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FECHA: 2017 - II UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA SECCIONAL BOGOTA AREA:CIENCIAS BASICAS

CURSO: MATEMATICAS ESPECIALES

VERSION: 1.0

UNIDADES 1 Y 2

AREA DE CIENCIAS BASICAS MATEMÁTICAS ESPECIALES AUTOR Nibia Patricia López Salazar, Master en Investigación Universitaria con énfasis en Matemáticas, profesora auxiliar del programa de Ingeniería de la Universidad Cooperativa de Colombia, sede Bogotá. Corre-e [email protected]

TITULO: LOS NÚMEROS COMPLEJOS Y FUNCION COMPLEJA: NOTAS DE CLASE PARA MATEMATICAS ESPECIALES.

RESUMEN El presente documento es un resumen de los aspectos más relevantes de la teoría de los números complejos y el manejo de la función compleja. Se debe concebir como material introductorio y de apoyo para los estudiantes de Matemáticas Especiales en lo referente a los dos primeras unidades del Syllabus correspondiente. En la Unidad 1 se define el conjunto de los números complejos, sus operaciones básicas y las diferentes representaciones. La Unidad 2 se introduce el concepto de función compleja, se definen las funciones fundamentales y se determinan las condiciones para la existencia de la derivada compleja. Al estudiar el documento y realizar los ejercicios propuestos se desarrollan competencias en el manejo del conjunto de los números Complejos y el análisis de la función compleja, conceptos que son ampliamente utilizados cuando se estudian movimientos armónicos, circuitos eléctricos el procesamiento digital de señales, entre otros. PALABRAS CLAVES: Complejos, Representaciones, Función Compleja, Analiticidad, Armónica.

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Tabla de contenido Introducción ........................................................................................................................................................... 3 Unidad 1: Los números complejos ......................................................................................................................... 4 Definición de número complejo ............................................................................................................................ 4 Operaciones Aritméticas Básicas……………………………………………………………………………………5 Interpretación geométrica de un número complejo…………………………………………………………………5 Representaciones de un número complejo…………………………………………………………………………. 6 Potencias de un número complejo…………………………………………………………………………………. 6 Raíces de números complejos……………………………………………………………………………………….7 Apartado final……………………………………………………………………………………………………….8 Ejercicios de aplicación……………………………………………………………………………………………..8 Unidad 2: La función compleja…………………………………………………………………………………….10 Definición de función compleja………………………………………………………………………………….. 10 Funciones complejas elementales…………………………………………………………………………………11 Continuidad………………………………………………………………………………………………………..12 Derivada de una función compleja……………………………………………………………………………… .13 Funciones armónicas………………………………………………………………………………………………14 Apartado final……………………………………………………………………………………………………...15 Ejercicios de aplicación……………………………………………………………………………………………15

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INTRODUCCION Los números complejos fueron durante muchos años motivo de controversia en la comunidad científica, pero poco a poco, por su creciente utilidad acabaron por ser aceptados, aunque no muy bien comprendidos. Los matemáticos necesitaron interpretar en términos físicos sus objetos de estudio para avanzar en la comprensión del conjunto de los números complejos.

Los números complejos son una herramienta básica del cálculo. Son especialmente útiles para trabajar funciones sinosoidales y por eso su uso es constante cuando se representa una señal con dichas funciones. Las transformadas de Fourier y Laplace, herramientas fundamentales en el tratamientos de señales, son funciones complejas.

El programa de Matemáticas Especiales, tal y como está concebido en la Universidad Cooperativa de Colombia, tiene como objetivo final hacer una análisis de Fourier para entender los fenómenos que se pueden representar sinosoidalmente. Este análisis no es comprensible, si antes no se estudia el comportamiento de los números complejos y las características esenciales de la función compleja.

En estas notas de clase se presentan los aspectos mínimos, pero esenciales para la comprensión de los números complejos y la función compleja. Se espera que durante el trabajo presencial con el docente y el individual del estudiante, se profundicen en dichos conceptos y se los asocie con las diferentes aplicaciones en la ingeniería tales como movimientos armónicos, circuitos eléctricos, procesamiento de señales, temas que son objeto de estudio en otras asignaturas de la malla curricular.

