Trigonometría 1 Ángulos en posición normal Un ángulo trigonométrico está en posición normal si su vértice está en el o
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Trigonometría
1 Ángulos en posición normal Un ángulo trigonométrico está en posición normal si su vértice está en el origen de coordenadas y su lado inicial coincide con el lado positivo del eje de las abscisas. El lado final se ubica en cualquier cuadrante que indicará a que cuadrante pertenece el ángulo. Si el lado final coincide con un semieje; el ángulo no pertenece a ningún cuadrante. Ejemplo: y
Sen q =
y = ordenada ⇔ Cscq = r = radio vector y ordenada r radio vector
Cosq = x = abscisa ⇔ Secq = r = radio vector r radio vector x abscisa Tanq =
y ordenada ⇔ Cotq = x = abscisa = y ordenada x abscisa
Nota b g
a q
Para recordar las definiciones anteriores, utilice los siguientes cambios:
x
Cateto opuesto < > Ordenada Cateto adyacente < > Abscisa a ∈ IC
b ∈ IIC
g ∈ IIIC
q ∈ IVC
Hipotenusa < > Radio vector ÁNGULOS COTERMINALES
Nota: Los ángulos en posición normal también se denominan ángulos canónicos o stándard.
Son aquellos, ángulos trigonométricos en posición normal cuyos lados finales coinciden, siendo la diferencia de sus medidas un múltiplo de 360°, es decir, un número positivo de vueltas. Si a y b son coterminales tal que a > b, entonces se cumple:
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Si q es un ángulo canónico; sus razones trigonométricas se obtienen conociendo un punto del lado final como P(x;y) y se aplican las definiciones siguientes:
r x
5.° año
a = 360°k + b
y
P(x;y) y
a – b = k(360°); k ∈ Z
q
y
x
a
Observaciones: y: ordenada x: abscisa r: radio vector r = x2 + y2
x b
a y b: canónicos y coterminales
95
TRIGONOMETRÍA
1
ÁNGULOSENPOSICIÓNNORMAL
Trabajando en clase Integral
5. Calcula: Tana + Senq
1. El punto P(1;–3) pertenece al lado final de un ángulo en posición normal “a”, calcula el valor de: E = 10 Seca + Tana 2. El punto Q(–2;3) pertenece al lado final de un ángulo estándar q, calcula: Q = 13 Cscq – Cotq 3. Calcula K = 1 Seny – 2Cosy 2 y (–15;8)
Resolución: P(m–2; m–3) ↓ ↓ x y
y a
x
q
Del dato:
(4;–3)
(5;13)
