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MATEMÁTICA APLICADA ADMINISTRACIÓN FINANCIERA CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL SOLUCIÓN EXAMEN 01 Manizales, 15 de Noviembre de 2013

1. Determine una ecuación para la recta que pase por las coordenadas 12, 6  y  3, 21 . SOLUCIÓN Con base en la información suministrada realizo el procedimiento para a obtención de la ecuación solicitada.  x1, y1    3, 21 y  x2 , y2   12, 6 Reemplazando apropiadamente las coordenadas en la ecuación para cálcular la pendiente: m

y2  y1 6  21 27 9    x2  x1 12   3 15 5

Con el valor de la pendiente y una da las dos coordenadas, podre reemplazar en la función pendiente y despejar y , para obtener la ecuación solicitada: 9  m y  y1  m 5  x  x1   x1 , y1    3, 21 9 y  21   5 x   3 9  x   3   5  y  21 9  x  3  5  y  21 9 x  27  5 y 105

5 y 105  9 x  27 5 y  9 x  27  105 5 y  9 x  78 9 x  78 y 5 9 78 y  x 5 5

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2. Determine una ecuación para la parábola que pase por las coordenadas  0, 4 ,  6, 1 y  12, 10  . SOLUCIÓN Con base en la información solicitada, reemplazo cada una de las coordenadas en la ecuación y  ax2  bx  c .  a  0 2  b  0   c  4  2  a  6   b  6   c  1  2 a  12   b  12   c  10 Procederé a numerar las ecuaciones:  c  4 1   36a  6b  c  1 2 144a  12b  c  10 3 

Reemplazo el valor de

c  4

en las ecuaciones 36a  6b   4   1 144a  12b   4   10  36a  6b  3 2 

2

y

3

.

144a  12b  6 72a  12b  6 144a  12b  6 72a  12 12 1  72 6 a   1 6  y c  4 en a

Reemplazando el valor de

la ecuación

2 .

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36a  6b  c  1  1  36    6b   4   1  6 6  6b  4  1 6b  1  6  4 6b  9 b

9 3  6 2

Finalmente, despues de haber obtenido el valor de todas las incognitas:

1 3 y   x2  x  4 6 2

3. (Punto de equilibrio) Áurea y Manuel Ortuño determinan que el punto de equilibrio del mercado para su producto ocurre cuando el volumen de ventas alcanza $70,000. Los costos fijos son $30,000 y cada unidad se vende en $140. Determine el costo variable por unidad. SOLUCIÓN Con base en la información suministrada: Punto de equilibrio $70,000 para el volumen de ventas. Costos fijos $300,000 Cada unidad se vende a $140. Si hacemos la relación algebraica de costos sería de forma lineal:  Costos  70000 Costos  CostosVariables  CostosFijos  CostosFijos  30000 Ingresos  140 x x :unidades vendidas

En el punto de equilibrio las magnitudes de los costos y los ingresos se hacen iguales. 70000  140x 70000 x 140

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x  500

Lo anterior significa que el punto de equilibrio se presenta al vender x  500 unidades. Costos  70000   Costos  CostosVariables  CostosFijos  CostosFijos  30000 CostosVariables  K *500 

Reemplazando:

Lo que significa un

70000  500K  30000 500K  70000  30000 40000 K 500 K  80 costo variable de $80 por

unidad

4. (Cercado) Un granjero tiene 500 yardas de cerca con la cual delimitará un corral rectangular. ¿Cuál es el área máxima que puede cercar? SOLUCIÓN Con base en la información suministrada: 500 yd de cerca disponible

Establezco de forma hipotética que el corral sería rectángular y con ancho de x yardas y largo de y yardas. Con base en la figura propuesta y en relación a las dimensiones sugeridas: El perímetro del corral sería:

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2 x  2 y  500

1

El área que encerraría el corrar se podría calcular con: Area  xy

2

Tengo dos ecuaciones con dos incognitas, despejare la variable y en la primer ecuación: 2 x  2 y  500 500  2 x y 2 y  250  x

Reemplazando en despeje de

y

en la ecuación

2

:

Area  xy

Area  x  250  x  Area  250 x  x2

Hemos obtenido una expresión polinómica de grado dos, la cual es cóncava hacia abajo y por ende posee un máximo en el lugar donde se presenta el vértice. Procedo a calcular la magnitud del vértice: b 2a 250 xv  2  1 xv 

xv  125

Con base en la coordenada del vértice en x  125 , procedo a evaluar la función del área en éste valor para obtener la magnitud del área máxima: Area  250 x  x2

Area  250 125  125

2

Areamáxma  15625 yardas 2