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UNIDAD 1: LOS NÚMEROS COMPLEJOS Prefacio: Las primeras referencias a los números complejos datan de los siglos I y III con Herón de Alejandría y Diophantus, en sus obras Stereometría y Arithmética, respectivamente. Mahavira, matemático hindú, (850 d.c) comenta en su tratado de los números negativos que “como en la naturaleza de las cosas una cantidad negativa no es un cuadrado, por tanto no puede tener raíz cuadrada” En el siglo XVI, los italianos Cardan y Bombelli, propusieron la solución de ecuaciones de tercer y cuarto grado, utilizando raíces de números negativos, sin embargo, su trabajo fue ampliamente ignorado y considerado misterioso e incierto. Transcurrieron dos siglos, para que estos números misteriosos se consolidaran en el ambiente matemático. Descartes los bautizó con el nombre de imaginarios. Los números complejos se consolidan a partir del siglo XVIII con Bernoulli, Leibniz, Euler, Gauss y muchos otros renombrados matemáticos. La notación 𝑖 = √−1, se la debemos a Euler, producto de su insistencia en simplificar las expresiones que contenían raíces de números negativos; la definición 𝑖 2 = −1 procede de la notación dada por Euler. En la presente unidad se define número complejo, se especifican las operaciones aritméticas básicas y se puntualiza sobre las distintas representaciones. Al finalizar la unidad se proponen ejercicios que favorecen la comprensión de los conceptos. 1.1 Definición de Número Complejo Un número complejo es cualquier número de la forma 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, en donde 𝑎 y 𝑏 son números Reales e 𝑖 es la unidad imaginaria. Al número real 𝑎 se denomina parte Real de 𝑧, 𝑅𝑒(𝑧); al número real 𝑏 se denomina la parte imaginaria de 𝑧, 𝐼𝑚(𝑧). Una constante real que es múltiplo de la unidad imaginaria se denomina imaginario puro, 𝑧 = 𝑏𝑖. Dos números complejos son iguales, si sus partes reales e imaginarias, respectivamente son iguales: 𝑧1 = 𝑎1 + 𝑏1 𝑖 y 𝑧2 = 𝑎2 + 𝑏2 𝑖, son iguales, 𝑧1 = 𝑧1, si 𝑅𝑒(𝑧1 ) = 𝑅𝑒(𝑧2 ), e 𝐼𝑚(𝑧1 ) = 𝐼𝑚(𝑧2 ).

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1.2 Operaciones aritméticas básicas 𝑧1 ± 𝑧2 = (𝑎1 ± 𝑏1 𝑖) ± (𝑎2 ± 𝑏2 𝑖 ) = (𝑎1 ± 𝑎2 ) ± (𝑏1 ± 𝑏2 )𝑖

1. Suma y Resta:

2. Multiplicación:

𝑧1 . 𝑧2 = (𝑎1 + 𝑏1 𝑖). (𝑎2 + 𝑏2 𝑖 ) = 𝑎1 . 𝑎2 − 𝑏1 . 𝑏2 + (𝑎1 . 𝑦2 + 𝑎2 . 𝑦1 )𝑖

Conjugado: Si 𝑧 es un número complejo, el número que se obtiene al cambiar el signo de su parte imaginaria se denomina complejo conjugado: 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 entonces su conjugado 𝑧̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖. 𝑧1

3. División:

𝑧2

̅̅̅ 𝑧 .𝑧

= 𝑧1 .𝑧̅̅̅2 2 2

Ejemplo: Si 𝑧1 = 2 + 4𝑖 y 𝑧2 = −3 + 8𝑖, realizar: 𝑧 a) 𝑧1 − 𝑧2 b) 𝑧1 2

Solución a) 𝑧1 − 𝑧2 = (2 + 4𝑖 ) − (−3 + 8𝑖 ) = (2 + 3) + (4 − 8)𝑖 = 5 − 4𝑖 b)

