• Author / Uploaded
• Cristhian Rodriguez Peña

• Categories
• Trigonometría
• Triángulo
• Línea (geometría)
• Pendiente
• Tangente

Citation preview

2

CÁLCULO I Facultad de Ciencias y Tecnología DOCENTE: Magister Santiago Relos P. Fecha:........................... CI.: ......................... Apellidos:.....................................................Nombres:....................... Carrera: .................................................................. Tiempo: 90 minutos 1. (Signos AMARU-SOFT) Determinar intervalos donde f (x) es positiva y donde es negativa. f (x) =

x+2 4 + + 1. −x+2 x−4

−x2

2. (Signos AMARU-SOFT) Determinar intervalos donde f (x) es positiva y donde es negativa. f (x) =

−3x + 11 |x − 3| + . x−3 |x + 6|

3. (A-S) Considere la función:    si x ∈ [0, 3]  x (x + 3) f (x) =   −3 (x − 9) si x ∈ [3, 9] (a) Sea (a, b) un punto de la gráfica de f con a ∈ (0, 3), con este punto se construye un rectángulo de lados paralelos a los ejes tal que los otros dos vértices estén en el eje x y cuarto vértice en la recta. Determinar el área del rectángulo en t´rminos de a. (b) Resolver el inciso (a) cuando a ∈ (3, 9). 4. a) (Límite) Calcular:

√ L = l´ım

x→2

√ 5x2 + 9x − 1 − x3 + 29 √3 √3 9x2 − 27 − 9x − 9

b) (Límite trigonométrico AMARU-SOFT) Calcular: √ √ 25 + sen x cos 4 − cos x sen 4 − 25 + 4 sen x cos 4 − 4 cos x sen 4 L = l´ım x→4 tan (−4x + 16) c) (Límite notable AMARU-SOFT) Calcular: 3x2 +3x+1 s    −x4 − 3x3 + 2x2 − x − 2  l´ım   x→∞  −x4 − 3x3 − x2 − 3x − 3  5. (Tangente ) Encontrar valores de a, b y c, para!que los gráficos de los polinomios f (x) = ax2 + bx + c 3 y g (x) = ax3 + cx2 que se intersectan en , 1 y tienen la misma tangente en tal punto. 2 ...................1.92e+33................... 1 1

S.Relos Programa AMARU (fase alpha),05-Feb-2017 10:50:03, Tiempo:0.47 Seg.

3 Soluciones 2 1. (Signos AMARU-SOFT) Determinar intervalos donde f (x) es positiva y donde es negativa. f (x) =

x+2 4 + + 1. −x2 − x + 2 x − 4

Sol.: Puntos clave:Puntos Clave={−∞, −2, 1, 4, ∞}.

+

+

+

−

−2

−∞

4

1

∞

2. (Signos AMARU-SOFT) Determinar intervalos donde f (x) es positiva y donde es negativa. f (x) =

−3x + 11 |x − 3| + . x−3 |x + 6|

Sol.: Puntos Clave={−∞, −6, 1.25, 3, 8.5, ∞}.

+ −∞

+

+

−

−6 1.25

Pasos intermedios para cada caso: (a) f (x) = −2x2 + 23x − 51 (x + 6)(x − 3)

3

− ∞ 8.5

2x2 − 23x + 51 −4x2 + 17x − 15 , (b) f (x) = , (c) f (x) = (x + 6)(x − 3) (x + 6)(x − 3)

3. (A-S) Considere la función:     x (x + 3) f (x) =   −3 (x − 9)

si x ∈ [0, 3] si x ∈ [3, 9]

(a) Sea (a, b) un punto de la gráfica de f con a ∈ (0, 3), con este punto se construye un rectángulo de lados paralelos a los ejes tal que los otros dos vértices estén en el eje x y cuarto vértice en la recta. Determinar el área del rectángulo en t´rminos de a. (b) Resolver el inciso (a) cuando a ∈ (3, 9). ! 6a + 54 A(a) = −a (a + 3) (a − 3) 18 4. a) (Límite) Calcular:

√ L = l´ım

x→2

√ 5x2 + 9x − 1 − x3 + 29 √3 √3 9x2 − 27 − 9x − 9

17 92/3 √ = 0.6718 18 37 b) (Límite trigonométrico AMARU-SOFT) Calcular: √ √ 25 + sen x cos 4 − cos x sen 4 − 25 + 4 sen x cos 4 − 4 cos x sen 4 L = l´ım x→4 tan (−4x + 16) Sol.: L =

Sol.: L = 2

3 40

S.Relos Programa AMARU (fase alpha),05-Feb-2017 10:50:03, Tiempo:0.47 Seg.

