• Author / Uploaded
• Lourence Adriel Dimaunahan

Citation preview

‫‪July 2013‬‬

‫‪Chapter 18‬‬ ‫‪Interpolation‬‬

‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة لباللبل غ عن أي خطأ أو ملظحظات تراها ضرورية لبرسالة نصية ‪ 9 4444 260‬أو لبالبريد اللكتروني‬

‫‪Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms,‬‬ ‫م‪ .‬ظحمادة شعبان ‪[email protected] 260 4444 9‬‬

‫‪Numerical, Economy‬‬ ‫شرح ومسائل محلولة مجانا لبالموقعين ‪eng-hs.com, eng-hs.net‬‬

July 2013

You will frequently have to estimate intermediate values between precise data points. The most common method used for this purpose is polynomial interpolation. Recall that the general formula for an nth order polynomial is f ( x )=a 0+ a1 x + a2 x 2 +…+a n x n

For n+1 data points, there is one and only one polynomial of order n that passes through all the points. For example, there is only one straight line (that is, a first-order polynomial) that connects two points (figure (a)). Similarly, only one parabola connects a set of three points (figure (b)). Polynomial Interpolation consists of determining the unique nth order polynomial that fits n+1 data points. This polynomial

then

provides

a

formula

to

compute

intermediate values.

Although there is one and only nth polynomial that fits n+1 points, there are a variety of mathematical formats in which this polynomial can be expressed. We will describe two alternatives that are well-suited for computer implementation: ‫ أو لبالبريد اللكتروني‬9 4444 260 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة لباللبل غ عن أي خطأ أو ملظحظات تراها ضرورية لبرسالة نصية‬

Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy eng-hs.com, eng-hs.net ‫شرح ومسائل محلولة مجانا لبالموقعين‬

[email protected] 260 4444 9 ‫ ظحمادة شعبان‬.‫م‬

July 2013

The Newton and the Lagrange polynomials.

‫ل تلم ماضيك لبل‬ ‫إعمل لمستقبلك‬

18.1 Newton’s Divided Difference Interpolating Polynomials Newton’s divided difference interpolating polynomial is among the most popular and useful forms. We will introduce the first and second equations because of their simple visual interpretation. 18.1.1 Linear Interpolation The simplest form of interpolation is to connect two data points with a straight line. Using similar triangles, f 1 ( x ) −f ( x 0 ) x−x 0

=

f ( x 1 )−f ( x0 ) x 1−x 0

Which can be rearranged to yield f 1 ( x )=f ( x 0 ) +

f ( x 1 )−f ( x 0 )

The notation

x1−x 0

f 1(x)

( x−x 0)

designates that this is a first-order

interpolating polynomial. In general, the smaller the interval between the data points, the better the approximation.

‫ أو لبالبريد اللكتروني‬9 4444 260 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة لباللبل غ عن أي خطأ أو ملظحظات تراها ضرورية لبرسالة نصية‬

Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy eng-hs.com, eng-hs.net ‫شرح ومسائل محلولة مجانا لبالموقعين‬

[email protected] 260 4444 9 ‫ ظحمادة شعبان‬.‫م‬

July 2013

‫ل يحزنك إذا فشلت‬ ‫مادمت تحاول الوقوف‬ ‫على قدميك من جديد‬

EXAMPLE 18.1 Linear Interpolation Problem Statement: Estimate

the

natural

logarithm

of

2

using

linear

interpolation. First, perform the computation by interpolating between ln 1 =

0

and

ln 6 = 1.791759. Then, repeat the procedure, but use a smaller interval from ln 1 to ln 4 (1.386294). Note that the true value of ln 2 is 0.6931472. Solution: We use the previous equation and a linear interpolation for ln(2)

from

x0 = 1 to x1 = 6 to give f 1 ( 2 )=0+

1.791759−0 ( 2−1 )=0.3583519 6−1

‫ أو لبالبريد اللكتروني‬9 4444 260 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة لباللبل غ عن أي خطأ أو ملظحظات تراها ضرورية لبرسالة نصية‬

Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy eng-hs.com, eng-hs.net ‫شرح ومسائل محلولة مجانا لبالموقعين‬

[email protected] 260 4444 9 ‫ ظحمادة شعبان‬.‫م‬

July 2013

Which represents an error of εt = 48.3%. Using the smaller interval

from

x0 = 1 to x1 = 4 yields f 1 ( 2 )=0+

1.386294−0 ( 2−1 )=0.4620981 4−1

Thus, using the shorter interval reduces the percent relative error

to

εt = 33.3%. Both interpolations are shown in the next figure, along

with

the

true

function.

