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NOTACIÓN CIENTÍFICA En nuestros cursos de física (o química), vamos a encontrarnos muy frecuentemente con números muy grandes o muy pequeños, por ejemplo: el número de Avogadro es 602 000 000 000 000 000 000 000 moléculas/mol, la carga eléctrica de un electrón es: 0.000 000 000 000 000 000 16 C, como se ve es muy difícil escribirlos, leerlos y más aún, operar con ellos. Para salvar esta dificultad se acostumbra emplear notación científica, ésta se basa en potencias de 10 y las leyes de los exponentes, que a continuación se desarrollan: Por definición: 101 102 103 104 10n

= = = = =

10 10 10 10 10

x x x x

10 10 x 10 10 x 10 x 10 10 x 10... x 10 n veces.

La expresión 10n se lee 10 a la potencia n, 10 es la base y n es el exponente. Dados los números m y n donde m y n pueden ser enteros, fraccionarios, positivos, negativos o cero se cumple:

10 m x 10 n =10 m +n

(1)

Es decir para multiplicar potencias de 10 basta con sumar los exponentes. También se cumple

10 m =10 m −n n 10

(2)

Es decir, para dividir potencias de 10 basta restar la potencia del denominador de la potencia del numerador. Afirmamos que:

(10 )

m n

=10 m x n

(3)

Es decir, para elevar a la potencia n al número 10m, basta con multiplicar las potencias m y n. Para aplicar las reglas dadas, sin ambigüedades, establezcamos:

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1 = 0 .1 10 1 1 1 = 2 = = = 0.01 10 10 ×10 100 1 1 1 = 3 = = = 0.001 10 10 ×10 ×10 1000 1 1 1 = 4 = = = 0.0001 10 ×10 ×10 ×10 10000 10

10 −1 = 10 −2 10 −3 10 −4

−n entonces, 10 =

1 10 n

(4)

Se establece también, como definición que:

10 0 ≡ 1

(5)

Con lo asentado hasta el momento podemos expresar cualquier número decimal, grande o pequeño como potencia de 10. Resolvamos algunos ejemplos: 3560 .82 = 3.56082 ×1000 = 3.56082 ×10 3 3.0 0.0000030 = = 3 ×10 −6 1000000 −5830 .0 = −5.830 ×1000 = −5.830 ×10 3 −1 − 0.0001 = = −1×10 −4 10000

Con los ejemplos anteriores establecemos que cualquier número decimal puede escribirse en la forma a ×10 ±m donde a es un número que cumple 1 ≤ a < 10 y m =0,±1,±2,±3,.... El signo del número queda determinado por el signo de a. Es claro que los número mayores que 1 tendrán potencia positiva de 10 mientras que los números con valor absoluto menor a 1 tendrán potencia negativa de 10. Cualquier número que se expresa en la forma a ×10 ±m está expresado en notación científica.

Para escribir un número decimal en notación científica, inspeccione el número de izquierda a derecha, cuando encuentre el primer dígito distinto de cero, desplace el punto decimal hasta la derecha de ese dígito y tendrá a.

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Para encontrar m, cuente el número de dígitos (incluidos los ceros) que se recorrió el punto decimal y tendrá m. Si recorrió el punto hacia la izquierda el signo de m será positivo. Si recorrió el punto hacia la derecha, el signo de m será negativo. Ejemplos: 0.00003 =3.0 ×10 −5 300000

=3.0 ×10 5

Ejercicios: Usando las expresiones (1) a (5) resuelva: a)

10 −3 ×10 6 10 6 ×10 −2

b)

10 −4 ×10 −3 10 0 ×10 5

c)

10 −11 ×10 −2 ×10 4 10 −3 ×10 5 ×10 2

d)

10 22 ×10 −16 ×10 −6 10 13 ×10 −10 ×10 3

Escriba en notación científica los números: a ) 6384 .22 b) 2523 .35 c ) 0.0001035 d ) 1.0001035 e) −3.12 f ) −0.000 000 000 6 g ) 325 000 000 000 .0