𝑧1 𝑧2

2+4𝑖

−3−8𝑖

= −3+8𝑖 ∗ −3−8𝑖 =

26−28𝑖 73

26

28

= 73 − 73 𝑖

1.3 Interpretación Geométrica de un número complejo

Plano complejo o Plano de Argand: el eje horizontal se denomina eje real, el eje vertical se denomina eje imaginario. La longitud que une a 0 con 𝑧 se denomina módulo y se denota |𝑧| = √𝑎2 + 𝑏2 . El ángulo que forma |𝑧| con el eje de las abscisas se denomina 𝐴𝑟𝑔(𝑧) y se define 𝑏

𝐴𝑟𝑔(𝑧) = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑎. 5

1.4 Representaciones de un número complejo 1. Forma binomial: 𝑎 + 𝑏𝑖 2. Forma Polar:

3. Forma exponencial: 𝑧 = 𝜌𝑒 𝑖𝜃 = |𝑧|𝑒 𝑖𝜃

1.5 Potencias de números complejos Fórmula de DeMoivre: 𝑧 𝑛 = |𝑧|𝑛 (cos 𝑛𝜃 + 𝑖 sin 𝑛𝜃). Sin realizar la demostración estricta, se puede verificar con 𝑧 2 . Si 𝑧 = |𝑧|(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃 ) entonces: 𝑧 2 = |𝑧|(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃 ) ∗ |𝑧|(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃 ) 𝑧 2 = |𝑧|2 (cos 2 𝜃 − sin2 𝜃 + 𝑖 2 sin 𝜃 cos 𝜃) 𝑧 2 = |𝑧|2 (cos 2𝜃 + 𝑖 sin 2𝜃)

Ejemplo Calcular 𝑧 3 con 𝑧 = 1 − √3 𝑖 2

|𝑧| = √12 + √3 = 2 𝐴𝑟𝑔 (𝑧) = 𝑎𝑟𝑐 tan

−√3 𝜋 = − =𝜃 1 3

Por lo tanto se tiene: 𝜋 𝜋 (1 − √3𝑖)3 = 23 [cos (3 (− )) + 𝑖 sin (3 (− ))] = −8 3 3 6

1.6 Raíces de números complejos Un número 𝑤 es una raíz n-ésima de un número complejo si 𝑤 𝑛 = 𝑧. Si 𝑤 = 𝜌(cos 𝜑 + 𝑖 sin 𝜑) y 𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃), entonces 𝑤 𝑛 = 𝑧 se traduce en 𝜌 𝑛 (cos 𝑛𝜑 + 𝑖 sin 𝑛𝜑) = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃) de donde: 𝜌 = 𝑟 1⁄𝑛 ; cos 𝑛𝜑 = cos 𝜃; sin 𝑛𝜑 = sin 𝜃, lo que además implica que 𝑛𝜑 = 𝜃 + 2𝑘𝜋, con 𝑘 ∈ ℤ. Sintetizando estos resultados, la raíz n-esima de un número complejo viene dada por: 𝑤 = 𝑟 1⁄𝑛 [cos (

𝜃 + 2𝑘𝜋 𝜃 + 2𝑘𝜋 ) + 𝑖 sin ( )] 𝑛 𝑛

Ejemplo Resolver 𝑤 6 = 1 Solución

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Apartado Final El estudio de los números complejos, amplia el espectro de los conjuntos numéricos y permite resolver situaciones matemáticas y físicas que en otros tiempo se consideraban sin solución. En 1806 Argand interpreta a los números complejos como vectores en el plano, lo que entre otras cosas, permite analizar movimientos circulares armónicos y darles un tratamiento más cómodo con la representación exponencial del número complejo. En el apartado final del documento Números Complejos, Exponencial compleja, disponible en: https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/asignaturas/calc1inf1011/apjperez/calculo_c ap03.pdf , se puede encontrar las aplicaciones a circuitos, señales y movimientos circulares.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Probar que: 𝐼𝑚(𝑖𝑧) = 𝑅𝑒 (𝑧) 𝐼𝑚( 𝑧 3 ) = 3𝑎2 𝑏 − 𝑏3

