Tabla 11.2. Características de las líneas de transmisión. Impedancia característica 20 = Ro + jXo

Constante de propagación

Caso General

'Y

= a + j{3

R-+ jwL G + jwC

V(R + jwL)(G + jwC)

o + jwVLC

Sin pérdidas

~+jO

Sin distorsión

~+jO

3. Una línea sin pérdidas carece también de distorsión, pero una línea sin distorsión no necesariamente carece de pérdidas. Las líneas sin pérdidas son deseables en la transmisión de potencia, en tanto que las líneas telefónicas deben ser líneas sin distorsión. En la tabla 11.2 se presenta un resumen del contenido de esta sección. Nuestro análisis se restringirá casi exclusivamente a líneas de transmisión sin pérdidas.

Ejemplo 11.1

Una línea en el aire tiene impedancia característica de 70 fl Y constante de fase de 3 rad/m a 100 MHz. Calcule su inductancia por metro y capacitancia por metro. Solución: Una línea en el aire puede considerarse una línea sin pérdidas, ya que (J = O.Por tanto

R=O=G

y

a=O (11.1.1)

{3= w VLC La división de la ecuación (11.1.1) entre la ecuación (11.1.2) produce

o

c=L= wRo

3 21TX 100 X 106(70) = 68.2 pF/m

A partir de la ecuación (11.1.1),

L = R~C = (70)2(68.2X 10-12) = 334.2 nH/m

(11.1.2)

11.3. ECUACIONES DE LrNEADETRANSMISiÓN.

483

Ejercicio 11.1

Una línea de transmisión que opera a 500 MHz tiene Zo f3 = 1.5 rad/m. Halle sus parámetros R, L, G YC.

= 80 O, a = 0.04 Np/m,

Respuesta: 3.2 O/m, 38.2 nH/m, 5 X 10-4 S/m, 5.97 pF/m.

Ejemplo 11.2

= 60 O, a = 20 mNp/m, u = 0.6c,donde e es la velocidad de la luz en el vacío.Halle R, L, G, C y AalOa MHz.

Una línea sin distorsión tiene Zo

Solución: En una línea sin distorsión,

o

RC = .GL

G= RC L

Por tanto (11.2.1)

(l1.2.2a) o (l1.2.2b) Pero ú)

1

(11.2.3)

u=f3=yILC

A partir de la ecuación (l1.2.2b),

R = a Zo = (20 X 10-3)(60) = 1.2 O/m La división de la ecuación (11.2.1) entre la ecuación (11.2.3) resulta en L

= Zo = u

60

0.6(3X 108) = 333 nH/m

Con base en la ecuación (l1.2.2a), 2

G = ~ - 400 X 10-6 R -

1.2

333 p,S/m

484.

UNEAS

DE TRANSMISiÓN

Al multiplicar las ecuaciones (11.2.1) y (11.2.3) se obtiene 1 uZo

o c=~-

=e

1 uZo - 0.6 (3 x 108)60 = 92.59pF/m

A = !!.= 0.6 (3 x 108) f 108 = 1.8m

Ejercicio 11.2 Una línea telefónica tiene R A f = 1 kHz, obtenga:

= 30 Olkm, L

= 100 mH/km, G = OYe = 20 JLFlkm.

a) La impedancia característica de la línea. b) La constante de propagación. e) La velocidad de fase. Respuestas: a) 70.75 /-1.3670 O, b) 2.121 X 10-4 + j8.888 x lO-31m y e) 7.069 x 105 mis.

11.4. Impedancia de entrada, razón de onda estacionaria y potencia Considérese una línea de transmisión de longitud f caracterizada por 'Y y Zo y conectada a una carga Zv como se muestra en la figura 11.6. Si se examina este caso, la línea con la carga representa para el generador una impedancia de entrada Zent'Nuestro propósito en esta sección es determinar la impedancia de entrada, la razón de onda estacionaria (ROE) y el flujo de potencia en la línea. Concedamos que la línea de transmisión se extiende de z = Oen el generador a z = f en la carga. Antes que nada, precisamos de las ondas de voltaje y corriente de las ecuaciones (11.15) y (11.16), es decir, de

(11.24) (11.25) donde se ha incorporado la ecuación (11.18). Para hallar V: y V;;-,debe disponerse de las condiciones en la terminal. Si, por ejemplo, están dadas las condiciones en la entrada, digamos Vo = V(z = O),

lo = l(z = O)

(11.26)

11.4.

IMPEDANCIA DE ENTRADA, RAZÓN DE ONDA ESTACIONARIAY POTENCIA

z

~

. 485

l' = l- z

+

IL +

Vo

VL

z =l

z=o (a)

Figura 11.6. (a) Impedancia de entrada debida a una línea terminada en una carga; (b) circuito equivalente para determinar Vo e lo en términos de 2.nt en la entrada.

la sustitución de estos valores en las ecuaciones (11.24) y (11.25) resulta en Vo+

=

(V¡¡ - ZoIo) 1

(11.27a)

.

Vo- = "2(V¡¡ - ZoIo)

(11.27b)

Si la impedancia de entrada en las terminales de entrada es Zent'el voltaje de entrada Vo y la corriente de entrada lo se obtienen fácilmente de la figura 11.6(b) como Zent

Vg' Vo - Z ent + Zg

(11.28)

Si, por otra parte, están dadas las condiciones en la carga, digamos

VL = V(z = €),

IL = I(z = €)

(11.29)

La sustitución de estos valores en las ecuaciones (11.24) y (11.25) da como resultado

V¿- = ~ (VL + Zoh)eyt

(11.30a)

1 Vo-

= "2(VL

- Zoh)e-yt

(11.30b)

486.

UNEAS

DE TRANSMISiÓN

Después se determina la impedancia de entrada Zent = V.{z)/Is(z) en cualquier punto en la línea. En el generador, por ejemplo, las ecuaciones (11.24) y (11.25) producen

(11.31) Al sustituir la ecuación (11.30) en la ecuación (11.31) y utilizar el hecho de que t eY

-yt

+e

o

= cosh ')'{"

(11.320)

o

(11.32b) se obtiene ZL + Zo tanh ')'f

= Zo [ Zo +

Zent

ZL tanh ')'f

]

(disipativa)

(11.33)

Aunque deducida con referencia a la impedancia de entrada Zenten el extremo de generación, la ecuación (11.33) es una expresión general para determinar Zent en cualquier punto de la línea. Para hallar Zent a una distancia f' desde la carga, como en la figura 11.6(0), se reemplaza f por f'. En el apéndice A.3 se proporciona una fórmula para calcular la tangente hiperbólica de un número complejo, necesaria en la ecuación (11.33). En el caso de una línea sin pérdidas, ')' = j{3,tanh j{3f = j tan {3fy Zo = Ro, de modo que la ecuación (11.33) se convierte en ZL Zent

+ jZo tan{3f

= Zo [ Zo + jZL tan {3f]

(sin pérdidas)

(11.34)

lo que indica que la impedancia de entrada varía periódicamente con la distancia f desde la carga. La cantidad {3f de la ecuación (11.34) usualmente es la longitud eléctrica de la línea y puede expresarse en grados o en radianes. Definamos ahora f L como el coeficiente de reflexión por voltaje (en la carga). f Les la razón de la onda de reflexión por voltaje a la onda incidente en la carga, es decir,

fL = V;eyt V¿-e-yt

(11.35)

La sustitución de Vo- y Vo+ de la ecuación (11.30) en la ecuación (11.35) y la incorporación de VL = ZLIL resultan

en

(11.36)

11.4.

IMPEDANCIA DE ENTRADA, RAZÓN DE ONDA ESTACIONARIAY POTENCIA.

487

El coeficiente de reflexión por voltaje en cualquier punto de la línea es la razón de la magnitud de la onda reflejada por voltaje a la de la onda incidente. Esto es, V-eYZ o =-eV';- 2yz r(Z) = VO+e-YZ VO+

Sin embargo,

z =€ -

€'. Al sustituir y combinar con la ecuación (11.35) se obtiene

r(z)

= ~o:o

e2y(

e-2y('

(11.37)

= r Le-2y('

El coeficiente de reflexión por corriente en cualquier punto de la línea es el negativo del coeficiente de reflexión por voltaje en ese punto.

r

Así, el coeficiente de reflexión por corriente en la carga es 10-eY(/1-;e-Y( = - L' Al igual que en el caso de las ondas planas, la razón de onda estacionaria (ROE) s se define como

(11.38)

Es fácil demostrar que 1rnáx= VrnáJZo e 1rnín= Vrnín/Zo'Los valores máximos y mínimos de la impedancia de entrada Zentde la ecuación (11.34) ocurren en los valores máximos y mínimos, respectivamente, de la onda estacionaria de voltaje y corriente. También es posible demostrar que

IZent Irnáx =

Vrnáx

= sZo

(l1.39a)

1rnín

y IZentlrnín =

V rnín - Zo 1rnáx

--;

(l1.39b)

Para comprobar estos conceptos, considérese una línea sin pérdidas con impedancia característica de Zo = 50 O. Para efectos de simplificación,supongamos que esta línea termina en una carga resistiva pura ZL = 100 O Yque el voltaje en la carga es de 100 V (rms). Las condiciones en la línea se presentan en la figura 11.7, en la que se advierte que tales condiciones se repiten cada semilongitud de onda.

488

.

UNEASDETRANSMISiÓN

Carga

soV

2A

lA

1T 2 A 4

1T

31T 2 3A 4

A 2

o f3€ radianes

o Longitud de onda

Figura 11.7. Patrones de ondas de voltaje y corriente en una línea sin pérdidas terminada en una carga resistiva.

Como se mencionó al principio de este capítulo, una línea de transmisión sirve para transferir potencia de una fuente a una carga. La potencia de entrada promedio a una distancia t desde la carga está dada por una ecuación semejante a la ecuación (10.68); es decir, Pprom= ~Re [Vs(t)IHt)] donde el factor 1/2 es necesario, puesto que tratamos con los valores pico en lugar de los valores rms. Suponiendo una línea sin pérdidas, se sustituyen las ecuaciones (11.24) y (11.25) para obtener p prom

= 1. Re 2

[

V+(ei/3t' + re-i/3t') v+* (e-i/3t' - r*ei/3t') o

Zo

]

Puesto que los dos últimos términos son puramente imaginarios, se tiene

(11.40)

11.4.

IMPEDANCIA DE ENTRADA, RAZÓN DE ONDA ESTACIONARIAY POTENCIA.

489

El primer término es la potencia incidente p¡ y el segundo la potencia reflejada Pr' Así, la ecuación (11.40) puede expresarse como

= p¡ -

Pt

Pr

donde Pt es la potencia de entrada o transmitida y el signo negativo se debe a la onda de dirección negativa, puesto que la dirección de referencia es la del voltaje/corriente que se desplaza hacia la derecha. Cabe señalar con relación a la ecuación (11.40) que la potencia es constante y no depende de €, ya que tratamos con una línea sin pérdidas. Adviértase asimismo en que la carga recibe la potencia máxima cuando f = O,como es de esperar. Examinemos ahora los casos especiales representados por la conexión de la línea a una carga Z L = O,Z L = 00 YZ L = Zo. Estos casos pueden deducirse fácilmente del caso

general.

A. Línea en cortocircuito (ZL = O) En este caso, la ecuación (11.34) se convierte en Zcc

= 'Zent I

ZL=O

= jZo

tan f3€

(l1.41a)

Asimismo, s = 00

(l1.41b)

Debe señalarse respecto de la ecuación (l1.41a) que Zentes una reactancia pura, la cual puede ser capacitiva o inductiva según el valor de €. La variación de Zentcon € se muestra en la figura l1.8(a).

B. Línea en circuito abierto (ZL = 00) Esta vez la ecuación (11.34) se convierte en Zca

=

Z lím Zent Zc"CO

=.

] tan

o,...,.,= - jZo cot f3€

(l1.42a)

y fL = 1,

s = 00

(l1.42b)

La variación de Zentcon € se muestra en la figura l1.8(b). Adviértase que, a partir de las ecuaciones (l1.41a) y (l1.42a), (11.43)

C. Línea acoplada (ZL = Zo) Éste es el caso más deseable desde el punto de vista práctico. En él la ecuación (11.34) se reduce a (l1.44a)

490.

LfNEAS DE TRANSMISiÓN

Figura 11.8. Impedancia de entrada de una línea sin pérdidas: (a) en cortocircuito, (b) en circuito abierto. Inductiva

o

f3e

Capacitiva

(a)

Inductiva

o Capacitiva

(b)

y

rL = O,

s=1

(11.44b)

es decir, V~ = O,se transmite la onda completa y no hay reflexión. La potencia incidente es totalmente absorbida por la carga. En consecuencia, cuando una línea de transmisión está acoplada con la carga es posible una máxima transferencia de potencia.

Ejemplo 11.3

Cierta línea de transmisión que opera a

ú)

= 106 rad/s

tiene a

= 8 dB/m, (3 = 1 rad/m y

Zo = 60 + j40 n y 2 m de largo. Si está conectada a una fuente de 10~ V, Zg = 40 n y termina en una carga de 20 + j50 n, halle a) La impedancia de entrada. b) La corriente en el extremo emisor. e) La corriente a la mitad de la línea.

11.4.

IMPEDANCIA DE ENTRADA, RAZÓN DE ONDA ESTACIONARIAY POTENCIA.

491

Solución:

a) Puesto que 1 Np

= 8.686 dB, 8 a = 8.686 = 0.921 Np/m y = a + j{3 = 0.921 + j1 1m y€ = 2(0.921 + j1) = 1.84 + j2

De la aplicación de la fórmula para tanh(x + jy) referida en el apéndice A.3 se obtiene tanh y€ Z

ent

= 1.033 - jO.03929 -Z

-

ZL

o

(

+ Zo tanh Y€

Z o + Z L tanh Y€

)

20 + j50 + (60 + j40)(1.033

.

-

= (60 + J40) [ 60 + j40 + (20 + j50)(1.033 Zent

jO.03929)

jO.03929) ]

= 60.25 + j38.79 O

b) La corriente en el extremo emisor es l(z = O) = lo. De acuerdo con la ecuación (11.28),

l(z = O)=

Vg

Zent+ Zg

=

10

60.25 + j38.79 + 40

= 93.03/-21.15°

mA

e) Para hallar la corriente en cualquier punto, se precisa de Vo+y Vo-' Sin embargo,

lo = l(z = O) = 93.03/-21.15° mA Vo = Zenlo = (71.66/32.77°)(0.09303/-21.15°) = 6.667/11.62°V A partir de la ecuación (11.27),

= ~ [6.667/11.62° + (60 + j40)(0.09303/-21.15°)] = 6.687/12.08° 1 Vo- =

2 (VO

- Zolo)

= 0.0518/260°

A la mitad de la línea, z = €12,yz = 0.921 + j1. Por tanto, la corriente en este punto es

= (6.687ej12.08°)e-O.921-jl

60 + j40

(0.0518ej2600)eO.921

60 + j40

+ jl

492.

UNEAS

DE TRANSMISiÓN

Vale hacer notar que j1 está en radianes y equivale a j57.3 o.Así, Is(z

= fJ2) =

6.687jI2.08° e -0.921 e - j57.3°

n.1e! '3369 .

= 0.036ge-!78.91°

0.0518ej260° eO.921ej57.3°

.

-

- 0.00180Sej283.61°

= 6.673 - j34.456 mA = 35.10/2810 mA Ejercicio 11.3 Una línea de transmisión de 40 m de largo, la cual se ilustra en la figura 11.9, tiene Vg = 15L!L.Vnns,Zo = 30 + j60 O Y VL = 5/ -480 Vnns'Si está acoplada con la carga, calcule: a) La impedancia de entrada Zent. b) La corriente IentYel voltaje Venten el extremo emisor. e) La constante de propagación 'Y. Respuestas: a) 30 + j60 O, b) 0.112/-63.430 A, 7.5L!L.Vnns y e) 0.0101 + jO.2094 1m.

-+

lent

+

Zgl vent Vg le

Zo =30 + j60 'Y ex+ jf3

=

-40m Figura 11.9. Para el ejercicio 11.3.

11.5. El diagrama de Smith Antes de la aparición de las computadoras y calculadoras digitales, los ingenieros idearon toda suerte de recursos (tablas, diagramas, gráficas, etc.) para facilitar sus cálculos de diseño y análisis. Fue así como surgieron medios gráficos para reducir las tediosas manipulaciones implicadas por el cálculo de las características de líneas de transmisión. El diagrama de Smith3 es la técnica gráfica de uso más común con ese propósito. Se trata básicamente de una indicación gráfica de la impedancia de una línea de transmisión conforme se avanza a lo largo de ésta. Basta un poco de práctica para dominar su empleo. 3Inventado por Phillip H. Smith en 1939. Véase P. H. Smith, "Transmission line calculator", Electronics, vol. 12, 1939, pp. 29-31 YP. H. Smith, "An improved transmission line calculator", Electronics, vol. 17, 1944, pp. 130-133,318-325.

11.5. ELDIAGRAMADESMITH .

493

Figura 11.10. Círculo de radio igual a la unidad en el que se elabora el diagrama de Smith.

Examinaremos en primer lugar cómo se elabora el diagrama de Smith y después lo utili-

zaremos para calcularcaracterísticasde líneas de transmisióncomo f v s y Zent. Aunqueno es forzoso que sea así, supondremos una línea de transmisión sin pérdidas (Zo = Ro)' El diagrama de Smith se traza dentro de un círculo de radio igual a la unidad (Ir¡ :5 1), como se muestra en la figura 11.10. Su elaboración se basa en la relación enunciada en la ecuación (11.36);4 esto es, (11.45) o (11.46) donde f, Yf¡ son las partes real e imaginaria del coeficiente de reflexión f. Para disponer de un solo diagrama de Smith aplicable a cualquier línea de transmisión -lo cual es preferible a elaborar uno por cada línea con diferente impedancia característica, como Zo = 60, 100 Y 120 0.-, se usa un diagrama normalizado en el que todas las impedancias estén normalizadas respecto de la impedancia característica Zo de la línea particular en consideración. En el caso de la impedancia de la carga Z v por ejemplo, la impedancia normalizada ZL está dada por ZL

ZL

=-

Zo

=r

.

