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Jorge Andrés Garfias Meza Un aporte a la docencia LISTADO DE EJERCICIOS Diferenciación, Derivadas Parciales, Optimizac

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Jorge Andrés Garfias Meza

Un aporte a la docencia

LISTADO DE EJERCICIOS Diferenciación, Derivadas Parciales, Optimización I.- Derivadas Parciales

1.- Hallar las primeras derivadas parciales de las siguientes funciones: 2 2 2 a) f ( x, y ) = x 2 sen 2 y b) f ( x, y, z ) = x x + y + z x

d) f ( x, y ) = x 2 ln y 2

e) f ( x, y, z ) = e

2

g) u = xye x + y j) f ( x, y ) = sen 2 (ln xy 2 )

u 2 +v 2

u

ux uy

y

f) z = ln

x2 + y2 − x x2 + y2 + x

i) z = arctg (ln(xy ))

∂u ∂u ∂u = ( x + y + z) 2 + + ∂x ∂y ∂z

e t dt , hallar z u en u = 1, v = 2.

4) Si ϕ = ln x 2 + y 2 probar que x 5) Calcular

z

+e

h) u = e xyz sen( xy ) cos(2 xz )

2) Si u = xz 2 + x 2 y + y 2 z probar que 3) Si z = ∫

y

c) f ( x, y ) = arctg ( xy )

∂ϕ ∂ϕ +y =1 ∂x ∂y

vx y y , donde u = ∫ cos t 2 dt ; v = ∫ sent 2 dt x x vy

∂u ∂u ∂u x+ y +y +z =0 6) Si u = sen  probar que x ∂x ∂y ∂z  z  e xyz ∂u ∂u ∂u probar que + + = u ( xy + xz + yz − 1) 7) Si u = x y z ∂x ∂y ∂z e +e +e ∂u ∂u +y =2 ∂x ∂y 1 ∂u ∂u +y = 2y2 9) Si u = y 2 + tg ( ye x ) verificar que x 2 ∂x ∂y y ∂z ∂z = xy + z 10) Si z = xy + xe x verificar que x + y ∂x ∂y ∂f ∂f y 11) Si f ( x, y ) = x y + y x hallar ∂x ∂y 8) Si u = ln( x 2 + xy + y 2 ) verificar que x

II.- Derivadas Parciales y Diferenciabilidad

1) Hallar D1 f (0,0) y D2 f (0,0) si es que existen de las funciones, luego analice la diferenciabilidad de cada función.  x3 − y3  x2 y3  2  , si ( x, y ) ≠ (0,0) ≠ , si ( x , y ) ( 0 , 0 ) b) f ( x, y ) =  x 2 + y 2 a) f ( x, y ) =  x + y 2  0, si ( x, y ) = (0,0)  0, si ( x, y ) = (0,0)

2) Hallar, si existen

∂f y ∂x

∂f en los puntos x = y 2 de la función: ∂y

1 − e ( x − y )  + 2 y 2 , si x ≠ y 2 , ¿es diferenciable la función en su dominio? f ( x, y ) =  x − y 2 2 2  2 y , si x = y  3 2

III.- Gradiente y Plano Tangente

1) Hallar ∇f (4,2) , sabiendo que f ( x + y, x − y ) = xy + y 2 .

R: ∇f (4,2) = (3,−2)

2) Determinar las ecuaciones del plano tangente en el punto indicado a la superficie dada: a) z = 3 −

x2 y2 − 9 16

; (2,2,

83 ) 36

b) z = e 2 x cos(3 y )

π

; (1, ,−e 2 ) 3

c) z = 4 − x 2 − y 2

; (1,1, 2 )

e) z = ln x 2 + y 2

; (−3,4, ln 5)

d) z = 3x 2 + y 2 + 2

; (−1,2,9)

3) Hallar los puntos de la superficie donde el plano tangente es paralelo al plano coordenado XY: x2 y2 z2 c) z = x 2 y − x 3 y + x 2 y 2 + + =1 b) z = seny a) 4 9 1 x2 y2 z2 4) Demostrar que el plano tangente a la elipsoide 2 + 2 + 2 = 1 en el punto ( x0 , y 0 , z 0 ) tiene por a b c xx0 yy 0 zz 0 + 2 + 2 = 1. ecuación: a2 b c 5) Demostrar que todo plano tangente al cono x 2 + y 2 = z 2 pasa por el origen. 6) ¿En qué puntos del gráfico de la ecuación x 2 + 4 y 2 + 16 z 2 − 2 xy = 12 , son los planos tangentes paralelos al plano XZ? R: (2,2,0) y (-2,-2,0). 7) Determinar el valor de m para que el plano x − 2 y − 2 z + m = 0 sea tangente a la superficie de ecuación x 2 + 4 y 2 + 16 z 2 − 144 = 0 8)