m – 2 = –3m + 9 4m = 11 → m = 11/4
6. Obtén el valor de Tanb y
53º
Cotq = –3 m - 2 = -3 m- 3
9. Calcula el valor de “a” si Tana = 4 y
b x
y
x 7. Calcula: M = 3Tanα - 2Senθ - Secα Tanθ Senα Secθ
PUCP
y
4. Calcula: Cscq – Sena y (–12;5)
(a+1;a–2) 10. Calcula: R=
a
(4;3) a
x
a
Senα + Senβ Tanα + Tanβ + Senα Tanα y
x
q
x
a
q
x b
Resolución: (–12;5) y xy r=13
UNMSM (4;3) a
xy r=5
x
8. Si Cotq = –3 Calcula el valor de m.
11. Obten el valor de “Tanq” y
y
q q Piden: Cscq – Sena 13 - 3 5 5 10 =2 5
1
TRIGONOMETRÍA
x P(m–2;m–3)
96
q 53º
x
5.° año
ÁNGULOSENPOSICIÓNNORMAL UNI 12. Calcula: E = 3Tana + 1 y
3
5
–1
x
A
O
q B
x
13. Calcula 2Cotq – 1, si CB = 2BA
Resolución: 3 53º
y
C
B
y 45º
A
4 a
5.° año
C
–2 + 1 a
(–6;4) x y
y
3 d 4 n+ 1 -6
53º
3
14. Calcula: Tanq – Cotq
Piden: 3Tana + 1
x
q
97
x
TRIGONOMETRÍA
1
2
Ánguloscuadrantalesytabladesignos de las razones trigonométricas
SIGNOS DE LAS R.T. EN LOS CUADRANTES 90º
IIC
IC
Sen Csc (+)
Todas (+)
180º
0º; 360º IIIC
VIC
Tan Cot (+)
Cos Sec (+)
Obs.: Las que no aparecen en los cuadrantes, son consideradas negativas
270º
ÁNGULO CUADRANTAL
Es aquel en posición normal cuyo lado final coincide con alguno de los semiejes del sistema coordenado, los ángulos cuadrantales son de la forma: Ang. Cuadrantal = 90° . k
(k ∈ Z)
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES Grados Sexagesimales
0º
360º
90º
180º
270º
Radianes
0
2p
π 2
p
3π 2
Seno
0
0
1
0
–1
Coseno
1
1
0
–1
0
Tangente
0
0
N.D.
0
N.D.
Cotangente
N.D.
N.D.
0
N.D.
0
Secante
1
1
N.D.
–1
N.D.
Cosecante
N.D.
N.D.
1
N.D.
–1
2
TRIGONOMETRÍA
98
5.° año
ÁNGULOS CUADRANTALES Y TABLA DE SIGNOS DE LAS RAZONESTRIGONOMÉTRICAS
Trabajando en clase Integral
UNMSM
8. Si Sena = 9 , a ∈ IIC 41 Calcular: L = Seca + Tana Resolución # y Sena = 9 41 # r r2 = x2 + y2 412 = x2 + 92 x = –40 (ya que a ∈ IIC) Piden: L = Seca + Tana L = 41 + 9 - 40 - 40
1. Señala el signo de: L = Sen140c - Cos200c Tan320c 2. Indica el cuadrante al cual pertenece q, si se cumple: Secq < 0 ∧ Tanq > 0 3. Calcula el valor de: E = (Cos270°)Sen90° – Tan360c Cos0c PUCP
L = 50 = - 5 4 - 40 1 9. Si: Cosx = – (x ∈ IIIC) 3 Calcula el valor de: N = 2 (Cscx – Cotx)
4. Si:
Sen2x + Sen4x - Sen6x Cos2x + Cos4x + Tanx - 4Sec4x Calcula f bπ l 4 Resolución f(x) =
10. Si se tiene que Tana > 0, además: Sena = Tan230° – Cot45°, calcula el valor de Cosa
Sen2x + Sen4x - Sen6x f(x) = Cos2x + Cos4x + Tanx - 4Sec4x
11. Si q es un ángulo en posición normal del tercer cuadrante positivo y menor que una vuelta, determina el signo de: E = Sen2q . Cot θ . Csc θ 2 3
Sen2 π + Sen4 π - Sen6 π π 4 4 4 fb l = 4 π π π Cos2 + Cos4 + Tan - 4Sec4 π 4 4 4 4 Sen π + Senπ - Sen3 π π 2 2 fb l = 4 π π Cos + Cosπ + Tan - 4Secπ 2 4 ( 1) + ( 0) - ( - 1) f bπ l = 4 ( 0) + ( - 1) + ( 1) - 4 ( - 1)
UNI 12. Si: 1 - Senθ + Senθ - 1 = Cosf + 1 Cuando q y f son positivos y menores que 1 vuelta, calcular: Cscθ + Cos2 φ K= 1 - Senφ
f bπ l = 2 = 1 4 4 2
Resolución