+ JX

(11.47)

La sustitución de la ecuación (11.47) en las ecuaciones (11.45) y (11.46) resulta en ZL - 1 f = f, + jf¡ = ZL + 1

(11.48a)

o (11.48b)

4Cuando f no va acompañado por un subíndice, alude al coeficiente de reflexión por voltaje en la carga (f L = f).

494 .

UNEAS

DE TRANSMISiÓN

La normalización e igualación de las componentes produce

r=

1 - f2 - f2 I

+

n

(l1.49a)

(1 - fr? +

n

(l1.49b)

(1 -

r fr)2

2f¡

x=

Al re ordenar los términos de la ecuación (11.49) se obtiene

[

- ~

f r

l+r

2

]

+

f2 I

=

2

~ [ l+r

]

(11.50)

y (11.51) Estas dos ecuaciones son similares a

(x - h)2 + (y - k)2 = a2

(11.52)

la ecuación general de un círculo de radio a centrado en (h, k). Así, la ecuación (11.50) es un círculo r (círculo de resistencia) con centro en (fro f¡) =

(~,1 + r O)

1 radio = 1 + r

(l1.53a) (l1.53b)

En la tabla 11.3 se presentan los centros y radios de círculos r correspondientes a valores comunes de la resistencia normalizada r, y en la figura 11.11 los círculos r basados en

Tabla 11.3. Radios y centros de círculos r correspondientes a valores comunes de r.

Resistencia normalizada

(r)

Centroe : r ' o)

o

1

1/2 1 2 5

2/3 1/2 1/3 1/6 O

00

(0,0) (1/3,O) (1/2,O) (2/3,O) (5/6,O) (1,O)

. L

11.5.

EL DIAGRAMA DE SMITH

Figura 11.11. Círculos r correspondientes 0.5, 1, 2, 5, oo.

f. 1

. 495 ar

=O,

o

los datos de la tabla 11.3. La ecuación (11.51) es a su vez un círculo x (círculo de reactancia) con centro en (r" r¡) = ra

. d10

(

1, ~)

1

=-

X

(l1.54a)

(l1.54b)

En la tabla 11.4 aparecen los centros y radios de círculos x correspondientes a valores comunes de x, y en la figura 11.12 el diagrama respectivo. Nótese que mientras que r siempre es positiva, x puede ser positiva (en el caso de impedancia inductiva) o negativa (en el de impedancia capacitiva). De la superposición de los círculos r y x resulta el diagrama de Smith, como se muestra en la figura 11.13. En él es posible localizar una impedancia normalizada z = 2 + j, por ejemplo, en el punto de intersección del círculo r = 2 Yel círculo x = 1, el punto Pl en la figura 11.13. De igual forma, z = 1 - j 0.5 se localiza en Pz, donde se intersecan el círculo r = 1 Yel círculo x = -0.5. Aparte de los círculos r y x (mostrados en el diagrama de Smith), es posible trazar círculos s o círculos de razón constante de onda estacionaria (los cuales nunca aparecen en el diagrama), centrados en el origen en tanto que s varía de 1 a oo.El valor de la razón de onda estacionaria s se determina localizando el punto en el que un círculo s se cruza Tabla 11.4. Radios y centros de drculos x correspondientes a valores comunes de x.

Reactancia

normalizada

o ::!:1/2 ::!:l ::!:2 ::!:S ::!:oo

(x) . Radio

00 2 1 1/2 l/S O

(~) (1,00) (1, ::!:2) (1, ::!:l) (1, ::!:1/2) (1, ::!:l/S) (1,0)

496

.

UNEAS

DE TRANSMISiÓN

Figura 11.12. Círculos x correspondientes a x =0, :t1l2, :tl, :t2, :t5, :too.

r..1 1.0

(1,1)

(1,112)

rr

O

'~h,-l/2)

(1,-1) -1.0

zro

"..

Figura 11.13. Ilustración de los círculos r,x y s en el diagrama de Smith.

11.5. El DIAGRAMADESMITH .

497

con el eje fr, En la figura 11.13 se presentan ejemplos representativos de los círculos s correspondientes a s = 1,2,3 e oo.Puesto que In y s se relacionan de acuerdo con la ecuación (11.38), a los círculos s también se les conoce como círculos In, en los que In varía linealmente de Oa 1 conforme se avanza del centro O a la periferia del diagrama, mientras que s varía de modo no lineal de 1 a oo. Conviene señalar lo siguiente acerca del diagrama de Smith: 1. En el punto Peedel diagrama, r = O,x = O;es decir, Z L = O + jO,lo que indica que Peerepresenta un cortocircuito en la línea de transmisión. En el punto Pea'r = 00 y x = 00, o ZL = 00 + joo, lo que implica que Peacorresponde a un circuito abierto en la línea. También en Pea,r = OYx = O,de modo que ahí se ubica otro cortocircuito en la línea. 2. Una revolución completa (360°) en el diagrama representa una distancia de A/2en la línea. El desplazamiento en el diagrama en la dirección de las manecillas del reloj equivale a desplazarse hacia el generador (o en dirección contraria a la carga), como lo indica la flecha G en las figuras 11.14 (a) y (b). Por consecuencia lógica, el desplazamiento en la dirección opuesta a la de las manecillas del reloj equivale a desplazarse hacia la carga (o en dirección contraria al generador), como lo indica a su vez la flecha L en la figura 11.14. De la figura l1.14(b) se desprende que, en la carga, no tiene sentido moverse hacia la carga (porque ya se está en ella), y que lo mismo puede decirse respecto del extremo del generador. 3. En la figura l1.14(a) se detallan tres escalas en la periferia del diagrama. Incluidas para mayor utilidad, tienen sin embargo el mismo propósito, de modo que debería ser suficiente con sólo una de ellas. Su fin es determinar en grados o longitudes de onda la distancia desde la carga o el generador. Así, el de las escalas exterior e intermedia es determinar en longitudes de onda la distancia en la línea desde el extremo del generador y desde la carga, respectivamente, mientras que la escala interna es un transportador (en grados) para determinar Ory la distancia desde la carga o el generador. Puesto que una distancia de A/2en la línea corresponde a un desplazamiento de 360° en el diagrama, la distancia Aen la línea corresponde a un desplazamiento de 720° en el diagrama. (11.55) De esta manera, es posible ignorar las escalas externas y usar únicamente el transportador (la escala interna) para todos los cálculos de 0r y distancia. 4. Vrnáxocurre en la ubicación de Zent.rnáx en el diagrama [véase la ecuación (11.39a)], o sea, en la figura l1.14(a), en el eje f positivo o en OPea. Vrnínse localiza por su parte en el punto con Zent.rnínen el diagrama o en la figura l1.14(a), en el eje fr negativo o en OPee.Nótese que VrnáxY Vrnín(o Zent.rnáxY Zent,rnín)están separados por A/4 (o 180°). 5. El diagrama de Smith sirve lo mismo como diagrama de impedancia que de admitancia (Y = 1/Z). Como diagrama de admitancia (impedancia normalizada y = Y/Yo = g + jb), los círculos g y b corresponden a los círculos r y x respectivamente.

498

.

UNEASDETRANSMISiÓN

0.12 0.38 90"

Vrnín

Vmáx

o

0.12 0.38 (a)

G...

~L Generador

Línea de transmisión

Carga

(b) Figura 11.14. (a) Diagrama de Smith en el que se ilustran las escalas en la periferia y los desplazamientos alrededor; (b) desplazamientos correspondientes a lo largo de la línea de transmisión.

Con base en estas importantes propiedades, el diagrama de Smith puede usarse para determinar, entre otras cosas, a) r = r 1& ys; b) Zento Yent,Ye) las ubicaciones de 1

Vmáx YVmín'siempre que se disponga de los valores de Zo' ZLy la longitud de la línea. Algunos ejemplos ilustrarán claramente cómo realizar todo esto y mucho más con la ayuda del diagrama de Smith, un compás y una regla.

11.5. ELDIAGRAMA DE SMITH .

Ejemplo 11.4

499

Una línea de transmisión sin pérdidas de 30 m de largo con Zo = 50 n que opera a 2 MHz termina en una carga de Z L = 60 + j40 n. Si u = 0.6c en la línea, halle a) El coeficiente de reflexión r. b) La razón de onda estacionaria.s. e) La impedancia de entrada. Solución: Este problema se resolverá con y sin el diagrama de Smith. Método 1 (sin el diagrama de Smith). ZL - Zo 60 + j40 - 50 10 + j40 a) r = Z L + Zo = 60 + j40 + 50 = 110 + j40 = 0.3523/60°

1+ b) s = 1 -

Ir I 1 + 0.3523 Ir I = 1 - 0.3523 = 2.088

e) Puesto que u = w/{3o {3= w/u, wf {3f

27T(2

= -¡; =

x

0.6 (3

106)(30)

x

108)

27T

= 3 = 120°

Recuérdese que {3f es la longitud eléctrica de la línea. Zent

-

+ jZo tan{3f Zo [ Zo + jZL tan {3f ] ZL

- 50 (60 + j40 + j50 tan 120°)

- [50 + j(60 + j40) tan 120°] =

50(6 + j4 - j5V3) . ¡;; . ¡;; = 24.01/3.22° (5 + 4 V 3 - j6 V 3)

= 23.97 + j1.35 n Método 2 (con el diagrama de Smith). a) Se calcula la impedancia normalizada de la carga ZL

ZL

60 + j40

= Zo =

50

= 1.2 + jO.8 En el diagrama de Smith que aparece en la figura 11.15, ZLse localiza en el punto P, donde se cruzan los círculos r = 1.2 Yx = 0.8. Para obtener r en Zv se extiende OP hasta cruzar con el círculo r = O,lo cual ocurre en Q, y se mide OP y OQ. Puesto que OQ corresponde a Ir¡ = 1,en P

OP 3.2 cm = 0.3516 Ir I = OQ = 9.1 cm

500 . LfNEAS DE TRANSMISiÓN

Figura 11.15. Para el ejemplo 11.4. Cabe señalar que OP = 3.2 cm y OQ = 9.1 cm proceden del diagrama de Srnith que utilizó el autor; el que aparece en la figura 11.15 es una reducción, pero mantiene la razón OP/OQ. El ángulo 0r se obtiene directamente del diagrama como el ángulo entre OS y OP; es decir,

0r = ángulo pOS = 56° Así f = 0.3516/56° b) Para determinar la razón de onda etacionaria s, se traza un círculo con OP como radio y centro en O. Éste es el círculo de s constante o Ifl. Después se localiza el punto S, en el que el círculo s se cruza con el eje fr,

11.5. ELDIAGRAMADESMITH .

[Esto se demuestra fácilmente estableciendo f¡ = O en la ecuación r en este punto es s; esto es,

501

(11.49a).]El valor de

s = r (cuando r ~ 1) = 2.1 e) Para obtener Zent' primero se expresa f en términos de A o en grados.

u A=-=

0.6 (3 X 108)

f

=90m

2 X 106

30 A 7200 f = 30 m = - A = - -+ = 2400 90 3 3 En razón de que A corresponde a un desplazamiento angular de 7200 en el diagrama, la longitud de la línea corresponde a un desplazamiento angular de 2400. Esto equivale a desplazarse 2400 hacia el generador (o en dirección contraria a la carga, en el sentido de las manecillas del reloj) en el círculo s, del punto P al punto G. En G se obtiene Zent

= 0.47

+ jO.035

Por tanto Zent

=

ZoZent

Aunque el diagrama de Smith

= 50(0.47

+ jO.035)

= 23.5

+ j1.75

n"

proporciona resultados aproximados,para los fines de la

ingeniería son suficientemente cercanos a los exactos obtenidos con el método 1.

Ejercicio

11.4

Una línea sin pérdidas de 70 O tiene s = 1.6 Y()r = 300°. Si es de 0.6Ade largo, halle

a) f,Z¿,Zent b) La distancia del primer voltaje mínimo desde la carga. Respuestas: a) 1>.228/300°, 80.5

Ejemplo 11.5

-

j33.6 0,47.6

-

j17.5 O Y b) A/6.

Una carga de 100 + j150 O está conectada a una línea sin pérdidas de 75 O. Halle:

a) f b) s e) La admitancia de la carga Yv d) Zent en 0.4 A desdela carga. e) Las ubicaciones de Vrnáxy Vrnínrespecto de la carga si la línea es de 0.6A de largo. f) Zenten el generador.

502.

UNEAS

DE TRANSMISiÓN

Solución: a) Este problema puede resolverse con el diagrama de Smith. La impedancia normalizada de la carga es

100 + j150 = 1.33 + j2 Esto equivale al punto P en el diagrama de Smith que se presenta en la figura 11.16. En P se obtiene OP 6 cm

Irl =-=-=0.659 OQ 9.1 cm

(Jr= ángulo POS = 40° En consecuencia,

r = 0.659/40°

Figura 11.16. Para el ejemplo 11.5.

11 .5. ELDIAGRAMADESMITH .

503

Comprobación: ZL

r=

-

Zo

Z L + Zo

=

+ j150 - 75 100 + j150 + 75 100

= 0.659/400 b) Se traza el círculo de s constante que pasa por P y se obtiene s = 4.82 Comprobación: = 1

s

+ Ir I = 1 + 0.659 = Ir I 1 - 0.659

1-

4 865

.

e) Para obtener Yv PO se prolonga a POP' y se identifica el punto P', donde el círculo de s constante se cruza con POP'. En P' se obtiene y L = 0.228 - j0.35 La admitancia de la carga es

YL = YoYL = 715(0.228 - j0.35) = 3.04 - j4.67 mS Comprobación: 1 1 YL = = ZL 100 + j150 = 3.07 - j4.62 mS d) 0.4,\ corresponde a un desplazamiento angular de 0.4 X 720° = 288° sobre el círculo de s constante. Esto equivale a un desplazamiento de 288° desde P hacia el generador (en la dirección de las manecillas del reloj) en el círculo s, hasta llegar al punto R. En R, Zent

=

0.3+ jO.63

Por tanto Zent = ZoZent= 75 (0.3 + jO.63) = 22.5 + j47.25 O

Comprobación: f3€ = 2; (0.4'\) = 360° (0.4) = 144° ZL

Zent -

Zo

[

Zo

+ jZo tan f3€ + jZ L tan f3€

]

= 75 (100 + j150 + j75 tan 144°) [75 + j(100 + j150) tan 144°] = 54.41/65.25°

504.

UNEAS

DE TRANSMISiÓN

o Zent

= 21.9

+ j47.6 Ü

e) O.M corresponde a un desplazamiento angular de

0.6 X 720° = 432° = 1 revolución + 72° Así, se avanza 432°, o una revolución más 72°, a lo largo del círculo s desde el punto P (extremo de la carga) hasta llegar al generador en el punto G. Obsérvese que para llegar a G desde P se pasa una vez por el punto T (la posición de Vmín)Ydos veces por el punto S (la posición de Vmáx)'Desde la carga, entonces, 40° El1er. Vmáxse ubica en 7200 A = 0.055A

El 20. Vmáxse ubica en 0.0555A +

~ = 0.555A

en tanto que el único Vmínse ubica en 0.055A + A/4 = 0.3055A. f) En G (extremo del generador), Zent

Zent

= 1.8 - j2.2 = 75(1.8 - j2.2) = 135 - j165 Ü

Esto puede comprobarse mediante la ecuación (11.34), donde (3f = 27T(0.6A) = 216°. A Como puede verse, el diagrama de Smith ahorra mucho tiempo y esfuerzo.

Ejercicio 11.5

Una línea sin pérdidas de 60 ü termina en una carga de 60 + j60 ü. a) Halle r y s. Si Zent = 120 - j60 ü, ¿cuál es la distancia (en longitudes de onda) entre la carga y el generador? Resuelva este problema sin el diagrama de Smith. b) Ahora resuelva el problema del inciso a) con el diagrama de Smith. Calcule Zmáx y Zent,mín'¿Cuál es la distancia (en A) entre el primer voltaje máximo y la carga? A Respuestas: a) 0.4472/63.43°, 2.618, "8(1 + 4n), n = O,1,2, ... y b) 0.4457/62° , A 2.612, "8(1 + 4n), 157.1 ü, 22.92 ü, 0.0861 A.

11.6.

ALGUNAS

APLICACIONES

DE LlNEAS DE TRANSMISiÓN

. 505

11.6. Algunas aplicaciones de líneas de transmisión Las líneas de transmisión se utilizan con diversos fines. Aquí nos referiremos a su uso en el acoplamiento de cargas y la medición de la impedancia.

A. Transformadorde un cuarto de onda (acoplamiento) Cuando Zo Z Lose dice que la carga está desacoplada y que existe una onda reflejada en la línea. Para una máxima transferencia de energía, sin embargo, es deseable que la carga esté acoplada con la línea de transmisión (Zo = ZL)' a fin de anular la reflexión (lrl = O o s = 1). El acoplamiento se consigue usando secciones en corto de líneas de transmisión. Recuérdese que, de conformidad con la ecuación (11.34), cuando l = Al4 o =1=

{3l = (21T/A)(Al4) = 1T/2,

(11.56) Es decir,

o 1 Zent= -~Yent ZL

= ZL

(11.57)

Así, mediante la incorporación de una línea deAl4 al diagrama de Smith, se obtiene la admitancia de entrada correspondiente a una impedancia dada de la carga. Asimismo, una carga desacoplada Z L puede acoplarse adecuadamente con una línea (con impedancia característica Zo) insertando previamente en la carga una línea de transmisión de Al4 de longitud (con impedancia característica Z~), como se indica en la figura 11.17. Esa sección de Al4 de la línea de transmisión se llama transformador de un cuarto de onda, ya que sirve para acoplar la impedancia como lo haría un transformador ordinario. Con base en la ecuación (11.56), Z~ se selecciona de tal manera que (Zent = Zo) Z~

=

VZoZL

(11.58)

Figura 11.17. Acoplamiento de carga con un transformador de A/4.