𝑅𝑒 (𝑖𝑧) = −𝐼𝑚(𝑧) [𝐼𝑚(𝑧)]3 = 𝑏3

𝐼𝑚(|𝑖𝑧|) = 0 𝑧 2𝑎𝑏 𝐼𝑚 ( ) = 2 𝑧̅ 𝑎 + 𝑏2

2. Realice las siguientes operaciones con números complejos (1 + 𝑖 )2 4+𝑖

2

(𝑖 5 + 𝑖 −12 )3

2𝑖 5 + 3𝑖 17 ( ) 1+𝑖

3. Halle la potencia de (−1 + 𝑖 )30 1

√3

4. Halle la potencia décima del número complejo − 2 + 2 𝑖. Exprese el resultado en todas las representaciones de un número complejo. 3𝑏−2𝑎𝑖 5. Calcular el valor de 𝑎 y 𝑏 para que 4−3𝑖 sea real y de módulo 1. 6. Demuestre que se verifican las siguientes igualdades en los complejos ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧̅1 + 𝑧̅2 ̅̅̅̅̅̅ 𝑧1 𝑧̅1 ( )= 𝑧2 𝑧̅2

𝑧̿ = 𝑧 𝑧. 𝑧̅ = |𝑧|2

𝑧̅̅̅̅̅̅̅ 1 . 𝑧2 = 𝑧̅1. 𝑧̅2 ̅̅̅̅̅ 𝑧 −1 = (𝑧̅)−1

7. Demuestre que para el complejo 𝑧 = cos 𝜃 − 𝑖 sin 𝜃 se verifica: 1 = cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃 𝑧

1 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑧̅

8

𝜋

Si 𝜃 = 4 , halle las raíces cubicas y quintas de 𝑧

8. El producto de dos números complejos es −8. Halle sus módulos y argumentos sabiendo que uno de ellos es el cuadrado del otro. 9. Hallar el valor de cada una de las siguientes expresiones: I. II.

(3𝑒 𝜋𝑖⁄6 )(2𝑒 −5𝜋𝑖⁄4 )(6𝑒 5𝜋𝑖⁄3 ) 2

(4𝑒 2𝜋𝑖⁄3 ) 4 1+𝑖 5 √3−𝑖 ( 3+𝑖) (1−𝑖) √

10. Hallar las raíces indicadas. Grafique al menos dos resultados en el plano de Argand (Plano complejo). Escriba las respuestas en forma binomial. (2 + √3𝑖)

1⁄ 2

(4√2 + 4√2𝑖)

(−4 + 4𝑖 )1⁄5

1⁄ 2

𝑖 2⁄ 3

3

√8

3

√−11 − 2𝑖

11. Resuelva las ecuaciones obteniendo todas las raíces. 𝑧8 − 1 = 0 𝑧 − 2𝑧 + 2 = 0 2

𝑧3 + 1 = 0 𝑧 − 28𝑧 3 + 27 = 0 6

𝑧 6 − 2𝑖 = 0 𝑧 − 5 + 5𝑖 = 0 4

12. Determine 𝑥 para que el producto (2 − 5𝑖)(3 + 𝑥𝑖) sea: 8.1 Un número Real 8.2 Un imaginario puro.

BIBLIOGRAFÍA Zill, Dennis, & Wright, Warren. (2011). Matemáticas avanzadas para ingeniería. (4ta Ed.). México D.F. Editorial McGraw-Hill. James, Glyn. (2002).Matemáticas avanzadas para ingeniería. (2da Ed.). México D. F. Editorial Prentice Hall. Krasnov, M. & Makarenko, A.(1990). Matemáticas superiores para ingenieros. Tomo 2. URSS. Editorial Mir Moscú.

