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PROBLEMAS 339 PROBLEMAS Ingeniería Química/Bioingeniería 12.1 Lleve a cabo el mismo cálculo que en la sección 12.1, pe

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PROBLEMAS

339

PROBLEMAS Ingeniería Química/Bioingeniería 12.1 Lleve a cabo el mismo cálculo que en la sección 12.1, pero cambie c01 a 40 y c03 a 10. También cambie los flujos siguientes: Q01 = 6, Q12 = 4, Q24 = 2 y Q44 = 12. 12.2 Si la entrada al reactor 3 de la sección 12.1, disminuye 25 por ciento, utilice la matriz inversa para calcular el cambio porcentual en la concentración de los reactores 1 y 4. 12.3 Debido a que el sistema que se muestra en la figura 12.3 está en estado estacionario (estable), ¿qué se puede afirmar respecto de los cuatro flujos: Q01, Q03, Q44 y Q55? 12.4 Vuelva a calcular las concentraciones para los cinco reactores que se muestran en la figura 12.3, si los flujos cambian como sigue: Q01 = 5

Q31 = 3

Q25 = 2

Q23 = 2

Q15 = 4

Q55 = 3

Q54 = 3

Q34 = 7

Q12 = 4

Q03 = 8

Q24 = 0

Q44 = 10

12.5 Resuelva el mismo sistema que se especifica en el problema 12.4, pero haga Q12 = Q54 = 0 y Q15 = Q34 = 3. Suponga que las entradas (Q01, Q03) y las salidas (Q44, Q55) son las mismas. Use la conservación del flujo para volver a calcular los valores de los demás flujos. 12.6 En la figura P12.6 se muestran tres reactores conectados por tubos. Como se indica, la tasa de transferencia de productos químicos a través de cada tubo es igual a la tasa de flujo (Q, en unidades de metros cúbicos por segundo) multiplicada por la concentración del reactor desde el que se origina el flujo (c, en unidades de miligramos por metro cúbico). Si el sistema se encuentra en estado estacionario (estable), la transferencia de entrada a cada reactor balanceará la de salida. Desarrolle las ecuaciones del balance de masa para los reactores y resuelva las tres ecuaciones algebraicas lineales simultáneas para sus concentraciones.

Figura P12.6 Tres reactores unidos por tubos. La tasa de transferencia de masa a través de cada tubo es igual al producto de flujo Q y la concentración c del reactor desde el que se origina el flujo.

400 mg/s

12.7 Con el empleo del mismo enfoque que en la sección 12.1, determine la concentración de cloruro en cada uno de los Grandes Lagos con el uso de la información que se muestra en la figura P12.7. 12.8 La parte baja del río Colorado consiste en una serie de cuatro almacenamientos como se ilustra en la figura P12.8. Puede escribirse los balances de masa para cada uno de ellos, lo que da por resultado el conjunto siguiente de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas: 0 0 0 ⎤ ⎡ 13.42 ⎢ −13.422 12.252 0 0 ⎥ ⎢ ⎥ −12.252 12.377 0 ⎥ ⎢ 0 ⎢ 0 0 −12.377 11.797 ⎥⎦ ⎣

donde el vector del lado derecho consiste en las cargas de cloruro hacia cada uno de los cuatro lagos y c1, c2, c3 y c4 = las concentraciones de cloruro resultantes en los lagos Powell, Mead, Mohave y Havasu, respectivamente. a) Use la matriz inversa para resolver cuáles son las concentraciones en cada uno de los cuatro lagos. b) ¿En cuánto debe reducirse la carga del lago Powell para que la concentración de cloruro en el lago Havasu sea de 75? c) Con el uso de la norma columna-suma, calcule el número de condición y diga cuántos dígitos sospechosos se generarían al resolver este sistema. 12.9 En la figura P12.9 se ilustra un proceso de extracción en etapas. En tales sistemas, una corriente que contiene una fracción de peso Yent de un producto químico ingresa por la izquierda con una tasa de flujo de masa de F1. En forma simultánea, un solvente que lleva una fracción de peso Xent del mismo producto quí-

Q13c1

Q33c3 3

1

Q21c2

⎧ c1 ⎫ ⎧ 750.5⎫ ⎪c ⎪ ⎪ 300 ⎪ ⎪ ⎪ 2⎪ ⎪ ⎬ ⎨ ⎬=⎨ c 102 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩c4 ⎪⎭ ⎪⎩ 30 ⎪⎭

Q12c1

2

Q23c2

200 mg/s Q33 Q13 Q12 Q23 Q21

= = = = =

120 40 80 60 20

ESTUDIO DE CASOS: ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES

340

QSH = 67 QMH = 36 QHE = 161 QEO = 182 QOO = 212

180

QSHcS

Superior

740 3850 QHEcH

710

Hurón

4720 QEOcE Superior Erie

Figura P12.7 Balance del cloro en los Grandes Lagos. Las flechas numeradas denotan entradas directas.

