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MINISTERIO DE EDUCACIÓN

MÓDULO 2

MINISTERIO DE EDUCACIÓN

© De la presente edición Módulo II. Neurodidáctica para la Enseñanza de la Matemática. Roberto Iván Aguilar Gómez Ministro de Educación Eduardo Cortez Baldivieso Viceministro de Educación Superior y Formación Profesionales Luis Fernando Carrión Justiniano Director General de Formación de Maestros Crispín Ticona Ayaviri Rector Universidad Pedagógica Colección: Módulos de Formación Conducente Depósito Legal: 3-2-452-19 PO. Cómo citar este documento: Universidad Pedagógica (2019). Módulo 2. Neurodidáctica para la Enseñanza de la Matemática. Sucre, Bolivia.

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Índice Presentación...................................................................................................5 Propósito del módulo.....................................................................................7 Unidad Temática Nº 1 Nociones Básicas de la Neurociencias........................................................... 9 1. Las Neurociencias .................................................................................. 10 1.1. ¿Qué es la Neurociencia?................................................................ 10 1.2. ¿Qué es la Neuroeducación o Neurodidáctica? ................................... 14 Unidad Temática 2 Neuroeducación e Inteligencias Múltiples en la Enseñanza de la Matemática ................................................................................................ 1 9 1. ¿Qué es la Inteligencia? ......................................................................... 20 1.1. ¿Cómo se Mide la Inteligencia? ...................................................... 21 1.1.1. Inteligencias Múltiples .................................................................... 22 1.1.2. Inteligencia Lógica Matemática ...................................................... 22 1.1.3. Inteligencia Lingüística .................................................................... 23 1.1.4. Inteligencia Musical ........................................................................ 23 1.1.5. Inteligencia Espacial ........................................................................ 24 1.1.6. Inteligencia Corporal y Kinestésica .................................................24 1.1.7. Inteligencia Intrapersonal ............................................................... 24 1.1.8. Inteligencia Interpersonal ............................................................... 24 1.1.9. Inteligencia Naturalista ................................................................... 25 Unidad Temática Nº 3 El Proceso Educativo de la Matemática desde la Neurodidáctica ...............27 1. El pensamiento Lógico Abstracto .......................................................... 28 2. Pensamiento Lógico Matemático .......................................................... 30 2.1. Proceso para Desarrollar el Pensamiento Lógico Matemático........31 3. Pensamiento Lógico Concreto y Abstracto en Matemática ...................31

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Unidad Temática 4. La Inteligencia Lingüística y el Discurso Matemático .................................. 35 1. Inteligencia lingüística ........................................................................... 36 2. Lenguaje Matemático ............................................................................ 37 3. El Discurso Matemático en la Clase de Matemática .............................. 39 Referencias Bibliografías ............................................................................ 44

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Presentación La Universidad Pedagógica es una institución desconcentrada, dependiente del Ministerio de Educación a través del Viceministerio de Educación Superior de Formación Profesional y la Dirección General de Formación de Maestros, hasta la fecha ha venido construyendo una presencia institucional con la formación postgradual para maestras y maestros, orientada a la cualificación de la formación en la especialidad, la producción de conocimientos y la resolución científica de problemas concretos de la realidad en el ámbito educativo, para responder a las y necesidades inherentes a la transformación del Sistema Educativo Plurinacional en el marco de la Constitución Política del Estado y la Ley de la Educación N° 070 “Avelino Siñani - Elizardo Pérez”. En este sentido, los procesos de formación de postgrado que la Universidad Pedagógica desarrollará a partir de la oferta académica 2019, están estructurados bajo un sistema de postgrado conducente que implica gradualidad, secuencialidad y niveles de exigencia académica durante el proceso formativo, centrada en la profundización y cualificación de la especialidad. Desde el sistema formativo, la oferta académica está constituida por dos Diplomados, una Especialidad y una Maestría que se constituyen en estudios integrados, integrales, complementarios y sistemáticos, dirigidos a permitir el dominio de la especialidad a través de la profundización práctica, teórica, metodológica e investigativa para el desarrollo de procesos educativos de calidad. Para el desarrollo de los procesos formativos se ha previsto la elaboración de Módulos que contienen los contenidos mínimos y apartados como: Para Pensar, Para Profundizar, Véase También, ¿Sabías que?, y en resumen, que permitirán dinamizar el proceso formativo, de la misma manera encontrarás en ellos Códigos de Referencia Rápida (QR) que te llevarán a recursos digitales -como: softwares, videos, artículos y otros, por último las actividades se encuentran en el campus virtual donde encontrarás mucho más recursos.

Crispín Ticona Ayaviri Rector a.i. Universidad Pedagógica

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NEUROEDUCACIÓN E INTELIGENCIAS MÚLTIPLES EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA

NOCIONES BÁSICAS DE LA NEUROCIENCIAS

Conozca conceptos teóricos de la Neurociencia e integrarlas a nuestras experiencias educativas, para mantener un buen nivel de enseñanza matematica.

Comprende que la inteligencias múltiples aportan elementos clave para la enseñanza de la Matemática, asimismo potenciar el pensamiento matematico.

PROPÓSITO DEL MÓDULO

Caracterice elementos fundamentales de la Neurodidáctica e inteligencias múltiples para fortalecer la enseñanza de la matemática en el nivel secundario, a través de un proceso de reflexión y participación activa.

EL PROCESO EDUCATIVO DE LA MATEMÁTICA DESDE LA NEURODIDÁCTICA

LA INTELIGENCIA LINGÜÍSTICA Y EL DISCURSO MATEMÁTICO

Analice el proceso educativo en la clase de matemática en relación al pensamiento lógico concreto abstracto de la y el estudiante.

Reflexione sobre el uso del discurso matemático el en proceso educativo para optimizar la enseñanza, atra vez del lenguaje matematico.