4 c) (Límite notable AMARU-SOFT) Calcular: s 3x2 +3x+1   4 3 2  −x − 3x + 2x − x − 2  l´ım   x→∞  −x4 − 3x3 − x2 − 3x − 3  9

Sol.: L = e− 2 5. (Tangente ) Encontrar valores de a, b y c, para!que los gráficos de los polinomios f (x) = ax2 + bx + c 3 y g (x) = ax3 + cx2 que se intersectan en , 1 y tienen la misma tangente en tal punto. 2 104 14 16 Sol.: Los valores son a = , b = − , c = − , tales valores se encuentran resolviendo el sistema 27 9 3  27    3a + b = a + 3c    4         3  9 a+ b+c = 1    4 2         27 9    a+ c = 1  8 4

5

CÁLCULO I Facultad de Ciencias y Tecnología DOCENTE: Magister Santiago Relos P. Fecha:........................... CI.: ......................... Apellidos:.....................................................Nombres:....................... Carrera: .................................................................. Tiempo: 90 minutos 1. (Signos AMARU-SOFT) Determinar intervalos donde f (x) es positiva y donde es negativa. f (x) =

x−4 4 + − 3. 2 −x + x x

2. (Signos AMARU-SOFT) Determinar intervalos donde f (x) es positiva y donde es negativa. f (x) = 8 |x + 8| + 4x |x + 7| − 8. 3. (A-S) Considere el triángulo de vértices el (0, 0), (13, 15) y (−13, 15). Con un punto (x, y) del segmento que une el origen con (13, 15) se contruye un triàngulo. Si los otros puntos de tal triángulo son (0, 15) y (−x, y), hallar el área de dicho triángulo en función de x. 4. a) (Límite) Calcular:

√

√ 3x2 + x + 6 − 5x + 10 L = l´ım √3 √3 x→2 6x2 − 4 − −5x + 30

b) (Límite trigonométrico AMARU-SOFT) Calcular: √ √ 25 + 4 sen x cos 4 − 4 cos x sen 4 − 25 − sen x cos 4 + cos x sen 4 L = l´ım x→4 tan (x − 4) c) (Límite notable AMARU-SOFT) Calcular: 2 s !−7z −6z−5  5 4 3  2z − 2z + 3z − 1 5   l´ım  z→∞  2z5 − 2z4 − z3 − 5z2 

5. (Tangente ) Encontrar valores de a, b y c, para que los gráficos de los polinomios f (x) = ax2 + bx + c y g (x) = ax3 + cx2 que se intersectan en (1, 0) y tienen la misma tangente en tal punto. ...................3.98e+35................... 3

3

S.Relos Programa AMARU (fase alpha),05-Feb-2017 10:50:27, Tiempo:0.25 Seg.

6 Soluciones 4 1. (Signos AMARU-SOFT) Determinar intervalos donde f (x) es positiva y donde es negativa. f (x) =

4 x−4 + − 3. −x2 + x x

Sol.: Puntos clave:Puntos Clave={−∞, 0, 1, 2, ∞}.

−

+

− 0

−∞

1

− 2

∞

2. (Signos AMARU-SOFT) Determinar intervalos donde f (x) es positiva y donde es negativa. f (x) = 8 |x + 8| + 4x |x + 7| − 8. Sol.: Puntos Clave={−∞, −7, −2, ∞}.