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UNIDAD 2: LA FUNCION COMPLEJA Prefacio En muchos aspectos, el conjunto de los números complejos ℂ, se puede considerar isomorfo con el plano real ℜ2 , lo cual puede llevar a considerar ingenuamente que una situación análoga puede suceder al estudiar la función compleja, lo cual no es cierto. Si bien una función compleja se expresa 𝑓 (𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑗𝑣(𝑥, 𝑦), no se la puede estudiar como una función real en dos variables 𝑥 y 𝑦, ya que 𝑓(𝑧) es una función en una sola variable, la variable compleja 𝑧. En esta unidad se estudian las funciones que tienen dependencia directa con la variable 𝑧 = 𝑥 + 𝑗𝑦 y no son simplemente dos variables separadas 𝑥 y 𝑦. Se definen las funciones elementales complejas, se estudian los límites y la continuidad y se analiza cuando una función compleja es analítica, por último se define las funciones reales armónicas y su relación con las funciones analíticas complejas. 2.1 Definición de función en variable compleja Dado un subconjunto S del plano complejo ℂ se denomina función de una variable compleja 𝑓(𝑧) a una aplicación 𝑓: 𝑆 → ℂ tal que a cada valor 𝑧 ∈ 𝑆 ⊆ ℂ le corresponde un único número complejo 𝑓(𝑧).

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Si 𝑧 = 𝑥 + 𝑗𝑦, la función 𝑓(𝑧) se puede expresar de la forma 𝑓 (𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑗𝑣(𝑥, 𝑦), en donde 𝑢 y 𝑣 son funciones en dos variables reales, que representan la parte real e imaginaria respectivamente de 𝑓(𝑧) Se llama dominio, al conjunto 𝑆 de puntos en los que se encuentra definida la función, y se llama imagen de 𝑓 al conjunto formado por todos los valores complejos que toma la función.

Ejemplo Dada 𝑓(𝑧) = 𝑧 2 + 1, expresarla de la forma 𝑓 (𝑧) = 𝑢 + 𝑗𝑣 𝑓 (𝑧) = (𝑥 + 𝑗𝑦)2 + 1 𝑓 (𝑧) = (𝑥 2 − 𝑦 2 + 1) + 𝑗 2𝑥𝑦 2.2 Funciones complejas elementales 2.2.1 Funciones polinómicas 𝑓 (𝑧) = 𝑎𝑛 𝑧 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑧 𝑛−1 …+𝑎1 𝑧 + 𝑎0 , con 𝑎𝑗 ∈ ℂ Las funciones complejas polinómicas están definidas para todo el plano complejo. 2.2.2 Funciones racionales Está definida como el cociente de dos polinomios 𝑃(𝑧) 𝑄(𝑧) No se encuentran definidas en el conjunto de los números complejos que anulen el denominador. 𝑓 (𝑧 ) =

2.2.3 Función exponencial Dado el número complejo 𝑧 = 𝑥 + 𝑗𝑦, la función exponencial compleja se define a través de la fórmula de Euler 𝑓 (𝑧) = 𝑒 𝑧 = 𝑒 𝑥+𝑗𝑦 = 𝑒 𝑥 (cos 𝑦 + 𝑗 sin 𝑦)

2.2.4 Funciones trigonométricas

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𝑒 𝑗𝑧 − 𝑒 −𝑗𝑧 sin 𝑧 = 2𝑗 𝑒 𝑗𝑧 + 𝑒 −𝑗𝑧 cos 𝑧 = 2 sin 𝑧 tan 𝑧 = cos 𝑧 2.2.5 Funciones hiperbólicas 𝑒 𝑧 − 𝑒 −𝑧 sin ℎ𝑧 = 2 𝑒 𝑧 + 𝑒 −𝑧 cos ℎ𝑧 = 2 2.2.6 Función logaritmo log 𝑧 = ln|𝑧| + 𝑗(𝐴𝑟𝑔 (𝑧) + 2𝑘𝜋)

2.2.6 Potencias Complejas La potencia de un número complejo, distinto de cero, elevado a otro número complejo se obtiene a partir de la expresión: 𝑧 𝑤 = ln 𝑧 𝑒 𝑤