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Unidad Temática 1

Nociones Básicas de la Neurociencias La Neurociencia nos está mostrando que no se puede separar razón y emoción, es decir, que tenemos un cerebro emocional que necesita que lo cuidemos... ¡Y que es entrenable! Esa es una llave de libertad enorme para las personas. Puedes entrenar cualidades como la concentración, la compasión, la alegría, la creatividad... ¡Exactamente igual que entrenas tu cuerpo físico! Y además, empezamos a comprender como nunca antes que lo mental y lo físico están interconectados. Elsa Punset

Lectura Motivadora El evento sucedió en 1848, donde Phineas Gage trabajaba cerca de la ciudad de Cavendish, Suiza, donde se desempeñaba como capataz en la construcción de una línea ferroviaria, era una persona bastante apreciada y muy admirado por su talento de hombre eficiente y cumplidor. También era avezado para colocar cargas explosivas en agujeros taladrados en la roca, el proceso era llenar el agujero de pólvora, colocaba un detonador, y finalmente lo tapaba con arena y aplastaba la arena con una pesada barra de metal. Ese día Phineas en un descuido olvidó echar la arena antes de presionar con la barra, por lo que al hacerlo hubo una chispa que hizo que explotase la pólvora. Esta explosión a su vez provocó que la barra de metal saliese disparada atravesando el cráneo de Gage lanzándolo a casi 30 metros de distancia. La barra, que medía un metro de largo y más de 3 cm de diámetro y pesaba 6 kilos, entró a su cráneo por la mejilla izquierda y salió por la parte superior tras atravesar el córtex cerebral anterior, varias personas lo calificaron como un milagro médico, para sorpresa de todos Gage no solo sobrevivió al accidente… Revisa el Extracto del Libro “El error de Descartes”, Damasio R. Antonio.

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Para pensar... Piensa en el texto que leíste: Anote y describa la frase más importante de René Descartes, Filósofo y Matemático francés considerado el padre de la Filosofía Moderna. ¿Cuál cree el motivo principal por la que el autor del libro “El error de Descartes”, Damasio R. Antonio, fundamenta la relación de la razón y las emociones en la conducta de un sujeto. ¿En qué consiste la “Teoría del marcador somático” planteada en 1994 por el neurólogo Damasio R. Antonio?

1. Las Neurociencias 1.1 ¿Qué es la Neurociencia? Neurociencia es una palabra que deriva de la voz griega “neurosque” que significa nervios, neurona o neurosis, según la Real Academia Española R.A.E., es una disciplina científica que integra diversas áreas y por esta razón, en diferentes publicaciones, se utiliza el término Neurociencia o Neurociencias. Los investigadores estudian, indagan sobre los diferentes aspectos que conforman el sistema nervioso: estructura, funciones, patologías y las bases moleculares. Asimismo, en esta disciplina se analizan las relaciones entre las diferentes dimensiones del cerebro humano, el conjunto de todas estas intenta explicar los fundamentos biológicos de la conducta.

Figura 1. Componentes del Sistema Nervioso

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Es así que, la Neurociencia incluye un amplia y variada área del conocimiento que se encarga del estudio del Sistema Nervioso, desde el funcionamiento interno de las neuronas pasando por su comportamiento individual. El objetivo fundamental de la Neurociencia es comprender cómo el cerebro, decide y ejecuta acciones para el individuo de manera particular, también aporta investigaciones de la conducta humana en función a las interacciones del encéfalo, indaga cómo se desarrollan y actúan millones de células nerviosas individuales en el cerebro para lograr una conducta personal y cómo, a su vez, estas células quedan afectadas por el entorno externo que las rodea, incluyendo la conducta de otros individuos (Kandell, Schwartz & Jessell, 2001). Por otro lado, la Neurociencia se dedica al estudio científico del sistema nervioso particularmente el cerebro y sus particularidades, profundiza el estudio de las complejas funciones de aproximadamente 100 millones de neuronas o células nerviosas que tenemos, las interacciones químicas y eléctricas de estas células, las sinapsis, se derivan en variadas funciones que nos hacen seres racionales, desde aspectos sencillos como mover un dedo, hasta la experiencia tan compleja y personal de la consciencia, de saber qué está bien o mal, conocida también como razonamiento lógico y crear cosas que nadie nunca antes hizo. Tradicionalmente la Neurociencia se ha considerado una subdisciplina de la biología, pero actualmente trabaja de manera amplia, se considera como un activo campo multidisciplinar, en el que trabajan también psicólogos, químicos, lingüistas, genetistas, e incluso científicos del área de la informática, entre otros, lo que permite tener una visión del cerebro humano mucho más amplia y así tiene la posibilidad de avanzar tanto en el campo clínico como en otras disciplinas. (Campos, 2014, p. 15) Durante varios siglos, las personas que observaron el cerebro, examinaron cada parte y rasgo, anotando nomenclatura nueva a cada segmento, especialmente nombres en griego y latín, para intentar explicar sus observaciones. Una clasificación inicial dividía el cerebro en localizaciones, como el lóbulo frontal, cerebro, mesencéfalo y mesencéfalo. Otra forma de clasificar, según el científico MacLean (1990), en la década de los 60, es la triada en el cerebro, de acuerdo a los 3 estados de evolución:  El reptiliano (bulbo raquídeo)  Paleo-mamífero (área límbica)  Mamífero (lóbulos frontales) Sin embargo, en la actualidad, está ampliamente aceptada la clasificación descrita en 3 partes, basada en las funciones generales que desarrolla:  El bulbo raquídeo  El sistema límbico  El cerebro

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Figura 2. Las zonas exteriores más importantes del cerebro Fuente: Neurociencia Educativa, p. 15)

Véase también... Para poder entender un poco más acerca de las maravillosas funciones del cerebro y desarrollo del mismo, ingresa al siguiente código QR, para obsevar el video titulado: “Conocer el cerebro para vivir mejor” de Facundo Fanes.

