Nociones Preliminares: Capitulo
I CAPITULO NOCIONES PRELIMINARES Objetivos: Familiarizarse con el lenguaje a utilizar en el desarrollo del tex
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I
CAPITULO
NOCIONES PRELIMINARES
Objetivos:
Familiarizarse con el lenguaje a utilizar en el desarrollo del texto. Aplicar correctamente la ley de signos ya sea en la multiplicación o división. Saber identificar una ecuación y sus variables.
ECUACIONES CON SUMAS Y RESTAS DE ENTEROS Para
resolver
ecuaciones
con
números
enteros
x 21
como
x 8 13 o t (5) 17 , necesitamos que en uno de
los miembros de la ecuación quede la incógnita sola y que estas no aparezca en el otro miembro. Los pasos siguientes muestran como utilizar las propiedades aditiva y del elemento opuesto; para lograr tal fin. Solución de ecuaciones con sumas y restas
El resultado de la aplicación en el segundo miembro, es la solución de la ecuación.
Ejemplo 2: Resolver: t ( 5) 17 Resolución:
El procedimiento para encontrar la solución de una ecuación con sumas y restas de enteros es el siguiente: 1. 2. 3. 4.
Se determina que la operación (suma o resta) se aplica a la incógnita. Se adiciona a ambos miembros de la ecuación el opuesto de la operación que se aplica a la incógnita (propiedad aditiva). Se anula el sumando asociado a la incógnita, aplicando la propiedad del elemento opuesto, logrando de esta manera aislar a la incógnita. Se efectúa la operación en el otro miembro cuyo resultado es la solución de la ecuación.
ECUACIONES CON MULTIPLICACION Y DIVISION DE ENTEROS
Ejemplo 1: Resolver:
x 8 13
Para resolver ecuaciones como
Resolución:
x 8 13
x 8 8 13 8 x 0 13 (8)
A la incógnita x se le está aplicando la operación 8 , en el primer miembro. Para anular
8 , restamos 8 a
ambos miembros de la ecuación, logrando aislar a la variable.
x 62 7
podemos aplicar la propiedad cancelación o la propiedad multiplicativa. Recuerde que: Propiedad Cancelación. Si: a . x a . b
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9n 117 o
a .x a .b xb a a
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2
Propiedad Multiplicativa.
4.
Si: x a n . x n . a Ejemplo 1: Resolver:
Rpta.: ....................................................... 5.
9n 117
x 92 34 Rpta.: .......................................................
Resolución:
6.
9n 117 Para cancelar el factor
a (63) 161
9 , dividimos ambos miembros por 9 .
Rpta.: ....................................................... 7.
9 n 117 9 9 n 13
144 y (37) Rpta.: .......................................................
9.
x 62 Resolver: 7
5 (42) x 78 Rpta.: .......................................................
10.
Resolución:
246 n 4 Rpta.: .......................................................
8.
Ejemplo 2:
y (40) 25
31 (2) z 9 8 (4) 1 Rpta.: .......................................................
11.
7 x 56 Rpta.: .......................................................
12.
2m 48 Rpta.: .......................................................
13.
6k 102 Rpta.: .......................................................
PRACTICANDO EN CLASE
14.
y 12 8 Rpta.: .......................................................
15. Resuelve cada una de las ecuaciones:
n 32 17
1.
Rpta.: .......................................................
x 98 10 Rpta.: .......................................................
16.
15 12
y 73 56
2.
Rpta.: .......................................................
Rpta.: .......................................................
x 16 41
3.
17.
Rpta.: .......................................................
2
b 9
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4
8f 68 7
Rpta.: .......................................................
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18.
0
D)
t 7
Rpta.: ....................................................... 19.
1 5
3 A) D)
3x 7
Rpta.: ....................................................... 20.
9.
17b 204 Rpta.: .......................................................
10.
100
200
B) E)
71 74
C) 72
B) E)
384 -384
C) -383
4y 29 9 70 73
0 512 A) D)
E)
-382 -381
4x 3
REFORZANDONOS EN CASA 1.
c 73 142 A) D)
2.
290 297
C) -295
1940 1944
B) E)
1946 1948
C) 1950
440 446
B) E)
442 448
C) 444
-800 -808
B) E)
-802 -804
C) -806
3 4
B) E)
9 5
C) 7
B) E)
-15 15
C) 13
B)
60
C) 80
9w 135 A) D)
8.
B) E)
26t 78 A) D)
7.
-297 -290
x (72 36) 844 A) D)
6.
C) 79
c (52) 494 A) D)
5.
96 80
y (308) 1640 A) D)
4.
B) E)
b 48 249 A) D)
3.
60 69
-11 -13
c 4 12 5 A)
40
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2
LEYES DE EXPONENTES
II
CAPITULO Objetivos:
Las leyes de exponentes tiene por objeto estudiar todas las clases de exponentes que existen y las relaciones que se dan entre ellos; y la operación que da origen al exponente es la potencia.