QOOcO Michigan QMHcM

Ontario

donde K se denomina coeficiente de distribución. La ecuación (P12.9b) puede resolverse para Xi y se sustituye en la ecuación (P12.9a) para producir

Alto río Colorado

⎛ ⎛F ⎞ F ⎞ Yi –1 – ⎜1 + 2 K ⎟ Yi + ⎜ 2 K ⎟ Yi +1 = 0 F1 ⎠ ⎝ ⎝ F1 ⎠

c1 Lago Powell

c2 Lago Mead

c3 Lago Mohave

c4 Lago Havasu

(P12.9c)

Si F1 = 500 kg/h, Yent = 0.1, F2 = 1000 kg/h, Xent = 0 y K = 4, determine los valores de Ysal y Xsal, si se emplea un reactor de cinco etapas. Obsérvese que debe modificarse la ecuación (P12.9c) para tomar en cuenta las fracciones de peso del flujo de entrada cuando se aplique a la primera y última etapas. 12.10 Una reacción de primer orden, irreversible (véase la sección 28.1), tiene lugar en cuatro reactores bien mezclados (véase la figura P12.10), A ⎯k⎯ →B

FIGURA P12.8 El bajo río Colorado.

Así, la tasa a la cual A se transforma en B se representa por Rab = kV c

mico entra por la derecha con una tasa de flujo de F2. Así, para la etapa i, el balance de masa se representa como F1Yi–1 + F2Xi+1 = F1Yi + F2Xi

(P12.9a)

En cada etapa, se supone que se establece el equilibrio entre Yi y Xi, como en K=

Xi Yi

(P12.9b)

Los reactores tienen volúmenes diferentes, y debido a que se operan a temperaturas diferentes, cada uno tiene distinta tasa de reacción: Reactor

V, L

k, h–1

1 2 3 4

25 75 100 25

0.075 0.15 0.4 0.1

PROBLEMAS

341

Flujo = F2

xsal

x2

x3

1

2 0

yent

xi

xi + 1 0i

•••

y1

y2

xn – 1

yi

xent

n–1

•••

yi – 1

xn 0 n

yn – 2

yn – 1

ysal

Flujo = F1

Figura P12.9 Una etapa del proceso de extracción.

Q32 = 5

cG0

QG

cG1

cG2

cG3

cL1

cL2

cL3

cG4

cG5

cL4

cL5

QG

D Qent = 10

1

cA,ent = 1

2

3

4

Q43 = 3

QL

QL

cL6

Figura P12.12

Figura P12.10

Q1

Q3

Q2

3Q7 – 2Q6 = 0 Q1 = Q2 + Q3 Q3 = Q4 + Q5 Q5 = Q6 + Q7

Q5

Q4

Q6

Q7

Figura P12.11

Determine la concentración de A y B en cada uno de los reactores en estado estable. 12.11 Una bomba peristáltica envía un flujo unitario (Q1) de un fluido muy viscoso. En la figura P12.11 se ilustra la red. Cada sección de tubo tiene la misma longitud y diámetro. El balance de masa y energía mecánica se simplifica para obtener los flujos en cada tubo. Resuelva el sistema de ecuaciones siguiente a fin de obtener el flujo en cada corriente. Q3 + 2Q4 – 2Q2 = 0 Q5 + 2Q6 – 2Q4 = 0

12.12 La figura P12.12 ilustra un proceso de intercambio químico que consiste en una serie de reactores en los que un gas que fluye de izquierda a derecha pasa por un líquido que fluye de derecha a izquierda. La transferencia de un producto químico del gas al líquido ocurre a una tasa proporcional a la diferencia entre las concentraciones del gas y el líquido en cada reactor. En estado estacionario (estable), el balance de masa para el primer rector se puede escribir para el gas, así QG cG 0 − QG cG1 + D(cL1 − cG1 ) = 0 y para el líquido, QL cL 2 − QL cL1 + D(cG1 − cL1 ) = 0 donde QG y QL son las tasas de flujo del gas y el líquido, respectivamente, y D = tasa de intercambio gas-líquido. Es posible escribir otros balances similares para los demás reactores. Resuelva para las concentraciones con los siguientes valores dados: QG = 2, QL = 1, D = 0.8, cG0 = 100, cL6 = 10.