Escriba en forma decimal los números: a ) 3 ×10

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b) 6.02 ×10

−4

c ) −381 ×10 d ) −1 ×10

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REGLAS

GENERALES PARA LA ESCRITURA DE

LOS SÍMBOLOS DE LAS UNIDADES DEL

SISTEMA INTERNACIONAL (S.I.) 1. Los símbolos de las unidades deben expresarse en caracteres romanos, en general minúsculos, con excepción de los símbolos derivados de nombres propios, para los cuales deben utilizarse caracteres romanos mayúsculos. Por ejemplo: m; cd; K; A 2. Al final de los símbolos de las unidades no debe colocarse punto. Por ejemplo: m; kg; s; K 3. Los símbolos de las unidades no deben pluralizarse. Por ejemplo: 1 kg; 50 kg; 1.0m; 15.0 m 4. Para indicar el producto de dos o más unidades, preferentemente, debe usarse el punto como signo de multiplicación. Este punto puede suprimirse cuando la falta de separación de las unidades que intervienen en el producto, no cause confusión. Por ejemplo: N.m; Nm; m.N; pero no mN que se confunde con milinewton. 5. Las unidades derivadas, formadas por el cociente de dos unidades, se pueden denotar utilizando una línea inclinada, una línea horizontal, o bien potencias negativas. Por ejemplo: m ; m ; m ⋅ s −1 ; ms −1 s s

m

s

−2

;

m ; m ⋅s2 −2 s

6. No debe utilizarse más de una línea inclinada, a menos que se agreguen paréntesis. En los casos complicados deben utilizarse potencias negativas o paréntesis.

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Por ejemplo: m s −2 ; m ⋅ s −2 ; pero no m / s / s

m ⋅ Kg / ( s 3 ⋅ A); m ⋅ kg ⋅ s −3 ⋅ A −1 ; pero no m ⋅ Kg / s 3 / A 7. Los múltiplos y submúltiplos de las unidades, se forman anteponiéndoles los prefijos correspondientes a los símbolos de sus nombres; con excepción de la unidad de masa, para lo cual los prefijos se anteponen al símbolo de “gramo”. Por ejemplo: dag; mg; Mg; pero no kKg 8. Los símbolos de los prefijos deben imprimirse en caracteres romanos (rectos), sin espacio entre el símbolo del prefijo y el símbolo de la unidad. Por ejemplo: mN; pero no m N 9. Si un símbolo que contiene a un prefijo, está elevado a una potencia, significa que el múltiplo o el submúltiplo de la unidad, está elevado a la misma potencia. Por ejemplo:

1cm3 = (10-2m)3 = 10-6m3 1cm-1 = (10-2m)-1 = 102m-1

10.Los prefijos compuestos deben evitarse. Por ejemplo: 1.0 nm; pero no 1.0mµ m

Tomado de: “Norma oficial mexicana”, Secretaría de Patrimonio y Fomento Industrial, D.G.N. 1981.

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NÚMEROS

EXACTOS Y NÚMEROS APROXIMADOS

Se acostumbra definir a los números exactos como “aquellos que provienen del proceso de contar”, tal aseveración es cierta en general, pero hagamos algunas aclaraciones. Si en un salón de clases contamos el número de alumnos y éste es de 25, estamos ciertos que ese número es exacto pues no existen fracciones de personas, la precisión de ese número es infinita y podemos escribir el número con tantos ceros a la derecha del punto decimal, como sean nuestras necesidades. Sin embargo, no siempre podemos “contar” colecciones de objetos, por su propia naturaleza. Por ejemplo, el censo de población del Distrito Federal hecho en 1990 afirma que había 15,981,736 personas, este dato ¿es exacto?, ¿lo fue en algún instante?, para un demógrafo seguramente carece de importancia de exactitud, posiblemente le baste el dato “aproximadamente 16 millones”. Por otro lado, si quisiéramos saber el número de moléculas de NaCl en un litro de solución 1 molar ¿podríamos contarlas? es evidente que no, podemos calcular el número de moléculas, esta es una colección de objetos que aun cuando es susceptible de contarse (en principio), representa obstáculos muy difíciles de salvar. Tenemos otros números que son exactos como por ejemplo π , e,