MOTIVACIÓN Los Árabes fueron los verdaderos sistematizadores del Álgebra. A fines del siglo VIII floreció la escuela de Bagdad a la que pertenecían al Juarismi, al Batani y Omar K.hayyan. Al Juarismi, persa del siglo IX, escribió el primer libro de Algebra y le dio nombre a esta ciencia. Al Batani, sirio (858 - 929), aplicó el Algebra a problemas astronómicos. Y Omar Khayyan persa del siglo XII, conocido por sus poemas escritos en «Rubayat», escribió un tratado de Algebra. «Querer es poder, tú quieres, luego puedes». •
Concepto.-
(3)4 (3)(3)(3)(3) 81 4 factores
Es la operación que consiste en multiplicar un número llamado base tantas veces como factor, como lo indica otro llamado exponente, para obtener un resultado llamado potencia. (BASE)
EXPONENTE
(3) 81
4
Es base : –3 Es exponente Es potencia
=POTENCIA
Notación:
•
:4 : 81
x 25 x x x ... x " 25" factores
bn P
30
•
x x x x ... x
•
x x x x x ... 2 2 2 2 2
"30" veces
Dónde:
52
b : Base n : Exponente
"52" factores 4
2 2 2 2 2 16 3 3 3 3 3 81
•
P : Potencia
Luego: 4
2 16 3 81
b b b b ... b n
"n" veces ("n" factores )
Donde: Ejemplos: • 25 2 2 2 2 2 32 5 veces
2 32
5
Es base Es exponente Es potencia
4
:2 :5 : 32
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2 3
Es base
:
Es exponente
: 4
Es potencia
:
16 81
•
x2 25 x2 x2 x2 ... x2
•
x x 1 x x x ... x
25 factores
( x 1) factores
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•
(BASE POSITIVA)IMPAR
(a b)3 (a b)(a b)(a b)
Ejemplos:
Recíprocamente de acuerdo a la definición de potenciación se verifica:
2 2 2 ... 2 2
•
x x x x ... x x x x
25
x 17 x x17
x17
17
• •
2 5 2 32 5
•
25
25 veces x
x
30
(BASE NEGATIVA)PAR
30 factores
•
Ejemplo:
(3)(3)(3)...(3) (3)80
•
p 3 p 3 p 3 p 3 p 3 ... q q q q q
Ejemplo:
n
3
•
En:
2
•
En:
X
5
•
Exp. = 5 Base = 3
5
En:
–2 – 25 5 –2 – 32 21 – x – x 21
•
Identificación de una base y su exponente: •
•
(BASE NEGATIVA)IMPAR
bn ( b)n
an a (**) b b
6
m n
(m n) factores
(*)
–2 26 6 –2 64 18 – x x18 18 – x x18
•
80 factores
3
x+5
x+5
X
X
Exp. = 3 Base = 2 2
Exp. = x x Base = x
2
(1º) Es conveniente indicar la diferencia entre:
–34 y –3
En: – 3 ; el exponente no afecta al signo. 4
(*) En el Exponente anterior: X Exp. = x2
X
2
(*) En: –3 ; el exponente si afecta al signo. 4
, se tiene:
–3
Base = x LEY DE LOS SIGNOS EN LA POTENCIACIÓN
(BASE POSITIVA)PAR
34 ; Por ello: –34 –3
4
1n 1 con n
(i)
Ejemplos:
123 1 128 • 1 1 –25 • 1 1 •
2
4
24
2 4
•
4
(2º) Debes tener presente lo siguiente:
Ejemplos: •
4
16
x x 32 32 x x 32
(1)PAR 1
(ii)
32
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Ejemplos: •
–1
16
1
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2
–1
•
328
1
POTENCIAS MÁS USUALES:
(1)IMPAR 1
(iii)
Ejemplos:
–1 5 –1
17
• •
–1 –1
0n 0 con n
(iv)
Ejemplos:
017 0 0120 0 01256 0
• • •
Para realizar diversas operaciones a través de la potenciación es necesario recordar las potencias más usuales: LEYES DE EXPONENTES Los exponentes se rigen a través de leyes, normas que estudiaremos a continuación: Objetivos: • El objetivo es capacitar al alumno a poder identificar los diferentes tipos de exponentes y las relaciones que se dan entre ellos, luego dar paso a la solución de ejercicios mediante reglas prácticas de exponentes. Para un mayor entendimiento en este capítulo, las leyes de exponentes lo dividimos en 3 partes: (1º) Leyes de Los Exponentes I (2º) Leyes de los Exponentes II (3º) Leyes de los Exponentes III A continuación pasaremos a desarrollar las respectivas leyes contenidas en cada grupo. LEYES DE EXPONENTES I Aquí mencionaremos las leyes que son usuales dada su forma en que se presentan: 2. Ley del exponente Uno
b1 b
1. Ley del exponente Cero
El exponente uno ya no se escribe, se sobreentiende Ejemplos:
b0 1 Siempre y cuando: b 0
1
Ejemplos:
•
• 3 1
•3 1
• –3 1
0
•
1 1 3 3
0
• –3 –1
•
3 3
•
a
b
3x0 3 1 3 • 3 x 1
•
3 x1 3 x
•
ab
0
0
0
•
5 5 1
1
1
a
1
b
ab
0
1 • • 3 a b 0 3 1 3 1 2 0 • –3x y –3 1 y –3 y
3. Ley del exponente exponentes)
0º es indeterminado
6
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de
1
bc
a
Exponentes: d
(cadena
de
e
Para desarrollar esta expresión se toma los 2 últimos términos (base y exponente), luego se va transformando de arriba hacia abajo, tomando de 2 en 2 los términos. Ejemplos:
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(*)
Luego: (*)
32
Desarrollar:
Entonces transformamos a una expresión fraccionaria
2
22
4
3 = 3 = 81
PRACTICANDO EN CLASE
Desarrollar:
2
3
2
15
0
Luego: 3
2
15 2
0 3
1 2
3
2
9
= 2 = 2 = 2 = 512
1.
Efectuar :
K 30 2
0
40
Rpta.: ....................................................... 4. Ley del exponente Negativo
b
1 n Con b 0 b
n
2.
p 3
3.
a b
b a
5 m n
con: a; b 0
• • •
1 1 32 9 1 1 32 2 3 9 1 1 24 4 2 16 1 1 (3)2 2 (3) 9
32
3
•
4
4.
•
x y x y
4
Efectuar:
Rpta.: ....................................................... 5.
Calcular: K
6.
Calcular: 1
P
• •
1
Rpta.: .......................................................
4
7.
Efectuar:
M
1 2 4 24 x
9xº 5 (a b)º 13
Recíprocamente: •
5(x 2)º 2(m a)º ( 2 )º 4mº 4nº
Rpta.: .......................................................
4
7 4 4 7
z0 2
3a 0 m 0 2
3
•
0
Rpta.: .......................................................
También:
1 2 3 (2) 8 2 1
0
Efectuar:
n
Ejemplos: •
50 3
0
Rpta.: .......................................................
*Caso Particular n
Efectuar:
3xº y 2yzº 3xº y 4 yzº
Rpta.: ....................................................... x
3 5 5 3 1 3 ( 5) 35 5 3
Si la forma del exponente es negativo:
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8.