Ejemplo Encontrar todos los valores de 𝑧 tales que 𝑒 𝑧 = √3 + 𝑗

Aplicando las propiedades de los logaritmos se tiene: 𝑧 = ln(√3 + 𝑗). 𝜋

𝜋

6

6

|√3 + 𝑗| = 2 y 𝐴𝑟𝑔(√3 + 𝑗) = ; por lo tanto 𝑧 = ln 2 + 𝑗 ( + 2𝑘𝜋)

2.3 Continuidad En forma similar, a lo que ocurre en las funciones en ℜ2 , para que una función, definida en el campo de los Complejos, sea continua debe cumplir con las siguientes condiciones.

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a) La función debe estar definida en 𝑧0 , es decir 𝑓(𝑧0 ) debe existir b) Debe existir lim 𝑓(𝑧) 𝑧→𝑧0

c) lim 𝑓(𝑧) = 𝑓(𝑧0 ) 𝑧→𝑧0

Los límites para una función compleja se estudian de forma similar a los límites para una función real en dos variables

Ejemplo Analizar la continuidad de 𝑓(𝑧) =

|𝑧|2 𝑧

La función no es continua en 0, ya que 𝑓(0) no esta definida. Sin embargo se puede comprobar fácilmente que lim 𝑓(𝑧), existe y es igual a 0, por lo tanto con la redefinición: 𝑧→0

|𝑧|2

𝑓 (𝑧 ) = {

, 𝑠𝑖 𝑧 ≠ 0, 0 𝑠𝑖 𝑧 = 0 𝑧

la función es continua.

2.4 Derivada de una Función Compleja

Para determinar la derivada de una función compleja, se debe analizar el comportamiento de las funciones 𝑢 y 𝑣 con el fin de determinar las condiciones precisas que deben cumplir para que 𝑓 sea derivable.

Si 𝑓 es derivable en 𝑧0 = 𝑥0 + 𝑗𝑦0 , entonces lim

𝑓(𝑧0 +ℎ)−𝑓(𝑧0 )

ℎ→0

, existe y se denomina 𝑓 ′(𝑧0 ). Esta

ℎ

definición exige que los límites iterados existan. Si se analiza el incremento en 𝑥, se tiene

lim

ℎ→0

𝑢(𝑥+ℎ,𝑦)−𝑢(𝑥,𝑦) ℎ

+𝑗

𝑣(𝑥+ℎ,𝑦)−𝑣(𝑥,𝑦) ℎ

, de donde 𝑓 ′ (𝑧) =

𝜕𝑢

𝜕𝑣

+ 𝑗 𝜕𝑥. 𝜕𝑥

Si el incremento de la variable 𝑧 es un número imaginario, entonces

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lim

𝑢(𝑥,𝑦+ℎ)−𝑢(𝑥,𝑦)

ℎ→0

𝑗ℎ

+𝑗

𝑣(𝑥,𝑦+ℎ)−𝑣(𝑥,𝑦) 𝑗ℎ

𝜕𝑣

𝜕𝑢

, la derivada de 𝑓 es 𝑓 ′ (𝑧) = 𝜕𝑦 − 𝑗 𝜕𝑦.

Igualando la parte real e imaginaria de los límites iterados obtenemos las siguientes ecuaciones 𝜕𝑢

𝜕𝑣

𝜕𝑣

= 𝜕𝑦 y 𝜕𝑥

𝜕𝑢

= − 𝜕𝑦 𝜕𝑥

denominadas ecuaciones de Cauchy-Riemman, las cuales se deben verificar necesariamente para determinar la existencia de la derivada.

2.4.1 Criterio de analiticidad Si las funciones reales 𝑢(𝑥, 𝑦) y 𝑣(𝑥, 𝑦), son continuas, sus derivadas parciales de primer orden también son continuas en un dominio S y cumplen con las ecuaciones de Cauchy- Riemman, entonces la función compleja 𝑓 (𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑗𝑣(𝑥, 𝑦) es análitica en el intervalo S.

