PARCIALES EDO ππ¦ 1. Resuelva la ecuaciΓ³n π₯ 2 ππ₯ β π¦ 3 + 2π₯π¦ = 0 2. Resolver la E. D ππ¦ π ππ π¦ = ππ₯ π₯ cos π¦ β π ππ2 π¦ πππ
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PARCIALES EDO ππ¦
1. Resuelva la ecuaciΓ³n π₯ 2 ππ₯ β π¦ 3 + 2π₯π¦ = 0 2. Resolver la E. D ππ¦ π ππ π¦ = ππ₯ π₯ cos π¦ β π ππ2 π¦
πππ π¦(0) =
π 2
3. Encuentre la soluciΓ³n de la E.D. π¦ π¦ π¦ (ππ ( ) + 1) ππ₯ β π₯ ππ ( ) ππ¦ = 0 π₯ π₯ 4. Resuelva la ecuaciΓ³n conocida.
ππ¦ ππ₯
= π₯π¦ 2 β 2π¦ + 4 β 4π₯ notando que π¦1 = 2 es una soluciΓ³n
5. Encuentre la soluciΓ³n particular de la ecuaciΓ³n ππ(ππ(π¦)) 2 ππ(π₯) [ + π₯π¦ 3 + 6π₯] ππ₯ + [ + π₯ 2 π¦ 2 + 4π β2π¦ ] ππ¦ = 0 π₯ 3 π¦ ππ(π¦) 1
que pasa por el punto (1, 2). 6. Encuentre la soluciΓ³n general de la ecuaciΓ³n diferencial ππ¦ cos π₯ π₯π¦ 2 + π¦3 = ππ₯ π₯ 7. Resolver la E.D. (π₯ β 2π¦ + 4)ππ₯ + (2π₯ β π¦ + 2)ππ¦ = 0 8. Considere la E. D π¦βπ₯
ππ¦ ππ¦ = π (1 + π₯ 2 ), ππ₯ ππ₯
a) Encuentre la soluciΓ³n general. b) Encuentre la soluciΓ³n particular que verifica π¦(1) =
π > 1.
π π+1
9. Resolver la E.D. π₯
ππ¦ β (1 + π₯)π¦ = π₯π¦ 2 ππ₯
10. Hallar la soluciΓ³n de la ecuaciΓ³n diferencial ππ¦ 2π₯ + 3π¦ + 1 = ππ₯ 3π₯ β 2π¦ β 5 11. Resolver la E. D ππ¦ 6π₯ 2 β 5π₯π¦ β 2π¦ 2 = ππ₯ 6π₯ 2 β 8π₯π¦ + π¦ 2
12. Resolver la E.D 3(1 + π‘ 2 )
ππ¦ = 2π‘π¦(π¦ 3 β 1) ππ‘
13. Hallar la soluciΓ³n de la E.D.O π π₯ ππ₯ + (π π₯ cot π¦ + 2π¦ csc π¦)ππ¦ = 0 14. Resuelva la ecuaciΓ³n diferencial (π₯ + π¦ + 1)ππ₯ + (2π₯ + 2π¦ β 1)ππ¦ = 0 15. Resolver (2π₯π¦ 2 β 2π¦)ππ₯ + (3π₯ 2 π¦ β 4π₯)ππ¦ = 0 16. Hallar la soluciΓ³n de la E.D. ππ¦ π¦ π¦ = πππ ( ) + ππ₯ π₯ π₯ 2
π₯
2
2
17. a) Demuestre que π¦ = π βπ₯ β«0 π π‘ ππ‘ + π1 π βπ₯ es soluciΓ³n de π¦ β² + 2π₯π¦ = 1. b) Encuentre una ecuaciΓ³n diferencial cuya soluciΓ³n general π¦ = 3π₯ 2 + ππ β2π₯ 18. Resolver la E.D (7π₯ 4 π¦ β 3π¦ 8 ) ππ₯ + (2π₯ 5 β 9π₯π¦ 7 ) ππ¦ = 0, sabiendo que existe un factor integrante de la forma π₯ π π¦ π . ππ¦
19. Resolver π₯ ππ₯ β π¦ = 2π₯ 2 π¦ 20. Resolver el problema de valor inicial
ππ¦ ππ₯
=
π¦ + π₯ πππ 2 (π¦βπ₯) π₯
; π¦(1) =
21. Demuestre que la soluciΓ³n general de la ecuaciΓ³n diferencial
ππ¦ ππ₯
π 4
+ π(π₯)π¦ = π(π₯) es
π¦ = π β β« π(π₯)ππ₯ [β« π(π₯) π β« π(π₯)ππ₯ ππ₯ + π] 22. Resolver el problema de valor inicial π₯π¦(1 + π₯π¦ 2 ) π₯ sin π‘
23. Demostrar que π¦ = π₯ β«0
π‘
ππ¦ ππ₯
= 1 con π¦(1) = 0.