Efectuar:
P
5mnº 2aº m m mnº
Rpta.: ....................................................... 9.
Efectuar:
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2
M
2( x y )º (2a 2 )º 6 4aº 3bº
1
3 A) D)
Rpta.: ....................................................... 10. Calcular: 1
P
4.
1
5( a b ) 2( a b )
2
3 6
2
2
2 1 B) E)
120
K (2) A) D)
11. Efectuar: 2
2
5mº y 3mº y M 2aº y 2xº y 2pº y
5.
84 7
0 5
(2)
B) E)
A) D)
12. Efectuar: 2
A
2
8a 3mº a 2xº a 3xº a(3a)
2 8
K 3x 0 3x 3
6.
A) D) 7.
3 243
3 A) D)
20
Rpta.: .......................................................
8.
2
3
0
A) D)
B) E)
0
5
2
2
2
0
3
25
1
B) E)
4
A) D) 3.
2 16
B) E)
4 32
2
-3 1
(2)
2
2
C) 3
3
2
(3)
2
3 (2) B) E)
10 3/10
5
3
6 269
C) 12
B) E)
10/3 1/2
C) 3
10. Resolver:
Resolver: 4
3
1
C) 8
A) D)
1 4
2
3
2
3
2
B) E)
(5)
2 -10
2
C) -2
Desarrollar:
8
3
C) 81
32
2 (2)
2 (2) 2
(3)
9 43
4
2.
2
2
A) D) C) 27
2
2 2 3 3 P 1 9 10
22
9 103
C) 6
Calcular:
Desarrollar
3 81
4 10
3
3 18
REFORZANDONOS EN CASA
A) D)
02
Calcular:
18
9.
3
2
P
Rpta.: .......................................................
1.
2
0
6 -6
15. Calcular: 2
C) 2
Resolver:
14. Calcular:
5
22
B) E)
Rpta.: .......................................................
N2
120
Efectuar:
P (3)
0
1
2
2
13. Calcular:
15
2
16 7
B) E)
Rpta.: .......................................................
0
2
Resolver:
2 Rpta.: .......................................................
C) 5
Desarrollar:
3 ab
Rpta.: .......................................................
2
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Objetivos:
Buscar que el alumno logre dominar las diversas operaciones que se da con los exponentes establecidos como leyes. El camino a recorrer con estas leyes nos permitirá desarrollar a través de los ejercicios su capacidad de razonamiento.
LEYES DE EXPONENTES II • Aquí mencionamos las Leyes que rigen a los exponentes de acuerdo a las operaciones usuales que presentan las diversas expresiones. 1. Multiplicación de Bases Iguales
•
x5 x51 x 4 x ( m)121 ( m)121100 ( m)21 m21 ( m)100
a m .a n a m n En forma extensiva:
Si se tiene:
a x .a y .a z .a w a x y z w
bm – n bm– n– (p – q) bm– n– p q bp – q
Ejemplos: • • • • • •
x .x 2 x1 2 x3 102 .104.106 102 46 1012 a 0.2 .a 0.7 .a 0.1 a 0.20.7 0.1 a1 a m .m2 .m3 . m4 m1 23 4 m10 2 x .23 2 x3 x x .x y .x x x y 1
Luego obtendremos: bm – n bm – n – p q bp – q
Regla Práctica : “La base resultante lleva como exponente una forma particular; donde el exponente del numerador mantiene su exponente, mientras el exponente denominador va a pasar con signos opuestos” Ejemplos:
Recíprocamente: • • •
2 x 5 2 x .25 x x 1 x x .x1 10a b 2 10a .10b.102
•
2x 1 2x 1– x 1 22 4 2x –1
•
32 x – 7 32 x – 7 – 2 x 9 32 9 32 x – 9
•
2. División de Bases Iguales
bm b m n con b 0 bn Ejemplos: •
2x 2 x5 5 2
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Ejemplos Diversos: 7 4
• •
x y
y2x
7
4
x y x6y 2 x1 y 2
x5 1 5 – 3 1 2 x2 x x 2 2 2x 3 2
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2
a15b8 a15 b8 a15 1 a6 b10a9 a9 b10 a9 b10 b2 b8
•
Se observa: a 15 b 8 b x 7yz4
•
z7y 5 x2
10
a
9
a6 b
2
x5 y 4z3
3
x
•
2x 23 8 x
•
mn
•
x 2 x 3 3 3
m
m
m
n
2
x
No confundir:
b
m n
3. Potencia de Potencia
a
Pues:
m n
a
c on b
b
m n
m. n
b
mn
mn
4. Potencia de un Producto
a
q
m n p m n p q b b Ejemplos: x3
•
–5
x
2
3 –5
2 2
•
x2 x
•
a a a 3a
x
x
–15
4
a
•
a
x
x
a.b
•
a
m
a a
–1
x
a
1–1
x
a
0
• x
•
Recíprocamente:
•
•
x3m x3
•
32 x 32 9 x
m
•
x
.bn .c q a m. p .bn. p .c q. p p
x y x y x y 2x 2 x 2 x 4x m n p m n p m n 2 .3 .5 2 .3 .5 3
2 5
3.5
5 2
10
n.m
m n
15
10
10
5.4
8 12
2x . ax = (2a)x 2x . 3x . 5x = (2 3 5)x = 30x x2x . y3x . z4x = (x2y3z4)x
5. Potencia de un Cociente p
am a m. p n n. p b b
n m
; con
b0
Luego se cumple: p
bm
n
bn
ap a b bp
m
Ejemplos:
10
p 20
5
Nota: 3xn (3x)n
b b b b b b n m
2
2.4 3.4
5
3
15 10
5.2
5 4
2 3
2
1.2
2.5
Recíprocamente:
Si se tiene: m.n
p
a p .b p
p
(*) (*) (*)
m n
.b n a m. p .b n. p
Ejemplos:
3
–1
•
m
Oficinas: Juliaca Jr. Huancané 520 – Puno Jr. Lampa 315 Of. Parque Pino
Ejemplos:
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5
•
x2 x10 3 y15 y
•
2 x 23 x y 3y 3 3
Rpta.: ....................................................... 5. Efectuar:
3
K
2 2
3
3
3
3
2
5
2
5
1
2
•
x2 x2 x 2 2 4 2
•
1 1 1 5 32 2 2
Rpta.: ....................................................... 6. Calcular:
5
2
•
2
2
5
K
•
6x 6 2x 3x 3
•
1 14 1 34 34 3
4
2
(m ) • m
x2
5
1. Efectuar: 2
2
.................... 2 3 c) 4 .4 .4 ..................... m nm ............... d) x .x.x 2. Efectuar:
x 1
x 1
5
Rpta.: ....................................................... 9. Simplificar:
2
x 1
2
x 3
2
x 5
x
10. Calcular:
M
64 • 45 9 • 320
Rpta.: ....................................................... 11. Calcular:
b
2 . 2 . 2 ................... 3 2 4 3 2 5 b) m n m n m n ...................... a)
5
Rpta.: .......................................................