506

.

UNEASDETRANSMISiÓN

Figura 11.18. Patrón de onda estacionaria de voltaje de una carga desacoplada: (a) sin transformador de A/4,(b) con transformador de A/4.

(a)

donde Z~, Zo y ZL son reales. Si, por ejemplo, se desea acoplar una carga de 120 O con una línea de 75 O, el transformador de un cuarto de onda debe tener una impedancia característica de Y(75)(120) = 950. Este transformador de un cuarto de onda de 95 O también acoplará una carga de 75 O con una línea de 120 n. En la figura 11.18 (a) y (b) se ilustran los patrones de onda estacionaria de voltaje sin y con el transformador de '\/4, respectivamente. En esta figura puede observarse que pese a que entre el transformador y la carga persiste una onda estacionaria, a la izquierda de aquélla onda estacionaria ha desaparecido, por efecto del acoplamiento. Sin embargo, la onda reflejada (o estacionaria) sólo se elimina en la longitud de onda (o frecuencia f) deseada; en una longitud de onda ligeramente diferente, habrá reflexión. Así, la principal desventaja del transformador de un cuarto de onda es que se trata de un dispositivo de banda angosta, o sensible a la frecuencia.

B. Sintonizador de sección de línea única (acoplamiento) El mayor inconveniente del transformador de un cuarto de onda como dispositivo de acoplamiento de líneas desaparece en el sintonizador de sección de línea única. Este sintonizador es una sección abierta o en corto de una línea de transmisión de longitud d conectada en paralelo a la línea principal a cierta distancia € de la carga, como se ilustra en la figura 11.19. La impedancia característica de la sección debe ser igual a la de la línea principal. Aunque factible en teoría, una sección en serie entraña dificultades de uso. Por su parte, una sección en circuito abierto emite cierta energía a altas frecuencias. Por tanto, es preferible emplear secciones paralelas derivadas en cortocircuito. Puesto que el propósito es que Zent = Zo, es decir que Zent= 10 Yent= 1 en el punto A de la línea, primero se traza el lugar geométrico y = 1 + jb (círculo r = 1) en el diagrama de Smith, como se indica en la figura 11.20. Si se introduce en A una sección de línea en derivación de admitancia Ys = -jb, entonces Yent= 1 + jb + Ys = 1 + jb - jb = 1 + jO

(11.59)

A

Figura 11.19. Acoplamiento con un sintonizador de sección de línea única.

~

& Sección de líneaen ---

4. o"" d

GV

cortocircuito~

e--J

11 .6. ALGUNAS APLICACIONESDE LfNEASDE TRANSMISiÓN.

507

Figura 11.20. Uso del diagrama de Smith para determinar f y d de un sintonizador de sección de línea única en cortocircuito y en derivación.

como es de desear. Puesto que b podría ser positiva o negativa, en la línea pueden ha-

llarse dos posiblesvaloresde € «Al2). En A, Ys= - jb, € = €A Yen B Ys = jb, € = €B' como se muestra en la figura 11.20. En vista de que la sección de línea está en corto (y~ = (0), su longitud d se determina hallando la distancia de P cc (en el cual z~ = O+ jO) a la admitancia requerida de la sección Ys'En lo que se refiere a la sección en A, d = dA se obtiene como la distancia de P a A', donde A' corresponde a Ys = -jb, situado en la periferia del diagrama, como se advierte en la figura. De igual manera, d = dB se obtiene como la distancia de Pcc a B (ys = jb). I

Se obtienen

así d

= dA Y d = dB' correspondientes

a A y B, respectivamente,

como se

observa en la figura 11.20. Repárese en que es invariable que dA + dB = Al2. Entre las dos posibles secciones en derivación, normalmente se opta por acoplar la más corta o la más cercana a la carga. Cuando se opta por dos secciones en la línea en lugar de una sola sección derivada, se efectúa un acoplamiento con doble sección de línea, en el cual se tiene en cuenta el ajuste de la impedancia de la carga.

C. Línea ranurada (medición de la impedancia) A altas frecuencias es muy difícil medir la corriente y el voltaje, ya que el tamaño de los dispositivos de medición aumenta excesivamente y cada circuito se convierte en una línea de transmisión. La línea ranurada es un dispositivo simple para determinar la impedancia de una carga desconocida en altas frecuencias, hasta la región de los gigahertz. Consiste en una sección de línea en el aire (sin pérdidas) con una ranura en el conductor externo, como se advierte en la figura 11.21. Una sonda en la línea a lo largo del campo E (fig. 11.4) muestrea este campo, lo que permite medir la diferencia de potencial entre el propio sensor y su revestimiento externo. La línea ranurada suele emplearse junto con el diagrama de Smith para determinar la razón de onda estacionaria s (la razón del voltaje máximo al voltaje mínimo) y la impedancia de la carga Z L"El valor de s se obtiene directamente del detector cuando está conectada la carga. Para hallar el de Z Lola carga se reemplaza por un cortocircuito y se identifica en la escala la posición de los voltajes mínimos (cuya determinación es más precisa que la de los máximos a causa de la nitidez del punto de cambio). Puesto que las impedancias se repiten cada semilongitud de onda, cualquier voltaje mínimo puede elegirse como punto de referencia de la carga. Posteriormente se determina la

508.

UNEAS

DE TRANSMISiÓN.

Al detector Sonda

t

Línea ranurada

)

LI""J.."~~"..~.J",,,J'm ~~roit" Escala calibrada (a)

(b) Figura 11.21. (a) Línea ranurada común; (b) determinación de la ubicación de la impedancia de la carga Z L y de Vmíoen la línea.

distancia del punto de referencia a la carga reemplazando el cortocircuito por la carga e identificando la posición de los voltajes mínimos. La distancia f (la distancia de Vmín a la carga) en términos de A permite ubicar la posición de la carga de un círculo s en el diagrama, como se muestra en la figura 11.22. La carga también podría localizarse mediante f', la distancia de V mínal generador. Así, para localizar f es posible utilizar f' o ZL' En síntesis, el procedimiento de empleo de la línea ranurada es el siguiente: 1. Conectada la carga, se obtiene s en el detector, valor con el que se traza el círculo s en el diagrama de Smith. 2. Tras reemplazar la carga por un cortocircuito, se elige una posición de voltaje mí-

nimo como punto de referencia de ZL3. Nuevamente conectada la carga, se identifica la posición de Vmíny se determina f. 4. En el diagrama de Smith, se avanza hacia la carga una distancia f desde la ubicación de VmínYse halla Z L en ese punto.

f

= distancia

hacia la carga

f' = distanciahacia el generador Círculos

Figura 11.22. Determinación de la impedancia de la carga con base en el diagrama de Smith empleando los datos obtenidos en la línea ranurada.

11 .6. ALGUNAS APLICACIONESDE LfNEASDE TRANSMISiÓN.

Ejemplo 11.6

509

Un indicador de onda estacionaria registra s = 2 en una línea ranurada en el aire conectada a una carga desconocida, en tanto que la escala ubica los mínimos en 11 cm, 19 cm,. . . Reemplazada la carga por un cortocircuito, los mínimos se sitúan en 16 cm, 24 cm,. . . Si 20 = 50 n, calcule A, f y 2 L" Solución: Considérense los patrones de onda estacionaria que aparecen en la figura 11.23(a). De ella se deduce que A - = 19 - 11 2

f=!!:.= A

= 8 cm

o

A = 16 cm

3X108 16 X 10-2 = 1.875 GHz

En términos eléctricos, la carga puede situarse a 16 cm o 24 cm. Si la suponemos a 24 cm, se encuentra a una distancia f de Vmin'donde

5 f = 24 - 19 = 5 cm = -A = O3125A 16 .

..

Figura 11.23. Determinación de ZL mediante una línea ranurada: (a) patrón de ondas, (b) diagrama de Smith para el ejemplo 11.6.

vV~~::,,,g, .' . . . cortocircuito I

11 16

I

19 24

1""""""

27 32

(a) 90°

0°

:t 1800

-90° (b)

.

510.

líNEAS

DE TRANSMISiÓN

Esto corresponde a un desplazamiento angular de 0.3125 X 7200 = 2250 en el círculo s = 2. Partiendo de la posición de VmínYavanzando 2250 hacia la carga (en dirección contraria a la de las manecillas

del reloj), se llega a la ubicación

de

zv

como se ilustra en la

figura 11.23(b). Así, ZL = lA + jO.75

y ZL = ZoZL = 50 (lA + jO.75) = 70 + j37.5 O Ejercicio 11.6 Las siguientes medidas se tomaron usando la técnica de la línea ranurada: con carga, s = 1.8, Vmáxocurrió en 23 cm, 33.5 cm, . . .; con cortocircuito, s = 00,Vmáxocurrió en 25 cm, 37.5 cm, . . . Si Zo = 50 O, determine Z¿Respuesta: 32.5 - j17.5 O.

Ejemplo 11.7

Una antena con impedancia 40 + j30 O debe ser acoplada con una línea sin pérdidas de 100 O mediante una sección de línea en corto. Determine a) La admitancia requerida de la sección de línea. b) La distancia entre la sección y la antena. e) La longitud de la sección. d) La razón de onda estacionaria en cada segmento del sistema. Solución: ZL a) ZL = Zo

=

40 + j30

= .04 + jO.3

iAA

Se localiza ZL en el diagrama de Smith, como se indica en la figura 11.24, y desde ahí se traza el círculo s de tal manera que YL se ubique en la posición diametralmente opuesta a Z¿-Así, YL = 1.6 - j1.2. Opcionalmente, YL puede encontrarse mediante Zo

YL = ZL

= 1.6 = 40 100 + j30

j1.2

Se determinan los puntos A y B donde el círculo s interseca con el círculo g

= 1. En

A, Y s = - j1.04 y en B, Ys = +j1.04. De este modo, la admitancia requerida de la sección

de línea es

Ys

=

YoYs

=

:tj1.04 1~0

=

Tanto jlOA mS como - jlOA mS son valores posibles.

:tj10A mS

11.6.

ALGUNAS APLICACIONES DE LiNEAS DE TRANSMISiÓN.

511

Figura 11.24. Para el ejemplo 11.7.

b) Con base en la figura 11.24, se determina la distancia entre la carga (antena en este caso) YL y la sección de línea. En A,

En E,

512.

líNEAS

DE TRANSMISiÓN

e) Se localizan los puntos A' y B' correspondientes a la admitancia de la sección de línea - j1.04 y j1.04, respectivamente. Se determina entonces la longitud de la sección (distancia de Peea A' y B'): - 88° Á = 0.122~ dA - 720° 272°Á = 0.3778Á dB = 7200 Nótese que dA + dB = O.5Á,como era de esperar. d) De acuerdo con la figura 11.24,s = 2.7. Ésta es la razón de onda estacionaria en el segmento de la línea entre la sección y la carga (fig. 11.18), mientras que a la izquierda de la sección s = 1, a causa del acoplamiento de la línea, y a lo largo de la sección s = 00,ya que la sección está en cortocircuito. Ejercicio 11.7 Una línea sin pérdidas de 75 a debe acoplarse con una carga de 100 - j80 a mediante una sección de línea en cortocircuito. Calcule la longitud de la sección, su distancia desde la carga y su admitancia requerida. Respuesta:

eA = 0.093Á, eB = 0.272Á, dA = 0.126Á, dE = 0.374Á, "i:.j12.67 mS.

t11.7. Transitorios en líneas de transmisión Hasta aquí hemos supuesto que una línea de transmisión opera a una sola frecuencia. Sin embargo, en aplicaciones prácticas como las redes de cómputo es posible enviar por la línea señales de impulsos. De acuerdo con el análisis de Fourier, un impulso puede considerarse como una superposición de ondas de muchas frecuencias. Así, la difusión de una señal de impulsos en la línea equivale a la transmisión simultánea de ondas de diferente frecuencia. Según el análisis de circuitos, entre el encendido de una batería o generador de impulsos conectado a una línea de transmisión y la consecución de valores estables por la corriente y el voltaje en la línea transcurre cierto periodo de transición, llamado transitorio. El comportamiento del transitorio inmediatamente después del cierre del interruptor (o provocado por descargas causadas por rayos) suele analizarse en el ámbito de la frecuencia con la ayuda de la transformada de Laplace. En afán de simplificación, aquí trataremos este problema en el ámbito temporal. Considérese la línea sin pérdidas de longitud e e impedancia característica Zo que se ilustra en la figura l1.25(a). Supongamos que esta línea es alimentada por un generador de impulsos de voltaje Vg con impedancia

interna Zg en

z = O Y que

termina en una car-

ga resistiva pura Z¿- En el instante t = Ode cierre del interruptor, la corriente de arranque sólo "ve" Zg y Zo' de manera que la situación inicial puede describirse con el circuito equivalente que aparece en la figura l1.25(b). Con base en esta figura, la corriente de arranque en z = O,t = 0+ está dada por

(11.60)

11.7.

z=o

TRANSITORIOS EN LfNEASDE TRANSMISiÓN

.

513

z=l (a)

(b)

Figura 11.25. Transitorios en una línea de transmisión: (a) línea alimentada

por un generador de impulsos,(b) circuito equivalente en z = O,t = 0+. y el voltaje inicial es (11.61) Tras cerrar el interruptor, las ondas 1+ = lo YV+ = Vo se propagan hacia la carga a la velocidad

1

u=VEC

(11.62)

Puesto que esta velocidad es finita, transcurre cierto tiempo hasta que las ondas, de dirección positiva, llegan a la carga e interactúan con ella. La presencia de la carga no ejerce ningún efecto en las ondas antes del periodo de transición, dado por f

tI =

-¡¡

(11.63)

Las ondas llegan a la carga luego de tI segundos. El voltaje (o la corriente) en la carga es la suma de los voltajes (o corrientes) incidente y reflejado. Así, (11.64) y (11.65) donde r L es el coeficiente de reflexión de la carga, dado en la ecuación (11.36); es decir,

(11.66) Las ondas reflejadas V- = r L Vo e 1- = - r Llovuelven al generador junto con las ondas Vo e lo que ya se encuentran en la línea. Las ondas reflejadas llegan al generador en el instante t = 2tl' de manera que

514.

UNEAS

DE TRANSMISiÓN

f=fL Z=€

f=fG Z=O t= O

(a) Figura

f= -fL Z=€

f=-f G Z=O t=O

(b)

11.26. Diagrama de rebote de (a) una onda de voltaje

y (b) una onda de corriente.

o (11.67) e

o (11.68)

1(0,2t1) = (1 - f L + f Lf G)lo donde f Ges el coeficiente de reflexión del generador, dado por

(11.69) Las ondas reflejadas (en el extremo del generador) V+ = f Gf LVo e 1+ = f GfLlo se propagan de nuevo hacia la carga, y el proceso continúa hasta que los resistores Zg y ZL absorben la energía del impulso. Rastrear los reflejos en un díagrama de rebote o retícular es más sencillo que perseguir las ondas de voltaje y corriente en su trayecto de un extremo a otro. Tal diagrama consta de una línea en zigzag que indica la posición de la onda de voltaje (o de corriente) respecto del extremo del generador, como se ilustra en la figura 11.26. Para determinar el valor del voltaje (o de la corriente) en cualquier momento, basta añadir los valores asignados en el diagrama al momento respectivo.

Ejemplo

Con referencia a la línea de transmisión que aparece en la figura 11.27, calcule y trace 11.8

a) El voltaje en los extremos de la carga y el generador en O < t

< 6 ¡LS.

b) La corriente en los extremos de la carga y el generador en O < t < 6 ¡LS.

11.7. TRANSITORIOS EN LfNEASDETRANSMISiÓN.

1000

11 12V

515

Figura 11.27. Para el ejemplo 11.8.

t=O -C Zo=500 u = lOSmis

I

c::: ¡..

100m

Solución: a) Se calculan primero los coeficientes de reflexión por voltaje en los extremos del generador y la carga. r

Zg - Zo 100 - 50 1 -G - Zg + Zo - 100 + 50 - 3

r L

- ZL - Zo - 200 - 50 - ~ Zo - 200 + 50 - 5

- ZL +

. . ., e 100 1 El peno do d e translclon tI = -u = ---s 10 = ¡J-S. El voltaje inicial en el extremo del generador es

-

Zo

- 50

-

V

Vo - Zo + Zg Vg - 150 (12) - 4

= tI = 1 ¡J-S. Luego de ser reflejada una porción del impulso,4(3/5) = 2.4V,ésta llega al generador en t = 2t1 = 2 ¡J-S.En el generador se refleja 2.4(1/3) = 0.8 Yasí sucesivamente.El proceso completo se ilustra en el diagrama de rebote del voltaje que aparece en la figura 11.28. Remitidos a la carga estos 4 V, la punta del impulso llega a la carga en t

fG=1I3

z=O t=o V=4

=

fL 3/5 z=f V=O

2t1

v = 4 +

2.4+

0.8 = 7.2

4t1 v = 7.2 + 0.48+

0.096+

0.48 = 7.68

0.16 = 7.84

6t1 v = 7.84 +

v = 6.4 + 0.8+

0.032

v = 7.68 + 0.16+

0.096

= 7.936

= 7.968

v = 7.936

+ 0.03+

Figura 11.28. Diagrama de rebote del voltaje para el ejemplo 11.8.