Hallar el gradiente de f en los puntos indicados. a) f ( x, y, z ) = z 2e x seny , P0 (0, π ,2) 2 z x z y c) f ( x, y , z ) = x + z + y + z , P0 ( 2,1,1)

b)

f ( x, y, z ) = ln x 2 + y 2 + z 2 , P0 (−1,1,3)

9) Encuéntrese la razón de cambio máxima de las siguientes funciones en los puntos que en cada caso se indican. b) f ( x, y, z ) = e x cos y + e y senz, (−1,2,2) a) f ( x, y, z ) = xy 2 + x 2 z , (3,1,2) 10) ¿Cuál es el valor de θ para el cual la derivada direccional de f ( x, y ) = (seny )

xy

en el punto (0, π ) 2

es máximo, y cuál es este valor máximo?. 11) La ecuación de la superficie del cerro San Cristóbal es z = 900 − 2 x 2 − 2 y 2 , donde la distancia se mide en metros, el eje X apunta al este y el eje Y apunta al norte. Un hombre está parado en el punto correspondiente a (6,− 14 ,800) . a) ¿Cuál es la dirección de la ladera más pronunciada? b) Si el hombre se mueve en la dirección Nor-Este, ¿Está ascendiendo o descendiendo?. ¿Cuál es su rapidez? c) Si el hombre se mueve en la dirección Sur-Oeste, ¿está ascendiendo o descendiendo?, ¿Cuál es su rapidez?. 12) El potencial eléctrico es V voltios en cualquier punto (x,y) en el plano XY y V = e −2 x cos(2 y ) . La distancia se mide en pies. a) Encontrar la rapidez de cambio del potencial en el punto (0, π ) en la dirección del vector 4 π  π  R: -1 unitario u = cos i + sen  j 6 6 b) Encontrar la dirección y la magnitud de la máxima rapidez de cambio de V en (0, π ) . 4 R: − j , ∇V = 2 13) La temperatura es T grados en cualquier punto (x,y,z) en el espacio IR 3 y T =

60 la x + y + z2 + 3 2

2

distancia se mide pulgadas. a) Encontrar la rapidez de cambio de la temperatura en el punto (3,-2,2), en la dirección del vector 36 − 2,3,−6 . R: 35 b) Encontrar la dirección y la magnitud de la máxima rapidez de cambio de T en (3,-2,2). 6  153  9 6  − , ,− , R:  10 10 10  100 14) Una placa metálica se coloca en un plano xy de tal manera que la temperatura T en el punto (x, y) resulta ser inversamente proporcional a la distancia del punto al origen. La temperatura en (3, 4) es 100º. Calcule la razón de cambio de T en P en la dirección del vector i + j. ¿En qué dirección a partir de P crece más rápidamente T? ¿en qué dirección la razón de cambio es 0?

Jorge Andrés Garfias Meza

Un aporte a la docencia

15) La superficie de cierto lago se representa por una región D de tal manera que la profundidad (en metros) debajo del punto correspondiente a (x, y) esta dada por f (x, y) = 300 - 2x2 - 3y2 . ¿Si un niño se encuentra en el agua en el punto (4, 9), en qué dirección debe nadar para que la profundidad debajo de él disminuya lo más rápidamente posible? ¿En qué dirección no cambia la profundidad? 16)

El potencial eléctrico V en el punto P(x, y, z) en un sistema coordenado rectangular esta dado por: V = x2 + 4y2 + 9z2. Calcule la razón de cambio de V en P=(2, -1, 3) en la dirección de P al origen. Encuentre la dirección en que la razón de crecimiento de V es máxima en P. ¿Cuál es la razón de crecimiento máxima?