a) 3 .3.3 ........................
b a
5
2
a b
3
8. Efectuar:
K
4
2
• (m )
Rpta.: .......................................................
4
PRACTICANDO EN CLASE
3
2
2 3 (m )
K
b) 2 .2 .2
3
7. Efectuar:
5
x
2
2
• (m • m )
Rpta.: .......................................................
Recíprocamente:
x5 x y5 y
3
P (m ) • m
m 2 .m2 2 .m4 2 .m 2 .......................... m 2 2 3 m 4 .x ......................... d) x .x c)
K
21 15
7 2x 9 2x
4. Efectuar: 2
•
14
3 9
•
80
•
30
3 2
3
3
3
3
24 8 12 4
Rpta.: ....................................................... 13. Calcular:
Rpta.: .......................................................
2
35
12. Simplificar:
3. Efectuar:
3
4
•
Rpta.: .......................................................
P
3
6
K
4
4
4
4
9 45 3 15
3m a b b 3m a
Oficinas: Juliaca Jr. Huancané 520 – Puno Jr. Lampa 315 Of. Parque Pino
Rpta.: .......................................................
Sitio Web: www.colegiobaldwin.com
2
14. Calcular:
3 3
M2
2 3a b
2
(2)
2
• 2
2 2
2
22 • 2
3
3a 3 b
Rpta.: .......................................................
Rpta.: ....................................................... 15. Calcular: PRACTICANDO EN CLASE…
A)
m
B)
a
2 3
..................................
A) D)
1 5
B) E)
7. Efectuar:
3
x . y .z ..................... x6 . y 4 .z 18 m2 a .n3b B) ............................ ma .n 2b
A) D)
6 3
a 1
B) E)
a
2
C) 1
3
3
D)
a a a
8. Efectuar:
3. Efectuar:
m10 m 20
C) 4
8 2 2
20
A)
A)
2 3
2 7
2. Resolver: 2
2
.........................................
1 3 3 3
4
3 2 3 4 2 • 2 M 2 2 2 5 11 •2 2 • 2
1. Efectuar:
(m )
B)
m12
E)
0
x
5 2 2 P • • 2 5 5
2 2 2 2
C)
m16
A) D)
1 4
B) E)
2,5 2
2 x
C) 3,5
9. Si: a 3 Calcular: a
4. Efectuar:
2 1 (2 )
A) D)
0 3
B) E)
0
3
1 4
a
C) 2
5. Efectuar:
2 2 m(m )
A) D)
m10 m 35
B) E)
2 3
50 56
B) E)
52 60
•a a • a
m 1 a
C)
m 30
6. Efectuar:
12
A) D)
a
C) 54
10. Calcular el exponente final de x en:
m15 m17
3 aa a a
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2
m 2
A) D)
9 -27
B) E)
m
2
•a
4
-9 18
3
C) 27
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REFORZANDONOS EN CASA…
1. Efectuar:
2 a) x y
5. Reducir:
2 3 4
M
................................
am
a m a a m 2
2
2
5
m
5
2 4
3
b)
2 1 3 2 m m ................................
A)
1
B)
2
C) 3
2. Simplificar: P
2
x 1
x 1
2
A)
3
B)
x 3
2
5
C) 7
3. Efectuar:
x 2
A)
x18
2
2
22 2 • x • x• x
x 20
B)
2
C)
x 28
4. Efectuar: 3
K
A)
2
B)
3
8 24 3
2 6
3
3
C) 4
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2
Objetivos:
Lograr que el alumno domine las leyes relacionadas a exponentes fraccionarias y los radicales son muy importantes dado sus diversas aplicaciones en otras materias. Esto será posible a través de la práctica que efectuemos con los diversos ejercicios.
MOTIVACIÓN «El tiempo que gastas en averiguar vidas ajenas, debes emplearlo en reconocer tus defectos, tus aspiraciones y los actos de tu propia vida».
LEYES DE LOS EXPONENTES III Las siguientes leyes están dadas para la transformación de expresiones afectadas por el símbolo de una raíz.