El cerebro de una persona adulta es como una masa gelatinosa y bastante frágil que pesa más de tres kilos, incrustado en el cráneo y rodeado por membranas protectoras, situado en la parte superior de la columna vertebral. La característica fundamental es que funciona continuamente, inclusive durante las horas de sueño. Sólo representa un 2% del peso total del cuerpo, pero consume un porcentaje aproximado de 20% de las calorías, es decir la relación es directamente proporcional; mientras más pensamos o razonamos más calorías

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se consume, la frase textual de Descartes que dice: “pienso y luego existo” podría modificarse a “pienso, luego adelgazo”. (Sousa, 2007, p. 14 – 15). Es así que el cerebro humano se caracteriza por un nivel alto de complejidad, a pesar de esta situación, la Neurociencia, apoyada en varias disciplinas científicas, como la Neurociencia Cognitiva, Neurociencia Computacional, Neurofisiología, Neurolingüística, Neuroeducación y entre otras, avanza a pasos agigantados y comienza a entender la generación y procesamiento de los pensamientos, la forma en que se manifiestan los sentimientos, acciones que definitivamente influyen en motivaciones del comportamiento personal; en general el conjunto de estos elementos condiciona las experiencias, la forma de actuar en las relaciones sociales y las situaciones en las que decidimos que camino o que acción ejecutar. A partir de los estudios realizados en cada una de estas disciplinas, específicamente hablando de la Neuroeducación, el Sistema Educativo en el Estado Plurinacional de Bolivia, a través de los cursos de formación de postgrado de la Universidad Pedagógica, tiene la posibilidad de fortalecer y transformar el proceso educativo, no solo de la Matemática, sino de todas las otras áreas.

Para profundizar... A continuación, se presenta un fragmento de un texto que está relacionado con la neurociencia, el cual te permitirá profundizar acerca de las funciones del cerebro y su aplicación en los procesos educativos: ¿Sientes Curiosidad por la Aplicación de la Neurociencia a la Enseñanza y el Aprendizaje? En ese caso este libro puede que sea adecuado para ti. Desde hace más de dos décadas, educadores, psicólogos y neurocientíficos han estado explorando de qué forma se puede aplicar la enorme cantidad de información que hemos generado en torno al funcionamiento del cerebro humano, a la enseñanza y el aprendizaje. Poco a poco, esas aplicaciones han ido tomando forma. Hoy en día, se ha establecido un nuevo campo de investigación, denominado neurociencia educativa (a la que también se hace referencia como mente, cerebro y educación), que se dedica, específicamente, a determinar las concomitancias entre la investigación neurocientífica y nuestro trabajo en los centros educativos y en el aula. Gracias a ello, muchos profesores en todo el mundo han empezado a revisar la didáctica, el currículo y la evaluación para adecuar su práctica escolar a dichos hallazgos. Para ampliar la lectura obligatoria, ingrese al siguiente código QR:

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1.2. ¿Qué es la Neuroeducación o Neurodidáctica? El primer congreso internacional de Neuroeducación realizada en Lima Perú, en fecha 5 al 7 de agosto del 2010, se desarrolló una temática importante: “Cerebro y aprendizaje”, en el cual se sentó las bases en Latinoamérica para la consolidación de la misma, según uno de los expositores más connotados el Dr. Francisco Mora, autor del libro “Neuroeducación”, define a esta disciplina al estudio de: cómo se desarrolla el proceso de aprendizaje del cerebro, bajo el fundamento de que el cerebro requiere emocionarse para aprender y desde entonces, esta idea innovadora se reafirma en la búsqueda de un aprendizaje más efectivo que mejore los procesos de aprendizaje, el mencionado autor en conclusión afirma que se debe transformar profundamente la educación en base al rediseño de la forma de enseñar. Otra idea a resaltar que aportó notablemente a la Neuroeducación, se debe a la Dra. Alma Gzib-Goodin, quien menciona que la educación en forma general ha centrado esfuerzos sólo en el cambio de políticas educativas de fortalecimiento curricular, olvidándose por completo del cerebro como un elemento gestor y procesador del aprendizaje; la investigadora considera al cerebro como la materia prima quien construye los procesos educativos de aprendizaje, afirma con énfasis, por ejemplo, que el proceso de atención, tan importante a la hora de aprender depende básicamente de los lóbulos frontales, porque cuando existe dificultades de atención, como en el caso de los niños hiperactivos, se debe a que las regiones frontales y parietales son bastantes pequeñas con relación a otras niñas/os que no presentan tal disfunción. Según Goodin (s.f.), el proceso de aprendizaje se debe a que el equipo de procesamiento de la ingeniería natural del cerebro, tiene la capacidad de hacer, pensar y aprender. Es por ello que, las tres características fundamentales de la corteza cerebral, son su capacidad de manejar estratificar e interconectar la información. Pero a veces hay errores de aplicación o de ejecución que se refleja en el desarrollo de sus estructuras. “La arquitectura cerebral como responsable del proceso de aprendizaje”, Revista Mexicana de Neurociencia. (p. 2) La frase “No hay aprendizaje sin cerebro y no hay cerebro sin aprendizaje”, se complementa con lo que afirma Francisco Mora, que el acto de aprender tiene que obedecer a esta relación dialéctica entre cerebro y aprendizaje, para aprender se debe motivar, es totalmente necesario despertar la curiosidad, que los procesos internos del cerebro detectan lo diferente, son elemento que fundamentan la disciplina académica de la Neuroeducación, manifiesta asimismo que para que un estudiante preste la debida atención en el aula, no es suficiente con exigirle que lo haga. Es así que la Neuroeducación o Neurodidáctica es una disciplina reciente, en el colaboran tanto educadores como neurocientíficos, es un área emergente donde convergen especialidades como la Neurociencia, la Psicología, la Pedagogía principalmente, la intencionalidad es la de mejorar los métodos de enseñanza y fortalecer el currículo. La Neurodidáctica o Neuroeducación son términos que suele utilizarse indistintamente.