5. Si: f(x) = 2Sen2x – Cos4x + Csc6x – 3Tan8x Calcula f(45°)
Dato: 1 - Senθ + Senθ - 1 = Cosf + 1
6. Indica el cuadrante al que pertenece “q”, si se cumple: Senθ . Cotq < 0
Senq – 1 ≥ 0 → Senq ≥ 1
1 – Senq ≥ 0 → 1 ≥ Senq → Senq = 1 ∧ q = 90° Reemplazando en el dato:
7. Calcula el valor de:
1 - 1 + 1 - 1 = Cosf + 1
Q = (Sec180°)Cot270° + 3Csc90c Cos360c
5.° año
Cosf = -1 ∧ f = 180°
99
TRIGONOMETRÍA
2
ÁNGULOS CUADRANTALES Y TABLA DE SIGNOS DE LAS RAZONESTRIGONOMÉTRICAS Piden: K=
Cscθ + Cos2 φ 1 - Senφ
2 K = Csc90c + Cos 180c 1 - Sen180c 2 _1 i + _- 1 i K= 1 - _0 i 2 K= = 2 1
2
TRIGONOMETRÍA
13. La expresión: E= θ-2 + 4-θ es real, halla el valor de: M = Senq + Tanq + Cosq (q: es un ángulo cuadrantal) 14. Si: Sen2a = Sena + 1 ∧ a ∈ IIIC 12 Calcula: E = Cota – 4Cosa
100
UNI - 2001
5.° año
3 Reducción al primer cuadrante En este capítulo buscaremos determinar las razones trigonométricas de ángulos de cualquier medida en función de un ángulo agudo.
CASO 1: ÁNGULOS NEGATIVOS
Se aplica el siguiente criterio
Sen(–x) = –Senx Csc(–x) = –Cscx Tan(–x) = –Tanx Cot(–x) = –Cotx
CASO 2: ÁNGULOS MAYORES DE 1 VUELTA (360°)
En este caso se procede a dividir el ángulo entre 360°, tomando el residuo en lugar del ángulo original.
CASO3: ÁNGULOS MENORES A 1 VUELTA (360°)
En este caso se descompone el ángulo usando un ángulo cuadrantal sumado o restado con un ángulo agudo, luego se aplica el siguiente criterio. R.T. (180° ∨ 360° ± q) = ± R.T. (q) R.T.(90° ∨ 270° ± q) = ± Co – R.T. (q)
Cos(–x) = Cosx Sec(–x) = Sec
El signo ± depende de analizar la expresión original con la tabla de signos de las razones trigonométricas.
Trabajando en clase Integral
III C Cos240° = Cos(180° – 60°) = –Cos60° = – 1 2 IV C Sec315° = Sec(360° – 45°) = +Sec45° = 2
1. Simplificar: Q=
Sen (- α) 2Cos (- θ) 3Tan (- β) + + Senα Cosθ Tanβ
2. Calcula:
Reemplazando: L = Sen150º – Cos240º + Sec2315º 2 L = b1 l - b- 1 l + _ 2 i 2 2 L=3
E = Sec1860° – Tan1485°
3. Obtén el valor de: Q = 4Sen210° + 3Tan315° PUCP 4. Calcula: L = Sen150° – Cos240° + Sec2315° Resolución II C Sen150° = Sen(180° – 30°) = +Sen30° = 1 2 5.° año
5. Calcula: E = Cos210º – Tan120º + Cot330º 6. Reduce: E = Sec(–60º) . Cos(–37º) [5Tan(–45º) + 6Sen(–30º)]–1 7. Calcula:
101
P = Csc1110º + Cos1440º TRIGONOMETRÍA
3
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE UNMSM
UNI
8. En un triángulo ABC, simplificar: Sen (A + B) Q= – 2Tan(A + B + 2C) . Cot(A + B) SenC Resolución A + B + C = 180º Sen (180c - C) Q= – 2Tan(180º + C) . Cot(180º – C) SenC Q = SenC – 2(TanC)(–CotC) SenC Q = 1 + 2TanC.CotC 1442443 Q = 1 + 2(1) = 3 9. En un triángulo ABC, simplifica: Cos (B + C) L= + Tan(A + B + C) CosA
12. Si x + y = 180º Calcula: Sen(Cosx) + Sen(Cosy) Resolución Dato: x + y = 180º y = 180º – x Piden: Sen(Cosx) + Sen(Cosy) Sen(Cosx) + Sen(Cos(180º-x)) Sen(Cosx) + Sen(–Cosx) Sen(Cosx) + –Sen(Cosx) 0 13. Si a + q = 360º
Calcula: P = Sen(Tana) + Sen(Tanq)