،‫كلما ارتفع النسان‬ ‫تكاثفت ظحوله الغيوم‬ ‫والمحن‬

18.1.2 quadratic Interpolation The

error

in

Example

18.1

resulted

from

our

approximating a curve with a straight line. Consequently, a strategy for improving the estimate is to introduce some curvature into the line connecting the points. If

three

accomplished

data

points

are

available,

with

this

can

be

a

‫ أو لبالبريد اللكتروني‬9 4444 260 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة لباللبل غ عن أي خطأ أو ملظحظات تراها ضرورية لبرسالة نصية‬

Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy eng-hs.com, eng-hs.net ‫شرح ومسائل محلولة مجانا لبالموقعين‬

[email protected] 260 4444 9 ‫ ظحمادة شعبان‬.‫م‬

July 2013

second-order polynomial (also called a quadratic polynomial or a parabola). A particularly convenient form for this purpose is f 2 ( x )=b 0+ b1 ( x −x0 ) + b2 ( x−x 0 )( x −x1 )

(18.3)

Note that although the previous equation might seem to differ from the general polynomial, the two equations are equivalent. This can be shown by multiplying the terms in the previous equation to yield 2 f 2 ( x )=b 0+ b1 x−b1 x 0 +b 2 x + b2 x0 x 1−b2 x x 0−b 2 x x1

Or, collecting terms, f 2 ( x )=a 0+ a1 x +a 2 x 2

where a0 =b0−b1 x 0 +b 2 x 0 x 1 a1=b1−b 2 x 0 +b2 x1 a2=b2

Thus, eq. (18.3) and the general equation are alternative, ‫ل ينبغي ألبدا أن نسعي وراء فكرة شخص‬ equivalent formulation of the ‫نعيش‬ unique ‫نكون أو كيف‬second-order ‫آخر عما ينبغي أن‬ polynomial joining the three points. A simple procedure can be used to determine the values of the coefficients. For b0, Eq. (18.3) with x = x 0 can be used to compute b0 =f ( x 0 ) ‫ أو لبالبريد اللكتروني‬9 4444 260 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة لباللبل غ عن أي خطأ أو ملظحظات تراها ضرورية لبرسالة نصية‬

Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy eng-hs.com, eng-hs.net ‫شرح ومسائل محلولة مجانا لبالموقعين‬

[email protected] 260 4444 9 ‫ ظحمادة شعبان‬.‫م‬

July 2013

which can be evaluated at x = x1 for b1=

f ( x 1 ) −f ( x 0 ) x 1−x 0

Finally, f ( x 2 )−f ( x 1) f ( x 1 )−f ( x 0 ) − x2 −x1 x 1−x 0 b2= x 2−x 0

Notice that, as was the case with linear interpolation, b 1 still represents the slope of the line connecting points x 0 and x1. Thus, the first two terms of Eq. (18.3) are equivalent to linear

interpolation

from

x0

to

x1.

The last term, b2(x – x0)(x – x1), introduces the second-order curvature into the formula.

‫لن يكرهك الناس وأنت تحترم نفسك أظحب‬ ‫من أن يحبك الناس وأنت تكره نفسك‬ EXAMPLE 18.2 Quadratic Interpolation Fit a second-order polynomial to the three points used in Example 18.1: x 0=1 f ( x 0 )=0 x 1=4 f ( x 1) =1.386294 x 2=6 f ( x 2 )=1.791759 ‫ أو لبالبريد اللكتروني‬9 4444 260 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة لباللبل غ عن أي خطأ أو ملظحظات تراها ضرورية لبرسالة نصية‬

Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy eng-hs.com, eng-hs.net ‫شرح ومسائل محلولة مجانا لبالموقعين‬