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Figura 3. La Neuroeducación y los aportes de varias disciplinas La unión de la Neurociencia y la Psicología, se la conoce también como Neuropsicología, es un área que nace a partir de la relación existente entre la conducta y el cerebro, se evidencia que este planteamiento base fue cambiando y evolucionando en los últimos 30 años, puesto que en la actualidad existen métodos avanzados para el estudio de la lesiones cerebrales y las posibles influencias en la conducta del sujeto producida por dichas lesiones, se puede afirmar que esta disciplina aporta con modelos propios de la Neuropsicología en la que intenta explicar un determinado comportamiento, pero con una base científica, lo que se conoce como diagnóstico neuropsicológico, este es un hecho relevante que aporta significativamente a los procesos educativos, en relación a la educación se puede reafirmar con las palabras de Francisco Mora: “Intentar enseñar sin conocer cómo funciona el cerebro, es como diseñar un guante sin nunca antes haber visto una mano”.

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En tanto que la Neuropsicología, diagnostica en primera instancia y asume luego un tratamiento de aquellas disfuncionalidades de tipo cognitivo, conductual y emocional que podrían afectar a un normal desenvolvimiento del cerebro, mediante el término “funciones cognitivas” se hace referencia a variadas actividades mentales, incluyendo las intelectuales como la atención, el acto de recordar o rememorar, la producción y comprensión del lenguaje, la resolución de problemas, toma de decisiones, los sistemas, capacidades y habilidades que son susceptibles de estudio y rehabilitación, según Benedet (2002, p. 113), son la siguientes: ●● ●● ●● ●● ●● ●● ●●

El sistema de Atención El Sistema Perceptivo-gnósico El Sistema de Aprendizaje y Memoria El sistema de Pensamiento El sistema de Programación del Acto Motor El sistema del Procesamiento del Lenguaje El Sistema de Procesamiento de los Números y del Cálculo

Los trastornos neuropsicológicos pueden afectar a la vida laboral, social e incluso a la realización de las actividades de la vida diaria. Es fundamental su detección precoz y rehabilitación, es así que en función al proceso previo del diagnóstico se plantea la rehabilitación del paciente, evidente es que son nuevas estrategias que pueden aportar significativamente a la Neuroeducación. En palabras de Benedet (2002), la Neuropsicología explica que: “Las alteraciones conductuales de un paciente neuropsicológico en la vida cotidiana, tras la lesión cerebral, en términos de su patrón de funcionamiento cognitivo, y cómo ese patrón interactúa con las variables psicológicas no cognitivas de ese paciente. Es decir, en términos de qué componentes de su sistema cognitivo están dañados, qué componentes funcionan de modo anómalo como consecuencia del daño aquellos otros y qué componentes funcionan normalmente,” (p. 26). El conocimiento de una disfuncionalidad a través de la Neuropsicología, permite plantear los siguientes objetivos: ●● El objetivo inmediato permite analizar que componentes del sistema cognitivo presentan disfuncionalidad. ●● El objetivo a mediano plazo integra junto a otras disciplinas el funcionamiento normal de un sistema cognitivo para contrastarlos. ●● Un tercer objetivo a largo plazo se refiere a un conocimiento profundo de la relación conducta-cerebro, para rehabilitar un sistema cognitivo dañado. IDEM. Por otro lado, el acercamiento entre la Neurociencia y la Didáctica, implica que el acto de aprender, recordar y grabar información de manera permanente en el cerebro, representan un proceso innato, razón suficiente para que las investigaciones desarrolladas en la neurociencia se orienten a potenciar la relación del aprendizaje entre Didáctica y el sistema nervioso. Actualmente, la tendencia de la educación reside en el uso de distintas vías y variadas formas cognitivas de llegar a un conocimiento generalizado en contraposición a los modelos clásicos de aprendizaje basados en la utilización de un estilo único, para aprendizajes fragmentados fuera de la realidad, haciendo que la educación, hoy en día, no responda a los desafíos de la sociedad actual.

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De manera particular, se puede definir a la Neurodidáctica como: una disciplina reciente que se ocupa de estudiar la optimización del proceso de enseñanza basado en el desarrollo del cerebro, es la disciplina que favorece que aprendamos con todo nuestro potencial cerebral. Asimismo, enseñanza y aprendizaje son dos procesos que están indisolublemente unidos y que se condicionan recíprocamente, el aprendizaje implica el tratamiento, almacenamiento y recuperación activa de la información que se recibe, y la enseñanza debe ayudar a quienes desean aprender para que puedan desarrollar adecuadamente sus habilidades para procesar la información y aplicarlas sistemáticamente a la solución de problemas de la naturaleza, la sociedad y el pensamiento. (Valdes, s.f.) Ahora, por demás esta mencionar que, el campo de la Neurodidáctica, en la actualidad puede aportar de manera significativa a los Procesos Educativos, fundamentalmente se trata de cambiar el modelo educativo tradicional del aprendizaje por imitación centrado en contenidos, a veces sin sentido ni relación con el contexto que le rodea; hacia un modelo educativo de la Neurodidáctica basado en el aprendizaje cooperativo centrado en lo motivacional, procesos educativos adaptados al funcionamiento de nuestro cerebro a partir de los conocimientos proporcionados por la Neurociencia.

En Resumen... •

Las Neurociencias son un conjunto de disciplinas que se dedican al estudio científico del sistema nervioso particularmente el cerebro y sus particularidades, profundiza el estudio de las complejas funciones de aproximadamente 100 millones de neuronas o células nerviosas que tenemos, las interacciones químicas y eléctricas de estas células, denominadas las sinapsis.

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El cerebro humano tiene un nivel alto de complejidad, a pesar de esta situación, la Neurociencia se apoya en varias disciplinas científicas como la neurociencia cognitiva, la Neurociencia Computacional, la Neurofisiología, la Neurolingüística, y la Neuroeducación entre otras, avanza a pasos agigantados y comienza a entender la generación y procesamiento de los pensamientos, la forma en que se manifiestan los sentimientos, acciones que definitivamente influyen en motivaciones del comportamiento personal; en general el conjunto de estos elementos condiciona las experiencias.

