Pacioli, Luca - La Divina Proporcion

Luca Pacio li LA DIVINA PROPORCIÓN Introducción de Antonio l. González Rodríguez Trttducción de Jua n Calalr::tva @

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NOTA A LA EDICION La presente edición del tratado de fra Luca Pacioli LA DIVINA PROPORCION ha sido realizada a partir del ejemplar manuscrito existente en la Biblioteca Ambrosiana de Milán, que fuera regalado por el propio autor a Giangaleazzo Sanseverino. De los tres códices que Luca Pacioli mandó copiar sólo se conservan en la actualidad el mencionado y el que fue dedicado al Duque de Milán Ludovico il Moro (Biblioteca Cívica de Ginebra). Más tarde sería impreso en Venecia en 1509, en los talleres de Paganino Paganini junto a otros escritos (el Tractato de la architectura, el Libellus in tres partiales tractatus divisus, traducción en vulgar de la obra de Piero della Francesca De corporibus regularibus y las instrucciones para construir el Alfabeto).

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Leonardo da Vinci. Al final del tratado da algunas instrucciones acerca de la utilización de dichos dibujos 58 . El capítulo LIV constituye, en sí mismo, un pequeño tratado de arquitectura. Comienza con la descripción del poliedro de 72 caras, muy utilizado, según afirma, por los arquitectos contemporáneos. Este cuerpo se revela de gran utilidad en la construcción de tribunas, bóvedas o cielos. Pacioli considera que, aunque en estas estructuras arquitectónicas no se emplean tantas caras, puede, sin embargo, resultar una guía óptima para las mismas, dada la similitud que guardan con este poliedro, sobre todo si se tiene en cuenta una tercera o cuarta parte de él. Entre los numerosos edificios, antiguos o contemporáneos, que asegura han sido inspirados en este cuerpo, cita el Panteón romano, la capilla de San Scettro de Milán y la tribuna del altar mayor de Santa Maria delle Grazie, también de Milán 59• Esta afirmación no deja de ser sorprendente, pues un atento examen de los referidos edificios no permite una constatación literal con lo manifestado en el texto. De ser cierta, se trataría de una de las mayores novedades para nuestro conocimiento de la teoría arquitectónica del Renacimiento 60• Ni en Vitruvio (incluida la edición de 1521 de Cesariano), ni en ningún teórico de la arquitectura renacentista (Alberti, Filarete, Francesco di Giorgio, Serlio, Cataneo, Palladio, etc.) se encuentra indicación alguna del uso de] poliedro de 72 caras de Pacioli. Parece ser que estos cuerpos geométricos fueron utilizados como meros elementos de decoración. Hay noticias que aseguran que Miguel Angel encargó al orfebre Giovanni di Baldassarre una bola con la forma de este cuerpo para que coronara su capilla Médici, en plena identificación con las ideas platónicas del Frate 6 1• Es muy probable que Pacioli, como advirtió Chastel, haya querido, después de Piero della Francesca, dar a entender que la elaboración de las formas decorativas tienen los mismos fundamentos que la representación científica de la naturaleza 62• 58 Cf. el cap. LXX de De Divina Proportione; cf., también, De v iribus quantitatís: •... supreme et legiadrissime figure de runi i platonici et mathematici rtguhri et dcpendenti, ch'in prospectivo disegno non i: possibile al mondo farli meglio, quando bene Apelle, Mirone, Policrcro (sic) er gli altri fra noi tornassero, facte er formate per quella ineffabile senima mano a ruue discipline m:uhematici acomodatissima del prencipe oggi fra monali, pro prima fiorentino, Lionardo nostro da Vinci, in quel fdici tempo ch'insiemi a medesimi stipendü nella mirabilissima citta di Milano ci trovammo; d. MASsorn BIGGIOGERO, G.: Op. cit., p. 227. Pua lo referente a los dibujos de Leonardo, cfr. DE TONI, G. B. : •lnrorno un codice sforzesco d.i Luca Pacioli nella Biblioteca di G inevra e i disegni geometrici dell'opera "De divina proporcione" auribuiti a Leonardo da Vinci•, en Per el IV centenario della morte di Leonardo da Vinci, Bergamo, l nstiruro Vincíano di Roma, 1919. 9 $ La capilla en cuestión es la carolingia (hoy llamada de San Sátiro) que tanto impresionó a Bramante y a Leonardo. Parece, no obstante, referirse a la iglesia o a la sacristía de Bramante. La tribuna del altar mayor de Santa M.' ddle Grazic fue realizada, probablemente, sobre proyecto bramantesco (aprox. en 1492). 60 Cf. RACKUSIN, B.: • The Arcbüectural theory of Luca Pacioli: De Divina Proporrione, chapter 54•, en Biblioteque d'Humamsme et Renaissance, 1977, p. 487: cf. PoRTOGHESl, P.: •Luca Pacioli e la " Divina Proportione··, e o Civilta del/e machim~. 1957, pp. 21- 28. 61 Cf. BRUSCHl, A.: • Nota introduttiva•, en Scritti rinascimemali di archicettJ•ra, op. cit., p. 41, n. 1; cf. DE TOLNAY, CH.: Miguel AngeL Esc~tltor, pintor y arqt~Jtecto, Madrid, Alianza Forma, 1975, p. 134 (en especial, cap. lll). 62 Cf. CHASTEL, A.: 1 centri del Rinascimento. Arte italiana (1460-1500), Milán, Ed. Rizzoli, 1979, p. 263: •La posesión de tales normas tenia una inmensa resonancia de tipo doctrinario. Adquirían el valor de un "mysterium" de una iniciación oculta y maravillosa. En esto, sin duda, el secreto que Durero en 1506 estab¡¡ ávidamente intentando encontrar o conocer en Bolonia: "u m dcr kunst willcn in hcimlichcr Perspectiva" •; cf. IDEM: •Marqueterie et perspective au XV• siecle•, en Rl!1.!ue des Arts, 1953, 1!1, pp. 141-154; cf. IDEM: Marsile Ficin et I'Art, Ginebra, Ed. Droz, 1954. El autor señal~. a su vez, que Fra Giova.nni da Verona, excelente •taraceísta• del Renacimiento, realizó en Mo meoliveto Maggiore una espléndida obra en donde aparece representado, junto a otros elementos propios de un •srudiolo• de humanista, el poliedro de 72 caras de Pacioli.

