Parciales Edo 1

PARCIALES EDO 𝑑𝑦 1. Resuelva la ecuaciΓ³n π‘₯ 2 𝑑π‘₯ βˆ’ 𝑦 3 + 2π‘₯𝑦 = 0 2. Resolver la E. D 𝑑𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑦 = 𝑑π‘₯ π‘₯ cos 𝑦 βˆ’ 𝑠𝑒𝑛2 𝑦 π‘π‘œπ‘›

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PARCIALES EDO 𝑑𝑦

1. Resuelva la ecuaciΓ³n π‘₯ 2 𝑑π‘₯ βˆ’ 𝑦 3 + 2π‘₯𝑦 = 0 2. Resolver la E. D 𝑑𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑦 = 𝑑π‘₯ π‘₯ cos 𝑦 βˆ’ 𝑠𝑒𝑛2 𝑦

π‘π‘œπ‘› 𝑦(0) =

πœ‹ 2

3. Encuentre la soluciΓ³n de la E.D. 𝑦 𝑦 𝑦 (𝑙𝑛 ( ) + 1) 𝑑π‘₯ βˆ’ π‘₯ 𝑙𝑛 ( ) 𝑑𝑦 = 0 π‘₯ π‘₯ 4. Resuelva la ecuaciΓ³n conocida.

𝑑𝑦 𝑑π‘₯

= π‘₯𝑦 2 βˆ’ 2𝑦 + 4 βˆ’ 4π‘₯ notando que 𝑦1 = 2 es una soluciΓ³n

5. Encuentre la soluciΓ³n particular de la ecuaciΓ³n 𝑙𝑛(𝑙𝑛(𝑦)) 2 𝑙𝑛(π‘₯) [ + π‘₯𝑦 3 + 6π‘₯] 𝑑π‘₯ + [ + π‘₯ 2 𝑦 2 + 4𝑒 βˆ’2𝑦 ] 𝑑𝑦 = 0 π‘₯ 3 𝑦 𝑙𝑛(𝑦) 1

que pasa por el punto (1, 2). 6. Encuentre la soluciΓ³n general de la ecuaciΓ³n diferencial 𝑑𝑦 cos π‘₯ π‘₯𝑦 2 + 𝑦3 = 𝑑π‘₯ π‘₯ 7. Resolver la E.D. (π‘₯ βˆ’ 2𝑦 + 4)𝑑π‘₯ + (2π‘₯ βˆ’ 𝑦 + 2)𝑑𝑦 = 0 8. Considere la E. D π‘¦βˆ’π‘₯

𝑑𝑦 𝑑𝑦 = π‘Ž (1 + π‘₯ 2 ), 𝑑π‘₯ 𝑑π‘₯

a) Encuentre la soluciΓ³n general. b) Encuentre la soluciΓ³n particular que verifica 𝑦(1) =

π‘Ž > 1.

π‘Ž π‘Ž+1

9. Resolver la E.D. π‘₯

𝑑𝑦 βˆ’ (1 + π‘₯)𝑦 = π‘₯𝑦 2 𝑑π‘₯

10. Hallar la soluciΓ³n de la ecuaciΓ³n diferencial 𝑑𝑦 2π‘₯ + 3𝑦 + 1 = 𝑑π‘₯ 3π‘₯ βˆ’ 2𝑦 βˆ’ 5 11. Resolver la E. D 𝑑𝑦 6π‘₯ 2 βˆ’ 5π‘₯𝑦 βˆ’ 2𝑦 2 = 𝑑π‘₯ 6π‘₯ 2 βˆ’ 8π‘₯𝑦 + 𝑦 2

12. Resolver la E.D 3(1 + 𝑑 2 )

𝑑𝑦 = 2𝑑𝑦(𝑦 3 βˆ’ 1) 𝑑𝑑

13. Hallar la soluciΓ³n de la E.D.O 𝑒 π‘₯ 𝑑π‘₯ + (𝑒 π‘₯ cot 𝑦 + 2𝑦 csc 𝑦)𝑑𝑦 = 0 14. Resuelva la ecuaciΓ³n diferencial (π‘₯ + 𝑦 + 1)𝑑π‘₯ + (2π‘₯ + 2𝑦 βˆ’ 1)𝑑𝑦 = 0 15. Resolver (2π‘₯𝑦 2 βˆ’ 2𝑦)𝑑π‘₯ + (3π‘₯ 2 𝑦 βˆ’ 4π‘₯)𝑑𝑦 = 0 16. Hallar la soluciΓ³n de la E.D. 𝑑𝑦 𝑦 𝑦 = π‘π‘œπ‘  ( ) + 𝑑π‘₯ π‘₯ π‘₯ 2

π‘₯

2

2

17. a) Demuestre que 𝑦 = 𝑒 βˆ’π‘₯ ∫0 𝑒 𝑑 𝑑𝑑 + 𝑐1 𝑒 βˆ’π‘₯ es soluciΓ³n de 𝑦 β€² + 2π‘₯𝑦 = 1. b) Encuentre una ecuaciΓ³n diferencial cuya soluciΓ³n general 𝑦 = 3π‘₯ 2 + 𝑐𝑒 βˆ’2π‘₯ 18. Resolver la E.D (7π‘₯ 4 𝑦 βˆ’ 3𝑦 8 ) 𝑑π‘₯ + (2π‘₯ 5 βˆ’ 9π‘₯𝑦 7 ) 𝑑𝑦 = 0, sabiendo que existe un factor integrante de la forma π‘₯ π‘š 𝑦 𝑛 . 𝑑𝑦

