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EJERCICIO 2.16: La cuidad de Dakota Heigts desea determinar cuántas subestaciones postales se requieren para dar servici

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EJERCICIO 2.16: La cuidad de Dakota Heigts desea determinar cuántas subestaciones postales se requieren para dar servicio a su población. La ciudad ha sido dividida en ocho zonas postales. Se han identificado cinco ubicaciones posibles para las subestaciones. Cada ubicación puede dar servicio a un número de zonas, como se indica en la siguiente tabla:

UBICACIÓN

ZONAS QUE SE PUEDEN ATENDER 1,2,3 1,4,5 2,4,5,8 3,5,6,8 6,7,8

1 2 3 4 5

Tabla Ubicación y Zonas de la ciudad de Dakota Heigts Fuente: Libro Investigación en Operaciones: El arte de la toma de decisiones por Mathur & Solow,

Formule un modelo para determinar el menor número de subestaciones (y sus ubicaciones) necesarias para dar servicio a las ocho zonas postales. Use el esquema de la sección 2.3 para clasificar su modelo. (Sugerencia: defina una variable apropiada para cada ubicación.) Definición del problema: Problema: Desconocimiento del modelo para determinar el menor número de subestaciones necesarias para dar servicio a las ocho zonas postales de la ciudad. Objetivo: Formular el modelo para determinar el menor número de subestaciones necesarias para dar servicio a las ocho zonas postales de la ciudad.

Desarrollo del modelo matemático y recolección de datos: Definición de las variables de decisión: X1: Ubicación 1 X2: Ubicación 2 X3: Ubicación 3 X4: Ubicación4 X5: Ubicación 5 Definición de las restricciones St.

𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟏 𝒙𝟏 + 𝒙𝟑 ≤ 𝟏 𝒙𝟏 + 𝒙𝟒 ≤ 𝟏

𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 ≤ 𝟏 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 + 𝒙 𝟒 ≤ 𝟏 𝒙𝟒 + 𝒙𝟓 ≤ 𝟏 𝒙𝟑 + 𝒙𝟓 ≤ 𝟏 Restricciones Lógicas: 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 , 𝒙𝟑 , 𝒙 𝟒 , 𝒙𝟓 ≥ 𝟎

Definición de la Función Objetivo: 𝑀𝑖𝑛 𝑍: 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 + 𝒙𝟒 + 𝒙𝟓 + 𝒙𝟔 + 𝒙𝟕 + 𝒙𝟖 + 𝒙𝟗 + 𝒙𝟏𝟎 + 𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝟏𝟐 + 𝒙𝟏𝟑 + 𝒙𝟏𝟒 + +𝒙𝟏𝟓 + 𝒙𝟏𝟔 + 𝒙𝟏𝟕 Modelo Matemático 𝑀𝑖𝑛 𝑍: 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 + 𝒙𝟒 + 𝒙𝟓 + 𝒙𝟔 + 𝒙𝟕 + 𝒙𝟖 + 𝒙𝟗 + 𝒙𝟏𝟎 + 𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝟏𝟐 + 𝒙𝟏𝟑 + 𝒙𝟏𝟒 + +𝒙𝟏𝟓 + 𝒙𝟏𝟔 + 𝒙𝟏𝟕 St.

𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟏 𝒙𝟏 + 𝒙𝟑 ≤ 𝟏 𝒙𝟏 + 𝒙𝟒 ≤ 𝟏 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 ≤ 𝟏 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 + 𝒙 𝟒 ≤ 𝟏 𝒙𝟒 + 𝒙𝟓 ≤ 𝟏 𝒙𝟑 + 𝒙𝟓 ≤ 𝟏 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 + 𝒙𝟒 + 𝒙𝟓 ≥ 𝟎

EJERCICIO 2.17 Tres divisiones de Twinsburg Company fabrican un producto en el que cada unidad completa consiste en 4 unidades de componente A y 3 unidades del componente B. Los dos componentes (A y B) se fabrican a partir de 2 materias primas diferentes. Existen 100 unidades de la materia prima 1 y 200 unidades de la materia prima 2 disponibles c/1. Cada una de las tres divisiones usa un método diferente para fabricar los componentes, dando como resultado distintos requerimientos de materia prima por corrida de producción en cada división y el número de cada componente producido por esa corrida.

DIVISION 1 2 3

ENTRADA MATERIA PRIMA 1 2 5 3

SALIDA COMPONENTE 2 6 9 8

A 7 6 8

B 5 9 4

Tabla . Divisiones de Twinsburg Company Fuente: Libro Investigación en Operaciones: El arte de la toma de decisiones por Mathur & Solow,

Por ejemplo, cada corrida de producción de la división 1 requiere 8 unidades de la materia prima 1 y 6 unidades de la materia prima 2. El producto de esta corrida es 7 unidades de A y 5 unidades de B. Como gerente de producción, formule un modelo de producción para determinar el número de corridas de producción para cada división que maximice el número total de unidades terminadas del producto final. Definición del problema: Problema: Desconocimiento del número de corridas de producción para cada división para maximizar el número total de unidades terminadas. Objetivo: Identificar el número de corridas de producción para cada división para maximizar el número total de unidades terminadas. Desarrollo del modelo matemático y recolección de datos: Definición de las variables de decisión: X1: Número de corridas de la división 1. X2: Número de corridas de la división 2. X3: Número de corridas de la división 3. A: Número del componente A. B: Número del componente B. C: Número del componente C.