ππ‘ es soluciΓ³n de π₯π¦ β² = π¦ + π₯ sin π₯
24. Resuelva el problema de valor inicial ππ¦ π₯ + π¦ 2 = , π¦(0) = 1 ππ₯ 2π¦ 25. Hallar la soluciΓ³n particular de la E.D tal que π¦(1) = 1. ππ₯ 2 π₯ 3β2 β π₯ = βπ¦ ( 2 ) ππ¦ π¦ π¦
26. Considere la E.D π¦ β² + 2(1 β π₯)π¦ β π¦ 2 = π₯(π₯ β 2). a. Encuentre la soluciΓ³n particular de la forma π¦ = π΄π₯ + π΅. b. Encuentre la soluciΓ³n general. c. Encuentre la soluciΓ³n particular que pasa por el punto (2,2). 27. Resolver la E. D π₯π¦ β² = π¦ β βπ₯ 2 + π¦ 2 28. Encuentre la soluciΓ³n general de la ecuaciΓ³n diferencial ππ¦ 1 + tan(π₯) π¦ = βπ₯ π ππ(π₯) π¦ 3 ππ₯ 2 π¦
π¦
29. Resuelva la ecuaciΓ³n (π₯ β π¦ πππ (π₯ )) ππ₯ + π₯ cos (π₯ ) ππ¦ = 0 APLICACIONES 30. Una resistencia de 4 ohmios y un inductor de 1 henrio se conecta en serie con un voltaje dado por 100π β4π‘ cos 50π‘, π‘ β₯ 0. Encuentre πΌ(π‘) π π πΌ = 0 ππ π‘ = 0. 31. En cada punto π(π₯, π¦) de una curva del plano, el Γ‘ngulo formado por la tangente y la ordenada es bisecado por la recta que une al punto con el origen. Halle la ecuaciΓ³n de la curva sabiendo que pasa por el punto (1, 2). 32. Encuentre las trayectorias ortogonales de π₯ 2 + π¦ 2 = πΆπ₯ 33. Un objeto de masa m se deja caer desde el reposo en un medio que ofrece una resistencia proporcional a la magnitud de la velocidad, siendo π la constante de proporcionalidad. Demuestre que la distancia que recorre en t segundos estΓ‘ dada por: k ο t οΆ mg m2 g ο¦ xο½ t ο 2 ο§1 ο e m ο· k k ο¨ οΈ 34. Encuentre la curva que pertenece a la familia de trayectorias ortogonales de la familia de la familia de curvas π₯ + π¦ = πΆ π π¦ que pasa por (0, 5). 35. Encuentre las trayectorias ortogonales de la familia π¦ = π₯ + ππ βπ₯ y determine aquel miembro particular de cada familia que pasa por (0, 3). 36. Un inductor de πΏ henrios y un condensador de πΆ faradios se conectan en serie. Si π = π‘ π π‘ π0 , πΌ = 0 cuando π‘ = 0, demuestre que π = π0 πππ ( ) e πΌ = β 0 π ππ ( ) βπΏπΆ
βπΏπΆ
βπΏπΆ
cuando π‘ > 0. 37. En cada punto (π₯, π¦) de una curva el segmento que la tangente intercepta en el eje π¦ es igual a 2π₯π¦ 2 . Hallar la curva.
38. Una fem decayente πΈ = 200π β5π‘ se conecta en serie con una resistencia de 20 ohmios y un condensador de 0,01 faradios. Asumiendo π = 0 en π‘ = 0, encuentre la carga y la corriente en cualquier tiempo. Muestre que la carga alcanza un mΓ‘ximo, calcΓΊlelo y halle cuando se obtiene. 39. Muestre que un peso π, dada una velocidad inicial π£0 , se desliza una distancia π hacia abajo por un plano inclinado sin fricciΓ³n de inclinaciΓ³n πΌ en el tiempo