•
1. Exponente Fraccionario m n
x
•
3
•
x
x
x
x
x 2
n
2y
x
3
3
x
2n
x
x
2y 3
x
x
6y
b n b m con n 2 Ejemplos: •
2 3 2 3 x x
•
1 3 1 33 3 33
• 2
xy x y
Impo rt ante
x y
2
xy
Si se tiene
m bn
m n m n m bn b b
Luego: Para fines prácticos:
Impo rt ante Si se tiene b
m 2
b b m
2
m 2
b bm
m
(se sobreentiende el índice 2)
(1º) Si m = 1:
(2º) Si m 1:
m n m bn b m n m bn b
Ejemplos: |
Ejemplos: •
3 x2
x
3
•
x 1 2 2
2
x 1
• •
2. Potencia de una Raíz n
m
b n b(1)(m) n b m ; con n 2
Ejemplos: •
3
5
2
3
2
5
3
• • •
32
•
14
Oficinas: Juliaca Jr. Huancané 520 – Puno Jr. Lampa 315 Of. Parque Pino
1 2 1 42 4 4 2 1 3 1 3 27 3 27 27 3 1 x 1 x x
x
x
x
–32 1 5 –32 1 5
5
–32 –2
3 3 4 3 4 16 16 2 8 3 3 4 3 4 81 81 3 27
Sitio Web: www.colegiobaldwin.com
•
–32 3 5 5 –32
3
–2 –8
•
–27 5
5
–3 –243
3 –27
3
3
3 ra. forma
5
nk k
b
nk k
La La La La La La
porque: 22 = 4 porque: 33 = 27 porque: 24 = 16 porque: 34 = 81 porque: (–2)5 = –32 porque: (–3)3 = –27
4 2 3 27 3 4 16 2 4 81 3 5 –32 –2 3 –27 –3
•
3x
•
2n
•
6
•
10
m n m b b n
Sabemos que: Si hacemos: m = n, se tendrá: n n n 1 b bn b b
b
3
7
3
•
x
•
n
• •
3
x
7
x
2 3
2
3
2 x
2
2
n2
n
n
3x
x
x
2
3
x
2
2 2
2
x
x 3(5)
x
x
5
3
2 8
x
4(7)
x
4
2
n
2n
3
3
n
7
5
3
3(n 1)
28
2
3
32
2(2)
2
n
2
x 3
2 8
2
n
x
2
15
x
2
x
3
3. Raíz de una Multiplicación
3
n
3
• •
2
x
15
n 1
•
Ejemplos: •
n
b
3 3
2(5)
x x
2
3(2)
x
•
b
b
5
2
3(2)
32
5n
3
4
En forma similar: n
n
4
x
•
• n
5x
x
• b
3
3x
•
Luego:
2
6
•
n
nk
b
Ejemplos:
•
n
n b k b
nn
2
3 7
x
x
•
n
•
n
n
a b x
a
y
z
3
3
x y
n
a b c d
y
n
x n
a
b
y
b
w
n
a
x n
y n
b
x
x
z n
c
w
d
Ejemplos:
2
27
x
a b
3
3
Impo rtante Se cumple; dadas las siguientes formas:
1 ra. forma
•
x
•
5
x y
a
x
x x
x
10 5 2
b c
2
2
5
a
y
y
10 5
y
5 5
b
•
x yz x
•
18 9 2 9 2 3 2
y
c
2
a b
6
2
5
c
2
y z x y x
Recíprocamente: mk m nk mk n m b b nk b n b
nk
b
mk
n
b
m
2 da. fo rma nk
b
k
k 1 n nk b bn b
nk
b
k
n
b
Oficinas: Juliaca Jr. Huancané 520 – Puno Jr. Lampa 315 Of. Parque Pino
•
3
•
x
3
y
2
3
xy
2
2 5 (2)(5) 10
•
5
2 5
•
2. a
x 3
3
7 5
x
b
2
x 3
6
8
5
3
2
7
x x x
a
3
b
2
3
5
x
8a b
15
x
3
2
4. Raíz de una División
Sitio Web: www.colegiobaldwin.com
2
n
n a
a
n
b
–n
•
x
b
• •
3 x
7
y x x
x
x
2
–n a n b
•
a b
•
a
b
•
b
•
a
n b
b
n
p
n
p
n
b a ...................................... (III)
b
x
x
x
2
x
5
x
3
7 2
7
5
x
2
x
5
m
x
4
3
1
3
2
1 2
3
2
–x
•
n m
•
a b c d eN
•
n
k
b
n m
b
k
m
b
k
a bcd e
m
n
b
3
4
•
x 3
2
2
120
2 2
•
x
x
y
3(x)
k
x
x
y
2
3x
(5)(4)(3)
2
x
16
x
x
x
2 60
120
2
16
2
(2)(2)(2)(2)
16
x
x
x
y
x
mbc
y
nc
z
p
(VI)
mnpq
xn y p z q w
b
mnpq
bxn– y p z q – w
× + × –
2
120
60
2
2(60)
2
2 4
4
1 x
x
x
x
1 x
1
4
x x 16 2
x
5 3
x
1 2
x
6
2 3
2
x 5 x5
4
8 x 1 x
4 2
2 5
7
•
x
•
a
•
x
•
x x x
2
y
b
3 5
5
x
5
a
2
5
x
(2)(5) 7
y
2(2) 5
b
x
1(2)1
5
x
10 7
y
4 5
a b
(3)(5) 2
x
5
x
17
3
Ejemplos de las formas de Raíz de Raíz: Efectuar: 3
x
x
–4 16 4
2
16
x
•
•
5
4
x2 x3 x 4
(2)(3)(4)(5)
•
n
Oficinas: Juliaca Jr. Huancané 520 – Puno Jr. Lampa 315 Of. Parque Pino
60
x59
(2)(2)(2)(2)
2 ((1(2) 3) 2 5)2 7
16
×+ ×+ ×+ 3 24 5
•
x2( 4 ) 3 5 4
× + × +
2 23 25 27
x
PROPIEDADES AUXILIARES
16
–
–3 1 3 x 3 x
•
N
Ejemplos:
•
a bc
b x n b y p bz q bw
•
•
5
p
Ejemplos Diversos:
5. Raíz de Raíz
•
z
......................... (V)
bx n by p bz q bw
×
500 3 3 125 5
4
1
x
pn m
2 da. fo rma x
5
500 3
•
n c
...................... (IV)
2
3 x x 4 4
3
y
b
m
b
3
5
•
n
pn
a
× + × + × +
x
•
n
1ra. forma
x
m
•
m
b
m
x
m
b
Recíprocamente: •
.......................................... (II)
a
Propiedad de Raíz de Raíz
y
x
........................................... (I)
b
7
x
3
n
•
Ejemplos: 3
1
b
y
a
n
b
y
b
•
n
x
n a
n
3( 4)
n2( 4) 5
12 13
n
× +
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237
Desarrollar: 3
x5 4 x3 ×
•
–
6
5
x2 x
×
+ ×
22
( 3)( 4 )( 5)( 6)
x((5( 4) – 3)5 2)6 – 22
360
–
x 520
3
•
3
3
x2 x2 x2 x2 3333 x ((23– 2)3 2)3– 2 3
×
– × + × –
PRACTICANDO EN CLASES… 1.