IV.- Derivada direccional

r 1) En los siguientes ejercicios encontrar Dur f en el punto P para el cual u es un vector unitario en la

dirección de PQ . a) f ( x, y ) = e x cos y + e y senx, P(1,0), Q(−3,2)

b) f ( x, y ) = e x arctgy, P(0,2), Q(−2,5)

r 2) Encuentre un vector unitario u en el punto P dado tal que Dur f (P) alcance su valor máximo. x + ln y , P (1,2,4) a) f ( x, y, z ) = x 3 − xyz + y 2 z, P(1,−1,2) b) f ( x, y, z ) = z

3) Hallar la derivada direccional de z = 3x 4 − xy + y 3 en el punto (1,2) siguiendo dirección que forma con el eje X un ángulo de 60º.

R: 5 + 11

3 2

4) Hallar la derivada direccional de f ( x, y, z ) = 3x 2 + xy + z 3 en el punto (1,1,1) según la dirección de la recta de pendiente más pronunciada que caracteriza la superficie z = 2 + 3 y 2 cos x + x 3 en el punto   2 2 π , π , z0  .   3

R: D f (1,1,1) = r u

14 + 100π 2 5 1 + 25π 4

5) Hallar la derivada direccional de la función f ( x, y, z ) = x 2 + xy + y + z 2 en el punto (1,2,1) y en la 18 dirección de un vector ortogonal a la superficie z = 2 x 2 − 3 y 2 + 1 en (2,1,6). R: Dur f (1,2,1) = − 101 6) Si f ( x, y ) = 169 − x 2 − y 2 , encuentre la dirección en el punto (3,4) para el cual la derivada 1 direccional de f tiene el valor cero. R: ± (4,−3) 5 V.- Regla de la cadena

1) Hallar todas las derivadas parciales indicadas, usando regla de la cadena.

(

)

a) z = ln x 2 + y 2 + x 2 + y 2 , x = et cos t , b) u = x 3 y

,

x5 + y = t , x 2 + y 3 = t 2 ,

c) u = 2 x 2 − yz + xz 2 ,

y = et sent , du dt

x = 2 sent , y = t 2 − t + 1 , z = 3e − t ,

d) x = eu + v , y = eu − v , z = uv , dz e) z = a cosϑ cos φ ,

f)

∂z ∂z , ∂y ∂x

y = bsenϑ cos φ ,

∂z ∂z 1+ u , u = − cos x , v = cos x ; , ∂x ∂y 1+ v

z= v

g) w = ∫ sen(t 2 )dt , u

dz dt

u= x , v=x

3

2

;

∂w ∂x

du en t = 0 dt

∂w ∂w , ∂x ∂y ∂ w 2) En los siguientes ejercicios encuentre ∂ x x

h) w = x y , u = y x , v = x ;

y

∂ w ∂ y

a) w = u2 Sen v, u = x3 - 2y3, v = xy2 3 2 u = Sen xy, v = y Ln x b) w = u + u v - 3v, c) w =

u2 + v 2 ,

u = x e - y,

v = y2 e-

t v

e , t = x2 - y2, v = x3 + y3 r+s , r = x Cos y, s = y Sen x, e) w = v

d) w =

x

v = 2x - y

3) Sean z = f(x, y), x = u2 - v2, y = v2 - u2 ∂ z ∂ z a) Demuestre que u + v = 0 ∂ v ∂ u b) Verifique a) cuando f(x, y) = Sen (x + 2y)

4) Sea z = f (u, v) donde u = ax + by, v = cx + dy con a, b, c y d Constantes. Demuestre que: 2 2 z ∂2 z ∂2 z 2 ∂ z 2 ∂ = a + 2ac + c a) ∂ u ∂ v ∂ x2 ∂ u2 ∂ v2 2 2 ∂2 z ∂2 z 2 ∂ z 2 ∂ z + d + 2bd = b b) ∂ u ∂ v ∂ y2 ∂ u2 ∂ v2 c)

∂2 z ∂ 2z = ab ∂ x∂ y ∂ u2

+ (ad + bc)

∂ 2z ∂ 2z + cd ∂ u∂ v ∂ v2 2

2

 ∂z   ∂z   ∂z  ∂z  5) Si z = f ( x, y ) , x = u + v , y = u − v . Demostrar que   −   =    . Verifique lo  ∂x   ∂y   ∂u  ∂v  2 3 anterior cuando f(x, y) = x + 2y