ESTUDIO DE CASOS: ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES

342

Ingeniería civil/ambiental 12.13 Un ingeniero civil que trabaja en la construcción requiere 4 800, 5 800 y 5 700 m3 de arena, grava fina, y grava gruesa, respectivamente, para cierto proyecto constructivo. Hay tres canteras de las que puede obtenerse dichos materiales. La composición de dichas canteras es la que sigue Arena %

Grava fina %

Grava gruesa %

55 25 25

30 45 20

15 30 55

Cantera 1 Cantera 2 Cantera 3

¿Cuántos metros cúbicos deben extraerse de cada cantera a fin de satisfacer las necesidades del ingeniero? 12.14 Ejecute el mismo cálculo que en la sección 12.2, pero para la trabe que se ilustra en la figura P12.14. 12.15 Realice el mismo cálculo que en la sección 12.2, pero para la trabe que se muestra en la figura P12.15. 12.16 Calcule las fuerzas y reacciones para la viga de la figura 12.4, si en el nodo 1 se aplica una fuerza hacia abajo de 2 500 kg y otra horizontal hacia la derecha de 2 000 kg.

12.17 En el ejemplo de la figura 12.4, donde en el nodo 1 se aplica una fuerza hacia debajo de 1 000 libras, se calcularon las reacciones externas V2 y V3. Pero si se hubieran dado las longitudes de los miembros de las trabes habría podido calcularse V2 y V3 haciendo uso del hecho de que V2 + V3 debe ser igual a 1 000, y con la suma de momentos alrededor del nodo 2. Sin embargo, debido a que se conocen V2 y V3, es posible trabajar a la inversa para resolver cuáles son las longitudes de los miembros de las trabes. Obsérvese que debido a que hay tres longitudes desconocidas y sólo dos ecuaciones, se puede resolver sólo para la relación entre las longitudes. Resuelva para esta relación. 12.18 Con el mismo método que se usó para analizar la figura 12.4, determine las fuerzas y reacciones para las trabes que se ilustran en la figura P12.18. 12.19 Resuelva para las fuerzas y reacciones para las trabes que se aprecia en la figura P12.19. Determine la matriz inversa para el sistema. ¿Parece razonable la fuerza del miembro vertical en el miembro de en medio? ¿Por qué?

Figura P12.18

Figura P12.14

500 45⬚

600

250 30⬚

1 200 30⬚

45⬚ 45⬚

30⬚

Figura P12.19

Figura P12.15

500

1 000

60⬚ 60⬚

45⬚

45⬚

60⬚

45⬚

30⬚

5 000

45⬚

PROBLEMAS

343

Qd = 100 m3/hr

Qc = 150 m3/hr Qb = 50 m3/hr cb = 2 mg/m3

2 (Sección de niños)

Qa = 200 m3/hr 3

ca = 2 mg/m Carga por fumadores (1 000 mg/hr)

25 m3/hr 4 50 m3/hr

Figura P12.20 Vista de arriba de las áreas en un restaurante. Las flechas en un solo sentido representan flujos volumétricos de aire, mientras que las de dos sentidos indican mezclas difusivas. Las cargas debidas a los fumadores y a la parrilla agregan masa de monóxido de carbono al sistema pero con un flujo de aire despreciable.

1 (Sección de fumar)

25 m3/hr 3

Carga por la parrilla (2 000 mg/hr)

12.20 Como su nombre lo dice, la contaminación del aire interior se refiere a la contaminación del aire en espacios cerrados, tales como casas, oficinas, áreas de trabajo, etc. Suponga que usted está diseñando el sistema de ventilación para un restaurante como se ilustra en la figura P12.20. El área de servicio del restaurante consiste en dos habitaciones cuadradas y otra alargada. La habitación 1 y la 3 tienen fuentes de monóxido de carbono que proviene de los fumadores y de una parrilla defectuosa, respectivamente. Es posible plantear los balances de masa en estado estacionario para cada habitación. Por ejemplo, para la sección de fumadores (habitación 1), el balance es el siguiente

