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• Luis Torres

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OPT ICA

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la

3 G Ei

JUSTIN IANO CASAS CATEDFHÄTIÉÚ DE OPTICA DE LA FÁCULTÄD DE CIENCFAS UNIVEHSIDÁD DE ZARAGOZA {ESPåÑA)

I@ J-.nin-una En-a1. Pe-'maz -. S. É. N. 3I:|“D-21-I1|H--|¦

Dnnòsito luqu-II Z. 1 ED-4 -

1955

P-g'\|b| j__O_2“;. nejo matemático, por lo /' ue merece un estudio más , f' ' /i detenido. Í f -~ -/~ LConsideremos una O / /\ O O / / superficie esférica de cen1'” , J tro C, fig. 2.14, que separa / /p dos medios de indices fz y 11' ante la cual ponemos un (Q) (bj objeto lineal, OP, de tamaJ ño y. Si suponemos que esta superficie funciona como un sistema óptico perfecto, lo que analizaremos mas adelante en 3.5, para hallar la imagen de y hallaremos primero la de O por medio de dos rayos cualesquiera. Tomemos el OS que no se desviará por ser normal a la suI perficie, y el OI; el punto O I _, n ' \ donde se corten después de P 5* 'C la refracción, será la imagen ›\' de O. La imagen y' estará en la perpendicular al eje OC Y / por O' y para hallar el ex. v* w / _ ,, _..__ \ tremo P' de la imagen bastará trazar un rayo cualquie` \ -_ g=s?ìes_S,_" t ~`Ã_i'f“` ra desde P, por ejemplo, el ¿¿¿§Q>~;\Í;\.\\*Q~ *'ï`°*`ü`m` PS. La intersección de su S2_ ,,_,, _ 5' ï.__..__.. . . ,,,_,__ T _ refractado con dicha perpenm dicular será P'. NOTACION.- En lo sucesivo utilizaremos la notación que siguez* Los elementos que hacen referencia a la imagen se señalan con las mismas letras que los homólogos del objeto, pero aquellos con primas. 1"

Q

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, \ O°°

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'---_ (C) E

Fíë- 2-13

e = -e* le que equiiraie a una refraccien cen indices rr jr rr' tales que H' = -rr

Fra. als

3

_a,x /Q *"e"“:r< /

* Las NORMAS que describimos aqui' no son únicas, pero son las que siguen la ma~ yoría de los autores. Recomendamos al lector que se acostumbre a usarlas y lo haga con toda disciplina, de lo contrario será muy difícil que al resolver problemas prácticos llegue a resultados correctos.

-

O

(2.4-il

2.3.- La Esfera ceme superficie stigmáticar- En ei estudie neciie en 2.5 de las superficies stigmáticas, deberia haber side incluida la esfera ceme case particular, pere hemes preferide pespenerla a les cenceptes que anteticdtn. Si en la ecuaci-en (1.1) hacemes nula la censtante del 11 miemhre. tenemes J

_

-,fi = f

I

-_

*r¿_"'10

7

fs

_

_

F¡g_ 214

,

l

rafa

p la superficie que representa stigmaticarnente U en U' es una esfera, ya que es el Iugar geeniétrice de les puntes cuya rascdn de distancias a des Ejes es censtante. El signe negative en (2.5) indica que si .e es real, ,c será sirtuai if viceversa. La ecuación de la circunferencia meridiana nes ia dará (2.2) haciende en elia It = EI, cen le que tendremes

ra'-* - a'*i ii* + ei* - e'*Jid + Ed* is _ H” -'“ = 'il

(asi

que es una circunferencia cen centre en la recta DO' [eje a), cuya ahscisa respecte del origen D. es nui

e-'-=-ÚC=2¢-= “Ñ H _

(2-Ti

1?

1-f' el radiu

P = rešäfef +%

tas)

Las abscisas de El 1; Cfrespecte del centre serán 1"-"fl C0 = 2-p _ - -2€ _ -H

(2-9?

L' FU :I-¡jr =I¦], 'l' if":

I'

Si en (2.1) hacemes je = -je', resulta P = Etc, que

representa una esfera cen _ _ centre en D, le que indica que teda esfera es stigmática para su centre. Eliminando entre cada una de las (2.3) jr (2.9) el parámetro l, se tiene para las abscisas en función de r

i

__.. ______. iü' ' |-xn-u_

F'_,""

__f._---**;,f _____ F/ _ G C n ..-f""

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.-'K ,-f' P ___-.-P"

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tb)

ni T -e

H'

fl Q

rare)

¬-

Fig. 1.]-fi

Existen cuatro tipes de seiueión según que rìü y n'-ìen'. Per las (2. 1 [I] se ve que ra yt-10, tienen el misme signe que r. Si supenemes r < 0, tig. 2.16 tai. quiere decirse que estantes trabajande enla :cena de vértice A. .f , Si además supencmes n `.ì=- n', el acuerde de sigues cntre las primeras de (2.9) gr {_2.lt`l} exige I- negative, y también de ,/ [2.1üliEeif=ï.'ti1~f¦Zcfi Í-'P Irí, per ie que ies puntes stigmátices El jr Ei' estarán ceine indica la fig Í ló la] Un rape ceme el DP da ceme rcfractade el PQ que deterinina el punte 0' virtual. ///E": ¡/ - ,r Para. r *sí 0 sf n f Z> n, sera' l pesitive, fig. 2.16 (b). En les __, cuatre cases la esfera separa les puntes D 3; D', y en les des no Ji/ ¿/ iiiscutides elebjete es virtual. Q . _ -- U ' C --- _ En cualquiera de les cases des puntes alineades cen el centre de una esfera refractante, a distancias de éste (n'ƒn) r jr (nƒn')r, se representan stigmáticamente une en etre. La anterier nu n' discusión aclara en cada case cuál de eiies debe ser el ebjete. Es tes puntes se llaman de ïeung e de Weicrstrass y tienen gran irnpertancia en la censtrueción de ebjetives de inmersión para micrescepie 3.' en las llamadas lentes aplanáticas. Estas lentes se pueden censtruir fácilmente. En la flg. 2.115 fa] bastará añadir Fig, 2.11 etra esfera cen centre en D, fig. 2.1?. Esta lente, cualquiera que sea el indice del medie en que está U, opera cstigmãticamente para les puntes O y 0', pues les reyes que parten de 0 atraviesan perpcndicularmente la primera superficie sin sufrir ninguna desviación ceme si tal superficic ne existiera, le que equivale a su mergir el punte U en el medie de indice n sin modificar su pesición. n

.r

Ill

den. En obras especializadas se tratan los órdenes de apreitii-nación más elevados.

3

eerlcs Psaiixist

3.1,- La esfera en zona parairial. lnvariante de Abba.- Sueflflsfl-

ELEMENTOS CÄRDINALES EN SISTEMAS CENTRADÚS

.,_ 1. s

A

"-. .--

D

ei

¬ la priiiicrri. siipcrficic csicrira 3.l.-- Deiinicióii. - Stipiineaiiitis. †`if:,. .i.i. de un sistema centrado. ante cl cua] piiiicinos en O

D

un oifiictti de tamano _i' :tortttai :LÉ c_|c,jt-' tan pctiuerïii cottu- tnicrartitis. Ptingaliios

uiiiibidn ante cl sistema. para fijar ideas, un dia†`rap:na D con uii ririiìcio de radio ¡J iTlU§.' pcquciiii, ctiri lo

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Y

1

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1-I -n.¡_-`¬¬-

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--___.-._...____

El "P

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_.-

iii

¬---¬lEl'

cual las alturas de incitieiicia, fi, de todos los rayos que procedentes de los puntos tic _i' penetran en el sistema, serán laiiiiiiéii nuit' p É. qucnaaf - respecto ti SU. los iiiigui-es -± gr Eii estas coniìicioiies. si _i' es pctgucno lüã- tlf lüä. 1'¡i_§.'tJ5 t.'t)|'| El iìjd ti j.” tir, ELSÍ t;tji1'i¬ii;'i ci; 1,' mi 1.' tnrjihjéii ¿_ ggfjjj 3 5i_i u¢¡¿

tnug: peqtieiios.

¡in cualquier caso. los sedes de los iingules citados [.it-idnin sin-.iiiiiirsa por un i.*iei'to número de tdriniiios de la serie .i .s seus-._._-'~_a-”-__ -.i 3, . Ã, .

ne = ri'e'

L-«1/ 7,1--»si s« . _*/i' L

Fi;.3.2

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_

I__ fóï. ii Ei |,___j

l.

|

El

1

Eïä--Í-

mos, tig, 3.1, un punto objeto 0 fijado por su distancig froritals y tratemos de _I¢soiver el problema de hallar la posición de la imagen D Ideterrtunaiido su distancia frontal s'. En la figura hemos tomado Ú como objeto virtual hacia el cual apuntan los rayos SD y A0, que despues de refractados se cortan en CI. Esta figura tiene la ventaja de =:|U=. Hflflfilufl ¢|'PU'“Ú-°bl'¦l°_ W* virtual, lo cual no resta generalidad, en ella todas las magnitudes lineales y angulares son positivas. Con la aproximación de la óptica psraitiai, es dpcir, l tan próiiinio a S como se quiera, la ley de la refracción sera

¡_,, jj.

''

~¬

, . ii _s -h ses.-s,f=a-«=›.i==;.==-;-fl'-sos)

5u;i¡ii_|_-,iéi-iijrilas todas en (3.2) hasta no dejar ningún ángulo, se llega fácilmente a la

'¬,-_†-e.-:†r¬_¬,--e~'I1'_ c

- _

siguiente igualdad

Y'

_

ir ii

-s ¬

- ti ri

_

"f's"ri=""s*e›“

(34)

i_i = . ¿_r'

_ (as)

jr, dividiendo por fr.

Fe-3.1

"fr

sf

"lr

?'l

La “presión ri (% - sl), que no varia de valor al escribirla para el espacio objeto o con los datos correspondientes del espacio imagen, recibe el nombre de in vertiente de Afibe. J I _ _ _ Lange, degran interés en el cálculo de sistemas ópticos: (3-5)

n'o'-ne=ft Cuando los objetos gr aberturas son tati pequenos que los serios 1.' tangenttes de dichos áii,-rules pucdcn sustituirse por los arcos. sen :t = tg H = it. sc dice que el sistenia trabaja en :ono ,nnre,i:i`ci' o :ono de t'Íariss. Si ¿sf e ,if crcceii 3: para tener aprortiniacióii suiiciente es necesario tornar los dos priincros tdriiiinos de tf-.i`j, se tiene la tipncc de tercer -orderr; si se tenian tres términos. la de r¡rni`irro orale.-i, etc. Estos órdenes sucesivos dc aprosimacióii tienen gran importancia en el estudio de las relaciones ob-jcto~irnagcn en sistemas no perfectos. Aqui' desarrollara iiios la óptica parasial ji' en el Cap. VIII haremos una introducción a la del SÉ or -

(3-3)

De la figura se deducen fácilmente las siguientes relacio-ri-es parastiales

A. partir de {3.S}, despejando, tenemos

I_n_ T_T

911-.,

3

'-

-l- iä H ¬

(3-7)

que permite hallar s' conocido todo le demás. I _! J '_ Si se emplea la fórmula de Lange se obtiene s de la relacion, s = hilo. El cálculo en este caso puede hacerse dando a rr o si li un valor arbitrario. Yi fi'-1*'-'

2'

11

por figurar en (3.4) como factor común a los dos miembros, no altera el resultado.

ni yr ei = fli yi vi

Ello por otra parte equivaldría a tornar un rayo arbitrario de lo cual no depende 0'.

.

f

r

fi

_

i

2) Espejo esférico.-

(sai

3) Espejo plano.- Haciendo en 13.8) n' = -n tenemos

n', = ni

sf = -s

nt]

_ [3_|pj

Como quiera que estas fórmulas generales han sido obtenidas considerando que todas las variables son positivas, al resolver problemas prácticos habrá que introducir en ellas cada dato con su signo.

51

3.3.- Ecuación de L:tgange-Helml1olt.'t.- Esta ecuacion relaciona el indice del espacio objeto, el tamaño del objeto, jr el ángulo o correspondiente a un rayo que parte del pie del objeto, con las magnitudes homólogas de la imagen. Si consideramos un sistema óptico con una sóla superficie, fig. 3.3, aplicando la lejde la refracción parartial a los ángulos co jr cu', que considerados como ángulos de incidencia jr refracción son negativos, se tiene: I1 I 1 rre: = rfce' (3_1|j í :Ir ü¦ ' i

De la figura,

,__

(3.13)

$1

sua

...__ _§få__ si oa

____ ____ 05

_

.JF

L-H para un sistema en ge-

__

_

>i'>'«

HP -?r¬¬--

g

3

neral, jr ei producto n.¦.f.cr se llama irrrrrrrtrnre rie L--H. 3.4.- Faso de un rayo a través de un sistema.- Tanto el invariante de Abbe como la fónnula de Lange nos pueden servir para pasar un rayo a tra-

n' '

"-"L

H

se = s'. - d,, yen general s¡_H =s;-dx.

I

{3.14)

Si se utiliza la fórmula de Lange, ec. (3.6), una vez pasada la primera superficie serå neoesario conocer ha jr oa. Las fórmulas de paso para este metodo seei rán en general, fìg. 3.4 b) T__ ---t'-'_¬~.__g

I...

Fig. 3.3

pucs s = hƒo 1-; amilogamentc

.

na

_

i1

es decir, que el producto n.1r.e es ¡nvariante a traves de un sistema de superficies. La (3.13) es la ecuación de

ves de todas las superficies de un sistema, para lo cual habrá que tener en cuenta los espesores di , de ._..que son respectivamente, fig. 3.4 a), las distancias S15; . S15;-. Si utilizamos la ecuación (3.7) para pasar la primera superficie, para pasar la se gunda será necesario conocer sz, que se obtiene por la ƒónmtie de peso

tu

lll'

rr; = ng

l Pie. 3.4 al

3 ' Í

r

(3-511'

l'-1141-.H

ir

I

Hi yr ei = nf* yjf el

r sf r -l- = F

J' : .lfi =

r

jr teniendo en cuenta, por la figura, que el segundo miembro de cada una es igual al primero de la siguiente. ya que la imagen dada por una superficie es objeto para la que le sigue, así como los índices y ángulos. Sumando jr simpliftcando se tiene:

Haciendo en [3.'I") n' = -n

tu

i

"it Fe "ri '" "it Fe “ri

_

5 = af

I'

Hs }'1 U2 = H: J-'1 01

Casos particulares 1) Superficie plana refracttmte.--- Si la superficie rcfractantc fuera p|ana¬ haciendo cn (3.7) r = es-, se tiene como relación de distancias frontales

L'

"sí

_

_ _*

T

'¬¬¬_

to e

d.1 '-- [_- - _ .--~*--~1-¬. 1 ei-I'. '--511

yu .

_ ..-___ --.__

if

rtg. s.›t es

si

_

_-

_

¡

se --=t› ass -fs- sr.-

e-la

__]

3.5.- Comportamiento perfecto de un sistema oentrado en eona paraxitll.- En el ámbito de la óptica paraxial, un punto objeto cualquiera en el eje, C', 3-' su imagen, U', están ligados por la relación (3.411,

Sustituyendo estas en la (3.11) obtenemos

,,_._, a = a',i›'e'

(ata)

que es la ecuación para una sola superficie. _ ' Si se tratase de un sistema de lc superficies, fig. 3.4, podriamos escribir para cada una de ellas las siguientes igualdades: '

De ella se deduce que

cualquiera que sea el objeto, todo rayo que parte de U, independientemente de su altura de incidencia ir cortará al eje en O', ya que le aparece como factor común. Por tanto, si dentro de la zona paraxiai todo rayo que parte de ü, cualquiera que

3.7.- Aumento lateral en función de las distancias frontales.-

este sea, pasa por U', una superficie esférica trabajando paraitialmetite tiene comportamiento estigmritico para todos los puntos del eje. Consideremos aliora. fig. 3.5, un objeto plano ülvl, infinitesimal, normal al eje, La imagen de M cstarii en el eje auxiliar lvltÍ`. Si con centro en C tratamos los arcos Uh' v DN', bl' sera la imagen de H, j M

-si o of 1r`i1I11tes|tTIo ' r ' " pero sien

si E.” til' -

üt' a E11. un1oseraite1° L -_ _ _ -i-

einen

freiite a s, por tanto H puede suponerse coincidiendo con lvl y por análogo razonamiento N cpn Q. iiiliora bien. la imagen de lil estará en un punto como lvl, tal que satisfaga la relacion cntre ds y ds' que sc obtiene difercncìando [15] o's__i¿iri's' si _ ii F

Para una sola superficie, teniendo en cuenta (3.31 y (3.13) obtenemos

. ri B' :ri

'_ j '

H

nl \`

I.. 'U

___. _ _“._;-_C Ã, 5

__ ,ct.-

1

r

flj Hg 5:

r

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ng 'ji .

_

_

r

.

y para sistemas sumergidos cn tnedios eittremos de igual indice, ni _ ng. se tienc

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tala)

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3.3.- Elementos cardinales.- Existen en los sistemas ópticos tres pares de puntos y otros tres de planos que tienen especial importancia, a saber: los focos ,if ,irfirrros focales, ios puntos y plenos principales y fos pinitos _i- pianos notícies. Estos elementos se suelen llamar cordirroles, y en ellos los aumentos toman valores particulares.

"

3.9.- Focos y planos focales.- Si operando en zona parartiai tomamos como punto objeto el del infinito del eje, U-, lìg. 3.? (ai el has de rayos que procedente de til entra en el sistema serii paralelo al eje. La imagen de D., cuando la luz va de izquierda a derecha, se llama foco írriagen del sistema, y se designa por F'. El plano normal al eje por F es el plano foco! irrrngen. aiiálogamente exisH I! ¡g un punjg F_ fig_ 3_-,i ..._ ¿-,H_'-*"H 0.. (gig ¡al que mgüs jm “_ jj yos :jue parten de el saiein _ __ Ij __ _ __ I "_ _ ___ ¿ej smema Pa¡a¡g¡U_3 al EJE, ¡Í F F H D bien que 5-; 5.1-man pg.|| II mjgjgg gj gig pm ja ,¿j.¿,¢_ lljj cha, a la salida concurren iill ¡G 1 en F. Este punto, F, es tai I el foco oóƒero, y el plano normal al eje por él es el piano foco! objeto. Flo-3-7 Por la relación de ángulos con el eje entre los rayos incidentes y emergentes en estos casos, se ve que el aumento angular es infinito en el foco imagen y cero en el fo-co objeto. Tanto el foco objeto como el imagen, pueden ser reales o virtuales. De la definición se deduce que el plano focal imagen es la imagen del pla-

no del infuiito, y el plano del infinito es la imagen del plaiio focal objeto, por tati-

tsiri _

52

F 35 'l-5* '

3.6.- fiiuineittos.- Si ante Lin sistema. fig. 3.15. ponemos un objeto Iineal de tamano yi norma] al eje. el sistema dará de dl una imagen asiinisnio nomial al eje. La raaóit y'j,¡.'=1-'I = 3' Iflfifihfl El jj nombre de iiiirneriro iorerirf. Segun que ell aunieiito lateral sea jj positivo o negativo, la imageii sera respectivamente directa o injj vertida. I F _ _ I f d E I _ gi _¦L“__ gjh 51 del pic del objeto sale un rayo otman o con c eje iflm-- ~ --"--I iiri ángulji oi, el eriiergente ira al pie de la imagen formando tin ¦f ir ángulo og, La ra;-ton 'jf = oj,¿_.foi se llama oirnrenro oiigtifitr. ¡j Si en ei eje consideramos un pequeño segmento objeto -._"'i sti, en el espacio imagen le corresponderá otro di cg. La ra ' ` :ión dt ago ai = ci' se dcnomiiia oiirricnro itrirri o aumeiito en proƒirrrrfriiorf. Estos son los aumentos intrínseco-s de los sistemas; Fig. 3.-E en 312 se definir-.i el inirrienro i=r`sir.:ii" para sistemas que se ante poncii al ojo. _ _ De la relación dc Helmliolta l3.i3_¦ se tleduccn las siguientes relaciones cntrc ii' y 'ji'

_

_{

Como para un sistema el aumento total sera el producto de los aumentos de todas las superficies, aplicando (3.19) a todas ellas y multiplicándolas se tiene

`\\

É

_

ni si iii ri

N

/"-,__

por taitto, si ds es infinittisirno de segundo orden respecto a s. tar`nbieÍn lo será ifs' respcctora s. supuestos s y s finitos; ji' si puede considerarse en iii, H podra tomarse sobre N' 1.* tambien _, sobre Q' a menos de iiifinitesimns de 25 orden. .admitida esta aproitimacion, las figuras objeto e imagen soii semejantes. pues son liomoteticas con centro C. Si una superficie esférica se comporta parasialmente ilc modo perfecto para cualquier objeto. igual comportaniiento tendrá un sistema, donde la imagen de una superficie es objeto para la siguiente.

__t-'1

ni vi rn si

to, todo hat que tiene su origen en un punto Q del plano focal objeto, fig. 3.3 fa) saldrá del sistema en forrrta de haz paralelo hacia el punto imagen QI., y, análogamente, todo hac paralelo que en cualquier dirección penetra en el sistema, irá a concurrir a la salida en un punto del plano foca] imagen, Q', tìg. 3.3 (bj. Colirmdor.- Si un sistema tiene su foco objeto real y en este foco se pone una fuente de Inc, el dispositivo transformará los haces de rayos divergentes de la fuente en haces paralelos. Tal montaje recibe el nombre de cofirriedor y se emplea con mucha frecuencia en óptica.

lo

15 cipal imagen está en la superficie curva, ya que en ella se cortan los rayos paralelos al eje con sus emergentes, por tanto, el punto principal imagen H' estará en el yortice de dicha superficie. El punto principal objeto H sera' la imagen de H' dada por la superficie plana considerando que la luz entre por la derecha, es decir, según (3.8), sH = dƒn, siendo of el espesor de la lente.

3.10.- Planos y puntos principales.- Se llaman planos principales, dos planos conjugados tono imagen del otro) normales al eje, con aumento late-ral +t Sus untos de ii'me- seccúån mnliel EE H 1 Hf ' I I 1 = Ili' I . 5011 05 EN" 19-'F Pnnflmfesi 3" al ¡gm que los focos, pueden ser rea-

.

'

ii ll __H H ll ||

F

les o virtuales.

D df _

_

li jjli

un

__

_

||

Q

De la definicion se deduce que todo haz

_l_t__

_ F'

|| ii

ut

ll

lol

3.1 l.- Utilidad de los planos principales y focos.- E1 conocimiento de las posiciones de planos principales y focos de un sistema es de tal utilidad. que elIo_Ii-asta para resolver todos los problemas que se puedan presentar eri la optica paraioal, como son trazado de rayos, posicion de las imagenes, aumentos, etc., lo cual por otra parte es logco, pues la representacion optica, como toda liomografia, queda determinada por tres pares de elementos coiijugados_ En efecto, supongamos fig. 3.11. un sistema del cual conocemos F. F', H Ei' Hb 51I|2-ongamos tin rayo cualquiera 1, que entra en el sistema, y tratemos de liaIlar el emergente. Una -rea que dicho rayo penetra en el sistema, no podemos precisar sin hacer cálculos que trayectoria seguirá, pero saliemoslque si antes de entrar se dirige al punto P del plano príii-

(bl fis ' - 3 - li

de rayos que partiendo de

P I

un punto del plano principal objeto penetre en el sistema. o bien que entre en el sistema apuntando todos sus rayos a un punto P del plano principal objeto, fig. 3.9, emergera concurriendo real o virtualmente en el punto F' del

.J

g

__

PIHI-|U Principal imaggn que ggté 3 Ia misma djgtflflfijfl |jE¦| Ej@ jj' al

.--

mismo lado que P. l _ P_ FL La obtencion de estos planos por método gráfico es seng__,,.- "' Í' cilla si se conoce el sistema, basta, fig. 3.9, traear un rayo cual_ _:--f _ H H quiera paralelo al eje, como el 1. el cual, a la salida, pasará por F el foco imagen F'. El punto P', donde se cortan las prolongacio nes del incidente y emergente. 1 y l', pertenece al plano pn`ncipaI imagen, y éste será el normal al eje por P', que a su yet. determlna el punto principal H'FisDe igual modo, el rayo 2', que trazamos paralelo al eje, pero ahora de derecha a izquierda, saldrá por F. El punto P, donde el emergente corta la prolongacion del que entra, determinará el plano principal objeto y el punto principal obje-

I1

-

_

j

H

__________;¦f_ j* _ ._ F'

_-_

“

_ F

P,

-I-

2.

H

delgada fig- 3.10 (bj, haciendo la misma construccion ue anteriormente, seque que los planos principales están

H'H.

pllano focal imagen, luego el rayo emergente del I pasará por F y

3.11- Ftitàl ji' potelttìla (le un Sisteltla.- Deito-niiiiaremos cïisroiicƒo

lfl' desde el ptjiitjo principal imagen hasta el foco imagen, precisamente eri este seri-

_

_

H

-tu

Hg ¡U

I,

I --í-H É _;

' _-

_,--*"""'-fi

H'

F'

ici P-na _.$. "'_í"' Fig. 3.10

H'

Utlo. es decir, il F =| f', Arialogairiente, la jfociit otiƒetri es Hi-'_ É f. Si estos seg “"'*-'-“¡'“3"¬“i~ WT" “UEM -'i1f"1F*'¢ï" En los puntos pnncipales, estan dirigidos en el sentido de la luz incidente. las focales son positivas". negativas, si lo esttin en sentido contrario. I-ll sistema' de la fig. 3.|| y el de la 3-12 tiene ƒ ricg,-itiya "L___ _ 1 Ji' Í Pfiäìïì'-'a; el de la fig. 3.l3 tiene ƒ positiva y f' negativa.

Potencia.- Se define la potencia tie un sistema como la reciprrica de sti focal. Desigiiarenins la potencia objeto por te = = l."f y la potencia imagen por ta' = i_.-'f"_ _ -ut. ¬-. _. _ Cuando la focal se mide en metros. la potencia se espresa en di'oprri'ris o m`*. . Para obtener las focales de una superficie. teniendo eri cuenta que los puritoe principales estiiii eorifundidos cn el vértice. bastará liacer eri tfi3.T) sucesivamente jr s = es, s' = es, con lo que se tendra: " F “__ _ H

.

Ñ

'lb :I-ïãl ƒ=_ri?*_"

H'

l3`2U

_ im Para el espejo. de (3.9),

_

confundidos en la propia lente. En un espejo, por la misma razon que en la superficie refraotante, los puntos principales, están en el propio espejo. En una lente plano convexa gruesa, fig. 3.lü fe), de indice ri, el plano prin-

QUÉ 5ElldTá

Q y asi queda determinado. Sabiendo trazar cualquier rayo. se sabe hallar la imagen de cualquier punto y todo esta resuelto. _

H H'

(bl

CÚÚÍÚ Él

según el 1' . paralelo al eje. Pero corno l y 2 soii paralelos entre si a la entrada, a la salida se cortaraii en el mismo punto Q' del

fflf-Ef iflioãeft. o simplemente fiicai' iiriegcii de un sistema. a la distancia, fig. 3.12,

I

la]

Íflflflllflfl lflflfitiil. lÍI`3ZÉl.T PUT F ÚÍÍÚ |f.i'H|`El.|Él.'lJ É]

_

fis-3-Il

'It

_

P, bien realmente o en su prolongacion virtual. Para hallar sti di-

' 3-9

Es fácil comprobar que los planos principales están bien determinados de este modo. pues si trazamos los rayos l y 2 apuntando al punto P' del piano principal objeto, estos emergeran según 1' y 2' con interseeeion en P'; por tanto, P' es la imagen de P, y como HP = H'P', la definicion se cumple. Hay que irtsistir en que los planos principales, asi como los focales, no tienen existencia más que como entes parasiales. En una superficie esferijta. por ejemplo, fig. 3.lD'(a), un rayo como el 1, paralelo al eje, y su refractado I , se cortan en P, y análogamente, el 'L' y el 2'; luego los puntos de los dos planos principales serian los de la propia superfigjg (ng, _p|¡_¡-jaj I ._PlEl_g. r “"___E, | Los puntos principa;f¿,,.I, 2-f___,_.-f I, les estan confundidos L .en el vértice. -Ei-l =E5í_ I

J

cip-al objeto, al salir lo hará pasaiido por P' a la misma altura que F

to 1-I.

En una lente'

Q.

__ ___ _

=

r-i1ss.is

:r

'Í ¡J ïr

.

,__.

l3'2'J

27

as PÉTD

En general, procuraremos poner todas las ecuaciones de sisternm de modo que solo intervengan las focales y potencias imagen, por ser más comodo.

U

H

_ ïï '_ _ .I

ƒ

r =}_ï. UH' j. =

ji'

= 1,-'I 1 f

3.1 2.- Calculo de la focal de un sistema.- Para calcular la focal basta calcular pot métodos pai*a:-tiales la marcha de un rayo que entra paralelo al eje,

Sustituyendo éstas en la anterior, queda:

fig. 3.14, a una altura cualquiera li,. De la figura se deduce que

f' = UL -

i aaa i

Si la marcha del rayo a través del sistema se hace con la formula de Lange (3-6), este cálculo es sencillo. Si se em-¬ pl¢a EI in1,Ia|-lante de Ahbe_

' _ _j¿liä___ ___ _

lhij

_

j__

"

_ J

|.|

cr

H*

'

'

'

F

_

_ P'l.iE'Í.i1¦ iÍlÚI'I'iP¦"lÍ.'Il:|HI`SÉ qll-B lab

ng. s.i›i (324)

o ii sif _ , , Teniendo en cuenta que lt, fo, = sl, y que, por (3.3), -r- = ¬¬-: la antenor, uj, st, escrita en funcion de las distancias frontales, toma forma

L'

te-1 Siïi

f =_í_ = 52

iia 1:_

F

(ses)

tu

U

- ",__`i " M'

'-- Er

_

i'

_-_

P j_.,.,,_j___,_j

`

3.14.- Relacion entre las distancias focales objeto e imagen en

Hg :U6

Hi se “rr = "Ir tir' ele'

ut, _ H_ ir '

__

-Hi _

_

Hill-_L_fl

___

D'

GI

tre s i.

en

Tracemos el rayo [IP paralelo al eje; el emergente suyo será P' F'. Todos los rayos que salen de Q emergerán paralelos a P'F'. Si en particular trazamos el QM paralelo a FF', su emergente saldrá paralelo a si mjsmo: por tanto, este par de rayos detenriina los puntos nodales H y it-* . ya que en ellos es:

júfi HD-l

o=j¡«

De la figura se deduce por paralelismo e igualdad de triángulos l'~ll'IM y l\¡'li'l'il' son iguales, como también lo son QFN y P"H'F'. De lo cual se concluye que la distancia entre los puntos nodales es igual a la distancia entre los puntos principales y que en sistemas con indices extremos iguales. sus pun-

saldrán paralelos entre sí. Para fijar esta direccion tracemos el (JP, f

Ilfifl IB Sl.Ip'Bl'l-lfllfl Båfflflflfl id 5-illlåfâfiflfi

que NH = N'H', NN' = HH', y también que FN = t". y que F'ls" = t`, ya que los triángulos

un sistema.- Sea, fìg. 3_l5, un sistema del que conocemos sus focos y puntos principales. Tomemos un punto Q en el plano focal objeto. Todos los rayos que partiendo de Q atraviesan el sistema fno dibujado] paralelo al eje, que saldrá por P' ala misma altura en el plano principal imagen','y por entrar paralelo al eje, saldrá por el foco imagen F. El ra- _ yo Ql-l saldrá por H' imagen de l-l, y paralelo al F F'. Aplicando la ecua- F cion de l-[elrnholtz a los puntos I-l y H', en los que consideramos el ohjeQ to y¡_¡ y la imagen yj_¡-, por cuyos pies pasan los rayos que t-otman con el eje los ángulos o y cf' i (negativos en la figura), en el supuesto de que H H I 4 los indices extremos del sistema sean n| y nk, se tendra

_

I3-Éfl

I 3.15.- Puntos nodales.- Se llaman asi dos puntos conjugados en fi eje, ' H y para los cuales el aumento angular, jr', es la unidad positiva. De la detinicion se deduce que todo rayo que entra en el sistema por el punto nodal objeto formando con el eje un ángulo o. sale del sistema pasando real o virtualmente por el punto nodal imagen formando coii el eje un ángulo o' = o. Tratemos de haliarlos. Si en la fig. llo queremos liallar la imagen del punto Q situado en el plano focal objeto, sabemos que su imagen estará en el infinito UL. es decir, todos los . rayos que parten de Q a la salida del sistema serán paralelos eii-

f2| 0'; U3 ...-Uk

ii”.ir

-I

-

f°“"“

,

_

{3.26_l'

Í - "Í

jj

también (3.23) se puede escribir, puesto que ej, = oj,+¡ en la

ƒ -e'it-i e'ir = 'rr'1 o'1

"ii

|

irán tgnifindü distancias fl-Qn[a_

fi] Uk

-'ii

Para sistemas en aire o sumergidos en medios de indices iguales tendremos:

|

les de las imágenes intermedias a las distintas superficies, pero

,

f

f

¬- = " _'

a,

H' 1 iii-l P ___ pj

__ F'

,

Fig. 3.15

'US Pfiflfiipfliflfi if' flflfiifliflfi flfliflfiiflflfl. FH ¿IW Fv _ƒ. _ _ ƒ . 'I _ _ I N _ _ __ _ _ __, Hj E 1-:Ei-Sii Coiflflldìlcofl I . 1-f _aIjal_*ì›gamgnte. i leon _ . In está catšspj tolgo rgyo qulerentralen t.1 sis ema pasan urea oyiru mene por e p uno pri n ctp o j e o ,'sa e por para e lo al entrante, lo cual tiene gran importancia para las construcciones gráficas. Para una sola superficie que separa medios de indices n y n' los puntos nodales están en su centro de curvatura. También se definen en los sistemas los puntos artriprfncipcfes ,if aiitinodefes, en los cuales son 13' = - l y 'y' == -l respectivamente. 3.16.- Potencia 'y' poder refractor.- Hemos definido la potencia de un sistema como la recíproca de la distancia focal. Es corriente. y a veces simplifica mucho

29

las fórmulas, definir en óptica las llamadas fflngímdei reduefcifls e-:irme una lengitud dividida per el índice del eurrespundìente medie. Asíl:-15 fucales reducidas serán f,-“n 3.' fín' Sus rec ípïeeee F 3 F' se denumínan pecfleres reƒracmres, es decir H

F :T .

.

rr'

_

F =-jr-r

(3.2-B)

C-eme Se ve. para Sistemas en el aire cuincìden la putencia 3,' el poder Iefraetur. Para una superficie que separa me-dins de índices H jr ra' 1:15 potencias, según (3.21 ) Serán _ l

I'

__H:fl .p_ ny , '-F '="-" “fr

(_ 329 Í

y les pederes refraeteres

F:-ï§fl,f“=ï{ï

msm

Algunes autures nu establecen esta distinción entre el perler refraeter jr le puteneia. definiendo esta camu el eeeíente del lndiee a la feeel

4

oPticrt PARAXIAL teen.)

4.3.- Origenes en los puntos principales.- Iguatanrio las (4.1) (4) gitdl se tiene:

#=%sL,

ECUACIONES DE CGRRESPONDENCIA EN SISTEMAS CENTRADOS

gr operando se llega fácilmente a la siguiente ecuacion:

Leds H-p f

Gi O*-e

i, F --i-i-¬^-

4.1.- Ecuaciones generales.- Supongamos, lig. 4.! un sistema definido por sus focos 1; puntos principales gr tratemos de hallar las relaciones algebriiicas taiite de pesicien como de aumente, etc. de un ebjetoy con su imagen y'. Si designanios por z ge 2', fig. 4,1. las distancias FD yr F'Ct', tf pere y e' las 1. ___ P' HU y I-FU', en los sentidos que indica cl orden de las letras (Ia focal sieinf _ F. Z, pre se toma de plane principal a foco, cualquiera que sea el origen para ¿- -¿ H H. ` 1;-r otras distancias), teniendo eii cuanta que lili = gr' if que li'F' = 3.', dela _: y' seniejanra de los triángulos E101 F gr FHR, 3,» de los P'l-l'F' p F'ü'Ú'i , se

R "¬ §'__“'““'- Gi D

Fra. 4.i

l

F

Q'

Foiiienrie f= - '¡l.f' se tiene - -alii

Ps-*~«-_

(U (Él

=-I=--¬-L-_-=I-i

(3)

I-`-'ti

I

PH

L--.

:-är,-nl:

(4.1)

I-,pu

F5)

¡fi!

Estas ecuaciones resuelven todos los problemas que puedaii plantearse. En efecto. por el solo hecho de conocer la posición del objetri o de la imagen respecto del foco objeto o imagen respectivamente, es decir, z o z', se sahe el aumente según las (4.1 ]l3}1~f l5) y, también, si la imagen es directa o invertida, ya que a aumento positivo corresponde por definicion imagen directa.

4.2.- -Orígenes en los focos.- lgiiiilantlelas (`4.1){3) ytš), se tiene: 3 3' = ff'

(4.2)

que es la ecirecidn de correspriirdeiiciit de Newton. Y para sistemas con in dices estreiiios

iguales, en los que t`= - I".

ii' = -† ir' Ii

† El

4.5 ll

if . if __ Jr,-.| I

E T

que es la que se aplica ordinariamente a las lentes delgadas. siendoe yr ri' las distancias rie la lente a objeto e imagen, ya que sus planos principales están confundidos en la propia Ieiitc. 4.4.- Úrígenea en dos puntos coitjuaados.- Siempre la correspondencia optica en el eje, como toda honiografia, queda determinada si se conocen tres pares de elementos coiijugados. En este caso son tfii. PL), lp-¬ Fil. (P. P')- Si toiitamos orígenes en I* 1.; P' para hallar las relaciones entre D 1-; U', l`ig. 4.2, llamando

`

r=Fo,@=Fa,e=Po

¬ri

'fi

'D

-.L

ä=Fo¿sp=FF.e=Po donde las _ primeras letras. significan los origenes delos. segmentos. que _. _ . _ . . seran positivos si su sentido coincide con el -de la luz incideiite i_*_I. tendremos F(]t=,_¬-=;¿,,-i-.ir,

s s' = - fu

ll

3; para sistemas con índices extremos iguales,

dedueen. considerando signos. las siguientes ecuaciones: ff:

mm

:Ir

N

P-"“-"n

F't§l'=:'=2:,,=-l--lr'

i'-.plicarido la ecuacion de Newton a los puntos U if' D', se tiene |I

,|'s¿,,+.li.l i"..-"P›+l¢ .il - ff

.-.T H I

i

Íl. aIr;'

-F

$-

HI 'É _ .......r p±-iii

(4-3)

Lo que permite coiiocer 2', es decir, la distancia del foco imagen a la imagen gr, por tan to, su posicion cuando se conoce 2. Notese por (4.3) que. al ser siempre negativo su segundo miembro, U y 0', siempre estan a distinto lado de F gr F', ya que .a y a' soii siempre de signo contrario.