Efectuar:
9.
Simplificar:
4x ...............................
a)
2
Kn
4
2
9
b)
3
c)
6
2.
Efectuar:
27m ............................. 64m
12
Rpta.: .......................................................
...............................
10. Simplificar: m
Pa
a)
5
b)
5
2n 5 5 2n
5
m a
-10
b
-20
3a 2
m
...........................
2 a
Rpta.: .......................................................
1 10 -40 x y ............................. 32
11. Simplificar: 3.
1
Reducir:
2
2 A3 3
4
3 2
2
12. Simplificar:
Simplificar:
m
Rpta.: .......................................................
2
16
3 m
23
3
3
2
2
a
1
3 a 2 1 a 2 3(2 a ) 2
Simplificar: P
12
Rpta.: .......................................................
Rpta.: .......................................................
14. Simplificar:
Simplificar: A
n
10
n
18
5
a
n 15
2
Simplificar:
x M
a
7
a
5
a a
3
a
a 17
Rpta.: ....................................................... Oficinas: Juliaca Jr. Huancané 520 – Puno Jr. Lampa 315 Of. Parque Pino
3
40
3
5
2
8
Rpta.: .......................................................
Rpta.: ....................................................... 8.
a
13. Simplificar:
Rpta.: .......................................................
7.
a
3
2m 3
Rpta.: .......................................................
Simplificar:
C
6.
15
Rpta.: .......................................................
B 5 a • a • • • • (60 fact)
5.
1
7
Rpta.: ....................................................... 4.
1 1 3 5
15.
x
2(3a 4)
3(a 2) 3a
Rpta.: .......................................................
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2
PROBLEMAS PROPUESTOS… 1.
Simplificar:
a 3
A) D) 2.
1 0
3
a
A) D)
16 3
a
B) E)
a -1
3
2 4
3
B) E)
3
D)
0
21
a
-1
8.
C) 2a
Reducir: 3
31
3 3 3 3 a
25
C) 3
a
Simplificar:
A)
9 1
a
a
B)
21
E)
a
3
a
17
C)
24
a
A) D)
23
9.
3
1 6
B) E)
2 9
C) 3
Calcular el valor de:
4
2 2
3.
Reducir: 4
a a• A) D) 4.
0
B)
a
E)
a
1 a
A) D)
C) 2
0 4
B) E)
5
5
2
2
x x x x
D) 5.
16
15
x
x
15
13
B) E)
3
C)
x
23
C) 2
10. Calcular el valor de:
2
Reducir:
A)
1 8
x
16
x
41
A)
a
D)
a
2
B)
10
E)
a
2
a
2
5
C) a
16
Simplificar:
12 3 54 33 2 A) D) 6.
3 15
B) E)
9 20
Reducir: a a a •
A) D) 7.
C) 12
4
Reducir:
a
B)
a
a
E)
8
3 4
18
a
C) a
-1
a
12
Oficinas: Juliaca Jr. Huancané 520 – Puno Jr. Lampa 315 Of. Parque Pino
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a
5
Objetivos:
Identificar las diversas formas que se presentan en las ecuaciones exponenciales y dar su solución utilizando las leyes de los exponentes. En las ecuaciones exponenciales se presenta los diversos criterios que el alumno debe tener presente para llegar a la solución o al valor de la incognita..
ECUACIONES EXPONENCIALES Definición Son aquellas ecuaciones donde la incógnita se encuentra en el exponente. Se estudiarán aquellos casos que son factibles de resolverlos utilizando los conceptos anteriores. 1.
Resolver: x 5x
1.
5
36 3
Buscando formas análogas:
x
.N > 0. .N 1.
5 5 x
x5
x5
Ejemplo:
62
3
66
x5 6
9x – 1 = 27x – 2
Buscamos bases iguales: 2.
4
Resolución
OBSERVACIÓN:
Luego:
M1
Ejemplo:
Bases Iguales Si: Nx = Ny x = y
Resolver:
1 2
M
32x – 2 = 3x – 6
2x – 2 = 3x – 6 4 = x
x 56
Nota: Si: a1(x) = b1(x) f(x) = 0
Formas Análogas 2.
Si: .MM = MN. .M = N.
Resolver: 3x–7 = 5x–7 Resolución
x–7=0 x=7
OBSERVACIÓN:
PRACTICA EN CLASES… 1.
3
Hallar “x” en cada ecuación exponencial:
2x 1
3
5
4
6 Rpta.:
3a 1
3m 5
4
7
6
10
Rpta.: ........................ Rpta.: ........................
........................ 2.
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El valor de m es:
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2
4 m2
2
13. Calcular “x”:
64
3
4x
16
81
Rpta.: ....................................................... Rpta.: ....................................................... 3.
Hallar el valor de “a” en:
3
5 a 1
3
14. Determinar “x”:
53
512 2
3 8x
Rpta.: ....................................................... Rpta.: ....................................................... 4.
Hallar el valor de “m” en:
5
3 2m 30
5
3 50
15. Resolver:
2
x 1
2
x 2
2
x 3
82
Rpta.: ....................................................... Rpta.: ....................................................... 5.
Hallar el valor de “x” en:
4
2x
PROBLEMAS PROPUESTOS…
16
Rpta.: .......................................................
1.
Hallar “x”:
4 6.
A) D) 2.
Resolver:
3
x 1
3
Resolver:
2 3
x 6
2x 5
7
2x 1
0 7
2x 3
C) 3
Resolver: 4
A) D) 4.
= 243
B) 1 E) 10
2
x 3
C) 32
Resolver:
A) D) 3.
Resolver:
7
B) 16 E) 40
27
Rpta.: ....................................................... 9.
8 36
x 1
Rpta.: ....................................................... 8.
x 6
32
Resolver: Rpta.: .......................................................
7.