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En la última parte del capítulo, Pacioli recomienda, muy encarecidamente, el estudio de la obra de Vitruvio, en un ataque lanzado contra los arquitectos de la época que todavía seguían operando fuera de las normas matemáticas: • Quien de Vitruvio se aparta, cava en el agua y cimenta en la arena y muy pronto malogra el arte.» A juzgar por el término «moderno» que el autor emplea para referirse a los edificios construidos en su época sin las debidas proporciones, las opiniones aquí vertidas tienen que ver, sin duda, con la polémica sostenida, en Milán, a finales del siglo XV, a propósito de las obras del Duomo. Aunque no da nombres es probable que Pacioli se refiera a algún grupo en concreto, conocido de todos, que no hacía necesaria su mención. Este grupo de arquitectos «modernos» (es decir, «góticos») podían ser los responsables de la ruina de edificios habida en Milán durante el proceso de reconstrucción emprendido por Ludovico. Una verdadera «querelle» entre «antiguos » y «modernos» que, ya por entonces, dominaba los ánimos de artistas y teóricos 63• El elogio a Vitruvio va unido a la exaltación del «ángulo recto» (angulus iustitiae), sin cuyo conocimiento, dice, no es posible «distinguir el bien del mal en ninguna de nuestras proporciones ni en modo alguno se puede dar medida cierta». Sus afirmaciones se hacen eco de las ideas dominantes en los ambientes humanistas, que alentaban la exigencia del rigor moral como vía segura para el perfeccionamiento del arte. La otÜnea recta» era símbolo de castidad, simplicidad de vida y moralidad contra las ;(extravagancias» del virtuosismo técnico de las • líneas curvas» muy del gusto del espíritu gótico, considerado, ahora, como el exponente de la corrupción y exhibición lujuriosa de riquezas. La rectitud moral y el deseo de renovación de la arquitectura se ligan, en Pacioli, a la esmerada preparación científica (matemática) del arquitecto 64 . En general, todo el discurso de la DIVINA PROPORCION podría resumirse en una sola propuesta: la arquitectura (como codo el arre) debe reflejar, como «allo specchio• , la estructura matemática del Universo. La PROPORCION MATEMATICA, principio universal y objetivo de belleza, debe convertirse en punto de referencia obligado para todo arte. La edición veneciana del DE DIVINA PROPORTIONE incluía una parte específica dedicada a la arquitectura, que no aparece, en cambio, en los manuscritos. De inspiración vitruviana, su contenido se aparta en cierta medida de los presupuestos apuntados en la primera, al menos en lo que toca a la aplicación de la «Sección divina,., Queremos destacar, no obs63 Filarete, en 1453, experimentó el rechazo de algunos técnicos milaneses durante sus trabajos en el Castcllo di Pona Giovia. Para vengarse de ellos lanza, años más tarde, un duro ataque al llamado .estile moderno•: •Ma lasciamo m .re al presente dire di queste chiese moderne loro mancamenti, i queli sono procceduti quasi da una oppi· nione universale de chi fa fare alcuna cosa che appancnga a questo esercizio d'edificare, e a ognuno gli pare essere buono architetto. E per questo pi umaestri di questa arte che di ni una altra, ma meno se ne truova buoni che dell'al· tre ... Accio che sl possi no avedersi degli crrori e anche da loro guardarsi, leggendo questo vedranno li falli che commettono e fanno commettere a chi di loro si fida. Aviene questo, come ho derto, perche no ne intendono n~ misure, né proporzioni delle cose che s'apanengono allo edificare•; cf. FtLARETE: Trattato di art:hitettura, lib. 1, fol. 2r,v (edición de L. Grassi, Milán, 11 Polifilo, 1972, ''01. 1; vid., en especial, la nota 1, p. 6, así como la nota 3, p. 117). De todas formas, a juzgar por los términos empleados por Pacioli y las referencias a los artesanos (albañiles, zapateros, etc.), podría, a su vez, ser un •locus classicus-; cf. VITRUVIO: Los diez libros de arquiuctura, lib. Vl, introducción. '-' Cf. BRUSCiil, A.: .Nota introduttiva•, en op. cit., p. 37; cf. BAXANDALL, M.: Pintura y vida cotidiana m c/ Renacimiento. Arte y cxperitmcia en el Quattrocento, Barcelon;~., Ed. Gustavo Gilí, 1978, p. 131: •En verdad, es posible que las calidades pictórica~ que nos parecen teológicamente neutrales -la proporción, la perspectiva, el color, la variedad, por ejempll>-- no lo fueran. Un imponderable lo constituye el ojo moral y espiritual capaz de interpretar varios tipos de interés visual en términos morales y espirituales.•