Q

¬'1

i'

{*]| .-tun cuando se tonien origenes en P 1-r P', las distancias de cualquier punto a los focos se toman con orígeiies en los focos: 1-f las distancias a los puiitos principales, con origen en estos. Pudiérames decir que se establece tin orden de preferencia: punto principal, foco, otro punto cualquiera-

F"

'II

r*-¬- 4--

33 Operando y teniendo en cuenta que IP 1%,. = ff', queda

4.1-'.+ Sistemas compuestos.- acepten-ies dos sistemas (I) y (ll). de los cua

,Er

-F-+zi+r=e it' it

rea)

4.5.- Aumento en funcion de las distancias ta, a'} de los puntos principales a objeto e imagen.- De (4.1) tot- se tiene fr :'lrƒF'a'=I_%l'

les se conocen sus focos y puntos principales. Sea fla distancia de acoplamiento Fi F1 entre el foco imagen del sistemas (I) y el foco objeto del sistemas (Il). A r se le llama iiireriftrio optico, y en la fig. 4.3, es positivo. Si los sistemas estuvieran mas proximos de modo que Fi quedara a la derecha de Fi , t seria negativo. Liamemos ul un e a la distancia de acoI Ft' Mg Mg pi' plarniento entre los pia- h "` ¡`,"""""" "“"""' `“““" ****“_ ' ““““““ " rios principales. es decir J' F1 H, i. . F2 Hg Hg pg ____j:f E

H1

conjunto

HJ'

Fl

'l ä'q_____Í_ ___

funcionará como un sis-

De (4.5) multiplicando sus dos miembros por is' jr dividiendolos por rr' se obtiene a'i'f' , lo que sustituido en la anterior da:

ri = fr -s'.iei_

t-ie)

ii' = %

t;-is)

jv para índices eittretnos iguales

4.6.* Relacion entre alimentos.- Se definió en 3.5 el- aumento en el eje como la razon ct' = .dt a'ƒd. z. Tomando incrementos en (4.2) se tiene Í I

I

:dz +2 .o.r=ü

_

ú

obien

2 ____

se tema único, siendo nuestro problema determij f¡ ¦ :E 5* T___ }-__ nar sus elementos cardi*"“'_'“"" -r___ _ " -_1__, nales F, F gif H, H', Paoi T..1'.-ra ello tracemos un rayo paralelo al eje, tal corno el J, a una altura hi . Este rayo saldrá del sistema (ll pasando por Fi jr del (lll pasando por F' ya que entro paralelo al eje del sistema total. Para saber que direccion toma a partir de Pi, tracenios el rayo auxiliar QLi, paralelo al eje, que saldrá por Fi, por tanto cl rayo Fl Pi saldra del sistema (ll) paralelo a Li Fi, v deterrrtinarti Fi Pero,aden'iás, su intetseccion con la prolongacion de f dará el punto P' del plano principal imagen correspondiente ai sistema toal, con lo que queda determinado l¬I'_ Para hallar al focal del sistema total, f' , basta hacer las siguientes consideraciones geométricas teniendo en cuenta los signos: Los triángulos Pi Hi Fl gi' Fi Q Fi [rayados verticalmente) son semejantes al Pl Mi Pz. De ellos podemos escribir las siguientes relaciones _

F

Íš=-%=o

I

¡

{4_-;,i)

r J%1¡L=-É.

(4.121

_

liiultiplicando las (4.1 ji (3) y (5 ), resulta

ii” =§-¡¿.=-

:aa

|;¬|l'HI

tere)

de donde

E

.-§f1=§

(4-131

iiinålogamente, los rayados horizontalmente Hi Li Fi jr F' H' P' son semejantes al MiPå P'. Delos primeros ot' =lÍl'2

{-'-l.li]']

'

Y teniendo en cuenta (3.17) se llega facilmente a la siguiente relacion entre los tres aumentos

ta' = e' if'

i--i.1iji

iii partir de las ecuaciones (4.10) se podría reemprender la discusion hecha en 3.5 sobre el comportartiiento del dioptrio corno sistema perfecto en el dominio pariotial.

(4.1-ii

1v del primero y último

%§*=j¡g

(4. is)

De Í4-13]? (4-14)' -ljí =¡l:¡. de donde, para la fo-cal imagen del sistema total,

F'

H'

ia,

Las

a ra sig. es

Las posiciones de los focos del sistema total se hallan sin más que añadir a

(4.23) jr (4.24) respectivamente las focales imagen tf objeto del sistema total.

ƒ'=--fl;-fi

Si se introducen en (4.22) las potencias en lugar de las focales, se tiene

t-tie)

_r vr '__.ifl -cigše I-- es¡__ ect -sir

De f4.13)y (4.15), teniendo en cuenta que lvl: Pe = lili Pi jr que Mi P' =1'li H', se tiene

Inti":-':2;i=--%§. l.

En funcion de los poderes refractores definidos en 3.16 tend-remos

i,4.i'."i

f

que da la abscisa del punto principal del sistenia total tomando conto origen el punto prineipal imagen del sistema (Ill. l_-ll último miembro de (4.1 7] se obtiene de {4.16). P?.-iitonamientos análogos entrando por la derecha con un rayo paralelo al eje. darfan para la focal objeto

i'=f-gli

ei. lei

Y para la ptisicion del plano principal objeto del sistenia total respecto al plano principal objeto del sistenia l 1]

HtH=Jf¡_=§f 111

¡4_g5j

r

.I

É

F -F1'“1'¬1

¬r

-r

H: fi f':

que es la fonttula de Guldstram. Los sistemas compuestos en que Fi E Fa. o bien t = fl, tienen según t4.lo_i 3: (4.1 Si sus focos -en el infinito jr se llaman eƒbceles o rei'e'scsi,r:tr`cos.__ 4.8.- Acoplamiento ett aire.- Si los sistemas se acoplan en el aire, que cs cl casomiis corriente, ni =ni =n'a =1, fi =- fi, ft =- fi, l`=- f',1vlas formulas anteriores tomaii la forma.

f' --fi

reta)

ines)

'l'.fa '

vt' = el + es - c en to

Si eii lugar de referir las ecuaciones (4.16) jr (4. id] a la distancia entre focos. iiitrotlueirnos la de acoplamiento entre los planos principales, e, de la fg. 4.3 se tiene fl : E-

Hi H

:fi *fi-

tear)

,.

t'4 ._'18 i

coii lo cual la (4.161 resulta i

,[|' ,fi

.f =` E _ ft .ph

ì

t4.Í1_

Hi H" =]¶%¡ffl†,,

,

-I

I=,l'ir

ƒ_c'

f ri ~¬i*n iii?

._

14-22*

I-

.I

l

Hi F'

i-4.31)

T '

-

nt

43° l

F

'É

_

- 'i ' lil-...3.l

itnálogamcnte para .la posicion del plano principal objeto del sistema total respecto a Hi Hi H =

(4.24)

T

1 -P _ .._._-

“' 5

.=._ ¬H.H. F; F2 Hi-Hari

F

Q. 1._íí.....

introduciendo t4.2ü) en (4. l T] jr (4.19) se tiene para la posicion del plano principal imagen ff; .ff _ -

" S

ar .r=-Lt-äf-fi .fi fe if

`

o bien. teniendo en cuenta que fi = _ fi -jä-

14.29;

Fig.-1.4

4.9.- Leiites.- Podemos considerar una lente. fig. 4.4, como un sistema compuesto fomiado por sus dos superficies de radios r, Lv ri, tomando estas conto sistemas simples en los cuales los puntos principales coinciden ett los vertices- La distancia Si Se = d se llama esp-estir jr tiene su origen en Si .

Si suponemos que la lente esrti eii aire, n, = n', = 1, y que su indice es ri, se tendrá en virtud de las 13.29) para las potencias imagen de las dos superficies __ r_n -M51H rl -I

.`“_“ ,|'*-

"'

-lr_ r__n'.f F2'_'1lf-71 _ 1,.:

Sustituyendo estas en (4.15), teniendo en cuenta que el espesor de la lente en el eje es d = Hi Hi = e, sc obtendrá para la potencia f

-ff

tïf

*P'=|"fl' fl f-jq-p2f+í"T"L Hip;

(4.33)

cuya recíproca da la focal imagen i' _ Para hallar la posicion de los planos principales respecto a los vértices bastará tener en cuenta las {4.l'l'} y (4.19) una vea calculada la focal F, con lo que se obtendría, liabida cuenta de las (4.32) r

r=_j"l'l'f¿l_|l'4ti_

HIH

_

rin

t'-¡__-tii

__

_

_rif'r1-firl-f*i'fi'¢f

(434-l

Si los sistemas I y II se acercaran más it sf. lll, los planos principales serian interiores a los focos, f ' sería positiva y el sistema seria convergente o divergente según que F' sea real o virtual. Esta discusion puede aplicarse igualmente a la cottvergeiicia en el foco objeto. 4.12.- Espejos.- En el cap. III 113.9) se dio la ecuacion de correspondencia para un espejo esférico y en el párrafo 4.8 las formulas generales para el manejo de los sistemas centrados y sus asociaciones, que son válidas también para las asociaciones

de espejos, pero tomando ciertas precauciones: 1) Para un espejo que opera en un medio de indice ri, el espacio imagen tiene indice -rr, lo cual repercute en el cálculo de aumentos y eii la discriminacion de las imágenes directas o invertidas. 2) En un espejo cuando la luz incide por la iaquierda nunca hay luz real a su

derecha, por tanto las distancias frontales positivas indican siempre objetos e imágenes __fit-i,f__,I'Í'_rf=

H'H“

nf,

ref

_

___

no, -iii-rn-ria

-

“'33

I

4.10.- Lentes delgadas. acoplamiento.- Una lente se dice que es rielgada cuando su espesor es despreciable frente a cada uno de sus radios de curvatura y, en consecuencia, pueda prescindirse en i4.33) del último sumando, con lo que su potencia vendrá dada por

Č=e'=r-il-ii ref--gr

reset

En virtud de esta aproitimacion, pueden considerarse los vértices de las dos superficies confundidos, así como los planos principales, y estos coincidiendo con los vértices, por cuyo motivo es costumbre representar la lente delgada por medio de un segmento de recta normal al eje del sistema terminado en dos flechas. En las lentes delgadas serán por tarito aplicables las ecuaciones (4.6) y {4_9] siendo en este caso rr y rr' las distancias dela lente al objeto e imagen. También lo serán las (4.25) y (4.27) a su acoplamiento, poniendo en ellas las potencias de las lentes y siendo en este caso e la distancia que las separa. t"isi',para dos o más lentes delgadas pegadas con los medios extremo el aire, la potencia total será

virtuales; las negativas, reales. 3) Dos espejos esférico-s tf 1] y (2), lig. 4.5, se comportan igual que una lente de espesor si negativo, ya que Si Si tiene sentido contrario a la luz incidente. El indice de esta lente, que es el del espacio in- »___ . _ - termedio, sera negativo; y si se acoplan en aire, n = - 1. Con esta aclaracion puede comprobarse que la potencia de la combinacion calculada por cualquiera de las (3-35-1, l_4-25'] Ó (4-33l I-la el fllififllo resultado. En general un número par de 'Ek espejos puede manejarse como un sistema de lt lentes. __-És________ _- Fl 4) Si cl número de espejos cs iinpar, puede tratarse como un sistema dioptrico asociado a un espejo, es decir, como un sistema eatadioptrico. En este caso. supongamos un sistema dioptrico, iig. 4.6, dcE iinido por sus planos principales y focosjasociado a un espejo de ccri tro C y vértice S. Sean Si y Ci las imagenes de 5 y C tladas por el sistcnta en su parte anterior. Cualquier rayo que entre en el conjttnd to por Si seguira una trayectoria como la indicada, simétrica respec-

- -

to al eje y saliendo nuevamente por Si. Todo rayo que entre por Ci pasará por C, se 1-eflcjarti normalmente en el espejo y volverá por Ci siguiendo trayectoria in. versa. Todo sucede conto C 51 I Q si cn Si tuviéramos un es- -- ' .t ._-j' ---._ _ __ , ,___ Fl HI ¡Hi Fi peje de centre Ci . Este espejo ficticio es el aquiI ¡ vtrl'ent'e al sistema total y "--- ' resuelve todos los proble___- ' mas. Siguiendo un raso_ _ namiento análogo, puede verse facilmente que si cl vértice del espejo está en el foco imagen del sistema, el conjunto produce de cualquier objeto una imagen simétrica respecto al punto Ci . Si el centro, C, del espejo esta' en el foco imagen del sistema dioptrico anterior Fi, el conjunto opera como un espejo plano situado en Si . Regla general.- Cuaittio un sistema está formado por lentes y espejos, para pasar un rayo superficie a superficie a través de todo el sistema según lo diclio en los para» grafes 3.2 y 3.4 para marchas parasiales, o lo que se dirá en 9.3 para marclias eittraioales, se observarán las siguientes reglas: 1) Los in dices de rcfraccion de todos los medios que el rayo encuentra después de una refle:-tion se cambian de signo. 2) Los espesores de to-

4.1 1.- Sistemas convergentes y divergentes.- Un sistema se dice que es

_

.,_.,.

' (jj

_. -a .

_-.L -

' -"_

Hs- 4-5 “_

_,.í-_.¬.

1

convergente cuando un haade rayos incidente, paralelo al eje, converge realmente en el foco imagen, es decir cuando el foco imagen es real. Si el foco imagen es virtual, los rayos, divergen ala salida del sistema y se llama dive rgente. Algunos autores asignan el caracter de convergencia o divergencia al hecho de que el sistema tenga su focal imagen i' positiva o negativa respectivamente, lo cual no indica nada sobre su comportamiento. Un sistema como el de la fig. 4.3 es convergente IÍF' real) y, sin embargo, f' -si D.

._-._'Í-ii

_ C

_ S

Hg ¿JE

33

se dos los medios que el rayo encuentra después de una reflexion se eannbian de signo. 3] Los radios de cruvatura permanecen siempre con los signos que le correspondan en rrlacion con el sentido de propagacion de la luz incidente primitiva. Cuando hay dos te lle!-tiones en el sistema, los in dices jr espesores de los ntetiios que siguen a la segunda sufrirán dos cambios quedando a1 final con los signos primitivos. Con este convenio, las distancia frontales s¦ aparecen con signo correcto respecto a ia propagacion de Ia luz incidente primitiva.

4.13.- Formulacion matricial de la optica ___=_tat|ssiaita_- Recapitulanttn la problemática de la optica gaussiana desarrollada sobre los supuestos ideales de sistema optico perfecto, vemos que. en esencia, un sisteina optico no es sino un operador que transforma el espacio objeto ett el espacio imagen. Desde el punto de vista geométrico. la transformacion que produce un sistema perfecto no es otra cosa que una ttomografia semejante, es decir una transformacion lineal que en el caso más general puede representarse por una matriz 3 X 3 jr cgue en nuestro caso por operar siempre en espacio de dos di-mensiones en el plano meritliano serd de 2 X 2. Matriz refracción.- l_a t. peracion esencial 3.' básica de la optica geométrica es ia

La matrizf.

_" Ill'

U1:

:†}-*-'isfi¡ 'l'

FL U1

2

2

que se pueden escribir en la siguiente forma matricial

ja". l _

tii

r =

l L

R11 =

i-

Í

L t _" rr¡r _' .-rut I'ii

.

La matrie

ei t ali

Í

t4.3iJ}

Pistle t_'t_trtlt_1.'ilt'¿._ UÍ_, _ fig_ 4.5. irertdrti darla por la mttiriit Í-es :R43 T31 RT'

_

I "_;_=_-'r a,

E”

Fig. 4.1

l

t-1.401

ng - tt, tt, L rtìr ttgj

LH tu

-ifa =Jtj - of, cr,' ,

h

Ue = Ut

1_

t4.4I J

o bien en forma matricial

jftsi

.-'

Lutj - ja

_

(l't1l t

1

es decir

l"I-¡Il'\1l

lei

F1

r

e

na-rr;

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lli"i;I,l * I

ll'\ zh

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-d,j .Í til

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i-4.421

_.

K??

a

L-Ill :

4.8 Í-S

Él

_-i¡¡

J

üj

_

"-ïí¿__ v-

De mo-:io análogo pueden hallarse las matrices representativas de todas las transformaciones estudiadas en este capitulo. pero como el hacerlo no aportaría ma'_›,'or uiiittlati_ no insistimos en ello.

___

4.14.- lnstrtlrttetttos futtdametttales.- En las partes de la optica que siguen serti necesario con frecuencia utilizar instrumentos para ltacer observaciones, por lo cual vamos a dar aqui una breve reseña funcional de los más importantes. El ojo.-¬ El ojo humano es el principal instrumento optico de observacion jf

(fl

opera corrio una lente convertgettte con su foco en la retina situada en la parte posterior

Fi 4 9 É' `

tip. 4.9 tb).

'

Matriz traslación.- Cuando se tienen dos dioptnos separados a distancia d. = = S¡ 5;, fig_ 4-7. como se vio en 3.-fi, para pasar de uno al otro hay que hacer una trnsla cion de origen, que vendrá definida por las siguientes ecuaciones _ ' 52-51 _

tfn¡] GI

del glpbo ocuiar iia. 4.9 tai . Debido a su mecanismo de acomodacion puede modificar su potencia 1.-' entonces forma tambien sobre la retina imágenes de puntos proximos,

01

es la matriz reƒracci-da.

G-1

te-.esj

Ejemplo: Matriz representacion de una lente gruesa.- La operacion de ta ten-

'H_¡ |_rl" 1-r-ía-

E438!

_

Í J

te sobre un ra).-'o que entra en ella definido por ios parámetros ii, ol _t-

it', = it, I

'¬ff1`

es la trrarr'i: rrasieeion que permite pasar de un dioptrio a otro o dc un dioptrio a un plano de referencia. lo que permite introducir los pianos objeto e imagen en ei calculo.

ttìfraeeion de un rayo por un riopirio. La matriz tie esta tra! sforrrtaeion podemos ltallttr-

ia a partir de la ecuacion de L;n1¬_¿e t3.o} definiendo el raj .- ,str su altura de incidencia.'i__ en el propio dioptrio 3.' ei angulo con ei eje tr, _ Si por otra parte se tiene en cuenta que til = lt',, podemos escribir las siguientes ecuaciones

`t.

ri

1-2|= jü

Ifuando el ojo está en reposo. t_no acomodado). está enfocado al infinito. Anteojo astronomieo_- Es tm sistetna afocal o teiescopico jf estti formatio por dos sistemas parciales. objetitfo til jr ocular t_'Il} convergentes. quese acoplan de modo que el foco imagen del primero coincida con el foco objeto del 25. ftg. 4.liII.j»' se emplea para hacer observaciones a distancia infinita, pues las familias de rayos paralelos emergen ill tambien paralelos. Los objetos alejados ten_ _"_ '-¡_ __.._ drtin una imagen primaria en F', de la cttai _ _____,___=_-__, _:_¬._._ el ocular dará otra enel infinito. Poniendo _' ="-' '- í.-.1 detrtis del ocular el ojo siii acomodacion, las ___? -f"'H F' 'F' iintigenes de objetos alejados se formarán en "_ la retina cott mayor tamafto que si observaran directamente con el ojo. Cuando se desea hacer observaciones de objetos proximos aumentando su tamano aparente se emplean ia lupa ji' el m.ierotscopio_ En la Parte IV puede verse un es-tudio más detallado de los ittstrumcntos fundamentales. cuya lectura se aconseja antes __'-__

de continuar este e5tUtlio_

_:-_-1..

mi -"'

.-I""".-

1-Ii;-1--_

_

H,

'-t. L

I' F Fïti- 4-10

41

Si la lámina es oblieua al eje. la imageii U', ademas del desplazamiento eii proiinidida-d,sufre otro normal al eje fácilmente calculabie

5.2.- Refraccion en prismas_- Lin medio transparente limitado por dos snperlicies planas que forman un ángulo diedro se llanta pri`snia d_iiti`eo_ El rectìlineo corres-

SISTEMAS OPTICOS CON SUPERFICIES PLANAS

pondiente, cr, es el rirtgirlo de reƒririgericíe. 'lo da seccion normal a la arista se llama ser-eififr prr`rn:iï_prtr'_ Estudiaremos la rcfraccion en una seccion principal en tin prisma de tingtllo it e

indice ii. sumergido en el vacio. De la rriarclta del rayo r' cn la lig_ 5.3- 3.' del triiingtilo Ali la se de-dttec. tettientiu

en cuenta que ci jr ei son negativos en la figura. 3; positivos el 5-' cj

A Á

fl -fi = cr

5_l. - Ltiittiitits. Cuatttlo una lámina planoparalela de indice ii sumergida en un medio lioiiio-_¿eiieii de indice ii] es atravesada por un rayo, el eiiiergente es paralelo al incidente. tin e†'ecto_ de lu tie. 5_l_ aplicantlo la lev de la rcfraccion alas dos caras, se tiene. puesto que ci = C::_

X

tf' _ __,~12 ri

~ "'-.

ri, ,__¬t.1 1

lg

ii, sen si =n sen el =n sen ei =n, gr;-.11 ¿Q

¿¡----

de donde

I' -ff -""'ƒ tr Ä-'Í J' ft

F,

j

B I,-s_¿'g r.

F1

1

¬ __

¿F r _..-" "' ¿Í

'itv-HE

lor absoluto inaj-'or que e¡. pues. aun en el caso de entrar rasante. ci =

2

= e¡. En virtud de t5.5}_ por tanto_ ningtin rayo podrá emerger del

prisma si

lol

`

por giro con eje la arista la primera cara sobre Ia segunda se va eii sentido antihorario. Emergencia.- Supongamos un prisma eii el vacio _ Si,e¡ es el ángulo limite del medio de indice ii respecto al vacio. el rayo r' no ¡iodrti emerger si -egi le e1_ .~'tnti1ogamente_ fi tampoco puede ser eii va-

ff'

I*

i_5_Si

Convenio.- El ángulo or se toma como positivo si al llevar

.--""

ing. s_s

j-II.:->2f¿I

al'

ff “É

is_1i

fc” l

Desviación.- El ángulo o que forma. la prolorigaci-:`:›n del rayo incitieitte eott el emergente se llama ti`esi=i`oet'riii aiigtilar del rayo jr se toma como positiva si al llevar el rayo

i

I

i

emergente sobre el incidente se va en sentido antihorariri, Para calcular o basta tener eii cueiita que es angulo externo en el triángulo Jli le. por tanto.

Ttaalaciott del rajro.~~ li-1 rayo sufre tiita traslacion. r, tal que

ria. s_i

I'

r=i';J=i',r'¡ sente, - e'1_,'=E-r¿-¿LE-i; senfet - ei]

a

5=I+Í'=(et

(5.2)

Desplazamiento de la imagen.- Si un sisteina optico produce de un punto (_i,en el eje,una imagen stiginiitica 0'. 3.- se le acopla una lámina de indice ii en aire. norntal al eje. iig. 5.2. la posicion de la imagen sufre un despla:famiento en el eje .Ji s' = 0' Cl". Teniendo eii cuenta (5.2). H podremos escribir ¡___ (5 3j -

El

ma ala normal a una cara. fig- 5-4. la lcjr Lic la rcfraccion aplicada a las

fl :_ u_u

-li-H jj

u

'_-_'

_

l

ll

Como sc ve. dt s' depende de ii', por tanto el conjunto sistema-lámina deja de ser stigmático para el punto O. También se ve que dt s' no depende de la posicion del objeto respecto ala lamina. Si el cálculo del desplaratniento to s' se realizia para la zona paraaial donde

1 L

Cl

_ ¦

¡S ¿J ' `

ei=rie'|,

e&=ne±

Sustitujrendo en t5.'.-`] jr teniendo en cuenta 15.5 J se obtiene

'fs _

-_sfis-' _,r T-.11

___Í__.--

--"' _ "'_

Fig. 5.2

--"'.-

3_|_

5 =t'H - EJ tt

_ _

(5-31

_

_ _

_

de donde se concluye que para incidencias proximas a la normal la tiesviacion es independiente del ángulo de incidencia 3.' proporcional al de refringencia_ 5.3.- Desviacion minima.- Si en la tia- 5-3t Ps1'fl1flI_1¢

ai = n Un! la (5-3) SÉ cmwiflm en

¿L , _ Q, I _ I 5 _ l Hi

ts_?_i

dos caras dará

.I

ets' =-l-. =í'¡ll_irseii(c'- e") sen ct sen cr cos tt

siii-rei-eiJ=et-si-a

donde er - el 3.' es - ei son las desviaciones en cada una de las supertieies del prisma. Si se trata de un prisma delgado. es decir. cr mujr pequeno. y la incidencia es priori

ciendo fija la direccion de r. se hace girar el prisma en tornola un.-eje noi

_ F'-'L 5-4

mal al plano de la ligura para motltficar ei _ jr se obscura la direccion ue r'_ se encuentra que la desviacion se modifica, eiiistiendii un ángulo e. _ para el cual o es minima. om. Para calcular om bastará derivar i5_?`} respecto a et 3: anular

rss _ _=t¿t= E14 del ti

Experimentalmetite puede determinarse nik) con suficiente aproitimacion pata las necesidades de la optica geométrica suponiendo que tiene la forma

t_s_si

rtr¡u=«-1 + %

Aplicando la lejt de la rcfraccion a las dos caras del prisma se tiene sen ej = it sen ei ,

ii sen ea = sen ej

¡r5_j¿jj

ii cos eg rie; =cos E2 rieå

[_'5_11j

Sustitujfendo de; jr dei en t5_9_i. j' teniendo en cuenta por diferenciacion de la (5.5) que del = dei. tenemos n'o_j_eosejcose¬¡,_¿j def cos ej cos ea _ '

D¡¡¿,,n "`

-

=ìfi¡ t -eros Ei

“Élri

rsiri

'l¬

que representa con bastante exactitud el comportamiento de los vidrios opticos en la ariiia del espectro visible, en la cual el indice disminujre al aumentar Pt. En ella A, B, C _ soii constantes propias del medio jr pueden determinarse eitperimentalmente midiendo it para tres longitudes de onda distribuidas en el espectro. Para itonas espectrales poco amplias es suficiente utilizar los dos primeros términos de la serie {5.l'r`fl_ En optica geométrica, a los efectos de caractericar a los vidrios opticos. esiste el convenio tie tomar unas longitudes de onda tipo, correspondientes a los espectros atomicos de ciertos elementos, jr en los catálogos de vidrios. aparte de otras caracteristicas, se dan los indices para cada una de ellas. Es costumbre simboiizar estas longitudes de onda por una letra, jr el indice de refracciott correspondiente por ri coii subindice la letra que simboliza a la correspondiente it, conto se indica en la siguiente tabla. r

jr diferenciando cosei del =ri cris ei dei _'

-l-

51., l ' 'fi

que tiene la solucion ie,`=lEil

Tabla 5.1

t5.i3j

pues también implica tail = fea '. lo que indica que para que se produzca Ia tlcstfíacion nii`nima_ la trajrectoria debe ser sinidtrica_ es decir, el rajro en el interior del prisma ha de ser normal al plano bisector_ t`i§.r_ 5.5. Para el caso rie un rajro que atraviesa al prisma sufriendo desviacion minima. de t5_5,t 'gr t5_'i_i se obtiene

et = cil',

¿is = fet r *I

ts_te)

llevando ci jr ei de éstas a la primera de i5_lCI_i, tenemos JE

_

n nìhu

Regfáfi

ÍH'fi'fl'fl'Úi0

ÉÍPÉCÍ-

_

Rojo

r'-lrriariiio

trertie

azrti

t¬t`oiera

Ulnratrioiete

_ ____-___-_______-__

sensato

rr

si'

ii-ici! ¡im

ifli-4

I-"15-.'ì'.2

Elemento

Hg

K

c o

rr

rr

t$.ïo.3 539,3 5ot`.T',-!'i

H

Mi

Hi*

.54-ti_.i

Hg'

rr

g

ri

-rr

486.! -i'.ì`:i,-R -tIt!'l'¬¢_T

H

Hg

365

Hg'

Hg

Ígfff

+

sen |'Ij'2,lt:t

Si el vidrio se utiliza con luz roja. habrá que operar en el inter-'alo entre njlf jr nu: si en el centro del espectro visible, entre nc jr n¡_._

lo que permite la determinacion experimental del indice del prisma midiendo om jr ct.

Para caracterizar la dispcrsion tieitn vitlrio, que será tanto majror cuanto ntajror ¿.ín.r,_¡. |.- ¡., .

5_4.- Í1is|tcrsio|t.-- Como se dijo en 1.3, el indice de refraccion en los medios tnateriales varía con el color de la luz tratándose dc luces simples ntonocrom:i†_icas_ Para especificar los colores de las luces monocromiiticas a cada una se le asigna un número Pt, que desde el punto de vista ondulatorio representa su longitud de onda en el vacio. Ocurre. en general, que un medio que tiene un indice it para una luz de longitud de onda lt. para otra,lt e dit, presente un iiidice n + dn. En resumen puede decirse que el indice de un medio es una funcion de la longitud de onda de la luz, n = = i`[`?t}_ La forma de f depende de la constitucion del mediojrha de ser determinada en cada caso por metodos teoricos o experimentales. El estudio teorico de este problema se hace en el Cap. 2'? . La variacion de it al variar it en dit se obtendrá de la citada funcion por diferenciación

ria =itir1ir1'?~) de dni dll, se llama ciispetsidit espectro! del medio o dispersión cromática.

(s_1sj

Fig_ 5.5

sea la variación de ri coii lt se utiliza el parririierro de tiispersidrt 0 ittiiitero rie _-1 biie, ir. Este número se obtiene para cada intervalo del espectro tiividíendo por la di fereticia de sus indices extremos el indice del centro disminuido en una unidad. asi it

- i'

l-"at = LL

rij-

rt¿¬

[_5_l

En los vidrios opticos nd varia entre I,-=l-U jr 2; jr ud entre 30 jr T5. Los vidrios cott ug II-'rr 50 se llaman vidrios erottrri jr aquellos eii que I-',¬j *'~`-Í 5Ú¬ *dr-ll`¡0S flffff- Úflfl lítïiflìiiüfif mfliflfiflr

les plásticos jr cristales de distintas sustancias pueden obtenerse indices jr dispersiones t`ttcra de estos intervalos. 5 .5 _- Dispersion en prismas.- rs causa de este ieitomeno, si un rajro cortipuesto de dos luces monocrortiáticas lt jr lt +dIt_ penetra cit utt prisnta con incidencia et _ al producirse la primera rcfraccion tendrá lugar un desdoblamiento del rajro, jra que cada luz opera con un índice diferente jr el será diferente para cada color. En la segunda cara sc repetirá el hecho jr a la salida del prisma cada rajro presentará una desviacion diferente.

45

«ió

du:-:can sólo desviación sin dispersión. que són los llamados prisrnes eerta-rrdri`có.r.' ó bien dispersión sin desviación, que son Iós prismas de ttisíó.-i directa. Si les prismas nperan cnn ¡M m,¿,nÚ,¡;mm¡¡¡¡¢H 5¿,|0 Se pl-0¿|.,¿¡¡¿ ¿±¢5¬_›¡¡¿,¿¡,5,n_ Trenes de prismas.- Si dispnnemós una serie tie 1-: prismas de suerte que la seguirda cara de cada unn este unida cen la primera del siguiente. ftg. 5.3. la desviación tntai -Ípara un rayó de Iuit mónóerómátiea que incide en el prirnern cun :inguin ei . será la suma aigebtáica de las ó¡ preducidas en las caras sucesivas ceme en (5.7) I ¿r

ftg. 5.ó. Esta variación de ia desviación, dó, se llama dispersión ertgttier del pnsma yt de› pen-dera de la geómetria del fenómeno es decir, de et. ei . y tie ia dispersión del tltetììü iiI'I."iì¡"~. Pflrfl HHH iflfiìlififlfiifl iïiflfiiìi Ei = cte. diferenciann delas (5-51 (5.7) ir (5.10) se tiene, supuestri fijade un et. _ fl'E'i = dei." dó = -deå; n cós e'¡ d'e't -i~ sen e'| ein = 9.'

--'

.It cuts eg u'E_-¡ -I- sen E1 dr: = cuts E2 ¿IEEE

.-r f,-tlf: 3

ƒ___,..I-P..-1"'

nperandó y teniende- en cuenta (5.5) se llega fácilmente a la expresión

i5:`2'-

-:gr

"'\

_ sen et di5_cóse'I. cc:-se'dn 2

(519)

í

f=

Senffiflgffl

fr'

E ._ 1

_ "- 'fi Fìgl

En la práctica ies prisrnas se utilisart een lu:-i paralela producida pór un cóiimas Fïs- 5-5 ddr. L1. 3,' generalmente óperan en cnndicinnes de mínima desviación, córnn se rnttes-tran en la tìg. 5.1', dende se representa el desdchlamietttn de una tur. prncedente de la fuente S ue cóntuviera dos q /EN mnnócrdmáticas de lóngitu.nf i. .__ É: des de onda 11 jr 11. E1 sistema foeaiieader L; |:-reduce  _ ""---._,___ 1-: en su plane fu-cal una imagen t-1 "`“"--_.¬ .__ espechb _“ de la fuente S para cada ecti_ ~._ Iór. Este cónjuntó de imágeE. ._ "-X nes fónnan el espec-rre. Si el fiš' _ prisma ópera en cóndiciónes _ ¬ 4;de minima desviación para la s ` f -it I' -_ -Fr b C I, ,.-f .ff...-- B _ Ióngitud de ónda i'ti 5' el haz _---cólimadó llena la cara de entrada del pn'sma,'I1amandó ó al espesor en la base 1.' tr a la sig, 5.1 anchtlra del haz, de ia fig. 5.7' se deduce SEI! E1

e~ì ..

3"'Ú$

ff" ~

= eii@ _- Í e ses r'

?

*~..iFs

5=-fit*-'5z¬"---=fft'ffi!'Lf€:'f`iui'*ff:t“E':|›"¡'--

,. ¶ Fe

'I

Teniendn en cuenta que

-e'| -ei; Ó

5-E

SE WTI*-'ïfti

. 5 = E' ` Ei-+1 _ É af i5-ui' .f _ _ __ __ _ de nee d *I sui na to rt -n stgnitca I la sttnta aihebraica de al De la semc ya'nea de-15.22 ,t_t.'} -t= 5 T e se deduce que un tren de pristnas puede sustituirse por un prisma úni-cu tie '.i|t,;ti|u En-_| '*L

que próduzea una desviación dm. Su indice puede determinarse per tS_'2ì',1 tenientló en cuenta (5.15).

lt*HÉÚIÉE EÚÍÚ mst'11105.- s..E3I`1 e U5. ].`.i|.'1S[`|1flS. ' '«¬t ['35 E11 - Er; ¬ r-¬s-fi fr›t.;t IL gfl' GS tiE fl.!'l:'LI. f|_¬- _ _

II* i-F

-' --"

-"

Ji'

its _

,r -I-

_ u

t_ _

F C D

Si la cóntitinación es acrninatica tìetie ncttrrir que la desviación ó sea igual para dns cólures, eón ió que se evita ia tiispersión. pues si Itis ra_t-es són paralciós a la salida, bien se observen a n_n: dcsnudn ó en el plant: i`ti cai de una lente perfecta. dei:-idu a su paraielisinn cnncurrirtin ttidtis en un mismo punto del plants foca! ó de la retina. tin-ntìe se vtilvcrsi a cumpóner la lite ittcidente 3.' nu aparecerá tlesdóblamicntn de ins cóltircs sim pies. Para que este 0-curra. si tenemos tips luces simples cnrrcsptiitdicttles :i los colores (Í, 3.' F, tleberti utcttrrir qtte la suma de las tiest'iat:i±ines

próducidas per cada unn de lns prismas para cada unn -.tc [ns cntnrcs sed igual para ambós có1órcs_ Aplieattdü (5.3-J a lós tlüs prismas para tic 1.-' ¡IF se tiene

L

=t'fl¡¡_¬- i'ict¡.' De (5.19) teniendó en cuenta que ei == et."2 si desigrtandó per dóm la dispersión angular en desviación n1t'|'tima,se nbtìene

ts,,,=-si-_.-1a†i=-¬-es 2 sen e' ens e' C03 É1

C05- É1

ct¬_ =e§-e-1:-. -

.C

= t'e¬-C- - Ii eg:

ö”.=i'rt”.-- fr' en,

5;; = f'e¡F - U -1;

¡5_j3_¡

t:'~.:~ti

2 sen e'|

de dónde

C05 Éj;

i§¡¿.,+ ó-2C=¡fnh:.- ,H 41-¿Í + ¡"r;|'2F- }___i gg? :ET

gr teniendo en cuenta (5.20)

if-.E51

döm =Í¿tffl,ifi"

(5.21)

¿ie 'i ¿es = Wii-' ` U “it *' f“:F ` U “2 = 5+' Por 1-ó dicltó, la cóndición de ttchsi'natism-ti para ies ectitji-res C 3,' F será ¡ic = ó¡,_

ó bien, restandn las (5.25) 5.5.- Cómbirtaciónes de plismas.- Un prisma únicó próduce. en general. desviación sf dispersión. pero pueden niïttenerse combinaciones de pristttas que pró-

-F

fet”. - n¡C)_,-'i'n:,F - rtgcl = 'fl¡_-"sig

(5.26)

C omo el priiner miembro es siempre positivo. los ángulos deben ser de signo contrario. como eti la 5.9. Para uii tercer color- D. se obtendría iitia desviación. pues por analogía con lá 25'! tendriamos ón = f'.I't¡D - H nr¡ -l- ƒrign _ H cr:

es = lil

{5.3=l]

El = te ¬l- ¡fi

(5.35)-

El problema consiste en liallar uiio de los ángulos rr od supuesto conticidti cl otro. Supongamos eonoeitio ii. Llevando a (5.31) las i5-33_l if 15.35)

l5.2'i'}

Hi sen ,|"cr i- e;,l = sen [tx + B) e iiitroditcietitio eii ésta las {5.l ti] jr i`5_'2ó}

obieti

ón = rra”. - ii¡¿.,l -"i.=_r.J - um) cr¡

I{5.2ES}

¡ga __: -ni sen Ei + senrti cos es _ cos

que. cn general. no es igual a ó1_ 1.' dq. pero po-.lriaii buscarse condiciones para que los prisnias liirriianni una combinación ue tal tiiotlo que los rayos dc los tres Colores salissen paralelos. Esta ctimif-iización se llama epocromdrice mientras que cuando la correccióti es para dns cnl tires solameiitc. se llanta sitiiplemente acroiiiairicut. Prismas de visión directa delgados.- Para evitar cn los espectrógrafos el aeoda-

De (5.32) 3.' l5.34] se ob-tiene ri; sen es = rr; sen ¡S

Ltu ¿E1 .-_-¬,|,._¬¡-¿sii iji;-i_sj|jg ;¿ la ¿logs-igieifiii qm.- stifreii los ra).-'t_is¬ sc cirtplcan los prlsntds tie vl-

o bien

sión tlirecta. eii los cuales sc produce dispersión,pero no desviacióiijjf' el tubo ti cuerpo iri-,igrlrg 5.;-T ni-¡gi-.i_ La coridicióii se estalilece para tln solo color. que tiene ss*-lif pflrfllüiü El

G

Si no sufre desi-iacióii cl coior D. de (5.27) siendo ón = U, se

tiene

Q

`

_ et ii - t - -3 = í--'D oi¿_

-

irjü - ƒ

-cx

l _, if'

__.-

""'“' HE

_

El

-¬____F Fig, sin

3: para la dispersión entre [Í 3: I-

.sf - sr, _s ram

cotilo cual

//El ,ef

1

is *vi

_ H (1,20 ¿ _ um) f_

l 5,3] J'

(5,32)

E, = ti -¬- es

(sas)

r

ü ¡ff-_` -lr

3: si los ras os entran en el segundo prisma perpendiculares al plano bis-e¢I01'. de la figura si del triángulo ABC.