− −∞

+

−

∞

−7 −2

3. (A-S) Considere el triángulo de vértices el (0, 0), (13, 15) y (−13, 15). Con un punto (x, y) del segmento que une el origen con (13, 15) se contruye un triàngulo. Si los otros puntos de tal triángulo son (0, 15) y (−x, y), hallar el área de dicho triángulo en función de x. 15x(13 − x) Sol.:A(x) = 13 4. a) (Límite) Calcular:

√

√ 3x2 + x + 6 − 5x + 10 L = l´ım √3 √3 x→2 6x2 − 4 − −5x + 30

√3 12 400 = 0.68174 √ 29 20 b) (Límite trigonométrico AMARU-SOFT) Calcular: √ √ 25 + 4 sen x cos 4 − 4 cos x sen 4 − 25 − sen x cos 4 + cos x sen 4 L = l´ım x→4 tan (x − 4) Sol.: L=

1 2 c) (Límite notable AMARU-SOFT) Calcular: Sol.: L =

2 s !−7z −6z−5  5 4 3  2z − 2z + 3z − 1 5   l´ım  z→∞  2z5 − 2z4 − z3 − 5z2 

14

Sol.: L = e− 5 . 4

S.Relos Programa AMARU (fase alpha),05-Feb-2017 10:50:27, Tiempo:0.25 Seg.

7 5. (Tangente ) Encontrar valores de a, b y c, para que los gráficos de los polinomios f (x) = ax2 + bx + c y g (x) = ax3 + cx2 que se intersectan en (1, 0) y tienen la misma tangente en tal punto. Sol.: Los valores son a = 0, b = 0, c = 0, tales valores se encuentran resolviendo el sistema   2a + b = 3a + 2c         1a + 1b + c = 0          a+c = 0

8

CÁLCULO I Facultad de Ciencias y Tecnología DOCENTE: Magister Santiago Relos P. Fecha:........................... CI.: ......................... Apellidos:.....................................................Nombres:....................... Carrera: .................................................................. Tiempo: 90 minutos 1. (Signos AMARU-SOFT) Determinar intervalos donde f (x) es positiva y donde es negativa. f (x) =

x−2 4 + − 1. +x+2 x+4

−x2

2. (Signos AMARU-SOFT) Determinar intervalos donde f (x) es positiva y donde es negativa. f (x) =

7x |x + 6| − 13x |x + 3| . |x − 9|

3. (A-S) Considérese el triángulo de vértices A = (0, 0), B = (13, 0) y C = (5, 18). Sobre el segmento AC se toma un punto (a, b) y se construye un rectángulo inscrito en el triángulo, con lados paralelos a los ejes de coordenadas. Determinar el área del rectángulo en términos de a. 4. a) (Límite) Calcular:

√ L = l´ım

x→1

√ 9x2 + 3x + 1 − x3 + 12 √3 √3 9x2 + 1 − 3x + 7

b) (Límite trigonométrico AMARU-SOFT) Calcular: L = l´ım

x→−5

4x + 20 − sen

√ √  5x + 5 5

−2x − 10 + tan (8x + 40)

c) (Límite notable AMARU-SOFT) Calcular: 2 s !8u −7u+5  5 4 3  u − 3u − 6u + 7u 8   l´ım  u→∞  u5 − 3u4 − 12u3 − 6u + 6 

5. (Recta tangente AMARU-SOFT) Hallar los puntos de la curva de ecuación: y = 8x ln (x)+2x donde 1 la recta tangente tiene pendiente m = . Hallar la ecuación de tal recta. 4 ...................1.32e+34................... 5 5

S.Relos Programa AMARU (fase alpha),05-Feb-2017 10:50:48, Tiempo:0.69 Seg.

9 Soluciones 6 1. (Signos AMARU-SOFT) Determinar intervalos donde f (x) es positiva y donde es negativa. f (x) =

x−2 4 + − 1. +x+2 x+4

−x2

Sol.: Puntos clave:Puntos Clave={−∞, −4, −1, 2, ∞}.

+

−

−

−4

−∞

− 2

−1

∞

2. (Signos AMARU-SOFT) Determinar intervalos donde f (x) es positiva y donde es negativa. f (x) =

7x |x + 6| − 13x |x + 3| . |x − 9|

Sol.: Puntos Clave={−∞, −4.05, 0, 0.5, 9, ∞}.