2,

22

7,

escritos en esa forma son

exactos, no deben confundirse con las aproximaciones decimales que de ellos hacemos, por ejemplo, por ejemplo, π es la razón de la circunferencia de un círculo a su diámetro en tanto que 3.1416 es una aproximación decimal que hacemos de él. 2 es un número exacto en tanto que 1.4142 es una aproximación decimal que hacemos. Cómo vemos, estamos tratando con dos tipos de números, los exactos y los aproximados, éstos últimos pueden provenir también de dos fuentes principales, de mediciones o de cálculos matemáticos. Con respecto a las mediciones sabemos que ninguna puede ser hecha con precisión infinita, el resultado de una medición es, estrictamente hablando, una estimación, por ejemplo, si usamos una balanza con sensibilidad de décimas de gramo y en ella medimos una masa que resulta ser mayor que 9.3 g pero menor que 9.4 g tendremos que estimar en cuanto excede a 9.3g. Supongamos que usando el sentido común y la inspección asignamos 9.35g a la medida, es claro que el dígito 5 representa una estimación ya que no fue medido exactamente, en tanto que los dígitos 9 y 3 sí son exactos ya que fueron medidos. Podemos ahora establecer una regla general. Todos los dígitos del resultado de una medición son exactos, excepto el último que representa una estimación. En nuestro ejemplo, no podemos escribir el resultado de la medición como 9.350g, esto significaría que 9.3 y 5 son exactos y que estimamos 0, con esto estamos estableciendo una regla. Al escribir el resultado de una medición el número debe indicar la precisión de la medida.

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A menos que expresamente se indique algo diferente definimos como error máximo en una medición a la mitad del valor de una unidad del dígito último a la derecha que se haya registrado. En el ejemplo 9.35 g, tiene un error máximo de la mitad de 0.01g, es decir, error máximo igual a 0.005g. En otras palabras, el resultado 9.35g, indica que el valor de la medición está entre 9.345g y 9.355g. Si de algún modo se hubiera hecho la medición y se tuviera un error diferente al máximo error, esto se expresa explícitamente, por ejemplo 9.35 ±0.02 g , en este caso el error es de 0.02g y no de 0.005g.

PRECISIÓN

Y EXACTITUD

Los conceptos precisión y exactitud poseen diferentes significados en las ciencias experimentales. En el lenguaje común son sinónimos. En ciencia consideramos a una medida como precisa cuando la determinamos con errores aleatorios pequeño, en tanto que una medida será exacta si la determinamos con errores sistemáticos pequeños. Para aclarar estas declaraciones consideremos un ejemplo: Supongamos que contamos con dos relojes, uno de ellos, que denominaremos A, tiene sensibilidad de décimas de segundo (es decir, puede medir hasta 0.1s), el otro reloj, que llamaremos B, puede medir hasta minutos. Si consultamos periódicamente “la hora” y comparamos con el valor que informa el observatorio astronómico nacional, que denotaremos N, encontramos los siguientes valores: Reloj A B N

1ª lectura 10h 02’ 15.5’’ 11h 58’ 12h

2ª lectura 10h 17’ 10.3’’ 12h 13’ 12h 15’

3ª lectura 10h 32’ 9.8’’ 12h 29’ 12h 30’

4ª lectura 10h 47’ 7.5’’ 12h 44’ 12h 45’

5ª lectura 11h 02’ 3.5’’ 13h 01’ 13h

Podemos concluir que A es más preciso que B ya que los errores aleatorios son pequeños (del orden de 0.05s). Pero A es menos exacto que B puesto que los errores sistemáticos son grandes (del orden de 2 horas).

Sobre la base de este ejemplo podemos afirmar que hay cuatro tipos de medidas que son: a) Exactas y precisas.

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b) Exactas y no precisas. c) No exactas y precisas. d) No exactas y no precisas. Con respecto a la precisión no hay discrepancia entre los autores, la precisión estás relacionada con la cantidad máxima de variación con respecto al valor medido en tanto que la exactitud está relacionada con la cantidad de variación máxima respecto al valor verdadero y este valor verdadero sólo es accesible a través de medidas realizadas con patrones primarios. Algunos autores definen a la exactitud de una medida, como la razón entre el error máximo y el valor de la medida, esta definición si bien ha probado ser satisfactoria en algunos casos, presenta serias dificultades en al menos dos casos claros: a) Cuando la medida es cero. b) Al medir algunas variables intensivas y expresar la medida en diferentes escalas produce diferentes exactitudes, por ejemplo, suponga que midió 25.0+ 0.5°C con un termómetro graduado en celcius y luego expresa su medida en Kelvin, es claro que su nuevo valor es 298.2+0.5K, la exactitud calculada para la medida 0.5°C = 2 ×10 −2 , en tanto que la exactitud para su expresada en celcius es 25 .0°C 0.5°C =1.7 ×10 −3 , es evidente que la exactitud medida expresada en Kelvin es 298 .2°C debe ser la misma independientemente de la escala empleada para determinar la medida.