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tante, las referencias que hace, tanto en el Proemio como en el primer capítulo, a las concepciones antropomórficas y antropocéntricas de las proporciones y de la arquitectura. Todas las medidas, afirma, se derivan del cuerpo humano y en él están señaladas por el dedo del Altísimo toda suerte de proporciones y proporcionalidades respecto a sus miembros. El hombre aparece aquí de nuevo como la medida de todas las cosas: el espejo del universo. Por eso, los antiguos, señala, considerando la disposición del cuerpo humano «conformaban todas sus obras, máxime los templos sagrados, de acuerdo con la proporción de dicho cuerpo, pues en aquél encontraban las dos figuras principales sin las cuales no es posible hacer nada, es decir, la circular, la más perfecta... La otra es la figura cuadrada equilátera» 65• A su vez, el cuerpo humano sirve de modelo para la estructura de las ciudades, donde todos sus elementos guardan perfecta correspondencia con los diferentes miembros de aquél. Las referencias a la inscripción del cuerpo humano en la arquitectura que Pacioli recoge en esta parte, fueron muy comunes en la tratadística de la época. Se encuentran, sobre todo, en Francesco di Giorgio, para quien el hombre es el protagonista de la naturaleza y de la ciencia. 66. El carácter inconmensurable de la DIVINA PROPORCION fue la causa de su restringida aplicación real en la arquitectura y en la pintura del Renacimiento. Se sabe que jugó un papel considerable en la geometría medievl\1. Wittkower sostiene, no sin cierta razón, que las propiedades irracionales de la «sección áurea• son difíciles de conciliar con «una anotación fidedigna y conmensurable de las dimensiones», objetivo fundamental de los arquitectos renacentistas 67• Señala, además, no haber encontrado mención alguna a este tipo de magnitudes en los centenares de estudios que, sobre proporciones humanas y arquitectónicas, se escribieron a lo largo del Renacimiento. El atractivo de la DIVINA PROPORCION era de otra especie. Sus propiedades constituyeron una fu ente de «ebriedad .. intelectual, más que de satisfacción puramente visual. Sólo algunos siglos más tarde, cuando en el XIX surja de nuevo el interés por las proporciones inconmensurables, la «sección áurea,. será una pieza clave en las especulaciones artísticas y estéticas 68. En una carta dirigida a Matila Ghyka, el poeta Paul Valery escribía: «El equilibrio entre el saber, el sentir y el poder está hoy roto en las artes. El instinto sólo da fragmentos; pero el arte magno debe corresponder al hombre completo. LA DIVINA PROPORCION es la medida generalizada ...