6) Si T es la temperatura en ( x, y, z ) en el espacio, T = f ( x, y, z ) , y si un astronauta está viajando de modo que sus x e y aumentan a razón de 4 millas por segundo y su coordenada z disminuye a razón de 3 dT ∂T ∂T ∂T en un punto donde: = 4, = 7, =9 millas por segundo, calcular dt ∂x ∂y ∂z ∂z ∂z  y 7) Probar que z = xy + xφ   satisface la ecuación: x ⋅ + y = xy + z ∂x ∂y x  x 2 ∂z ∂z = xyz . 8) Demostrar que la función z = e φ  ye 2 y  satisface la ecuación: x 2 − y 2 ⋅ + xy ∂x ∂y   x ∂ 2u x2 − y2  y 2 2   9) Si u = x arctg   − y arctg   , probar que = , si ( x, y ) ≠ (0,0) ∂y∂x x 2 + y 2 x  y 10) Si z = f ( x, y ) es diferenciable en x e y, y si x = r cos θ , y = rsenθ . Probar que: 2

(

y

a)

∂ 2 z 1 ∂z 1 ∂ 2 z =0 + + ∂r 2 r ∂θ r 2 ∂θ 2

)

∂2z ∂2z =0 + b) ∂x 2 ∂y 2

11) Sea f : IR 3 → IR diferenciable y T ( ρ , θ , z ) = ( ρ cos θ , ρsenθ , z ) = ( x, y, z ) . Si F = foT , calcular ∂f ∂f ∂f , , y determine det (DT ( ρ , θ , z ) ) . ∂x ∂y ∂z VII.- Matriz Jacoliana

1) Determine la matriz Jacobiana para las siguientes funciones: a) f (x,y) = (ex; sen xy)

b) f (x,y,z) = (x3-y3 ; y +z4)

c) f (x,y) = (x+y ; x-y ; xy)

d) f (x,y,z) = (x+z ; y-5z, x-y) VIII.- Máximos y mínimos

1.- Determine los puntos críticos y luego clasifíquelos para cada una de las siguientes funciones: 1 8 2 2 3 3 b.- v = f ( x, y ) = xy + + c.- w = g ( x, y ) = 2 x + y + 8 x − 6 y + 15 a.- u = f ( x, y ) = x − 6 xy + y x y 1 2 2 2 2 2 2 d.- r = g ( x, y , z ) = x ( y − 1) ( z + ) e.- s = l ( x, y , z ) = x + y + z − xy + x − 2 z 2

Jorge Andrés Garfias Meza

f.-

Un aporte a la docencia

1 1 z = f ( x, y ) = x 3 + x 2 + y 2 − xy 3 2

g.-

1 1 1 z = x 3 − x 2 − y 2 − xy − x 3 2 2

h.-

z = 2 xy −

1 4 x − y2 2

2.- Determine los extremos absolutos para las funciones definidas en 1) sobre el conjunto A = ( x, y )∈ ℜ 2 / x 2 + y 2 ≤ 4

{

}

3.- Determine los máximos y mínimos absolutos de la función g ( x, y ) = x + y en la región ( x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1 , y ≥ 0

{

}

IX.- Problemas con enunciados a.- Determine las longitudes del paralelepípedo de mayor volumen contenido en el primer cuadrante con un vértice en el origen y el vértice opuesto en el plano x + y + z = 1

P = ( x, y ) tal que la suma de los cuadrados de las distancias a las rectas x = 0 ; y = 0 ; x − y + 1 = 0 sea mínima. 2 c.- Sea T ( x, y , z ) = 20 + 2 x + 2 y + z la temperatura de una placa metálica sobre cada punto de la esfera

b.-

Encuentre

el

punto

x 2 + y 2 + z 2 = 11 y sobre cada punto del plano x + y + z = 3 . Considere la temperatura unicamente en la intersección de la esfera y del plano, es decir sobre la circunferencia resultante. Se desea obtener las temperaturas extremas y entre qué valores oscila sobre la circunferencia. d.- Un fabricante produce dos modelos de un determinado artículo, el normal y el de lujo. La fabricación del modelo normal genera un costo de 40 euros y la del modelo de lujo 60 euros. Una compañía especialista en estudios de mercado, estima que si el precio del modelo normal se fija en x y el de lujo en y entonces el fabricante venderá 500( y − x ) unidades de los artículos normales y 45.000 + 500( x − 2 y ) unidades de los artículos de lujo, por año. Determine el precio de cada artículo que hacen máximos los beneficios.