+ −∞

−4.05

−

+

−

(d) f (x) =

∞

0.5 0

Pasos intermedios para cada caso(a) f (x) = −6x2 + 3x . x−9

− 9

6x2 − 3x 20x2 + 81x −6x2 + 3x , (b) f (x) = , (c) f (x) = , −x + 9 −x + 9 −x + 9

3. (A-S) Considérese el triángulo de vértices A = (0, 0), B = (13, 0) y C = (5, 18). Sobre el segmento AC se toma un punto (a, b) y se construye un rectángulo inscrito en el triángulo, con lados paralelos a los ejes de coordenadas. Determinar el área del rectángulo en términos de a. ! 234 Sol.: A (a) = a (5 − a) 25 4. a) (Límite) Calcular:

√ L = l´ım

x→1

Sol.: L =

√ 9x2 + 3x + 1 − x3 + 12 √3 √3 9x2 + 1 − 3x + 7

9 102/3 √ = 2.3172 5 13

b) (Límite trigonométrico AMARU-SOFT) Calcular: L = l´ım

x→−5

Sol.: L = 6

4x + 20 − sen

√

√  5x + 5 5

−2x − 10 + tan (8x + 40)

√ 4− 5 . 6

S.Relos Programa AMARU (fase alpha),05-Feb-2017 10:50:48, Tiempo:0.69 Seg.

10 c) (Límite notable AMARU-SOFT) Calcular: 2 s !8u −7u+5  5 4 3  u − 3u − 6u + 7u  8  l´ım  u→∞  u5 − 3u4 − 12u3 − 6u + 6 

Sol.: L = e6 . 5. (Recta tangente AMARU-SOFT) Hallar los puntos de la curva de ecuación: y = 8x ln (x)+2x donde 1 la recta tangente tiene pendiente m = . Hallar la ecuación de tal recta. 4 ! 39 39 39 31 1 − 32 − 32 . Recta tangente: y = x − 8e− 32 Sol.: Punto de tangencia: e , − e 4 4

11

CÁLCULO I Facultad de Ciencias y Tecnología DOCENTE: Magister Santiago Relos P. Fecha:........................... CI.: ......................... Apellidos:.....................................................Nombres:....................... Carrera: .................................................................. Tiempo: 90 minutos 1. (Signos) Determinar intervalos donde f (x) es positiva y donde es negativa. f (x) = x2 − 2x +

2 2 − . x x+2

2. (Signos AMARU-SOFT) Determinar intervalos donde f (x) es positiva y donde es negativa. f (x) =

−4 |x + 5| + 5 |x − 1| . −5x + 1 − 3 |x − 4|

3. (A-S) Se tiene la necesidad de contruir un tanque cilíndrico de altura h con semiesferas de radio x agregadas en los extremos. Si el voúmen del tanque debe ser 12 m3 , determinar el costo de construcción de este tanque, en términos de x, si los extremos cuestan $35 y los lados cuestan $15 por metro cuadrado. h A B D 2x C AB = altura del cilindro = h CD = diámetro de la semiesfera = 2x

4. a) (Límite) Calcular:

√ 5x2 + 3 − x3 + 21 L = l´ım √3 √3 x→3 3x2 + 9 − 9x + 9 b) (Límite trigonométrico AMARU-SOFT) Calcular: √

sen (3x + 21) + sen (−7x − 49) x→−7 sen (−6x) cos (42) − cos (−6x) sin (42)

L = l´ım

c) (Límite notable AMARU-SOFT) Calcular: s 2x4 +8x3 +3x2 +5x  6x5 − 4x4 − 7x3 − 2x2 + 4x − 5 ! 7  l´ım  x→∞  6x5 − 4x4 − 7x3 − 2x2 − 3x 

12 5. (Recta tangente AMARU-SOFT) Hallar las rectas tangentes a la gráfica de: 64x2 + 4y2 − 1024x + 16y + 3856 = 0 con pendiente m = 3. ...................9.79e+34................... 7

7

S.Relos Programa AMARU (fase alpha),05-Feb-2017 10:51:06, Tiempo:1.8 Seg.

13 Soluciones 8 1. (Signos) Determinar intervalos donde f (x) es positiva y donde es negativa. f (x) = x2 − 2x +

2 2 − . x x+2

Sol.: Puntos clave:Puntos Clave={−∞, −2, −1.4142, 0, 1.4142, ∞}.