“~~.¡

rn

(ng - il sen ¡fi

_

-

fi-ij - ná sen: dfïcosfi

A

F_

e;ï=àsis __

Hg- 5-1'

_r

ts.3i5

'l

de donde puede obtenerse nt. Como caso particular muy usadti en la práctica se tiene cl prisma de firtiinnittg. que se supone ya de principio con at = 90° lo que conduce. anulando el denoniinador de l5.3-Ii) a "

1:

1";

1ÉJ5='f¬†~r,i" ii? iii

Prisma.s de visión directa con ángulos es finitofs.- La conil-iinacióti inás cor1'ieiite es la de .-'ti¬niei. titie 5.; ¡gaitas con tres prismas eri coiiibiiiacióii simétrica, con lo que se consigue además que un ray.-'ti perperidicular al plaiio bisector del conjunto no sufra ticsviacióri. tii traslación. ftp. 5.1 i. De las fórmulas generales se tiene seii e t = ri t sen e'i

Is ei = _

fl?

tssoi

ii, sen es = it; sen ei

_.

-'ti cos es = inf - ng sen: 13;'-'Í

la dirección de entratla. para lo cual hasta sttponer qiie su desviación es nula aún citando sufra uiia traslación tLos tlemás colores sufren desviación respecto a él jr protlitcctt à cl espectro. tip. 5.10. Â

(5.37)

5.7.- Espejos planos.- Las leyes de la reflcxióti de Descartes cstablcccii la conservación del plano de incidencia jr la igualdad de los ángulos de incidencia gi' rclleitión Citando estas dos condiciones se cumplen para todos los puntos de uiia superficie. la siiperficic se llamii e.s_r.ieetrler cr es,ric*ƒo. jr la rellcrtión se denomina espei:'trltri-; cuando no se cumplen, la reflexión se llama dtjtitsc jr la stiperftcie es un ttiiƒitsór. Aqttt' tratainos de re-lleitioties especulares. Los espejos tieneii gran importancia eii óptica instrtiiiieiital porque pueden producir la reinversióri de las imágenes sin introdiieir dispersión cromática ctiiiio ocurre eri los prismas jr lentes;desviarlos rayos jr plegar los ejes ópticos, con lo cual los instrumentos tlisminuyen de tamano coiisiderableniente. Espejo plano simple.- Como se vio en lo el espejo plano produce dc un objctti extenso una imagen virtual. stigmática para todos sus puntos 1.-' simétrica del objeto respecto al plano del espejo. Como propiedades del espejo plano fácilmente demostrablcs. potlcriios eiiunciar: l)iÍ.`ua|ido un espejo sufre, coiiservándofse paralelo ti si mismo, una traslación t.

¿Q

50

5.S.- Prism:-ss de reflexiòrt total.-

la imagen de un objeto se traslada en el mismo sentido en 2:. 2] Si el rayo irteidentc gira un ángulo er, el reflejado gra er en sentido contrario. 3) Si el espejo gira un ángulo cr, el rayo reflejado gira lo en el mismo sentido, supuesto fijo el incidente (efecto de palanca optica). Espejos dobles.- Entre las propiedades más importantes de dos espejos forrrtando ángulo tenemos las siguientes: lj Si ante dos espejos que i`on'rtan un ángulo or se coloca un objeto puntual, U, lig. 5.12, cualquier rayo en un plano normal ala arista de intersecN cion sufre. despues de reflejarse en los dos. utta desviación «S = let. tj É) La imagen de Ú después de las dos reflexiories se italia it a igual distancia que U de la recta de intcrseccion de los dos espejos. pero girada, con eje de giro la arista, utt ángulo lo hacia el espejo en que se prodttce ia segunda reflesion. ƒ"¡-¬.__?_[ 3) Un corolario dc .-'-1) es ouc si los dos espejos giran ett tor "` -_. no ala arista conservan-dose su ángulo. la posicion de la segunda .f __ imagen no se modiiica. .-ií

Derttoslrerrtos todo:

La imagen U dada por el espejo Ei , fig. 5.12, que será la simétrica 0'; . estará de lv' a una distancia O', lv' = GV. Análogamente OE. simétrica de Dj respecto de E1. cum-

;;-tira O3 v = ov,

Si corttinu áramos consideran d o imágenes sucesivas. por el mismo ra-.ronantiento todas estarian en un círculo de radio VU y centro lv”. De los triángulos M11 lg y N I; Ig. siendo N el punto -.le intersección de las nomtales, se deduce respectivamente

2*¬f|=ö+2fi.'

e=r.-es,

cadencia

ö=2a

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los ángulos de sus caras que ajustar los espejos. y la de no haber perdidas de lu: en cl fenomeno de la reflexirin total. Sin embargo. presentan ciertos inconve-

nientes como son el peso y que el ángulo de incidencia en las caras rcr Z

flectantes no puede ser menor que el ángulo limite. lo que distttittuye las posibilidades de campo y aberturas. Entre los pristnas de reflexion más utilir-tados está cl prisnta

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rectángulo. qu.- j'|na.ittce la inversion de las imágenes en sentido per-

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pendicular ul t'-' la arista Íìg. 5.14 ln). Este ntisttto ¡t-risttt:-_ tntede utilizarse cn la t`ornta t!-»t para producir una dcsviriciou Il'-› recto.

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El petrtapiisnta o escuadra ojurtìca. Hg. ici c¬ ---.dj .-.=..|o en telémetros para producir desviaciones en ángulo rect-Prisntas con "let:ht:t".- - El `tcclto` es tttt dispmtttso de rcllertiorl

en dos caras que forman un angulo recto y que produce ía ittversion total de la imagen. Un pristna tipico con techo es ei prisma de .antiei. ii;-1. 5.15 que ett esencia es como el thl. en el cual se iia sustituido la cara ltipotenusa por utt diedro.

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5.9.- Cálculo de prismas.- - Las comldnaeiones de prismas de reflesion total que pueden hacerse para producir ittver-

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La Fig. 5.I3 lb]

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También son muy utilizados los espejos en ángulo recto, que producirán desvíaes , _ ciones ec IBD . fig. 5.! 3 (_-dj y los rayos saldran en sentido opuesto al delos incidentes. .

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opticos. etc. son tantas y a veecs tan complicadas. que se

hace a`ii|`cil entenderlas sobre In

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un esquema. Tanthién. de no

sistentatiatar el proi:-lema. es dificil calcular tamano delos

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prismas. áreas de interseecion de los Itaees con las caras. y camino optico de los rayos clt

el interior del prisma- La sistemática cs fácil si se piensa que todo prisma de reflesiòn total equivale a una lámina plano paralela que se obtiene por sintetrias respecto a las caras re- flectantes 1*). '` En la tig. 5.16 ia), iirj, tc) se dan las láminas equivalentes alos prismas flg. 5.I~l ta) (ti) ic). En las fìgs. la] y ic) los trayectos rectilineos ft B C1 Dj sort iguales a los de las quebradas A. B C D. Ei segmento A D. es el espesor dela lámina equivalente al prisma,

[*} Un estudio sistemático de este cálculo puede verse en J. Casas v MJ. Yeuel- *Dimen-

rc)

attgttlo de 135 , fig. 5.|3 (C).

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lo que demuestra la proposición 21. Entre los espejos dobles tnás usuales, tenemos el montaje rotnlioide, fig. 5.13 tai especialmente utililado para periscopios y anteojos acodados.

El mismo efcc to se consigue si Iosoespejos forman

siott completa o parcial de las intágcncs. desviaciones de ejes

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con la ventaja de ser más fácil tallar un prisma con

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muestra e l etecto ` pro d uci d o por dos espejos que forman ángulo de 45° con lo que las trayectorias de los rayos se › - formando angulo f -resvtan rec-

los ángulos de incidencia superan el :ittgttio litttilc. se pueden oblertcr por medio de ptistttas los mismos efectos que en los espejos.

la precisid-n que requieren

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lo que demuestra EjDe la iigura se deducen fácilmente para el ángulo ,':¦. que representa el giro que delie hacer el objeto para contcidir con la seattntiá imaeen. las sieuientes relaciones anaulares sin más que considerar simetrias t-1"'-"is

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sionado de prismas ñpticos`. Rev. dead. Ciencias Zatagoï-'.a. I 13, 33 ll9ü4].

51

oealar L1, los diafragmas Dj y Dr y el ojo detrás del ocular observando a traves de su diafragua propio Da. F.n este caso la primera limitaeion del ha-'E la proI duce la montura de Li . una segunda limitacion produce el diafragma D. que recorta el hai: que deja pasar Li , pero la iirnitaciori definitiva está en el iris del ojo U3. por tartto éste es el diafragma de apertura. Hay que tener en cuenta que no se puede, en general, decir que un sistenia constituido por una serie de lentes y iiiafragmas tiene .ai-.__ `_ un detenninado diafragma de apertura. pues este depende de la posi,¡_¬I›""'-f FI cion del objeto. En efecto. en la tig. 6.4 tenemos un sistema formacgi* do por la lente L y los diafragmas Di y 0;. Si el objeto está en Oi el diafragma de apertura es Dr, pero si el objeto se potie en U; el -Jiafragma de apertura es Dr _ y si estuviera en Ci; seria la montura de la

Duflt.

LIÍVIITACIÚN DE RAYOS: ABERTURA Y CAMPO

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6.1.- En los cap itittos anteriores no se ha lieclio una limitacion precisa del tamano de los haces que atravicsaii los sistemas opticos. pues cuando hemos tratado los casos de stigmatismo perfecto se ha dicho que todos los rayos. sin Iimitacion. lo eunt pltan. En optica parar-:tal la cr-:tension quedaba fijada por el limite. siempre impreciso. de que los senos y tangentcs ptidieraii sustituirse por los arcos según el grado de aproxitttacion exigida. _ En los sistemas opticos que se iitilirran en la pra'ctica,los iiaces tienen unas limitaciones precisas que conviene puntualiaar. pues de la forma de llevarlas a cabo depende en gran parte cl comportanticnto de los instrumentos en lo que a rendimiento y calidad dc sus imagenes respecta. _ Los liaces de luz que procedentes de los distintos puntos del objeto atraviesan un ittstritntento sufren. a causa dela finitud delos dit:-intetros útiles de las lentes, que soii ¡PF *ïtlif-' 13"'-'fmttclt Sus monturas o los tubos donde van aiojadas,limitacioncs eii su eatension. .fiipartc de esta limitacion inevitable, en los mstrumenos se suelen poner ciertas chapas con orificios circulares o no circulares. a veces con diámetro variable firisƒ. Su coIoca_c_io-n tiene por objeto Iiacet limitaciones de los haces de Iua a nuestra voluntad, constgutendose cuit ello corregir aherraciottes o defectos de las imágenes. actuar sobre la distrihucion de lui: eii ellas. eliminar luces parásitas. etc. ` Desde este punto de vista. tanto las ntonturas de las lentes como las chapas Itoradadtis rccibeii el nombre de ifiajtagttras. Atendiendo a su fititcion los diafraetttas se ela. siiican en dos tipos? di`r:rji'egrrras de a,ucrrtrrrr_i' Jiatragrrras de c'arrrj_ii , _

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que todavia corta al has que deja pasar la lente L, por tanto D. es el Il..-tt. En la fig. 6.3 tenemos un sistema telescopico constituido por el objetivo Lj , el

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maite, y entonces ver cual

de estas imágenes subtiettiie tttenor ángulo desde el ob*

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jeto: el oi-iii-cio material correspondiente a dicira iniagen es el diafragma de

Fig. 6.3

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apertura, Los cálculos de las posiciones j' tamafto de las imágenes se eottdttcen siempre por los métodos

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nom ' rre i ' c diafragma tie l).A.j. ett uit sistema optico, si` '_ apertura, ' _.` del [_haz ._ _. que liintta . . la eatcnston _ ntitn.io que pettetra en el. procecente del ptunn pet objeto situado en el eje del sistema. Ejemplos: En la fig. o.l tenemos un sistema constituido por ' Q una sola lente L. El haa que procede del pttnto O del objeto no sufre otra litnitacioit que la dela montura de la lente por tanto dicha moritura es el diafragma de apertura DA. Ett la fig. 6.2 tenemos utta leiite L y dos diafragtnas D; y Ds, con objeto en el infinito. El han preceden _ tc del punto del objeto ett el eje, fÍi.,,viene limitado por el diafragma Dj,

Hernia práctica.- Cuando un sistema está I`ormado por varias lentes y diafragmas. es dificil a priori saber cuál de los orificios es el diafrag-

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gulo sitbtiende es DH, luego D; es el diafragma de apertura. La imagen del diafragma de apertura ett el espacio objeto. en este caso Bo. Tfiiìi-

iie el nombre de pupila de ertrrada t_F.E.) del sistetna. Si fi estuviera en el infinito seria

ss

mas al espacio objeto,resuitan ser Di , DH. Di. Si el objeto está situado en O, de la geometria dela figura se deduce que Di es la P.E. puesto que ella limita el hair que parte de U. Si nos desplalamos a lo largo del objeto, encontramos que hasta el punto U1 to-

pupila de entrada la imagen de menor tlitimetro_.L§.1v la montura de L;_,el D.r't. .-"tmilor__nintente podria resolverse el prolilema itallando la imaUL Ei gen de U a traves de to'__ do el sistema 3' las de toLI; I das las monturas 1-: dia1

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a partir de U1 los haces vienen mermados ftiirtereerƒosi por el diafragma De o lo que es igual por su imagen Di. Para el punto O; solamente pasa un rayo. gr a partir de 03. a causa del diafragma Ds. ningún rayti atraviesa el sistema. por tanto no pueden formarse iniágenes de pttntos más alejados de D que Ús. Este diafragma que limita et campo que puede verse a través del instrumento ten este caso De ) se llama dt'trƒiragrrtrr de t-riutpr¿,y su ìiitsgert ¿tata rior. Di. dada por el sistema,reeibe el nombre de t't.-crrritrr de entre-:r'tt l'L.i-1.). Attaloaarnenle la imagen posterior del diafragma de campo se llama nit-irrita de salida {i_,5,), H Para ver el efecto de la Iucarna en el viñeteo de los haces hasta proyectar en la fig. 6.6 la I...E. sobre la P.E. desde cada uno delos puntos del objeto. Desde el punto U se ven como indica la tig. -Iii' ra). La laa que atraviesa el instrsntento se indica por el area rayada. Para todos los puntos G? entre El 3,' Ut la pupila de entra-

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parte del sistenta que les sigue. En este caso. to-.io estaria en el espacio imagen: asi mismo. la imagen tlel oriticio t|uc se viera bajo menor ángulo desde el punto imagen 0' seria la .tert-

dos los haces que limita la pupila de entrada pasan íntegramente a traves del sistema. pero

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orilici o correspondiente. P el diatìaema tie apertura. Igual podria resolverse llevando todo a un espacio intermedio. En la t'i¿.=.. 6.5 hubiera si' entre las cos ' l entes- l ti cua I esido mais cotttodo llevar U. Di jr U3 al espacio intermeuio piria tres pasos. sin emliar-__-o tal como se trecho rtrtilicatttettte exige cuatro.

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6.3.- Diafragma de campo. Lttcarttas.- Sttponaatnos un sistema optico. tip. ftp. en el cua] llevadas las imágenes de todos sus diafrag-

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Si este dispositivo operara en una cámara Fotttgratica. la iluminacion. 1-L. ett la placa seria como indica la lig. -ELS y la Fottigrafia presentaría una disntinucidn de densidad haD cia los bordes. AntiL' E023 logamente ocurriría G1 en tin instrumento de p¡_ vision. En realidad las cosas no suceden como se indica en is tip. E-.T pues las cir0-¬-.-p"Í_-'Í"¬'¬-_,_

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siendo rr el in-¿iiee del espacio nltjeto 3-' o el :ingulo true forma con tiendo del pie dei objeto pasa por el borde dela I".E.

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La forma de conducir el cálculo es trazar por los métodos paraxiales descritos eii el apartado 9.3 a) el rayo que va del pie del objeto al borde de la P.E. Esta marcha proporciona todos los datos para el cálculo de las sumas. Estas sumas representan números proporcionales a las aberraciones: Aberracíon esférica = -S 1 /2n'_oj\_ Coma rangertcíal = 352/21220 >¬"'>“' Asrígmatísmo = S3/rzjçojf Curifatzzra de Petzral = -S4,/2rz;,í,oj\,2 Dístorsíóiz Q,/O = -50 S5/H (99)) Curvatura Sagíral = -(S3 +S4 /,/Znjfojf

Curvarura Taizgencíal = -(353 +S4 //2112, of Aberracíón cronzafica ZoHgr'tud1'†zal = L,/ftjçojf Abefracíón cromática de aumento = T/fijojx, Forma de utilizar las sumas de Seidel. - Si planteado un sistema y hecho su an-teproyecto por los métodos paraxiales, y heclias las marchas para el cálculo de aberraciones éstas no están corregidas, se procede al cálculo de las sumas de Seidel superficie por superficie, escribiendo de modo explicito el sumando correspondiente a cada una según (9.8) El valor de estos sumandos dará idea de cuáles son las superficies que más contribuyen a cada aberración. Se observa que las influencias de las superficies dependen en gran parte de los ángulos de incidencia ei en ellas, por tanto modificando los radios de curvatura y con ello ei, se modifica la contribución de cada superficie. Según nuestra experiencia, cuando los ángulos de incidencia no exceden de 25 ó 30 grados, las aberraciones exactas varían linealmente con las sumas de Seidel para pequeñas variaciones de los radios de curvatura de las superficies, lo que permite iriterpolar por partes proporcionales. Como para grandes variaciones de los radios, sobre todo en las superficies que influyen mucho, no se conserva la linealidad, conviene modificar los radios por incrementos del orden del 5°/O. Si las incidencias son menores de 25°, para estas variaciones las aberraciones varian linealmente con las sumas de Seidel, y con dos valores de

las sumas y los correspondientes de las aberraciones se determina para cada aberración su * H.H. Hopkins.- 'Wave Theorjv ofAberran'ons'.~ Oxford, 1950.

recta de variación, lo que da los valores de las sumas que anulan a las aberraciones. Así pues si hecha la marcha paraxial se encuentran incidencias superiores a 30°, lo primero que procede es rebajarlas “doblando” las lentes o subdividiéndolas. Un sistema con incidencias mayores no es fácil de corregir, y en cualquier caso tiene muy poca estabilidad: cualquier parametro que se le modifique ligeramente en el tallado de sus lentes o en el montaje, produce variaciones intolerables en la calidad de la imagen. De cualquier modo, cuando se representan gráficamente la variación de las aberraciones exactas respecto a las sumas de Seidel, no se suele encontrar, a no ser que los campos y aperturas sean muy pequeños, que las aberraciones se anulen cuando lo hacen las sumas: esto se debe a que las sumas son sólo fórmulas aproximadas hasta el tercer orden, pero en realidad existen también intluencias de órdenes superiores. En cualquier caso, dado el formato de un sistema, cuando se hacen variaciones en sus radios sin modificar profundamente el formato, la inilue-icia de los órdenes superiores apenas se modifica y aparece como un sumando practicamente constante que es el que hace que la recta de variación de la aberración no pase por el origen; por tanto cuando se encuentra un valor de una suma para el cual se anula una aberración, en realidad se ha encontrado un valor que compensa las influencias de los órdenes superiores. Cuando por este método incremental no hay posibilidad de llevar a cero las aberraciones, u ocurre que a pequeñas variaciones de las sumas corresponden variaciones de los radios y demas parámetros que conducen al sistema a datos de construcción absurdos, debe pensarse que el sistema no puede responder alas exigencias de campo, apertura y aumentos que se le han exigido y se debe proceder a añadirle más lentes, o bien a subdivi-

dirias existentes para que el sistema trabaje menos forzado. c) Utilización del cálculo e1ectrónico.~ Todos los procedimientos de calculo que hemos citado pueden programarse para calculadoras electrónicas incluso programarles el método de corrección. Debido a la potencia de cálculo de estas máquinas, se puede prescindir de todo lo dicho haciendo un programa para el paso de un rayo cualquiera y entonces pedir a la maquina que modifique las características del sistema de modo que cuando este rayo variable pase por un punto cualquiera de la pupila de entrada, a la salida pase dentro de un entorno del punto imagen paraxial. Pero, en cualquier caso, la máquina no puede sustituir al hombre que en fin de cuentas es quien le da las normas de trabajo previo conocimiento practico de los problemas. f C0fzsz'deracz`Ó11fz`/zal.- Todo lo anteriormente dicho, puede a lo sumo conducir a la obtención de un sistema óptico que produzca una imagen perfecta desde el punto de vista geométrico. lo que. en general, para objetos extensos (no puntuales) es prácticamente imposible, aunque pueden llevarse las aberraciones a valores tan pequenos que dentro de ciertas tolerancias la imagen resulta satisfactoria. No obstante la perfección geométrica alcanzable, debido a los fenómenos de difracción originados en los instrumentos por el carácter ondulatorio de la luz y la limita~

ción de aberturas, las imágenes de los objetos puntuales aparecen inevitablemente como manchas extensas, lo que repercute, a veces poderosamente, enla calidad, siendo éste un hecho que nunca puede dejarse de tener en cuenta. El estudio de la estructura de estas manchas se hará en los Cap. 23 y 25.

propaga en forme de rrrtnles, ,fmodelo onduirrrorio). En esta l-*arte il estudiaremos una serie de fenómenos bajo el supuesto de que l:-1

luz en su propagación obedece alas leyes generales del movimiento ondulatorio. Esta forma de tratar los fenomcnos opticos constituye un cuerpo de doctrina denominado üprrca Fu.-r`cu Cidsicc ti Up rice Úno'uieron`e.

PÂRÉE

El presente capitulo lo tlcdicarctnos a hacer un recordatorio niutelntitico de cues-

tiones relacionadus con el mcwfmienrri rriidrricrrirto ,ir el análisis de Fotrrter por ser herramientas básicas para los capitulos siguientes. 10.2.- Movimiento Únduletorio.-

Cuando en un espacio en el que esta

delìnidu una variable fisica se produce una niodiiìcacion de dicha ranable eri un punto, puede ocurrir que esta perturbación se propague a otros puntos jr en ellos se reproduzca

de ionna anriloga a como se libro en cl punto inicial, cn cuyo ceso diremos que la pertur-

OPTICA ONDULATORIA

bación se niue-re. Este inovirniento de perturbaciones se rige por una ecuación ftlritlutileritul, general c independiente de la trariable fisica de que se trate. que se llama ecrrec'icìrt del ¡tropi-

ntierrro oriduicrorio, gr las soluciones de esta ecuacion rlclicran ser tales que nos perrhiran obtener el valor de lu 1-¡ariable en un instante tlntlo en cualquier punto del espacio, a la ser. que nos informan sobre todos los pormenores de la prtipagricion. Supongamos puru fijar idcus que una variable E, que puede ser, p.e., la intensidad de un campo eléctrico, el valor de una p1'esióo,la posicion de una purtict1lu,ctc,scttìoElìfica en un punto U, tomando cn el valores -di†`crcntcs con ci tiempo. Representemos su rariacidn en C' por la ecuacion Én =f|(fr¡ Si por lìjar ideas suponemos que la perturbación se propaga según la direccion positiva del cjc dc las 1-t con una veiricfrinri corr.srrnrre¬ rr, el valor de É en un punto dc ubscisu

ir será funcion de :cy r, es decir

10

e=ƒorl A)

Í\iOVlF›'ilENTO GNDULATORIO

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:tun

De cualquier modo, en i deb enin existir factores que den homogeneidad dimensional u los dos miembros de la ecuacion e incluso maticen cada problema particular dando cuenta tie sus pormenores especiales como son rrrnurtiguucion, periodicidad, dispersión, etc. Para 1.-ercoinoestiin ligados en generalx 3-' r en -Í_lD.l}, basta consitletar que el *rulor de ii, suponiendo que el medio no produce arnortiguacion 1; que la perturbaciolt se propaga con velocidad constante V, debe ser igual en el punto de abscisa it en el instïantc t que en el punto de abscisa it +dot en el instante t -I- ot siendo rlïr = voi, lo cual solamente pitc-

tlc suceder si la ecuacion if_lG.l) es de la forma 10.1.- En la Parte i hemos tratado los problemas de la Optica Geométrica basándonos en el concepto de rayo de luz como trayectoria de la energia luminosa, o bien como trayectoria de las particulas materiales emitidas por los cuerpos luminosos, el movimiento de las cuales, según la teoria corpuscular de Newton, constituía la luz. Pero es de observar que en la óptica geométrica no se ha tratado ninguna cuestión de tipo dinámico, ni se ha hablado de energia en momento alguno; en realidad se ha hecho un estudio cinematico o simplemente geométrico, sin abordar otra clase de problemas que los relacionados con direcciones de propagación. Se comprende, pues, que una teoria cinematica que trata problemas relacionados con la energia radiante no puede ser una teoria completa, sino a lo sumo, como veremos, una primera aproximación ciertamente útil, pero insuficiente. Además, se producen enla naturaleza, y aun en los propios instrumentos ópticos, fenómenos como las ínferfererzcias, difracción y polarización, aparte de otros en la interacción de la luz con la materia, que en principio sólo pueden explicarse si se admite que la energía luminosa se

e=nW-fi=flw

unn

como puede comprobarse por sustitucion. Análoganterite, como puede comprobarse, si la pcrturbacioii se propuse en cl Selltido de las :rr negativas, ã serri de la forma E: grid' +:r_l

(10.3)

Las ecuaciones (IiÍ|_'2}1tr {lÚ.3] pueden considerarse corno las ecuaciones finitas

de lu propagación, pero en los problemas fisicos son más importantes las ecuaciones dife-

91

Designando por r(x,§,-', 2) el vector posicion de un punto P del frente de onda, la anterior se puede escribir en forma' vectorial

renciales porque incluyen soluciones más generales a las que se le pueden fijar condiciones de contorno muy diversas,y porque las más de las veces el planteamiento matematico riguroso de un problema físico debe hacerse sobre evoluciones elementales del fenomeno, que son las únicas previsibles en un momento dado, lo que implica plantear una ecuación diferencial. En nuestro caso hemos llegado por consideraciones formales a establecer la ecuación finita (10.2) y podemos pasar ala correspondiente ecuacion diferencial elinnnando en ella la función fpor derivación hasta las derivadas segundas respecto a X y T, con lo que se obtiene

íåš=%§%=-_f”/al.

%%=%{; %%=1ff”(v/ 2>_

2

2% =f”fa/. %.›_-s ie f mi

91'.

g=ƒna- rs)

tios)

Para pasar a la correspondiente ecuacioit diferencial respecto a las variables rr, 31, a.t bastará tomar derivadas segundas en iflü."-*`j con lo que se tiene tu

,, ==ere=i. °:1°'

tio.4i

I¬¦¬r

2-

1

É

§¶É=fi“rrvi. -šïi-=-1--.r“'rrr. §-,.i=ier".ev

de donde, elir'ninaI1dof"{_t1] después de sumar las tres primeras v tener en cuenta que od' +,'ï1+'j-'E = TJ resulta. _

U0-5)

e=i;_e1r.e1 _r WI 'Tf_e_-Pie H-

cu

F'-I

Eìiininando entre las (10.5) f'(u), se tiene la ecuación diferencial

a2 = «É-É

\-'.14 ¡`_¿

az' ãå

o bien, utilizando el operador lapiaciana 'T1 =- [_

(10.6)

..

E12 `

+ ¿šij-_¿¿rj, esci-ilriremos _

if1ti.1o,i

iÚ.3.- Úhdflñ eSfÉ'1*iC2'1S.- J'-H veces las condiciorres del fenomeno son tales que cuando se produce una pertorbacitin en un punto, la propagacion se verifica porigual

en todas las direcciones, como cuando tiene lugar una variacion de presidir eri un punto de una masa flúida_ En estos casos el valor deå en un punto del espacio solo depende de la distancia 1' al origen dela perturbación 3-' del instante .f ti ue se considere, es decir, É tendrt-i en un instante dado el inisnro valor sobre todos los puntos de una esfera de radio r',1-.fseiai

ve para representarlo, y recibe el nombre de ecuación de propagación de una onda pla/ia

de la forma

en la dirección del eje x. En general, el lugar geométrico de los puntos del espacio afectados por la perturbación para los cuales en un instante dado la variable perturbada toma el mismo valor, se llaniaƒife/rte de onda. En el caso de ondas planas, cualquier plano normal a la dirección de propagación es un frente de onda. Z ' O Como se ve, la (10.6) es una ecuación diferencial lineal de 2- orden

É = ƒir. fi pero en este caso ltajv que discutir con cuidarlo la forma finita t`1cÉ,pues, de hei:ho,1a pri'-

pagacion de la perttirbacidii en cualquier direccion s (cad, 1) debe satisfacer a i[ 10.9) corrio perturbación que se pr-::-paga en una direccion v a la vea .E debe ser constante en los pon tos de una esfera de radio r

ffilfif

Si la onda plana no se propaga en la dirección del eje x, sino en otra dirección cualquiera definida por el vector unitario s(ot,6, sy), el estado de perturbación será igual en un instante dado en todos ios puntos P(x, y, Z) de un

i

si *-¿vt-i.=f==r=

plano rr normal a s, cuya ecuación será oo=

1

.

¡fttìf

L 'ÉJLÍÍ '

' .ss

r-i-T

Como el valor de

t

El primero representa el flujo del vector de Poyntfrtg, 5,

s= ¿.21? rss Hi

555

I _ cosftuit--tp) dt = Í es decir, ¬=ïCEfI':› = -I-¬.J'-'

i=«=1,S'ïr›=%

(iras)

lv-.11--.

l¬'l t:-tu-¬.1

se tendra

tttssi

U1De-'r

de donde se deduce que la intensitla-tl es proporcioital al cuadrado de la atuplitutl.

a través de la superficie que ertcierra el volumen V. Este flujo representa la energia radiante jr las lineas de JS' son las trayectorias de la energia, es decir, los ratios de luz considerados en la optica geométrica. lrll propio vector Spuede considerarse como el flujo de energia a traves de la unidad de supetiieie que le es normal, en la unidad de tientpo. En cuanto al segundo término, representa la pérdida de energia electromagnética en forma dc calor de Joule por el movimiento de cargas libres.

En muchos problemas prácticos en los cuales lo que interesa. rn-,is ouc cl calculo delos valores absolutos dc las intensidades, es su variacion o distribucion relativa, podre-

mos prescindir de las constantes 3,' representar la intensidad por el cuadrado de la ampli tutl-

. _ Cuando la ecuacion de la onda esta escrita cr*-. forma cornpleja E -_ EU en* pero

liallar Ef, basta multiplicar E por su conjugrtda E* con lo que se tiene

De las anteriores consideraciones ji lo establecido en el párrafo ll.o se deduce

que en los medios isotropos la direccion s de propagacion de una ontla, normal ai plano nue determinan en cada punto los vectores E 3.* H, coincide con la direccion de propaga-

_r,¬,5i- :gg av- En i-*H-f=s,§

_.

titan)

cion dela energia dada por el vector de Pojfnting, por tanto los rayos de iust considerados li-n las ondas planas cuando En es constante independiente del tiempo ju de las coordenadas espaciales, la írttensi-dad es constante en cualquier punto de su recorrido. Sin emÉ'ia1'gc-, en las ondas esféricas, ctljva amplitud es En ir, la iiitensidati en un punto a distancia r del foco emisor', aun supuesto En constante, será proporcional a Eä .-'tf Hey de la inversa del cuadrado de la distancia).

en la optica geométrica como trayectorias de la energia, sort normales a los frentes de nnda deñnidos en la Dptica Fisica como lugar de puntos tie igual fase. A veces utiliearemos indistintamente las palabras onda jv rayo para indicar la marcha de la luv., pero en los fenómenos oriduiatorios eii medios isotropos cuando se liable de raj-fo, debe entenderse siempre que nos referirnos al frente de onda que le es per-

pendicular.

lluminacion_«- El hecho de enviar energia radiattte sobre una superficie sc llama ffrriiifitrzrvìdii energetica 3,-' se mide en ttrtitlatles dc unit ntagnitttd denominada r`i'trmi`it.s:iicirr la cual se define como cociente del flujo recibido dividido por el area receptora. Sobre es-

11.8.- Intensidad de las ondas electromagnétìcas.- La intensidad se define como ol flujo de energia que atraviesa la unidad de área normal a la direccion de

tos conceptos volveremos en el cap, 33.

prop-agacion en la unidad de tiempo. Este llujo viene dado, como se ba visto en el parmfo arlterior. por el vector de Poyrtting ,S'=

JI

[E X H`jpero como E v" H varian con el `

tiempo, se hace necesario definir la intensidad media respecto del tiempo para un intervaio, r, largo comparado cori el periodo de la onda. Dicho de otro modo, no sc puede dcfinir una intensidad instantanea, que no seria representativa, ya que cuando observamos la intensidad o l_a medimos por algún procedimiento, siempre se recibe la energía en intervalos de tiempo suficientemente largos para que este justificado tomar valores prome-

i

/ ,Ii

Bajo estas consideraciones, podemos escribir teniendo en cuenta la relacion mo-

dular H = n E deducida de {1I,2o]

iSi= ¿Í? ff*

'mt

t

F' ¡fl

J'

M

' 3 ' ' //¡J,I,

E1 = A1 Et',-'tot+,¢;¡,i

--'Í

E1 Ei*

__, H-t

ig-|.

,SÉ

..._šï

-rr. Si

Hs

,/,Ésa

mattejantos haces extertsos de 11.12 per-

tE¡=|E,|.|.|E2t=,41¿,¡t'tor-l'-.v1,i4 ¿1 ¿,t`twr-iv1e›"=,t1 ¿ftwfinai

tE;

/-5-_ 53

__,_

I:

; '|

'3

lariaada plana, en cada punto del es pacin podemos definir uno, pero todos ellos son paralelos entre si v lo que entonces entendemos por plano de pola-

` K/

u2_2}

_¡_

ili-

un plano bien espec-ilicado: euartdo

que daran la vibntcion resultante

,_

mp;

/l -Ha

zaci-ftn, pues en este caso H 3-' s tlle-l'ir'lel”1

rirtacirfirt es simplemente una orienta

E; =A; cos¡'o.¬t+t,f.t",i'

Llutulv vt' v vt” depende de r v s. En un punto del espacio, ts' v -tp” tomaran valores cons-

l ol

donde iremos prescindido del caracter veetonal por tratarse de vectores paralelos. La vibraeiou resultante representada por el ultimo rniernhro de (t 2.2) tatnbien sera armonica como suma de vibraciones armdrlicas. Tratemos de llallar su amplitud A v-' su constante de fase te, para lo cual podemos prescindir del factor común e"“'“, con lo que noe queda la relacion

a, son + at efes =A air (bl

cion común a todos los planos. Debido a la superposicinn de dos ondas armdnicas planas que se propagan enla misma dirección, en cada punto del espacio se superpondrtin los dos vectores E1 v Ei dando un--vector.E_ resultante coplanario con ellos ja variable con el tiempo no solo en direc-

¡.¡,,_ ¿›¿_¬,

tras;

lirlultiplicaudn los dos miembros por sus eïpresiones conjugadas obtenemos

` 1_ 1 2 _,-¡W_mƒ, ¡|,W__¢U, A *A1 +'42 +A1A1lii `l` E l

”

Tenìentlo en cuenta por las formulas de Euler que el paréntesis del segundo tniemlirn equivale a É cos t_-,ea - tai ], '51' que la intensidad l es proporcional al cuadrado de la ampiitud,

obtenemos para la intensidad resultante

111

12-'1

ó`=2Acos2rr.ftdr=+x -¿$11 cosâafvt- iii ƒc¢,q1=,sfi+Aã+2A1A¡cosö

U1-7)

(12.4) El segundo miembro de f_lÍi.?} representa una ontla de frccuencia tf, intermedia

.

donde 5 = es r al es la dtïercncta de fue entre las dos ondas, que en este caso es cutis-

-

tante ett cada puttto del espacio indep-endicntcmente del tiempo. Cuantlo entre dos ondas existe esta constancia en la diferencia de fase, se dice que son coftcrerttcs, aunque es-

te es un concepto que lrcrnos de tratar con detalle en varias ocasiones.

.

..

`

aa

.

_ Wifl

{12_5`j

-tlt sus va + i cos vi

211 cos 2-rr ltda 1- :tc gfi- l' __

De (1 1.4) se deduce que la amplitud dela vibración resultante es la diagonal de un paralclogramo de lados do ff no que fotrnan anguloó = ra-_; - r.t.1'1,lo que permite lia-

-

o,

llarla rnediante una construcción gnitica denominada rvrrrtstr-ticci-::'vt de Frcsael, iig. 12.1

-'

que consiste en situar respecto a un eje is dos vectores de módulos Pit 1-* Ag con aeimuts respectivos pt v pa. La diagonal del paralclograrno construido con ellos da la amplitud de la vibración resultante, jr su asimut tp, la correspondiente constante de fase. Esta construcción gráfica _ . i .. _ , puede aplicarse a cualquier numero de vtnraciones formando su pol tgo-

` 31' T

.

'_' H _ _ _ H -F

P

_ “* ,_ ,, I-lt I f -c

e _. _

J Á

__ ., r' Undg

'Í-"

_* `¬ a, ' ,.

'

tii? .-f "'

""

..›og

" ~ _ __ , .- "

rggolruntg

¿lg

La fase de la onda resultante es Erm _ 5)' ¡_¿a¡¢u¡cmu$:,Përa ]m_ 7*- _ __ I

¬

frg ¢L|1g|-¡gi tg 'U

'1 1'" , l_.Íi

J'

¡

no de vectores.

l'i.4.- Velocidad de fase 1.; velocidad de grupo.-

to vsiaeiaaa se fase.-

__

1-I"

_

.

i2.3. El factor de niouolactnn cos".-irrftdtt --.- si --.¿-), que es otra onda stnusoidal envolvente de la primera? Se llama perfif L¿,,¡ gmml

Sept-rrando en llÉ.3} las partes real e imaginaria, dcpuris de ponerla en forma trigonomëtnea, jr dtvtdtendolas entre si se obtiene para la constante dc fase si oe la vibración resultante

¡ga =

dlt

entre las dc las componentes, con amplitud laicos En ltdv +x-.jïl vartall-lv uuu -Y 1-” L PE' ro rnuv lcntamettte variable debido a la pequeñas de de jr dlt. En conjunto sc obtiene una onda de frecuencia 1-' con amplitud rflutlulutla, fla-

"fi

llar la vrfttfiefett fic Jete, te velucldai] ii QUÉ iifllïfiffl iìfiiilïiliìïififse “T1 lï'UfliU' 1`fl"-ï""¡l M SÚÚW '31 911* ii PH' ¡ii WW tu liiåiï Pcfmaiifïcil 510115" tante, es decir, que al variar.-: fvt Se CÚDSEWE

J' .l

12.3.- Superposición de ondas de distinta frecuencia. Grttpo de ondas.- Un conjunto de ondas planas de distinta frecuerl-

l d

Jefa: -

'lili

caracter vectorial. Tambien lo es,por tanto, para ondas escolares.

|__,_|-I'

CJ

,gía _*_'Ei

la

Consideremos en principio a titulo de ejemplo la superposición de dos ondas planas infinitas en longitud j_v ei-ttcnsión que se propagan ambas según el eje -i-it, las dos de igual amplitud A v frecuencias ligeramente diferentes. Sean estas frecuencias t›+dt-f jr if- dv, alas que corrcspontien,cn el medio en que se propagairloiigitudes de onda respec-

_-

v, de fast.