0.02

= 7.986

516

.

líNEASDETRANSMISiÓN

Con base en este diagrama de rebote es posible trazar VeO,t) y V( f, t) como funciones de tiempo, lo que se muestra en la figura 11.29. En ella se advierte que, a medida que t ~ 00,los voltajes se aproximan a un valor asintótico de

v =

ZL

00

ZL + Zg

V

g

= 200

300(12)

=

8V

Esto era de esperar, dados los circuitos equivalentes en t = OYt = 00 que se presentan en la figura 11.30 (véase el problema 11.46 para efectos de comprobación). b) El coeficiente de reflexión por corriente en los extremos del generador y la carga es

- r G = -1/3 Y- r L = -3/5, respectivamente. La corriente inicial es lo

= Vo =..! Zo 50 = 80mA

Figura 11.29. Voltaje (fuera de escala): (a) en el extremo del generador, (b) en el extremo de la carga.

V(O, t) Volts

8 ----

7.968

4 ~----------

4

2.4

------

,

0.8

,

o

r--~;~;~~~~;~~~~~~

2

4

6

\ 8 0.16 (a)

W

~0 7.936

-~--

~4 4 -----------------

- ---

o

2.4 ---+---

-- -----

.~

11 .7. TRANSITORIOS EN LINEASDETRANSMISIÓN.

(a)

517

(b)

Figura 11.30. Circuitos equivalentes a la línea de la figura 11.27 en (a) t

= O Y (b) t = oo.

También /(0, t) e /( l, t) se obtienen fácilmente del diagrama de rebote, esta vez referido a la corriente, el cual se muestra en la figura 11.31, mientras que en la figura 11.32 se les diagrama como funciones de tiempo. Cabe hacer notar que /(l, t) = V(l, t)/ZL' Por tanto, la figura l1.32(b) puede obtenerse ya sea del diagrama de rebote de la corriente de la figura 11.31 o reproduciendo a escala la figura l1.29(b) por un factor de l/ZL = 1/200. En las figuras l1.30(b) y 11.32 se observa que las corrientes se aproximan a un valor asintótico de

/00

=

Vg Zg

+

ZL

- 12 - 300 = 40 mA

z = o, r = - 1/3

t= O

/=0

/=80 /=80-48=32 /=80-48

+ 16=48 / = 32 + 16- 9.6 = 38.4

/=48-9.6

+ 3.2=41.6 / = 38.4 + 3.2- 1.94= 39.68

/ = 41.6 -1.92 + 0.64 = 40.32

Figura 11.31. Diagrama de rebote de la corriente para el ejemplo 11.8.

518.

UNEAS

DE TRANSMISiÓN

Figura 11.32. Corriente (fuera de escala): (a) en el extremo del generador, (b) en el extremo de la carga, para el ejemplo 11.8.

1(0, tl mA

80 ~------

80

40.32

40 ----

16 ~---------------_.

o

1 1

~---~~~~~----

1

1

21 1

4L

I 1

-1 r ~-IL ,----§_--~ 1_.!..0_--9.6 \ -{).384

-48 ~---

L

t(/LS)

--.-----.

(a) I(e,t)

mA 80

r

-----------

1

1 1 1 32

38.4 39.68 39.94

---40 ----

o

t(¡LS)

(b)

Ejercicio 11.8 Repita el ejemplo 11.8 si la línea de transmisión está en a) Cortocircuito. b) Circuito abierto. Respuestas: a) Véase la figura 11.33. b) Véase la figura 11.34.

V(e, t)

OV

¿

1

~ t(~s)

V(O, t)

---~--_. 4V

4V

4/3

~--I

4/9

[~--

1

2

o

4

J_--~---

l

I I I

1(e, t)

-4/3

6

~-----_.

-4

160mA 124.45 106.67 80 -~~--,

t 2

o

I I I I I

80/9

I

I 141 I

I

~ ~--

---~ ~_.

I

:

I 6

-80/3 1(0,t) 133.33 I

KQmA

115.5

---~ 80~---------_.

80/9

o

I---~~--r---+ I

I 2

I__~ ~-_l

6

4

~

-80/3

Figura 11.33. Para el inciso a) del ejercicio 11.8.

520

.

UNEAS DE TRANSMISiÓN

V(t, t)

12V

11.55 10.67

.

E.... 4V -----

4/3

I----_. ----_. I I

4/9

I

I 2

O

. t(¡.¡.s)

I

4

6

I 4

I 6

l( t, t)

OA

¡

/'

I 2

O

I t(¡.¡.s)

VeO,t)

t

12V

11.11

9.333

J

4V --~~_.

4V

4/3

,.--~~ I O

2

~--

4/9 4

6

8

1(0, t) 80mA

--~

80

o 80/3

80/3

I O

2 I I I I I

---

80/9

4

80/9 6

1__- ~-_. -80/3

~----

-80

Figura 11.34. Para el inciso b) del ejercicio 11.8.

t(¡.¡.s)

11.7. TRANSITORIOS EN LrNEASDETRANSMISiÓN.

Ejemplo 11.9

521

Una línea de transmisión de 75 o. y 60 m de longitud termina en una carga de 1000.. Si un impulso rectangular de 5 /-LSde duración y 4 V de magnitud es emitido por el generador conectado a la línea, trace 1(0, t) e 1(f, t) con relación a O < t < 15 /-LS.Adopte Zg = 25 o. y u = O.le. Solución: En el ejemplo anterior el encendido de una batería generó una función escalonada, un impulso de duración o anchura infinita. En este ejemplo, el impulso es de una anchura finita de 5 /-LS.Calculemos primero los coeficientes de reflexión por voltaje:

= ZZg +-

fG

Zo - _.! Zo - 2

g

f L

ZL - Zo - .! - 7

= ZL + Zo

El voltaje inicial y el periodo de transición están dados por Zo Vo t1

=

75

= 100 (4) = 3 V

Zo + Zg Vg

-- -f = u

60

0.1 (3 X 108)

= 2/-Ls

El tiempo que tarda Vo en su trayecto de un extremo a otro es 2t1 = 4 /-Ls,menor que la duración del impulso, de 5 /-LS.Por tanto, habrá empalme. El coeficiente de reflexión por corriente es 1

L

.

"'

11

a comente m1C1a

o

f

= -7

L

1 -fG ="2

y

Vg

4

= Zg + Zo =

100

=

40A

m.

Sean i y r losimpulsosincidentey reflejado,respectivamente.En el extremo del generador: 0J4 Línea 3 20

11.43. Una línea sin pérdidas de 60.0. que termina en una carga ZL tiene una onda de voltaje como la que se muestra en la figura 11.52. Halle s, r y Zu 11.44. Las siguientes medidas procedentes de una línea ranurada corresponden a un sistema de 50 .0..Con carga: s = 3.2 YVmínadyacentes ocurren en 12 cm y 32 cm (la cifra más alta se presenta del lado de la carga); con cortocircuito: Vmínocurre en 21 cm. Halle la frecuencia de operación y la impedancia de la carga. 11.45. Una línea ranurada en el aire de 50.0. se aplica a la medición de una impedancia de carga. Los mínimos adyacentes se encuentran a 14 cm y 22.5 cm de la carga cuando la carga desconocida está conectada y Vmáx= 0.95 V Y Vmín = 0.45V.Cuando la carga es reemplazada por un cortocircuito, los mínimos ocurren a 3.2 cm de la carga. Determine s,f, r y ZL' **11.46. Demuestre que en lo relativo a un voltaje de corriente directa Vg activado en t la figura 11.30), los valores asintóticos (t« f/u) de V( €, t) e I( €, t) son

= O(véase

e 11.47. Una línea sin pérdidas de 60 .o.está conectada a un generador de impulsos de 40 .0..La línea es de 6 m de largo y terDÚnaen una carga de 100 .0..Si un impulso rectangular de 5f.1,de duración y 20 V de magnitud es emitido en la línea, halle V(O,t) e I( €, t) respecto de O::St ::S10 f.l,S. Adopte

u

=3

X 108 mis.

11.48. El interruptor que aparece en la figura 11.53 se cierra en t = O.Traceel voltaje y la corriente en el lado derecho del interruptor

respecto de O < t < 6f/u. Adopte

Zo

= 50

.o. y f/u

=2

Suponga una línea de transmisión sin pérdidas.

e3 Yent3

--- el Yentl . 2

-1 «

Figura 11.51. Para el problema 11.39.

f.l,S.

540

.

UNEASDETRANSMISiÓN

Figura 11.52. Para el problema 11.43.

I 50

I 45

I 40

I 35

I 30

I 25

I 20

I 15

I 10

I 5

1 O

11.49. Con referencia al sistema que aparece en la figura 11.54, trace V( f, t) e /( f, t) en el caso de 0 [ ':7T r + [n; r

y = jf3,

a=O

550

.

GUíAS DEONDAS

lo cual quiere decir que, con base en la ecuación (12.25), la constante de fase f3 se convierte en (12.27) Éste es el único caso en el que hay propagación, ya que todas las componentes de campos poseerán el factor e-YZ = e-jf3z. A cada modo, caracterizado por un conjunto de enteros m y n, le corresponde así una frecuencia de corte fc' La frecuencia de corte es la frecuencia de operación por debajo de la cual ocurre atenuación y por encima de la cual ocurre propagación. De esta manera, la guía de ondas opera como filtro de paso alto. La frecuencia de corte se obtiene de la ecuación (12.26) como

o u' fc

dondeu' = .

l

= 2: \j

m

2

n

2

( ) + (b) --;;

(12.28)

~ = velocidad de fase de una onda plana uniforme en el medio dieléc-

v ¡.Le . trico sin pérdidas (O"= O,¡.L,e) que ocupa la guía de ondas.La longitud de onda de corte Ácestá dada por

o (12.29)

Cabe referir con relación a las ecuaciones (12.28) y (12.29) que MTll es el modo MT con la menor frecuencia de corte (o la mayor longitud de onda de corte). La constante de fase f3 de la ecuación (12.27) puede expresarse en términos de fc como

12.3.

MODOS MAGNÉTICOSTRANSVERSALES(MT)

.

551

o

(12.30)

donde f3' = w/u' = wV;;; = constante de fase de una onda plana uniforme en el medio dieléctrico. Vale señalar que 'Ypara el modo evanescente puede expresarse en términos de fe' de esta manera: (12.30a)

La velocidad de fase up y la longitud de onda en la guía están dadas respectivamente por

(12.31)

La impedancia intrínseca de onda del modo se obtiene de la ecuación (12.23) como (A = jf3)

o (12.32)

donde r¡' = -v;;:k = impedancia intrínseca de una onda plana uniforme en el medio. Repárese en la diferencia entre u', f3' y r¡', por una parte, y u, f3 y r¡ por la otra. Las cantidades primas son características de onda del medio dieléctrico no delimitado por la guía de ondas, como se explicó en el capítulo 10 (es decir, referentes al modo ET). Por ejemplo, u' sería la velocidad de la onda si se eliminara la guía de ondas y el dieléctrico ocupara todo el espacio. Las cantidades no primas son características de onda del medio delimitado por la guía de ondas. Como ya se mencionó, los enteros m y n indican el número de variaciones de medio ciclo en la sección transversal x-y de la guía. En la figura 12.4 se presenta, por ejemplo, la configuración de campos en un momento fijo correspondiente al modo MT 21'

552

.

GUfASDEONDAS

Vista de un extremo

y

Vista lateral

27t~' x

=\\tr?== ..z

-

m=2

Campo E CampoH

Figura 12.4. Configuración de campos correspondiente al modo MT21.

12.4. Modos eléctricos transversales (eT) En los modos eT, el campo eléctrico es transversal (o normal) a la dirección de propagación de la onda. Se fija Ez = OYse determinan las demás componentes de campos Ex,Ey, Rx, Ry YRz a partir de las ecuaciones (12.12) y (12.15) Ylas condiciones en la frontera, tal como se hizo en los modos MT. Las condiciones en la frontera resultan del hecho de que las componentes tangenciales del campo eléctrico deben ser continuas en las paredes de la guía de ondas; es decir,

=O

en

y=O

(12.33a)

Exs = O

en

y=b

(12.33b)

Eys = O

en

x=O

(12.33c)

Eys = O

en

x=a

(12.33d)

Exs

Con base en las ecuaciones (12.15) y (12.33), las condiciones en la frontera pueden expresarse como

aRzs -=0 ay aRzs -=0 ay aRzs -=0 ax

en

y=O

(12.34a)

en

y=b

(12.34b)

en

x=O

(12.34c)

aRzs -=0 ax

en

x=a

(12.34d)

La imposición de estas condiciones en la frontera a la ecuación (12.12) produce

R

zs

m7Tx

n7TY

a

b

( ) cos (- ) e-YZ

= R cos o

(12.35)

12.4. MODOS EL~CTRICOS TRANSVERSALES (er)

.

553

donde Ho = BIB3' Las demás componentes de campos se obtienen fácilmente de las ecuaciones (12.35) y (12.15), en esta forma:

E

xs

E

~

= jC1Jp, -

n7T

H cos

b

jC1Jp,

-

o

n7TY b

sen

a

m7T

-

m7TX

e-Yz

n7TY

o

'Y

m7T

H

= xs h2 a

H

h2 b

ys

m7TX

( ) ( ) ( ) = -H sen ~ (a ) ( a ) cos (- b )e-Yz ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) h2

-

'Y

n7T

m7TX

H sen o

H cos o

-

a

m7TX

-

a

n7TY

cos

sen

-

e-Yz

b

n7TY

-

e-Yz

b

(12.36a)

(12.36b)

(12.36c)

(12.36d)

donde m = O,1,2, 3,. . .; n = O,1, 2, 3,. . .;h Y'Yson como se les definió en el caso de los modos MT. También esta vez m y n denotan el número de variaciones de medio ciclo en la sección transversal x-y de la guía. En la figura 12.5 aparece, por ejemplo, la configuración de campos del modo eT32' La frecuencia de corte fe' la longitud de onda de

corte Áe' la constante de fase {3,la velocidad de fase up y la longitud de onda Á de los modos eT son iguales a "lasde los modos MT [véanse las ecuaciones (12.28) a (12.31)]. En el caso de los modos eT, (m, n) puede ser (O,1) o (1, O),pero no (O,O);m y n no pueden equivaler a cero al mismo tiempo, porque ello forzaría a las componentes de campos de la ecuación (12.36) a tender a cero. Esto implica que eTlOo eTOl pueden ser el modo menor, dependiendo de los valores de a y b, las dimensiones de la guía. Es común que a > b, de manera que l!a2 < l!b2 en la ecuación (12.28). Así, eTlOes el modo menor, u' u' porque fe'T. = 2a < f e,T. = 2b . Este modo se llama modo dominante de la guía de ondas

x Vistade un extremo

Vista superior

Dirección de propagación ~

m=3

n=2

~z

y

-

---

CampoE Campo H

Figura 12.5. Configuración de campos correspondiente al modo eT32.

554

.

GUíAS DEONDAS

y posee importancia práctica. La frecuencia de corte del modo eTlOse obtiene de la ecuación (12.28) como (m = 1,n = O)

u' fclO= 2a

(12.37)

en tanto que la longitud de onda de corte del modo eTlOse obtiene de la ecuación (12.29) como A

C10

= 2a

(12.38)

Nótese que, de acuerdo con la ecuación (12.28), la frecuencia de corte de MTll es

u'[a2 + b2F/2 2ab lo cual es mayor que la frecuencia de corte de eT1Q.En consecuencia, MTll no puede considerarse el modo dominante. El modo dominante es el modo con la menor frecuencia de corte (o con la mayor longitud de onda de corte). Adviértase asimismo que en la guía no se propagará ninguna onda electromagnética con frecuencia f < fclO(o A > ACtO). La impedancia intrínseca de los modos eT no es igual a la de los modos MT. De la ecuación (12.36) se deduce claramente que ('Y = jf3) E

1JeT

= -Hx

y

-

-

--

Ey

Hx

= -WJL f3

o

(12.39)

Cabe hacer notar respecto de las ecuaciones (12.32) y (12.39) que 1JeTY1JMTson puramente resistivas y varían con la frecuencia, como se muestra en la figura 12.6. Repárese también en que (12.40) En la tabla 12.1 aparecen importantes ecuaciones de los modos MT y eT para su rápida consulta.

12.4. MODOS

ELÉCTRICOS

Figura

r¡

TRANSVERSALES

12.6. Variación

de onda

(ET)

.

555

de la impedancia

con la frecuencia

en los modos

eT y MT. I I

I

I

I

I

t----------

r¡'

I

I

I

I

I

I

11

f

o

Tabla 12.1. Ecuaciones

importantes

para

los

modos MT yeT.

Modos MT

= --jf3 -

m'1T

m'1Tx

Modos eT jWJ1.

n'1TY

E =-

X$

h2a

jf3

E H

=E

"O

n'1T

m'1Tx

Y'

a

b

m'1Tx

n'1TY

m'1Tx

n'1TY

a

b

h2

m'1T

a

m'1Tx

o

a

m'1Tx

n'1TY

n'1T

n'1TY

b

m'1Tx

m'1Tx

71' 71=

u'

f

m

ti' Ác=¡;

2

n

2

( ) ()

fc=-:¡'V -;

n'1TY

( ) ( )cos (be-Y') jf3 H =H cos Y'h2b ( ) o ( a ) sen (- b )e-Y' H = H cos "O ( a )cos (- b )e-Y'

H" =0

donde

b

m'1T

m'1Tx jf3 m'1T Hxs = h2 ---;;- Ho sen ---;;-

( ) E sen (- ) cos (- )e-Y' (- ) Ecos (- ) sen(- ) e-Y'

= --jW8

n'1TY

a

E" = O

b

o

o

jWJ1.

n'1TY

a

n'1T

xsh2b

(- )sen (- )e-Y'

jW8 n'1T =-

xsh2b

H

sen

o

m'1Tx

(- ) H cos (- )sen (- )e-Y' E = -- H sen Y' h2 ( a ) o ( a )cos(- b )e-Y'

( ) Ecos (- ) sen (- ) e-Y' E = -E sen Y' h2b( ) o ( a )cos (- b ) e-Y' E

+ b

FUi r

n'1TY

n'1TY

556

.