Ejemplo Encontrar la derivada de 𝑓 (𝑧) = 𝑒 𝑧 Identificando las funciones 𝑢 y 𝑣 se tiene: 𝑓 (𝑧) = 𝑒 𝑥 cos 𝑦 + 𝑗𝑒 𝑥 sin 𝑦. Se verifican las ecuaciones de Cauchy Riemman. 𝜕𝑢 𝜕𝑥

𝜕𝑣

= 𝑒 𝑥 cos 𝑦 = 𝜕𝑦 y

𝜕𝑣 𝜕𝑥

𝜕𝑢

= 𝑒 𝑥 sin 𝑦 − 𝜕𝑦

Por lo tanto 𝑓 ′(𝑧) = 𝑒 𝑥 cos 𝑦 + 𝑗𝑒 𝑥 sin 𝑦, de donde 𝑓 ′(𝑧) = 𝑒 𝑧 .

2.5 Funciones Armónicas Una función real 𝜑(𝑥, 𝑦) que tiene derivadas parciales de segundo orden continuas en un dominio S y que cumple la ecuación de Laplace

𝜕2 𝜑 𝜕𝑥 2

𝜕2 𝜑

+ 𝜕𝑦2 = 0 es una función armónica en S.

Si 𝑓 (𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑗𝑣(𝑥, 𝑦) es analítica en un dominio S, entonces las funciones reales 𝑢 y 𝑣 son funciones armónicas.

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Ejemplo Verifique que la función 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑦 3 − 3𝑥 2 𝑦, es armónica, y obtener la función armónica conjugada 𝑣(𝑥, 𝑦).

Verificando la Ecuación de Laplace: 𝜕2 𝑢 𝜕𝑥 2

= −6𝑦;

𝜕2 𝑢 𝜕𝑦 2

𝜕2 𝑢

= 6𝑦, por lo tanto 𝜕𝑥2 +

𝜕2 𝑢 𝜕𝑦 2

= −6𝑦 + 6𝑦 = 0

Utilizando las ecuaciones de Cauchy – Riemman se encuentra la armónica conjugada 𝜕𝑢

𝜕𝑣

= 𝜕𝑦 = −6𝑥𝑦 𝜕𝑥

𝜕𝑣

𝜕𝑢

= − 𝜕𝑦 = −3𝑦 2 + 3𝑥 2 𝜕𝑥

Integrando parcialmente la primera ecuación con respecto a 𝑦 se obtiene 𝑣 = ∫ −6𝑥𝑦𝑑𝑦 = −3𝑥𝑦 2 + ℎ(𝑥). De aquí se obtiene

𝜕𝑣 𝜕𝑥

= −3𝑦 2 + ℎ′ (𝑥). Al sustituir este

resultado en la segunda ecuación de Cauchy-Riemman da como resultado que ℎ′ (𝑥 ) = 3𝑥 2 e integrando ℎ(𝑥 ) = 𝑥 3 + 𝑐, de manera que la función armónica conjugada de 𝑢 es 𝑣 = −3𝑥𝑦 2 + 𝑥 3 + 𝑐 y la función analítica es: 𝑓 (𝑧) = 𝑦 3 − 3𝑥 2 𝑦 + 𝑗(−3𝑥𝑦 2 + 𝑥 3 + 𝑐)

Apartado Final Algunas de las funciones elementales de variable compleja, cumplen con propiedades similares a su análoga real, dichas propiedades se han omitido en este documento, pero deben ser estudiadas a manera de profundización en el tiempo de estudio individual del estudiante.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. De entre todas las raíces quintas del complejo 1 + √3 𝑖, hay alguna raíz cuyo logaritmo principal sea real? 15

2

1+𝑖

2. Calcular el siguiente número complejo 𝑧 = 𝑖 ln 1−𝑖 𝜔

3. Dado 𝑎 + 𝑏𝑖 = ln √𝜔 siendo 𝜔 tal que 1+

√3𝑖

es real y de módulo 1. Hallar 𝑎 + 𝑏𝑖

4. Dada 𝑓(𝑧) = 𝐼𝑚(𝑧 − 3𝑧̅) + 𝑧𝑅𝑒 (𝑧 2 ) − 5𝑧, escríbala de la forma 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖 𝑣(𝑥, 𝑦). 5. Sea la función 𝑓 (𝑧) =

