1 Matemática Recreativa I COLEGIO PRIVADO " MARIA INMACULADA " - RAZONAMIENTO MATEMATICO - PRIMERO DE SECUNDARIA - FER
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Matemática Recreativa I
COLEGIO PRIVADO " MARIA INMACULADA " - RAZONAMIENTO MATEMATICO - PRIMERO DE SECUNDARIA - FERREÑAFE
* Ejemplo 1 Quitar dos palitos de fósforo para que queden solamente cuatro cuadrados iguales.
Objetivo del Tema El objetivo principal en este capítulo es resolver los problemas utilizando el razonamiento y la lógica como herramienta principal, en otras palabras, vamos a resolver los problemas utilizando a la matemática como un juego recreativo e interesante, pero sobretodo divertido, para lo cual esperamos que uses todo tu ingenio, habilidad matemática y creatividad. En el presente capítulo vamos a analizar tres tipos de situaciones problemáticas:
Resolución
1. Situaciones con palitos de fósforo 2. Transmisiones y engranajes 3. División de figuras 1. SITUACIONES CON PALITOS DE FÓSFORO Esta parte de la matemática recreativa trata de resolver situaciones en los cuales intervienen palitos de fósforo o cerillas.
Al eliminar los palitos indicados, quedarán cuatro cuadrados iguales de la siguiente manera:
Las situaciones problemáticas se dividen en tres tipos de análisis: a. Resolver las situaciones quitando palitos. b. Resolver las situaciones moviendo palitos. c. Resolver las situaciones agregando palitos. Estimado alumno para el análisis de las situaciones anteriormente descritas debes de tener en cuenta las siguientes consideraciones: • No es válido doblar o romper los palitos. • En las figuras conformadas por cerillas no es válido dejar palitos libres (cabos sueltos); es decir, es incorrecto dejar una figura de la siguiente manera:
Palito libre o cabo suelto Palito libre
Veamos a continuación unos ejemplos
* Ejemplo 2 En la siguiente igualdad incorrecta mover solamente un palito de fósforo y transformarlo en una igualdad correcta.
Resolución Todos nosotros sabemos que 3 - 1 es igual a 2 y no a 3 como aparece en la igualdad propuesta, por lo tanto para lograr transformarla en una igualdad correcta hay que mover un palito de la siguiente manera:
1
b. Situación 2
B
A
Y obtenemos una verdadera igualdad, ya que 2 + 1 es igual a 3. * Ejemplo 3 En la figura adjunta agregar cuatro palitos de fósforo y obtener uno.
Si la rueda "A" gira en sentido horario entonces la rueda "B" girará en sentido horario. Conclusión: Dos ruedas unidas por una faja abierta girarán en sentidos iguales. c. Situación 3
A
B
Resolución Seguro que muchos pensaron en formar el número uno (1), pero el razonamiento correcto es formar la palabra UNO; para ello hay que agregar cuatro palitos de la siguiente manera:
Si la rueda "A" gira en sentido horario entonces la rueda "B" girará en sentido antihorario. Conclusión: Dos ruedas unidas por una faja cruzada girarán en sentidos opuestos. d. Situación 4 A
2. TRANSMISIONES Y ENGRANAJES
B
En esta segunda parte analizaremos la transmisión del movimiento que van a adquirir los engranajes y las ruedas propuestas. NOTA: No olvidar que existen dos tipos de giros:
Giro horario
Giro antihorario
Si la rueda "A" gira en sentido horario entonces la rueda "B" girará en sentido horario. Conclusión: Dos ruedas unidas por el mismo eje girarán en sentidos iguales. A continuación resolveremos dos ejercicios con lo anteriormente deducido:
Para una mejor comprensión del tema analizaremos y completaremos las siguientes situaciones:
Ejercicio 1
a. Situación 1
Si la rueda "A" gira en el sentido que indica la flecha, ¿en qué sentidos giran las ruedas "B" y "C" respectivamente?
A
B
Si la rueda "A" gira en sentido horario entonces la rueda "B" girará en sentido antihorario. Conclusión: Dos ruedas en contacto girarán en sentidos opuestos.
2
A
C
B
B. ____________________ C. ____________________ Primer Año de Secundaria
Ejercicio 2
Y como observamos hemos obtenido cuatro partes.
Si la rueda "A" gira en sentido antihorario, ¿en qué sentido giran las ruedas "B" y "C" respectivamente?