[email protected] 260 4444 9 ‫ ظحمادة شعبان‬.‫م‬

July 2013

Use the polynomial to evaluate ln 2. Solution: Applying the previous equations yield b0 =0 b1=

1.386294 =0.4620981 4−1

1.791759−1.386294 – 0.4620981 6−4 b2= =−0.0518731 6−1 f 2 ( x )=0+ 0. 4620981 ( x−1 )−0.0518731 ( x−1 ) ( x−4 ) f 2 ( 2 )=0.5658444

which represents a relative error of ε t = 18.4%. Thus the curvature introduced by the quadratic formula (next figure) improves

the

interpolation

compared

with

the

result

obtained using straight lines in Example 18.1

‫ليس هناك عمل صعب‬ ‫قسمته إلى أجزاء‬ ‫إذا‬ General form

18.1.3 of Newton’s Interpolating Polynomials

The preceding analysis can be generalized to fit an n th order

polynomial

to

n+1

data

points.

The

n th-order

polynomial is ‫ أو لبالبريد اللكتروني‬9 4444 260 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة لباللبل غ عن أي خطأ أو ملظحظات تراها ضرورية لبرسالة نصية‬

Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy eng-hs.com, eng-hs.net ‫شرح ومسائل محلولة مجانا لبالموقعين‬

[email protected] 260 4444 9 ‫ ظحمادة شعبان‬.‫م‬

July 2013

f n ( x )=b 0+ b1 ( x−x 0 ) +…+b n ( x−x 0 ) ( x−x 1 ) ..(x−x n−1)

Data points can be used to evaluate the coefficients b 0, b1, …,

bn.

For a nth order polynomial, n+1 data points are required: [x 0, f(x0)], [x1, f(x1)], …, [xn, f(xn)]. We use these data points and the following equations to evaluate the coefficients: b0 =f ( x 0 ) b1=f [ x1 , x 0 ] b2=f [ x 2 , x 1 , x 0 ]

. . . bn =f [ x n , x n−1 ,… , x 1 , x 0 ]

where the bracketed function evaluations are finite divided differences. For example, the first finite divided difference is represented generally as f [ x i , x j ]=

f ( xi ) −f (x j ) x i−x j

‫يموت الجبناء مرات عديدة قبل‬ ‫الشجعان‬ ‫ أما‬،‫يأتي أجلهم‬the ‫أن‬ The second finite divided difference, which represents ‫فيذوقون الموت مرة واظحدة‬ difference of two first divided differences, is expressed generally as ‫ أو لبالبريد اللكتروني‬9 4444 260 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة لباللبل غ عن أي خطأ أو ملظحظات تراها ضرورية لبرسالة نصية‬

Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy eng-hs.com, eng-hs.net ‫شرح ومسائل محلولة مجانا لبالموقعين‬

[email protected] 260 4444 9 ‫ ظحمادة شعبان‬.‫م‬

July 2013

f [ x i , x j , x k ]=

f [ x i , x j ]−f [ x j , x k ] xi −x k

Similarly, the nth finite divided difference is f [ x n , x n−1 , … , x 1 , x 0 ]=

f [ x n , x n−1 , … , x 1 ] −f [ xn −1 , x n−2 , … , x0 ] x n−x 0

We can then substitute equations to yield the interpolating polynomial f n ( x )=f ( x0 ) + ( x−x 0 ) f [ x1 , x0 ] + ( x −x0 ) ( x−x 1 ) f [ x 2 , x 1 , x 0 ] +…+ ( x− x0 ) ( x−x 1 ) … ( x−x n−1 ) f [ x n , x n−1 , … , x 0 ]

which is called Newton’s divided-difference interpolating polynomial. It should be noted that it is not necessary that the data points used in the previous equation be equally spaced or that the abscissa values necessarily be in ascending order.