GUfASDEONDAS

De las ecuaciones (12.22), (12.23), (12.35) Y(12.36) se obtienen los patrones de campos de los modos MT y eT. En el caso del modo dominante eT10'm = 1 Yn = O,de forma que la ecuación (12.35) se convierte en

Hzs = Ho cos

En el ámbito temporal,

(:x )

(12.41)

e-j{3z

Hz = Re (H zsejwt) o Hz = Ho cos

( :x) cos(wt-

(12.42)

{3z)

De igual manera, a partir de la ecuación (12.36), 7TX

WlLa

Ey

( ) = ---:;¡ Ho sen (--;; ) sen(wt - {3z) {3a

Hx

Ez

(12.43a)

= :;:- Hosen --;; cos(wt- {3z) 7TX

(12.43b) (12.43c)

= Ex = Hy = O

Figura 12.7. Variación de las componentes de campos con x en el modo eTlO' x

o

(a)

X~

a (b) x

(e)

12.4. MODOS

y

EL~CTRICOSTRANSVERSALES (ET)

. 557

Figura 12.8. Líneas de campos del modo eTlO'

Vista de un extremo

------

--x

(a) y Vista lateral

z

.

Direcciónde propagación (b)

Vista superior

{

~I ,11 /---,

111 1 \

,

~I ,1,l'11 /---,

ttHtt

J 1 11 \ b < e, esto implica que l/a < 1/b > l/e, y de ahí que el modo dominante sea eT101'Nótese que cuando a > b < e, la frecuencia resonante del modo MTuo es mayor que la del modo eT101;por tanto, eT101es el modo dominante. A modos diferentes con igual frecuencia resonante se les llama modos degenerados; un modo dominará a los demás según la forma de excitación de la cavidad.

Una cavidad resonante práctica tiene paredes de conductividadfinita (Je y,por tanto, puede perder energía almacenada. El factor de calidad Q permite determinar esa pérdida.

12.8. RESONADORES DE GUfASDEONDAS.

579

El factor de calidad es asimismo una medida del ancho de banda de la cavidad resonadora. Se le puede definir como Q

Energía promedio = 27T . P ' d .d d '

temporal almacenada . ', .1 d 1 er 1 a e energla por ClCo e OSClaClOn (12.89)

donde T = 11f = el periodo de oscilación, P L es la pérdida de potencia promedio temporal en la cavidad y W es la energía total promedio temporal almacenada en los campos eléctrico y magnético dentro de la cavidad. El Q de una cavidad resonad ora suele ser muy grande en comparación con el de un circuito resonante RLC. Siguiendo un procedimiento similar al utilizado en la deducción de ae en la sección 12.6, es posible demostrar que el factor de calidad del modo dominante eT101está dado por3

(12.90)

donde B

=

.

1

7T f lOl¡,Lo(T

Ejemplo 12.8

es la profundidad pelicular de las paredes de la cavidad. e

En el caso de una cavidad resonante de cobre «(Te= 5.8 X 107mhos/m) rellena de aire y con dimensiones a = 5 cm, b = 4 cm y e = 10 cm, halle a) Los cinco modos de menor orden. b) El factor de calidad del modo eT101. Solución: a) La frecuencia resontante está dada por

donde

u ' --

1

=e

V;;; ¡,Le

3 Para efectos de comprobación, véase S.V. Marshall y G. G. Skitek, Electromagnetic Concepts and Applications, 3a. ed., Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1990, pp. 440-442.

580.

GurAS DE ONDAS

Por tanto, 3 X 108

f,. =

2

I

2 2 2 m n P V [ 5 X 10-2] + [ 4 X 10-2] + [ 10 X 10-2]

= 15YO.04m2 + 0.0625n2 + 0.01p2 GHz Puesto que e > a > b Ol/e < l/a < l/b, el modo de menor orden es eTlOl'Adviértase que MT101y eT100no existen, ya que m = 1,2,3,. . ., n = 1,2,3,. . . y p = 0,1,2,3,. . . en los modos MT y m = 0,1,2,. . ., n = 0,1,2,. . . y p = 1,2,3,. . . en los modos eT. La frecuencia resonante del modo eT101es

= 15YO.04 + O + 0.01 = 3.335GHz

Ir101

El modo menor inmediatamente siguiente es eTon (MTon no existe), con

f,r = 15YO + 0.0625+ 0.01 = 4.04GHz 011

El modo siguiente es eT102(MT102no existe), con Ir102= 15YO.04 + O + 0.04 = 4.243 GHz El modo siguiente es MTno (eTno no existe), con

f,r = 15YO.04 + 0.0625+ O = 4.8 GHz 110

Los dos modos siguientes son eT111y MT111(modos degenerados), con

= 15YO.04 + 0.0625+ 0.01 = 5.031GHz

f,r

111

El modo siguiente es MT103'con f,r

103

= 15YO.04 + O+ 0.09 = 5.408GHz

De menor a mayor, así, los cinco modos de menor orden son eT101 eTon eT102 MTno eT111 o MT111

(3.35 GHz) (4.04 GHz) (4.243 GHz) (4.8 GHz) (5.031 GHz)

b) El factor de calidad de eT101está dado por QT

=

e 101

-

(a2 + e2) abe

8[2b(a3+ e3) + ae(a2+ e2)] (25 + 100) 200 X 10-2 8[8(125 + 1000) + 50(25 + 100)]

=~

618

=

Y7TIIOIJLoUc

= Y 7T(3.35X

= 14358

61 109) 47T X 10-7 (5.8 X 107)

61

RESUMEN.

581

Ejercicio 12.8 Si la cavidad resonante del ejemplo 12.8 está rellena de un material sin pérdidas (¡.L,= 1,8, = 3), halle la frecuencia resonante f,-y el factor de calidad del modo eT101' Respuesta: 1.936 GHz, 1.093 x 104.

Resumen

1. Las guías de ondas son estructuras para encauzar ondas electromagnéticas a altas frecuencias. En el análisis de la propagación de ondas electromagnéticas en una guía de ondas rectangular sin pérdidas (O"e= 00, O"= O)se aplican las ecuaciones de Maxwell. La resultante ecuación diferencial parcial se resuelve con el método de separación de variables. De la aplicación de las condiciones en la frontera a las paredes de la guía se obtienen las fórmulas básicas para la guía según el modo de operación. 2. MT mn y eT mn' donde m y n son enteros positivos, son dos modos de propagación (o pa-

trones de campos). En los modos MT,m = 1,2,3,. . . y n = 1,2,3,. . . y en los modos eT, m = O,1,2,. . . y n = O,1,2,. . ., n = m =1= O. 3. Con cada modo de propagación se asocian una constante de propagación y una fre-

a + jf3 depende no sólo de los parámetros constitutivos (8, ¡.L,0") del medio, como en el caso de ondas planas en un espacio no delimitado, sino también de la dimensiones de la sección transversal (a, b) de la guía. La frecuencia de corte es la frecuencia en la que 'Y pasa de puramente real (atenuación) a puramente imaginaria (propagación). El modo dominante de operación es el menor modo posible, aquel con la menor frecuencia de corte. Si a > b, el modo dominante es eTlO' 4. Las ecuaciones básicas para calcular la frecuencia de corte fe' la constante de fase f3y la velocidad de fase u se resumieron en la tabla 12.1. También se proporcionaron fórmulas para calcular las constantes de atenuación debidas a un medio dieléctrico disipativo y a paredes imperfectamente conductoras.

cuenciade corte.La constantede propagación'Y =

5. La velocidad de grupo (o velocidad del flujo de energía) Ugse relaciona con la velocidad de fase up de la propagación de onda de acuerdo con

uPug = u'2 donde u' = l/V¡;;

es la velocidad del medio, es decir, la velocidad de la onda en el

medio dieléctrico no delimitado por la guía. Aunque up es mayor que u', up no excede de Ug' 6. El modo de operación de una guía de ondas está determinado por el método de excitación. 7. Una cavidad resonante de una guía de ondas sirve para almacenar energía a altas frecuencias. No es sino una guía de ondas acortada en ambos extremos, de ahí que su análisis sea similar al de aquélla. La frecuencia resonante de los modos tanto eT como MT a z está dada por

582.

GUfAS DE

ONDAS

En los modos MT, m = 1,2,3,. . ., n = 1,2,3,. . . y p = 0,1,2,3,. . . y en los modos eT, m = O,1,2,3,. . ., n = 0,1,2,3,. . . y p = 1,2,3,. . ., m = n *- O.Si a > b < e, el modo dominante (aquel con menor frecuencia resonante) es eT101. 8. El factor de calidad, el cual mide la pérdida de epergía en la cavidad, está dado por W Q = (J)PL

Preguntas de repaso 12.1.

En frecuencias de microondas las guías de ondas son preferibles a las líneas de transmisión para transportar energía electromagnética por las causas siguientes, excepto

grandes. b) Las guías de ondas son de mayor ancho de banda y menor atenuación de señal. a) Las pérdidas en las líneas de transmisión son prohibitivamente e) Las líneas de transmisión son de mayor tamaño. d) Las líneas de transmisión sólo toleran el modo ET. 12.2. Un modo evanescente ocurre cuando a) En una onda se presenta atenuación, no propagación. b) La constante de propagación es puramente imaginaria.

= O = n, de manera que todas las componentes de campos tienden a cero. d) La frecuencia de onda es igual a la frecuencia de corte. c) m

12.3.

El modo dominante en las guías de ondas rectangulares es a) eTll

b)

MTll

c) eTlOt

d) eTIO 12.4.

El modo MTIO puede existir en una guía de ondas rectangular. a) Cierto. b) Falso.

12.5.

¿Cuáles de las siguientes

a) Ex b) Ey c) Ez d) Hx e) Hy

componentes de campos existen en el modo eT30?

PROBLEMAS.

12.6.

583

En una guía de ondas rectangular en la que a = 2b Yen la que la frecuencia de corte del modo eT02es de 12 GHz, la frecuencia de corte del modo MTn es de a) 3 GHz b)

3V5 GHz

e) 12 GHz d)

6V5 GHz

e) Ninguna de las anteriores.

12.7. Dentro de un túnel con sección transversal de 4 por 7 m, un automóvil no recibirá una señal de radio AM (f = 10 MHz, por ejemplo). a) Cierto. b) Falso. 12.8.

Cuando el campo eléctrico alcanza su máximo valor, la energía magnética de una cavidad se encuentra en a) Su máximo va,lor. b)

v'2 de su máximovalor. 1

e) v'2 de su máximovalor. d) 1/2 de su máximo valor. e) Cero. 12.9.

¿Cuál de los modos siguientes no existe en una cavidad resonante rectangular? a) eTno b) eTon e) MTno d) MT111

12.10. ¿Cuántos modos dominantes degenerados existen en una cavidad resonante rectangular en la que a = b = e? a) O b) 2 e) 3 d) 5 e) 00 Respuestas: 12.1c, 12.2a, 12.3d, 12.4b, 12.5b, d, 12.6b, 12.7a, 12.8e, 12.9a, 12.lOc.

Problemas

I

12.1. a) Demuestre que una guía de ondas rectangular no tolera los modos MTIOy MTO\' b) Explique la diferencia entre los modos eTmny MT mn'

584.

CUrAS DE ONDAS

12.2. Si una guía de ondas de 2 por 3 cm rellena de un material dieléctrico con 8r = 4 opera a 20 GHz en el modo MTn, halle: a) la frecuencia de corte, b) la constante de fase, e) la velocidad de fase. 12.3. Una guía de ondas de 1 X 2 cm está ocupada por agua desionizada con 8r = 81. Si la frecuencia de operación es de 4.5 GHz, determine: a) todos los posibles modos de propagación y sus frecuencias de corte, b) la impedancia intrínseca del modo mayor, e) la velocidad de grupo del modo menor. 12.4. Diseñe una guía de ondas rectangular con proporción dimensional de 3 a 1 para usada en la banda k (18-26.5 GHz). Suponga que está rellena de aire. 12.5.

Determine si por túnel diseñado como una guía de ondas metálica rectangular rellena de aire y con dimensiones a = 8 m y b = 16 m pasará a) una señal de radio AM de 1.5 MHz, b) una señal de radio FM de 120 MHz.

12.6.

En una guía de ondas rectangular rellena de aire, la frecuencia de corte del modo eTlOes de 5 GHz, mientras que la del modo eT01es de 12 GHz. Calcule a) Las dimensiones de la guía. b) La frecuencia de corte de los tres modos eT mayores. e) La frecuencia de corte del modo eTn si la guía estuviera ocupada por un material sin pérdidas con 8r = 2.25 Y fLr = 1.

12.7. Una guía de ondas rectangular hueca rellena de aire tiene 150m de largo y está cubierta en un extremo con una placa de metal. Si en su entrada se introduce un impulsoen corto de 7.2 GHz de frecuencia,¿cuánto tiempo tardará el impulsoen volver al mismo punto? Atribuya a la guía una frecuencia de corte de 6.5 GHz. 12.8. Calcule las dimensiones de una guía de ondas rectangular rellena de aire en la que la frecuencia de corte de los modos MTll y eT03es de 12 GHz. Determine si a 8 GHz se propagará o desvanecerá el modo dominante. 12.9. Las dimensiones de la sección transversal de una guía de ondas rectangular rellena de aire son a = 6 cm y b = 3 cm. Puesto que 21TX

Ez

31TY

( ) sen (b )

= 5 sen -;-

cos (1012t - [3z)V/m

calcule la impedancia intrínseca del modo correspondiente y el flujo de potencia promedio en la guía.

12.10. En una guía de ondas rectangular rellena de aire, un modo eT que opera a 6 GHz tiene Ey

= 5 sen(21Tx/a) cos(1Ty/b) sen(wt

- 12z) V/m

Determine: a) el modo de operación, b) la frecuencia de corte, e) la impedancia intrínseca, d) Hx.

PROBLEMAS.

12.11. En una guía de ondas rectangular rellena de aire con a ponente y del modo eT está dada por Ey

585

= 2.286cm y b = 1.016cm, la com-

= sen(27Tx/a) cos(37Ty/b) sen(107T X 101O(-

¡3z) V/m

Halle: a) el modo de operación, b) la constante de propagación /', e) la impedancia intrínseca 1]. 12.12. Deduzca la fórmula aplicable al modo MTll para calcular la potencia promedio transmitida por la guía. 12.13. a) Demuestre que en una guía de ondas rectangular A'

b) Con relación a una guía de ondas rellena de aire con a GHz, calcule up y Á en los modos eTll yeT21.

= 2b = 2.5 cm y que

opera a 20

12.14. Una guía de ondas rectangular de 1 X 3 cm rellena de aire opera en el modo eT12 a una frecuencia 20% más alta que la de corte. Determine: a) la frecuencia de operación, b) la velocidad de fase y de grupo. 12.15. Un transmisor de microondas está conectado con una antena a través de una guía de ondas rellena de aire con sección transversal de 2.5 X 1 cm. Respecto de una transmisión a 11 GHz, halle la razón de a) la velocidad de fase a la velocidad del medio y b) la velocidad de grupo a la velocidad del medio. 12.16. Una guía de ondas rectangular está rellena de polietileno (8 = 2.2580)Yopera a 24 GHz. Si la frecuencia de corte de cierto modo eT es de 16 GHz, halle la velocidad de grupo y la impedancia intrínseca del modo. 12.17. La guía de ondas rectangular cuya sección transversal se muestra en la figura 12.16 presenta discontinuidad dieléctrica. Calcule la razón de onda estacionaria si la guía opera a 8 GHz en el modo dominante. *12.18. El análisis de guías de ondas circulares implica resolver la ecuación escalar de Helmholtz en coordenadas cilíndricas; es decir,

5cm

Figura 12.16. Para el problema 12.17.

~z

586

.

GUrASDEONDAS

o

l.~

(

aEzs

p ap p ap

) + ~p~ acfi + a2Ezs

a2Ezs aZ2

+ k2E = zs

O

Suponiendo la solución de producto Ez.(p,

cf>,Z) = R(p)

cf>(cf» Z(Z)

demuestre que las ecuaciones separadas son:

cf>"

+ k~ cf>= O

p2R"+ pR' + (k~p2- k~) R = O donde

12.19. En el modo eT01'

Exs = Halle

jWJ-L7T bh2 Ho sen(7Ty/b)e-'Yz,

Eys = O

g>prom Y P prom.

12.20. Si una guía de ondas de cobre «(Te= 5.8 X 107 S/m), 1 X 2 cm y rellena de un material dieléctrico con 8 = 2.680' J-L= J-Lo' (Td= 10-4 S/m opera a 9 GHz, evalúe ae y ad de a) eTlO y b) MTu. 12.21. Una guía de ondas cuadrada de 4 cm por lado rellena de un dieléctrico con permitividad compleja 8e = 1680(1 - jlO-4) es excitada con el modo MT21.Si opera a una frecuencia 10% superior a la de corte, calcule la atenuación ad. ¿Qué distancia recorrerá la onda en la guía antes de que su magnitud se reduzca 20% ? 12.22. Si las paredes de la guía de ondas cuadrada del problema anterior son de cobre «(Te=

1.5

X 107S/m),halle aey la distancia que recorre la onda antes de atenuarse 30%. 12.23. Una guía de ondas rectangular

con a

= 2b = 4.8

cm está rellena

de teflón con 8r

= 2.11

Y tangente de pérdida de 3 X 10-4. Suponga que sus paredes están re cubiertas de oro «(Te= 4.1 X 107S/m) y que por ella se propaga una onda eTlOa 4 GHz. Halle: a) ad Yb) ae. *12.24. Una guía de ondas rectangular de cobre «(Te= 1.37 X 107S/m) con dimensiones a

= 2.25cm

y b = 1.5cmoperaen el mododominantea unafrecuenciade 5 GHz.Siestárellenade teflón (J-Lr=

1,8r = 2.11,(T= O),determine:a) la frecuencia de corte del modo dominante,b)

la constante de atenuación debida a la pérdida en las paredes de la guía. *12.25. Con referencia a una guía de ondas cuadrada, demuestre que la atenuación ae es mínima en el modo eTlOcuando 1 = 2.962Ie.