D

0 = Wfumador + Qaca – Qac1 + E13(c3 – c1) (carga) + (entrada) – (salida) + (mezcla)

B

o al sustituir los parámetros A

2.4 m

225c1 – 25c3 = 1 400 Para las demás habitaciones se pueden escribir balances similares. a) Resuelva para la concentración de monóxido de carbono en estado estacionario en cada habitación. b) Determine qué porcentaje del monóxido de carbono en la sección de niños se debe a (i) los fumadores, (ii) la parrilla, y (iii) el aire que entra por ventilación. c) Si las cargas de los fumadores y la parrilla se incrementan a 2 000 y 5 000 mg/hr, respectivamente, utilice la matriz inversa para determinar el aumento en la concentración en la sección de niños. d) ¿Cómo cambia la concentración en el área de niños si se construye una pantalla de modo que la mezcla entre las áreas 2 y 4 disminuya a 5 m3/h?

C

0.6

8

m

x

0.8

m

1m

0.

m

y

Figura 12.21

12.21 Se aplica una fuerza hacia arriba de 20 kN en la cúspide de un trípode como se ilustra en la figura P12.21. Determine las fuerzas en las patas del trípode. 12.22 Se carga una trabe según se ilustra en la figura P12.22. Con el uso del conjunto siguiente de ecuaciones, resuelva para las 10 incógnitas: AB, BC, AD, BD, CD, DE, CE, Ax, Ay y Ey.

ESTUDIO DE CASOS: ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES

344

R = 30 ⍀

3

R = 35 ⍀

2

1 V1 = 10 voltios

24 kN R

B

74 kN

C

R=8⍀

=7



R = 10 ⍀

R = 15 ⍀ 4

R=5⍀ 5

6

V6 = 150 voltios

Figura P12.24

4m

4

5⍀

0⍀

7

9

E

A 3m

3m

D

20 ⍀

20 ⍀ 5⍀

Figura P12.22

3 5⍀

3

R = 15 ⍀

R = 10 ⍀

2

R=2⍀

1

4

8 5

1 V1 = 120

R = 25 ⍀ 5

50 ⍀

2

R=5⍀

R=5⍀

10 ⍀ 20 ⍀

V1 = 200 voltios

15 ⍀

6

6

V6 = 0 voltios

Figura P12.23

V2 = 40

Figura P12.25

Metal, Plástico, Hule Componente g/componente g/componente g/componente

Ax + AD = 0

–24 – CD – (4/5)CE = 0

Ay + AB = 0

–AD + DE – (3/5)BD = 0

74 + BC + (3/5)BD = 0

CD + (4/5)BD = 0

– AB – (4/5)BD = 0

– DE – (3/5)CE = 0

– BC + (3/5)CE = 0

Ey + (4/5)CE = 0

Ingeniería eléctrica 12.23 Efectúe el mismo cálculo que en la sección 12.3, pero para el circuito que se ilustra en la figura P12.23. 12.24 Realice el mismo cálculo que en la sección 12.3, pero para el circuito que se muestra en la figura P12.24. 12.25 Resuelva el circuito que aparece en la figura P12.25, para las corrientes en cada conductor. Utilice la eliminación de Gauss con pivoteo. 12.26 Un ingeniero eléctrico supervisa la producción de tres tipos de componentes eléctricos. Para ello se requieren tres clases de material: metal, plástico y caucho. A continuación se presentan las cantidades necesarias para producir cada componente.

1 2 3

15 17 19

0.30 0.40 0.55

1.0 1.2 1.5

Si cada día se dispone de un total de 3.89, 0.095 y 0.282 kg de metal, plástico y caucho, respectivamente, ¿cuántos componentes puede producirse por día? 12.27 Determine las corrientes para el circuito de la figura P12.27: 12.28 Calcule las corrientes en el circuito que aparece en la figura P12.28: 12.29 El sistema de ecuaciones que sigue se generó por medio de aplicar la ley de malla de corrientes al circuito de la figura P12.29: 55I1 – 25I4 = –200 –37I3 – 4I4 = –250 –25I1 – 4I3 + 29I4 = 100 Encuentre I1, I3 e I4.