1- 1

_..-

origen det-ases _

._ fi*-' :ra = E "' _ Ef" ,t¿

ng. 12.1

1, U --9,1'

lr) Velocidad de grupo.- En la representación, fig. 12.3, la envolvente de la onda resultante, es decir el pcrfil del grupo, c_ue representa la variación de la arnpl_itutl, se despiaza como un todo con el tiempo. La parte de onda comprendida entre dos ceros consecutivos P, CI, se llama pttiso, jr si las dos ondas que forman el grupo son infinitamente largas, por un punto del eje estiirt pasartrlo en-rrtittuatttcntc pulsos, por lo que este fcl1Ó1Tie!1o se tlenomina _rJt.ri'.scct`ottes, La velocidad del pulso como un todo es lo que se llama t'efocfcl”t-Q' de grupo.

tivas Pt rdli, li - dit. Por ahora no haremos ninguna suposición sobre el signo de dl-t_. pues caisten casos en los que it. crece con tf jr otros ett los que ocurre lo contrario, lo que estudiará con detalle en el capitulo 17- . ' ` . Las ecuaciones de propagación de estas ondas seran

Si en un instante tu la configuración espacial es como indica la cu1¬-'a continua de

l'

la lìg. 12.4, cn este instante el punto P le corresponderti una amplitud Ap. En otro instante t= tu + tr, el grupo se habrá trasladado a la curva

E¡=Acos2tr*L{1i+a`vlr(12.6)

a- b

= _¡_ T

1 1 f 0

E1 =A cosên [fa - dvlt a-i-b

Teniendo en cuenta que eos a -l-cosb = 2 cos -2- cos -Z-, se tendrá para la onda re-

sultante:

¿Í la ..- :F '_"' --___ _2"'-.,___` P F' "'--.___

puntcatl 3 5' cl punto P deberia haberse trasladado al punto F para conservar la misma amplitud. Entonces para ¡tallar la velocidad de grupo bastará calcular a que velocitiatl del;-era desplazarse el punto P sobre el eje it de modo que su amplitud se conserve constante, es dec1r para que

Ftg. ta.-t -t.

E=E¡ +.E'¡ =.2Acos2tt{i°tí1›-

'li 3-51

. _ ,__ I _ _ _ _ dit . Tltferenctantlo (17.3) respecto it Ji v rpara hallar v = E, se tiene para la velocidad

cia que se propagan superpuestas enla rnisma direccion se denomina gm po de ondas. La teoria que vamos a establecer es vtilida para ondas con sus vectores eléctricos paralelos, en cuyo caso, se puede prescindir del

= cte

if

5

- -ífl-5-I,lïìcos2tr lvt-

Í

Operando dentro de los partintesis v prescindiendo de lrlitjti, se obtiene

Znfttftr + Jr 5%-J = cte

paga con la misma velocidad que la velocidad de fase de las ondas, como se discutió a propdsito de (12.1 1). En este caso la funcion c.›{k] es sencillai co = v lt, pero cuando if a su

. _ dit . . diferencian-:ic como antes para liailatã, sc ohticnc la velocidad de grupo vg _fÍ?f__ Pl. 2 É Vgflãšdl

vez depende dc k (medio dispcrsivoj la relacion entre tu ir lt es mas complicada. No obstante, poreer dk muy pequeño en nuestro caso, podemos desarrollar tctk) en serie de Tay-

-

lor en torno al origen lo), en la forma

. d' . que se puede escribir de otro modo si se tiene en cuenta il 2.9) de la cual fi= - gi-2-1

anu=«-»›rt.;.J + rfi-tft, ra- t,,i+

tjieisr

Cl

-I-Flk -É-1, sf sustituyendo en -[l 2.ItÍl) tenemos

cortando el desarrollo en el segundo términot con lo cual cl ci-tponcntc dc [l2-l4} puede v¿=v-- ik

escribirse. poniendo tcfikal = tcs,c-omo sigue

t_1'2.ll}

tur- .i:r=eo,,t- i-::c+ fäƒküfk-kai?

De (12.1 1) se deduce que si el medio no es dispersivo, es decir que la velocidad

de fase, v, no depende de lt, el grupo se desplaza a la velocidad ag = v. Si dv_.f`dJi le U, que es el caso de la rltspefsfdrr rtorrttcl, la velocidad del grupo es menor que la de la fase.

Sumando gv restando kg it en el segundo rniemtirc 3,' reaerupando, se tiene

Si dv,r`dì.sf.iÍJ, caso de la c'r'spersi'dn citdmalc, väì-v. Estos casos de propagación de grupos en medios dispersivos los cstudiarcmos con mas detalle en 2?] 1.. Si en las ecuaciones de onda se nacen intervenir te gi it en lugar de las variantes 1. lv H, se obtiene para la velocidad de grupo la expresion

al -_,-_r'¡t,;¬,-|_

efv_ ft» dI'ƒ}.,»l

dos tor- .i-:Jr =t-.1¡,t- R,;.I+ tii' kai fE§pJ¿.u-F" -li

'

_ ria _

con lo que ll 2.14), tomando la integral en el intervalo los ± ri-.l-:,-"'2, que es donde tiene existencia, se escribirá

,,

Ira n -I-¿r -ii.-"E

'ffïi

115.- Patguete de ondas.- Un caso de notable interes entre los grupos de

I

E11 le dÍIE¦~'$¢ìÚI'1 U1. Una de las ondas contponentes de este grupo podemos representar- -

Í

.

1¿';¿tx,ti'=At em"`*if`r'kx-*'

' Si conocemos como varia A con lt, es decir Atlt), 1-,f tambien como varia to =oJ[_k},

M

Nosotros nos ceñiretnos en este estudio a grupos un tanto particulares, pero que se dan muchas veces enla práctica: son grupos en los

111516;

I¡|¿

lfllfâ 1.21111@ It1tIES1Z1'Et ll-1 fig. llfl 1€ líi. GUIHPUSÍCÍÚH Clará tlfl måïjjntj de gran 5_rr|pIitt_1d .gn gl

origen que dccae rtipitlarnente al aportamos de Ci ya que el promedio de la amplitud resultante se va hacicn do nulo debido al desta. se de las ondas. Esto se pue de ver también maternaticarnente integrando

(12.131 låü

1'-0

,

ponernos escribir para cl paquete la ecuacion

eras =l artist”-"'*“"**ies

.

.precisa conocer A{l:}. Supongamos para mayor facilidad que Atfl-C) = .eta es constante, lo que equivalififfl 3 haci" Un ÉTTIPU UUI1 üïidflì Íüdee de igual arnpliturl. Como, por otra parte, en cl origen t = If), it = U, todas están en fase como se deduce de [_12,13), al grupo 1;¢n.;¡¡á 13 ¿S11-ug-

nito de ondas planas de atnplitud 3,-' frecuencia variables que se propagan superpuestas _

U1

Para hacernos una idea espacial del resultado es necesario integrar, para lo que se

_

ondas lo constituye el paquete -:fe oirrfcs formado por superposición de un conjunto infi-

la por la ecuacion

J

¡pf_i,-1;; :gamer-aaxiik ¿fiel exp air- t-al lfäiknr-xldk

que se identifica inincdiatatncntc con t12.1tI,l`j si se tiene en cuenta que do.: = En dt: 1.; .-,iL›,= = - l21'|'_-"F _ldÍ"t. '

- _

__ .U

I

-112.14)

11115) tlagpueg da püner ,s,(i-_) = ,sm 1,, sustftuü 1,, E,,PDnE,¬,,¿¿a¡ -Iofnpieje por el coseno del argumento, con la que sa tiene

:aa ae'a(r“ïl r- 'il

tt tkl

,¡,¡_,.,.J = 2.40 '> F¡g.12,s

-

[

densa

-Y

€1.¡__dü¡_küx¿

{1;¿,1',f)

¡rita

.¶'¿l|¡¿ut`- I

que içvaría en torno aun valor central kt; en un irttervalo ¿tk pequeño don-

de .fiL{,'k'l tiene un máximo inuj,-' acusado en lor 1.; decac nipidarnente al apar-

'ÚUIHU Se 'fet el grupo da lugar a una onda rnonocronuitiea eil“^'“`flt“k0 xl' que tiene la fre-

tarnos de ko , como se representa en la fig. 12.5. Este caso se de en realidad en las rayas espectrales de los espec-

acusado dc amplitud An ol: para sz = (ÉT°f')R_ ¡_ p fijando t para obtener el perlìl,se va

cuencia central wn, con amplitud modulada. El i'actor de modulación tiene un rnåitimo muy

tros atomicos 3,' es aderntis de un gran interés teorico en mecanica cuántiea. Trataremots de ver como es la resultante de esta superposieion 1;

"

0

_“|-Il

la velocidad con que se desplaza el conjunto. _ Si suponemos cue el medio en que se propaga es tal que todas las ondas que lo cornporteii llevan la misma velocidad v, {p.e_ el va,cío}, el conjunto no se deforma 3.* se pro-

_.__

L._ _ _, _ _ _

R

o p¿g_ 1¿_5

c

nue SU ernplìtud disminuye al crecer x, estinguieadase. E1 gmpa se rerlaeaa diferencia k

de lo que ocurría al supcrponer dos ondas,a un único pulso, fig. 12.?, que se propaga con la velocidad

lr

125 olx

dos

E-fïlkü --vg

lla -2

,a

Af

Aå

`

f¿+§-ii -2%'-fi asas =aaata (1113)

_-41111

.

naaa)

La ecuacion (1122), tomando Ep =.-it, Ep. = 1.', representa una elipse denominada

elipse de polarización, fig. 12.9 cuva excentricidad v orientacion de sus ejes en el plano xy depende solamente de 5, pero no de t. La luz resultante de esta superposicion es por tanto ,riolatizntln el`t,'p tien. Con-lo quiera que los valores exlretnos que pueden tornar Ep jr Ej, son respectivatnente .+A1 jr tng, la elipse se encontrara siempre inscrita en el ree--

Un grupo de este tipo constituye lo que se llama una serial d,uri`cc, pues pulsos seniejantes son los que se emplean para mandai' señales luminosas cortas.

l roda

Co-u una onda tnonoeromtitica infinitamente larga no se pueden enviar Señales, porque no se pueden marcar en ella puntos de referencia. La única mane-

-.

ra de marcar una onda monocroniática es superponerle otras para hacer pulsos, o

N.

J'

__?

J'

no

.a.2

-

.

""I

-'”

bien producir en ella interrupciones a intervalos, pero esto, como veremos en el cap- EU equivale a hacer grupos de ondas. Por ello cuando se mide la velocidad de la luz por interrupciones del has, siempre se mide la velocidad de grupo, Uit procedimiento para medir directamente la velocidad de fase delas ondas elec-

-¡-¡_-`-H

¿if

tromagnéticas cuando se conoce su frecuencia. consiste en producir ondas esta-:ionarias con lo cual se date rmina su longitud de onda jr se halla v = ita, o también, indirectamente, midiendo el iritlice de rcfraccion del medio.

1

J

' ” j

ff'

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t

1

K

_I. CI

su

_.

J' It

"R

B] TEORIA DE La PULARIZACIDN

11

=

t I l "-¬ f lr

12.6.- Snpetposicion de dos ondas con sus vectores eléctricos perpelidiculares.- Slipotigamos ahora, para fijar ideas, dos ondas planas que se propagan

'

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"L_"ì¬i

_"'¬-`¦ \

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J' ,r .r ¡

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tángulo de lados leo. loa.

. 5

FH

--'

.il variar t, varían sinusoidalmente Ex v Ey, v ei extremo del vector resultante E recorre la elipse-(1222). Para ver el sentido del recorrido al variar i., hasta hacer el análisis en el punto t=El, en el o_ue Según Ex = dj, = ¿ag coso. .. En este instante, Hg. lllü. el vector E = DM tiene su extremo en el punto de tanpencia de 'Ia elipse con el lado 2.-1.1 en las X positivas. gi corno

. Í I `

__;

2

Fië- 119 1-'

na. tai

_

en un me-dio homogéneo e isotropo segrín el eje F., con sus vectores eléctricos perpentli culares entre si diripitios sepúri los ejesx e 3-', y' con una diferencia de fase, Ei , entre ellas.

"-'

En un punto cualquiera del espacio como el punto F, fig. lle, donde tomare mos ejes x 3,- : sc superpondrán dos vibraciones contenidas cn el plano .ty que porlenios representar por las ecuaciones

_

i

Ex ==.›fl1coa-wi'

'

M

pi

v

H '¿

t1É.l':Í¡'_Í|

¿_

Al--___

F..-""d

_:

K

las cuales daran en cada instante un vector resultante E oe componentes cartesianaa F.,,_- E¬,,-, variable en general con el tietnpo en modulo v orieittacion en

¡_

el plano xy.

'

-'I coso - i = sen tor send

._-

A

_

:}1=A1 ¡_f.'«,Ú5|f'ü_-jp-|-15)

- --

_ P'

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2 = vr

sobre un cilindro de eje 1, cuya seccion norma! La = cte_j viene dada por

2"!"†ï'.¬, -----¬--

- -- 4- N

___

I

3'

.

Í

__

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I

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1

},___

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5,9

5.3 -1.-'flČ

3 . “Fé

Tífå -i 3 -'= tr

j ~

(12-21]

'-“_|-')"\' lle'--...ìj

¿lv

'L. _-

que representan una .›'re'li`ce traaada

'|'|'l. tu

8 _ "_

A1

Elevanrlo al cuadrado (12.201 jr I'l2.2l}1.f surnando. resulta

1

Fig. 12.10'

(12.251)

Multiplicando la primera de tl 'll 9') por seno obre-¡tantos

.E1 -'ïsenä =eost.et seno

___E

. ._ ._,_,__.

Fíll- 11-3

H.

=.:'L'=.e'qj_|Í'Ú\'-$'l'.1.¦'f L-__

Ey ,ef

E.

si la velocidad de propagación es v, las ecuaciones del movi-

miento del extremo -del vector E seoin I

EJ. =.f12 cos|".o.1.!+o,|'

Tratemos ahora de hallar la ecuacion eartesiana del lugar geotnetrieo del extremo de E, cuyas ecuacion es parainetricas son (1119), para lo cual c1_i rninarernoa tel entre las dos desarrollando cost-Lei. +5) en la segunda v ätlatituvendo en ella cos -:et dado por la prinlera. Con lo que sc tiene

En realidad el fenomeno consiste en ta propagacion de dos ondas según el eje 1.

E

I

1

2

]t=ü= - la te seno, li-3, ser:Í decreciente a partir de M si El fi ¿E -f-'.'_rr. En es¿it1 te caso un oiiservador tjuc ntirara al extremo -:Le E desde el eje :-5 de n10-tic* que las ondas avanzasen hacia él, lo vería como se indica en la Iigura, es flceir, en sentido dextroso, por lo que esta luz eliptica sc llanta riexrrtigím. Por el contrario,_si tr si o si Ett. se tendrá lu? eiiptica levdgirrt. La Fig. lll l representa la elipse :le polarieacion jr su sentido de recorrido para distintos valores de o de quien únicamente depentle, siendo de oliservar que, cuando la elipse (1222) -.legenera una recta doble, resultando en este caso_ij.j_s ffoenirntfrlrc ,r.rr›l'tIrffz«;te_Frr._ Cuando 5 = [ik -l- Il?1'.I"Í, ¡HS _ cl ien d o con l es xy, es' rl ecir con l as elipses tienen sus ejes de simetría coinci direcciones de vil:-racion de los vectores electricos tie las dos ondasA; = = .dí 1-; 5 = til-:+1 jrr,"”.Í!, |f,l2.'2É_¦| se convierte en la ecuacion de una circunferencia, teniéndose entonces lu?. pofrrrrerïti-e c1'retrlnr_

¡_¬¡g_ u_u

“_ _@ 3 131%

3 _ 3-pié

31% -tt 3 -eg-,ff

¬ . las dos primeras, es decir, por la elipse '(1122), cjue representa la provee-

cion de la lieliee sobre un piano nor-t cilindro. Todo sucede mal al eje del comosi al paso del tiempo la iieliee avanaata atortiillári-dose al cilindro. 12.1- Intensidad de la luz nolariaada elíptica.- Para Jialiar la intensidad cn la su P' er P osicìon de vibraciones perpendiculares. bastara calcular el valor medio del vec-

tor de Povnting que en nuestro caso solo tiene componente 2, siendo S; = c_."4i1'{`Es;H¡;“' Ej,-Ha]

127

ias

cn la cual Ex v Ep vienen dados por (I 2.19). Por otro lado, como consecuencia de la rotacion del triedro EHs, seran Hp s= II, ,. HX. ='_- -HL jr si además se ticncn en cuenta. las relaciones (11.215) entre E jr H, podemos escribir según (l 1.39]

.

r==%“ïi'f›TUCC¡Ú1`l df-'i Tï=\1'f'U' ¡Ei-1"=U3ÍilfifU› '$011 135 PTÚPÍ'-ï1i1f1'35 hasta 4111*-ml esiudiadas ¡ie ¡U5 '- 511"15'-'1T1'Ul3'*3'5= " -' di"-“ç"~'U' -'--i*-5105 Pml-"1'3ma5 de - Ti' i"-:e`onen mfifllfi-“~ 5€' i3U"-fi-lffi il-=1'¡-ET mi ¿Sl--1'j'1'3 H 1

eoritrario, tomando siempre el cie I en la direcciori dei eje optico _ propaga perpendiculanrieiite _çuaridol_a1uz se al*... eje optico es L ecir cuai do el

los mismos. Supongamos, fig.

cfmpü 'E Ectrjccf "'1l:'m_ 'Hi la ¡1"eÚC"Ú¡`* del EJB 1, Se tienen las 1-'eiocidades inatcirria o ini ninia eii el medio secfun que se trate respectiirartierite de un et-¡5i¿|1 ncsgatlt Q 9 P,¡,S¡†¦¬_U

II

_

l4.l3._ que una rinda pla---

/

iia Ii esc propaga eii un

'rr

1 1 . Fr #11 iCU11f'-¡III-11t!1' 1-1'-1¦1¬ I:e esta luz corresponden los iiidices de rcfraccion niiiiirrio o inasi

__;

_medio isotropo, e iricid e so-

““L:._ ._ ., i_, r'

tire la superficie de separa-

¿I

'U'-

1'

I

4-P'

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__,-""'

.Iii.i-1"' l

_,...-f"""

mo. Úüäigflafldo porn el íiidice estrein -U »U '¬ i' rcspotiiierite 1' a 1 a oropatacinii p 1-p n___ . _ _ c , _ __ _ _ _ dicular aleje ¿ jr por iiü el ordiniino, la rìitereneie

_

cion I] it coii un inedio

E

anisdtropo liiaiiico. cupo cje 2. tiene la direccion de

.if

_5 ¬_e; r¡_- -J T . t .X

9%:

ir-

†¬¡'i..I'

la iiorni-al a la superficie de separacion, estando el

_

1tj

__'/I

'

' .i-F'

eje :-i según I1 1;._~. Cortstruj-:amos cori centro en ii

†1_

“'”

_ //i

f.J(1I1`l'l'tÍI jìi-'il.'iLCI EJUÍÉÚI 1-Hifi '5'›U'

periicic de onda .tal que ei

-i

-IQ»

I

{

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_ Í*

.ff

.H

'

14.10- Efectos electro jr mag-netonptieos.*_ Los eamjss.. eiettfküb ._ rriagneticos ejercen acciones de orientacion ce dipolos eleettjeese 3,- n1,¿.i¡M1j,L,e_Pr,¿,,_jub1En_ do en la materia dir-eeeiones de eoiiiportarriiento pi'iviiegiai;lo__ io que r_~ti.-i._lii.;,¢ d m1¿¦L,¡¡¢._ _ Pica que si. tiene-ii de iiiaiiiiiesio ai ser atravesada por lira polar-¡ases _ Eff'-“Í” K-fi'UiÍ37'|5) - Cuando ciertas sustancias isotropas son rflijritm Lp; ¿mn 1,15 placas ne un ci_indensa_dor. en las cue se ha establecido un intenso crime@ eleet,-1._ ¬, 1' ¿ci ¿@n_ i›_1__e1ten_eii iiiedios _iiiiiai-:icos.__i:_ii3ro eje opiico_estii enla direccioii de-_1t.s liiicas “L1 ¿men al

|'T|

C'

¡J __

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-ii-.

pa I É.i

52'

T2

tiempo que la energia tai'ilii eri ir de I; ti clia sea el niisino que tarda en ir de ;"i

:ej El

a' le. Seguir el principio dc

øéä _d_____J_,..--_

F1??-14-13 9- OFF'

del diliiij-zii) son tarigeiiies ii la supcriicic de onda. Si T1 y T1 son

IE

_

“^fl':'mm'=1mU5 ne 3* "o [U5 ln*-11595 de Iefïfilïfïifiïl L=Ist1'aDrfìu"iano 3-- oriiiiiaiio i i. la sustaiicia t 1HTIEâE1tì,1t1S medidas ponen de iniiiiiiiesto que se eiiitip-le Is ¿ep ¿je KW-,i

W."-'-'›¦-""'* E' tai

1-iii1.r_geiis los frentes de ori-

da refractarios en el segundo nierìio se iiiitienen ira:-tando por I; los pianos que siendo normales ai plano de iricidciieia icn este caso al

_

$

I

"f

.___

--

da incidente da oi-igcii a dos rei`ractailas.sieni2|o I'1 ji La las `ti'a2as so-

_

hre el diliujo de los dos ireiites ec onda. Las normales a ti 3.-' ti por

__

ii, darrin las direcciones si , ss de prcipagacion de los dos frentes de onda -jleiitro del cristal. En el ejemplo de la iig. l¿i.i3 pi 5-' si coiii cideii por ser cl piano de incidencia plano coorderi:-ido del elipsoidc

`

I às,

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W ifg

E

1,'/"

ic)

tangeneia T¡ 3' T1 no estarán en diciio plano. Si se trata de un tttedio U|'iiåJsico11cgH'Eí'r`D. fíg- H*-14 Fil-. i1H“3Í'311¬ïlÚ 13 mifimfi _

_

r

.

r

_

constriiccioii antcriorrnente indie:-idii se tienen los dos frentes de onda tu 1.' te 1r los coratios T1' es P oncieiites l . - F1f ! 1 O es- el raso -' ordinario = que esta sicinpre eii el piano de incidericia if' vibrii iioriiialineiite ala seccion principal. ji' el extraordinario 11 L, con su rector E eii la seccion principal. Según la orientaoi-dri del eje optico respecto al plano de iiicidencia, el ra;-'o extraordinario podrá no estar en el plano de incidencia. Para la onda r_it._lii-,titia siempre en-inciden p' jr s' jr por tanto D ji' E _, lo que justifica sii nombre, pues

para ella el medio se comporta como isotropo. No asi para la estniordiriana. Las Figuras 14,1-italy) c) son otros ejemplos de como se italia cl rayo refractado.

En cualquier cas_o se puede seguir un metodo analítico, pues si se conocen ias caracteristicas del medio se conoce la ecuacion de la superficie de oiida,io que permite hallar las ecuaciones delos planos tangentes desde I; ii los correspondientes puntos de tangenciar ir, con todo ello, las direccioiies de los rayos.

*_-"-'F -i---I*

F_ _ _______

[5 1

*-4.

_ E

___

'Is 14-13

tría los dos rayos estan en el plano de incidencia, pero cuando el elipsoice de Cauciij,-' este orientado de otro modo, los pinitos de -

F

“ __* .__-_____

É

cia, pero eii general ettistiriin dos direcciones pt para los dos rayos ji dos 5' de pi'iipag_aci-on de la fase. En este caso por la inisma sime-

-

1

Útros teiioiiienos no lineales sera estudiados en el cap. 23. __. 1 '_ . .-. la ic`i'r¢i'rr_ han corisiste,. fi g- t-4 1==,.ii uni -:;n.,ti,i 11 I iiitroiiericeno ii otro liquido de .dia I-_ dentro ds hi ei td -IP ria ce

_

de Caiieiip 3: la seccion de la onda por este piano es una circiiiiiereri-

-

ïfi iàl. .IE-2

“il E5 i_3"Új3"3'1"31ÚT¡31 HE il@ '1i“E`_P'ï>“E 'Í-U Iïlflflífìcflto que se trata de un i'eno:..ciin ri. i ir.-.tt ¿J

dos corre-spoiidien tcs_pucs eii los medios anisdtropos a cada ra),-'o in_

eidente correspoiidcii en general dos reiractadiis. asi como cada eti-

.

'

E

los primos de tangeiicia |1T¡ eI1T; ser-sin los dos raros rct`racta-

. .

-

se llama i'ii`r'rerirr'iigeiiei`e.

ei

_

mo un iriterruptor rápido_

'fa el condensador, 3-' todo ello entre poiariaacoirs -.riiradi_i_ Cuando no se estaloiecc campo, la luz no pasa pei o cutis ill, se esiaiilece pasan las componentes útiles de 1,1 |u¿ ,_i1¡¬,,_p,¿ quc eL produce eri la célula- 1¬Í.l mayor ciccto se consigue ron j¬¿,j¿,-¡_ aadores a =i5° con cl campo E, _ La célula puede responder a ireciiencias dt 10'

jr permite modularla intensidad de units? del r i ep rat ei-

_ _ Efeciu Pmkfliå--_ -¿'11 iål-131 stilo aplicaiido un canipo E ii medios isciio_io» .sineros, ,ire_crcn_te1neiite 1ir¿ii1dos,sc obtienen ii-ii'rcl`ririge-ncias proporcionales i E' sister

siistaiicias cnstalnzadas ' j ' - iner-teneciciiie`5- il SISÍBITIHS crístalinos que carecen de i.eii*io le si -» - f . '¬ .. . f1_1i"-fiflì UH las s›_11HÃfi'-H al aplicar un campo ei-:tcrrio E se producen iiii-re Fnriiteiirias propor°"*`*'li*'1B5 si le. Pillmffi1Püïfiflülfi ds] ilflinpe Kerr .ii ser , , aplicado ' En ei efecto * - ia iiirreíriri isre _ CIB PIUIIUH-Iüilal ti E ,esta no se modifica al cambiar ei sentido del campo -.ii cain_iin ._n El Bram” P'-“c“¿ei5› ii1_ b¡f1'ffT_ÍT1äflflU¡fl Cïiïïlbíël ¿E Siåfto citando se ini-iert cl del eariipo lo gue 51° Wade, “cun” cf" 'instales 'mn Úeïïifü di-` 511†1fi†UH› Pm T›flI1iU ilfllf mui-»lìiflâ llfitdlcs

on c este efecto nn tiene lugar. Entre las sustancias que muestran efecto F'oi..l\els pode mos citar el cuarzo, doiidc se produce con poca inteiisidad. Jiiodernamcnte sf- im na,¿,¿J _ sig mucho cn la búscjueda de medios que niaiiiiiesten esta birrefrinpenciii lriieal por sii ati ¿li ad iïümil fïiüfi'-ilflflüïfifi Ús! ÍIHCCS de lui con aplicacion alas comuriiciiciiines por fibras, *ii ii-'FBI'

CU di-Í.5i.T1i"i l.

1;'-'lF`iÉ¡g?'|";7'ti'.'i` HI' E',¬fffCff|jr_Úpf_¡'¡fj_i;_ __ 1JjE._|-¡un-1 ììrflssh 1 QT;

nptieas, encontrándose materiales enmn el difusíate putásicn {'l{DP]_ {KH3PU4]; el difugfatu de amm-ni@ ÍADPJ, IÍNH4 H? PÚ4};elninba1;U de litìü t_Í.iNbU3), 31 el titantltü harina

{EuTiD3;1. en lns que el efeetn presenta gran tntensíclad. Efeete Cotten-Menton {l9ü5}.- En et`e-::te- análngn et de Kerr es el de Cotton tt-Intttn11,eer.eístente en la e-reaetón de una birrefrittgeneìa et1:-.tudo ciertas sustancias ee sumer_~._.=,en en un fuerte camp@ mag;net1'enH. La birretringetteie obedece a la ley tri,-n¿,=C`?tH1

4214.53)

clütade C es una tlünstante prurlia de le str!-ttaneia.

Efeete Faraday (1B45].-- Cuande en un fuerte campo magnëtìen uniforme. se íntrnduee un bloque de tfithfiü am-Ctrfü, la 1112 linealmente pnìarízada que 1-rr atraviesa un †.rtt---

yecto I en la direeeinn -:te Las líneas de 1-1,s11treun gire, tì', del plane de pnatríxe-:ión que nbetieee a la leg.t? = GH!

(14.541

Iltrnde Q es una eurtstante pmpíe de Calla 5.L15tt±nCìt±,{1erL{:1'rLi1111tlat eunstante de Verrletì.

1

164

/

dencia. Por el principio de conservación de la energia, la que no se refleja se refracta, § en . . j iabra' preco 1 _ A mz. la luz refractada í' E minio de luz que vibra en plaG i ' no vertical. Si como indica la ti; gura l5.l (b) superponemos r placas e incidi--j H una serie de TT/2 F B e_ Ópt mos en la primera superficie ( ) con angulo de Brewster, toda O la luz reflejada en las distintas superficies vibrara normalmente al plano de incidencia. A A 22. E medida que la luz incidente va pasando placas se va `filtrando 48°* . (G) 68, \ y perdiendo su componente F _ __\.,,-W r B Ap con lo que se obtiene al ti9- ÓplQ nal. si el número de plapas es ( b) suticiente. luz transmitida vibrando prácticamente toda cn el plano de incidencia. Una A fórmula aproximada del gra~, c " Re. do de polarizacion pde_ una lu/_ __.. --› natural monocromatica or 3 _». _ ` .t ' . _p ~~ - ~ ~ e -¬~ T` 5 retraccion en una pila de ni placas de índice de refracción (C) n cuando se incide con angulo R0de Brevvster. es

f-_Í' __il

n_

Í *Ñ

Ft'

15

Luz POLARIZADA \.;5 -

A) METODOS DE OBTENCION

Z

.

El uso de la luz polarizada en sus diversas formas es frecuente en el laboratorio, pero, como es sabido, las fuentes naturales de luz no producen luz polarizada pura, por

lo que se hace preciso recurrir a ciertos artificios para obtenerla a partir de la luz natural. Lo más.córnodo_ siempre es obtener luz polarizada plana, pues a partir deella se puede obtener fácilmente luz polarizada circular y el íptica de determinada especificación. Cualquier dispositivo que actuando sobre un haz de luz natural produce luz polarizada plana se denomina polarizador lineal. A O i Por otra parte, como consecuencia de ciertos fenómenos,_.la-luz que en ellos in-

terviene resulta total o parcialmente polaiizada, por lo que es necesario analizarla y especificarla por métodos experimentales. Todo ello justifica elcontenido- de este capítulo. t

'

15.1.-A Polarización por reflexión y refracción.- A1 interpretar las fór-

mulas de Fresnel en_13.4 se vió que cuando un haz de luz natural incide, fig.- 15.1 (a), sobre la`superfic_ie de un dieléctiico con el ángulo de Brewster, ipB, tal que ~tgipB =n'/n, en la luz refleja_da_f_se anula la vibración contenida en el plano de incidencia, por tanto la luz reflejada será luz polarizada plana con su dirección de 'vibración nórmal alplano de inci- '

í_›

.

1

I

\

L ,

_

\

U

Fig. 15.2

G

J - (2;1//;12 +,;j)4m

P

:ïïrT-;mW'f~"fi'“°-U

lb) -Hg 15_1

lS.2.- Polarización por doble refracción. Prisma de Nicol.- Como se lia visto al estudiar los dieiectricos anisótropos, excepto para ciertas direcciones privilegiadas como son los ejes ópticos, las ondas que pueden propagarse en dit`erontes riireccionesiwai de ser forzosamente polarizadas. Tambien se vio al estudiar la refracción en cristales anisotropos uniaxicos que, salvo en los casos en que la luz incide normalmente sobre una superiicie a la cual es paralelo o perpendicular al eje óptico, hay un desdoblamiento del rayo incidente en dos, uno ordífzarío que vibra perpendicularmente a la Sección principal (plano que determinan el rayo y la dirección del eje optico), 3' el e.\'rra0rrZz'f1arz`o que vibra en el plano de la sección principal. Esta circunstancia es muy usada para obtener luz polarizada plana empleando para ello el dispositivo denominado prisma de Nícol, inventando por el escocés W. Ñicol en 1828, que se obtiene a partir de un cristal de espato de Islandia. Los cristales naturales de espato tienen dos tipos de vértices triedricos. unos como los A y B, fig. l5.2 (a) en los que las tres caras que concurren tienen ángulos de 102°. El eje óptico en estos cristales tiene la misma dirección que las rectas que pasando por los vértices A o B forman ángulos iguales con los planos de las tres caras que concurren en ellos, y si por exfoliación los cristales se reducen a paralelepipedos de base AGFC rómbica, la dirección del eje óptico está contenida en el plano AEFB. La iigura tb) representa la sección principal AEFB despues de hacer un tallado en las caras rómbicas de modo que el angulo AFB, que en los cristales naturales

l66 165 es de 7l° se reduzca a 680. Entonces se sierra por un plano normal ala citada sección princil”-1 que PTOÚUCG GH 61121121 SBCCÍÓH PQ, Se PU1€U las Cfif?ì5 del COU@ Y Se VUGIVÚU 21 Peãaf C011 bïílïfimfil de Canadá- En šffneffil Se da al f0mb0ed1'0 Una lonãïlud mi que la Sección PQ pase por los puntos A y B, fig. (C). En €^S'€aS COHÓÍCÃOHBS, 121 1111 ìHCíCl€I1ÍB S@ Ó€Sd0m bla en 1112 OrdíI12:1ri21(R.O.,) que sufre reflexión total en el bálsamo, mientras que la esf traordiuâriél (R-El &ïr&Vi€S21 61 LlíSPOSíÍÍV0, 001110 QU@ Se Obïíefle UU 1131 de luz POÍHTÍZH' da plana.

_ 15,5__ Retardadgreg y pglarizadores Circulm-e5__ Un retaujmjor es un dispositivo capaz, siii absorber. de producir un haz de luz formado por dos componentes que vibran en direcciones perpendiculares. estableciendo entre ellas un desfase determiiitido, por lo que también se denomina desfasador. En general se emplean como retardadores las láminas plano paralelas de cristales uniáxicos como cuarzo v espato talladas paralelamente al eje óptico. pero también pueden emplearse láminas de 'cristales biáxicos como la mica, e incluso de materiales plásticos en los que se ha producido una birrefrineencia

En el prisma de Nicol la luz incidente puede variar su dirección en ±l 2° respec-

por efectos L1@ 1am1na¢¡Ón_ wm@ ej cej0r¿n_

to a la que incide paralela a las aristas largas. A partir de estas incidencias sufren refle~>tion total los dos rayos o pasan los dos.

`

Supongamos fig. l5.5 la) una lámina planoparalela de calcita en la que incide normalmente luz polarizada plana de amplitud A vibrando en la dirección PA que fornia un ángulo 9 con el eje óptico. Al

15.3.» Prisma de Glazebrook.- Está formado fig. l5.3 (a), por dos cuñas rectangulares de espato talladas de modo que sus ejes ópticos sean paralelos a la cata de entrada y al plano diagonal por donde se da el corte. La marcha de rayos se ve en (b). Puede utilizarse para luz visible pegando las piezas con bálsamo de Canada. o con glicerina para luz ultravioleta.

penetrar en ju jámma sin ¿HUMO ¿C

A

H E ,

Aparte de estos dos tipos de prismas polarizadores existen otros

O

muchos que operan sobre los mismos o parecidos principios.

'

15.4.- Polarización por absorción selectiva. Dicroismo.- Al estudiar la propagación de la luz en los dieléctricos anisótropos hemos supuesto siempre que eran totalmente transparentes y en ninguna de las ecuaciones utilizadas ha aparecido, como sucedía en los metales, ningún coeficiente de extinción. Pero esto no es cierto en general, sino que en mayor o menor grado. todos los cuerpos absorben, existiendo cristales anisótropos como las turmalinas que presentan una notable absorción dependiente de la orientación de la vibración incidente. En una lá~ mina de turmalina. fig. 15.4, tallada con sus caras paralelas al eje óptico, la vibración extraordinaria (paralela al eje óptico) en la luz que le incide perpendicularmente es poco absorbida, pero la ordinaria es prácticamente extinguida si atraviesa espesores del orden de un rnìlimetro, por lo que la turmalina se ha empleado tradicionalmente corrio polarizador. Este fenómeno. llamado clícroismo se ha empleado para produ~ cir polarizadores de gran tamano, pues los que funcionan a base de cristales naturales alo sumo permiten el uso de haces de unos pocos centimetros de diámetro. El inventor dc estos polarizadores polaroides” ha sido el norteamericano EH. Land en 1932. El polaroide consiste en una pelicula de alcohol de polivinilo estirada, en la cual por imoibición liquida se introducen átomos de iodo en sus largas cadenas polirnéricas alineadas en el proceso de estiramiento y laminación. Estas cadenas resultan altamente dicróicas absorbiendo la luz cuyo vector eléctrico tiene su misma dirección. Estos son los polaroides de tipo H que trasmiten del orden del 80°/1, de la luz que vibra en la dirección de trasmisión, y menos del 1°/O en la dirección perpendicular. El coeficiente de absorción depende de la longitud de onda, y estos polaroides dejan pasar del orden de un 39,1, de la luz violeta extrema del espectro que vibra en la dirección de extinción Los tamaños que se pueden obtener son de anchura 50 cm y longitud ilimitada en laminación continua. En la actualidad, la polaroides son de tan alta calidad y tan baratos que prácticamente han venido a sustituir a todos los dispositivos clásicos fundados en efectos de prismas.

.

P

e

EQ

P

m

"-sì

D

ig

,

i

(0) Wii*

W 2

(bl

y otra ordinaria vibrando en direc _

(C1

ción perpendicular al eje óptico de la lámina de amplitud A0 PO :A0 :A send (l5.3)

_ Ambas luces se propagan eri la dirección PQ. fig. (b). pero como los caminos ópticos son diferentes por serlo los indices de rcfraccion. se producirá entre las luces E y O que vibran en fase a su entrada en la lámina. una diferencia de marcha A = (ng - no )d que equivale a una diferencia de fase

E

2 ö=š/H@-H@/d

(bl Fig. 15.3

'

* L-.___ ¡j __,i' Fig. 15.5

W

¿XC = PE. PE = A6:/1 cos@ (15-Í)

Glô

c

(cil

0

dirección se produce un r1@5¢1Qb1¿1__ ¡memo ¿E13 ju-,Á incpjeme en luz epqfaorrjjnafia que tfjbfa en 13 ¿tira-_ ción del eje óptico. de amplitud

(15.4)

siendo d el espesor de la lámina; ng y no respectivamente los índices de refracción para las luces extraordinaria y ordinaria; ne - n0,l~a bzrreƒrz1zg€fzcz'a,y Pt@ la longitud de onda en

el vacío.