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La Neurodidáctica es una disciplina reciente que se ocupa de estudiar el Proceso de Educativo basado en el desarrollo del cerebro, es la disciplina que favorece que aprendamos con todo nuestro potencial cerebral. Asimismo, enseñanza y aprendizaje son dos procesos que están indisolublemente unidos y que se condicionan recíprocamente, el aprendizaje implica el tratamiento, almacenamiento y recuperación activa de la información que se recibe, y la enseñanza debe ayudar a quienes desean aprender para que puedan desarrollar adecuadamente sus habilidades para procesar la información y aplicarlas sistemáticamente a la solución de problemas de la naturaleza, la sociedad y el pensamiento.

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Neuroeducación e Inteligencias Múltiples en la Enseñanza de la Matemática Cada ser humano tiene una combinación única de inteligencia. Este es el desafío educativo fundamental: estimular a cada estudiante de una forma personalizada. Una escuela centrada en el individuo tendría que ser rica en la evaluación de las capacidades y de las tendencias individuales. Intentaría asociar individuos, no solo con áreas curriculares, sino también con formas particulares de impartir esas materias. Howard Gardner

Lectura Motivadora Crecer y Conectar: un Camino ¿Todo lo que existe en el universo material es producto de nuestra mente? Durante años me debatí con ese pensamiento sin encontrar una respuesta absoluta, pero ¿quién la tiene? Cada cual responde según su cosmovisión del mundo, con sus paradigmas y percepciones emocionales de los hechos. Lo que sí me queda claro, a fuerza de tropezones y ensayos, es que el pensamiento es energía y ambos se retroalimentan. Hay un ciclo vital en nuestra mente, un ciclo en espiral hacia el desarrollo. Sin embargo, para crecer como personas hace falta un equilibrio interno que nos permita dominar las emociones e identificar si son productivas o son tóxicas. Este es el propósito de cultivar la salud emocional. No debemos abandonarla al libre albedrío, pues la mente puede convertirse en nuestro peor enemigo. El analfabeto emocional no entiende por qué piensa. Vive emociones tóxicas, reacciona y actúa de manera irracional. Muchos en vez de recorrer ese círculo en espiral hacia el desarrollo personal, se dejan arrastrar hacia un círculo vicioso del que no logran salir. Al margen de nuestra cultura o nuestro lugar de origen, todos estamos expuesto a pérdidas, desilusiones, traiciones, fracasos, errores, alegrías, desafíos y abusos. No podemos controlar las circunstancias externas de nuestras vidas… El poder de escuchar, por Cala, Ismael.

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Para pensar... ¿Acabaste la lectura? ¿Según el autor a qué tipo de persona se considera un analfabeto emocional? El autor manifiesta cómo el equilibrio interno permite lograr la salud emocional, ¿Esto es posible? ¿Cómo? ¿Qué elementos caracterizan a la inteligencia emocional?

Véase también... “Está naciendo una nueva cultura, la cultura “neuro”, que significa que la esencia del ser humano, lo que aprende y memoriza, es producto del funcionamiento del cerebro. Intentar enseñar sin conocer cómo funciona el cerebro será algo así como diseñar un guante sin nunca antes haber visto una mano”. Para profundizar, observe el video titulado: “¿Qué es la Neuroeducación?” El cual encontrarás en el siguiente código QR. ¿Qué es la Neuroeducación? Francisco Mora, doctor en Neurociencia y Medicina

1. ¿Qué es la Inteligencia? Inteligencia es una palabra que tiene su origen en la unión de 2 voces: inter que significa entre, eligiere se traduce como escoger, entonces en su concepción más amplia, se entiende como la capacidad de penetrar en la comprensión de las cosas, participan de esta acción la conjunción de ideas, la capacidad de comprender. La inteligencia también se relaciona con la capacidad cognitiva, la función intelectual principal del ser humano, dependiendo del contexto se usan algunos términos de inteligencia como: razón, conocimiento, o juicio de valor. Se puede aseverar que una acción inteligente es aquella que asume y enfrenta con éxito las dificultades de todo tipo que encuentran a su paso. “La capacidad para pensar y para desarrollar el pensamiento abstracto, como capacidad de aprendizaje, como manipulación, procesamiento, representación de símbolos, capacidad para adaptarse a situaciones nuevas, o para solucionar problemas” (Mayer, 1983). En el área de psicología, la inteligencia se entiende como la facultad de adquisición de conocimientos para usarlo en situaciones novedosas. En condiciones experimentales se lo puede cuantificar como el grado de suficiencia o éxito de las personas para aplicar el cono-