𝑧 . |𝑧|2

Exprese 𝑓(𝑧) de la forma 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦)

6. Demostrar que cos 2 𝑧 + sin2 𝑧 = 1 7. Analizar los siguientes límites: 𝑥2 + 𝑥 𝑥𝑦 lim + 𝑖 𝑧→0 𝑥 + 𝑦 𝑥 + 𝑦2

𝑥2𝑦 𝑦 3 + 𝑥𝑦 2 lim 2 + 4 𝑖 𝑧→0 𝑥 + 𝑦 2 𝑥 + 𝑦2

8. En los siguientes ejercicios expresar 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣 (𝑥, 𝑦). Determine si es posible un dominio donde sean analíticas y si 𝑓 es analítica expresar su derivada y verificar que 𝑢 y 𝑣 sean armónicas. 𝑓(𝑧) = 𝑧 2 + 5𝑖𝑧 𝑓 (𝑧 ) =

2 + 𝐼𝑚 𝑧 |𝑧 |2

𝑓 (𝑧) = 𝑖𝑧 + 𝑧̅ 𝑓 (𝑧 ) =

𝑧−𝑖 𝑧

𝑓 (𝑧 ) = |𝑧 | + 𝑧 𝑓 (𝑧) = (𝑧̅)2

9. Verificar que la función 𝑓(𝑧) = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥𝑦 𝑖 es derivable en el eje real y no es analítica. 10. Hallar las constantes para que la función sea analítica

𝑓 (𝑧) = 𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑖(𝑏𝑥 + 𝑐𝑦)

𝑓 (𝑧) = 𝑥 2 + 𝑎𝑥𝑦 + 𝑏𝑦 2 + 𝑖(𝑐𝑥 2 + 𝑑𝑥𝑦 + 𝑦 2 ) 𝑥−1

𝑓 (𝑧) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 3𝑏𝑥 + 𝑖(𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 + 𝑦)

𝑦

11. Mostrar que la función 𝑓 (𝑧) = (𝑥−1)2 +𝑦 2 − 𝑗 (𝑥−1)2+𝑦2 es analítica en un dominio adecuado. 12. Sea la función 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑦 2 − 𝑥 2 + 2𝑥 − 2𝑦 una función en dos variables reales. 12.1 Demostrar que es armónica. 12.2 Encontrar la función armónica conjugada 𝑣(𝑥, 𝑦) 16

12.3 Escribir la función 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) y expresar su derivada. 13. Dada la función 𝑓 (𝑧) = 𝑧𝑒 𝑧 , encontrar: a. La parte real 𝑢 y la parte imaginaria 𝑣 b. Encontrar el valor de 𝑓(𝑗𝜋). Expresar el módulo y el argumento principal en 𝑧𝑜 = 𝑗𝜋 𝜕𝑢 𝜕𝑣 c. Demostrar que es analítica y expresar su derivada de la forma 𝜕𝑥 + 𝑗 𝜕𝑥 d. Encontrar el valor de 𝑓 ′(𝑗𝜋). 14. Dada la función 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑒 𝑥 (𝑥 cos 𝑦 − 𝑦 sin 𝑦) verifique que es armónica. Encuentre 𝑣(𝑥, 𝑦) y genere la analítica correspondiente.

BIBLIOGRAFÍA Zill, Dennis, & Wright, Warren. (2011). Matemáticas avanzadas para ingeniería. (4ta Ed.). México D.F. Editorial McGraw-Hill. James, Glyn. (2002).Matemáticas avanzadas para ingeniería. (2da Ed.). México D. F. Editorial Prentice Hall. Krasnov, M. & Makarenko, A.(1990). Matemáticas superiores para ingenieros. Tomo 2. URSS. Editorial Mir Moscú.

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