_..I

e-e

A partir del punto Q no se producirán nuevas diferencias de fase y tendremos superpuestas dos vibraciones perpendiculares con diferencia de fase ô, que darán en general luz polarizada elíptica cuyos semiejes dependerán del azimut 0 de ia vibración incidente, y su sentido de giro del desfase 5, que a su vez depende de d fijado el material de la lámina La dirección del eje óptico y su perpendicular se suelen llamar líneas fzeutras de › , . . _ , , _ la lamina, pues la lamina no ejerce ninguna accion sobre una luz plano polanzada que la atraviese vibrando en sus direcciones. Polarizador circular. Lámina de cuarto de onda.- Si en la lámina incidimos perpendicularmente con luz polarizada plana que vibra a 45° con el eje óptico, A0 y A@ serán iguales, y si ademas la lamina tiene un espesor d tal que la diferencia de fase que produce entre la luz ordinaria y la extraordinaria es 5 = tr/2, a la salida tendremos luz polarizada circular. Segun (l 5.4),el espesor que corresponde a esta lamina sera

Fig. 15.4 d:

Ã@

401€ - no)

(15-5)

168

por lo que recibe el nombre de lzímífza de cuarto de onda. El polarizador circular se optiene acoplando un poiarizador lineal y una lámina de cuarto de onda orientados a 45 de modo que el plano de vibración de la luz que transmite el polarizador forme angulo de 45° con el eje óptico de la lámina. i Lámina de medida onda. Rotor.- Una lámina que produzca entre la luz ordinaria y la extraordinaria un desfase de rr, tendrá de espesor d = Pto /2(ne - ng) y se llama

modo que la vibración incidente forme ángulo de 45° con las direcciones neutras de la lámina, la luz se habrá convertido en luz polarizada circular. c) Luz polarizada elíptica.- Según se vió en 12.6, dos vibraciones rectangulares coherentes dan lugar a una luz polarizada elíptica cuyas ecuaciones paramétricas son EX = A1 cos cat; Ey = A2 costwt + 6), dependienA do de ô la orientación de su eje mayor respecto al eje x. Pero puede referirse esta elipse a sus propios ejes como si se tratara de la composición de dos \ ' p vibraciones rectangulares de amplitudes a y b iguales a los semiejes de la elipse, desfasadas en ô = rr/2 en cuyo caso las ecuaciones (vi 2.19) se escribiA' ran

Y

Iámíiza de medía onda. Si esta lámina es atravesada por luz polarizada plana de azimut O respecto a la dirección del eje óptico,a la salida se tendrá también luz polarizada plana pero de azimut 26, asi pues,girando la lámina se puede obtener a voluntad un giro del plano de polarización de la luz incidente, por lo que se comporta como un rotor.

6 P

15.6.- Compensadores de Babinet y Soleil.- Con las láminas planopa-

' '†t±1u¡-Q

¡n_n-u-un

Ey = b sen cor = b cos(c.›t +Tr/2) Fig. 15.8

a voluntad. Los compeiisadoi-es vienen a resolver este problema. El compensador de Ba-

`

Ex =a coswr (15.6)

ralelas puede obtenerse un determinado desfase entre las componentes ordinaria y extraordinaria. pero este desfase es constante y la rigidez del sistema no permite modificación binet esta formado por dos cams de cuarzo, fig. 15.6, talladas de modo que los ejes ópticos son, en una. perpendicular a la arista de la cuna; y en la otra, paralelo. Si incidimos con luz polarizada plana de azimut 9 respecto al eje óptico sobre la primera cuña, en ella se producirá un desfase entre la luz ordinaria y extraordinaria que dependerá de su espesor, pero al pasar a la 2? cuña la luz ordinaria se convierte en extraordinaria y viceversa obteniéndose en total un desfase en cada punto que depende de la diferencia de espesores. En el punto donde las dos láminas tengan igual espesor el desfase será nulo, pero en un punto dado se puede ir variando gradualmente el desfase sin más que desplazar por medio de un tornillo micrométrico una cuña respecto a la otra. El compensador de Babinet es muy útil pero no produce extensos haces de luz con igual diferencia de marcha en todos los puntos. Este problema lo resuelve el compensador de Soleil, fig. 15.7, formado por una lámina L1 la cual consta de 2 cunas. que al desplazarse entre si forman una lámina planoparalela de espesor variable, pero igual en toda su extensión, y una lámina La de espesor C _ “' fijo. Por desplazamiento de las cunas se obtiene un desfase variable a voluntad pero constante en todo el campo.

ix

Si esta luz la recibimos sobre un polarizador cuyo plano de transmisión PP; fig. 15.9, forma un ángulo ot con ele eje OX, de las componentes EX, Ey de E en un instante dado, pasarán EX cos oi y Ey sen cr, por tanto la vibración resultante será la de dos vibra~ ciones paralelas sobre PP' desfasadas en ir/2, con lo que en virtud de (12.2) tendremos

U1-uu-uu-cut-›

Y

EP = Ex cosa +Ey senor = a cosa coswt +1; Sena gen ¿af

---›

-ljr,------j E t, › \

.........

15.7.- Efecto de polarizadores y retardadores sobre la

luz.- a) Luz natural.- Si un haz de luz natural se hace pasar a través de un polarizador, considerando la luz descompuesta en dos vibraciones, una orientada según el plano de transmisión del polarizador y la otra normal a _ --› ella, el polarizador extingue la segunda dejando pasar la primera. Cualquie ra que sea la orientación del polarizador, siempre se extinguirá teóricamen""*'*' te al- 50°/,',.de la luz incidente y la intensidad que lo atraviesa será constante. -----› Si la luz natural se hace pasar a través de una lámina de cuarto de onda. no sucede nada, pues ias dos vibraciones fundamentales que compo-

l a.

Fig. 15.6

ll

i

_.

,

l j1; A,

i

, ju”

_@

lfiífflf

e

0 \, E=

_

X

Como se ve, se trata en fin de sumar dos vibraciones paralelas de amplitudes acosor, y b.senoi desfasadas en rr/2, por tanto la intensidad será, en virtud de (12.4) I=a2 cos2cr+b2 sen2ot=(a2 - b2)cos2cr 4-bz

(15.7)

“

que se hace máxima cuando a = O, la = az, y minima cuando ez = rr/2, lb = bz, o bien que la intensidad al variar la orientación del analizador pasa por un máximo cuando coincide con el eje mayor de la elipse _v por un minimo cuando coìncide con el eje menor. Midiendo estas intensidades se Fig. 15.9 puede conocer la elipticidad b/a y la orientación de los ejes. d) Luz elíptica y lámina de cuarto de onda.- Si recibimos una luz polarizada eliptica sobre una lámina de cuarto de onda de modo que Luz ncturcii su eje óptico sea paralelo a uno de los de la elipse, se habrá adicionado un retardo entre las componentes de ±1r/2. En cualquiera de los casos la luz se convertirá en rectilinea, cuya orientación respecto a los ejes de la elip†:. Pclori Í\l Q C). C) “Y ,pjW -¿Ha---_ - Í j_:---_--, , _ lì:š z 7:; se dependerá de que la elipse sea dextrógira o levógira y de que el eje ópvlav I tico de la lámina sea paralelo al eje mayor o menor de la elipse. '_

e) Luz polarizada circular.- Esta puede considerarse como una

Compensodor

luz polarizada el iptica de componentes a:b desfasadas en rr/2. Aplican-

do el razonamiento anterior, un polarizador dejará pasar siempre, según »

Ânoiizodor ,› _

nen la luz natural podemos tomarlas orientadas según las dos lineas neutras de ia lamina y esta producirá entre las dos componentes un desfase de rr/2. pero como las dos vibraciones tenían fases al azar, seguirán siendo al azar después de atravesarla y por tanto seguirá siendo luz natural. b) Luz polarizada plana.- Si la luz polarizada plana de amplitud A, fig. 15.8 se hace pasar através de un polarizador cuyo plano de transmisión PP' forf ma un ángulo 9 con el de vibración de la luz incidente, por el polarizador pasará una ani. 1 . . 2 2 . . . . plitud A = A cosd, y una intensidad l= A cos H. Al girar el polarizador la intensidad 7 transmitida pasará por un máximo cuando 9 = 0, y por un minimo nulo si 6 = rr/_. Si la luz polarizada plana se hace pasar a través de lámina de cuarto de onda de

_

P

P'

t

__,

n_:tïfè-' :-_; ,T:`§§¬.2 L1

5-;-íš-, ór

›_-

nc0 _

F. lg'

¡S 10 ~

x`mo --

“I”

ext

:_.\;1;í#',f .

»-

.-_

Fg.1s7

,_ _

;1i; ì;¿-šìi a

(15.7) una intensidad constante bg, por tanto no se encontrará variación de intensidad al girarlo. Una lámina de cuarto de onda en cualquier posición introduciría un desfase de rr,/2 adicional, convirtiéndola en luz polarizada plana que vibra a 45° con el eje óptico de la lámina.

xmo

._ ..-

mu ext nc rnó

15.8.- Medida del retardo de una lámina cristalina.-

Consideremos, fig. 15.10, un compensador de Babinet entre dos polarizadores de modo que el primer polarìzador tenga su plano de trasmi~ sión orientado a 45° con el eje óptico de la 19 cuña del compensador. En estas condicio-

170 169 dificil si son muchos saber al final que tipo de luz emerge,lo que se simplifica con el cálculo matricial, ya que el efecto total es el de la matriz producto de las correspondientes a cada uno de los dispositivos que actúan. Si sobre el vector V que especifica la luz incidente actúan sucesivamente dispositivos cuyas matrices son M1 , M2, M3 . . _ ., el vector representativo de la luz final, V', vendrá dado por `

nes, iluminando con luz natural, el compensador será atravesado por dos luces de vibraciones perpendiculares que saldrán con un desfase

a = 3?;/»ie - no)/al - da)

(rss)

O

v'=.....M3M2M,v

el cual variará en razón de la diferencia de espesores dl y d2 de las dos cuñas en el pun-

Además de este método matricial de Mueller que utiliza matrices 4 >< 4, hay otro

to de incidencia.

que utiliza matrices 2 >< 2 y vectores de dos componentes, lo que constituye el método de cálculo de Jones, que no expondremos aqui' por ser menos útiljaunque de más fácil manejo. A continuación vamos a tratar de obtener los 16 elementos de las matrices repre-

Como esta diferencia de fase varia continuamente a lo largo del compensador, a la salida de él se tendrán puntos en los cuales es 5 = Zkrr donde la recomposición de las vibraciones dará luz polarizada plana de la misma orientación que la incidente, o, si ô = (2k +l)1r, de orientación perpendicular a la anterior. En otros puntos se obtendrán luces polarizadas circulares o elipticas dextrógiras o levógiras en dependencia de 5. Si ahora se recibe esta luz sobre el 29 polarizador (analizador) de modo que su plano de trasmisión esté cruzado a 90° con el del primero, las luces polarizadas planas de

sentativas de algunos conocidos sistemas que afectan a la luz polarizada, lo que hacemos a modo de ejemplo, pues estas matrices no se obtienen deductivamente de las leyes fundamentales del electromagnetismo, sino por metodos lógicos e intuitivos como vamos ji ver. Afotunadamente, las correspondientes a los sistemas más usados tienen la mayoria de sus

la misma orientación que la incidente en ei compensador serán extinguidas, no siéndolo, al menos parcialmente, las demás. Se tiene asi después de pasar el analizador un campo surcado de bandas oscuras paralelas a las aristas de las cunas, existiendo entre los centros de cada dos consecutivas

elementos nulos. 15.10.- Matriz correspondiente a un polarizador lineal.- i) Supongamos en principio el polarizador orientado de modo que la dirección de las vibraciones que transmite coincide con el eje x horizontal y hagamos incidir perpendicularmente sobre el luz natural de parámetros de Stores (1000). La matriz faíj) que buscamos será tal que aplicada a este vector nos dé luz linealmente polarizada viarando horizontalmente y de intensidad l/2, es decir de parámetros (I/2, l/2, 0, O), por tanto podemos escribir

una diferencia de desfase de Zn producido por el compensador. Si la luz con que se incide en el dispositivo es monocromática, ne ~ ii@ es coiistante: pero si la luz es blanca, esta diferencia varía con la longitud de onda y entonces donde-hay extinción para un color no lo hay para otro y las bandas aparecen coloreadas, excepto para el punto donde di = dz en el cual 5 = 0 para todo Ã. En este punto apare-

cerá una franja negra. que es la que se toma como referencia para todas las medidas. Con esto podemos medir el retardo que produce una lámina anisótropa tallada paralelamente al eje. Para ello basta poner en estación el dispositivo e iluminando con luz blanca situar la franja negra en el centro del campo por desplazamiento del micrométrico de la cuña. Entonces se introduce entre el primer polarizador P y el compensador

__

produce la lámina. Si el limbo del tornillo micrométiico del compensador

se tiene graduado eii desfases, al llevar a su posición inicial la franja negra por desplazamiento de la cuna. la lectura del micrometro nos dara directamente el retardo o desfase producido por la lámina entre las vibraciones principales.

F

l'' 011 (112 dis 1114. l

1)

0,

ÍCZQ1 (122 (123 d24j

O

Új

L1 PL C

j

La franja negra sufnra un desplazamiento debido al desfase que

Íl

(aii) 0

C la lámina problema L como indica la fig. l5.li en la cual L1 actúa como colirnador de la fuente de luz en F1 y L; como lupa coii su foco anterior en el compensa. , _ . dor al objeto de ver las franjas con mayor nitidez. . . I _ , ,jj .

L2

.

- -1>

.

Q

ficar el estado de polarización de una luz podrá representarse por su correspondiente matriz. Estas matrices se llaman matrices de Mueller y tienen una gran utilidad, pues

cuando en el camino de un haz de luz se ponen una serie de dispositivos activos, es muy

0

0

U

0

J

an = 1/2, am = 1/2, Q31 = 041 = 0 =

1 1 -1 › 1

¡_¬ig_ 15_11

ii) Si sobre dicho polarizador se incide con la propia luz polarizada que el deja pasar, no se producirá modificación, por tanto Y

1/2

“J/2

1/2 ponentes, cualquier modifrcación de tal vector podrá ser representada por una matriz (au) de 4 >< 4 elementos, y, en consecuencia, cualquier dispositivo físico capaz de modi-

031 032 03355034 _ C141 042 ¿$43 ¿IMJ

-.gp-. _

B) MATRICES DE MUELLER

Evidentemente, si la luz polarizada la representamos por un vector de Stokes de 4 com-

J/2

Operando e identificando filas se tienen las siguientes relaciones

"

l5.9.- Cuando un haz de luz atraviesa dispositivos que afectan a su estado de polarización, se producirán modificaciones en los parámetros de Stokes que la definen.

(15-9)

(ají)

31/2 =

, Cl@ dOnCl€

0

0

(112 = Í/2,

(222 ZÍ/2,

(132 :(142 =0

0 1

` 0

iii) Si se hace pasar luz polarizada plana vibrando a 45° con la horizontal, de parámetros

de Stokes (1 0 l 0), a la saLida se obtendrá luz polarizada plaiia que vibra en el eje X, y si la intensidad incidente era l, la emergente será l X cosz 45° = 1/2, y sus parámetros serán

171

172

pues como puede comprobarse,

(lfl. l/2, O, O), luego

J

J/2

O

1/2

1

cos2a iR)._/aga/Â

f aij/

=

il

ï

sen2o:

_»- de donde dis =a23 =a33 =¿¿43 = 0

O

QC3P-« ›~¬. _____ì _ _”_ _/ \

*¬_.i

f1

/2" RH”/Z

in 1 faíj/

Q

=

,\_. _.Q .¬

U dedonde a14=a24=a34=a44=0

Q

0

1.

_

'

f

`

^

¬

I

_-

1 0 0 OOO

0

-sen2cr cos2ci

O

0

U

0

0

Q

Q

Q

*\n

'\i

Q

Q

0

y I

I

0

0

0

sen2o¿

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

ii@

U

cos2( 1

J

(isii) _

Q

_ñJ_,/

ÑÍ 0

Q

cos2oz sen2a

Q

C

Q

s

: ~Sen2or

0

cos2d

O

0

fl

Ol

C fics 0 cs

_/

O

V Q

J

s

0

sen2oi cos2a

*-..

l]

Fig. 15.12

0

Q

:J/2

nada nula. La matriz R(2o;) que hace esta operación es

0

1/2 cos2a

P

tras en la posición de aziniut cero transformaba el (1 0 00) en el l/2 (Í l 00) con lo que podemos decir que el giro de ángulo cr del polarizador transforrna el vector de salida u E l/2 (l 10 0) en cl v E l/2 (l , cos 2a, sen 2o¿, 0), lo que se obtiene formalmente aplicando a ii una rotación de ángulo 201 tal que le deje invariantes sus primera y cuarta coordenadas, ya que la intensidad se

conserva y también la condición de luz polarizada plana => cuarta coorde-

(1511 Lu

cos2a ~sen2a

Y

metros de Stokes_ eii virtud de (1248) son 1/2 (l, cos 2a, sen 2a, 0), mien-

R/2M2 +02 +32 y podemos riesglosar la luz resultante en luz polarizada pura (lp, M, C, S) que en el caso más general será luz polarizada elíptica y luz natural (IN, O, 0, O), siendo Ip =\/M2 +C2 Jr-S2. Para determinar experimentalmente los parametros de Stokes de una luz tengamos en cuenta lo siguiente: Si una luz de parámetros (ll M C S) la hacemos atravesar un polarizador lineal cuya dirección de transmisión forma un ángulo cr con el eje X, a la salida tendremos luz de parámetros (l' M' C' Sf), que se obtendrán aplicando a (IM C S) la matriz (l 5.14) del polarizador, con lo cual se obtendrá para la intensidad, que es la magnitud medible, la siguiente relación. ['=]/2_/I+Mcos2o¿+Csen2cr)

Si ahora ponemos el polarizador con las orientaciones or = 0. a = rr/4, or : rr/2 respecto al eje x y medimos respectivamente intensidades IQ , 12, l'3, de (_l 5.19) obtenemos las siguientes ecuaciones .

I; =M2+C2-=-S2

(i5.i7)

y que los de una luz naturai no polarizada son (IN, 0,0, O). Por otra parte, el vector representativo de la mezcla de dos luces polarizadas iiidependientes tiene por componentes la suma de las componentes del mismo nombre de los mezclados, con lo cual si tenemos una mezcla de luz natural no polarizada de intensidad IN y componentes (IN, 0, 0, 0) y polarizada pura de intensidad Ip y componentes (Ip, M, C, S), la mezcla tendrá como vector representativo el (I', M, C, S) tal que

1' M C S

1,, =

M C S

0 0

.

.

.

I

*

21; =1+M, 21; =1+C, 215 =I-M

213 = I +5 de donde se deduce S. Conocidos lM C S_ si no resultara l = \/M2 + C2 +S2, podemos hacer el desglose anteriormente indicado en una luz natural de intensidad IN y una polarizada pura de intensidad Ip y parámetros (lp, M, C, S). tales que iN +11» = I. Conocidos lp, M, C, S,por medio de las ecuaciones (1245 a 47) hallamos A1 , A2, cx, 6, X, 111 y también a y b, con lo que todo queda resuelto. 15.15.- Métodos dinámi-COS de análisis.-

Recientemente se han desarro-

llado métodos dinámicos de análisis de la luz polarizada basados en el giro, con una determinada velocidad angular, de un polarizador o de una lámina de retardo en torno a un eje que coincide con la dirección de propagación de la luz que se analiza.

Un detector fotoeléctrico a la salida del dispositivo suministra una señal que resulta ser una serie de Fourier ttuncada con cuatro términos a lo sumo, cuyos coeficientes son

IN +

.

de las que se deducen 1, M, C. Análogamente, aplicando ia teoria de matrices anteriormente desarrollada, puede verse que si colocamos una lámina Ã/4 con una linea neutra coincidiendo coii el ejex y detrás un polarizador lineal con su linea de trasmisión a 45° con el eje x y midiendo la intensidad l'4 trasmitida, se obtiene

15.14.- Determinación experimental de los parámetros de Stokes.La forma más segura para dar un diagnóstico exacto del estado' de polarización de una luz es determinar sus parámetros de Stokes. Como sabemos, los parámetros correspondientes a un estado puro cumplen la condición

(15-19)

funciones lineales de los parámetros de Stokes*.

(isis)

En esta misma línea de trabajo se ha ideado un método dinámico para la determinación de las matrices de Mueller de dispositivos activos a la polarización**. Para ello, per-

pendícularmente a un haz de luz natural se instalan dos polarizadores lineales fijos cuyos

0 * P.S. HAUGE y F.H. DILL.- Opt. Comun. 14,431 (1975). **

BERNABEU y J.J. GIL.- Tesis de Licenciatura de J.J.G..- Optica. Univ. Zaragoza, 1979.

177

planos de transmisión formen un ángulo de 'rr/8; y, entre ellos, dos láminas Ã/4 que giran con velocidades angulares de razón 3/2. El dispositivo a estudiar se sitúa entre las dos láminas giratorias. Analizando fotoeléctricamente ia luz que sale de la instalación, se obtiene una señal que resulta ser una serie de Fourier truncada, de 10 términos, cuyos coeficientes son funciones de los elementos de la matriz a determinar. El analisis de Fourier de la señal registrada permite establecer una serie de ecuaciones independientes de las que se deducen los elementos de la matriz. El métof do es particularmente útil en el estudio de medios activos a la polarización que evolucionan con el tiempo o se modifican por la acción de algún parámetro externo como puede ser la temperatura, el campo eléctrico, etc.

180

16

INTERFERENCIAS

5 2/ZK-lr Íjrt

M[N[;l1'O

(ló.4)

La fig. ló.l muestra dos ondas monocromaticas de igual amplitud que se propagan en las direcciones s1 y sg ¬ con sus vectores E1 y E; paral s al eje L. _Si lasondas son ¿portocroiiiaticas e indefinidamente largas y en ningun punto l espacio se mod_ifica la di› "' (3C f_er_eneia__de fase entre ellas con el tiempo. ltalira puntos como ,-_.~-_. donde la intensidad resultan,t_e es siempre nula. _v otros como (id onde las ondas se sup,erp_onen,en fase. en los cuales

PRINCIPIOS GENERALES. INTERFERENCIAS DE YOUNG

(Vu/A`

nralrnal>\

obien

f*'ff1X¡M0

ti6.io)

5 =2Krr

U)

¿___

Q.

“WW

nïíkfifl

¿

 = ó

d

ÍWIÍVIÍWÚNULÚ

(1611) `

5 : (2K+ 1/TI.

En las fórmulas anteriores K es el orden interferencia! de un máximo, y repre~ senta el número de longitudes de onda en que difieren los caminos opticos recorridos por las dos ondas que interfieren en un punto donde diclio máximo tiene lugar. La abscisa del maximo de orden K será, de (16.9) y (l6.lO)

c) Espejo de Lloyd.- Consiste, fig. 16.8, en un espejo único, que suele ser de vidrio negro para

__§_1| T

1'”-

K=O.1,2-.--

D

.¡_._ F¿g_ 161

prisma.-

_

evitar reflexiones internas. La ren-

,,f

O dija S1 paralela al espejo y a la panl___¡ .J talla emite luz, una parte de la cual _ \` ' ,_ llega directamente a la pantalla p, y $2 i D otra que llega después de reflejarse ,_ I-¬ig.16.s en el espejo. Todo sucede como si se trata de dos fuentes coherentes, la S1 real, y la S2 virtual, siendo ésta la imagen de Si dada por el espejo. En el punto O, donde la diferencia de marcha entre el rayo directo y

185 el reflejado es nula deberia producirse franja clara, lo cual no sucede debido a que los ra-

ise rra la fuente S'. Como puede calcularse fácilmente, la distancia entre dos consecutivos es igual a la dada por (i6.l3), es decir xK+1 - xK I Ã D/d. Por tanto para cada punto S' se obtiene un sistema de franjas desplazadas respecto al que produce S sin que varie su espaciado.

yos reilejados sufren un salto de fase rr. Las franjas claras y oscuras aparecen asi intercambiadas respecto a lo que resultaría de los cálculos si no se tuviera en cuenta este salto de fase producido en la reflexión.

La variación que experimenta la posición del máximo de orden K al variar la posición de

16.5.- Visibilidad de las franjas. Influencia de la anchura de las rendijas y de la monocromaticidad de la luz.- Las franjas interferenciales en cualquier dispositivo son perceptibles debido al contraste que aparece entre los maximos y los minimos. El factor de visibilidad V, se define por el cociente

S' se obtiene tomando incrementos en (l6.l5) después de sustituir A = K?\,con lo que te-

nemos öx'

V:

1

WZÚX

-öx

,

-a-- D

-1 -

.

(ló.l6)

flllïl

[max llmín

En cada caso será necesario establecer una tolerancia eii la anchura de la rendija ôx' para conservar una determinada nitidez. A este respecto, se estima que si el desplazamiento delos máximos al pasar de S a S' no excede de un cuarto de franja, la nitidez se conserva suficientemente, es decir, según (ló.l3)

donde [max e [mm significan la intensidad en los máximos y minimos respectivamente. En los casos estudiados hasta aqui',hemos supuesto que las fuentes de luz eran teóricamente lineales o puntuales, y el reparto de intensidades en la pantalla tenia lugar

con arreglo a (16.5), es decir, a una función cos2 que da intensidad I en los máximos y nula en los mínimos, por tanto visibilidad V = l . En la realidad las cosas no suceden asi', sino que las rendijas tienen una cierta anchura y a medida que la rendija primaria se ensancha el fenómeno pierde nitidez, pues

|5x|
\/4, todo en configuración simétrica, constituye un filtro interferencial Fabry-Perot

(l8.23) ä›\, ›-

Si se trata de una sola superficie que separa dos medios de indices no y nl , para calcular sus r y t puede aplicarse la mismo formulación (1823), to-marido eri sii matriz caracteristica M11, 5 = kd =O f> d = 0, es decir

-mí

P7\

. La fig. 18.4 da una idea de cómo se atenúa la reflexión para distin-

senö

donde 5 =l 0°, Au -> 0 y se tiene la onu`u monocromáríca. Cuando A1/ z/0 la luz se llama cuasimofz0c¡'omáïíCa.

La ecuacion representativa seria

x

_

t

E'=a4 COS2n(V0í“ ìšçf

(20.1)

20.3.- Grupo gallssialto.- Consideremos ahora ei caso inverso. es decir supuesto conocido el perfil espectral de la raya calcular la longitud lo del pulso equivalente.

Si tomamos como punto de observación el origen de abscisas, X =O, la vibraf ción en él vendrá dada por E =A cos21r1/Or

'1 omemos como ejemplo el llamado grupo gausSz`a1io.o sea el conjunto de ondas simples cc rrespondientes a un ensanchamiento debido a efecto Doppler. En este caso la funcion de intensidad viene dada como función de k o de 1» en la forma

(20-2)

y sólo tendrá existencia entre los instantes to - -[72 y to + L; donde to es el instante en que el punto medio del pulso está en el origen." Tratemos ahora de determinar el conjunto de ondas monocromaticas de tre--cuencia variable u y su listribueión de energías de modo que sumadas dieran el tren de la tig. 20.2 para lo cual bastará aplicar a (20.2) la transformada de Fourier. Para facilitar cálculos pongamos (20.2) en forma compleja, es decir

lv

E/U 2 A/eos2†r 1/Or -l- 1' sen2rr vor) IA e¿2"”0í

A

2

r

r

El espectro de frecuencias vendrá dado por la transformada g(z/) de Ett), es de,¬ 3

QSL L) `\_

1 :L _

,

""

At»

-

,

W '¬'\ 1; ì.

'O

z2fr(1/0

.

'F

r

(20.3 . )

¿I I É ÂV

Si el reparto de intensidades en la banda espectral tiene iiauo por (20.6 1. el de amplitudes sera

Una de las ondas componentes del grupo seria Je la forma E I r-\ =: iL† '“. En un instante dado. t = O. tendremos una f_listribuci1 ¬t_ ,_. ._.__a________ Éj 2

TE/Vo _ V/

Frg.20.4

que da el espectro de frecuencias con sus amplitudes en funcion de 1/_ El espectro de energias vendrá dado por lg(_1/)l2. y será

A

_

W

que se representa en la fig. 20.3. El espectro tiene los primeros ceros para V0 - 1» = ±l/T0. Considerando que las frecuencias caen de fuera de 1/ = 1/0 “r l /to apenas contribuyen al fenómeno, se pueden despreciar, quedando como ancliura del espectro en la base

1°

Io C « "Í" `_"__'§

12/1/0-I/)l=%

_ 1/

i:o.io›

integrando se tiene -----

9°

2

-C

A

00-4)

La a/lc/tura espectral Au a E0,/2 es aproximadamente la mitad de la que tiene el espectro en la base corno puede caleularse a partir de (20.4), por lo que escribir-emos ` ] , Av 1 (20.5) To

~=

f/~r)= 0 Í e¬""'l”°* la fl ` J/'< I

,__

(20.8)

l

CH) au-/:A=\/ï=A0@""'**“@f2f`“2, wn ff :Sai ii /10 =~//Í izoai

sen(†rf0,fv0 - 22)) :A _..___-_-«_

2

420.7)

Í

'0

f - iz/

1

ran»/P =A2

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elìfifvo " V) 7 _ €¬3TffV0 _ V) j

i

2

->- ---É” E ¡

,_

efjrr/1/0 ' z/jr WO/2

1

de donne

€f3?T(1/0 _ VJ? df = _T0,/.2

=A _,-_-l =A z2vr(1/0 - 12) ¿TO/,2

7n A1/

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\~__

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2

1; ZZ]

"""'“ lo

'TO/._

E I C,-i2m/r dï :A Aeféfi

_

como se representa en la fig. (20.4). y donde a es una constante. Si por facilidad caleulamos la anchura espectral A1/dontle la int-ensiilaaì se reduce a lo/e en luear de la/2, poniendo .Av = liz» iio ). deberá ser i

F*

en

Íïl' 3

1:10 ¿ft " ff@/' /“Q =10 WT/ W W ”

T____ íO

_ ,2 _2f

.

_

e Q ^ '4 e¬*0^

i20.l1)

o bien Re/x)=cre. e

_a2\,-2,4 Ñ

"

\~

cos21r†0

CUB)

/\/\_"...

donde R@ Significa la pam ren «ie fix).

K

Q Como se ve por (°0.l2). se obtiene para t = O el perfil espacial de una onda mo nocromátíca arnortiguada de longitud de onda no, cuya amplitud viene afectada por el tactor de amortiguación exp.(-a2 x2/4) que es a su vez una gaussiana. L ,._ i-2 epresentaeion gráfica del pulso se da en la fig. 20.5.

T0

á

f./X)=Cte

__¡ Av ¡ * Pig.20.3

1 V + ___ ° To

`

218 '7 -17

La función

rI

Como quiera que el pulso sólo tiene interés mientras tiene una cierta amplitud true estirnareinos en l/e de la maxima, es decir cuando el exponente del factor de amortiguación vale la unidad negativa, lo que tiene lu-

1¬12(T) : =

ÉL

gar para un valor de x : xa tal que

A0

V211-\

-í_.--_-

'X 9,-0 :J

i,

R

inen

x

@ ,f--2 7?'

,. i.-0.13)

2

-_..¦

Ä_\p __' `_

\ 1,, f , `\_

" -

_

,

recibe el nombre de fu/icíórz de co/zereizcía mutua o fzmcíóiz de correlacíófz entre El y E2

«C

-_a_t___T,_Ma ,

X0 :L :__N/-30 \/ja

(2044)

WAI)

2\/Í 77

c

N

mir/ = äljム=

= .t¬ 's ` r K.. lo .¬. encontrariamos, fig. -0.i0, Ien el , I ,¬. ,I x

Í

simetrico de 1 y 1. Si P estuviera eii otra posicion se moditicaria e

ontrastc

ero esta modificación seria debida fi la variación de P v no a* ¿ratio col¬¬r¬npw.iiso 1 uto entre .p 1 3-IPQ, _ cd - ' 7 li-introt L -fm-k Íeiata pues ellliacìrlolfïii ellsimeltricìo P po -:_C-CD@ ciria sirio

1;-

_ _ _ _

0 77 : J _ ¿__ :J _ L

P de la i°ä1lÍ¿1U3§'\Í@i1fll1fif 911@ Cl contraste de las franjas que se pro-

-

ac ores comunes ue tesfi frrecerian a “ia ar e grato t ¬ co ierencia.

Si [1 = 12. se tiene para el contraste de las franjas o factor de visivilidad Í

~

Flg.20./

Z _ [ni¡›z:f[1+12/__+f[1+Í2"2'\/Íifzifl ¡O K ¿O

V3 ,W125 :_ma.\

2

_

uno de ellos con el tiempo_ es decir. que la emision ` " es estacionaria ' f ` \ que cada punto emite con entera mu ~ pe-ndencia de los demás. . . Se trata anora de estudiar

M?

,..¬_

_

T1

5

__,;-

U V `U U U l7 27

¿ona común lo hara en la proporción (10 ~ 1),/i0_ 3,- 5@ rcmirfi

_

Y

_ i i A gg FH C W*

(2026)

T0

'Í P

_

_ P ~

P ara hacerq este estucio CPH. supongamos Á L. _ un que rla° amplitud con que emite punto M de la fuente es EM. La vibración en P1 debida a un ciemento de area unidad en Mserá F, e íipv H _ _ ): ii eiiwor- /tj UM) EPÍMH r¡M

I 1

Midiendo V en un punto P _v conocido 1 por la geometria, se puede determi ¡mr 1O_

gg

(3017)

Fig. 2010

Cuando 1 = 0. 712 = i se tiene coliereiicía total. Las franjas tienen en este caso ei maximo contraste. lo que sólo ocurre en las proximidades del punto O, fig. 20.6

Y ¿ll P2 Uelïït-iO Hi mimi@ element@ Suifiefficïfii

A medida que nos apartamos de O. 712 < 1, se tiene co/zereizcía par» cial de tipo longitudinal o temporal y el contraste empieza a disminuir hasta que l = lo en que el contraste es cero. A partir de aqui' los haces que llegan a P son 1`iicoI1ereizres y no se ven franjas. '

EM efsfiftf t (9) ~

7, 2.

Fe

20.6__ Coherencia eSpacia1._ cuando una fuente eXten_

.

_

p

_

sa emite luz. a cualquier punto del espacio Pi llegan ondas procedentes decada punto de la fuente fig. 20.8 v' en cada punto P¡ tendremos una (1) _ _, resultante' Nuestro Í , Vlbmclon pmbiemcì Concretandonos a dos pumos del espacio P1 y P; es el de determinar hasta que punto estas vibracio-~ S nes resultantes en P1 y P; son coherentes. Que lo soii eri cierto modo. es evidente, puesto que a Pi y P; llegan luces como ias l y l' que lo son entre si por proceder del punto (_l ) de la fuente, y también llegan a 2 y 2' coherentes entre si por proceder del punto (2), pero incolierentes con 1 y _

1 _ gn,

1

P

1

_

Í _ /L ¡I

EP_,M(r/ = -;--- effwo 31”

`° ZM)

(2028)

Donde u›M es la fase en el origen de tiempos en el punto M. Como quiera que estas luces las vamos a superponerry en filo solo juega la difc _

_,

"7¬- ~

rencia de fase entre las dos, que será ko (r2M - 1-W) =¢i\f0(.Äl) :_-,fi TU :jm/.O,-M ^ c Ã@ ~ _ \ _ U i superponer las f (-0.-7) si fi fi ja -_ el resultado ce y (_0__8) sera' el mismo que si: superponemos en sus muclon de ellas estas dos

Fig. 20-3

A EM e“fM' Z., Í EP1M(f): "'}"'_í eúwo ¡M E e¡¢M _

(2019)

EP2M(¡_†M)= _L____ 812W@/r« TM) Un procedimiento para estudiar el grado de coherencia mutua entre las luces

resultantes en Pi y Pg será tomar a Pl y P; como fuentes de Young y determinar el contraste de las franjas de interferencia que tales fuentes podrian producir en un pun-

to P de una pantalla. Como puede comprenderse, el resultado dependerá de varios factores como son el tamaño de S_ la situación de P1 y PQ en el espacio respecto de S y entre sí, la situación de P v la monocromaticidad de la fuente S. Para fijar ideas supongamos que S emite luz cuasimonocromática de frecuencia i/0; que S es plana en el plano xy paralelo al En en que están P1 y P2 ,fig. 20.9 y

fg-tf que tienen las mismas amplitudes y diferencias de fase que las (2027 v 28), v donde ru es la diferencia de tiempo en recorrer los caminos ri y r;_ La resultante ER1 en P1 de superponer las vibraciones procedentes de todos los puntosll/lš l,2,3 ....de S, será r ¬ ERIÚ/ _ EPIIU/J + EP12(f) + EPUKU + ' " (2030)

U1

222

.'.«

con lo que tenemos _\ la i'e-sultiiiite en Pg d O liida iguiilineiite ti todos los puntos i

E/ej” ' T/ :E10//Í” T1/ “li EP3:”/I ` W † E1123'/i" T3/ +

($0.33)

1 (xy) €í2†rV0T_()C}f/ dx dj,

¬/i2(r/ = FHM Z 'IS S

FHM/

(2038)

1S(x_i›) di- di-

Calciileiiitis aliora como en (2020) (D l grado de coliereneia 1/1; (3). es decir

V3

;”_¬'"__¬

El numerador de (2038) se puede modificar poniendo T explícitamente en fun ÍIJÍÉ 712

:

_

~~›

"` _*

__`

v

_` ,, _] I _ 1 Í , ,_ , _ cion ce >< s< ,ya que T - -E(r1 - r2), y si suponemos que PQ no esta muy distante de Pi eii

Y

i ¬ ¬i [CW llfll MOV- ll

comparación de ro , siguiendo el mismo razonamiento que puede verse en el párrafo 22.8 para hallar allí rs- l, prescindiendo de inñiiitesiiiios de 29 orden se tiene

xl

.“[_¬

¿,J_»'1

.¬

1_¬¬ C152

_,

F

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l:THJO†{x†\`/i¿Ã\j¿hi ›

S

dt¬ (_0.32) es el iiumeiadoi' Cl ue acabamos de calcular liacienA su ve/._ el lcnoniinador * “ 0. es decir __¬ (4

J J :tU Ll. (Ds

11,/oi: emiten ton iiiilcireritieiieiaile t.1se¬ poi- tanto (pm en toflinatƒoâ os os valores posibles eii el tiempo de una o`nsei^vaeion_ es decir que RB- = = Em En = 0 por ser nulo el promedio del coseno. Por tanto

1`¡¬Í{Tf¡ :

i

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«, ,l ,li S[S(xM1,›/€¡Á0 /¡O ET ¡Onj

.r ..,

“V” > fi

1

92

y1a(20_37)

_

L

¬`“\

pantalla por una placa fotográfica y sigamos los mismos pasos de antes. Si cerramos S2, los fotones pasan por S, y como cada fotón deja impacto en la placa vemos que ios fotones que han ido llegando uno a uno se distribuyen como I1 . Si cerramos S, y abrimos S2, se distribuyen como I2 . Abramos ahora las dos rendijas simultaneamente y dejemos llegar también los fotones uno a uno al dispositivo. Es lógico pensar que los fotones o pasa-s rán por S1 o por S2, y como sólo pasa uno cada vez, no se puede pensar que los fotones que pasan por S1 interaccionen con los que pasan por S2 , por tanto de no existir interacción en la pantalla debería aparecer la distribución según I; pero no es asi', sino que los -

313

314

fotones que pasan uno a uno por una u otra rendija, no sabemos por cuál, al cabo del tiempo reproducen la distribución difraccional b) correspondiente al modelo ondulatono. Podríamos pensar que un fotón pasa por las dos rendijas al mismo tiempo, pero esto no sucede, pues si se ponen contadores detrás de cada rendija cuando pasan uno a uno, o cuenta uno o el otro, pero no los dos simultaneamente. Por otra parte, cuando los fotones pasan uno a uno, nunca se sabe un fotón a qué punto de la pantalla irá a parar, lo único que se observa a medida que pasa el tiem-

C __

po es que los fotones siempre van a las zonas a las cuales corresponden franjas brillantes

y que en ellas se reparten proporcionalmente a la intensidad de la onda resultante b), es decir que el reparto de los fotones en la pantalla es un fenómeno de azar y la probabilidad relativa de presencia de un fotón en un punto u otro es proporcional a la intensidad de la onda en los distintos puntos de la figura de difracción. Interpretación.- Todo lo anterior induce a dar alos hechos la siguiente interpretación: 1) Los aspectos ondulatorio y corpuscular de la luz no son incompatibles ni contradictorios, son dos aspectos complementarios de un mismo ente físico, la luz, y

- _-. _.±

--1

los fenómenos luminosos no pueden ser enteramente descritos si no se tienen en cuenta ambos aspectos.