Definición de las restricciones Restricciones 8𝑋1 + 5𝑋2 + 3𝑋3 ≤ 100 6𝑋1 + 9𝑋2 + 8𝑋3 ≤ 200

7𝑋1 + 6𝑋2 + 8𝑋3 = 𝐴 5𝑋1 + 9𝑋2 + 4𝑋3 = 𝐵 Restricciones Lógicas: 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3, 𝐴, 𝐵 ≥ 0 Definición de la Función Objetivo: 𝑀𝑎𝑥 𝑍: 4(Componente A) +3(Componente B) Modelo Matemático 𝑀𝑎𝑥 𝑍: 4A + 3B St. 1. 2. 3. 4.

8𝑋1 + 5𝑋2 + 3𝑋3 ≤ 100 6𝑋1 + 9𝑋2 + 8𝑋3 ≤ 200 7𝑋1 + 6𝑋2 + 8𝑋3 − 𝐴 = 0 5𝑋1 + 9𝑋2 + 4𝑋3 − 𝐵 = 0

EJERCICIO 2.18 Los dos productos que produce case chemicals, CS-01 y CS-02, generan cantidades excesivas de tres contaminantes diferentes A, B, C. El gobierno estatal le ha ordenado a la compañía que instale y emplee dispositivos anticontaminantes. La siguiente tabla proporciona las emisiones diarias actuales en kg/1000 litros y el máximo de cada contaminante permitido en kg.

CONTAMINANTE CS-01

CS-02

MAXIMO PERMITIDO

A

25

40

43

B

10

15

20

C

80

60

50

Tabla . Contaminante y Máximo permitido de los productos de Case chemicals Fuente: Libro Investigación en Operaciones: El arte de la toma de decisiones por Mathur & Solow,

El gerente del departamento de producción aprobó la instalación de dos dispositivos anticontaminantes. Las emisiones de cada producto pueden ser manejadas por cualquiera de los dos dispositivos en cualquier proporción. (las emisiones se envían a través de un dispositivo solamente una vez, es decir, la salida de un dispositivo no puede ser la entrada del otro o de si

mismo). La siguiente tabla muestra el porcentaje de cada contaminante proveniente de cada producto que es eliminado por cada dispositivo.

DISPOSITIVO 1

DISPOSITIVO 2

DISPOSITIVO 1

DISPOSITIVO 2

CONTAMINANTE

CS-01

CS-02

CS-01

CS-02

A

40

40

30

20

B

60

60

0

0

C

55

55

65

80

Tabla . Porcentaje de cada contaminante de los productos de Case chemicals Fuente: Libro Investigación en Operaciones: El arte de la toma de decisiones por Mathur & Solow,

Por ejemplo, si la emisión de CS-01 se envía a través del dispositivo 1, se elimina 40% del contaminante A, 60% del contaminante B y 55% del contaminante C. Las consideraciones de fabricación dictan que CS-01 y CS-02 deben producirse en la proporción de dos a uno. Formule un modelo para determinar un plan que maximice la producción diaria total (cantidad de CS01 + CS- 02) al mismo tiempo que satisfaga los requerimientos gubernamentales. Definición del problema: Problema: Desconocimiento del plan para maximizar la producción diaria total de CS-01 y CS-02 cumpliendo los requerimientos gubernamentales. Objetivo: Identificar el plan para maximizar la producción diaria total de CS-01 y CS-02, cumpliendo los requerimientos gubernamentales. Desarrollo del modelo matemático y recolección de datos: Definición de las variables de decisión: CS1A: Cantidad de producto de CS-01 enviado por el dispositivo 1. CS1B: Cantidad de producto de CS-01 enviado por el dispositivo 2. CS2A: Cantidad de producto de CS-02 enviado por el dispositivo 1. CS2B: Cantidad de producto de CS-02 enviado por el dispositivo 2.

Definición de las restricciones Restricciones 15𝐶𝑆1𝐴 + 17.5𝐶𝑆1𝐵 ≤ 43

24𝐶𝑆2𝐴 + 32𝐶𝑆2𝐵 ≤ 43 4𝐶𝑆1𝐴 + 10𝐶𝑆1𝐵 ≤ 20 6𝐶𝑆2𝐴 + 15𝐶𝑆2𝐵 ≤ 20 34.4𝐶𝑆1𝐴 + 28𝐶𝑆1𝐵 ≤ 50 27𝐶𝑆2𝐴 + 12𝐶𝑆2𝐵 ≤ 50

Restricciones Lógicas: 𝐶𝑆1𝐴, 𝐶𝑆2𝐵, 𝐶𝑆𝐴𝐵, 𝐶𝑆2𝐵 ≥ 0 Definición de la Función Objetivo: 𝑀𝑎𝑥 𝑍: 𝐶𝑆1𝐴 + 𝐶𝑆2𝐵 + 𝐶𝑆2𝐴 + 𝐶𝑆2𝐵

Modelo Matemático 𝑀𝑎𝑥 𝑍: 𝐶𝑆1𝐴 + 𝐶𝑆1𝐵 + 𝐶𝑆2𝐴 + 𝐶𝑆2𝐵 St. 24𝐶𝑆2𝐴 + 32𝐶𝑆2𝐵 ≤ 43 4𝐶𝑆1𝐴 + 10𝐶𝑆1𝐵 ≤ 20 6𝐶𝑆2𝐴 + 15𝐶𝑆2𝐵 ≤ 20 34.4𝐶𝑆1𝐴 + 28𝐶𝑆1𝐵 ≤ 50 27𝐶𝑆2𝐴 + 12𝐶𝑆2𝐵 ≤ 50