‫مهما قدمت للسد من طعام‬ .‫فإنه يظل يحن إلى الغالبة‬ ‫ أو لبالبريد اللكتروني‬9 4444 260 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة لباللبل غ عن أي خطأ أو ملظحظات تراها ضرورية لبرسالة نصية‬

Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy eng-hs.com, eng-hs.net ‫شرح ومسائل محلولة مجانا لبالموقعين‬

[email protected] 260 4444 9 ‫ ظحمادة شعبان‬.‫م‬

July 2013

EXAMPLE

18.3

Newton’s

Divided-Difference

Interpolating Polynomials Problem Statement: In Example 18.2, data points at x 0 = 1, x1 = 4, and x2 = 6 were used to estimate ln 2 with a parabola. Now, adding a fourth

point

[x3

=

5;

f(x3) = 1.609438], estimate ln 2 with a third-order Newton’s interpolating polynomial. Solution: The third-order polynomial with n = 3, is f 3 ( x )=b 0+ b1 ( x−x 0 )+ b2 ( x−x 0 )( x−x1 ) +b3 ( x−x 0 ) ( x−x 1 ) (x−x 2)

The first divided differences for the problem are f [ x 1 , x 0 ]=

1.386294−0 =0.4620981 4−1

f [ x 2 , x 1 ]=

1.791759−1.386294 =0.2027326 6−4

f [ x 3 , x 2 ]=

1.609438−1.791759 =0.1823216 5−6

The second divided differences are f [ x 2 , x 1 , x 0 ]=

0.2027326−0.4620981 =−0.05187311 6−1

f [ x 3 , x 2 , x 1 ]=

0.1823216−0.2027326 =−0.02041100 5−4

‫ أو لبالبريد اللكتروني‬9 4444 260 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة لباللبل غ عن أي خطأ أو ملظحظات تراها ضرورية لبرسالة نصية‬

Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy eng-hs.com, eng-hs.net ‫شرح ومسائل محلولة مجانا لبالموقعين‬

[email protected] 260 4444 9 ‫ ظحمادة شعبان‬.‫م‬

July 2013

‫نفسك كالسماء قد تمر لبها سحب‬ ‫مظلمة لكن ظحتما ستصفو مرة أخرى‬

Continue: The third divided difference is f [ x 3 , x 2 , x 1 , x 0 ]=

The results for

−0.2027326−(−0.05187311) =−0.007865529 5−1

f [ x1 , x0]

,

f [ x2 , x1 , x0 ]

, and

f [ x3 , x2 , x1 , x0 ]

represent

the coefficients b1, b2, and b3, respectively, of the nth-order polynomial equation. Along with b0 = f(x0) = 0.0, that equation is f 3 ( x )=0+ 0.4620981 ( x−1 )−0.05187311 ( x−1 )( x−4 ) +0.007865529( x−1)(x−4 )(x−6)

which can be used to evaluate f3(2) = 0.6287686, which represents a relative error of εt = 9.3%. The complete cubic polynomial is shown in the next figure.

‫من أهم مفاتيح الفشل أن‬ ‫الجميع‬ Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java,‫إرضاء‬ Data, ‫تحاول‬ Algorithms, ‫ أو لبالبريد اللكتروني‬9 4444 260 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة لباللبل غ عن أي خطأ أو ملظحظات تراها ضرورية لبرسالة نصية‬

Numerical, Economy eng-hs.com, eng-hs.net ‫شرح ومسائل محلولة مجانا لبالموقعين‬

[email protected] 260 4444 9 ‫ ظحمادة شعبان‬.‫م‬

July 2013

18.2 Lagrange Interpolating Polynomials The Lagrange interpolating polynomial is simply a reformulation of the Newton polynomial that avoids the computation of divided differences. It can be represented concisely as n

f n ( x ) = ∑ Li ( x ) f ( x i ) i=0

(18.20) where n

Li ( x ) = ∏ j=0 j ≠i

where

x−x j x i−x j

∏ ❑ designates the “product of”. For example, the

linear version (n=1) is f 1 ( x )=

x−x 1 x−x 0 f ( x0 )+ f ( x1 ) x0 −x1 x 1−x 0

And the second-order version is f 2 ( x )=

Eq.

( x−x 1 )( x− x2 ) ( x −x0 ) ( x−x 2 ) ( x−x 0 ) ( x−x 1 ) f ( x0 )+ f ( x1 ) + f ( x2 ) ( x 0−x 1 )( x 0− x2 ) ( x1 −x0 ) ( x 1−x 2 ) ( x 2−x 0 ) ( x 2−x 1)

(18.20)

can

be

derived

directly

from

Newton’s

polynomial.

