NÚMEROS Y OPERACIONES DIVISIBILIDAD I PRI I 2NU M -OP E 2 DESARROLLO DEL TEMA Ejemplos: 24 8 • Es la parte de la arit
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NÚMEROS Y OPERACIONES
DIVISIBILIDAD I PRI I 2NU M -OP E 2
DESARROLLO DEL TEMA Ejemplos: 24 8 •
Es la parte de la aritmética que estudia las condiciones que debe cumplir un número entero para ser dividido exactamente entre otros.
0
24 8 3
3
24 es divisible por 8 24 es múltiplo de 8.
I. DIVISIBILIDAD DE NÚMEROS Un número entero es divisible entre otro positivo (módulo), cuando al dividir el primero entre el segundo el cociente es entero y el residuo cero.
o
•
0 = 11 porque 0 = 11 (0) o
20 = 1 porque 20 = 1 (20) o
Donde:
A
B
7 = 7 porque 7 = 7 (1)
0
K
–36 = 9 porque –36 = 9 (–4)
o
A : número entero B : número entero positivo (módulo) K : número entero
2. Si A no es múltiplo de B (o no es divisible, que es lo mismo), entonces por el teorema fundamental de la división entera. • División entera por defecto:
II. MULTIPLICIDAD DE NÚMEROS Un número entero es múltiplo de otro positivo (módulo), cuando es el resultado de multiplicar dicho entero positivo por un entero cualquiera. •
A BK
Donde:
A : número entero B : número entero positivo (módulo) K : número entero
A
B
rd
K
o
A B K rd A B rd
División entera por exceso: A
B
re
K 1
o
A B(K 1) re A B re
IV. PRINCIPIOS DE LA DIVISIBILIDAD
Nota: Podemos observar entonces que la multiplicidad es la expresión del teorema fundamental de la división por lo tanto la divisibilidad y la multiplicidad de números son conceptos equivalentes en el conjunto de los enteros, con la restricción hecha sobre el módulo.
1.
o
o
o
o
nnn n
Ejemplo: 12 8 20 40 o
o
o
o
4 4 4 4
III. NOTACIÓN YREPRESENTACIÓN GENERAL
2.
o
o
o
o
nn n
1. A es múltiplo de B A B Ejemplo: 35 14 21
o
además:
B BK ; K Z
PRIMERA OPCIÓN REGULAR 2018-II
o
o
o
7 7 7
1
NÚMEROS Y OPERACIONES | 2
Exigimos más!
3.
o
DIVISIBILIDAD I
28
o o 2. 41 7 41 728 17 o o 3. 13 2 13 217
o
K .n n ; k Z
Ejemplo 5 16 80 o
o
K 8 8
VI.PROPIEDADES
4. Dados dos números enteros cuyo producto es divisible por un cierto módulo, si uno de tales números no admite divisores comunes con el módulo, aparte de la unidad, entonces el otro número será divisible por dicho módulo. (Teorema de Arquímedes).
o
1. Si: N a b
o
Nb o N3 Ejemplo: Si: N 21 o N7 o 2. Si: A p o o A q A mcm(p , q , r) o A e
Ejemplos • Si:
•
o
Si:
o Ejemplo: A 3 o o A mcm(3; 8;12) A8 o o A 12 A 24 o 3. Si: A P r o o A Q r A mcm(P , Q , R) r o A R r
V. APLICACIÓN AL BINOMIO DE NEWTON K
o o K n r n r
o K K o n r K : par n r o K n r K : impar
o Ejemplo: A 5 2 o o A mcm(5; 7; 8) 2 A 7 2 o o A 8 2 A 280 2
Ejemplos o 1. 12 3
34
o
Na
o
12 334
problemas RESUELTOS Problema 1 ¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 9 pero no de 5? Nivel fácil
A. 80 B. 100 C. 60 D. 115
Resolución Planteamos un diagrama de conjuntos para una mejor interpretación.