+

− −2

−∞

+

−

+ ∞

0

−1.4142

Paso intermedio, posiblemente sin simplificar f (x) =

1.4142

x4 − 4x2 + 4 (x) (x + 2)

2. (Signos AMARU-SOFT) Determinar intervalos donde f (x) es positiva y donde es negativa. f (x) =

−4 |x + 5| + 5 |x − 1| . −5x + 1 − 3 |x − 4|

Sol.: Puntos Clave={−∞, −5.5, −1.6667, 25, ∞}.

+ −∞

−

+

−

−5.5

25

−1.6667

∞

−x + 25 −9x − 15 x − 25 Pasos intermedio para cada caso(a) f (x) = , (b) f (x) = , (c) f (x) = , (d) −2x − 11 −2x − 11 −2x − 11 x − 25 f (x) = . −8x + 13 3. (A-S) Se tiene la necesidad de contruir un tanque cilíndrico de altura h con semiesferas de radio x agregadas en los extremos. Si el voúmen del tanque debe ser 12 m3 , determinar el costo de construcción de este tanque, en términos de x, si los extremos cuestan $35 y los lados cuestan $15 por metro cuadrado. h A B D 2x C AB = altura del cilindro = h CD = diámetro de la semiesfera = 2x

Sol.: C(x) = 8

  100πx3 + 360 4 . Pasos intermedios: πx3 + πx2 h = 12, C(x, h) = 35 4πx2 + 15 (2πxh) x 3

S.Relos Programa AMARU (fase alpha),05-Feb-2017 10:51:06, Tiempo:1.8 Seg.

14 4. a) (Límite) Calcular:

Sol.: L =

√ √ 5x2 + 3 − x3 + 21 L = l´ım √3 √3 x→3 3x2 + 9 − 9x + 9

1 362/3 √ = 0.78684 24 3

b) (Límite trigonométrico AMARU-SOFT) Calcular: L = l´ım

x→−7

sen (3x + 21) + sen (−7x − 49) sen (−6x) cos (42) − cos (−6x) sin (42)

2 . 3 c) (Límite notable AMARU-SOFT) Calcular: Sol.: L =

s 2x4 +8x3 +3x2 +5x  6x5 − 4x4 − 7x3 − 2x2 + 4x − 5 ! 7  l´ım  x→∞  6x5 − 4x4 − 7x3 − 2x2 − 3x  1

Sol.: L = e 3 . 5. (Recta tangente AMARU-SOFT) Hallar las rectas tangentes a la gráfica de: 64x2 + 4y2 − 1024x + 16y + 3856 = 0 con pendiente m = 3. ! 34 22 Sol.: Primera solución: Punto de tangencia: , Recta tangente y = 3x−16; segunda solución: 5 5 ! (x − 8)2 (y + 2)2 46 42 Punto de tangencia: + . ,− Recta tangente y = 3x−36.. Ecuación de la elipse: 5 5 22 82 Los puntos de tangencia se encuentran de: 64x2 + 4y2 − 1024x + 16y + 3856 = 0 64x − 512 − =3 4y + 8 6 4 2 0 −2 −4 −6 −8 −10 6 8 10

15

CÁLCULO I Facultad de Ciencias y Tecnología DOCENTE: Magister Santiago Relos P. Fecha:........................... CI.: ......................... Apellidos:.....................................................Nombres:....................... Carrera: .................................................................. Tiempo: 90 minutos 1. (Signos AMARU-SOFT) Determinar intervalos donde f (x) es positiva y donde es negativa. f (x) =

x 3 + − 2. −x2 − 4x x − 3

2. (Signos AMARU-SOFT) Determinar intervalos donde f (x) es positiva y donde es negativa. f (x) =

3x + 6 |x − 7| + . |x + 7| 7x + 3

3. (A-S) Considere la función: !   4    x x + si x ∈ [0, 2]   5 f (x) =    7   − (x − 10) si x ∈ [2, 10] 10 (a) Sea (a, b) un punto de la gráfica de f con a ∈ (0, 2), con este punto se construye un rectángulo de lados paralelos a los ejes tal que los otros dos vértices estén en el eje x y cuarto vértice en la recta. Determinar el área del rectángulo en t´rminos de a. (b) Resolver el inciso (a) cuando a ∈ (2, 10). 4. a) (Límite) Calcular:

√

√ 5x2 + 2x + 3 − 4x3 − x2 + 2x + 13 L = l´ım x→−1 5x3 + x2 + x + 5 b) (Límite trigonométrico AMARU-SOFT) Calcular: √ √ 1 + 5 sen x cos 4 − 5 cos x sen 4 − 1 + 2 sen x cos 4 − 2 cos x sen 4 L = l´ım x→4 tan (2x − 8) c) (Límite notable AMARU-SOFT) Calcular: 3 2 s !2w −8w +w−6  5 4 3 2  2w + 8w − 2w + 4w − 2  6  l´ım  w→∞  2w5 + 8w4 − 2w3 + 6w2 + w + 4 

5. (Recta tangente AMARU-SOFT) Hallar los puntos de la curva de ecuación: y = −4x ln (x) + 2x 5 donde la recta tangente tiene pendiente m = − . Hallar la ecuación de tal recta. 7 ...................3.64e+38................... 9 9

S.Relos Programa AMARU (fase alpha),05-Feb-2017 10:51:26, Tiempo:0.27 Seg.

16 Soluciones 10 1. (Signos AMARU-SOFT) Determinar intervalos donde f (x) es positiva y donde es negativa. f (x) =

−x2

x 3 + − 2. − 4x x − 3

Sol.: Puntos clave:Puntos Clave={−∞, −4.4159, −4, 0, 3, 4.4159, ∞}.

+

− −∞

−

+

− 0

−4.4159 −4

3

− 4.4159

∞

2. (Signos AMARU-SOFT) Determinar intervalos donde f (x) es positiva y donde es negativa. f (x) =

3x + 6 |x − 7| + . |x + 7| 7x + 3

Sol.: Puntos Clave={−∞, −7, −0.42857, ∞}.

− −∞

∞

−7 −0.42857

Pasos intermedios para cada caso: (a) f (x) = f (x) =

+

−

22x2 + 51x − 31 (x + 7)(7x + 3)

−22x2 − 51x + 31 20x2 + 51x + 67 , (b) f (x) = , (c) (x + 7)(7x + 3) (x + 7)(7x + 3)

3. (A-S) Considere la función: !   4    x x + si x ∈ [0, 2]   5 f (x) =    7   − (x − 10) si x ∈ [2, 10] 10 (a) Sea (a, b) un punto de la gráfica de f con a ∈ (0, 2), con este punto se construye un rectángulo de lados paralelos a los ejes tal que los otros dos vértices estén en el eje x y cuarto vértice en la recta. Determinar el área del rectángulo en t´rminos de a. (b) Resolver el inciso (a) cuando a ∈ (2, 10). ! ! 4 40a + 140 (a − 2) A(a) = −a a + 5 28 4. a) (Límite) Calcular:

Sol.: L= 10

√ √ 5x2 + 2x + 3 − 4x3 − x2 + 2x + 13 L = l´ım x→−1 5x3 + x2 + x + 5

−6 √ 7 6

S.Relos Programa AMARU (fase alpha),05-Feb-2017 10:51:26, Tiempo:0.27 Seg.

17 b) (Límite trigonométrico AMARU-SOFT) Calcular: √ √ 1 + 5 sen x cos 4 − 5 cos x sen 4 − 1 + 2 sen x cos 4 − 2 cos x sen 4 L = l´ım x→4 tan (2x − 8) 3 4 c) (Límite notable AMARU-SOFT) Calcular: Sol.: L = −

3 2 s !2w −8w +w−6  5 4 3 2  2w + 8w − 2w + 4w − 2  6  l´ım  w→∞  2w5 + 8w4 − 2w3 + 6w2 + w + 4 

1

Sol.: L = e− 3 . 5. (Recta tangente AMARU-SOFT) Hallar los puntos de la curva de ecuación: y = −4x ln (x) + 2x 5 donde la recta tangente tiene pendiente m = − . Hallar la ecuación de tal recta. 7 ! 9 9 9 23 5 Sol.: Punto de tangencia: e− 28 , e− 28 . Recta tangente: y = − x + 4e− 28 7 7 Hecho con LATEX