10. De la siguiente expresión: Sen (π + x) + Sen (π - x) +x, < o = I. Sen110º ( ) Sen20º II. Sen200º ( ) Sen250º
b
2. Coloca el signo >, < o = I. Cos20º ( ) Cos340º II. Cos100º ( ) Cos195º 3. Halla el área sombreada C.T.
C.T.
6. Calcula el área de la región sombreada y
O
9. Señala verdadero (V) o falso (F) según corresponda I. Cos70º > Cos21º .......... ( ) II. Cos100º > Cos170º ...... ( ) III. |Cos230º| > |Cos160º| .. ( ) 10. Halla la longitud del segmento MN
q
PUCP 4. Halla el área sombreada
7. Si 90º < q < 180º, entonces señala verdadero (V) o falso (F) según corresponda
N 11. Halla la longitud PO. C.T.
Cosa > Cosq ....................... ( ) |Cosa| > |Cosq| ................... ( )
O
UNMSM
C.T.
P O
q
8. Señala verdadero (V) o falso (F) según corresponda
Resolución
q Senq
C.T.
C.T.
Sena < Cosq ....................... ( )
q
a
M
x
a
14243 1
I. Sen69º > Sen21º ........... ( ) II. Sen215º > Sen255º ....... ( ) III. |Sen310º| > |Sen320º| ... ( ) Resolución 90º
C.T. (1) (Senθ) 2 S = Senθ 2 S=
4
Del gráfico: I. verdadero II. verdadero III. verdadero
TRIGONOMETRÍA
180º
– – 215º 255º
104
UNI 12. Calcula el área de la región sombreada C.T.
69º
21º + + – – 320º 310º
a
5.° año
CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA 13. Calcula el área sombreada.
Resolución C.T.
B
C.T.
O
14243
a
1
14243
–Sena
A
q
1
C
–Cosa Ssombreada = S9AOB + S9BOC – S9AOC Ssombreada =
1 (- Senα) 1 (- Cosα) 1.1 + 2 2 2
Ssombreada = - Senα - Cosα - 1 2
5.° año
14. Coloca >, < o = según corresponda. I. Sen(Sen1)
Sen(Sen2)
II. Cos(Sen1)
Cos(Sen2)
Cos(Cos2)
105
III. Cos(Cos1)
TRIGONOMETRÍA
4
5 Variación de senos y cosenos VARIACIÓN DEL SENO –1 ≤ Senq ≤ 1 Senqmax = 1
Senqmin = –1
IC
IIC
IIIC
IVC
0 < Senq < 1
0 < Senq < 1
–1 < Senq < 0
–1 < Senq < 0
VARIACIÓN DEL COSENO –1 ≤ Cosq ≤ 1 Cosqmax = 1
Cosqmin = –1
IC
IIC
IIIC
IVC
0 < Cosq < 1
–1 < Cosq < 0
–1 < Cosq < 0
0 < Cosq < 1
Trabajando en clase Integral 1. Señala la variación de: Q = 7Sena – 5 2. Señala la variación de: F = 7 – 3Cosq 3. Si Senq = 2n - 1 7 ¿Cuál es la suma de los valores enteros que toma n?
5
TRIGONOMETRÍA
PUCP 4. Si q ∈ IIC, señala la variación de: E = 3Senq + 1 Resolución Si q ∈ IIC → 0 < Senq < 1 0 < 3Senq < 3 1 < 3Senq + 1 < 4 1