~ Cf. PACIOLI, L. : De Divina Propomone, ed. iuliana A. Bruschi, Scrittí, o p. cit., p. 95; ed. castellana, op. ck, p. 152. 64 Cf. Trauati di Archicettura, ingegneria e arte militare, Milán, JI Polifilo, 1967, fol. 3, tav. 1; cf. PAPINI, R.: Frances¡;o Giorgío Architeuo, Florencia, Electra Ed., 1946, p. 199; cf., además, FAVARO, G .: e l e proporzioni del corpo umano in un codice anonimo del Quaurocento postil ato de Leonardo• , en Reale A ce. d'!talia. Memorie dalla sdenza fi.sica, 1934, vol. V, pp. 592 ss.; cf. MARCONI, P.: • La cittadella come microcosmo, una chiave per l'inter· pretnione dell'urbanistica rinascimentale•, en Quademi ddl'istit uro di stona dell'archirertura, serie XV, 1968, pp. 53-94; cf. MURATORE, G.: La citta rinascimtmtale. Típi e modellt auraverso i trattati, Mil:in, G. Mazzotu , 1975, pp. 197 SS. 67 Cf. WITTKOWER, R.: ·Sistemas de proporciones~, en Sobre la arquttectura en la edad dtl humanismo, op.

cit., pp. 535 ss. •Resuha evidente que las proporciones irracionales habrían planteado a los artistas del Renacimiento un dilema insoluble, pues la actitud renacentista ante las proporciones venía determinada por una nueva aproxima· ción orgánica a la naturaleza que implicaba un procedimiento empírico de medición y pretendía demostrar que todas las cosas estaban relacionadas entre sí mediante los números.• 41 Cf. ScHOLFIELD, P. H .: Op. cit., pp. 97-149.

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EXCELLENTISSIMO PRINCIPI LUDOVICO M. SF. ANGLO MEDIOL. D., PACIS ET BELLI ORNAMENTO, FRATRIS LUCE EX BURGO S. SEPUL. OR. MI. SACE. THEOL. PROFES. DE DIVINA PROPOR. EPISTOLA ::-

stando, Excelso Duque, en el 9 de febrero del año de nuestra salvación de 1498, en la inexpugnable fortaleza de vuestra ínclita ciudad de Milán, dignísimo lugar de vuestra acostumbrada residencia, constituido con vuestra presencia en laudable y científico duelo, con la concurrencia de toda clase de hombres celebérrimos y sapientísimos, tanto religiosos como seglares, de los cuales abunda habitualmente vuestra magnífica corte; de ellos, además de las Reverendísimas Señorías de los obispos, protonotarios y abades, estuvieron presentes, de nuestra sagrada y seráfica orden, el Reverendo Padre y sublime teólogo maestro Gometio, con el dignísimo pregonero de la Sagrada Escritura Fray Domenico, apellidado Ponzone, el Reverendo Padre maestro Francesco Busti, actualmente regente diputado en nuestro digno convento de Milán; y, de entre los seglares, primero mi particular protector, el señor Galeazzo Sforza, el señor Severino, valerosísimo general de Vuestra Excelencia, capitán a nadie inferior en las armas y diligente seguidor de nuestra disciplina. Asistieron también egregios oradores de preclaras potencias, así como los hombres más sabios en medicina y astronomía; y Ambrogio Rosa, agudísimo investigador de Serapion y de Avicena y de

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.F. Dotmmnu ponzon. . M .fr:ancoÍnu BuO..

•ttt.o.Galu.couuf.v .S$ .

'' Al Excelentísimo Príncipe Ludovico Maria Sforza, Duque de Milán, Ornamento de la paz y de la guerra, Epístola sobre la Divina Pro porción, del hermano Luca de Borgo San Sepolcro, de la orden de los menores, profesor de Sagrada Teología.