PROBLEMAS.

587

12.26. La constante de atenuación de un modo MT está dada por

¿A qué frecuencia alcanzará a su máximo valor?

*12.27. Demuestre que en el modo eT a z en una cavidad rectangular, m1T E =-- jWJ.L ys h2 a

( )

Hsen o

m1TX

n1TY

P1TZ

(a ) (b) (e) -

cos -

sen-

Halle Hxs. *12.28. Con relación a una cavidad rectangular, demuestre que

H =- jwe xs

en el modo MT a

h2

n1T

( ) -

b

z.Determine

m1TX

o

n1TY

P1TZ

( ) ( ) ( )

E sen -

a

cos -

b

cos -

e

Eys.

12.29. Cuál es el modo dominante en una cavidad resonante rectangular cuando

a) a < b < e b) a> b > e e) a

=e> b

12.30. Respecto de una cavidad rectangular rellena de aire con dimensiones a = 3 cm, b = 2 cm, e = 4 cm, determine la frecuencia resonante de los modos siguientes: eTOll' eT101'MTllO Y MT111.Enumere las frecuencias resonantes en orden ascendente. 12.31. Si una cavidad resonante rectangular con dimensiones a = 3 cm, b = 6 cm y e = 9 cm está ocupada por polietileno (8 = 2.580),halle la frecuencia resonante de los cinco primeros modos de menor orden. 12.32. Una cavidad cúbica rellena de aire opera a una frecuencia resonante de 2 GHz cuando se le excita en el modo eT101.Determine sus dimensiones. 12.33. Respecto de una cavidad cúbica de cobre «(Tc= 1.37 X 107S/m) rellena de aire y de 3.2 cm por lado calcule: a) la frecuencia resonante del modo eT101'b) el factor de calidad de ese modo. 12.34. Diseñe una cavidad cúbica rellena de aire cuya frecuencia resonante dominante sea de 3 GHz. 12.35. Una cavidad cúbica rellena de aire de 10 cm por lado tiene E Halle H.

= 200 sen 301TXsen 301TYcos 6 X 109taz V/m

13

Antenas Los diez mandamientos del éxito 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Trabaja con ahínco: el trabajo intenso es la mejor inversión. Estudia con esmero: el conocimiento permite trabajar más inteligente y eficazmente. Toma iniciativas: los caminos trillados se convierten en tumbas. Ama tu trabajo: después derivarás placer de dominarlo. Sé exigente: los métodos desaliñados dan resultados desaliñados. Ten espíritu de conquista: así podrás combatir y vencer toda dificultad. Cultiva tu personalidad: ésta es a un individuo lo que el perfume a la flor. Ayuda a los demás: la verdadera prueba de la grandeza en los negocios es dar oportunidades. 9. Sé democrático: si no respetas a tus compañeros, jamás serás un líder de éxito. 10. Haz siempre tu mejor esfuerzo: quien ha hecho su mejor esfuerzo lo ha hecho todo. Hacer menos es hacer nada. CHARLES M.

SCHWAB

13.1. Introducción Hasta este momento no nos hemos preguntado aún cómo se producen ondas electromagnéticas. Como se recordará, los campos electromagnéticos son producto de cargas eléctricas. Si la fuente varía en el tiempo, las ondas electromagnéticas se propagan y ocurre radiación. La radiación puede percibirse como el proceso de transmisión de energía eléctrica. La radiación o emisión de ondas en el espacio se cumple eficientemente con la ayuda de estructuras conductoras o dieléctricas llamadas antenas. En teoría, cualquier estructura puede emitir ondas electromagnéticas, pero no todas son mecanismos de radiación eficientes. Una antena también puede concebirse como un transductor para el acoplamiento de la línea de transmisión o guía de ondas (vías de encauzamiento de la onda por emitir) con el medio circundante o viceversa. En la figura 13.1 se ilustra esta función. Las antenas son indispensables para una radiación eficiente y el acoplamiento de impedancias de onda a fin de minimizar la reflexión. Se sirven del voltaje y la corriente de la línea de transmisión (o de los campos electromagnéticos de la guía de ondas) para emitir una onda electromagnética en dirección al medio. Pueden usarse para transmitir o recibir energía electromagnética.

13.1. INTRODUCCiÓN.

589

Onda electromagnética

/

Generador

Línea de transmisión Antena

Medio circundante Figura 13.1. Antena como dispositivo de acoplamiento entre la estructura de guía y el medio circundante.

En la figura 13.2 aparecen antenas de uso común. La antena de dipolo de la figura 13.2(a) consta de dos alambres rectos tendidos a lo largo del mismo eje. La antena de cuadro de la figura 13.2(b) se compone a su vez de una o más vueltas de alambre. La antena helicoidal de la figura 13.2(c) consta de un alambre en forma de hélice sostenido en un plano conectado a tierra. A todas estas antenas se les conoce como antenas de alambre; se usan en automóviles, edificios, aviones, barcos, etc. La antena de bocina de la figura 13.2(d), ejemplo de antena de abertura, es una sección piramidal de una guía de ondas que sirve de transición entre la guía y el medio circundante. Dada la facilidad para instalarla al ras, resulta útil en varias aplicaciones, como en aviones. En el reflector de disco parabólico de la figura 13.2(e) se aprovecha el hecho de que las ondas electromagnéticas son reflejadas por una lámina conductora. Cuando se le emplea como antena transmisora, en el punto focal se coloca una antena de alimentación, ya sea de dipolo o de bocina. La radiación que procede de la fuente se refleja en el disco (a la manera de un espejo), de lo que resulta un haz de rayos paralelos. Este último tipo de antenas se utilizan en las comunicaciones, como radares y en la astronomía. El fenómeno de la radiación es complejo, de ahí que su análisis se haya pospuesto a este capítulo. No se intentará una amplia exposición de la teoría de antenas; limitaremos nuestro estudio a los tipos básicos: dipolo hertciano, dipolo de media onda, monopolo de un cuarto de onda y antena de cuadro pequeña. Los campos de radiación de cada tipo se determinarán siguiendo estos pasos: 1. Se elige el sistema de coordenadas adecuado y se determina el potencial magnético vectorial A. 2. Se halla H a partir de B = /LH = V X A. 3. Se determina E a partir de V X H sin pérdidas

(CT

= e aE at o E := 17H X

8k' suponiendo

un medio

= O).

4. Se calculael campo remoto y se determina la potencia radiada promedio temporal mediante Prad

= I

donde \!1>prom.dS,

1 \!1>prom = 2' Re (Es X Hn

Conviene advertir que, en este capítulo, Pradequivale a la Ppromde la ecuación (10.70).

590 .

ANTENAS

CJ (a) Dipolo

(b) De cuadro

(c) Helicoidal (d) De bocina piramidal

Dipolo de radiación Reflector

(e) Reflector de disco parabólico

Figura 13.2. Antenas comunes.

13.2. Dipolo hertciano Por dipolo hertciano se entiende un elemento de corriente infinitesimal 1 dI. Aunque tal elemento de corriente no existe en la realidad, es esencial para calcular por integración el campo de una antena práctica. Considérese el dipolo hertciano que aparece en la figura 13.3. Supongamos que se ubica en el origen de un sistema de coordenadas y que porta una corriente uniforme (constante a todo lo largo del dipolo) 1 = lo cos wt. De acuerdo con la ecuación (9.54), el potencial magnético vectorial retardado debido al dipolo en el punto del campo P está dado por A

= JL[l] dI .'TTr

az

(13.1)

13.2. DIPOLOHERTCIANO.

z

591

Figura 13.3. Dipolo hertciano portador

de corriente / I

-- --

= /0 cos úJt.

P

I I I I I I I I

y

¡ II I

-- -J

x

donde [1]es la corriente retardada dada por [1]

donde {3= w/u

= =

locos w

(t - ~) = locos

(wt

-

{3r)

(13.2)

Re [Ioej(wl- j3r)]

= 27r/AY u = 1/~

. Se dice que la corriente

en el punto P es retardada

a causa de un retardo de propagación r/u o retardo de fase {3rde O a P. Al sustituir la ecuación (13.2) en la ecuación (13.1)es posible expresar A en forma de fasor como (13.3) La transformación de este vector de coordenadas cartesianas en esféricas produce As = (Ars, A9s, Aq,s)

donde Ars = Azs cos 8,

A9s = -Azs sen 8,

Aq,s = O

(13.4)

Sin embargo, Bs = ¡..tHs= V X As; así, el campo H se obtiene como Iodl

j{3

1

.'"

Hq,s= -47r sen 8 [ -r + -r2] e-¡"r Hrs

= O = H9s

El campo E se halla mediante V X H

(13.5a) (13.5b)

= e aE/at o V X Hs = jweEs, (13.6a) (13.6b) (13.6c)

592.

ANTENAS

donde

El detenido examen de las ecuaciones de campos (13.5) y (13.6) revela la presencia de términos que varían entre l/r3, l/r- y l/r. El término l/r3 es el campo electrostático, ya que corresponde al campo de un dipolo eléctrico [véase la ecuación (4.82)]. Este término domina a los demás en una región muy cercana al dipolo hertciano. El término l/r- es el campo inductivo, predecible a partir de la ley de Biot-Savart [véase la ecuación (7.3)]. Este término sólo es importante en un campo próximo, es decir, a distancias cercanas al elemento de corriente. El término 11res el campo lejano o remoto o campo de radiación, puesto que es el único término que permanece en la zona remota; es decir, en un punto muy alejado del elemento de corriente. Aquí nos ocuparemos primordialmente del campo lejano o zona de radiación ({3r» 1 o 27Tr» A),donde los términos en 1/r3y 1/r- pueden ignorarse en favor del término l/r. Así, en un campo lejano, '/ H q,s= ] 47Tr o{3dl sen e e-j{3r,

(13.7a) (13.7b)

Cabe señalar respecto de la ecuación (13.7a) que los términos de radiación de Hq,sYEns se hallan en la misma fase temporal y son ortogonales, al igual que los campos de una onda plana uniforme. Asimismo, que los campos de la zonas próxima y lejana están condicionados a ser las desigualdades {3r« 1 y {3r» 1, respectivamente. De manera más específica, la frontera entre las zonas próxima y remota (o lejana) está definida por el valor de r, dado por

r=-

2d2 A

(13.8)

donde d es la mayor dimensión de la antena. La densidad de potencia promedio temporal se obtiene de esta forma:

(13.9) La sustitución de la ecuación (13.7) en la ecuación (13.9) produce a su vez la potencia radiada promedio temporal:

Prad

= I

0J>prom' 21T

f i

1T

=

=

dS

¡2r¡{32dP o

2 2

q,=0 8=0 327T r

¡2r¡{32dP

o

2

327T

sen2

e r2 sen e de dcp

1T

27T1 sen3 e de o

(13.10)

13.2. DIPOlOHERTClANO . 593

No obstante,

1"" o sen3

r

e de = o

(1 -

e) d( -cos e)

COS2

= COS3e 3

cos e

1T 1

=i

o

3

De ahí que la ecuación (13.10) se convierta en y (32= 47T2/A2.

Prad

- I~ 7Tr¡ di 3 [ A]

2

(13.11a)

Si el vacío es el medio de propagación, r¡ = 1207TY

di

2

(13.11b)

P rad = 407T2 [ Á ] I~

Esta potencia equivale a la potencia disipada por la corriente 1 = lo cos wt en una resis-

tencia ficticia Rrad;es decir, o (13.12) donde Irroses el valor de raíz media cuadrática [rms, root mean square] de J. De las ecuaciones (13.11) y (13.12) se obtiene 2Prad Rrad

=

(13.13a)

To

o I

Rrad=

807T2

(13.13b)

Á I [dir

La resistencia Rrad,llamada resistencia de radiación, es una propiedad característica de la antena de dipolo hertciano. De las ecuaciones (13.12) y (13.13) se deduce la necesidad de antenas con gran resistencia de radiación para emitir grandes montos de potencia al espacio. Si, por ejemplo, di = A/20, Rrad= 2 n, bajo valor que indica una capacidad de emisión de montos de potencia relativamente reducidos. Cabe hacer notar que la Rradde la ecuación (13.13b) se refiere a un dipolo hertciano en el vacío. En el caso de un dipolo en

un medio distinto sin pérdidas, se sustituye r¡= -v¡;¡; en la ecuación (13.11a)y

Rrad se

determina mediante la ecuación (13.13a). Adviértase que se ha supuesto al dipolo hertciano como infinitesimalmente pequeño ({3di

«

1 o di ::S A/10). Así, su resistencia

de radiación

es muy reducida,

de manera

que en la práctica es difícil acoplarlo con una línea de transmisión real. También se ha

594

.

ANTENAS

supuesto una corriente uniforme en el dipolo, lo que implica que la corriente en sus extremos no es igual a cero, algo prácticamente imposible a causa de que el medio circundante no es conductor. Sin embargo, nuestro análisis demostrará ser una aproximación válida y útil de una antena con dl :5 Al10. Una antena más práctica (y tal vez la más importante de todas) es el dipolo de media onda, tema de la siguiente sección.

13.3. Antenade dipolo de media onda El dipolo de media onda debe su nombre a que su longitud equivale a la mitad de una longitud de onda (€ = >"/2). Como se observa en la figura 13A( a), consta de un hilo delgado alimentado o excitado en su centro por una fuente de voltaje conectada a través de una línea de transmisión (una línea de dos alambres, por ejemplo). El campo debido al dipolo puede obtenerse fácilmente si se considera que consiste en una cadena de dipolos hertcianos. El potencial magnético vectorial en P debido a una longitud diferencial dl (= dz) del dipolo portador de una corriente de fasor ls = lo cos {3zes dA

Línea de transmisión \

Antena de dipolo ~

zs

= ¡do

cos {3zdz 47TT'

./ de corriente

tI

'\

1 =lo cos {3z

\

\

I ItI

--

./

/'

/

/

/

/

"

(13.14)

Figura 13.4. Dipolo de media onda.

Distribución

-- ,(

'

e-¡ 13r

\ I I I

(a) p

13.3. ANTENADE DIPOLODE MEDIAONDA.

595

Nótese que para obtener la ecuación (13.14) hemos supuesto una distribución sinusoidal de corriente, puesto que la corriente debe tender a cero en los extremos del dipolo; aunque también sería posible una distribución triangular de corriente (véase el problema 13.4), los resultados serían menos exactos. La distribución real de corriente en la antena no se conoce con precisión; se determina resolviendo las ecuaciones de Maxwell sujetas a las condiciones en la frontera en la antena, procedimiento matemático complejo. Sin embargo, el supuesto de la corriente sinusoidal aproxima la distribución obtenida mediante la resolución del problema con valor en la frontera y es de uso frecuente en la teoría de antenas. Si r» f, como se explicó en la sección 4.9, dedicada al dipolo eléctrico (fig.4.21), entonces

r - r' =

Z

cos O

o

r' = r - Z cos O

Así, puede sustituirse r' = r en el denominador de la ecuación (13.14), donde es necesaria la magnitud de la distancia. En cuanto al término de fase en el numerador de la misma ecuación, la diferencia entre {3ry {3r' es significativa, de manera que r' se reemplaza por r - Z cos O,no por r. En otras palabras, el término del coseno se mantiene en el exponente y se ignora en el denominador, pues el primero implica la constante de fase y el segundo no. De este modo, A/4

A =-1.110 zs

47Tr

I-A/4

e- jl3(r - Z cos 8) COs {3z dz (13.15)

A/4

= 1.1.10e-j{3r 47Tr

I-A/4 ej{3zcos8cos {3z dz

Con base en las tablas de integrales del apéndice A.8,

I

bz dz = eaz(a cosa2+b2 bz + b sen bz)

eaz cos

Al aplicar esta expresión a la ecuación (13.15) se obtiene A/4

=

A

J.11 oe - j{3r ej{3z cos 8

zs

Puesto

que {3 =

vierte en

27Tt},.

47Tr

o

{3A14

=

(j {3cos Ocos {3z + {3sen {3z) _{32 COS2O

7Tt2 Y -COS2 O

+

{32

(13.16) I

-A/4

+ 1 = sen2 O,la ecuación (13.16) se con-

(13.17) Del uso de la identidad éx + e-jx

= 2 cos x resulta

(13.18)

596

.

ANTENAS

Del empleo de la ecuación (13.4) junto con el hecho de que Bs = ¡LHs = V x As YV x Hs = júJsEs'los campos magnético y eléctrico en la zona lejana (descartando los términos 1/,-3y 1/,-2)se obtienen de esta forma:

(; ),

j [oe-j(3rcos

Hq,s=

cos 8

(13.19)

271"rsen 8

Adviértase de nuevo que los términos de radiación de H",sYE8sse encuentran en la misma fase temporal y son ortogonales. De la aplicación de las ecuaciones (13.9) y (13.19), la densidad de potencia promedio temporal se obtiene de este modo: I!P

prom

= =

1

2

2" 17IH q,sl ar

(

~ cos 8 871"2r2 sen2 8

17[~ COS2

(13.20)

)a r

La potencia radiada promedio temporal puede determinarse de la manera siguiente:

=I

Prad

I!Pprom' dS 2

-

f

'IT

q,=o i8=0

= 17 o 271" 871"2

o

17

(

2" cos 8

COS2

COS2

¡o

(; ) cos 8

'IT/2 COS2

)

2

r sen 8 d8 de/>

(13.21) d8

sen 8

(; ) cos 8

d8

sen 8

= 12071"suponiendo

del integrando

¡o

71"

22 2 871"r sen 8

¡o

'IT

= 30 [2 donde se ha sustituido

17[0 COS

'IT

[2

la naturaleza

2

2'IT

el vacío como medio de propagación. Dada

de la ecuación

(13.21),

(; )

=

cos 8

d8

sen 8

'IT

f

COS2

'IT/2

(; ) cos 8

d8

sen 8

Esto podría ilustrarse fácilmente con un diagrama elemental de la variación del integrando con 8. Por tanto,

71"

'IT/2COS2

P rad= 60[~

¡o

( 2"cos 8) d8 sen

(13.22)

13.3. ANTENADE DIPOLODEMEDIAONDA.

597

Al cambiar variables, u = cos e, y el empleo de la fracción parcial reduce la ecuación (13.22)a 1 1 COS2 "21TU

Prad

= 601~ 1

o

1

= 301~ [ 1

-

(13.23)

2 du

u 21

21

1 COS "21TU

1 COS "21TU

.1 + u

o

du +

1 - u du ]

1o

El reemplazo de 1 + u por v en el primer integrando y de 1 sulta en 21 1 sen "21TV P rad

= 301~ [

i

= 3012

2 sen

v

- u por v en el segundo re-

21

2 sen ~v

f

dv + 1

dv ]

v

(13.24)

21 o

El cambio de variables w

"21TV

= 1TV produce 2

Prad

= 301~1

w

2 2"'(1

= 1510 1o

2".