‫ أو لبالبريد اللكتروني‬9 4444 260 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة لباللبل غ عن أي خطأ أو ملظحظات تراها ضرورية لبرسالة نصية‬

Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy eng-hs.com, eng-hs.net ‫شرح ومسائل محلولة مجانا لبالموقعين‬

[email protected] 260 4444 9 ‫ ظحمادة شعبان‬.‫م‬

July 2013

+ ( x −x0 ) (x−x 1)

( x2 −x0 ) ( x2 −x1 )

f ( x2 )

‫نصيب النسان من‬ ‫السعادة يتوقف على مدى‬ ‫رغبته في أن يكون سعيدا‬ EXAMPLE 18.6

Lagrange

Interpolating Polynomials Problem Statement: Use a Lagrange interpolating polynomial of the first and second order to evaluate ln 2 on the basis of the data given: X0 = 1

f(x0) = 0

X1 = 4

f(x1) = 1.386294

X2 = 6

f(x2) = 1.791760

Solution: The first-order polynomial can be used to obtain the estimate at x = 2, f 1 ( 2 )=

In

a

2−4 2−1 0+ 1−4 4−1

similar

1.386294 = 0.4620981

fashion,

the

second-order

polynomial

is

developed as ‫ أو لبالبريد اللكتروني‬9 4444 260 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة لباللبل غ عن أي خطأ أو ملظحظات تراها ضرورية لبرسالة نصية‬

Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy eng-hs.com, eng-hs.net ‫شرح ومسائل محلولة مجانا لبالموقعين‬

[email protected] 260 4444 9 ‫ ظحمادة شعبان‬.‫م‬

July 2013

f 2 ( 2 )=

( 2−4 ) (2−6) ( 2−1)( 2−6) 0+ ( 1−4 ) (1−6) ( 4−1 ) (4−6)

1.386294

+(2−1)(2−4) 1.791760=0.5658444 ( 6−1 ) (6−4)

As expected, both these results agree with those previously obtained using Newton’s interpolating polynomial.

،‫ أن تعرف ماذا تريد‬:‫الحكمة‬ ‫ أن تعرف كيف تصل‬:‫والمهارة‬ ‫ أن تفعل‬:‫ والنجاح‬،‫إلى ما تريد‬ Problem 18.1 Estimate

the

common

logarithm

of

10

using

linear

interpolation. (a)

Interpolate between log 8 = 0.9030900 and log 12

= 1.0791812. (b) Interpolate between log 9 = 0.9542425 and log 11 = 1.0413927. For each of the interpolations, compute the percent relative error based on the true value.

Solution (a) f 1 (10)  0.90309 

1.0791812  0.90309 (10  8)  0.991136 12  8

‫ أو لبالبريد اللكتروني‬9 4444 260 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة لباللبل غ عن أي خطأ أو ملظحظات تراها ضرورية لبرسالة نصية‬

Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy eng-hs.com, eng-hs.net ‫شرح ومسائل محلولة مجانا لبالموقعين‬

[email protected] 260 4444 9 ‫ ظحمادة شعبان‬.‫م‬

July 2013

t 

1  0.991136  100 %  0.886 % 1

(b) f 1 (10)  0.9542425 

t 

1.0413927  0.9542425 (10  9)  0.997818 11  9

1  0.997818  100 %  0.218 % 1

Problem 18.2

‫اظحرص علي ظحضور الدقائق الولى‬ ‫من المحاضرات ظحتي تستطيع متالبعة‬ ‫تفاصيلها ول تفقد تتالبع الموضوع‬

Fit a second-order Newton’s Interpolating polynomial to estimate log 10 using the data from problem 18.1 at x = 8, 9, and 11. Compute the true percent relative error.

