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• AdriánOttaviani

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Números Reales Se distinguen distintas clases de números: Los números naturales son {1; 2; 3;…}, el conjunto de todos ellos se representa por . • • • • •

El conjunto es infinito. El primer elemento es el 1 y no tiene último elemento Todo número natural tiene sucesor. Si n œ , $ n+1 œ , siendo n+1 el sucesor de n. Todo número natural tiene antecesor excepto el 1. Entre dos números naturales no consecutivos hay un número finito de números naturales. Se dice que es discreto.

Para los números naturales la suma y el producto están definidos y su resultado es otro natural pero la resta y el cociente no siempre lo están. La diferencia entre dos números naturales a y b es otro número natural c ⇔ c+b=a. Para que esa operación sea posible, a debe ser mayor que b. Las operaciones 1-2 o 3-3, no pueden efectuarse. El cociente entre dos números naturales a y b es otro número natural c ⇔ c.b=a. El cociente 15/7 no puede efectuarse porque no existe ningún número natural que multiplicado por 7 de por resultado 15. Para que la resta esté definida es necesario ampliar al conjunto del los naturales con la inclusión del cero y los números negativos formando el conjunto de los números enteros {0; ±1; ±2;…}, el cual se representa por . • • • •

El conjunto es infinito. El conjunto no tiene ni primero ni último elemento. Todo número entero tiene un antecesor y un sucesor. Entre dos números enteros no consecutivos hay un número finito de números enteros. Se dice que es discreto.

Los números racionales pueden representar valores más pequeños que la unidad y son aquellos que pueden ser expresados como una fracción m/n donde m y n son enteros y n ∫ 0, cuyo conjunto representamos por (los números naturales y enteros son números racionales cuyo denominador es 1). Los números racionales son precisamente los números reales con expansiones decimales que son: a) finitas (las que terminan con una secuencia infinita de ceros) por ejemplo: ¾ = 0,75000000….= 0,75 b) periódicas (las que terminan con un bloque que se repite) por ejemplo: 23/11 = 2,090909…. • • •

El conjunto es infinito. El conjunto no tiene ni primero ni último elemento. Entre dos números racionales existen infinitos números racionales, entonces se dice que el conjunto es denso.

También se conocen otros números como p = 3,14159... o el número e = 2,7182818… que no son números racionales y que se llaman números irracionales. Los números irracionales se caracterizan por tener infinitas cifras decimales no periódicas. El conjunto formado por todos los números racionales e irracionales se llama conjunto de los números reales y se representa por . Queda claro que

Õ

Õ

Õ .

Los números reales pueden ser representados en forma geométrica como puntos en una recta numérica, llamada la recta real.

Propiedades básicas de los números reales. Sean a, b y c œ : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.

a+b=b+a a.b=b.a a + (b + c) = (a + b) + c (a .b).c = a.(b.c) a .(b+c) = a.b + a.c a+0=0+a=a a.0=0.a=0 a.1=1.a=a a m. a n = a m + n a m/ a n = a m - n (a m) n = a m . n (a.b)m = a m. b m a. a -1 = 1 ; a ∫ 0

(propiedad conmutativa de la suma) (propiedad conmutativa del producto) (propiedad asociativa de la suma) (propiedad asociativa del producto) (propiedad distributiva) (suma de cero) (multiplicación por cero) (multiplicación por la unidad)

(elemento inverso)

Vale recordar que la división por 0 no está definida, no hay ningún número cuyo inverso sea 0. El número 1/a para valores positivos de a, por ejemplo, se hace arbitrariamente grande cuando el valor se acerca a 0. Decimos que 1/a tiende a infinito cuando a tiende a 0: 1 → ∞ cuando a → 0 a Aunque representamos infinito como ∞, este no es un número. Si lo fuera, por las reglas de álgebra las ecuaciones 1/0 = ∞ y 2/0 = ∞ implicarían que 1 = 2.

Reglas de las desigualdades. Sean a, b y c œ : 1. 2. 3. 4. 5. 6.

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