PROBLEMAS

10 ⍀

5⍀

80 V + –

15 ⍀

345

20 ⍀

10 ⍀

+ 50 V –

25 ⍀

10 A

I1

20 ⍀

25 ⍀

Figura P12.27

100 V + –

I2

25 ⍀ 4⍀

I4

8⍀

I3

6⍀

Figura P12.29 j2 4⍀

20 V + –

i1

Ingeniería mecánica/aerospacial 12.31 Lleve a cabo el mismo cálculo que en la sección 12.4, pero agregue un tercer resorte entre las masas 1 y 2, y triplique el valor de k para todos los resortes. 12.32 Realice el mismo cálculo que en la sección 12.4, pero cambie las masas de 2, 3 y 2.5 kg por otras de 10, 3.5 y 2 kg, respectivamente. 12.33 Los sistemas idealizados de masa-resorte tienen aplicaciones numerosas en la ingeniería. La figura P12.33 muestra un arreglo de cuatro resortes en serie comprimidos por una fuerza de 1500 kg. En el equilibrio, es posible desarrollar ecuaciones de balance de fuerza si se definen las relaciones entre los resortes.

8⍀

2⍀

i3

5⍀

Figura P12.28

k2(x2 – x1) = k1x1 k3(x3 – x2) = k2(x2 – x1) k4(x4 – x3) = k3(x3 – x2) F = k4(x4 – x3)

12.30 El sistema de ecuaciones siguiente se generó con la aplicación de la ley de malla de corrientes al circuito de la figura P12.30: 60I1 – 40I2 = 200

donde las k son constantes de los resortes. Si de k1 a k4 son 100, 50, 80 y 200 N/m, respectivamente, calcule el valor de las x. 12.34 Se conectan tres bloques por medio de cuerdas carentes de peso y se dejan en reposo en un plano inclinado (véase la figura P12.34a). Con el empleo de un procedimiento similar al que se usó en el análisis del paracaidista en descenso del ejemplo

–40I1 + 150I2 – 100I3 = 0 –100I2 + 130I3 = 230 Encuentre I1, I2 e I3.

Figura P12.30 20 ⍀

200 V + –

I1

10 ⍀

40 ⍀

I2

80 V –+

100 ⍀

I3

30 ⍀

I4

10 A

ESTUDIO DE CASOS: ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES

346

x

9.11 se llega al conjunto siguiente de ecuaciones simultáneas (en la figura P12.34b se muestran los diagramas de cuerpo libre):

F

100a + T = 519.72 50a – T + R = 216.55 25a – R = 108.27

x4 k4

Resuelva para la aceleración a y las tensiones T y R en las dos cuerdas. 12.35 Efectúe un cálculo similar al que se utilizó en el problema P12.34, pero para el sistema que se ilustra en la figura P12.35. 12.36 Realice el mismo cálculo que en el problema 12.34, pero para el sistema que se muestra en la figura P12.36 (los ángulos son de 45º). 12.37 Considere el sistema de tres masas y cuatro resortes que aparece en la figura P12.37. Al determinar las ecuaciones de movimiento a partir de ∑ Fx = ma, para cada masa con el empleo de su diagrama de cuerpo libre, se llega a las ecuaciones diferenciales siguientes:

x3 k3 x2 k2 x1 k1 0

⎛k +k ⎞ ⎛k ⎞ x˙˙1 + ⎜ 1 2 ⎟ x1 – ⎜ 2 ⎟ x2 = 0 ⎝ m1 ⎠ ⎝ m1 ⎠

Figura P12.33

⎛k ⎞ ⎛k +k ⎞ ⎛k ⎞ ˙˙ x2 – ⎜ 2 ⎟ x1 + ⎜ 2 3 ⎟ x2 – ⎜ 3 ⎟ x3 = 0 ⎝ m2 ⎠ ⎝ m2 ⎠ ⎝ m2 ⎠ ⎛k ⎞ ⎛k +k ⎞ ˙˙ x 3 – ⎜ 3 ⎟ x 2 + ⎜ 3 4 ⎟ x3 = 0 ⎝ m3 ⎠ ⎝ m3 ⎠

10

0

kg

50

a,

kg

ac

el

er

ac

25



n

kg

Figura P12.34

45⬚

346.48

50 ⫻ 9.8 = 490

b)

.9 7 64 = 0. ⫻

24 17

3. 2

4

3. 17

8 6. 4 34

T

37

75 ⫻

48 6. 34

6 2. 9 69

100 ⫻ 9.8 = 980

0. 3

5 0. 2 ⫻

96 2. 69

692.96

5

=

R

=

T

12

17

9.

3. 24

93

a)

R

173.24

25 ⫻ 9.8 = 245