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los cuerpos superiores e intérprete de las cosas futuras; el doctísimo sanador de todos los males Alvise Marliano; el sagaAlutCuu marl~ntu. císimo observador de cada una de las partes de la Medicina Gabriel Pirovano; y el muy admirado y venerado por todos los anteriores Nicolo Cusano, junto con Andrea Novarese, G•bnd pu·ouantu N t«>>aus cuf.tmu. hombre expertísimo en las mismas profesiones, y otros muy A.n.drcas not,.ncnlis. eximios y sapientísimos doctores utriusque iuris, así como consejeros, secretarios y cancilleres de vuestra honorable magistratura; y, en compañía de los muy perspicaces arquitectos, ingenieros y asiduos inventores de cosas nuevas, Leonardo da Vinci, nuestro compatriota florentino, cuyo renombre L~vmmu. en los campos de la escultura, f undición o pintura es atestiguado por todos, como demuestra la admirable y magnífica estatua ecuestre, cuya altura desde la cabeza hasta el suelo es de 12 brazas, es decir, 36 veces la presente línea ab, y cuya Equdlns n.nua masa de bronce asciende en total acerca de doscientas mil libras, de doce onzas comunes cada libra, dedicada a vuestra santísima e invicta memoria paterna, obra que nada tiene que envidiar a las de Fidias y Praxíteles en Monte Cavallo ; o tamf rAncúaiuf. Phyldu.s.Pu,.vrbom.

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exhortará a sus familiares y a sus reverentes súbditos a discurrir sobre él con deleite y con sumo placer y fructífera utilidad, pues no se trata de fábulas seniles ni de otras ridículas y falsas falacias, ni de mendaces e increíbles invenciones poéticas que engañan a nuestros oídos. Y, aunque las cosas falsas son útiles, según el filósofo, porque de ellas se sigue el conocimiento de las cosas verdaderas como el reverso al derecho y a cada cosa su opuesto, lo verdadero nos será, sin embargo, más útil y provechoso aunque de ello derive lo no verdadero. Pero, como afirman Aristóteles y A verroes, nuestras matemáticas son las más verdaderas de las cosas verdaderas, en el primer grado de la certeza, y a ellas siguen todas las demás ciencias naturales. Baste esto, pues, como introducción y argumento de las explicaciones que aquí siguen, siempre con la humildad y reverencia debida a Vuestra Alteza, a quien de continuo me encomiendo encarecidamente. Quae felicissime ad vota valeat.

CAPITULO II Proemio del presente tratado llamado La Divina Proporción ropter admirari ceperunt philosophari. Según la reconocida autoridad, Excelso Duque, del maestro de aquellos que saben, el saber tuvo su origen en la vista, tal y como afirma él mismo en otro lugar cuando dice nihil est in intellectu quin prius fuerit in sensu, es decir, que no hay nada en el intelecto que previamente no se haya ofrecido de alguna manera a los sentidos. Y los sabios concluyen que la vista es el más noble de nuestros sentidos. De ahí que también vulgarmente se diga, no sin fundamento, que la vista es la primera puerta por la que el intelecto entiende y gusta. Como se explica en el lugar mencionado, al ver los sacerdotes egipcios un eclipse de luna quedaron grandemente admirados y, al buscar la razón de tal suceso, encontraron, con ciencia verdadera, que el mismo ocurría por la interposición de la tierra entre el Sol y

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la Luna, con lo cual quedaron satisfechos; y, desde entonces en adelante, sus sucesores, aguzando cada vez más las cinco ventanas del intelecto, llenaron, para nuestro provecho, multitud de volúmenes con sus profundas ciencias. Así, tal y como una idea surge de otra, de aquel hecho derivaron otros muchos. Meditando sobre ello decidí escribir este utilísimo compendio de las ciencias matemáticas y, al mismo tiempo, dar con mi propia mano, para bien de todos, la debida y particular forma material de sus cuerpos y ofrecerla a Vuestra Alteza Ducal junto con el presente compendio. No dudo que, pór su inusitado aspecto, como cosa en nuestros tiempos venida del cielo, vuestro sutil y perspicaz intelecto encontrará en ellos un grandísimo placer, máxime cuando, con la luz antes dicha y con menor empeño que los antiguos egipcios en el mencionado eclipse, encontrareis las causas de tales formas y de su dulcísima armonía con la ayuda y el sufragio del presente tratado. Por eso estoy seguro de que, si en el pasado ofrecisteis vuestro vasto y amplio apoyo a quien conociese alguna parte de tales ciencias, en el futuro habreis de mostraros aún más magnánimo y generoso y, con tOda diligencia y empeño, exhortareis a su adquisición a vuestros amados familiares, reverentes súbditos y demás personas queridas. Pues dichas matemáticas son el fundamento y la escala para llegar al conocimiento de cada una de las demás ciencias, por encontrarse en el primer grado de la certeza, como afirma el filósofo cuando dice Mathematicae enim scientiae sunt in primo grado certitudinis et naturales sequuntur eas. Como se ha dicho, las ciencias y disciplinas matemáticas se encuentran en el primer grado de la certeza y las siguen todas las ciencias naturales; y sin el conocimiento de aquéllas se hace imposible entender bien ninguna otra ciencia. Igualmente está escrito en la sabiduría que omnia consistunt in numero, pondere et mensura, es decir, que todo aquello que se encuentra distribuido por el universo inferior y superior se reduce necesariamente a número, peso y medida. Y dice el excelso Agustín en De Civitate Dei que en estas tres cosas recibe el Sumo Hacedor gran alabanza porque en ellas fecit stare ea quae non erant. Y, gracias a esta amorosa exhortación, pienso que mu33