3x 1
3 81
1/2 5/6
16 x 1
B) 3/4 E) 5/10
C) 2/7
Hallar “x”: 3x 1 9x 108
Rpta.: .......................................................
A) D)
1/2 5/6
B) 3/4 E) 5/10
C) 2/7
10. Resolver: 8
4 x 3
16
2x
1 4
5.
Calcular: 21 7
Rpta.: ....................................................... A)
11. Determinar “x”:
9
x2
x
9 240
1/2
D) 5/6
3x 5
x 15
3
x 15
B) 3/4
C) 2/7
E) 5/10
Rpta.: ....................................................... 12. Resolver: 4
a
x5
a
4
5
a
2x 4
a
Rpta.: .......................................................
20
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS CONCEPTO
es; la mismas letras con los mismos exponentes. Difieren, entre sí en los coeficientes.
Son aquellas expresiones en las que las operaciones que se usan son sólo las de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación, radicación entre sus variables en un número limitado de veces.
Ejemplos:
3xyz 2 ; 3xzy 2 ; – 6 xyz 2
a)
Son términos semejantes
Ejemplos:
P x x 4x y 4x y Q x , y 2y 4 log 2 R x , y , z 2 4x x .y .z algebraicas
2a 2b; – 3a 2b; 7a 2b; – a 2b
b)
2
Son términos semejantes Son expresiones
np3 ; np3 , – np3
c)
Son términos semejantes
–3a3b; 6ab3
d)
No Son términos semejantes
R x Sen 2x 1
T x x 1 log x R 'x , y , z 3 2x x .y .z A x 1 x x 2 ...... algebraicas
REDUCCION DE TERMINOS SEMEJANTES
xx
Son expresiones
Dos o más términos semejantes pueden ser reducidos a uno solo, si es que se están sumando o restando. Para ello se suman o restan sus coeficientes y el resultado se pone como coeficiente de la parte literal común. Ejemplos: Reducir las siguientes expresiones:
TÉRMINO ALGEBRAICO Es aquella expresión algebraica en la que no se enlaza a las variables mediante la adición y la sustracción, presenta dos partes que con el coeficiente y la parte literal (parte variable)
i.
4 x 5 x 2 x (4 5 2) x 7 x
ii.
7 y3 8 y3 y3 (7 8 1) y3 16 y3
iii. 15ab 8ab 35ab (15 8 35) ab 42 ab
Ejemplo: Para sumar o restar dos o mas términos no semejantes, solo se deja indicada la suma o diferencia de ellos. Ejemplos:
TÉRMINOS SEMEJANTES
i. Sumar
3ab y 7xy 3ab 7 xy
ii. Sumar
7a 2b, 2ab2 , ab 7 a 2b 2ab 2 ab
Se llaman términos semejantes de una expresión algebraica a aquellos que tienen la misma parte literal, esto
PRACTICANDO EN CLASE… Para cada uno de los siguientes términos algebraicos, indicar su coeficiente, su parte literal y sus exponentes. Termino
Coeficiente Parte
Exponentes
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Algebraico
5x y 3
Variable
2
4m 3 n 8ab 7x Sitio Web: www.colegiobaldwin.com
2
Rpta.: .......................................................
2 c3d 4 5
7.
Rpta.: .......................................................
Reducir las siguientes expresiones 1.
8.
7a 8a 10a
9.
2x 7 x 5x 16x
10. 5m n 2m n 7m n m n 3 2
6x 2 x 2
11.
5ab ab 3ab
3 2
3 2
pq 8 pq pq 25 pq Rpta.: .......................................................
Rpta.: ....................................................... 5.
3 2
Rpta.: .......................................................
Rpta.: ....................................................... 4.
2w4 5w4 8w4 10w4 Rpta.: .......................................................
Rpta.: ....................................................... 3.
ax 2ax 3ax 2ax Rpta.: .......................................................
Rpta.: ....................................................... 2.
13a 2b3c 14a 2b3c a 2b3c 7a 2b3c
12.
7 x2 y 8x 2 y 3x 2 y
xyz 2 xyz 3xyz 6 xyz Rpta.: .......................................................
Rpta.: .......................................................
y3 y3 y3 y3 y3 y3
6.
REFORZANDONOS EN CASA…
Para cada uno de los siguientes términos algebraicos, indicar su coeficiente, su parte literal y sus exponentes.
4.
Termino Algebraico
5.
Coeficiente Parte Variable
Exponentes
a 3b 2 c wz 3 0,3ab 4
Rpta.: .......................................................
6.
Reducir las siguientes expresiones
4 x 2 8 x 5 3x 2 x 4 2 x 2 3x 10
8.
2ab 2 5a 2b 7a 2b 8ab 2 ab 8ab
9.
x2 y 5x2 y 2 x2 y Rpta.: .......................................................
10. 12m n 6m n m n 3m n 10m n
Rpta.: .......................................................
22
10 pq 7 pq 5 pq 7 pq Rpta.: .......................................................
Rpta.: ....................................................... 3.
7 x3 6 x 2 2 x 3x 2 5 x 3x3 Rpta.: .......................................................
Rpta.: ....................................................... 2.
3ab 2 5a 2b 6ab 2 4a 2b ab 2 Rpta.: .......................................................
7.
8a 7b 2b a 5b 3a 10b
7 x2 y 2 xy 2 5x2 y 2 xy 2 5x 2 y 3xy 2 Rpta.: .......................................................
0,7h3 mnp
1.
2 x2 5 y 2 6 z 2 8x2 y 2 13z 2
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5
2
2 5
5
2
2 5
Rpta.: .......................................................