W2

= 1 - _2'.

Io

dw

- cos w)

w

= 1512 o

1

2".sen "2w

o

puesto que cos w

dv

v

1o

W

w3

2!

4!

- - [

W4

W6

dw W5

+-

6!

(13.25) w7

- -

8!

+ . .. dw ]

w8

+,4. - _6'. + _8 .' -

. . '. La integración de la ecuación

(13.25) término por término y la evaluación en el límite conducen a 2 (21T)2 Prad = 1510[ 2(2!)

(21T)4

(21T)6

(21T)8

- 4(4!) + 6(6!) - 8(8!) + . . . ]

(13.26)

= 36.56 1~ La resistencia de radiación Rradde la antena de dipolo de media onda se obtiene fácilmente de las ecuaciones (13.12) y (13.26), así: (13.27)

598

.

ANTENAS

Obsérvese el significativo incremento de la resistencia de radiación del dipolo de media onda en comparación con la del dipolo hertciano. En consecuencia, aquél puede emitir al espacio mayores montos de potencia que éste. La impedancia de entrada total Zentde la antena es la impedancia registrada en las terminales de la antena y está dada por Zent

= Rent + jXent

(13.28)

= Rraden el caso de una antena sin pérdidas. La deducción del valor de la reactancia Xent implicaría un procedimiento muy complicado que rebasa el alcance de este texto. Baste saber que Xent = 42.5n, de modo que Zent= 73 + j42.5 n cuando la longitud del dipolo es ( = A/2.La reactancia inductiva cae rápidamente a cero al reducirse ligeramente esa longitud. Cuando ( = 0.485 Á,el dipolo es resonante, con Xent = O.En la práctica, así, un dipolo A/2 se diseña de tal forma que Xent se acerque a cero YZent = 73 n. Este valor de la resistencia de radiación de la antena de dipolo A/2 explica la existencia del cable coaxial estándar de 75 n. De igual manera, tal valor es fácil de acoplar con líneas de transmisión. Junto con la propiedad de resonancia, estos factores son la razón del extendido uso de la antena de dipolo. donde Rent

13.4. Antena monopolar de un cuarto de onda La antena monopolar de un cuarto de onda consta básicamente en la mitad de una antena de dipolo de media onda situada en un plano conductor a tierra, como se ilustra en la figura 13.5. La antena es perpendicular al plano, habitualmente supuesto como infinito y perfectamente conductor. La alimenta un cable coaxial conectado a su base. De acuerdo con la teoría de las imágenes expuesta en la sección 6.6, es posible reemplazar el plano infinito perfectamente conductor a tierra por la imagen del monopolo. El campo debido al monopolo A/4con su imagen en la región sobre el plano a tierra es igual al campo debido a un dipolo A/2.Así, la ecuación (13.19) también es aplicable al monopolo A/4.No obstante, la integración de la ecuación (13.21) sólo cubre la superficie hemisférica sobre el plano a tierra (es decir, Os () s 'TT/2),puesto que el monopolo irradia únicamente a través de esa superficie. Esto quiere decir que sólo irradia la mitad de la potencia que el dipolo con igual corriente. En el caso, así, de una antena monopolar A/4, Prad= 18.28 J'; y 2P rad

Rrad

=T

Figura 13.5. Antena monopolar.

ti Il I 11 t--l..

t

U

Imagen

\Plano conductor infinito a tierra

(13.29)

13.5. ANTENADECUADROPEQUEÑO.

599

o I

Rrad

= 36.5n

Por la misma razón, la impedancia Zent = 36.5' + j21.2S n.

(13.30) I

de entrada total de un monopolo

A/4 es

13.5. Antena de cuadro pequeño La antena de cuadro posee importancia práctica. Se le usa como antena indicadora de dirección (o cuadro de exploración) en la detección por radiación y como antena de televisión para frecuencias ultraaltas. El término pequeño implica que las dimensiones del cuadro (como Po) son mucho menores que A. Considérese la pequeña espira (o cuadro) filamentosa circular de radio Poportadora de una corriente uniforme lo cos wt que se muestra en la figura 13.6. Esta espira podría equivaler a un dipolo magnético elemental. El potencial magnético vectorial en el punto del campo P debido a la espira es

A=

1 ¡L[l] di

(13.31)

JL 47Tr'

donde [I]= lo cos (wt - (3r') = Re [loej(wt-/3r')].Al sustituir [I]en la ecuación (13.31) se obtiene A en forma de fasor: As

= ¡Llo 47T

1J L e-j/3r' ;;-

di

(13.32)

La evaluación de esta integral supondría un largo procedimiento. Es posible demostrar que, en el caso de un cuadro pequeño (Po«A), rl puede ser reemplazada por r en el denominador de la ecuación (13.32) y As sólo posee la componente , dado por Aq,s

z

'/3 = ¡LloS z (1 + j{3r)e-Jr sen e 47Tr

p

Figura 13.6. Antena de cuadro pequeño.

y

x

Línea de transmisión

(13.33)

600

.

ANTENAS

donde S = 7TP~= área de la espira. En el caso de una espira con N vueltas, S = N7Tp~. A partir del hecho de que Bs = p.Hs = V X As Y V X Hs = jweEs, de la ecuación (13.33) se obtienen los campos eléctrico y magnético en esta forma:

Eq,s

=

- jwp.loS 47T

j{3 1 sen (j - r + -r2 ] e-jpr [

(13.34a)

(13.34b)

(13.34c) (13.34d) Al comparar las ecuaciones (13.5) y (13.6) con la ecuación (13.34) es posible advertir la naturaleza dual del campo debido al dipolo eléctrico de la figura 13.3 y al dipolo magnético de la figura 13.6 (véase también la tabla 8.2). En el campo lejano (o remoto) sólo permanece el término (de radiación) 1/r de la ecuación (13.34). Así, en el campo lejano,

o

Hes =

Eq,s 71

(13.35a)

(13.35b) donde se ha supuesto 71 = 1207Tpara el vacío. Aunque las expresiones de campo remoto de la ecuación (13.35) se han obtenido con referencia a una espira circular pequeña, también es posible emplearlas para cuadros pequeños con una vuelta (S = a2),N vueltas (S = Na2) o de cualquier otra configuración en tanto sus dimensiones sean reducidas (d :5 A/10, donde d es la mayor dimensión del cuadro). A manera de ejercicio, el lector podría demostrar que, mediante las ecuaciones (13.13a) y (13.35), la resistencia de radiación de una antena de cuadro pequeño es (13.36)

13.5. ANTENADECUADROPEQUEÑO.

Ejemplo 13.1

601

En un punto en () = ¡.L/2,a 2 km de una antena en aire, se precisa de una intensidad de campo magnético de 5 ¡.LA/m. Sin considerar las pérdidas óhmicas, ¿cuánta potencia debe transmitir la antena si se trata de a) Un dipolo hertciano de A/25 de longitud? b) Un dipolo de media onda? e) Un monopolo de un cuarto de onda? d) Una antena de cuadro con 10 vueltas y radio Po = A/20? Solución: a) En un dipolo hertciano,

IHq,sl= .

donde di

27T

A

= A/25o /3di = T . 25 =

10/3 47Tr di sen ()

27T

25 . Por tanto,

o lo = 0.5 A

Prad = 407T2 [

~r

= 158 mW

I~ = 407T2(0.5?

(25?

b) En un dipolo A/2,

IHq,sl =

(; )

lo cos cos () 27Trsen ()

o lo = 207TmA Prad = 1/2/; Rrad= 1/2(207T)2X 10-6(73) = 144 mW

602

.

ANTENAS

e) En un monopolo A/4, lo = 207TmA como en el inciso bY. Prad = 1I2102Rrad =72mW

= 1I2(207T)2 X 10-6(36.56)

d) En una antena de cuadro, 7Tlo S IHes I = -2sen(} r A

En el caso de una vuelta, S = 7TP02. En el de N vueltas, S = N7TP02.Así, Po 2 X 103 [ A ]

2

5 X 10-6 = J.Llo107T o

= 40.53 mA =

R rad

3207T4S2 A4

= 320

6 N2 7T

Po

4

[ A]

= 3207T6 x 100[2~r = 192.3a Prad

1 2 -6 1 2 = 2.lo Rrad = 2.(40.53) x 10 (192.3) = 158mW

Ejercicio 13.1 Un dipolo hertciano de longitud A/100se ubica en el origen y es alimentado por una corriente de 0.25 sen 108tA. Determine el campo magnético en a) r = A/5,(}= 30° b) r = 200A,(}= 60° Respuestas: a) 0.2119 sen (108t - 20.5°) a", mA/m y b) 0.2871 sen (108t + 90°) a", J.LNm

13.5. ANTENADECUADROPEQUEÑO.

Ejemplo 13.2

603

Una intensidad de campo eléctrico de 10 ILV/m se medirá en un punto de observación () = 7T/2,a 500km de una antena de dipolo (resonante) de media onda que opera en aire a

50 MHz. a) b) e) d)

¿Cuál es la longitud del dipolo? Calcule la corriente con la que debe ser alimentada la antena. Halle la potencia promedio radiada por la antena. Si a la antena se conecta una línea de transmisión con Zo = 75 O, determine la razón de onda estacionaria.

Solución:

. e 3X108 a) La longitud de onda A = - = 50 x 106 = 6 m . ¡ De este modo, la longitud del medio dipolo es e = ~ = 3 m. b) A partir de la ecuación (13.19),

IEq,sl=

(; )

1/010cos cos () 27TTsen ()

o

1 = o

I Eos I 27TT sen

1/0

cos

()

(;cos ) ()

= 10 X 10-6 27T(500 X 103) . (1) 1207T(1)

= 83.33 mA e)

Rrad

= 73O

- 1:. 2 - 1:. 2 -6 Prad - 2 lo Rrad - 2 (83.33) X 10 X 73

= 253.5 mW d)

ZL - Z r = ZL + Z: (ZL = Zenten este caso)

= 73 + j42.5 - 75 = -2 + j42.5 73 + j42.5 + 75 148 + j42.5 42.55/92.69° = 153.98/16.020 = 0.2763/76.67°

1 + Ir I 1 + 0.2763 s = 1 - Ir I = 1 - 0.2763= 1.763

604

.

ANTENAS

Ejercicio 13.2 Repita el ejemplo 13.2 si la antena de dipolo es reemplazada por un monopolo 1\/4. Respuestas: a) 1.5 m, b) 83.33 mA, e) 126.8 mWl

d) 2.265.

13.6. Características de las antenas Habiendo considerado los tipos elementales de antenas, examinemos ahora algunas importantes características de una antena como radiador de energía electromagnética. Estas características son: a) patrón de antena, b) intensidad de radiación, e) ganancia directiva y d) ganancia de potencia.

A. Patrones de antena Un patrón de antena (o patrón de radiación) es un diagrama tridimensional de la radiación de la antena en un campo lejano. El diagrama de la amplitud de un componente especificado del campo E es un patrón de campo o patrón de voltaje; el del cuadrado de la amplitud de E, un patrón de potencia. Para evitar el trazado del diagrama tridimensional del patrón de antena, se trazan por separado ellEsl normalizado contra e con constante (patrón del plano E o patrón vertical) y el IEsl normalizado contra con e = 'TT/2(patrón del plano H o patrón horizon

prom

f

s U(8, 4» sen 8 d8 d4>

(27T

(13.40)

(7T

= )=0 )9=0 U(8, 4» dO

donde dO = sen 8 d8 d4>es el ángulo sólido diferencial, en estereorradianes (sr). De ahí

que la intensidad de radiación U(O,4» se mida en watts por estereorradián (W/sr). El valor promedio de U(8,4» es la potencia radiada total dividida entre 47Tsr; es decir, Prad U prom= 47T

(13.41)

C. Ganancia directiva Aparte de los patrones de antena anteriormente descritos, a menudo nos interesan cantidades mensurable s como la ganancia y la directividad para determinar las características de radiación de una antena. La ganancia directiva G i 8,4» de una antena es una medida de la concentración de la

potencia radiada en una dirección particular (8,4». La ganancia directiva puede considerarse como la capacidad de una antena para dirigir potencia radiada en una dirección específica. Usualmente se le obtiene como la razón de la intensidad de radiación en una dirección dada (8, 4» a la intensidad de radiación promedio; es decir,

Gd (8, 4» = U(8, TT 4» - 47TU(8, 4» prom P rad

(13.42)

13.6. CARACTERíSTICAS DE LASANTENAS.

607

Mediante la sustitución de la ecuación (13.39) en la ecuación (13.42), r¿p prompuede expresarse en términos de ganancia directiva como -

r¿pprom -

(13.43)

Gd2 Prad

47Tr

La ganancia directiva GiO, 2cf2/Á,donde d es la mayor dimensión de cualquiera de ellas [véase la ecuación (13.52)]. Así, para aplicar la ecuación de Friis es preciso confirmar que cada antena se encuentre en el campo lejano de la otra. Aer.Pr, Gdr Transmisora

Aer' Pr' Gdr

H

)1 1 (

r

Receptora

-1

Figura 13.21. Antenas transmisora y receptora en el vacío.

624 .

ANTENAS

Ejemplo13.8

Halle el área efectiva máxima de un dipolo A/2de alambre que opera a 30 MHz. ¿Cuánta potencia recibe el dipolo de una onda incidente plana con intensidad de 2 mV/m? Solución:

A-A?

e - 47T Gd(O, 4»

A=~= f

GiO,

3X108 30 X 106 = 10 m

= 1.64

4> )máx

102

_

Ae .máx = 4 7T (1.64)

=

= 13.05 m2

(2 X 1O-3? 13.05

= 71.62 nW

Ejercicio 13.8 Determine el área efectiva máxima de un dipolo hertciano de 10 cm de longitud que opera a 10 MHz. Si la potencia que recibe esta antena es de 3 JLW, ¿cuál es la densidad de potencia de la onda incidente? Respuesta: 1.074 m2, 2.793 JLW/m2.

Ejemplo 13.9

Una antena transmisora y otra receptora separadas 200 Aentre sí registran una ganancia directiva de 25 y 18 dB, respectivamente. Si la potencia recibida debe ser de 5 mW, calcule la potencia mínima transmitida. Solución: Puesto que Gdr (dB)

= 25

dB

= 10

loglO Gdl,

Gdl = 102.5= 316.23 De igual manera, o

Gdr = 101.8= 63.1

13.9. ECUACIONES DELRADAR.

625

Al aplicar la ecuación de Friis se obtiene P, = Gd,Gdt [4~r r Pt

o

47Tr 2 Pt

= P, [ A

1

] Gd,Gdt

47T X 200 A 2

= 5 X 10-3 [ = 1.583 W

A

1

] (63.1)(316.23)

Ejercicio 13.9 A 20 km de una antena en aire que irradia una potencia total de 100 kW se mide una intensidad de campo eléctrico máxima radiada de 12 mV/m. Halle: a) la directividad de la antena en dB, b) su máxima ganancia de potencia si TI, = 98%. Respuestas: a) 3.34 dB Y b) 2.117.

t13.9.

Ecuacionesdel radar Los radares son dispositivos electromagnéticos útiles en la detección y localización de objetos. El término radar es el acrónimo de la expresión radio detection and ranging ("detección y ubicación por radio"). En un sistema de radar común como el que aparece en la figura 13.22(a) se transmiten impulsos de energía electromagnética a un objeto distante. Una misma antena cumple las funciones de transmisión y recepción, de modo que el intervalo temporal entre los impulsos transmitido y reflejado permite determinar la distancia en la que se encuentra el objetivo. Si r es la distancia entre el radar y el objetivo y e la velocidad de la luz, el tiempo transcurrido entre los impulsos transmitido y recibido es 2r/c. De la medición de ese periodo se deduce r.

rP,

..

Gd,=Gd, Ae,=Ae, (a)

E;

t .... 8T r

(b)

Figura 13.22. (a) Sistema de radar común; (b) simplificación del sistema objetivoen (a) para el cálculo de la sección transversal u del objetivo.

1Udel

~

626 .

ANTENAS

La capacidad de un objetivo para dispersar (o reflejar) energía se caracteriza por su sección transversal de dispersión a (o sección transversal de radar), la cual se expresa en unidades de área y puede medirse experimentalmente. La sección transversal de dispersión es el área equiValente que al dispersar isotrópicamente el monto de potencia que intercepta, produce en el radar una densidad de energía igual a la dispersada (o reflejada) por el objetivo. Es decir,

o (13.77)

donde g>¡es la densidad de potencia incidente en el objetivo Ty g>sla densidad de potencia dispersada en el transceptor O, como se muestra en la figura 13.22(b). A partir de la ecuación (13.43), la densidad de potencia incidente g>¡en el objetivo T es

g>¡

=

-

Gd2 Prad

g>prom -

47Tr

(13.78)

La potencia recibida en el transceptor O es

o Pr

g>s

= -A er

(13.79)

Debe señalarse que g>¡y g>sdenotan la densidad de potencia promedio temporal, en watts/m2, mientras que PradY Pr se refieren a la potencia promedio temporal total, en watts. Puesto que G dr = G dI = G d Y Aer = Ael = Ae' la sustitución de las ecuaciones (13.78) y (13.79) en la ecuación (13.77) resulta en a

P r-

1

rad

A e Gd

22 = (47Tr) -p

(13.80a)

o (13.80b)

13.9.