PRIMERA OPCIÓN REGULAR 2018-II
En el conjunto donde se ubican los múltiplos de 9 se observa: x + 20 = 100 x = 80
Respuesta: A. 80
2
Problema 2 El número de alumnos de la academia está comprendido entre 400 y 900. Si salen de paseo en grupos de 5, de 6 ó de 8, siempre sobra un alumno. La academia está constituida por secciones que tiene la misma cantidad de alumnos, el número de secciones es igual al mismo número de alumnos por sección. Calcule cuántos alumnos tiene la academia e indique como respuesta la cifra de las decenas del número hallado. Nivel intermedio
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
NÚMEROS Y OPERACIONES | 2
DIVISIBILIDAD I
Resolución Sea el número de alumnos: "N" 400 < N < 900 ... (a)
Problema 3
•
Calcula el valor de 2a – b si el numeral a1a8b4 es múltiplo de 72. (b > 2)
o
a1a8b4 9
Nivel intermedio
o
N
Aplic ando el criterio por 9 tendríamos:
5 1 o 6 1 o 8 1
o
N = 120 +1 ... (b)
A. 2 B. 3
o
C. 4 D. 5
cifras: a + 1 + a + 8 + 6 + 4 = 9 o
Resolución
2a + 19 = 9 o
o
Además: El número de secciones es igual al número de alumnos, es decir si hay "x" secciones de "x" alumnos cada una el número de alumnos será: N = x2, es decir N es un cuadrado perfecto evaluando (a) y (b). N = 120K + 1 = 841 = 292
o
Si es 72 ento nces es 8 y 9
o
necesariamente entonces:
o
2a = 9 – 1
o
o
8 a1a8b4 o 9
•
o
2a + 9 + 1 = 9
o
2a = 9 + 8 a = 9 + 4 a=4
Aplicando el criterio por 8 tendríamos: o
2a – b = 2(4) – 6 = 2
8b4 8 b = 6 v b = 2
Respuesta: C. 4
Respuesta: A. 2
como b > 2 b = 6
problemas de clase NIVEL I
NIVEL II
1. Dadas tres cifras significativas a, b y c; la expresió n:
5. Si 4N se divide entre 11 el residuo es 8. ¿Cuál será el residuo de dividir N entre 11? A. 1 C. 3 B. 2 D. 4
ab ac bc ba ca cb es
siempre divisible por: A. 5 C. 13 B. 9 D. 22 2. Luego de operar: o
o
o
o
(8 7) (8 3) (8 5) (8 3)
se obtiene: o
o
A. 8 2
C. 8 4
o
o
B. 8 3
D. 8 1
3. ¿Cuántos números de 3 cifras no son múltiplos de 12? A. 75 C. 735 B. 900 D. 825 4. ¿Cuál es el menor número entero positivo por el cual hay que multiplicar a 1 210 para que sea múltiplo de 320? A. 2 B. 8 C. 16 D. 32
PRIMERA OPCIÓN REGULAR 2018-II
9. Hallar el mayor número positivo de 2 cifras tal que al dividirlo entre 9, da resto 5; al dividirlo entre 4 no deja residuo. Dar como respuesta la suma de sus cifras. A. 7 C. 9 B. 12
D. 14
6. Calcular el 4to término múltiplo de 27 en la serie: 21, 42, 63, 84, ........... . A. 576 C. 675 B. 657 D. 756
10. ¿Cuántos números comprendidos entre 24 y 972, terminan en 4 y son múltiplos de 14?
7.
11. Hallar el número de valores que puede tomar ab para que:
Si al dividir 3 números A, B y C entre 7, se obtienen como residuos 3 números impares y consecutivos, entonces, el residuo de dividir A x B x C entre 7, es: A. 1 C. 3 B. 2 D. 4
8. Sabiendo que: o
A. 12
C. 14
B. 13
D. 15
o
ab 2ab 3ab ... 20ab 91 A. 6 B. 13 C. 14 D. 7
NIVEL III
24 24 24 ...... 24 45 " n" sumandos
El mínimo valor de "n" que cumple esta condición, es: A. 5 C. 15 B. 10 D. 20
3
12. En un colegio hay 56 alumnos y a todos les gusta el fútbol. De los hinchas de la "U", la tercera parte vive cerca al nuevo estadio y la séptima parte tiene ya su propio
NÚMEROS Y OPERACIONES | 2
Exigimos más! palco. De los hinchas de "Alianza", los 3/5 son menores de edad y la cuarta parte postularán a la Católica. La sexta parte de los hinchas de "Cristal" son abstemios. El resto de los alumnos son hinchas del "Boys", pero son tan pocos que se cuentan con los dedos de una mano. ¿Cuántos hinchas tiene el "Boys"?
PRIMERA OPCIÓN REGULAR 2018-II
DIVISIBILIDAD I
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
donde a y b coinciden con el mes y
día
de
su
c umpleañ os
respectivamente, ¿cuántos años 13. A Pool le preguntan unos alumnos por la fecha de su cumpleaños y él responde: "Si el día lo multiplican por 12 y el mes por 31, y suman ambos resultados, obtendrán 294". Si Pool nació en 19ab ,
4
tiene ahora? (septiembre del 2010) A. 40 años B. 41 años C. 42 años D. 43 años
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