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chos que ignoran la utilidad de este suavísimo fruto despertarán de su sopor y de su sueño mental y se aplicarán con total diligencia y solicitud a la investigación de tales materias y habrá en ellas razón para que en su tiempo se renueve el siglo y para llegar con mayor realidad y presteza a la perfección en todos sus estudios de cualquier ciencia. Y, además de la fama y digno renombre de Vuestra Alteza Ducal en su excelso dominio, se acrecentará vuestra no escasa probidad hacia vuestros queridos familiares y amados súbditos, siempre dispuestos a defenderlo en no menor medida de lo que hizo por su patria el noble e ingenioso geómetra y dignísimo arquitecto Arquímedes, quien, como está escrito, con sus nuevas y diversas invenciones de máquinas, mantuvo incólume durante largo tiempo a la ciudad de Siracusa contra el Ímpetu y los belicosos avances de los romanos, cuando trataron de expugnarla bajo las órdenes de Marco Marcelo. Y no se oculta a Vuestra Alteza, por su cotidiana experiencia -pues por muchos años ya su santísima memoria paterna fue autor, preceptor y norma para toda Italia y ambas Galias, Cisalpina y Transalpina- que la defensa de las grandes y pequeñas repúblicas, por otro nombre conocida como arte militar, es imposible de practicar con nobleza, honor y utilidad sin el conocimiento de la geometría, la aritmética y la proporción. Y jamás ningún digno ejército de asedio o de defensa podrá considerarse totalmente equipado si en él no se encuentran ingenieros y algún maquinador de cosas nuevas especialmente destinado a esta misión, como anteriormente hemos relatado a propósito del gran geómetra Arquímedes en Siracusa. Si se mira bien, cualquiera de las artillerías, ya sean bastiones u otros reparos, bombardas, trabucos, manganillas, ronfeas, balistas, catapultas, arietes, testudos, casias y todas las demás innumerables máquinas, ingenios e instrumentos, siempre se encontrarán fabricados y dispuestos a base de número, medida y proporciones. ¿Qué otra cosa son las ciudadelas, torres, revellines, muros, antemuros, fosos, puentes, torreones, merlones, manteletes y otras fortificaciones terrestres, ciudades y castillos, sino geometría y proporciones, con sus debidos niveles y arcos calibrados y ajustados? No por otra razón fue-

ron tan a menudo victoriosos los antiguos romanos, como escriben Vegecio, Frontino y otros ilustres autores, sino por el gran cuidado y diligente preparación de sus ingenieros y otros especialistas de tierra y de mar, cuya suficiencia no hubiera sido posible sin las disciplinas matemáticas, es decir, aritmética, geometría y proporciones, como demuestran de modo claro y manifiesto las antiguas historias de Livio, Dionisio, Plinio y otros autores, de las que Ruberto Valtorri, sapientísimo hijo de Rímini, extrajo todas las que figuran en su digna obra De instrumentis bellicis, dedicada al ilustre Señor Segismundo Pandolfo. Lo mismo podría decirse, entre otras cosas, del puente artificial de Julio César que figura en sus Comentarios. Y con dichas máquinas e instrumentos, como relata en su libro el mencionado autor riminense, y así con muchas otras más, la felicísima memoria del pariente y estrecho afín a Vuestra Alteza Federigo Feltrense, ilustrísimo duque de Urbino, mandó adornar todo el magnífico edificio de su noble y admirable palacio de U rbino, rodeándolo con un friso de bella piedra viva realizado por expertísimos canteros y escultores. Y también hasta hoy, en la digna ciudad Tudertina de Umbría, en la iglesia de San Fortunato, nuestro sagrado convento, vuestra santísima memoria paterna mandó disponer un gran número de muy gruesas maromas para un puente sobre el Tíber, a fin de lograr su célebre victoria. Y no por otros medios llega nuestro sutilísimo Escoto a sus grandes especulaciones de sagrada Teología sino gracias al conocimiento de las disciplinas matemáticas, como es evidente en todas sus sagradas obras; máxime si se mira con atención la cuestión del segundo libro de sus Sentencias, cuando se pregunta si el ángel tiene un lugar propio para su existencia y demuestra haber entendido muy bien todo el sublime volumen de nuestro muy perspicaz filósofo megarense Euclides. Igualmente, si todos los textos del príncipe de aquellos que saben física, metafísica, posteriora, y los demás, parecen difíciles no es sino por la ignorancia de las ya mencionadas disciplinas matemáticas. Y si hay escasez de buenos astrónomos ello no se debe sino a la falta de aritmética, geometría,