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cimiento a una situación específica. La inteligencia es un conjunto de habilidades que permite la solución de problemas, permitiendo al individuo resolver los problemas genuinos o las dificultades que encuentre y, cuando sea apropiado, crear un producto efectivo y también debe dominar la potencia para encontrar o crear problemas, estableciendo con ello las bases para la adquisición de un nuevo conocimiento, la inteligencia no se encuentra localizada en ningún lugar en particular, referida a una zona específica del cerebro. La inteligencia se encuentra en las grandes posibilidades de conexión que tienen las células nerviosas activas, gracias a su capacidad de retransmitir impulsos eléctricos. (Gardner, 1993, p. 61) 1.1 ¿Cómo se Mide la Inteligencia? La medición de la inteligencia siempre fue una preocupación para educadores e investigadores de distintas áreas del conocimiento, en algún caso se consideró un símbolo de prestigio y éxito asegurado en algunos contextos, la pregunta es: se podrá realmente medir la inteligencia?. Uno de los aspectos relacionados con este tipo de medida es el indicador del coeficiente intelectual C.I., que se aplicó según la historia de la psicología educativa a principios del siglo XX, conocido como test de “inteligencia”, cuestionario creado por los psicólogos Alfred Binet y Theophile Simón, dicho instrumento todavía se aplica en muchos países del mundo, el mencionado test es un conjunto de preguntas que evaluaba “objetivamente” las capacidades mentales de estudiantes en el rango de 3 a 11 años de edad cronológica. La “objetividad” de este tipo de test en el transcurso del tiempo fue cuestionada por que hace énfasis básicamente preguntas y respuestas cognitivas, la validez o efectividad de los resultados inclusive queda distorsionada, cuando algunos autores sugirieron o establecieron relaciones entre el intelecto y raza, o inteligencia y cualidad de género, en algunos casos sugirieron la dicotomía clase social y cociente intelectual, con la tesis de que ciertos grupos de personas son menos inteligentes que otros grupos. Es así que, la tendencia actual de las comunidades de educadores, converge a que no se puede dar crédito a una sola medida general de la inteligencia, es decir no se puede aceptar que con una prueba se pueda tipificar a. una persona, lo que el estudio propone es medir la capacidad intelectual a partir de tres factores (los que componen realmente la inteligencia): Memoria a corto plazo, razonamiento y agilidad verbal. Existen personas que califican de “inteligente” a personas que sacan “buenas” calificaciones en la Escuela o Universidad, que en algún caso solo adquieren conocimientos académicos, eso definitivamente no es inteligencia. Se puede afirmar entonces que no existe una “inteligencia absoluta o general” que defina o caracterice a la persona y prácticamente defina su futuro, al contrario existen variadas formas de inteligencia, varios aspectos individuales que se relacionan no solo con la lógica formal, los simbolismos de la aritmética, el álgebra; se debe considerar la creatividad, el optimismo, la capacidad de adaptación y otros. La inteligencia es demasiado compleja para definirla solamente con algunos conceptos, debe ser apoyada por categorías como el aprendizaje; es así que la relación tanto entre la inteligencia y aprendizaje, se percibe de manera intrínseca, estas se han refrendado mediante varias investigaciones, además de que todas las personas tenemos varios tipos de inteligencia, formas, estilos Neurodidáctica para la Enseñanza de la Matemática

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de aprendizaje totalmente diferentes, por esta razón se aprende, memoriza, y comprende de modos diferentes. Estas diferencias se contraponen al sistema educativo que supone en varios modelos educativos que todos los individuos pueden aprender las mismas materias de la misma forma y con un solo tipo de enseñanza universal, es suficiente para lograr ese aprendizaje. Es así que, según el psicólogo Howard Gardner, autor del libro “Estructuras de la mente” (Teoría de las inteligencias múltiples), manifiesta que todas las personas poseen la capacidad de aprender de distintas maneras, Gardner propuso que para el desarrollo de las actividades en la vida, la persona usa varios tipos de inteligencia los cuales lo clasifica en ocho tipos de inteligencias a saber: lógico matemática, naturalista, lingüística, corporal-kinestésica, musical, Intrapersonal, interpersonal y visual-espacial.

1.1.1. Inteligencias Múltiples La inteligencia no sólo se reduce a los resultados o logros obtenidos en la escuela, universidad, es decir, la parte cognitiva o académica; al contrario, es una combinación de todos los tipos de inteligencias mencionadas anteriormente. Ser hábil en las relaciones humanas o destacarse en el deporte o en una rama del arte son, a juicio de muchos, capacidades que no están seriamente contempladas en el currículo de desarrollo académico. A continuación, se desglosa algunas características de los diferentes tipos de inteligencia:

1.1.2. Inteligencia Lógico Matemático Según Gardner las personas que revelan un marcado desarrollo de este tipo de inteligencia hacen uso del hemisferio lógico del cerebro y usualmente pueden dedicarse a las ciencias exactas, ciencias económicas, ingenieros, entre otros. De los varios tipos de inteligencia, resulta el más cercano al concepto tradicional de inteligencia, tiene un desarrollo histórico trascendental puesto que en las culturas antiguas se usaba este tipo de inteligencia para formular calendarios, fue la base para medir el tiempo y estimar con bastante exactitud cantidades y distancias, las capa-

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cidades y habilidades identificables son el cálculo, la formulación de hipótesis, uso del método científico además del uso del razonamiento inductivo y deductivo. 1.1.3. Inteligencia Lingüística Se puede afirmar que es un tipo de inteligencia muy importante, según los estudios de neurobiología se usa los dos hemisferios del cerebro, está ligado a la capacidad de manejo del lenguaje escrito y hablado, otro elemento que la caracteriza es la habilidad para aprender idiomas, transmitir ideas y lograr objetivos y metas en base a la capacidad lingüística. Esta inteligencia incluye también la habilidad de usar efectivamente la retórica, en esta área destacan los poetas, también es la que caracteriza a los investigadores y escritores. El uso diverso y amplio del lenguaje es parte fundamental para el desarrollo y afianzamiento de este tipo de inteligencia. La neurobiología explica que el área de Broca y Wernicke es una sección del cerebro humano íntimamente ligada a la producción del lenguaje, se ubica en el hemisferio izquierdo, se afirma que es la responsable del proceso dominante del lenguaje, la producción de oraciones gramaticales. Un individuo con esa área lesionada puede entender palabras y frases sin dificultades, pero tiene problemas para construir frases sencillas y aún más con las compuestas, sin embargo, otros procesos mentales suelen quedar completamente ilesos. Las capacidades que caracterizan a este tipo de inteligencia son el orden y el proceso del significado de las palabras en la lectura, escritura y se encuentran bastante desarrollada la habilidad para hablar y escuchar. Los profesionales que desarrollan plenamente estas facultades son los líderes políticos, religiosos, poetas, vendedores y escritores 1.1.4. Inteligencia Musical Está relacionado con el talento que tienen los grandes músicos, cantantes y bailarines, según investigadores, resulta un talento innato que se manifiesta desde el mismo nacimiento, diferenciándose entre las personas. Otra característica en este tipo de inteligencia es que debe ser estimulada para lograr alcanzar todo su potencial, también se considera como la habilidad para entender, componer y ejecutar patrones musicales y rítmicos es la capacidad de expresar sentimientos y emociones a través de la música. Las personas con esta inteligencia desarrollada disfrutan de la música con mucha sensibilidad. La Neurobiología intenta explicar que ciertas partes del cerebro asumen roles protagónicos en las percepciones de la música y el ritmo, están ubicadas en el hemisferio derecho, aunque no se identifican con claridad como sucede con el tipo de inteligencia lingüística, las capacidades de escuchar, cantar, tocar instrumentos, relacionadas con la de crear y analizar música. Es totalmente independiente de la capacidad auditiva, y por tanto atañe solo a la capacidad de procesar la información sonora de piezas musicales simples o muy complejas, y tampoco tiene por qué estar plasmada en géneros musicales concretos. Lo que define a la Inteligencia Musical es la total libertad para crear y apreciar la música.