2) La onda va asociada con el fotón, y la probabilidad de presencia del fotón en un punto del espacio es proporcional a la intensidad de la onda en ese punto. Con estas suposiciones quedarían explicados los interrogantes del experimento anterior. La onda asociada al fotón, que es extensa, pasa por las dos rendijas a la vez, el fotón sólo por alguna de ellasipero después de haber atravesado una rendija cualquiera es tando la- otra abierta, el fotón aparece en la pantalla donde la intensidad de la onda difractada por la doble rendija no es nula. Anáiogamente, cuando los fotones pasan por

una sola rendija estando la otra cerrada, se distribuyen según las curvas I, o I2 que son las de difracción de la onda por una sola rendija. s No hay por qué aferrarse a la idea de la incompatibilidad entre las ondas y los corpúsculos; eso fue una disquisición histórica planteada ya en forma excluyente y con gran violencia en los tiempos de Newton y Huygens superada hoy con la dualidad. Se

trata de dos aspectos diferentes de la misma cuestión que no sólo no se excluyen, sino que se complementan. Esta manera de discurrir e interpretar la fenomenología acarrea consecuencias de largo alcance que veremos todavía en este capítulo. 30.6.- Cuantificación en los sistemas materiales.- Un sistema se dice que es cuantificado cuando su energía no se modifica de modo continuo, sino por sal-

tos cuánticos. Desde mediados del siglo XVIII se conocía que los espectros de los átomos es-

taban formados por rayas discretas, es decir que el espectro no era continuo. La primera ley referente a las rayas espectrales fue dada empíricamente por Balmer en 1885 y de

ella se deducían las frecuencias de las rayas del hidrógeno. En 1913, Bohr piensa que si, según la teoría de Planck, los emisores de luz lo

hacen por cuantos de energía hu, debería ser porque los átomos sólo pueden tener niveles discretos y estacionarios de energía E, , E2 . . . En . . ., de tal suerte que cuando el átomo pasa de un estado energético Ek a otro de menor energia Ej, es emitido un fotón de

energía hv-ki y frecuencia vkj tal que hVk¡-=Ek-Ein!

(30.l0)

Teniendo en cuenta que el átomo de hidrógeno tiene un protón en el núcleo y

un electrón en la corteza que se atraen según la ley de Coulomb, y suponiendo que el electrón se encuentra girando en torno al núcleo de modo que su fuerza centrífuga compense la atracción electrostática, se obtuvo la ley de Balmer y demás leyes empíricas perfeccionadas por Sommerfeld con la introducción de las órbitas elípticas. Los estados energéticos (estados cuantificados) correspondían a ciertos radios de las órbitas, únicos que podían existir, con lo que se obtuvo así también una forma de estructura atómica con datos numéricos sobre tamaños, etc. ' Una experiencia que puso de manifiesto la existencia de estos niVG \/P veles cuantifìcados se debe a Frank y Hertz en 1914, fig.30.4.Un haz de electrones monoenergéticos producidos por el cañón C pasan a través de vapor de Hg. La energía cinética de los electrones es variable a voluntad _l_[_.¡.. Vapor de regulando voltajes. ` | [V mercurio Los electrones salen del cañón a un potencial V negativo respecto a la placa, positiva respecto al filamento, y llegan a la placa siempre que el potencial de rejilla VG (negativo) sea menor que Vp en valor absoA luto. Si partimos de un potencial p.e. V = O, con VG = 0,5 volt., a me? dida que aumentainos V en negativo o Vp en positivo, los electrones van llegando a la placa cada vez en mayor número, hasta llegar a una diferencia de potencial aceleradora, del orden de 5 volt., en que empieza a disminuir la corriente rig. 30.4 de placa lp. Esto puede interpretarse suponiendo que los electrones cuando cliocan con los átomos sólo lo hacen de dos modos: o en C/toques elásticos, en los cuales, dada la enorme masa del átomo respecto al electrón, puede suponerse que el electrón apenas pierde eiiergía cinética, o c/toques ífzelástícos, en los cuales el electrón cede parte de su energia al átomo haciéndolo pasar a un estado excitado. El primer nivel excitado del mercurio corresponde a 4,88 eV, por lo que a energías más bajas de los electrones bombardeantes todos los choques son elástiI l cos. Si se sigue aumentando VP al llegar hacia los lO volt se vuelve a producir una disminución de la corriente, lo que es debido a los electrones que sufren dos choques inelásticos consecutivos, .fig.30.5.Por otra parte se observa que durante la operación, y debido a que log átomos retorrian al estado fundamental, emiten una radiación de 2537 A correspondiente a un salto de niveles de 4,88 eV. Pero no sólo los sistemas atómicos son cuantificados; tam-IP bién lo son las moléculas y los cristales. 15 \yP-\¡ 6 U1

hp *

1

i

gi. .-

¬_í.í_.__.._.

HoD. 30 _ 5

30.7.- Corpúsculos y ondas materiales. Carácter ondulatorio de la materia- A finales del siglo' XIX se distinguían dos categorías de entes físicos: la materia y las radiaciones. La materia estaba formada por corpúsculos indivisibles, que si eii otro tiempo fueron los “átomos”, ahora, con el descubrimiento de la radioactividad y por medio de posteriores experiencias se ha puesto en evidencia que los átomos contienen electrones, protones y neutrones, las que denominaremos partículas elementales materiales, no siendo estas las únicas. Estas partículas elementales subatómicas tienen propiedades muy particulares que no se asignaron nunca a la partícula material clásica para la cual era constante la masa. Estas nuevas partículas pueden crearse y aniquilarse conviertiéndose en otras diferentes. También denominaremos partículas materiales a los átomos y moléculas completas cuando no consideramos su estructura, incluso trozos mayores de materia. A la partícula material la caracteriza como distintivo fundamental el tener una masa en reposo. l Las radiaciones eran ondas electromagnéticas regidas por las leyes de Maxwell. Desde el punto de vista clásico la partícula se manejaba mecánicamente como un ente puntual de masa m caracterizado por su posición y su momento p = mv, pero ninguno de estos atributos fueron asignados alas ondas electromagnéticas. Sin embargo, las

316

/1\ /'\

experiencias antes descritas han obligado a asignarle a dichas ondas, es decir, a la radiación, el carácter de part icula, lo que ha revolucionado profundamente el mundo de la

de un cristal de niquel.

_ El resultado fue una figura de difracción con simetría xenaria como si se tratara de una difracción por reflexión con Rayos X, técnica que entonces ya se dominaba. El utilizar electrones de baja energía se hizo con el objeto de evitar la penetración a capas más profundas con las consiguientes perturbaciones y enmascaramiento del fenómeno. Con esta experiencia pudo determinarse por la difracción la longitud de la onda asociada Ã, y como se conocía la velocidad de los electrones, por tanto su momento p, pudo comprobarse que se cumplía, como en el caso de los fotones, la relación lt

7\=%=-5;;

(30.ll)

niendo un elevado número de ondas monocromáticas cuyas frecuencias están compren-

/¿\

Física.

Pero la cuestión no termina en el hallazgo del fotón. En 1924 Luis de Broglie apuntó la idea de que a toda partícula material en movimiento debería corresponder una onda asociada, como al fotón (! ). El primer experimento en confirmación de esta idea capital fue llevado a cabo por Davisson y Germer en 1927 haciendo incidir un haz de electrones de baja energía (50 a 150 eV) perpendicularmente sobre la cara (1 ll)

tenemos de partícula es que es un ente de muy pequeñas dimensiones localizado._.en el espacio. Pues bien, una solución que puede conciliar las dos caracteristicas es representar una partícula en movimiento por un paquete o grupo de ondas quese obtiene superpo-

/

0

I

\

xl/ \*/ \l/ Y =† l

r

Fig. 30.6

didas en un intervalo de anchura espectral Av en torno a una central vo, fig. 30.6. Como se vió en el Cap. 20, por este procedimiento se puede obtener un pulso de frecuencia 110 y longitud Ax == lo, lo que matemáticamente se resuelve con facilidad por medio de la integral de Fourier. , _ 30.9.- Análisis del modelo.- Es conveniente- advertir al lector a este nivel de conocimientos, que a partir de aquí y a medida que profundice en la física cuántica,

se encontrara con infinidad de modelos de entes físicos para explicar, a partir de ellos como hipotesis de trabajo, distintos fenómenos. En lo que vamos viendo, hemos utilizado ya cuatro modelos de luz: el de Newton, el de Huygens, el de Maxwell y el de Planck. _ Los modelos físicos sirven en general para ciertas cosas, pero no para otras y es muy importante cuando se adopte un modelo de ente físico con algún fin, saber hasta donde da de si y si las cosas que se pueden predecir a partir de él las confirma la experiencia, pues solo cuando se tiene esta confirmación experimental se pueden usar con seguridad- A mofilo de elemplfbvamos a rfiscutir la adopción del paquete de ondas como modelo de partícula. I a) Velocidad de la partícula.- Según la idea clásica que tenemos de una partícula, esta tiene una velocidad v, mientras que en el paquete de ondas aparecen una veloïllad de fase vs, dada en (12.9), y una de grupo, vg, dada en (l2.12), cuyas expresiones 'l

Experiencias de alto refinamiento para comprobar la existencia de la onda asociada a las partículas materiales (ondas materiales) se llevaron a cabo con protones, neutrones, átomos de helio y moléculas de liidrógeno, asi' como interferencias de Young con haces de electrones, y se comprobó que, igual que para los fotones, eran válidas para dichas partículas las siguientes ecuaciones: . E=lrv=mc2 =hw ll

p=ï =mv=hk

(30_12)

v,,=m»,

dao

dv

vg= (7,-¡plko =-¿F5 A

Tratemos de deducir de nuestro modelo cuál de las dos se identifica con la velocidad v de la particula. De (30.l2) y (3013) dividiéndolas obtenemos

(3o.13)

ea

v,p=?\u= Ã =

E

=

mcz

2

= CV

(30_j4)

1

igualmente válidas por tanto para partículas que tengan masa en reposo o no la tengan. En ellas m es la masa relativista, k = 2.*/r/li y fi: h/2rr. A pesar de esta inequívoca confirmación experimental del carácter ondulatorio asociado a las partículas materiales, no se ha podido encontrar en ellas nada estruc-

Como se ve, la velocidad de fase no coincide con la velocidad de la partícula v. Veamos lo que ocurre con la velocidad de grupo vg. V De (30.l2) y (30.13), poniendo v/c = ¡3, se tiene

tural ni ninguna base física responsable de tal atributo, por lo que tenemos que conformarnos con el conocimiento empírico de su existencia.

V = m C2 = mv Cl __,,,l,,,

/1

Por lo que respecta a la naturaleza de las ondas asociadas a las partículas sólo

h

(1-a2/175

sabemos que las correspondientes a los fotones son de naturaleza electromagnética, pe-

ro a las asociadas a las partículas materiales no se le ha podido asignar ninguna naturaleza física, y simplemente nos sirven para calcular la probabilidad de encontrar la partícula en una región del espacio, por lo que también se denominan ondas de probabílz'dad. 30.8.- Modelo ondulatorio de partícula. Paquetes de ondas.- Después del conocimiento experimental y empírico que tenemos de las partículas y sus ondas asociadas, se hace preciso adoptar un modelo de parti'cula,susceptible de manejo matemático, que responde a toda esta fenomenología y nos permita predecir por vía deductiva otros fenómenos y propiedades. La onda asociada a la partícula tiene una longitud de onda lio que podemos hallar por medio de (30.11) si conocemos su masa y velocidad. Por otra parte, la idea que

l=mv:m0c

li

h

h

B

(1 -W175

de donde

.dl dv ¿G Vg:_†=ïfi/T¡=ff5=V

“lil -ar-:_

(sois)

318

El modelo responde por ahora a la lógica: la velocidad de la partícula se identifica con la del grupo como un todo, como debería esperarse, pero debemos anotar ahora que segun (30.14) y (30.15) la veiocidad de la fase y la del grupo no coinciden, lo que comentaremos después. ' b) La medida en física cuántica - En física cuántica, como en física clásica, _ . _ ' _ _ _ medir es determinar experimentalmente, directa o indirectamente el valor de una mag-

A esta conclusión conduce la representación matemática de la partícula por medio de un grupo de ondas, es decir es una consecuencia teórica de la formulación matemática, la cual constituye el principio de incertidumbre de Heisenberg, pero vamos a ver que se trata de una realidad física por medio de un par de experiencias.

_.-1

N.

J/ Microscopio de Heisenberg.- Tratemos de determinar la posición de un . pla no electrón, e, observándolo con un microscopio, f1g.30.',/`, para lo cual lo iluminamos con foimagen tones de momento p en ia dirección del eje y. Al chocar el fotón con el electrón e, su¬."1 l-_ l

puesto en reposo, tanto el electrón como el fotón adquieren una variación de su momento en la dirección del eje x, Ap, que es impredecible. Si la abertura del objetivo es 0, la máxima variación Ap que puede detectar este microscopio es p sen o, pues para mayores variaciones los fotones no entran en el objetivo. Conservándonos en el= plano xy, estos fotones irán a distribuirse sobre la man-

nitud referente a un sistema físico. Si en nuestro caso consideramos uno tan simple co

mo una partícula de masa m que se mueve con velocidad v y tratamos de determinar simultaneamente su posición y momento, vamos a ver que esto tiene ciertas dificultades. Representernos la partícula, siguiendo con nuestro modelo, por un paquete de ondas formado por un grupo de ondas de anchura espectral Ak en torno a un número de ondas centrai ko = mv/ii como se hizo en el Cap. 20. Allí se obtenía que tomando una banda de anchura Ak para construir el grupo, tal grupo tenía una longitud lo = Ax,

lv objetivo

cha de difracción en la imagen y si tomamos en consideración sólo el disco central, se distribuirán en el segmento 2r', sin que sea predecible el lugar a donde irá cada uno. A este segmento de imprecisión en la imagen corresponde una imprecisión 2r en la posición del objeto dada por (38.9), supuesto que operamos en vacio

G.

tal que

F

-

Akmffl»

(3o.16)

s

e 1

AkAx=-*J

\

Ax=2r:,-“seno

P

En realidad, si el grupo es gaussiano, de la lg de las (20.7) y de (2013), don; de 2x0 es nuestro actual Ax se obtiene '

X

A esta imprecisión en la determinación de la posición del electrón corresponde una indeterminación en su momento, pues, tanto si tiene momento nulo, como si esta' moviéndose en el instante de hacer la observación según el eje x con momento Ap = p sen 0, o bien Ap =(h/Ã) sen 0, los fotones irán al mismo disco de difracción; por tanto en una determinación simultanea de posición y momento de la partícula nos encontramos con imprecisiones Ax y Ap, tales que

Fig. 30.7

(30.17)

Si el grupo tiene otra distribución es siempre Al 1 por lo que escribiremos de nrodo general

_

M AX 2' 1

(30.1 s)

Ax Ap = li

Esto quiere decir que la anchura de banda Ak y Ax no son independientes, sino que vienen ligados por la relación (30.18).

de acuerdo con la predicción (3020). El hecho de medir perturba impredeciblemente dentro de un margen los parámetros que definen el sistema. 2) Caso dela difracción.- Tratemos de determinar la trayectoria de un electrón haciéndolo pasar por dos puntos. Supongamos que disponemos de un haz de electrones colimado. Para fijar una trayectoria hagamos pasar los electrones por un agujero de diámetro D, fig. 30.8.

Ahora bien, si el grupo tiene una extensión espacial Ax, quiere decir que si nosotros conocemos la ecuación del grupo como se dió en (12.14)

il//xx) =

dk) effwkxl dk "$

tu/

(3o.19) >

podemos conocer Ax y también la velocidad de propagación de su cresta vg = v, pero no podemos establecer con mayor precisión que Ax la posición: de la partícula en un instante t dado. La partícula puntual va dentro del grupo, pero no sabemos dónde d en' tro de Ax.

._--->-

/

-í--ii

pj

Los electrones que pasan por D se distribuyen en una pantalla 11

/

Q?

suficientemente alejada de D según la difracción de Fraunhofer, y si conside-

/

L __?.---1-É

_

\

X» j

Por la relación (_30.17) podríamos hacer Ax tan pqueño como se quisiera pero

a base de hacer muy grande Ak.

.___--}

Si en la ecuación (3018) introducimos en virtud de (30.13) el momento de la

\

.

($0.20)

Es decir, que si hacemos una experiencia para determinar simultáneamente la posición y momento de una partícula tendremos imprecisiones en las dos magnitudes según (30.20), o bien que si trazamos la experiencia para poder determinar la posición con la mayor precisión posible Ax -> 0, no podremos determinar su momento sino con una imprecisión Ap -> 0°. _

TT

l

Es decir que se ha producido en elios al pasar por el agujero, si tenían un momento p según el eje x, cero según el eje y, una variación de p según el eje jy

.

partícula p = Í1Ak, se tendría

Ax Ap >_ T1

ramos como antes sólo el disco central según (2321) se tiene

~ -:A o-seno D

j

. 30.8 Fig.

que oscila entre cero y p sen U, ya que pueden ir a cualquier punto del disco central sin que sea predecible a dónde. Por otra parte, la imprecisión en la po sición es Ay=D, pues no se puede saber por qué punto del agujero pasan, entonces se cum ple como en el caso anterior, poniendo p = h/?\ _ Ay Ap = ;¿ Y

Cuanto más se cierre H D para precisar la posición › más se ensancha la figura de difracción,

319

32° 30.10.- Teoría cuántica de los fenómenos ópticos.- a) Presión de ra-

de modo que la relación anterior permanece constante.

Relación de indeterminación entre energía y tiempo.- Si en la relacion para el grupo de ondas que se dió en (2015) `

_

Av Afrìl introducimos E = hu, o bien AE = lr Av, se tiene

¿E AT 2 11

(3021)

que nos dice que si se determina con una imprecisión Ar el momento de paso de una partícula por un punto su energía no puede determinarse con una imprecisión menor de AE dada por (3021). Conclusión- Las relaciones de incertidumbre (3020) (3021), que son generales para cualquier par de variables conjugadas nos dicen que es imposible en un instan-

te dado determinar con tanta exactitud como queramos la posición y el momento de una partícula, cosa que no ocurría en mecánica clásica, pues allí las ecuaciones de Hamilton por ejemplo, nos dan en cada instante el punto de la trayectoria que ocupa la partícula y su velocidad, y conocidas las condiciones iniciales se sabe la evolución. En la fí-

.

diación.- Supongamos que sobre la superficie plana de un cuerpo completamente absorbente incide perpendicuiarmente una onda linealmente polarizada de vector eléctrico Ey, propagándose en la dirección del eje x. El correspondiente

campo magnético sólo tendrá la componente Hz. 2 El campo eléctrico de la onda actuará sobre los electrones de carga -e con una fuerza F = -e Ey, la cual producirá en ellos un desplazamiento que por tener lugar en un medio viscoso con la oposición de fuerzas de

fricción, alcanzarán una velocidad límite vy. X

La energía que la onda cede al electrón en la unidad de tiempo se-

ra

W = Fs = -e vy Ey

Por otra parte, el campo magnético de la onda actuará sobre este electrón en movimiento con la fuerza de Lorentz (2721) _

fH =icï ny >< H_,_,| ="C_e vy E,

Fig. 30.9

minar con exactitud ni las condiciones iniciales ni tampoco en ningún otro momento, no se puede habiar de trayectoria. Esto ha ilevado al convencimiento de que en la física

NW = -Ne V), Ey

En consecuencia, la mecánica por la que se rigen las partículas con sus ondas asociadas tiene que ser un cuerpo de doctrina que nos suministre en un instante dado con cierta probabilidad la posición, el momento, energía, etc. de una partícula o de un siste-

ma de partículas.

0

' -NQ Vy Ey NW P =NfH -'= -Tí : T

representa la fuerza perpendicuiar a la superficie por unidad de área, es decir, la presión de

radiación, equivalente a una transferencia de cantidad de movimiento en la unidad de tiempo. _ El numerador del último miembro de (3025) representa la intensidad energética absorbida por unidad de superficie, que en este caso es la intensidad del haz incidente, es decir que la transferencia de momento es

Esta mecánica llamada mecánica ondulatorio o mecánica cuántica se aplica al átomo y molécula y sistemas de partículas subatómicas, es decir a aquellos sistemas tales que la observación los perturba, como ocurría con el experimento del microscopio

tratando de observar el electrón. C01-zsideracio'n final.- El modelo de partícula representada por un grupo de ondas establecido por vía lógica nos ha llevado por vía teórica a ciertas conclusiones, en principio sorprendentes, como son las relaciones de incertidumbre, las cuales son con-

firmadas por la experiencia. Esto nos lleva a la conclusión de que la vía teórica de la lógica es adecuada para inquirir sobre las propiedades de la naturaleza siempre que las conclusiones resistan la confrontación experimental. Por otra parte, ios modelos físicos o hipótesis de trabajo que se establecen por vía lógica deben ser bien confrontados para es-

tablecer su validez. Este modelo de paquete de ondas, que nos ha hecho un gran servicio no sirve para mucho más; basta ver por las relaciones (30.l4) y (30.15) que las velocidades de grupo y de fase no son iguales lo que indica que el grupo se mueve como si fuera

en un medio dispersivo y se deforma y se destruye con el tiempo, como se vió en 27.11, lo que no coincide con la idea de una partícula que conserva siempre su compacídad, por lo que el modelo debe ser desechado para otros efectos.

.

(3024)

representa la energía transferida al cuerpo por unidad de tiempo y unidad de área, mientras que

cuántica hay que prescindir de estos conceptos de trayectoria y no tratar de encontrar leyes del movimiento de ias partículas más precisa que la que deriva de la interpretación estadística, es decir que la intensidad de la onda asociada en cada punto del espacio da la probabilidad relativa de encontrar la partícula en ese punto (interpretación de Born).

(3023)

Si por unidad de área de la superficie hay N electrones, el producto

sica cuántica no ocurre así; como vemos, las operaciones de medida o determinación

perturban el sistema (partícula en movimiento o reposo) introduciendo en el variaciones impredecibles en los parámetros que lo definen, de tal modo que no pudiéndose deter-

(30.122)

P = I/c

(3026)

Desde el punto de vista cuántico, el fotón, según (30.8), tiene un momento lineal p = h/7\ = hu/c.

j

Si sobre la unidad de superficie receptora inciden por unidad de tiempo n fotones de energía individual hv, y son todos absorbidos, la transferencia de momento lineal

por unidad de tiempo, o sea la presión, será nhv _ I P - -7- - C

` (3027)

ya que nhv es la intensidad de la onda incidente. Como se ve, también desde el punto de vista cuántico se llega a la misma conclusión. Si la superficie receptora fuera totalmente reflejante, la variación del momento para una intensidad incidente I, sería doble que en el caso de la absorción, es decir

P = 21/C

(30.223)

Si parte de la energía es absorbida y parte reflejada, habrá que hacer el cómputo correspondiente a cada una de las partes. b) Polarización de la luz.- 'Cuando una onda circularmente polarizada incide perpendicularmente sobre una superficie absorbente, si el vector eléctrico E de la onda gira con una velocidad angular oa, también los electrones adquirirán un giro análogo. La fuerza que el campo ejerce sobre los electrones será -eE y éstos en el medio viscoso adqui rirárr una velocidad lineal de rotación constante v sobre una circunferencia de radio r que vendrá dado por

r = v/w

(3029)

El momento cinético del electrón respecto a un eje normal al plano de la circunferencia que pase por su centro será dM = r X F dt

y el transmitido al electrón en la unidad de tiempo será ;_1=rF:"reE'

Por otra parte, la energía cedida por la onda al electrón en la unidad de tiempo será, como en el caso anterior, (30.22), W:-eEv=-eEc-ar con lo que se tiene una relación energía/momento angular -J-

,

Oblefl

,ll-La

(

~

)

Si los electrones absorben toda la intensidad incidente I, la transferencia de momento angular por unidad de superficie y unidad de tiempo será

M :Í/“J

(3032)

Desde el punto de vista cuántico, si ponemos I = nhv siendo n el número de fo-

tones que inciden perpendicularmente por unidad de superficie, tendremos nhv

nh

M:-í=¶,

C011

0.J=2'lTV

Por tanto, el momento angular, s, correspondiente a un fotón será

S -L - 27,

(30.34)

Este momento angular del fotón está dirigido para la luz dextrógira en sentido antipara-

lelo al de propagación, y para la luz levógira, en el mismo sentido. La luz linealmente polarizada se interpreta desde el punto de vista cuántico como una mezcla de fotones coherentes, la mitad dextrógiros y la otra mitad levógiros. La luz no polarizada, se explica como una mezcla de fotones dextrógiros y levó-

giros a partes iguales, pero incoherentes. ' . En cualquiera de estos dos casos el momento angular promedio es nulo.

31

dientes a dichos niveles, si E0 es el nivel fundamental o de menor energia, vienen dadas por la ley de distribución de Boltzman referidas a la población No del nivel fundamental, es de-

cir, para Nm por Nm :No @T(Em_E°)/ICT

(31.2)

y análoga para Nn, de donde la razón de las poblaciones de dos niveles en equilibrio térmico será, teniendo en cuenta (31.1) y (31.2) NH : exp - (En/kT/ : gw ¡W/¡CT Nm

Como se ha dicho en repetidas ocasiones, las fuentes naturales no producen extensos haces de luz coherente que mantengan su coherencia durante largo tiempo, debido a que sus átomos y moléculas cuando se desexcitan emiten espontáneamentecon independencia unos de otros. Sin embargo, cuando losátomos excitados se encuentran envueltos por una radiación de la misma frecuencia que ellos son capaces de emitir, se produce una emisión estimulada por la presencia de esta radiación, de talmodo que la luz emitida a causa de dicha inducción se produce en la misma dire_cción`y en -fase con la onda excitadora y con su misma frecuencia y polarización, con lo cual la onda aumenta su intensidad y grado de coherencia hasta extremos insospechados, alcanzándose potencias de 1012 W y longitudes de coherencia del orden de 107 in. ' _ El dispositivo para obtener estos resultados :es el LASER (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation). El primer láser fue construido por Maiman en 3 1960 con un monocristal de rubi sintético inspirándose en=los trabajos teóricos de Schalow y Tafwnes, quienes extendieron el principio del MASER (Microwave -Amplification _ by Stimulated Emission of Radiation) construido en 1954 por Tawnes, .de las microondas a-las frecuencias ópticas. 1 En este capitulo daremos una teoría elemental de la emisión estimulada y del funcionamiento del láser. - _ _

exp* (Em/kjv

(313) A

lo que nos dice que en el equilibrio los niveles de mayor energia están menos poblados que los de baja energia, ya que el último miembro siempre es menor que la unidad. _ Cuando los átomos que están en el nivel m absorben un fotón de frecuenciav dada por (31.1) pasan al estado 11. Por el contrario, los que están en el nivel de mayor energía, fz, tienden a descender espontáneamente al nivel rn emitiendo un fotón de frecuencia 1/ en cualquier dirección. Si llamamos Anm a la probabilidad de que un átomo pase espontáneamente enla unidad de tiempo del estado H al m, el número dNnm de átomos que pasarán en un tiem-` po dt será proporcional al número NH de átomos en ese estado, siendo el coeficiente de proporcionalidad Anm, con lo que podemos escribir dj)/nm :Anm›Nndt

(31.4)

Amr, se llama probabilidad de emíszórz espontánea, y su recíproca rnm se denomina vida medía del nivel En respecto a la transición n -› m. Por otro lado, cuando los átomos en el estado m están en un campo de radiación

de frecuencia v dada por (31.1), pueden absorber un fotón y pasar del estado m al n. Si designamos por Bmn la probabilidad de absorción de un fotón por un átomo en la unidad

de tiempo, el número de átomos de la población Nm que un tiempo dt pasarán al estado n será proporcional a Nm y ala densidad presente de radiación de frecuencia 1» que desig-

naremos por uu, es decir

dNm,,=Bmn f›a,Nm df

(31.5)

Los números Anm y Bm 1, se llaman coefzdefzres de Ez'fzsïez`rz. ,_

,

31.1.- Emisión espontánea _y emisión estimulada.- Consideremos encerrado en una cavidad un colectivo atómico o molecular cuantificado, es decir, un sistema que modifica su energia por transiciones cuánticas, en el cual existen niveles de A energia E0, E1 . . . _ Em , En. _ . . ,A a cada unode los cuales corresponden poblaciones atómicas respectivas de NO, N, , Nm, Nn. . . átomos por unidad de volumen. E_n dicha cavidad y en el equilibrio térmico a una temperatura T existirá una densidad espectral de energía radiante u(v) que vendrá dada por la Ley de Planck (2924). e Si nos fijamos en dos niveles como Em y En , tales que En >`Em, cuando los átomos pasan de En a Em tiene lugar la emisión de un foton de frecuencia _ E -E

_

_

'

En el equilibrio térmico a temperatura T las poblaciones atómicas correspon-

En el equilibrio térmico en la cavidad, las poblaciones de átomos correspondientes a distintos niveles de energía se mantienen estacionarias, lo que implica que el número

de átomos que en la unidad de tiempo pasan de n a m por emisión espontánea ha de ser igual al de los que pasan de m a rz por absorción de un fotón, por tanto, de (31 .4) y (31 .5) se obtiene Ánm Nn:Bmn Uv Nm

(31.6)

Llevando (31.6) a (31.3) teniendo en cuenta (31.1), se obtiene para la densidad espectral de energía u,, en el equilibrio

A

1

u.,=§-'f'-”i 2"”/kT mn

(31.7)

325

326

ÍÉL _ Ema _ -__"íìì

Como se ve, y puesto que A y B son números, esta distribución espectral de la densidad de energia, que deberia coincidir con la de Planck dada en (2924), no coincide, lo que indica que el razonamiento no ha sido correcto.

dNnm

babilidad de que se produzcan designaremos por Bnm, admitiendo ahora que en el equi-

librio térmico se produce una situación estacionaria si a las transiciones espontáneas se' le añaden las inducidas, dN,ì,m. que como en (31.5) vendrán dadas por (31-8)

y en la unidad de tiempo Avi m

: Brrrriflrz uu

(31.9)

De (31.6) y (31.9) se obtiene (Anm+ Bum uu)jV1z : Bfrzfzuz/'NW1

(`31'ìO)

De esta y la (31.3), deducimos H B

/tu

W-+--_L' m” = e _ HE A

(31 11)

''` ' '

O

E7 U UB!! TÚ

nm que debe ser válida para toda T. Si en (31.1 1) hacemos crecer T indefinidamente, el segundo miembro tiende a la unidad, mientras al crecer u,, con T, el primero tiende a ' B inn / B-11111 , de donde '

Bnm __ Bmw

(31-12,)

Fig. 31.1

)

f Cuando los niveies m y n son degenerados con grados de degeneración respectivos gm y gn, la (31.1 2) se escribe (gin/grzjigritrr : Bnm

(31 '12'/3

lo que hay que tener en cuenta siempre que se efectuen cálculos. lntrod_uciendo(31.12) en (31.1 1) se tiene

u = Arm ' U

Bram

J exp

se z J

que, efectivamente. tiene la forma de la ley de Planck (2924) y coincide con ella con sólo hacer A B

3 ïlfil

~- ~--~†-

,

C'

La razón de la emisión inducida a la espontánea se obtiene dividiendo (31.8) por (31.4) teniendo en cuenta (31 .l 3), de donde 3

7'*

af

1

í

81rhV3

(3115) _-

exp( -É;-)-I

31.2.- Amplificación.- Supongamos, fig. 31.1, una cavidad que contiene un medio activo con niveles de energia Em, Ementre otros, con poblaciones Nm, Nn por unidad de volumen. Supongamos también que en la dirección del eje de la cavidad avanza una onda de frecuencias comprendidas entre 1/ y 1/ +dz/ y densidad u(v) por unidad de frecuencia. Supongamos por otra parte que x la transición n -> m no es monocromática, sino que tiene un perfil especI» tral g = g(v), fig. 31.2, que representa la distribución relativa de energia en la linea espectral como función de 1/, centrada en la frecuencia central vo, como se trató en el cap. 20. La existencia de este perfil espectral significa que si en el nivel iz tenemos Nn átomos, estos no están todos en el estado que corresponde a la frecuencia central 1/0, sino que se reparten probabilisticamente por las demás frecuencias en proporción a las ordenadas que el perfil tiene en cada frecuencia. Este mismo razonamiento se aplica a la absorción; los átomos que pasan de m a n no suben todos al mismo nivel, sino que el nivel que alcanzan se reparte probabilisticamente según el mismo perfil, o bien _ que las mismas frecuencias que son capaces de emitir, son capaces de ab~ sorber, y en la misma proporción. El perfil. por tanto, es una curva de pro' babilidad, que se normaliza con la condición

0., cf)

P1g.31.z f (3113)

“'93

ví

De interpretar (31.l5) se obtienen dos consecuencias importantes. Por un lado se ve que la razón de la emisión inducida ala espontánea varia en el equlibrio térmico con el cubo de la frecuencia, lo que indica que en la zona de las microondas (bajas frecuencias) la emisión inducida predomina de modo natural sobre la espontánea, por lo que en príncipio fué relativamente fácil construir un maser. Por otra parte se ve que la relación depende de u,,. En (31 .l 5) u,, significa la densidad de radiación en el equilibrio térmico, pero si en la cavidad introducimos una densidad de radiación u,, superior a la correspondiente al equilibrio, podriamos hacer que la emisión inducida superase a la espontánea en las altas frecuencias (frecuencias ópticas)_con lo cual podriamos realizar un láser. Por otra parte, de (31.5) y (31.8), teniendo en cuenta (31 .12) se deduce que la razón de las transiciones estimuladas a las que se producen por absorción de un fotón es igual a Nn/Nm, de donde se concluye que las primeras exceden a las segundas si NH > Nm, lo que sólo puede ocurrir también fuera del equilibrio térmico, y recibe el nombre de in» versión de población. A

Para que tal coincidencia tenga lugar,ha de admitirse,como señaló Einstein en

1917, que además de la emisión espontánea se producen transiciones zìztiucídas o estímuladas n -> rn por la presencia en la cavidad de la radiación de frecuencia 11, cuya pro-

dNi1m : Bum ¿vn Uv df

Anm

›

u

j gmjd, I ¡

131.16)

O

ya que la probabilidad total de encontrar un átomo del nivel ri en un punto del perfil no puede ser mayor que la unidad. Consideremos ahora la acción que tiene lugar para una banda elemental de fre~ cuencias dv tratando de calcular el aumento o disminución de intensidad que sufre la onda al propagarse, debido a las emisiones estimuladas que se le suman y alas absorciones que se le restan. A dicha banda elemental corresponderá una densidad de energia u(v)d1/, y en ella se encontrarán una fracción de átomos de Nn dada por

dr/vn = N,,s(1/Jdv

327

3'?-3 ganancia integrada oz, dada por

El número de transiciones estimuladas que se producirán en estos átomos en la unidad de volumen y en un tiempo dt, y el de absorciones en la misma banda e-lemental serán según (31.8) y (31.5) Transicíones esrimuladas

n + rn

. . . . . . . . . . . . . _ .Bum N” UÍV) 3 (V Í dl/ df

” por absorción

m + n

. . . . . . . . . . . . ._

. B « 3 0 Nm

que llevadas a (3l.l8) nos permiten escribir

daZ; d 1 † B¿”'” ivY (afn _ 1vm)ai›0g(i›)ai,›

r

De todo cuanto antecede sededuce que para que la intensidad de la onda aumen te con X al propagarse en la cavidad, según (3l.23),a debe ser positiva, lo que implica en (31 .24) o en (31 .26) que . c h

donde hemos multiplicado por livo teniendo en cuenta que la frecuencia en una línea muy monocromática como son las de los láseres, se aparta muy poco de la frecuencia Central.

.