19. Resolver π‘₯ 𝑑π‘₯ βˆ’ 𝑦 = 2π‘₯ 2 𝑦 20. Resolver el problema de valor inicial

𝑑𝑦 𝑑π‘₯

=

𝑦 + π‘₯ π‘π‘œπ‘ 2 (𝑦⁄π‘₯) π‘₯

; 𝑦(1) =

21. Demuestre que la soluciΓ³n general de la ecuaciΓ³n diferencial

𝑑𝑦 𝑑π‘₯

πœ‹ 4

+ 𝑃(π‘₯)𝑦 = 𝑄(π‘₯) es

𝑦 = 𝑒 βˆ’ ∫ 𝑃(π‘₯)𝑑π‘₯ [∫ 𝑄(π‘₯) 𝑒 ∫ 𝑃(π‘₯)𝑑π‘₯ 𝑑π‘₯ + 𝑐] 22. Resolver el problema de valor inicial π‘₯𝑦(1 + π‘₯𝑦 2 ) π‘₯ sin 𝑑

23. Demostrar que 𝑦 = π‘₯ ∫0

𝑑

𝑑𝑦 𝑑π‘₯

= 1 con 𝑦(1) = 0.

𝑑𝑑 es soluciΓ³n de π‘₯𝑦 β€² = 𝑦 + π‘₯ sin π‘₯

24. Resuelva el problema de valor inicial 𝑑𝑦 π‘₯ + 𝑦 2 = , 𝑦(0) = 1 𝑑π‘₯ 2𝑦 25. Hallar la soluciΓ³n particular de la E.D tal que 𝑦(1) = 1. 𝑑π‘₯ 2 π‘₯ 3⁄2 βˆ’ π‘₯ = βˆšπ‘¦ ( 2 ) 𝑑𝑦 𝑦 𝑦

26. Considere la E.D 𝑦 β€² + 2(1 βˆ’ π‘₯)𝑦 βˆ’ 𝑦 2 = π‘₯(π‘₯ βˆ’ 2). a. Encuentre la soluciΓ³n particular de la forma 𝑦 = 𝐴π‘₯ + 𝐡. b. Encuentre la soluciΓ³n general. c. Encuentre la soluciΓ³n particular que pasa por el punto (2,2). 27. Resolver la E. D π‘₯𝑦 β€² = 𝑦 βˆ’ √π‘₯ 2 + 𝑦 2 28. Encuentre la soluciΓ³n general de la ecuaciΓ³n diferencial 𝑑𝑦 1 + tan(π‘₯) 𝑦 = βˆ’π‘₯ 𝑠𝑒𝑛(π‘₯) 𝑦 3 𝑑π‘₯ 2 𝑦

𝑦

29. Resuelva la ecuaciΓ³n (π‘₯ βˆ’ 𝑦 π‘π‘œπ‘  (π‘₯ )) 𝑑π‘₯ + π‘₯ cos (π‘₯ ) 𝑑𝑦 = 0 APLICACIONES 30. Una resistencia de 4 ohmios y un inductor de 1 henrio se conecta en serie con un voltaje dado por 100𝑒 βˆ’4𝑑 cos 50𝑑, 𝑑 β‰₯ 0. Encuentre 𝐼(𝑑) 𝑠𝑖 𝐼 = 0 𝑒𝑛 𝑑 = 0. 31. En cada punto 𝑃(π‘₯, 𝑦) de una curva del plano, el Γ‘ngulo formado por la tangente y la ordenada es bisecado por la recta que une al punto con el origen. Halle la ecuaciΓ³n de la curva sabiendo que pasa por el punto (1, 2). 32. Encuentre las trayectorias ortogonales de π‘₯ 2 + 𝑦 2 = 𝐢π‘₯ 33. Un objeto de masa m se deja caer desde el reposo en un medio que ofrece una resistencia proporcional a la magnitud de la velocidad, siendo π‘˜ la constante de proporcionalidad. Demuestre que la distancia que recorre en t segundos estΓ‘ dada por: k ο€­ t οƒΆ mg m2 g  xο€½ t ο€­ 2 1 ο€­ e m οƒ· k k  οƒΈ 34. Encuentre la curva que pertenece a la familia de trayectorias ortogonales de la familia de la familia de curvas π‘₯ + 𝑦 = 𝐢 𝑒 𝑦 que pasa por (0, 5). 35. Encuentre las trayectorias ortogonales de la familia 𝑦 = π‘₯ + 𝑐𝑒 βˆ’π‘₯ y determine aquel miembro particular de cada familia que pasa por (0, 3). 36. Un inductor de 𝐿 henrios y un condensador de 𝐢 faradios se conectan en serie. Si 𝑄 = 𝑑 𝑄 𝑑 𝑄0 , 𝐼 = 0 cuando 𝑑 = 0, demuestre que 𝑄 = 𝑄0 π‘π‘œπ‘  ( ) e 𝐼 = βˆ’ 0 𝑠𝑒𝑛 ( ) √𝐿𝐢

√𝐿𝐢

√𝐿𝐢

cuando 𝑑 > 0. 37. En cada punto (π‘₯, 𝑦) de una curva el segmento que la tangente intercepta en el eje 𝑦 es igual a 2π‘₯𝑦 2 . Hallar la curva.

38. Una fem decayente 𝐸 = 200𝑒 βˆ’5𝑑 se conecta en serie con una resistencia de 20 ohmios y un condensador de 0,01 faradios. Asumiendo 𝑄 = 0 en 𝑑 = 0, encuentre la carga y la corriente en cualquier tiempo. Muestre que la carga alcanza un mΓ‘ximo, calcΓΊlelo y halle cuando se obtiene. 39. Muestre que un peso π‘Š, dada una velocidad inicial 𝑣0 , se desliza una distancia 𝑠 hacia abajo por un plano inclinado sin fricciΓ³n de inclinaciΓ³n 𝛼 en el tiempo