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5
2
SIGNOS DE AGRUPACIÓN Son símbolos que se utilizan para agrupar expresiones separándolas de otras. Las principales son:
+{z – w + 4} = z – w + 4 2 + (x + y) = 2 + x + y
(
)
Paréntesis
{
}
Llaves
3x + y + [3 + 4w] = 3x + y + 3 + 4w
[
]
Corchete
2x + [y + w - 2] + {2y – z} = 2x + y + w – 2 + 2y – z
5 + {2x - w} = 5 + 2x – w
+(3y - 4) + 2z + {x2 + 1} = 3y – 4 + 2z + x2 + 1
Ejemplo: (x + y) + 3w
Ejemplo:
[x – 2w] + z {7x - 2z + y} + 3x
-(2x) = -2x
5x – (4w + z)
-{4 + 5w} = -4 – 5w
(3w2 + z) – [2 - w] + 4
-[5x – 3w] = -5x + 3w
7w – [x + 2] + (x - 2) 1. SUPRESIÓN DE LOS SIGNOS DE AGRUPACIÓN Ejemplo:
2 – {3x + 5y} = 2 – 3x – 5y 2x – (4y + z - 7) = 2x – 4y – z + 7
+(z + 2) = z + 2
-y –[2 – 8z + y] = -y – 2 + 8z – y
+(z – x) = z – x
-(7z + x2 - 9) + 12y – {3 – z3} = -7z – x2 + 9 + 12y – 3 + z3
+[y – 2x + w] = y – 2x + w
y – (z3 – 3x) – [2 – y2] – {-y5 + 4} = y – z3 + 3x – 2 + y2 + y5
PRACTICANDO EN CLASE…
En cada caso elimina los signos de agrupación: +{2 + x} =
-[-5 + x2] = -5y – (2w - x) =
+(3y - 4) =
3x – {-5 – w2 + y} =
+[2 + x + w] =
4 – (z – w2) – {x + y} =
5 + (x – 2y) =
-[w5 + x] + 3 – (-z + y) – {x2 – y3 - w} =
5x + [2y – w + z] =
2x – {x2 + w - z} – (w3 – 15 - y) =
+{x + y} – 4 + [z + w] =
En cada caso elimina los signos de agrupación: -{-7w} =
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2
VALOR NUMÉRICO Hallar el valor numérico de un monomio o de un polinomio es reemplazar cada letra por un valor correspondiente a dicha letra y efectuar las operaciones indicadas.
Ejemplo 2: Hallar el valor numérico del polinomio 3x2 + 5x – 6; cuando x = –2.
Ejemplo 1: Resolución:
¿Cuál es el valor numérico de 5ab; si: a = 3; b = 4?
Reemplazando el valor de “x” en la expresión dada, obtenemos:
Resolución:
3x2 + 5x – 6 = 3(–2)2 + 5 (–2) – 6
Reemplazamos el valor de a = 3 y b = 4, en la expresión:
= 3(4) – 10 – 6 = 12 – 10 – 6 = –4
5ab = 5 x 3 x 4 = 60 . 5ab = 60 .
3x2 + 5x – 6 = –4 . Hallar el valor numérico de la expresión:
La aplicación del valor numérico tiene un campo amplísimo en el desarrollo de toda clase de fórmulas aritméticas, geométricas, físicas químicas, etc.
Si: x = 3 Resolución:
Orden de Operaciones Es de suma importancia el orden de las operaciones en el curso, para el desarrollo de los ejercicios o problemas.
Reemplazamos el valor de “x” en la expresión dada y obtenemos: 2x 3 6 23 6 227 6 54 6 48 16 2 59 45 45 15 5x 2 53 3
Si en un ejercicio, hay distintas operaciones, el orden de las operaciones que se ha de seguir es el siguiente: 1. 2. 3.
Se desarrollan las potencias o se extraen las raíces si las hay. Se efectúan las multiplicaciones o divisiones indicadas. Se hacen las sumas o restas de los términos.
.
2x 3 6 16 . 15 5x 2
PRACTICANDO EN CLASE… Calcular el valor numérico de las siguientes expresiones, aplicando en cada caso los valores asignados.
1.
Rpta.: ....................................................... 5.
P(x) x 5 x 10 P(3) ? 2
M (x, y) x 3 3x 2 y 3xy 2 y 3 M (5; 2) ? Rpta.: .......................................................
Rpta.: ....................................................... 2.
Q(y) 16 3 y y Q(4) ?
6.
2
3.
F (x; y) x 3x y y F(2;3) ? 2
3
4
7.
P(y; z) 2 y 3z y 4.
8.
1 P(3; ) ? 3
24
R(4) ?
F (x; y) (x y)(x 2 xy y 2 ) F(3; 4) ? Rpta.: .......................................................
Rpta.: ....................................................... 2
R(x) 3x 2 2 2 x 2
Rpta.: .......................................................
Rpta.: ....................................................... 4
2x 3 6 5x 2
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Q(x) 5 x 2 3x 4 Q(4) ? Rpta.: .......................................................
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9.
Rpta.: .......................................................
1 4 1 2 x x 3x 8 6 4 R(2) ?
R(x)
R (x) x 3 1 13. R[R(1)] ?
Rpta.: ....................................................... 10.
Rpta.: .......................................................
F (x; y; z) 2 x yz 3x y z F (2; 1; 3) ?
Sabiendo que: a 1 ; b 2 y c 3 . Hallar el valor numérico de la expresiones siguientes.
Rpta.: .......................................................
14.
3
2
3 2
Rpta.: .......................................................
P(x) x 2 3x 11. P[P(1)] ?
15.
Rpta.: ....................................................... 12.
3a 2b 5c
ax bc c 2 Rpta.: .......................................................
Q(x) (x 1) 2 Q[Q(4)] ? REFORZANDOME EN CASA…
Calcular el valor numérico de las siguientes expresiones, aplicando en cada caso los valores asignados. 5. 1.
F(x) 5 x 2 x 7 F(2) ? A) D)
2.
20 25
B) 23 E) 29
N (x) x 1 N [N(3)] ? A) D)
B) 3/4 E) 5/10
C) 2/7
C) 27
Q(y) 2 y3 4 y 2 y 1 Q(2) ? A) D)
29 5/6
B) -27 E) 5/10
C) -28
B) 3/4 E) 3/2
C) 8/3
P (x 1) x 2 1 3.
P (1) P(0) P (2) A) D)
4.
1/2 0
M (x; y) x 2 2 y M (3; 4) ? A) D)
B) 3/4 E) 5/10
C) 2/7
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2
30 31
26
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