ECUAClONES DEL RADAR

627

Tabla 13.1. Designaciones de las frecuencias de radar. Designación

UHF L S

e

x Ku K Milímetro

Frecuencia 300-1 000 MHz 1000-2000 MHz 2000-4000 MHz 4000-8000 MHz 8000-12500 MHz 12.5-18 GHz 18-26.5 GHz

>35 GHz

De acuerdo con la ecuación (13.73),Ae = A2Gi47T.Por tanto,

rI P 1

= (AG:)2UPrad r

(13.81)

(47T? r4

la ecuación de transmisión del radar en el vacío, básica para medir la sección transversal de dispersión de un objetivo. Al despejar r en la ecuación (13.81) se obtiene (13.82)

la ecuación de distancia del radar. Dada la potencia mínima detectable del receptor, esta ecuación determina la distancia o el alcance máximo de un radar, aunque también permite obtener información de utilidad en ingeniería sobre los efectos de los diversos parámetros en el rendimiento de un sistema de radar. El radar considerado hasta aquí es del tipo monostático, en razón del predominio de este tipo en las aplicaciones prácticas. En un radar bistático, el transmisor y el receptor están separados. Si las antenas transmisora y receptora se hallan a distancias rl Yr2 del objetivo y Gdr *-Gdt,en el caso del radar bistático la ecuación (13.81)se convierte en

(13.83) Las frecuencias de transmisión por radar van de los 25 a los 70000 MHz. En la tabla 13.1 se clasifican tales frecuencias y se indica la denominación con que las conocen los ingenieros de radares.

Ejemplo13.10

Un radar de banda S que transmite a 3 GHz irradia 200 kW. Determine la densidad de potencia de la señal a distancias de 100 y 400 millas náuticas si el área efectiva de la antena del radar es de 9 m2. Considerando un objetivo de 20 m2 a 300 millas náuticas, calcule la potencia de la señal reflejada en el radar.

628

.

ANTENAS

Solución: La milla náutica es una unidad común en las comunicacionespor radar. 1 milla náutica (mn) e

A=-

f

=

3x108

3 X 109

47T Gdt

= 1852 m

= 0.1 m

47T

= A2 Aet = (0.1? 9 = 36007T

En el caso de r = 100mn = 1.852 X 105m g> =

GdtPrad

47Tr2

= 36007T X 200

X 103

47T(1.852? X 1010

= 5.248 mW/m2 En el caso de r = 400 mn = 4 (1.852 X 105)m

Mediante la ecuación (13.80b),

donde r = 300 mn = 5.556 X 105m

Pr

=

9 x 20 X 36007TX 200 X 103 = 2.706 X 10-14 W [47T X 5.5562]2

X 1020

Mediante la ecuación (13.81) se obtendría el mismo resultado.

Ejercicio 13.10 Un radar de banda e con una antena de 1.8 m de radio transmite 60 kW a una frecuencia de 6000 MHz. Si la potencia mínima detectable es de 0.26 mW, con referencia a una sección transversal del objetivo de 5 m2, calcule la distancia máxima en millas náuticas y la densidad de potencia de la señal a la mitad de esa distancia. Suponga una eficiencia igual a la unidad y que el área efectiva de la antena equivale a 70% del área real. Respuesta: 0.6309 mn, 500.90 W/m2.

RESUMEN.

Resumen

629

1. En este capítulo se expusieron las ideas y definiciones básicas de la teoría de antenas. Los tipos básicos descritos fueron el dipolo hertciano (o de longitud diferencial), dipolo de media onda, monopolo de un cuarto de onda y antena de cuadro pequeño. 2. Si se conoce la distribución de corriente de una antena, en teoría es posible hallar el potencial magnético vectorial retardado A, con el que a su vez pueden determinarse los campos electromagnéticos retardados H y E mediante H=VXA

3. 4. 5. 6.

7. 8.

¡.L'

Los campos de la zona lejana se obtienen manteniendo únicamente los términos l/r. El análisis del dipolo hertciano es fundamental para el de otras antenas. La reducida resistencia de radiación de este dipolo limita su utilidad práctica. El dipolo de media onda es de longitud igual a Al2. De uso más práctico y frecuente que el dipolo hertciano, su impedancia de entrada es de 73 + j42.5 O. El monopolo de un cuarto de onda es la mitad de un dipolo de media onda sobre un plano conductor. Los patrones de radiación de uso más común son los de intensidad de campo, intensidad de potencia e intensidad de radiación. El patrón de campo es el diagrama de IEslo su forma normalizadaf(O). El patrón de potencia es el diagrama de g>promo su forma normalizada J2( O). La ganancia directiva es la razón de U(O,cp)a su valor promedio. La directividad es el máximo valor de la ganancia directiva. Un arreglo de antenas es un grupo de elementos de radiación dispuestos para producir características particulares de radiación. Su patrón de radiación se obtiene multiplicando el patrón unitario (debido a un elemento del grupo) por el patrón de grupo, el diagrama del factor de arreglo normalizado. En el caso de un arreglo lineal uniforme de N elementos, sen (NI/1/2)

FA = I

sen (1/1/2)

I

1/1 = f3d cos O + a, f3 = 27T/A, d = espaciamiento entre los elementos y a = corrimiento de fase entre los elementos. 9. La fórmula de transmisión de Friis caracteriza el acoplamiento entre dos antenas en términos de su ganancia directiva, distancia de separación y frecuencia de operación. 10. En un radar bistático (con antenas transmisora y receptora separadas), la potencia recibida está dada por donde

En un radar monostático,ri = rz = r y Gdt= Gdr.

630

ANTENAS

13.1. Una antena ubicada en cierta ciudad es fuente de ondas de radio. ¿Cuánto tiempo tardan éstas en llegar a una población a 12000 km de esa ciudad? a) 36 s b) 20 J1.s e) 20 ms d) 40 ms e) Ninguno de los tiempos anteriores 13.2.

¿Cuál es el término de radiación en la ecuación (13.34)? a) El término 1/r b) El término 1/r2 e) El término 1/,3 d) Todos los anteriores

13.3. Un muy pequeño alambre delgado de longitud AlI00 tiene una resistencia de radiación de a)

= OD

b) 0.08D e) 7.9 D d) 790D 13.4. Una antena monopolar de un cuarto de onda que opera en aire a una frecuencia de 1 MHz debe tener una longitud total de

a) b) e) d) e)

f» A 300 m 150m 75 m f« A

13.5. Si una antena de cuadro pequeño de una vuelta tiene una resistencia de radiación de 0.04 D, ¿cuántas vueltas se necesitan para producir una resistencia de radiación de 1 D? a) 150 b) 125 e) 50 d) 25 e) 5

PREGUNTASDE REPASO.

631

13.6. A una distancia de 8 km de una antena diferencial, la intensidad de campo es de 12 J-LV/m. La intensidad de campo en una localidad a 20 km de la antena es de a) 75 J-LV/m b) 30 J-LV/m e) 4.8 J-LV/m d) 1.92 J-LV/m

13.7.

Si una antena tiene Umáx= 10W/sr, Uprom = 4.5W/sr y 71,= 95%, su potencia de entrada es de a) 2.222 W b) 12.11 W e) 55.55 W d) 59.52 W

13.8. Una antena receptora ubicada en un aeropuerto tiene una dimensión máximade 3 m y opera alOa MHz. Un avión que, en dirección al aeropuerto, se halla a 1/2 km de la antena se encuentra en la región del campo lejano de ésta. a) Cierto. b) Falso. 13.9. Una antena receptora se sitúa a 100 m de la antena transmisora. Si el área efectiva de la primera es de 500 cm2y la densidad de potencia en la localidad receptora es de 2 mW/m2, la potencia recibida total es de: a) 10 nW b) 100 nW e) 1 J-LW d) 10 J-LW e) 100J-LW 13.10. Sea R el alcance máximo de un radar monostático. Si, dada una sección transversal del radar de 5 m2, en R/2 se encuentra un objetivo, ¿cuál debería ser la sección transversal de éste en 3R/2 para resultar en una intensidad de señal igual a la del radar? a) 0.0617 m~ b) 0.555 m2 e) 15 m2 d) 45 m2 e) 405 m2 Respuestas: l3.1d, l3.2a, 13.3b, 13Ad, l3.5e, l3.6c, l3.7d, 13.8a, l3.ge, l3.10e.

632

.

ANTENAS

Problemas

I

13.1. El potencial magnético vectorial en el punto P(r, e, 4» debido a una antena pequeña situada en el origen está dado por A_50 s-donde r2 = X2 + y2

e-jf3r

r

ax

+ Z2.Halle E(r, e, 4>,t) y H(r, e, 4>,t) en el campo lejano.

13.2. Un dipolo hertciano en el vacío situado en el origen tiene di

= 20 cm e 1 =

10cos 27T107 t A.

Halle IEoslen el punto distante (100,O,O). 13.3. Una fuente de 2 A que opera a 300 MHz alimenta a un dipolo hertciano de 5 mm de longitud situado en el origen. Hal1e"Esy Hs en (10,30°,90°). 13.4. a) En vez de la distribución constante de corriente supuesta en el dipolo pequeño de la sección 13.2, suponga

una distribución

triangular

de corriente

ls

= lo (1 - 2~zl), como

se ilustra en la figura 13.23. Demuestre que

lo que equivale a la cuarta parte de la ecuación (13.13). Así, Rraddepende de la distribución de corriente. b) Calcule la longitud del dipolo resultante de una resistencia de radiación de 0.5 D. 13.5. Una antena puede diseñarse como un dipolo eléctrico de 5 m de largo a 3 MHz. Halle su resistencia de radiación suponiendo una corriente uniforme en su longitud. 13.6. Si un dipolo de media onda es alimentado por una línea de transmisión de 50 D, calcule el coeficiente de reflexión y la razón de onda estacionaria. 13.7. Una antena de radio de automóvil de 1 m de largo opera en la frecuencia de AM de 1.5 MHz. ¿Cuánta corriente se necesita para transmitir 4 W de potencia?

z

Figura 13.23. Pequeña antena de dipolo con distribución triangular de corriente; para el problema 13.4.

""""""-

Ie 1

""-

z=o

/

/

/

/

"-

/

/

/

/ //

lo

PROBLEMAS.

633

*13.8. a) Demuestre que las expresiones de campo lejano relativas a un dipolo delgado de longitud f portador de corriente sinusoidal lo cos ¡3z son

H s= jloe-pr - 2~r cos

) - cos-

{3 f cos O 2 senO

(

(3f 2 '

Eos

=

'T/Hs

[Pista:Remítase a la figura 13.4 y a la ecuación (13.14).] b) En una hoja de coordenadas polares, trace f(O) del inciso a) respecto de f = '\, 3M2Y2'\.

*13.9. Con referencia al problema 13.4, a) Determine Es YHs en el campo lejano. b) Calcule la directividad del dipolo. *13.10. Una antena situada en la superficie de un terreno plano transmite una potencia promedio de 200 kW. Suponiendo que la totalidad de la potencia es emitida de manera uniforme sobre la superficie de un hemisferio con la antena en el centro, calcule a) el vector de Poynting promedio temporal a 50 km y b) el campo eléctrico máximo en ese sitio.

13.11. Una antena de cuadro de 100vueltas y 20 cm de radio que opera a 10 MHz en el aire debe rendir una intensidad de campo de 50 mV/m a una distancia de 3 m del cuadro. Determine a) La corriente con la que debe ser alimentada la antena. b) La potencia promedio radiada por la antena. 13.12. Trace los patrones de los campos E y H normalizados para a) Un dipolo de media onda. b) Un monopolo de un cuarto de onda. 13.13. A partir del resultado del problema 13.8, trace los patrones de campo verticales de antenas monopolares de longitudes f = 3M2, '\, 5'\/8. Cabe indicar que el monopolo de 5M8 es de uso muy común. 13.14. El campo de zona lejana de una antena en el vacío está dado por

Es

= 5 senr 20 e-iPraoV/m

donde {3 = (J)-v;::;:,. Determine la potencia radiada.

13.15. El campo eléctrico producido por una antena en el campo lejano es 10

'Q

E = - e-¡"rcos Ocos A.a s

r

'1' z

Trace el patrón vertical de la antena. Su diagrama debe incluir la mayor cantidad posible de puntos.

634 .

ANTENAS 13.16. Con referencia a un dipolo hertciano, demuestre que la densidad de potencia promedio temporal se relaciona con la potencia de radiación de acuerdo con 1.5 sen20 P prom

=

41Tr

P rad

13.17. En el campo lejano, una antena produce

Pprom =

2 sen O cos cp 8r W/m2, r'

o < O< 1T,0 < cp< 1T12

Calcule su ganancia directiva y directividad. 13.18. Con referencia al problema 13.8, demuestre que el patrón de campo normalizado de una antena de onda completa (f = A) está dado por f(O)

= COS(1T COS O)

+1

Trace el patrón de campo. 13.19. Con relación a un dipolo delgado de longitud A/16,halle: a) la ganancia directiva, b) la directividad, e) el área efectiva, d) la resistencia de radiación. 13.20. Repita el problema 13.19 con relación a una antena de cuadro circular delgada de diámetro A/12. 13.2L Un dipolo de media onda de cobre tiene un diámetro de 2.6 rnm. Determine su eficiencia si opera a 15 MHz. [Pista: Obtenga Re de Re/Red = al2a; véase la sección 10.6.] 13.22. Halle Uprom' Umáxy D si:

a) U(O,4J)= sen228, O < O < 1T,O < 4J < 21T b) U(O,4J)= 4csc220, 1T13< 8 < 7T/2,0< 4J < 7T e) U(O,4J)= 2 sen2Osen24J, O< O < 7T,O < 4J < 7T 13.23. Determine la ganancia directiva y directividad asociadas con las siguientes intensidades de radiación:

a) U(O,4J)= sen28, O < O < 7T,O < 4J < 27T b) U(O,4J)= 4 sen2OCOS2 4J, O< O < 7T,O < 4J < 7T e) U(8,4J) = lOcos28sen24J/2, O< O < 7T,0 < 4J < 7T/2 13.24. En el vacío,una antena emite un campo

Eq,s =

0.2 COS2O e-jfjr kV/m

41Tr

en el campo lejano. Determine: a) la potencia radiada total, b) la ganancia directiva en 8

= 60°.

13.25. Deduzca Es en el campo lejano debido al arreglo de dos elementos que aparece en la figura 13.24. Suponga que los elementos de dipolo hertciano son alimentados en la misma fase con corriente uniforme lo cos wt.

PROBLEMAS.

z

635

Figura 13.24. Arreglo de dos elementos para el problema 13.25.

y

x

13.26. Si los dos dipolos de que consta un arreglo directiva están separados por una longitud de onda y son alimentados por corrientes de igual magnitud y fase, a) Halle el factor de arreglo. b) Calcule los ángulos en los que ocurren los nulos del patrón. e) Determine los ángulos en los que ocurren los máximos del patrón. d) Trace el patrón de grupo en el plano que contiene a los elementos.

13.27. Si los dos elementos de un arreglo son alimentados por corrientes fuera de fase en 180°, trace el patrón de grupo si los elementos están separados por a) d = A/4,b) d = A/2. 13.28. Trace el patrón de grupo en el plano xz del arreglo de dos elementos de la figura 13.10 con a) d = A,a = TT/2 b) d = A/4,a = 3TT/4 e) d = 3A/4, a = O

13.29. Un arreglo directivo de antenas consta de N dipolos hertcianos idénticos uniformemente dispuestos a lo largo del eje z y polarizados en la dirección de z. Si el espaciamiento entre ellos es A/4,trace el patrón de grupo cuando a) N = 2,b) N =4. 13.30. Trace los patrones de grupo resultantes de los arreglos de cuatro elementos que aparecen en la figura 13.25.

l/Jl

. 1--

lf.Jl...

.

A/2

. I(

l/Jl

l1Jl.. A/2

.

) I(

A/2-1

.

(a) l/Trl2

.l/Jl . 1-- A/4 ) I(

l/3Tr12

lfE... A/4

(b)

.

) I Al

A/4-1

.

Figura 13.25. Para el problema 13.30

634 .

ANTENAS 13.16. Con referencia a un dipolo hertciano, demuestre que la densidad de potencia promedio temporal se relaciona con la potencia de radiación de acuerdo con 1.5 sen20 Pprom=

47Tr

Prad

13.17. En el campo lejano, una antena produce 4> 8r W/m2, Pprom = 2 sen Ocos ?

o < O < 7T,0< 4>< 7T/2

Calcule su ganancia directiva y directividad. 13.18. Con referencia al problema 13.8, demuestre que el patrón de campo normalizado de una antena de onda completa (f = A) está dado por [(O)

= COS(7TCOS O) + 1

Trace el patrón de campo. 13.19. Con relación a un dipolo delgado de longitud At16, halle: a) la ganancia directiva, b) la directividad, e) el área efectiva, d) la resistencia de radiación. 13.20. Repita el problema 13.19 con relación a una antena de cuadro circular delgada de diámetro At12. 13.21. Un dipolo de media onda de cobre tiene un diámetro de 2.6 rnm. Determine su eficiencia si opera a 15 MHz. [Pista: Obtenga Re de Re/Red = a12S;véase la sección 10.6.] 13.22. Halle Uprom,Umáxy D si:

a) U(O,