2
1 3
A
4
B
C
* Ejemplo 2 Rommel tiene cuatro hijos y un terreno de la siguiente forma:
B. ____________________ C. ____________________ 3. DIVISIÓN DE FIGURAS En esta última parte de matemática recreativa analizaremos la división de figuras en función de diversas situaciones razonadas. Para ello estimado alumno Trilce tendrás que utilizar toda tu agudeza e ingenio matemático para sus respectivas resoluciones. Veamos a continuación algunos ejemplos: * Ejemplo 1
En su testamento ha dispuesto que cada uno de ellos reciba la misma forma y tamaño de terreno (es decir, cada hijo debe recibir un terreno exactamente igual al otro). ¿Cómo logró realizar lo requerido? Resolución Rommel utilizando su ingenio y creatividad dividió su terreno en cuatro partes exactamente iguales de la siguiente manera:
Trazar dos líneas rectas y lograr dividir la figura adjunta en cuatro partes. Resolución Realizamos los dos trazos de la siguiente forma:
3
Test de Aprendizaje 1. A continuación se muestra una operación incorrecta formada por palitos de fósforo:
4. En la siguiente figura, ¿cuántos palitos hay que quitar como mínimo para obtener tres triángulos iguales?
Se le pide a Ud. que mueva un palito de fósforo para transformarla en una igualdad correcta.
2. Observe la siguiente figura conformada por palitos de fósforo:
5. En la figura adjunta, ¿cuántos palitos hay que agregar como mínimo para lograr obtener dos triángulos iguales y un rombo? Se le pide a Ud. que quite dos palitos de fósforo con la finalidad de obtener tres cuadrados iguales.
3. En la igualdad incorrecta que se propone a continuación, ¿cuántos palitos hay que mover como mínimo para lograr convertirla en una igualdad correcta? 6. En los engranajes que se proponen a continuación, la rueda "A" gira en sentido horario. Determinar en qué sentido giran las ruedas "B" y "C" respectivamente. A
B
C
La rueda "B" gira en sentido: ___________________ La rueda "C" gira en sentido: ___________________
4
Primer Año de Secundaria
Ejercicios
4. Cambiando de posición un palito de fósforo hacer que el animal representado mire al otro lado.
Nivel I En los problemas que se proponen a continuación las igualdades son incorrectas, en cada uno de ellos mueva Ud. solamente un palito de fósforo y logre transformarlas en igualdades correctas.
Resolución
1.
Resolución 5. Se ha construido una casa utilizando diez palitos de fósforo. Cambiar en ella la posición de dos palitos de fósforo, de tal forma que la casa aparezca de otro costado.
2.
Resolución
Resolución
6. Se tienen doce palitos de fósforos dispuestos como muestra el gráfico adjunto, usted debe retirar dos palitos de fósforo y lograr que queden solo dos cuadrados. 3.
Resolución
Resolución
6
Primer Año de Secundaria
7. Si la rueda "A" gira en sentido horario, ¿en qué sentido giran las ruedas "B" y "C"?
10.Si el engranaje "E" gira tal y como indica la flecha, mencione qué engranajes giran en sentido antihorario.
B
C
B
C
A E A
"B" gira en sentido __________
D
"C" gira en sentido __________ 8. ¿En qué sentido giran los engranajes "A" y "D", si "C" gira en el sentido que indica la flecha?
A
Respuesta: __________ 11.Si el engranaje "6" gira en el sentido que indica la flecha, diga Ud. qué engranajes giran en sentido horario.
B
3 C
2
4
1
D E
6
5
"A" gira en sentido __________ Respuesta: __________
"D" gira en sentido __________ 9. Si el engranaje "A" se mueve como indica la flecha, indicar en qué sentidos giran "C", "D" y "E".
12.El sistema que se propone a continuación, ¿se mueve?
A
Sí
B
¿Por qué? _________________
C D
No
E
13.La siguiente figura muestra un cuadrado que debe dividirse en tres partes trazando dos rectas que cortan al cuadrado.
"C" gira en sentido __________ "D" gira en sentido __________ "E" gira en sentido __________
7
14.La siguiente figura muestra un rectángulo que debe dividirse en siete partes trazando tres rectas que cortan al rectángulo.
15.Dividir a la luna que se propone a continuación en seis partes trazando solamente dos rectas.
Resolución
3. ¿Cuál será la menor cantidad de palitos a mover para que el perrito mire para el otro sentido? Observación: el perrito debe estar siempre con la cola hacia arriba.
Nivel II 1. La siguiente figura representa un recogedor, dentro del cuál se encuentra un papel. Cambiando de posición dos palitos del recogedor, el papel debe quedar afuera; ¿qué palitos tendrían que moverse?
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
4. ¿Cuántos palitos de fósforo como mínimo debes agregar para formar ocho cuadrados?
Resolución
a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5
5. ¿Cuántos palitos de fósforo debes retirar como mínimo para que quede uno?
2. Cambiando la posición de dos palitos de fósforo hay que reducir de 5 a 4, el número de cuadrados. ¿Cómo lo harías?
8
a) 6 d) 8
b) 7 e) 4
c) 5
Primer Año de Secundaria
6. ¿En qué sentido giran "B" y "C", si el engranaje "A" gira en el sentido que indica la flecha?