B . a.=% (NH-Nm)ihi›0

Bnm Nm WW/ å`(V} dl” df

(3125)

_:Bnn2/_;-,¡_N)f C tn m M0 dv) d X

Por la teoria del efecto Doppler sabemos que un emisor de frecuencia vo en reposo, emite enla dirección del eje x cuando se desplaza con velocidad vx con la frecuenciaiv dada por ` 3 V

,

”=%f1+?*/

(3122)

($1.29)

que tiene la solución inmediata

de donde _e

IU =I0 exp (aux)

($1.23)

donde IO es la intensidad inicial de la onda y 01,, es la constante de ganancia para la frecuencia v, que viene dada por

B av =_¿ÉmL (Nn- Nmjhvo g(v)

,

(3124)

vx =

c ;

~ Integrando (3l .24) para todo el campo de frecuencias se tiene la constante de

3

-

(_31.30)

o

que llevadas a (3128) dan para la fracción de moléculas que pueden emitir en el intervalo (V, v 4-dv) V c V -› 1 dM=g(v)dv=(§-Tr-111:)/2 exp(que llevada a (3124) da para la ganancia

y será máxima para v = 1/0, ya que g(z›0) es máxima.

dv* =

0

c2(v-v )2 c Í ;'0“dV

_. -- (3131) `

329

330

Por otra parte, la población Nm varía por dos causas: aumentando por la transición espontánea (3i .38) a costa de Nn, y disminuyendo por transición espontánea m -> O

d, = ranmr-2;'",,-ff/' e› I Q centro debido a la pequeña intensidad laQ) _aa_.-. -_ ....so |_.-._ ._. . -› i --- - teral ~ _ de la onda. A _ estas _ , pérdidas hay _ que_ anadir la de transmision en el espejo semi› transparente, la absorción en el otro, que ___., l nunca es perfecto y la difusión por imperd d -rf- l fecciones en ia superficie y en el medio. Poberturo 29c1b. n ob. n+1c1b. En total, se llega finalmente a una situación en que el perfil después de la abertuFig. 31.7 ra (reflexión) n + 1, es igual que el de la abertura n sólo que afectado de un factor complejo 7 que da cuenta con su módulo de la variación de amplitud, constante para todo el perfil, y con su argumento de la variación de fase a través del perfil como consecuencia del camino recorrido más los saltos producidos en las reflexiones, por lo que podemos poner _

_“, ¡__

-->

iba dll

L_d "J

333

¬/ = lil@ fi@

334

(3145)

Ãl) _

de donde

Como quiera que los modos axiales son transversales respecto al campo eléctrico y al magnético, se designan por TEM]-k, donde j y k representan el número de líneas nodales sobre los espejos, como se representa en la figura 31.9 para espejos de contorno . 1 _ . . circu ar. Pérdidas.- Como se ha mencionado,en la cavidad existen

3l.5.~ Condición umbral de oscilación» Cuando una

onda que tiene su origen en el punto P de la cavidad, fig. 31 .l2,se propaga en dirección perpendicular a los espejos y reflejándose dos yeces en ellos retorna al punto P después de recorrer un camino 2d, su intensidad inicial lo ,, habrá tenido una ganancia I, - IW. Aparte de esta ganancia, habrá tenido las pérdidas mencionadas en el apartado anterior,en el propio material activo y en las irregularidades de los espejos, así como las debidas a los factores de reflexión de \ TEM(O'0) los _ propios ` e s p e`os j q ue nunc a lle ga ri a l a u ni'd a d a u nque sean muy pro' plano-paralelos ximos a ella, etc. . . Designemos por 7 10,, la fracción de intensidad perdida por 4-contoccil unas y otras causas en el indicado recorrido. Para que haya ganancia neta y la intensidad crezca o al menos se mantenga la oscilación en la caviTEM (OD) dad, la ganancia debe ser mayor o igual que las pérdidas, es decir, de (3123) teniendo en cuenta que x = 2d,

s

1< 680 lúinenes. Pero esto en general no sucede, sino que en una lámpara de filamento de wolfrainio, p.e._ que consume 100 W produce no sólo luz amarilla, sino también roja y azul c ƒ de nienor eticiencial por tanto su rendimiento lia disminuido. La eficacia luminosa se define conio el cociente de los lúmenes que produce por la potencia consumida. Uiia lámpara de incandesceiicia de lOO W a su tensión de funcioiiainiento deberia producir eii el caso más favorable 68.000 lm, sin embargo sólo produce del orden de 1100, por taiito su reiidiiniento será

_ ¿LOE 5. 11 EE fl _ 100 t W

U

-åfïu

Fn.3aa

ciente 5 (339)

5 P `¬~

intensidad luminosa de una fuente puntual (I).- Supongamos que un emisor . › › .J _ puntual Pé fig. 33.17, emite en un angltålodspliuo dos uln flujo luminoso dF.

__

ds ____

dw

ummosa 6 cociente r (3310)

5 -¬

5 "É

P

~

¬__

Fisi- 33-9 5

i f l s La- umddf 9513 C“”d€la› ( Q d)

1 Cd = 1 Ím/Í €S€0†'ïüdl¿U“l Ilurninancia (E).- Cuando sobre un elemento de área dS llega un flujo lumino-

5

` _ ~c:› PJ 0 do; = ëìåccia .-

E: åšï = t

'-1

portaiito

,

:os d

Í1 1 _ “TF”

l33.l Í)

Esta ecuacion coiiticiie llos let es: lg _ la iluniinaiicia que soine un eleiiieiito de erficie produce el flujo tcfieiite de una fuente puntual es iii\'ers;iiiiente proporcioil cuadrado de la -.list-aitci. Li _ la iluiiiinaiicia es directaiiieiite proporcioiial al coseiio U7 C.:Í:K) Q; _.,__.›-L-J eri" ._. igulo de incidencia.

fisica iio tiene existciicia sino como limite de una siiperficie o volunieii, Las fuentes luniinosas siempre tienen una exteiisioii superficial por petitieiìii que esta sea. y solo poditlii ser coiisideiadas coiiio puntos niateiiiiiticos si sus «liiiieiisiones lineales son despi'eciablcs frente ala distaiicia a que están del receptor. coiiio sucede con las estrellas. (Í) "Í i Antiii ›¿¬~.iiiieiite sucede con los receptores. Ntiiiczi se utiliza un punto coiiio toi', sino una supert`icie_ _v asi. como se lia diclio. cuando liablanios de la iluiiišiitiiicia eii un punto. tomamos como tal la razoii entre el tluio recibido por un elenieiito tie siiperficie que contiene al punto _\' el area de la misma. Si tiuereiiios ser priciic-lis lieiiios de liacer uiia fotoiiietria para superficies y no para puntos. pues esta sera un caso limite. Luminancia (L).~ Esta magnitud fotornetiica tiene excepcional importancia N por ser la variable que aprecia el ojo cuaiido oliserva fuentes ex teiisas. Para def`iiiirla supoiigaiiios. fig. 33.9. un elemento de su_ . , ., . , _ °¿ __ _ __ _ perficie vS(tlioi1_iado por su traza) que emite luz eii todas las di_.. «-- /”' ÍJ/ recciones en todos sus puntos. y un receptor uc , con uniformidad 1 ` `_¡¿_ taniliiéii ti ue la noriiial C1 S' area't'._.'i lS i flistanci i r oe dS _ Supoiufanios __ __ -___ `__ N 3 ¿S Pq P Í-Omm un ¿HUMO O5 wrfr que ¿Si es mmmì 3 I Y que ¿___ -'^ 3 ~ ' - _ dw ias uiniensiones lineales de dS y dS' soii pequeñas respecto de r. '_'i (_.-f (__.

Los tubos fluorescentes tienen rendimientos rnuclio mas elevados, pues la emi-

¡ __: dF 0709

É G

33.10.- Fuentes no puntuales. Luniinaneia.- Eii -¿_†eiicr:_il el punto en

sion en las zonas centrales del espectro visible es más abundaiite. Exitancia luminosa {M).- Si un elemento de área dS emite en total y en todas las direcciones un flujo luminoso dl-Í, se define como exitancia de dicha superficie el co-

Cube 9 nombre “le mlensl a

Í,

l

5

. 7

La unidad es el /tri', (lx). l lx I l liii-al niì. La iluniinaiicia en un puiito de una superficie se define como la iluiiiinaiicia en un entorno de superficie que contiene al punto. Relación intensidad-ilurninancia; ley del cuadrado de la distancia.- Si por un cono de ángulo solido dco se propaga un flujo dl: procedente de una fuente puntual P. fig. 33.8, la intensidad correspondiente sera l 2 dl: dco. ` Si este flujo incide sobre una superficie JS. cuya nornial foriiia 5 5 . d con el eje ¿C1 com un ánguìo 5 _ la ìlumìmmia que recmc Sem

N

Como se ve, la eficacia luminosa de las lániparas de incandescencia es extraordinariainente baja. Cuando la tensión de la red baja, la emisión se desplaza liaeia el rojo y el rendiniieiito disminuye mas todavia.

. uF il"-' = -El-š

*Í

»Í es

iasiii

"lO-

dw _

Fig. 33.7

dl:

De cada punto de dS saldra un cono elemental de luz. cuyo flujo recogerá el receptor dS'. Estos conos, dadas las pequenas dimensiones liiieales de dS y dS' frente a r, pueden considerarse todos de igual angulo solido, dca, y que todos transportan el misnio flujo supuesta la emisión uniforme. . , . , ._ El fluio total ol: que dS i recibe de dS. v solo a iuagar por la geometria de la fi` . , . _ . gura, sera- proporcional a dS y a dw en tanto no nos salgamos de los ordenes iiifiiiitesiniriles que manejamos y siempre que el angulo ui que la normal a ;cìS forma con la direccion

de emisión, iz permanezca coiistaiite. Sin eniliargo, diclio flujo, dF. depende eii general

36]

362

mal, e la a la que presentan en la dirección cr, podremos escribir en virtui;l de (_33.l 7') del angulo oz a traves de un factor f(ct) que en cada caso habrá que determinar. Todas estas condiciones las podemos C.expresar escribiendo dF=L,1dsa'wƒ`(;t)

L _

(3313,) L:

,¬ v ¬ oe 1 _-.f . La se¬ llama , I liimifiaiicia - de la superficie _ enii. El -coeficiente proporcionalidad sora en la direccion definida por el angulo (1, y podemos poner

aF L@ Z asaofi/.ly

>

'

'

'

'

¡ot dS cos ot

de donde I0¿=I0 cos ot _

Ley de Lambert

(3318)

(33-14)

_ Claridad.- Cuando en la experiencia. fig. 33.10, el receptor dS' es la pupila del oio. tenemos una sensacion subjetiva que se llama Claridad' la cual varía con la lu-e niinancia. Lumiiiancias iguales producen la misma claridad subietixfa. Emisores y difusores perfectos. Lev de Lambert.- Su» pongamos fig. 33.10 una superficie emisora dS limitada por un N diafragma eleinental D. Si fijados ot y r modificainos los diámetros de D y de dS .podremos constatar la proporcionalidad de dF Q Uì/U respecto a dS _V dco. Pero si dejando fijos el diámetro de D y r;lS' "' Z _ ec* Í r c hacernos girar dS en torno aun eje normal al plano del dibujo, po\ r drenios deterniinar en (33.1 3) el producto LVY f(oi). i Existen ciertos emisores \ difusores para los cuales el producto La f(;r `) es el ' producto de una constante por cos cr, por tanto en ellos se cumple '

10 ¿IS cos oi

.

.

,

.

.

Es decir, que en los emisores y difusores perfecto la intensidad varia con el coseno del ángulo que la dirección de emisión forma con la ir -rinal. Todo emisor o difusor que cumpla con esta ley se dice que emite con arreglo a la ley del coseno o ley tic Lambert. Los metales fundidos cumplen la ley del coserio con bastante aproxinifrción. Como difusor patrón se suele utilizar el oxido de magnesio, que sc obtiene quemando una cinta de magnesio y recogiendo el humo blanco sobre una chapa de zinc. Tainbiéii soii buenos difusores los vidrios esrnerilados, las porcelanas blancas esnieriladas, el yeso, ei

L

P/si

“ ”

F-

›-ig.

`

d

s'

t

.

blanco de barita,etc. Como hemos dicho, de ahora en adelante supondremos que tratamos con emisores y difusores perfectos y emplearemos para su lumiiiancia constante el simbolo L.

33 ¡O

33.1 1 .- Intensidad de fuentes extensas.- Hemos definido ia intensidad

_

para fuentes extensas, según (33.i7'_) por la ecuacion

ff dj = cosa

[._1=LdScosoi

(3319,)

(33,i5) La :L : Cte

estos sonlos llamaoos'emi'sores 0 cïzfzisoresgaeijfecros y tambien Zambemwzos, que son los que considerarenios siempre en este estudio mientras no se diga lo contrario. Para ellos escnbireinos la (3313,) en la forma 1

ti/FIL LIS dw coser

(3316) 1

obien

L:

af (JS dw eosoi

p (33-17)

Pero dF,-'dw tiene las dimensiones de una intensidad. Esta es la írzïeizsídad de jizefizes extensas, la, en la dirección cv respecto a su normal, con lo que podremos escribir

que a priori parece no guardar gran relación coii la defiiiida para fuentes puntuales,`siii einbargo existe perfecta concordancia funcional. En efecto, si tratamos de iluminar la superficie dS2, fig. 33.1] y queremos que tenga una iluniinancia E, deberá recibir un flujo dF, tal que E = dF/dS2 y esto lo podemos hacer poniendo en P una fuente puntual o una extensa dS1. Ni N2 Si lo hacemos con fuente puntual, todo ei flujo ira realmente dentro de un único cono de ángulo sólido dca. Si ai i P' G2 se hace con fuente extensa, parte del flujo que recibe dS2 va O por fuera del cono doo, pero esto no importa, el caso es que r ~~}~-s--- W_ W W llega apareciendo en la boca de un cono que con su vértice en dw g ds? dST¡se apoya en ÓS2- Por otra parte las dos formas de definir la intensidad cumplen con la ley del cuadrado de la distancia Fig, 33.11 i y la del coseno que relacionan la intensidad con la iluminancia. , . dS2 cosoiz En efecto, teniendo en cuenta (,33.l6) y (3319), y que doo = --ff» ,podremos escribir para el flujo que dS¿ recibe de dS1 W

la L : (JS cos-1:

(33-17')

La unidad de luminancia es el m`r(nt), int = lcd/im2_ Ley de Lambert.- Cuando una superficie emisora se observa desde distintos angulos. se ve para muchos emisores y difusores que la claridad que presentan es inde en. _, , . ., P diente del angulo de observaciomcomo ocurre con el papel mate o la escayola. Por esta razon las esferas opal luminosas se ven como discos planos. Ello quiere decir que estamos en presencia de emisores o difusores perfectos cuya lumiiiancia y claridad son inde~~ pendientes de la direccion de observación. Si llamamos, lo a la intensidad seøún U la nor _

dF= (L as, cos aga@ :nl do :ral

(33-20)

y para la iluminancia ¿F

_

[al cos az

_

E _ dS2 _

r2

(33-21)

363

364

. 1

que concuerda dimensionalmente con (33.12). ' La unica diferencia esencial, es que cuando la fuente es puntual, la formula (3312) es aplicable con toda exactitud, a menos de infinitesimos de 29 orden por no ser las incidencias constantes para cualquier valor de r, mientras que si la fuente es cx-~ tensa la (3321) es sólo aproximada, ya que ni r puede considerarse constante para todos los conos. ni los ángulos «pueden considerarse constantes. El error aumenta al disminuir r, supuestas constantes dS, y dS2 e igualmente orientadas. Este efecto lo estudiamos cn el parrafo siguiente.

33.12.- Validez de la ley del cuadrado de la distancia.-

1

dS=pdpdip

I

'

ds'

§i›

_?

'Q

22

Q, _fi” al

te

y suponiendo que S tiene una luminancia L, la intensidad de dS eii la dirección AO, que forma un angulo ot con su normal sera, según

Fic 33 12 C' '

(_33_19)

t

*fe

se ;_

rz

(r + p 2

E: L

ti

2

d

l

f

_

_

G

, _/ C1

/

/

”

"'~_"`

2

i

t

» dS ¿

(3326)

_

Si llamamos la a la intensidad en la dirección oz, tendremos para el flujo que .dS emite en el ángulo sólido dwsegún (33.20)

dF=Ia dci-=L dS cosa dw =2rrL dS send cos oí da: Integrando para toda la semiesfera, `

( 33.22 )

Si se hubiese aplicado directamente la ley del cuadrado de la distancia para ha-

llar la iluminancia en O, teniendo en cuenta que dS' y S son normales a PO, hubiéramos obtenido según (3321)

_ ds

2

dx S WR -_ í --, _ = I, R2 +r2 = L R2 +r2 : rrL sen 2 Oamax dz

(33-25)

r

c) Relación f1ujo-luminancia.- Consideremos fig. 33.14 un elemento de emi» sor perfecto dS, que emite un flujo total F en el semiespacio superior y presenta una lunnnancia L. Tratemos de hallar la relación que liga F con L teniendo en cuenta que el fenómeno es de revolución en torno al eje vertical,y tomemos como elemento de superficie, do', la d L a zona de amplitud da cuya area será do = 2rrr2 se-nor da. El ángulo sólido que subtiende do desde el centro de la esfera será dw = de

"\ \

›

/,___

R2+¡_2

L 1 cos ii 1 cosa ds 1 as2 2 2

= *F = 27TS€1'iO¿ Cl0¿.

Zø"'_'_--I,-_

¬

Haciendo el cambio x = r2 +p2, dx = 2pdp Í E = rrLr 2 r

:L1 cosa¡dS1dw= y la iluminancia en dS'2

A

IQ

*Í-¬_ pep = 2 L

dF=I0¿1dw =I0 cos oi, do; =

L

2

integrando para toda la superficie y teniendo en cuenta que r es constante R

(3314)

dF :L1 E: ïS_

dE= -:L_§-íï2'pdpdW

.:)7T

(12

Fig. 33.13

y la iluminaiicia que este elemento de superficie produce eii O, teniendo en cuenta la ley del cuadrado de la distancia y el coseno del angulo de incidencia, será

A02

Ia = L dS cos ci

b) Relación fotométrica entre dos elementos de superficie.- Supongamos fig. 33.13, dos elementos de superficie dS¡ y dS2, y que la distancia r entre ellos forma con sus normales ángulos al y ct 2. El flujo que dS2 recibe de dS1, supuesto éste emisor perQ.. 52 fecto, será según las (33.18) y (33.20)

Í, C05 Q: E

L cosz oipdpd

\

33.13.- Relaciones fotométricas.- Del contenido de los párrafos antee riores se deducen una serie de importantes relaciones entre las distintas magnitudes fotométricas, que vamos a resumir. ` «a) Relación intensidad-luminancia.- Según (33.l9) i

(si

11 :LaS c@su=L cosafldpdw J

(3323)

Para obtener un error < 1 O/0, debería ser R/r < 0,1. A un disco de 50 cm. de diámetro se le puede aplicar la ley del cuadrado de la distancia con un error menor que 1 °/C, si se recibe su luz a una distancia mayor que 2,5 m.

_ E.-

1».e\,.feU

2

6: 100 Lší Z 100 %

Hemos di-

Descompongamos S en elementos de superficie dS limi-

r2

luego el error relativo que se comete será en O/si

g

cho que esta ley es exacta para el caso de las fuentes puntuales y para elementos infinitesimales de áreas receptora y emisora. Calculernos el error en el caso de fuente finita, para lo cual supongamos que un disco circular de radio R, fig. 33.12, emite con arreglo a la ley de Lambert. y tratemos de determinar la iluminancia que produce en un punto O de una superficie dS' paralela al disco, a dv una distancia PO = r. A tados por dos circunferencias concéntricas de radios p y ,O +dp, 3; dos radios que forman entre si un ángulo dtp. El area del ele,~¬ mento de superficie que entorna al punto A a una distancia p del centro, sera

S- É

Fig. 33-14

3 '

1fTl'/2

F=2†rLfdSj

, sena cos ot-dot 0

A

(33-27)

1

365

366 minada y es muy variable de unos individuos a otros entre 4° y lOO a partir del centro de la fóvoa. Analogamente, el uinlar-¿il absoluto minimo varia muclio de unos individuos a otros jv puede estimarse en promedio en i pedi/n12. En cuanto a la influencia del color de la luz del test,el menor umbral, como podría preversc por el efecto Purkinje, se obtiene con luz de ?\ = 510 nm, siendo digno de destacar que cuando se opera con luz roja la curva de variación del umbral con la adaptación sólo tiene fase fotópica, lo que indica que con luz roja el ojo opera en visión foveal. Un individuo adaptado a un ambiente de buena claridad con luz roja puede pasar a la oscuridad y rapidamente percibe toda clase de detalles pues tliclia luz apenas tiene acción sobre la retina lateral, que es la que se utiliza en bajas luniinosidades. Un vigía nocturno antes de liacer su puesto deberia permanecer una bora en la oscui'idad para adaptarse, pero puede permanecer con gafas rojas en un ambiente de luz blanca lo cual le produce aproximadamente el mismo efecto. El tamaño del test influye igualmente en el valor del umbral observándose, liasta cierto punto, que a medida que crece el área del test disminuye la luminancia que necesita tener para ser percibido. La relación entre la luminancia minima y el tamano del test es una relación exponencial. Si se opera con test circulares, que es lo mas co-rrie'i1te. 'y designamos por 0 el area de retina que cubre su imagen, la relación indicada, en visión foveal, es

o bien F=†fL JS

(3328)

Si queremos hallar el flujo emitido en un cono de semiángulo cr con la normal, tendremos por (33.273) F 1 2irL (ZST

o

sen o cos er dot ± rrLcZS S@I120f

(3329)

d) Relación iluminancia-luminanciaf Supongamos un elemento de difusor perfecto dS que recibe un flujo F y lo reemite totalmente con arreglo a la ley del C056no. Entonces se comportará como un emisor perfecto que emite un flujo F y por tanto presentará una luminancia L dada por (3328). ' Por otra parte. la iluminación recibida será E = F/dS¬ por tanto, para hallar la relación buscada bastará dividir los dos miembros de (3328) por dS, con lo que ten--dremos '

E =rL

(3330)

Lu off = cte.

(3332)

Si el difusor tubiera un factor de retlectancia p, la (3330) se convertiría en

pE==rL

(3331)

33.14.- Umbrales absoluto y diferencial de luminancia. a) Umbral absoluto.- Se denomina umbral absoluto de luminancia, Lu, a la luminancia ni inima perceptible. El número de factores de que depende el umbral absoluto es tan elevado que se impone un analisis del problema. Entre estos factores cabe citar como mas importantes: el estado de adaptación previa dei ojo, la zona de la retina en que se hace la observación. el tamaño del test. el intervalo de tiempo que esta expuesto a la observación. _\' el color. 4" li) Efecto de la aa'aptacz`o';z_ ~ Se sat-e por experien-cia que, cuando el ojo esta adaptado a la claridad, al penetrar A en un recinto oscuro apenas se perciben detalles. El número T \ \ de detalles perceptibles crece con el tiempo de adaptación a 1 \ la .oscuridad o. lo que es igual. el umbral absoluto de lumi-» ~`_ nancia disminuye con el tiempo. Para estudiar el efecto de la ._ ro adaptación podemos realizar la siguiente experiencia: Un inCd/mz) ¡u. dividuo adaptado a la claridad en una habitación de paredes blancas con una luminancia de lOO cd/rnz se introduce en una liabita- 'h ._! ción oscura donde hay una pequeña playa luminosa de la cual el . . . Cn mismo observador puede gobernar la lumrnancia desde cero basta Q ....I ser percibida, o desde cuando es netamente percibida hasta que

s 1*” 4m_LÍUf0> W L L WHO F Sawlïmon Ponlo dz \`É1'@_m05 en ei CäP1ï\11° j 1, I _ Slìlïlltfilïe\ ¬. › ¬ ¬ ^ ¬ de play ..as de . distinto fi" ¬ _ En todo tasp lalobseixaeioii con jines totometiicos color, requiere t "de Sc¬¬uin1¬ c 1 all ¿S811 '.¿ue units coliiic five: LH S )Ohservador normal en visión cromática. 2)v Cam ios de observación de unos 29. rara rue l la visión sea foveal. 3) Altas luminancias (superiores a 3 nit) para que no intervenga el efecto Purlsinje. 4) Campo circundante blanco de 25 a 30a con una luminancia del orden de las que se comparan para mantener la adaptación del ojo. Entre los muchos metodos para hacer fotometria lieterocroma_ los más utiliza-~ dos son los de przrpadeo. Un fotóinetro tipico que opera con este metodo es el de Guild, fig. 34.7. L La fuente patrón tl ) iluniina perpendicularinente a un difusor, D. por medio d FD l prisma de reflexión total P, siendo observado el difusor a 45° respecto a su normal. La fuente prohlemajtìi), ilumina a un doble sector giratorio de 90°, también difusor, que puede girar con velocidad variable. _ , El ojo situado en O, observa a través de una cavidad cerrada y pintada por den~ tro de blanco difusor. La boca B permite ver bajo un angulo de 2° ei sector S y el difusor D. La lámpara L, a través de un vidrio esinerilado V, da luz difusa a la cavidad, que proporciona al ojo el campo circundante a que hemos aludido. Ei aspecto del campo es el de la parte baja. El método de medida en el banco fotometrico es ei siguiente: puesto en marcha el sector giratorio con muy poca velocidad. se ven alternativamente S y D con los colores

L

1:1-Í2

TÃ l , j

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.- _. -_. _. __.. . , |____._

É :K 3%

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Para liacer la igualación de claridad de los campos basta desplazar el cabezal hacia una u otra de las fuentes, y cuando se lia conseguido se aplica como en el caso anterior la ley del cuadrado de la distancia. Como quiera que los fotómetros siempre en realidad soii disimétricos, convie-ne escribir la relación fotométrica de medida en la forma

-`|

\ $31”

\

Lo que resuelve el problema si se conoce 11 y se miden dj y d2_ Cabezal Lummer-Brohdum.- El método que corrientemente se emplea para presentar al ojo las dos playas a enjuiciar es el cubo de Lummer-Brohdum,f1g. 34.3, que está serrado por un piano diagonal y pulimentado, siendo (b) vaciadas en la cara de contacto de una de las partes una figura de la forma que se indica en la parte baja. La luz que 1 2 procede de la fuente (1) sufre reflexión total en las zonas vidrio-aire, mientras que en las zonas de contacto pasa. Análogamente, la luz procedente de la fuente (2) sufre re_ 7 flexión total en las superficies vidrio-aire saliendo fuera del campo de vision, mientras Flïz 34 r que la que va por las zonas de contacto pasa v es vista. El aspecto que presenta el campo es el de la parte baja. Las partes blancas l y l' correspondenfa la luz de la fuente ti), y (2) las rayadas 2 y 2' a la (2). Cuando las luminancias están igualadas, las cuatro zonas prej ` _ . . ., Se hace con mayor preclslon j Seman Igual Cjandad Y al estar emremezcjadas ja lguajaclon Y Í (4 °~ L2

lineas de separación de las playas.

\

/ P@ \

(342)

Para aumentar la precision se recurre al méroao de contraste que consiste en ponerle al cubo unas láminas de vidrio lil y L2, de modo que, por pérdidas debida ala reflexión, las zonas l' y 2' rebajan su luminancia aproximadamente en un 8”/O, con lo cual al igualarse las playas l y 2 se igualan las l' y 2f, pero además se iguala también el contraste entre 1 y 2' con el que se produce entre l' y 2, a lo que el ojo es más sensi ble que a la igualación absoluta. Con esto se llega ala precisión de un 2°/Q. El cabezal fotométrico se dispone como indica la fig. 34.4. En el banco fotométrico fig. 34.5 se monta perpendicularmente a la linea (1) (2) de las fuentes a comparar un difusor opaco, D. Por medio de dos espejos o prismas, P, de reflexión total se pasa la luz que difunden sus caras a través del cubo C,siendo observado a través de un ocular constituido por una lente L con su foco en el plano diagonal del cubo para ver con toda nitidez las

..__.._._..___.-......-...Q

/

ll [11

É - El

/vãx

en la cual K no cambia, o girando el cabezal 180° con lo cual aparecerá K en el nuevo ajuste cambiada de miembro. Otros métodos para la igualación de los campos.- El metodo que hemos utilizado consiste en dejar las fuentes fijas y desplazar el difusor del cabezal fotométrico en el banco hasta llegar a igualar. pero podria dejarse fijo en el centro del campo e intercalar entre las fuentes y el difusor filtros neutros absorbentes de transmitancia conocida: sistemas de polarizadores, que ex . , . tinguen con arreglo al cos? del angulo de sus planos de transmisión; discos giratorios con sectores huecos, fig. 34.6,que disminuyen la iluminancia en la razón del área hueca ala totai, = = Et_¢ƒ360), con arreglo a la iey de Talbot, y que tienen la ventaja de no ser selectivos. Existen fotómetros que emplean estos me-

L

373

374 ga a la tensión de descarga. La medida se hace siempre dentro de la tensión de saturación, en la cual las in-tensidades de corriente son proporcionales a las iluminancias. b) Fotomultipiicadores electrónicosf Las corrientes eléctricas que se producen en las células fotoeléctricas son muy débiles, pe~ E3 u ro pueden amplificarse utilizando en su lugar los fotomultiplicadores electrónicos. La figura 34.10 representa un esquema de fotomultipliE1 cador. La luz incidente en el fotocátodo a potencial V0 negativo arran ca algunos electrones que son acelerados sobre un electrodo Kdífzodoj a potencial V1 positivo respecto a V0, donde por emisión secundaria » V _ se liberan muchos más electrones de los que incidieron. Como los potenciales de los siguientes dinodos son crecientes, el número de electrones liberados se va multiplicando. Con diez dinodos y una diferencia de potencial extrema de unos 1500 V se obtiene un factor de multiplicación mayor que 106.

propios de cada fuente. Si se aumenta la velocidad del sector de tal modo que haya su-

perposición de las imagenes de S y D en retina, se ve, por la persistencia, un color suma de los dos, pero queda un parpadeo claro-oscuro. Despla~ zando el fotómetro respecto de las fuentes, como en el caso dela fotometría liomocroma, y sin modificar la frecuencia del sector se observa que el parpadeo aumenta o disminuye, pudiendo encontrarse una posicion para la cual es minimo. Se rebaja entonces la velocidad de giro del sector y se vuelve a hacer el ajuste de distancias entre el cabezal y las fuentes para tener de nuevo el minimo parpadeo. Cuando se tiene el parpadeo mínimo con la minima frecuencia, se obtiene la intensidad de la fuente problema aplicando la ley del cuadrado de la distancia como en fotometría homocroma.

D

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(1) __

\\ fifš B \\§\ 2° \§\,
\ ¢;,__`;L._.ha determinado la posición de la pupila de salida hallando P' imagen 1 6T1P :L-Cb. Fdç PL de P por medio de los rayos PH y PFOC. Como se ve, la pupila de salik da es virtual, y el ojo, en el mismo espacio que P.S., encuentra una liV mitación en el campo visual por causa de la pupila de salida, a la que ¡,-›E_ R5 no se pue de acercar (visión incómoda de ojo de cerradura) debido a la P l presencia del ocular, operando así la P.S. también corno lucarna de sali, _ _ , _ P' _ -¬ ¬›_., da, por lo que la montura del objetivo actua como diafragma de campo. (C ) ` "t r ¿D H FGC ~

-

.›

.

.

- 1

F

*

oc

el 'aprovechamiento de la luz que entra en la zona del eje. Entre los tipos principales de telescopios reflectores, citaremos el de Newton, fig. ___ E1: 37.10, en el cual el espejo objetivo E1 da una imagen que se saca fuera del tubo por medio de un espejo plano E2, donde se observa con un ocular OC. s El montaje de Cassegrain, fig. 37.11, está formado por dos espejos esféricos, en el cual el espejo E2 devuelve la imagen en el mismo eje para ser observada. Los espejos utilizados pueden ser esféricos o parabólicos. Los primeros tieE2 nen el inconveniente de su aberración esférica, aunque pueden estar libres de coma y astigmatismo si el diafragma de abertura se coloca en el centro de curvatura del espejo. Los segundos, el de dar fuera del eje imágenes de mala calidad porque inmediatamente aparecen el coma y el astigmatismo. Para el cálculo de aumentos, tamaños y posición de imágenes se emplean 0 C- ã las mismas nomias que para los refractores, teniendo en cuenta las normas para sistemas de espejos dadas en 4.12. Fig. 37.10 Entre los catadióptricos, citaremos el de Malzsutov, fig. 37.12, que emplea un espejo esférico con un menisco divergente situado en el centro de curvatura del espejo para corregir la aberración esférica. ' E1 La cámara Schmidt, fig. 37.13, consta de un espejo esférico y una lámina especial (placa Schmidt), plano convexa en el centro y cóncava en el borde, con la 0:., cual se corrige la aberración esférica. Su ecuación puede calcularse por la condi""`-¶-__ ción de que los caminos ópticos desde un plano de onda incidente como el rr, hasta E2 _ , EF' sean todos iguales. Se emplea más como objetivo fotográfico que como objetivo de anteojo. En general, los campos que se cubren con anteojos astronómicos para obseivacion estelar son de algunos minutos de arco y aberturas que no sobrepasan f/10 Fig. 37.11 Sin embargo, con la cámara Schmidt se llega a aberturas f/0,6 y campos de 10°. Citaremos finalmente el telescopio de Monte Palomar, en el cual el espejo El es parabólico con 5 m. de diámetro, tallado en vidrio, con un peso de l5 Tm, focal l 6 m. y abertura f/3,3. Acoplándole el espejo E2 para completar el montaje de CasseP” P P' ` :rr 'é grain, su focal pasa a ser de 79 m. con f/16, y con un tercer espejo, a 150 m. con f/30. El campo que puede fotografiar es de unos minutos con un Í -_ __ ___ - alcance de l billón de años luz. ~

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77

as. I (d)

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l Fig. 37.9

37.9.- Telescopios de eSpejo.- Se llaman así aquellos en los que el objetivo consta de uno o más espejos (objetivos catóptricos), o de lentes y espejos conjuntae mente (catadióptricos). Los objetivos de espejos tienen ciertas ventajas como son las de ser acromáticos; que con el tallado de una sola superficie se resuelve el problema; y que los defectos de homogeneidad del vidrio, que en los dióptricos deteriora notablemente la imagen, aqui' no se manifiestan, ya que siempre se usan espejados en la cara anterior (espejos frontales). Por otra parte el plegado de los rayos reduce su longitud. Como inconveniente citaremos que siempre el segundo espejo o el receptor de la imagen impide

p¡g_ 37-_13

En este

estudio distinguiremos dos casos según se trate de observar objetos puntua-

-

~ ~ ~~ _,

37.10.- Teoría fotométrìca de los anteojos.jj

les o extensos. a) Objetos puntuales.- Si a ojo desnudo observamos un objeto puntual que emite a una distancia rø con intensidadl teniendo en cuenta la relación dF = l dw, si la pupila del ojo tiene un radio po, el flujo total, FO, que entrará en el ojo será

- 37-12 ~ Flg-

C j-

s

. :;:ïfl

El angulo ca' bajo el cual se vela P.S. desde el ojo es el Semicam-

po aparente de iluminación media y, como se ve, depende de la posición del ojo. Dividiendolo por los aumentos se tiene el campo real que cubre el anteojo. El anteojo de Galileo se suele emplear con pocos aumentos, en cuyo caso se construye con un doblete en el objetivo y una lente divergente simple en el ocular, y se usa para gemelos de teatro con 2 a 4 au~ mentos.

I

i s

___. , ~~~ ~~~~~~

à _

2

p0=¡¬_"P0

(37.8)

_ ro y el punto luminoso será visible si FO es al menos igual al flujo um`ora1_ Supongamos ahora que observamos a una distancia ra un punto que emite la misma intensidad I, con un anteojo cuya P.E. tiene un radio pa. El flujo total, Fa, que entra por el anteojo será 'rrpå 0'

409

La razón de estos dos flujos será, si hacemos la suposición de observar el mismo punto con y sin anteojo, es decir ro = ra, lo que en general es justificado al ser despreciable la longitud del anteojo frente a la distancia al objeto

410

odS ¿ÍF0 :L T

o bien, integrando

-

Fi PZ Fo _ Pš

Pero todo el flujo luminoso que llega a la P.E. del anteojo no llega al ojo debido a las pérdidas por reflexiones y absorciones internas. Lamando Få al flujo que sale r

'2

Fa

pa

37.10

Poniendo en la ecuación anterior en lugar del radio de la P.E. el de la P.S., på, y teniendo en cuenta la relación (37.3), pa = --F' på, se podrá escribir

Fj 12,22 _=†P'2F0 på

($7.11)

Al colocar el ojo detrás del anteojo, puede suceder que la pupila del ojo sea menor, igual o mayor que la P.S. del anteojo. Si po á på, la pupila del ojo actúa como pupila de salida del instrumento, y su imagen anterior como P.E. En cualquiera de las alter~ nativas resultará po = på y la razón de los flujos que penetran por el ojo con y sin instrumento será fl”. Si po > på, la razón de los flujos será tf” pšf/på, que es menor que en el ca-

so en que po á på. Supongamos que al observar una estrella de intensidad I a distancia ro, sin ins-

trumento, el flujo que se recibe de ella es justamente el flujo umbral. Consideremos ahora otra estrella de la misma intensidad que observada a distancia ra con el anteojo en las

condiciones más favorables (po < på), el flujo que se recibe de ella es también el flujo umbral', es decir, Pg = FO. De (37.8) y (37.9) introduciendo el factor de transmitancia y pa = 1¬'p§, = F' po se tiene 2

†i“-r'ͧ- =2

(3712)

¿I

de donde, poniendo \/r 2 1, resulta

fa = F' fo

(37.13)

lo que nos dice que podemos ver estrellas de la misma intensidad a una distancia F' ve-7

ces mayor con el anteojo, y explica lo dicho de que con el telescopio de Monte Palomar se alcancen distancias de l billón de años luz.

b) Objetos extensos.- Supongamos un pequeño objeto de área S y luminancia L observado por el ojo a distancia ro. Todo el flujo que procedente de S penetra por la pupila del ojo caerá sobre el área S2, de la imagen en la retina. Si llamamos 0 al área de la pupila, en virtud de (3326 ) el flujo elemental que de un elemento dS llega a la pupila del ojo suponiendo 0 y dS normales a la línea de observación, será

. . (3714)

Observemos el mismo objeto a través del anteojo. El flujo que penetra por el. suponiendo el objeto suficientemente alejado para poder tomar ro = ra, será

"på Fa =Ls-rg-

por la P.S. del anteojo y 7' al factor de transmitancia, tendremos

_ =†-

_ ff på F0 *LS É*

(3715)_

de donde ,$1 _ = F0

wi

"supe Oàtu

=i¬'2 (Po) _gl 2

(

37.16l

sin tener en cuenta el factor de transmitancia 'r del anteojo. En el caso más favorable (po < på), la razón de los flujos que penetran en el ojo. con y sin instrumento será

Fa' = i¬'2 F0

~.~±CLtu_* ¡_-_

en 4.?, por ll, H', F, Fl En realidad, la figura 4.3 corres-

ponde a un microscopio compuesto jr todas las conclusiones obtenidas allí son aplicables a este estudio. übservaeiòn.- Situado el objetos' debidamente iluminado ante el objetivo, jf mas alejado que su foco F, , cl objetivo produce una imagen real, ya i que es observada a través del ocular. Para que la observacion sea comoda conviene que la imagen på que el ocular produce de y'-, sea virtual, pues si fuera real aparecería llorando en el espacio :t la derecha del ocular. Pero no solo es conveniente que sea virtual, sino que aparezca cn el inlìnito', de este modo, el ojo no necesita esfuerzo de acomodacion y puede observar durante largo tiempo sin fatiga. La observacion en estas condiciones exige que el haz de rayos que parte de un punto cualquiera del objeto salga del microscopio en forma de baa paralelo, lo que implica a su ver, dos condiciones: que el objeto v1 esté en el foco objeto, F, del sistema total, jr que la imagen 3;', que el objetivo produce de jr, aparesca en el foco objeto del ocular. La fig. 33.3 representa la marcha de rayos procedentes de un punto D. del objeto a trio-es de un microscopio con el acoplamiento indicado y objeto en el foco anterior F.

funcionen con la correccion de aberraciones adecuada, es menester que cada objetivo opere con la longitutl optica para la que ba sido calculado. Para ello el tubo de los microscopios en cujvos e:-Ltremos van insertados el objetivo je' el ocular es alargable 1.' tiene grabada una escala que suclc ir de 130' a lS-El 111111 para podcr ltaccr este fuitdaittcntal ajuste.