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proporciones y proporcionalidad; nueve de cada diez astrónomos se rigen en sus juicios por tablas, apuntes y otros datos calculados por Tolomeo, Albumasar, Ali Alfragano, Geber, Alfonso, Bianchino, Prodocimo y otros que, por el poco cuidado de los copistas, pueden presentar datos erróneos y viciados y, consiguientemente, al fiarse de ellos, incurren en grandísimos y evidentes errores, con no poco daño y perjuicio de quienes confían en ellos. Igualmente, la suprema sutileza de todas las leyes municipales consiste, como más de una vez me han expuesto quienes son expertos en estas materias, en juzgar y tener en cuenta los aluviones y circunluviones de las aguas en sus inundaciones, cosas acerca de las cuales compuso el eximio Bartolo da Sassoferrato un tratado que tituló Tiberina, en cuyo proemio alababa grandemente a la geometría y a la aritmética afirmando que aprendió tales disciplinas de un fraile nuestro llamado Guido, profesor de sagrada teología, en su tratado sobre las agregaciones y desagregaciones que en ocasiones provoca el Tíber con sus inundaciones, particularmente en las tierras de Perugia en las que contiene su curso. En su obra siempre se sirvió de figuras geométricas rectilíneas y curvilíneas, citando continuamente a nuestro agudísimo filósofo Euclides, y la concluyó con gran sutileza. Nada digo de la dulce y suave armonía musical ni de la suma confortación intelectual de la perspectiva, ni de la disposición de la arquitectura, la descripción del universo marítimo y terrestre o la doctrina de los cursos y los aspectos celestes, porque lo dicho hasta ahora acerca de todas esas materias está claro. Para menor cansancio del lector, dejo otras ciencias muy prácticas y especulativas, junto con todas las artes mecánicas necesarias para las cosas humanas, sin cuya ayuda es imposible alcanzar éstas y conservar en ellas el orden debido. Y no debe, pues, causar admiración el hecho de que en nuestros tiempos sean pocos los buenos matemáticos, porque la causa de ello reside en la escasez de buenos maestros, junto con la gula, el sueño y las plumas ociosas y, en parte, la debilidad de los más recientes ingenios. De ahí que entre los sabios se acostumbrara a decir, según proverbio común: Aurum probatur ignis et ingenium mathematicis, es decir, que

la bondad del oro la demuestra el fuego y la calidad de los ingenios las disciplinas matemáticas. Y esta sentencia preten de expresar que el genio apto para las matemáticas lo es también para las otras ciencias, ya que aquéllas son de grandísima abstracción y sutileza al tener que consid erarse siempre fuera de la materia sensible. Y ciertamente son tales que, como dice un proverbio toscano, cortan un pelo en el aire, por lo Tnfo1 m prou.,.¡,um • que el antiguo y divino filósofo Plató n negaba, no sin razón, Pl• rv ph&l.{C!fñul· a los que ignorasen la geometría la entrada en su celebérrimo gimnasio, sobre cuya puerta principal colocó, en letras grandes y bien inteligibles, una breve inscripción con estas formales palabras: N emo hu e geometriae expers ingrediatur, es decir, que no entrase quien no fuese un buen geómetra; e hizo esto porque en la geometría se encuentra oculta toda otra ciencia. Y, anteriormente, el estudiosísimo contemplador de -í' la naturaleza Pitágoras, lleno con la suavísima dulzura de esta ~y~Agc-r:u fb' ·. ciencia, hizo, según cuenta Vitruvio, sacrificar cien bueyes a v.tlnuucu .tn+utl"t'T'tll . los dioses, con grandísima fiesta y júbilo, por el descubrimiento del ángulo recto, como más abajo se dirá. Y sea esto, en el presente, suficiente recomendación de los matemáticos, cuyo número comienza a crecer no poco en est.ra nuesta ínclita ciudad gracias a Vuestra Alteza Ducal y a la asidua lectura pública de sus obras que habéis nuevamente introducido para provecho de los egregios oyentes, a cuyo juicio, con toda diligencia y conforme a la gracia que me ha sido claramante concedida por el Altísimo, expongo el sublime volumen del mencionado Euclides sobre las ciencias de la aritmética, geometría, proporciones y proporcionalidades. Y ya he puesto dignísimo final a sus diez libros, interponiendo siempre nuestra práctica en su teoría para su mayor utilidad y comprensión, y dedicando a la redacción del presente m · tado el resto del tiempo.