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1.1.5. Inteligencia Espacial Según el modelo propuesto por Howard Gardner; corresponde a la inteligencia que tienen las personas que logran procesar los objetos bajo unos modelos mentales tantos bidimensionales y tridimensionales, estos pueden discernir algunas características como: color, línea, forma, figura, espacio y dimensiones. Según las investigaciones este tipo de inteligencia la `poseen profesionales ingenieros, cirujanos, escultores, arquitectos, entre otros. Con base a la Neurobiología, el hemisferio derecho del cerebro es la que incentiva el cálculo espacial, las .lesiones en la región posterior derecha provocan disfunciones en la habilidad para orientarse en un espacio definido, este tipo de patología intenta compensar con alguna estrategia lingüística que no resultan eficientes para lograr superar estas dificultades. Un ejemplo claro lo representan las personas ciegas, quienes intentan desplazarse apoyándose en algún objeto como un bastón que percibe el tacto, la inteligencia visual y espacial en estas personas no la poseen, entonces su noción espacial es diferente. Las capacidades demostradas tienen que ver con la percepción de creaciones visuales, imágenes mentales, los profesionales que destacan son artistas, fotógrafos, diseñadores y publicistas entre otros. 1.1.6. Inteligencia Corporal y Kinestésica La inteligencia corporal kinestésica se diferencia de los otros tipos, porque tienen la capacidad de utilizar su cuerpo de manera óptima en el desarrollo de sus actividades, se identifica a los deportistas, cirujanos y bailarines, en algunos casos es innato pues se manifiesta desde la infancia. Dentro los aspectos biológicos están el control del movimiento corporal a través de la corteza cerebral motora de los dos hemisferios, quienes se encargan de controlar la habilidad para desenvolverse en las variadas disciplinas deportivas, es así que las capacidades identificadas están la fuerza, rapidez, flexibilidad, coordinación y equilibrio, los profesionales representantes de este tipo de inteligencia, se pueden mencionar a los actores, deportistas, modelos, bailarines, etc. 1.1.7. Inteligencia Intrapersonal Este tipo de inteligencia permite identificar y luego asumir una imagen lo más precisa de nosotros mismos; permite entender nuestras necesidades y características, comprender cuáles son las cualidades y defectos. Es funcional para cualquier área de nuestra vida. Dentro de los aspectos biológicos se identifica a los lóbulos frontales, quienes desempeñan un rol central en el cambio de la personalidad. Los daños en el área inferior de los lóbulos frontales pueden producir irritabilidad o euforia, en cambio, los daños en la parte superior tienden a producir una personalidad depresiva, las capacidades implicadas: capacidad para plantearse metas, evaluar habilidades y desventajas personales y controlar el pensamiento propio, las personas de edad madura y avanzada suelen presentar un autoconocimiento profundo y diverso. 1.1.8. Inteligencia Interpersonal Este tipo de inteligencia permite interrelacionarse con las demás personas, justamente está basada en las relaciones humanas, en demostrar empatía con las personas, aprender a reconocer sus motivaciones, razones y emociones que los animan. En la actualidad este tipo de inteligencia

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es importante a la hora de trabajar en alguna institución, por supuesto que al estar rodeado de gente de calidad humana, las relaciones interpersonales definen el desempeño como personas. Los aspectos biológicos identifican a los lóbulos frontales como responsables de potenciamiento de estas habilidades, capacidad necesaria con las personas para identificar y superar todas las dificultades que se puedan presentar, los perfiles de profesionales son los administradores, profesores, psicólogos, entre otros. 1.1.9. Inteligencia Naturalista La capacidad de distinguir, clasificar y utilizar elementos del medio ambiente, objetos, animales o plantas, en cualquier contexto urbano como suburbano o rural. Incluye las habilidades de observación, experimentación, reflexión y cuestionamiento de nuestro entorno. La poseen en alto nivel la gente del campo, botánicos, cazadores, ecologistas y paisajistas. Se da en los niños que aman los animales, las plantas; que reconocen y les gusta investigar características del mundo natural y del hecho por el hombre. (Gardner, 1994, p. 80 – 90) Cada una de las inteligencias descritas mantiene elementos con características propias, es necesario identificarlas para atender la diversidad de nuestros estudiantes, para lograr identificar habilidades y potencialidades, asimismo descubrir sus inclinaciones. Este análisis permite evidenciar en los estudiantes que tipo de inteligencia tiene mayores posibilidades de aprender, para que se pueda acompañar su proceso de aprendizaje optimizando sus fortalezas, considerando que además cada uno puede tener fortalecida más de un tipo de inteligencia.