CIFRAS

SIGNIFICATIVAS

Como vimos en la sección anterior, distinguimos entre dos tipos de números, los exactos y los aproximados. Los números exactos tienen un infinito de cifras significativas, entendiendo por éstas a aquellos dígitos que sirven para expresar la precisión de un número, exceptuando a los números que sólo sirven para ubicar al punto decimal. Los números aproximados tienen un número finito de cifras significativas. A continuación trataremos de caracterizar a las cifras significativas: i. ii. iii. iv. v.

Todos los dígitos diferentes de cero son significativos. El cero colocado entre dígitos significativos es significativo. Los ceros que suceden al punto decimal son significativos. En números menores que 1 los ceros que suceden al punto decimal no son significativos (sólo determinan la posición del punto). Los ceros a la derecha de un entero que se escriben para determinar la posición del punto decimal, no son significativos.

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La importancia de un dígito significativo depende de su colocación en el número. El primer dígito significativo de izquierda a derecha, es el más significativo, el último dígito de izquierda a derecha es el menos significativo. Ejemplos: En 0.000205 tenemos 3 cifras significativas, el 2, el cero entre el 2 y el 5 y el 5. Los 3 primeros ceros no son significativos ( sólo sirven para ubicar el punto decimal). El 2 es el dígito más significativo, el 5 es el dígito menos significativo. En 2.00205 tenemos 6 cifras significativas, los ceros después del punto son significativos puesto que están entre dígitos significativos. El primer 2 es el más significativo, el cinco es el dígito menos significativo. En 0.03140 tenemos 4 cifras significativas que son 3, 1, 4 y el último cero ( el cero indica la precisión del número), el dígito más significativo es el 3, el menos significativo es el cero. En 125000, tenemos 3 cifras significativas que son 1, 2, 5. Los tres ceros sólo sirven para ubicar el punto decimal. El dígito más significativo es el 1 y el menos significativo es el 5. En este último ejemplo parece que no siempre tenemos posibilidad de saber de manera unívoca cuando los ceros finales son significativos. Para evitar ambigüedades seguiremos la regla para escribir números en notación científica. “Al escribir un número en notación científica todos los dígitos en que se exprese a serán significativos“(recordar que se escribe ax10m) así pues, en el número 1.25000x105 todos los dígitos son significativos.

REDONDEO Si para evaluar el área de un círculo conocemos el radio, podemos usar la conocida fórmula A=π r2, donde A es el área y r es el radio. El número π (en su expresión decimal) es 3.1415926... . Si tuviéramos r con tres cifras significativas no resultaría conveniente ni práctico conservar 8 o 10 cifras significativas de π , para ello usamos el artificio conocido como redondeo, es decir, quedarnos con las primeras m cifras significativas y desechar las n restantes. Para el efecto procederemos de la siguiente manera: Observamos el primer dígito eliminado, si este dígito es 0, 1, 2, 3 ó 4 se retiene el dígito anterior sin cambiar en la aproximación. Si el primer dígito es 5, 6, 7, 8, ó 9 se incrementa en uno el dígito anterior en la aproximación. Ejemplo: Si redondeamos el número 7.654321 a tres cifras significativas, observamos que el primer dígito a eliminar es el 4. Siguiendo la regla de redondeo, debemos conservar

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como última cifra significativa al 5, es decir, el número 7.654321 redondeado a tres cifras significativas es 7.65. Si quisiéramos redondear el mismo número 7.654321 a dos cifras significativas, el primer dígito a eliminar es el 5 por lo que aumentaríamos en una unidad el número anterior. Por lo tanto, 7.654321 redondeado a dos cifras significativas es 7.7. Esta regla de redondeo pudiera no satisfacer al lector muy exigente, sin embargo, es consistente con la afirmación de que el error máximo en un número aproximado es igual a un medio del valor siguiente al menor en que está expresado. Aclarando, el número aproximado 7.65 se entiende que está comprendido entre 7.645 y 7.655, es decir, si x=7.65 se cumple que 7.645