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CAPITULO III

Lo que debe entenderse por los vocablos .cmatemático» y 4(disciplinas matemáticas» ste vocablo, Excelso Duque, es griego, derivado de la palabra que en nuestra lengua equivale a decir disciplinable; y, para nuestro propósito, por ciencias y disciplinas matemáticas se entienden la aritmética, la geometría, la astronomía, la música, la perspectiva, la arquitectura y la cosmografía, así como cualquier otra dependiente de éstas. Sin embargo, comúnmente, los sabios consideran como tales a las cuatro primeras, es decir, la aritmética, geometría, astronomía y música, llamando a las demás subalternas, es decir, dependientes de estas cuatro. Así lo quieren Platón y Aristóteles, Isidoro en sus Etimologías y Severino Boecio en su Aritmética. Pero nuestro juicio, aunque bajo e inexperto, las reduce a tres o a cinco, es decir, a aritmética, geometría y astronomía, excluyendo a la música por las mismas razones por las que ellos excluyen a la perspectiva, o añadiendo esta última a las cuatro citadas por las mismas razones por las que ellos añaden la música a nuestras tres. Si dicen que la música contenta al oído, uno de los sentidos naturales, no es menos cierto que la perspectiva contenta a la vista, tanto más digna cuanto que es la primera puerta del intelecto. Si dicen que aquélla se remite al número sonoro y a la medida del tiempo de sus prolaciones, ésta, por su parte, se refiere al número natural según todas sus definiciones y a la medida de la línea visual. Si la música recrea el ánimo mediante la armonía, la perspectiva nos deleita en gran medida gracias a la distancia debida y a la variedad de colores. Si aquélla considera sus proporciones armónicas, también ésta hace lo propio con las aritméticas y geométricas. Y, en resumen, Excelso Duque -y ya hace varios años que me asalta esta idea-, nadie ha conseguido aclararme por qué deban ser cuatro las disciplinas y no tres o cinco. Pienso que tan gran número de sabios no ha de equivocarse, pero, a pesar de todas sus sentencias, mi ignorancia no cede. ¡Oh, dios ! ¿Quién, al ver una airosa figura, bien dis-

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puesta, con sus debidas alineaciones y a la que sólo parezca faltar el aliento, no la juzgaría como cosa más divina que humana? Hasta tal punto de perfección imita la pintura a la naturaleza. Y es algo que se hace patente ante nuestra vista en el exquisito simulacro del ardiente deseo de nuestra salvación, en el que no es posible imaginar a los apóstoles prestando mayor atención al sonido de la voz de la infalible verdad cuando dijo: unus vestrum me traditurus est; escena ésta en la que, con actos y gestos, parece que se hablan unos a otros con viva y afligida admiración: tan dignamente lo representó nuestro Leonardo con su airosa mano. Igualmente se puede leer en Plinio, en su D e Picturis, cómo Zeuxis y Parrasio se enfrentaron en un mismo ejercicio pictórico; hizo aquél una cesta de uvas con sus pámpanos que, una vez expuesta al público, hizo que los pájaros se lanzaran sobre ella como si fuese verdadera; éste, en cambio, pintó un velo y, tras exponerlo igualmente en público, Zeuxis, creyendo que se trataba de un velo que cubría la obra con la que él competía, le dijo: «Alza el velo y deja ver a todos tu obra, como he hecho yo con la mía.» Y de este modo quedó derrotado, porque mientras que él había engañado a los pájaros, que son animales irracionales, Parrasio había engañado a uno racional y maestro, si no me engaña mi gran deleite y amor por la pintura (aunque sea ignorante de ella). Y, universalmente, no es un espíritu gentil aquel que no gusta de la pintura, cuando ésta atrae tamo al animal racional como al irracional. D e ahí que, por el momento, si no ocurre otra cosa, me atendré a la idea de que son tres las principales ciencias y subalternas las demás, o bien cinco si se hace entrar a la música, ya que en modo alguno me parece que se pueda postergar a la perspectiva, no menos digna de elogio. Y estoy seguro de que, por no ser esta materia artículo de fe, me será tolerada esta opinión. Todo ello en cuanto al mencionado nombre se refiere.

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