Solution First, order the points x0 = 9 f(x0) = 0.9542425 x1 = 11 f(x1) = 1.0413927 x2 = 8 f(x2) = 0.9030900 b0 = 0.9542425 ‫ أو لبالبريد اللكتروني‬9 4444 260 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة لباللبل غ عن أي خطأ أو ملظحظات تراها ضرورية لبرسالة نصية‬

Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy eng-hs.com, eng-hs.net ‫شرح ومسائل محلولة مجانا لبالموقعين‬

[email protected] 260 4444 9 ‫ ظحمادة شعبان‬.‫م‬

July 2013

b1 

1.0413927  0.9542425  0.0435751 11  9

0.9030900  1.0413927  0.0435751 0.0461009  0.0435751 8  11 b2    0.0025258 89 89

Substituting these values yields the quadratic formula f 2 ( x)  0.9542425  0.0435751 ( x  9)  0.0025258 ( x  9)( x  11)

which can be evaluated at x = 10 for f 2 (10)  0.9542425  0.0435751 (10  9)  0.0025258 (10  9)(10  11)  1.0003434

‫أموت محبولبا خير لي‬ ‫من أن أعيش مكروها‬ Problem 18.3 Fit a third-order Newton’s interpolating polynomial to estimate log 10 using the data from Problem 18.1

Solution: First, order the points x0 = 9 f(x0) = 0.9542425 x1 = 11 f(x1) = 1.0413927 x2 = 8 f(x2) = 0.9030900 x3 = 12 f(x3) = 1.0791812 The first divided differences can be computed as f [ x1 , x 0 ] 

1.0413927  0.9542425  0.0435751 11  9

‫ أو لبالبريد اللكتروني‬9 4444 260 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة لباللبل غ عن أي خطأ أو ملظحظات تراها ضرورية لبرسالة نصية‬

Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy eng-hs.com, eng-hs.net ‫شرح ومسائل محلولة مجانا لبالموقعين‬

[email protected] 260 4444 9 ‫ ظحمادة شعبان‬.‫م‬

July 2013

f [ x 2 , x1 ] 

0.9030900  1.0413927  0.0461009 8  11

f [ x3 , x 2 ] 

1.0791812  0.9030900  0.0440228 12  8

The second divided differences are f [ x 2 , x1 , x 0 ] 

0.0461009  0.0435751  0.0025258 89

f [ x3 , x 2 , x1 ] 

0.0440228  0.0461009  0.0020781 12  11

The third divided difference is f [ x3 , x 2 , x1 , x 0 ] 

 0.0020781  (0.0025258 )  0.00014924 12  9

،‫إذا تكلمت لبالكلمة ملكتك‬ ‫وإذا لم تتكلم لبها ملكتها‬ Continue: Substituting the appropriate values into Eq. (18.7) gives f 3 ( x)  0.9542425  0.0435751 ( x  9)  0.0025258 ( x  9)( x  11)  0.00014924 ( x  9)( x  11)( x  8)

which can be evaluated at x = 10 for f 3 ( x)  0.9542425  0.0435751 (10  9)  0.0025258 (10  9)(10  11)  0.00014924 (10  9)(10  11)(10  8)  1.0000449

‫ أو لبالبريد اللكتروني‬9 4444 260 ‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة لباللبل غ عن أي خطأ أو ملظحظات تراها ضرورية لبرسالة نصية‬

Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms, Numerical, Economy eng-hs.com, eng-hs.net ‫شرح ومسائل محلولة مجانا لبالموقعين‬

[email protected] 260 4444 9 ‫ ظحمادة شعبان‬.‫م‬

‫‪July 2013‬‬

‫ما هي الهتمامات التي تحيا من‬ ‫أجلها وستعمل على إنفاق جل‬ ‫جهدك ومالك لتحقيقها في ظحياتك‬

‫النوتات مجانية للنفع العام فيرجى المساهمة لباللبل غ عن أي خطأ أو ملظحظات تراها ضرورية لبرسالة نصية ‪ 9 4444 260‬أو لبالبريد اللكتروني‬

‫‪Physics I/II, English 123, Statics, Dynamics, Strength, Structure I/II, C++, Java, Data, Algorithms,‬‬ ‫م‪ .‬ظحمادة شعبان ‪[email protected] 260 4444 9‬‬

‫‪Numerical, Economy‬‬ ‫شرح ومسائل محلولة مجانا لبالموقعين ‪eng-hs.com, eng-hs.net‬‬