10.¿En qué sentido giran "B" y "C" respectivamente, si "A" gira en el sentido que indica la flecha? B
B A
C
C
A
B. __________
C. __________
7. Si el engranaje "1" se mueve como indica la flecha, decir cuántos se mueven en sentido horario. 1
a) b) c) d) e)
Antihorario, antihorario Horario, antihorario Antihorario, horario Horario, horario No giran
Nivel III 1. Colocaremos doce palitos de fósforo de la siguiente manera:
a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
c) 4
8. Dividir la figura en cuatro partes exactamente iguales en forma y tamaño. Resolución
Ahora responde lo siguiente: a. Forma tres cuadrados moviendo cuatro palitos Resolución
9. Dividir la figura en cuatro partes exactamente iguales en forma y tamaño. Resolución
b. Con los datos del problema inicial, forma cinco cuadrados moviendo cuatro palitos. Resolución
9
2. Con tres líneas rectas dividir la figura en siete partes, de tal manera que en cada parte haya un círculo.
5. ¿Cuántos palitos como mínimo debes mover, para que la igualdad se verifique?
a) 1 d) 4 3. Una llave está formada por diez palitos de fósforo. ¿Cuántos palitos cómo mínimo debes cambiar de posición para que resulten tres cuadrados iguales?
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
b) 2 e) 5
c) 3
6. Esta balanza compuesta por nueve cerillos se halla en desequilibrio. Moviendo cinco cerillos debe quedar equilibrada la balanza, ¿cómo lo harías?
c) 3
4. Indicar cuántos giran en sentido horario, si el engranaje "A" gira en el sentido que indica la flecha. A
a) 5 d) 4
b) 6 e) 8
c) 7
Autoevaluaciòn Se definen los números digitales a los números que aparecen en la pantalla de una calculadora, como por ejemplo: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 En las siguientes operaciones incorrectas, ¿cuántos palitos de fósforo hay que mover como mínimo para transformarla en una operación correcta?
2.
1. a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
3.
a) 1 d) 4
10
b) 2 e) 5
c) 3
Primer Año de Secundaria
* En los siguientes engranajes, determinar cuántas ruedas giran en sentido contrario si se sabe que la rueda "A" gira en sentido antihorario.
5.
4. A
Rpta.: ____________ Rpta.: ____________
Tarea domiciliaria 1. ¿Cuántos palitos de fósforo, como mínimo se tendrá que mover para que la siguiente igualdad resulte verdadera?
5. Si el engranaje “1” se mueve en el sentido de la flecha, indicar cuáles se mueven en sentido antihorario. 2 3
2. ¿Cuántos palitos de fósforo como mínimo se tendrá que mover para que la siguiente igualdad resulte verdadera?
1
4
6. ¿Cuántos palitos de fósforo como mínimo debes quitar para formar cuatro cuadrados del mismo tamaño?
3. ¿Cuántos palitos de fósforo como mínimo se tendrá que mover para que la siguiente igualdad resulte verdadera? 7. ¿Cuántos palitos de fósforo como mínimo debes quitar para formar cuatro cuadrados del mismo tamaño? 4. Si el engranaje “1” se mueve como indica la flecha, ¿cuántos se mueven en sentido horario?
1
11
8. ¿Cuántos palitos de fósforo como mínimo debes quitar para formar tres cuadrados iguales?
9. ¿Cuántos palitos de fósforo como mínimo debes mover para formar cinco cuadrados?
10.¿Cuántos palitos de fósforo como mínimo deben quitarse para formar tres cuadrados?
13.¿Cuántos engranajes giran en sentido horario y cuántos en sentido antihorario respectivamente?
14.¿Cuántos engranajes giran en sentido horario y cuántos en sentido antihorario respectivamente?
15.¿Cuántos engranajes giran en sentido contrario a la flecha indicada?
16.¿Cuántos palitos de fósforo como mínimo debes quitar para formar dos cuadrados del mismo tamaño?
11.¿Cuántos palitos de fósforo como mínimo debes quitar para formar dos cuadrados?
12.Si el engranaje “5” se mueve en el sentido de la flecha, indicar cuáles se mueven en sentido horario.
2
17. ¿Cuántos palitos de fósforo como mínimo debes quitar para formar cinco cuadrados iguales?
45 3
6 1
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Primer Año de Secundaria
18.¿Cuántos palitos de fósforo como mínimo debes quitar para formar cuatro triángulos iguales?
23.Mover un palito de fósforo para lograr una igualdad real.
• De la figura, trata de realizar todos los juegos:
19.¿Cuántos palitos de fósforo como mínimo debes agregar para formar seis cuadrados?
24.Quitar tres palitos para que queden tres cuadrados iguales. 25.Quitar cuatro palitos para que queden solo dos cuadrados. 26.Quitar dos palitos para que queden tres cuadrados. 27. Mover cuatro palitos para que se forme cuatro cuadrados.
20.¿Cuántos palitos de fósforo como mínimo debes agregar para formar cinco rombos?
• Trata de realizar todos los juegos.
21.¿Cuántos palitos de fósforo como mínimo debes mover para formar cuatro triángulos iguales?
28.Quitar ocho palitos para que queden dos cuadrados. 29.Quitar cuatro palitos para formar cinco cuadrados iguales. 30.Mover cuatro palitos para formar seis cuadrados iguales pequeños y dos grandes. 22.¿Cuántos engranajes giran en sentido horario y cuántos en sentido antihorario?
A
B
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