F- su 3 lg' `

lvlecanismo de enfoque.- Ajustado el microscopio a la longitud optica que requiere su objetivo c iluminada la preparacion. se busca la imagen nítida riesplazando por medio ce una cremallera el cuerpo completo del microscopio, pero no desplafando el ocular respecto al objetivo como en los telescopios, pues ello modificaría la longitud optica. Por otra parte, sobre todo cuando el microscopio opera con muchos aumentos (focal del objetivo mujv corta), pccjuefios desplaaantieittos del tubo producen grandes desplaicamientos de la imagen. lo que liaria itnposiblc enfocar por desplazamiento del ocular. Por esta rason tam-

bien los microscopios suelen llevar un tornillo microtnetnco de avance ntujf lento para afi nado del cn foquc. 33.4.- Poder rosollltlvü lltll lrtoohcrelttcl.- Para estudiar el poder resolutivo del microscopio nos cctlircttios al del objetivo, pues si cstc no da iintigcnes de dos puntos proetinios rcsue1tas.cl ocular no puede ltacer nada para scpararlas, gr, cn el mejor de los

,

casos, ampeorara la resolucion con sus aberraciones v di fraccion propia. Si suponemos el objetivo gcométticamente perfecto. la única limitacion en su po-

33.3.- Aumentos.- Funcionando el microscopio en las condiciones que acabamos de indicar, y como se lta dicho al tratar de la lupa, el ángulo bajo el cual se ve la imagen final sera independiente de ia posicion del ojo, pues el microscopio com-

der resolutivo vendrá impuesta por la difraccion. 1,' en este caso. como se vio en 23.15, las imrigenes de dos puntos de la preparacion El 3.- Ci, que emiten independientemente utto del otro. cs decir ittcolicrcntctrictitc, cslarrin rcstlcl tas si los centros de sus lìguras de rlifracciñn, fig. 38.4, se ven desde el punto nodal imagen del objetivo bajo un ángulo 9 dado por

pleto opera asi como una lupa con cl objeto en su foco anterior, F, y podremos deiìnir para el microscopio un eurrrenro cisne! comercio! referido al ángulo bajo el cual veríamos el objeto a 2513 mm. sin microscopio. Dicho aumento vendrá dado en este ca-

so, como en la1upa,según (38.3) por

F' = 7-

tas.-ir

donde f' es la focal del microscopio completo, que según (4.16) tiene la expresion fl ƒ' = - -¡_-~

io que de para el aumento

01

.

f

-`-

'_ 4 0

o _

,_.,., en

'

j ¦ t.._¬.ïÉl______,¦ Fig, ase

El

o'

=--_3*' :=- I'

'-T.':I¿j

tasa;

_

ri donde D es el diametro del objetivo, jr lt la lonfltud dc onda de la lu?. con

U que se trabaja. j F J J La distancia r' a que estan las imagenes teoricas sera r' = a'd. o l b ¡ett I r'

al

-ns

4"__

ri 22h

El dl lt

*' = sm =$?'

r

Wii

Por tanto, si suponemos t`rja la longitud de onda enla Iue visible, podrán hacerse

detalles. El único camino para obtener aumentos con fuerte resolución es disminuir la loftgitud de onda. Con el rrticroscopio electrónico se ha llegado enla actualidad a obtener

500.000 aumentos resolubles. 33.5.- Componentes del microscopio.l) übjetivos.- El objetivo es la pie;-sa fundamental del microscopio j' necesita una esmerada corrección de aberraciortes. La aberración cst`e'r-ica es necesario corregirla de modo que la aberración de onda ntrirtinta rto exceda de M4. l_a cromática longrudinal j' la condieiórt del serio requieren también una corrección extremada. Las aberraciones de campo apenas tienen interés en los objetivos de microscopio porque los objetos a observar son muy pcquenos jr los ángulos de campo también lo son en correspondencia. No obstante,las tecnicas de mierofotografia,cada ve:-: mas nt¡lir:adas.rer.:|uiererr una estricta correccion de la curva-

jr en virtud de (38.3), suponiendo ri' = l

r _ der rr = aer rt

-(35-91

A

donde n sen o = A es la apertura numérico definida en 6.2.

38.5.- Aumento mártimo en el microscopio.- La ecuación (38.9) es de la majror importancia por darnos la distarreia minima a que pueden estar dos puntos en la preparación para que aparezcan resueltos en la imagen. Como se ve, depende dela apertura numérica, n sen o, que en los objetivos de irtmersión con aceite de cedro in = = 1,52] jr o '-2 90°, alcanaa 1,5, de la cual prácticamente no se puede pasar, lo que impone un limite al poder resolutivo. Paãa mejorarlo puede reducirse Il. trabajando con luz ultravioleta (en promedio lt = 'ìililo j, lo que implicaría trabajar con óptica de cuarzo jr pantallas fluorescentes o placas fotográficas para recoger la imagemjfa que el ultravioleta es invisible aparte de nocivo para el ojo. Logicarnente también se pensó en utilizar los rajfos X (Pt ": l Ã). pero hasta el momento actual no se consiguió este microscopio. En el apartado 33.8 se describe cómo se ha conseguido la focaliaación. En el afan de disminuir el numerador de (33.9) se lia pasado al microscopio elecirónico, en el cual la longitud de la onda asociada a un electrón es, como se vió en 30.7, lrƒmv, siendo ii la constante de Planck. m la masa del electrón jr v su velocidad, con Io que para un electrón acelerado a 50 Kv resulta una lt = [LD5 Ã. Con el microscopio electrónico se han conseguido hasta cerca de 500.000 aumentos resolubles jr ha constituido una verdadera revolución en el campo de la microscopía_ Si para fijar ideas suponemos que trabajamos con los visible de SDUCI 3., jr que la apertura numérica es A = 1,5, la minima distancia a que podrán estar dos puntos para que se vean separados será en virtud de (38.9) 1-*

ÉSÚ

microscopios de tantos aumentos como se quiera en fuer:-ta de disntinuir las fue ales de objetivo jf ocular o aumentar t, pero todo será inútil pues con ello no se conseguirá ver más

"=_r-tor?

1

-2-10-*

F =r3' Té- = 250- %†ü?;ï¿"' ¡E25 currterrros

rr'r"seno'

r¦=

F

Teniendo en cuenta (33.5) jr la anterior relación, se tiene para el aumento visual

Pero considerando el objetivo perfecto jr que, por tanto, debe cumplir la condición del seno: n.r. sen o = n' r' sen rr', podremos escribir

_ rr sen n

r

3*” = r†=ïT_=Ú.ÚÚd9rafl'. fa fa

Tcniendo en cuenta que el diametro de los objetivos de microscopio es mujr . ' l pequeño [de l a 4 mm.), frente a t = lóü mm., podemos poner, en (3$-'l)% 1' pp, o bien "

'_

Éntm

tura de imagen.

Los objetivos se elasilìcan según sus aumentos en objetivos de baja, media jr alta potencia. Como objetivos de baja potencia tenemos el doblete acromritico, fig. 33.5 al con lente de flint en cabeea. Este objetivo puede dar hasta 5 rt con apertura D,l. Puede corregirse como los objetivos de telescopio de esférica jf cromática longitudinal, jr se puede encontrar una pareja de vidrios para que, además. cumpla la condición del seno. El objetivo de Lister, fig. 33.5 bj, formado por dos dobletes, puede cubrir una aper-

F-Iim

C mn

Lister). Poniendo en uno de ellos cl objeto jf acoplando los dobletes

lol

`

lbl El aumento del microscopio deberá ser tal que el ojo vea el segmento r al menos bajo un ángulo de 1' que es su poder resolutivo medio, cifrándosc la visión cómoda en verlo bajo un ángulo de 3'. I ' Si el aumento lateral del objetivo es ll5"| = en su plano imagen tendremos 1" = B' .1. l 0*, que deberá ser visto a traves del ocular bajo un ángulo oa' = 3', es decir

tura de 0,25 jr 12 rr. Si la aberración esférica del 35 orden de un dnblcte se pone en función de la distancia frontal del punto objeto en el eje. se encuentran dos puntos para los cuales está corregida [puntos de

sig. sas

de modo que coincidan sus puntos de Lister, se llega a una imagen corregida de aberración esférica. Si además cada uno está corregido de cromatisntn longitudinal se tendra también corregida la cromática de aumento del objeti-ro,eomo se vió en 7.12. Como objetivo típico de medio poder tenemos el de Amici, lig. 38.6, con lente frontal de media esfera seguida de dos dobletes, con el que se pueden alcanrar A = D,óü jf 30 rr. Con este objetivo modilìcado, poniendo detrás de la lente frontal un menisco aplanáricn jr dos __ ttipletes, se puede llegar a A = 0,30 jr óo it. Como objetivos de alto poder están los de írrrrrersitirt irorrrogetrerr (indices de refracción del cubreobjetos., del liquido inmersor jr de la lente frontal. iguales), con una estructura semejante a la lig. 38.?. Con estos objetivos se llega a .-tt = 1.45 jr 120 it. La lente frontal es majror que media esfera. Las lentes positivas de los trlpletes suelen ser de fluorina para poder conseguir el apoeromatismo, indispensable en este tipo de objetivos. La irrrrrersiórt (introducción de un liquido que llena el espacio entre la lente [ron tal del objetivo jr el cubreobjetos de la preparación), fue introducida por rlunici para amino-

¿Hp

-ll-IS

particulas que por su tamano no es posible ver con ningtin tnieroscopio ordinario. Se -lctcvtan. cuentan j- se niidcn siis velocidades eii el microscopio de campo oscuro. La técnica

rar los efectos de las irregularidades del cubreobjetos, descubriendose después por rlibbe su importancia al aumentar la apertura numérica. La fig. 33.8 muestra Iris efectos de la inmersión consiguicndose que el punto aplanático interior a la esfera de la lente frontal este en el objeto. Esto, que seria imposible en los objetivos 'a scco`. pues seria necesario introducir el objeto dentro del vidrio. se realiza fácilmente con la inmersión homogénea. pues de este modo el vidrio de la lente se 'pro1onga', ya que todos los medios

ctinsistc en jlumitiar la preparación con una lila: intensa que no entre directaolelltc Pot el

nttjet¡t~o, entonces sólamente la Iur. difundida y difractada por el corpúsculo penetra en el niicroscopio haciendose visible conto un punto brillante sobre un fondo totalmente oscuro. Fue-le conseguirse este efecto por inedio de una iluminación lateral de la preparación con lo que se tiene el dispositivo de Siasgmondy. mal llamado trirrarrtit'rt1sc-spin, ya que

`-

no tiene niàs aumentos ni más poder resolutivo que cl microscopio ordlttario. También pue-

tienen igual indice, hasta la preparación.

Del objeto Cl, se obtiene una primera imagen virtual, 0;. en el 23 punto aplaiiático yt por tanto, libre de esférica y coma. Esta imagen es recogida por una segunda lente aplanática cuyo primer dioptrio tiene su centro en Dj, mientras que el 25 tiene en O', su primer punto api anático. Con ello se llega a la imagen D; libre de esférica y coma, pero con unas abe" rraciones cromáticas considerables que necesitan para ser corregdas to-

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äfij 'j-T1. 'É'-J-2'-¿"¬-:_-E

sitivos como el condensador crrrtƒirririr-_

«"':"-ri

33.7.- Iluminacion En El microscopio.-

Puesto que los objetos

:jue sc observan con el microscopio no son, en general, luminosos por si mismos. es necesario ilurninarlos, siendo de tal importancia para el niicroscopista liacer un

buen reglaje de la iluminación. que sin ello el instriiinciilc no puede dar nunca todo su retidiinicrito teórico. 1) Iluminación ineoherente.- l-Isle modo de ilu niinar. llamado también ítrrrriirrrrc'r`dvr crr`rr`err consiste en representar por tnedio del condensador una fuente el-:tensa S. fig.. 38.11, sobre el plano rr

DA-

dela preparacióii, En

I

estas condiciones. como

D.C.

-,rr " ---

---~

HE. u_u '

jelivos de apertura baja, hasta 0.1, se emplea el espejo esférico prescindiendo del resto del condensador y para objetivos de mayor apertura sc utiliita el espejo plano y la parte tlióptrica del condensador. Los condensadores gm-g¡¡,,,,, llevan un diafragma iris para regular la apertura del Preparacion haz de salida, pues esta debe coincidir con la aper-

c

l

cada punto dela fuente eniite con independencia

17'

5'

F¡g_ ¡Ej

'

_* '-~

_ ___ ' -"'_'“'k

de los detnás. la preparación deja pasar esta lur

como si fuera emitida por ella inisnia. ya que la inta-

gen de la fuente se le siiperpone. La tirnplittld cn _ _ _ Í cada_punto dc la preparación dependerá ce su opacidad, jr eii el plano imagen tt' seraii reproducidos por el objetivo

los claro oscuros del objeto. Lin diaftagrna junio s S actuará de Df y. niodificando su diámetro se conseguirá iluininar solamente la zona dela preparación que interese- Otro diafragma en el condensador C, actuará como Dali.. pues su diámetro regula la apcrttira riumerica de los llaces que penetran en el objetivo. Las fuentes de lur: que se tlsan en este caso

Qbj,¡¡¡,,¢

sale del condensador no llena el diámetro del objetivo,se pierde el poder resolutivo de este, y si execde se producen refler-tiones parásitas que siempre disminuyen la calidad de imagen. El condensador funciona como un objetivo invertido, pero sin tantas ertigencias enla corrección. Las_ figs. 38-.9 a) y _ _' _ b) representan condensadores de distinto refinamiento. ' _ Condena-adores para campo oscuro.- A veces el rriicroscopio se usa simplemente para detectar la existencia de corpúsculos diminutos en la preparalu] ¡bl ción. como son las mteelas eoloidales en el liquido en el cual están en suspensión. Estas

\`-_ -li-

mg, 3s,|tr

l l-"""“"i'° curva

rio, es por un lado plano y por el otro esférico. Para ob-

tral, sc priva al olijetivo de la luv: directa. Para este tnisnto fin existen otros dispo._

_.-'_.'. .-...-" _,l

T

En general el condensador consta de un espejo y un sistema dióptiico. El espejo, que suele ser girato-

boloide donde está la preparación. Dbturando con un disco opaco. D. la parte cenj;

Í 1- '- 1

ohesprácticamenle de 90°. .. También modernamente y para pocos aumentos. se han Iiecho objetivos de hr" 33'? microscopio con espejos en montaje Cassegrain ininiaturiaado. . 2) Úcitlares.- Los oculares que se emplean más comunmente en los microscopios son los de Huygens, gr Lente aunque también se utilizan los de Ftamsden y ortoscóPreparación óalflflflflvfl icos. P 3) Condetisadores.- El sistema condensador Fmìl __,.- - \ tiene como misión dirigir la luz de una fuente puntual j ft' o crttensa para iluminar la preparación. Cuando la ntepj--f-_ jj * É patacióii es transparente la- iluminación se hace a través ____.1;-_e:'5-'ir'al" ' V, tti" ,af de ella. Cuando es opaca como en el caso de los microscnpios metalográiicos. la iluminación se hace a través D* ' G' ' «L 1,.del objetivo (iluminación vertical) con un sistema late. ral y una lámina scrtiitransparente como se indica en el 5

tettatma sas ti.

que consiste en t:|i bloque de vidrio de forma de paraboloidc. cspejado. Un sistc-ma previo produce lira paralela que después va estigniáticanientc al foco del parti-

_

-;-_

do el sistema que va detras en la fig- 33.7. En estos objetivos el ángulo

tura del objetivo con el que trabajan. Si el haz que

tit- obtenerse esta tipo ¿ie iluminación con tin condcrisador que tenga mucho mayor apertura numérica que la del objetivo. obtutando la parte central de su hat. La fig. 3E.iD muestra un condensador que opera en estas condiciones. llamado cnndciisarlot prrrtrbrrlor'tr`c.

Fm ¡ELE

son lámparas opal, lámparas de mercurio de alta presión. o lámparas de frlaniento que ¡lu minan un vidrio deslustrado, que es el que hace de fuente primaria. El poder resolutivo teórico del microscopio para dos puntos con este tipo de iluirtirtación, lia sido tratado en 38.4 teniendo en cuenta la figura de difraccidn que el objetivo

produce de cada punto. llay que hacer notar que este tipo de ilulnillación no es totalmente incolierentc. ya que cl condensador difracta la luz de la fuente S, por lo que, en mayor o itienor grado, en

ng-tetrvo Frepnroclen _ Fis. 33.9

G

todos los puntos de 5' habrá lui: de cada uno de los de 5. Si en el intermedio se utiliza un vidrio difusor, el grado de colierencia parcial aumentará. Iluminación de ìtühler.- En este caso. fig. 38.12. el condensador consta de dos cuerpos L1 y L2. La lente L, produce una imagen 5-', del filamento de la lámpara eii el plir.

¿lg

420

tenga un diámetro tal que al menos permita la entrada de la luz difrsctada correspondiente a SI, v SÃ para estar en el caso c). lla diferencia de marcha entre dos rag.-fos bomiãlogos difractados por dos ren-

uu 1'u.;a| F1 de Ig, con io cual la iua que sale de cada punto de S' atraviesa ls prepara" cion en forma de has paralelo. 1v.asi, cada punto de la preparacion esta atravesado por un cono de lu: con vértice enla preparacion. ca-

U-

da uno de cug,-os rayos procede de un punto del

“I”

|

filamento- La lente L1. ala ve: que da lu: para-

'ffs

la)

|

Objeto

_

l

f

diar el poder resolutivo cn este caso una red de difracción cupo espaciado o distancia en-

¬¦

"

-l

_

-1-ss.-f

J' ". ƒ_.-'II `I "~. r.-""

.-f

*

Podria sumentarse el poder resolutivo ¡Juminando con luz paralela. pero oblicus con el eje, tìg. 3 38.115, de tal modo que en lugar de recoger el objetivo cupera la Si, jr una sola Si en este caso el máximo central se obtiene enla dirección o con la normal a la red. y el máximo Si en una dirección B' tales que según la

{ B)

1.

“

1. 'L 'L

'L l.

1 _

Hg. ss.13

ii_. .

-_

___¬1 -.

Bajo estos supuestos. si en el plano focal del objetivo po-nemos un diafragma que tape todas las Si menos la S,',_. en el plano tr' tendremos iluminada una aona extensa AB. pero no una imagen de la red. La fig. 35.14 aj indica el reparto de intensidad de la lua en ei objeto- La bj muestra como es el reparto de la lu: en el plano imagen cuando se recoge solo el máximo *3*i""i`*l 553 la “l¬ 'WT' 5:1 3" lui “Ús Sllflémcüi Si i la *li cm' sit-* Sl 5" Si i EW' cmnü Se ve. la estructura de la imagen se aproxima tanto mas ala del objeto a medida que se re-

_

›./"

(33-13)

..-_ Si

` P'== F15- 33-15

-.

lo que indica que con esta forma de iluminar el poder resolutivo se-

ria doble que con iluminacion perpendicular.

38.8.- Giros tipos de microscopio.- Los metodos microscopicos han sufrido una profunda evolucion en la última década jr, aunque todavía estos nuevos microscopios están en periodo de per-

feccionamiento, presentan innumersblesventsjas, por lo que es necesario dar somera cuenta de ellos. ' La microscopía moderna se csrscterira porque, en general, en lugar de fomiarse de una vea v globalmente la imagen de la preparacion como en los microscopios clásicos, en estos se va obteniendo purito por punto mediante la eaploracion con un delgado lisa del iluminan te focalizada sobre ia preparacion, io que se denomina ¿tenido o rearm4 ing: La señal transmitida o reflejada por is preparacion va a un detector adecuado para convertirla en una imagen visible mediante un video ¬_v un televisor. o pasando s traves de un ordenador para ser procerada. Entre estos tipos de microscopio estan el microscopio de rayos X tb) :jr el microscopio acústico. Mierusc opio de rayos X.- Como quiera que al disminuir ls longitud de onda de la luz con que se ilumina el microscopio según la ec. (38.9) aumenta su poder resoiutivo siempre existió la idea de que con un microscopio de rayos X se podrian obtener rnucltos I

` :I-_Í ._¿___ , ¡_

'

I

un

imagen del objetivo rr' pasa por dos etapasj la primera consiste en la forritacitfut de las

fuentes coherentes Si; ia SÉ. que la luz de estas fuentes coherentes interfiere en el pla-

ii 2111' = HE

rr

ie lflanü-La teoría de Abbe supone que la formación dela imagen de la red en el plano no n' dando la imagen de la red rr.

(33-12]

Si la incidencia se hace de modo que o = ti. sc tendra'

'L

==|._

tre puntos iioinuiugos de dos rendijas consecutivas sea 2d. Estaremos asf en el caso cs tudiado en 24-3: una red iluminada normalmente por ondas planas cuya lun difractada es recogida por una lente convergente L que en este caso es el objetivo del microscopio, por tanto_ en su plano focal tendremos los mrìximos de difracción de diferentes ordenes 51,. S1. Sfg _ _ . _ que pueden observarse con un ocular de larga focal que alcance a ver es-

2nd (sen o + sen Ef) = Ii

cen st. st ser es

rigsats

f

L

coge mayor número de m:,i:timos para su formacion. Para epic podamos Itahlar de fot111acid-n tle imagen es necesario que el objetivo

(seat)

ecuacion (24_1S}.Ia diferencia de marcha entre los rayos 1 jr 1 vendrá dadapor

~-.J i `*

¡_1-..-' '\.-f

1 _ it ,mm -Í

la luz correspondiente a Så 3-' a un Si por cada lado, re-

' - - -

Con Si Si y 3';

i',r;.`†"›'i.F fl

W

__ -

- - -

___,_Í` _

l'J'¦I

(BSJQ)

es decir, que la distancia mínïrna entre los centros de

.2cf= ___

1 _ “

-'“ `

.¿_.¿

,---f" _.-

i TT:

I-

Objetivo I

I

dos bandas oonsecutives de la red que se puede resolver es

| ' I I Cüfi Se Y Si

{.¡|j -

le puntual tr de un Ittscr. La preparacion ft estarsi atravesatla en teoria por luit paralela

primer orden S1, si suponemos inrnersion en indice n

_

1] Iluminacion coherente. Teoria de Abbe.- lluminemos. como indica la fig.

totalmente coherente procedente de un punto emisor. si bien.como una fuente matemáticamente puntual no esiste. ia iluminación sera p:-trcialmente coherente. pero dominando la coherencia cuando la fuente es muy pequeño. Pongamos como objeto para estu-

I

Sólo. con SL

ifli

tura numérica del objetivo.

objeto del condensador C- El sistema de iluminacion podria ser ci de Kettler con fuen-

dijas consecutivas, fig. 38.15, será para el rrtriatinto del å=2'.IïtÍ 5¢fltT=llL

lela. produce una imagen del diafragma D, so rr -_ ¬_-;_=_,_iÍ bre ia preparacion. D'] . .abriendo o cerrando D, se ilumina justamente la zona de preparacion que ~ ¡ se desea observar 1-' nada mas, evitándose asi luLil l i Úbj'e tt'tro ces pariisitas difusas que mcrman grandemente el L 2 Preparacion poder resoiutivo al disminuir los contrastes en la imagen. En estas condiciones. el diafragma D, ac¢g,.,¿ggsu¿m, tüa como D_i.`. _ El diafragma D; en F1, actúa como diafragma de abertura. pues abriendo o ceHs- 33-11 rrando D; se consigue que :mis o me-nos puntos del filamento contribui'-'M1 il li* ¡1U1“¡' nacion de cada punto de ta preparacion ji' que los correspondientes conos de lui! tengan mayor o menor ángulo. es decir que D, permite ajustar los conos de lua a la aper-

3513. con una fuente puntual S en el foco

_|Í Ús

_

41]

421

ren otros olfrìeros, llamados 'objetos de fase' que son coniplcianiente transparentes e incu-

detector mas aumentos resoiirentes que con el de lua visible, pero la realización de este microscopio ha tropezado hasta hoy con dificultades insuperables entre otras que los distintos materiales presentaii para los rayos X un indice de refracción casi igual a la unidad, aunque

rss-eo,

ltircis ett todos sus puntos. por In que al ser airaresadoe por lu-1 'J-I'ti†_Eir111r¿' HG presenten Cülttrastes tie claro-oseiiro iii de color. Tal ocurre con rnticltofs tipos de células. riricroorpanisrttiis

` lu)

microcristales. cte.. en sus caldos de cultivo o cristalización. que no se diferencian ni por sti color tii opacidad del titcdiu que los rodea. por lo que soii iitvisililes con el microscopio ordinario. El proccrliinicnto se guido hasta ahora por los nucrobiolopos para hacer visibles -:sf los iiiicro-organismos triinsparetitcs lia sido cl de teñir las prcparaciiines con ciertos colorantes corno las Fuscliin-a.s¬ que al tcaccioitor ciriilirs sustancias protoplastitaiticas producen virajcs dc coltir que permiten ver las liacteriris de itn color cn ti1'i campo de color tlil`-eretile. Ílifattiralitieitte. este ttiettirìri rle rirreifm presenta. adeittsis riel inenitvenietite de la tnrittipulaciciii, otro m:i- :i-.ire ji' es n_tie los iiti.ioorg,anisnios. en general. tniteren con el tratairiicitto. sien du iitigri-stiilc iilt-scrrtitios en vi*-'ii.

algo menor, por cuyo motivo no se pueden hacer lentes convergentes que los focahcerc Las únicas formas de cambiar sus trayectorias para focaliaarlos es operando por refleition y por difracción, siendo necesario también disponer de una fuente de FJI muy puntual, muy intensa 3,» lo mas rnonocromática posible. lo que se ha conseguido aprovechando la radiación entitida por los anillos de electrones de un synclirotron. Foceifaccfdii por medio de espejos.- Se han utilirado para focalizar los rayos I espejos esfeiicos o elipticos recubiertos con multicapas de alta refiecrancia, como se vid en el cap. 18, en las que alternan metales pesados como Au, Pd, o Re con materiales ligeros como B o C. En la fig. 38.16 a] se muestra un esquema de microscopio X con esperes

multicapas.

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üziiero X detector

Todos estos incoiweieiites se evitan utiliaaiido el microscopio de contraste de fa-

tb)

sc ideado por el licilsnttles F. Zernil-ce iP. Íslcilicl de Fisica ]9:'~3l que perttiite. sin necesidad de lìttcid-tt. Ver cslt'rs fll¬jcti¿n'- traitsprircritcs aj.rtu¬-'i.*c]:aii-_lt.i que aiiri ctttitrtltr no pri'iil1Icct'it¦i¬sorciün. dciiidii a su diferencia de indice de refraccifiii con el 1t¬.e-¿iio -atte los roderi. se proilticc un desfase entre la Iii: que pasa por ellos 1.' la que pasa a sti alrededonlo que puede apro-

'

Foccii'accr'dit por medio de placas roitcfcs.- Este metodo consiste en utilizar

.

las placas o lentes aonales de Fresnel que se vieron en el epígrafe 22.10, tanto para los

Úlllfilr-'Q

vecharse para pro ducir un contraste de amplitud iiacicndo que inicriieran estas dos luces.

condensadores como para los objetivos, fig. 33.16 b). En la obtención de estas placas la modems tecnologia ha demostrado un verdadero alarde de posibilidades, ya que se han con-f “ seguido placas de iãll micras de radio con 1550 zonas, 1-' otras de 4 mm de radio con Hflfif-É 15.000 zonas. En ambos casos el barrido de la muestra se hace por metodos mecátucca. gbjgtü __ WW Microscopio acústico.- Este microscopio funciona en cierro modo como un microscopio óptico pero con ondas acústicas, U más bien ultmcúmm' ya 'il'-1@ W U'-*E›fi_“ 5*' cuencias de 5 GHz. En la fig. 38.17 se muestra un esquema. Sobre un transducer pierc-

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electromagnética que el transducer convierte en ondas ultraacfisticas planas y que al otro lado de la lente se oonitierteit en ondas esféricas, focaliaiindose a tra-res de agua-u otro ltquidc sobre la preparación. Las ondas que salen de la preparación son convertidas por una temp; ¡±m¿¡¡¡¢,¿ de nuevo en ondas planas que actúan sobre el segundo trandueer del cual salen señales eléctricas que ran a un detector ir de aqui' a un televisor. El _batrido de la preparación se hace per metodos mecanicos. celuai iiqoiea El microscopio acústico tiene la ventaja de que las ondas acústicas penetran facilmente eri materiales L¿m,m opacos la otras radiaciones, por lo que tiene gran utilipieeeeiectricc w

dad en rrdcroelectronjca, p.e., para observar en pro-

Úmluúàì

fundidad el_iriter-ior de los niicrocircuitos eri eiianien no destructivo - El nucroscopio acuatico produce in ' formaciones sobre la materia que riingfin otro microscopio puede proporcionar, ya que las imagenes ditìeren de unos puntos a otros de la preparación sólo por la variación de sus caracteristicas elásticaar

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las preparaciones usadas en los microscopios se hacen visibles porque presentan diferencias de opacidad o de color, 3, si ilumitiamos la preparación uniformeniente, debido a

las diferencias de absorción de unas a otras zonas aparecen contrastes de color o de claridad que periniten distinguir los porincnores. Este tipo de objetos que modifican por absorción la amplitud de la luz que los atrariesa se llamari *objetos de amplitudï Exis-

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los freiitcs de onda soi: planos. pero al atrai'es;'i:' sor e e indice nn. gr el resto de la preparricidii iicitc indice tip. c:i la lite -::_itc pasa prat" la liactc ria sc Iiabrii prciditcido una rlilercticia de fase rcs_

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38.9.- Microscopio de contraste de fase.- Los detalles existentes en

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El microscopio de contraste de fase. Fig. 38.19. opera eii esqiaeiiia del siguiente :nodo: el condensador envia sobre la preparacion rr lio: paralela eoliereiiie proec tletilc de lina lllcitlc ptitittltil 1.' rittrtiocrutitilricii S. Ftttrc cl coriiïctisador ji la prcp-.irucid-ri

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poneiiios sobre la niisina pantalla '-.iria ltir 2. coher-:tire con la i. :tire en to-.ios los puntos de la pantalla tiene el itiisntso triotitilojt fase. la restiiiaiite R tendra en cada punto diferente nioditlo ji' en la pantalla apareceran peritos claros ji oscuros. Las difereitcias de fase de la prjtitera lite se liam coittrertiijo ett ¬rlii`erc1tcias .ie antplirtid c:i la stipcrposlcidrt.

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electiico depositado sobre la cara plana de una lente de aaiiro se hace llegar una onda

Para ctiiriprcridcr conto se pucdc corisepiiir este contraste. suporipaiiios,r"ip. 3515. que siiÉti'c una pantalla erttiaitttis ltiz rrtotioieroitrritica coìierertte ciiir i-:trial :i!t1¡¬.litiiiì ci'= todos los 1'-tintos pero con ,lii`crcr.1.c íasc. lïn la ligrura reprcsctitarctitos esta Zire por :iii vector. l. que teniìrii en to-:los los putircis el tiiismii sirddiilc- pero diferciit-: oricrirticiriti siipllcstti fìiado :ir ciripciì dc fases I ri.¬*;¬resi.'ntai:i-dit dc Fresnel l. La pantalla al recìliir esta lu.-'_ aparecerá iin¡t`ortt1r:-tncttte iltiittitiada- Si ahora stipcr†

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i'. en las ondas planas incidentes se .tiroditcirri al atravesar la prcptirticiiìri mi iiiliclirri corrio sc ¡ridi-

caen la parte baja de la figura. En Ia .riiriri .lotide se produce esta irreptllaritìatl def:-ida al rcrarcìo. apareccri los fcriottic-

nos ¿ie rìifriiccion. i' de cada punto del pcrriieiio

l

i`rc¡¬.tc retrasado salclrzi ii:i iia? dc lil? dil`rnr.'ta~.lri dl\'cr_cctitc ijIi:ir ptliitcadti eii la tìgiirai.

Hagamos para mejor comprensión una representacion de l'-resnel del rene-inerte. lic. 33.20 ii I. cn la cual la hi?. directa sin perturbar estd representada por cl rector OP. niieriirtis que ci 'i-'cctor Girl t:|tit: 1`ur:ria coli UP tin angulo 5 igtial al desfase- represeiita la lite retardado por el pequeño objeto. es decir. la lu? difractada. fotito tiiiicra state cl objeto iio cs

414 413

Para obtener estos retardos en la luz directa se pone en el platio t`ocal del objictii-o F'. fig. 33.19. una pequeña lriiriina L de indice n 5' espesor it-'dit o .ilt_.'4n segtiti se desee contraste positivo o negativo- Esta lámina, llattiatia `frtititr'tro ii'e_firse', es adeitiris algo al¬~ ir b-ente para disminitir la lux del fondo ji' conseguir un rtiajror contraste. fl. tratfds dc cllti ¡“-:isa

rjlssorlsente, los vectores ON jr UP tienen el mismo módulo 1-f sólo su fase varia de unos

puntos a otros del objeto. Podemos aliora descomponer el vector

ost, ng. ssao ai en tios -.-errores on v tvitviei

DM cn fase con CIP jr MN en ciiadratiira, es decir desfasado en frƒì con DM 1r por tanto con CIP. Si 5 es muy pequeña como hemos supuesto. Dll-l 3' OP además de estar en fase tienen pr-.icticainente igual módulo. En efecto, tornando como origen de fases la onda sin perturbar. de amplitud ti, , la amplitud compleja de la on da pcrturbada en 0, sería al ele. que desarrollada en serie nos dará .

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. Luz directo

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toda la loa directa. mientras que el Iiae de hi: difractada en sii mag-'or crstensión va por fuera. En los microscopios. la ldiniiia de fi-

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del orden de l cm. y que transportan unas 2.700 conversaciones telefónicas multiplexarms

39.7.- Aplicación de las fibras ópticas a la telecomunicación. Circuitos integra(l0S.- Como se ha dicho anteriormente. se lia comenzado a sustituir los cables telefónicos convencionales (guias de microondas) por haces de fibras ópticas que. como veremos, poseen una capacidad de transmisión de información mucho más elevada. En este apartado vamos a estudiar la forma en que puede llevarse a cabo el proceso de comunicación mediante fibras ópticas y en el siguiente estudiaremos las ven~

tajas de este sintenia. Para poder sustituir el cable telefónico de microondas por una fibra óptica es preciso convertir la señal eléctrica a transmitir, una vez multiplexada, en un haz de luz modulado por esa señal, introducir ese haz de luz en la fibra de forma que se propague

a larga distancia y luego extraer de la luz la señal eléctrica, para seguir luego con el resto del proceso de reconstrucción explicado en el apartado anterior.

La fuente luminosa ideal para este proceso es el láser, ya que posee una alta intensidad (lo que le permite llegar más lejos con una intensidad apreciable),una alta direccionalidad (lo que permite controlar bien los modos que se van a excitar en la fibra) y una alta monocrornaticidad (que como veremos aumenta la capacidad de transmisión de información). El transporte del mensaje al haz de luz láser puede hacerse obligando a que . . _ . , . la intensidad del haz vane siguiendo a la serial electnca. En este caso tenemos una modu-

lación eii intensidad, totalmente análoga a la modulación en amplitud discutida anteriorinente, siendo la onda luminosa eii este caso la onda portadora. A continuación es preci-

434 so introducir la luz modulada en la fibra, de forma que se propague guiar a Para piocucii el proceso de demodulación basta detectar el haz de luz, al final de la fibra, mediante un fotodiodo. Como el fotodiodo no es capaz de seguir las variaciones periódicas dela onf a portadora porque son excesivamente rapidas ii/ - 3 >\ 10 Hz para lr - 6000 A) lo que detecta es exclusivamente la variación de la intensidad v asi' se obtiene a la salida del fot diodo una señal eiectrica nue debe ser proporcional a la que se lia utilizado para nionular L 1 ¬ -1 __ 1 ¬ Ala nora de llevar a la práctica este proceso iiay que tener en cuenta que hace falta un laser, un modulador y un fotodiodo para cada fibra óptica. Ncrrnalinente los * ces de fibras ópticas para comunicación tienen un numero considerable de iibras Por ejemplo la Bell Teleplione fabrica un cable de 12 mm de diámetro externo formado por lfl cintas de ll fibras cada una. convenientemente protegidas. Para usar ese cable hace falta un total de 144 láseres. moduladores v fotodiodos. El volumen que ocupa este ins-i » _ ,. ig _ Y¬ trurnental es grande _\_' ademas cualquier movimiento oe estos elementos o oe las fieras eii las estaciones de comuriicación. pcriurbaria el buen funcionamiento del equipo de transmisión. Es necesario por lo tanto iabricar laseres. moduladores y fotodiodos en tamaño microscópico y que ademas esten sólidarnente unidos a las fibras ópticas De este moi o se resuelve el problema de las vibraciones y del volumen del instrumental El estudio construcción de estos componentes ha creado una rama de la óptica, llamada OPTÍCA i\'TEGRADA, que se ha desarrollado profundamente durante los ultimos anos Los laseres integrados más utilizados son los de unión. Estos laseres estan forma -

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F

1

dos por la unión de un seniiconduetor de tipo n x otro de tipo p. Si polarizanios esta unión en sentido iirecto es decir poniendo el polo negativo de la fuente de alimen-

ctrodo

tacióii eii la zona de tipo ri y el polo positixo en la zona de tipo p, los electrones iran .hacia la zona p x los iiuecos 1 l hacia la zona n. En la zona de unión, una vez vencida ia / l ¡Í barrera de potencial por la polarización directa se reconi Á l binaran los electrones y los huecos y se prouuciran iotones \\\\ Por otra parte la diferencia de potencial estaolecica coii // f`¬ore afiíšdlfif ala, _ la fuente de alimentación inyecta electrones en ci semiconductor, con lo que aumenta la población en la ban a f` n de conducción. Para conservar la neutralidad ue cargas , u gi A 5 l i * del material aparece un número igual de iiuecos que res» l_l_ ,añadir ,,cl_,f ¬ \ uz r lc`i5 fo, '_\ puebla la banda de valencia. Si la diferencia de potenciar ;ͬc~.ii ïͧ p\; W_¬__H_*'__ `L t(v por tanto la corriente inyectada) es suficiente se llega f` Q A5 p t a conseguir inversión de población entre la banda ie ia \_Í "_ free:-f - - r ~ ~~ lencia y la banda de conducción, lO qu@ pOS1l?1l1Íd Í8 8C~ I" i.` ¡4 l _,¬`¢f\ le 3/'às D V ción láser. Como se ve, en estos laseres el bombeo se real-_ _ “mx” Z Z liza mediante inyección de cleCUOI1€S j Cl 3“AS p , En la figura 39.7 se ilustra un ejemplo ue laser j de unión. La acción láser tiene lugar en la union pn Co-ermo las dos capas de GaO_7 A103 As que rodean ala capa ~ de Ga As tienen indice de refracción infenor al de esta. ¬\\% \§ Qf+: _ /_l . W" la luz queda confinada en la capa de Ga As fiue tiene diìïg. 39.7 mensiones tipicas de 0.4 ,u de alto, l7 ,u de ancno j 400 u de largo. La altura total del sistema es He unas 100 ix Como se estudió en el cap. 31, es preciso colocar dos superficies planas reflectantes y perpendiculares a la direcf ción _ de propagación deseada, para que se produzca la acción láser. En los laseres de gas es ¬ U " ' e laamlipreclso que el factor de reflexlon de estas Supgrficìes Sea muy alto para com gulr p ficación necesaria ' Sin * embargo C” eii los laseres de estado sólido, como la concentración de Í_

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