Para profundizar... La teoría de las inteligencias múltiples de Gardner. Origen y desarrollo En el año 1983, Howard Gardner, psicólogo, investigador y profesor de la Universidad de Harvard, reconocido como uno de los más importantes investigadores mundiales en el camp o de las capacidades cognitivas y la inteligencia, escribió un libro donde planteaba un nuevo modelo de definición y concepción de la inteligencia: la teoría de las inteligencias múltiples. Sus teorías suponían una nueva forma de entender la inteligencia, hasta el momento, enfocada únicamente en las habilidades lingüísticas y lógico- matemáticas y en los resultados académicos, sin tener en cuenta otra serie de aptitudes y competencias básicas para el desarrollo personal y el progreso de la propia humanidad. Para profundizar, te invitamos a que sigas revisando la lectura obligatoria, para ello utiliza el siguiente código QR:

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En Resumen...

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La inteligencia es un conjunto de habilidades que permite la solución de problemas, permitiendo al individuo resolver los problemas genuinos o las dificultades que encuentre y, cuando sea apropiado, crear un producto efectivo y también debe dominar la potencia para encontrar o crear problemas, estableciendo con ello las base para la adquisición de un nuevo conocimiento.

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La medición de la inteligencia siempre fue una preocupación para educadores e investigadores de distintas áreas del conocimiento, en algún caso se consideró un símbolo de prestigio y éxito asegurado en algunos contextos, la pregunta es: ¿se podrá realmente medir la inteligencia?. Las novedosas investigaciones recientes permiten afirmar que la inteligencia depende de múltiples factores y una sola evaluación homogénea no la define en su verdadera dimensión.

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Howard Gardner, manifiesta que todas las personas poseen la capacidad de aprender de distintas maneras y propone la Teoría de la Inteligencias Múltiples, esto para el desarrollo pleno de las actividades en la vida, se clasifican en ocho tipos de inteligencias a saber: lógico matemática, naturalista, lingüística, corporal-kinestésica, musical, intrapersonal, interpersonal y visual-espacial.

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El Proceso Educativo de la Matemática desde la Neurodidáctica La Matemática como una expresión de la mente humana refleja la voluntad activa, la razón contemplativa, y el deseo de perfección estética. Sus elementos básicos son la lógica y la intuición, análisis y construcción, generalidad e individualidad. Richard Courant

Lectura Motivadora ¿Las Máquinas Pueden Pensar? Considerado como el padre de la informática, el matemático y criptógrafo Alan Turing, realizó un gran aporte a los aliados en la segunda guerra mundial, logrando decodificar los mensajes del ejército alemán de la máquina Enigma, considerado una de las mejores en su época. Turing ideó un sistema eléctrico que permitía reproducir todas las combinaciones posibles de la máquina Enigma, en su teoría la máquina de Turing, apela a la modelación matemática, donde el dispositivo tiene el comportamiento de un autómata finito, en su estructura física disponía de una cinta en la que se escribía, borraba una y otra vez los símbolos que se necesitasen. En 1769 Wolfgang Kempelen afirmó que había construido una máquina que jugaba de forma autónoma al ajedrez, es así que realizaba presentaciones en varias ciudades, era la gran novedad, pero resultó ser un engaño, el truco era que un jugador de pequeña estatura se escondía en el artefacto, él realmente que jugaba con los contrincantes; pasó más de 200 años y en la actualidad podemos afirmar con toda certeza que existen computadoras que juegan ajedrez, para mencionar el evento lo pasó el campeón del mundo Gary Kasparov cuando en 1997 perdió contra el computador de IBM Deep Blue, el duelo se conoció como “el hombre versus la máquina”, desde aquel día el avance de la informática se tornó de manera vertiginosa, hoy en día es popular que un programa de PC como Chess Master pueda ganar a maestros del ajedrez muy aventajados. Extracto del Libro: National Geographic, “Matemáticos, espías y piratas informáticos”

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Para pensar... En función a la lectura anterior, analiza: ¿en qué consiste el famoso Test de Turing? ¿Puede una máquina pensar? ¿En qué consiste el pensamiento concreto y en qué el pensamiento abstracto?

Véase también... En el siguiente video titulado “Neurodidáctica – Las escuelas del siglo XXI”, José Ramòn Gamo, explica el cambio de una cultura educativa que no responde a los retos del siglo XXI, a partir de ello, la neurodidáctica nos brinda una gran oportunidad de cambiar el paradigma en las escuelas. Ingresa al QR para observar el video:

1. El pensamiento lógico abstracto EL “pensamiento es una función psíquica en virtud de la cual un individuo usa representaciones, estrategias y operaciones frente a situaciones o eventos de orden real, ideal o imaginario. Otras funciones de la dimensión mental son, por ejemplo, la inteligencia, las emociones, la voluntad, la memoria, la atención, la imaginación, la motivación, la cognición y el aprendizaje. Así pensar sería usar la inteligencia, el aprendizaje, la memoria, en fin, la cognición, en la experiencia del mundo (Arboleda, 2013). En una primera aproximación se puede mencionar que el pensamiento es la capacidad que tienen las personas para conformar ideas y abstracciones de la realidad en la mente, relacionándolas entre sí, también se puede afirmar que logra la existencia de un evento mediante la actividad del proceso cognitivo e intelectual. Esta actividad viene acompañada de la parte emotiva que juega un rol fundamental a la hora de rescatar experiencias de aprendizaje realmente significativas. Así como el estudiante aprende los animales de una granja pero solamente los ve en los libros, empieza a conocer algunas características como el sonido que hacen, el color de cada uno de ellos, si presentan manchas, tamaño, forma de las orejas; pero cuando logran visitar una granja y conocen a los animales que estudiaron previamente, los ven en su ambiente natural y llenos de

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vida, en primera instancia es la emoción que le embarga y luego la curiosidad por conocer aún más sobre estos animales, de hecho relacionan con la información previa que recibieron en el aula, este proceso cognitivo es fundamental a la hora de fortalecer el proceso educativo de los estudiantes. Cuando se menciona el pensamiento abstracto necesariamente se debe recurrir al origen etimológico de la palabra que está compuesto por “pensare” que es sinónimo de pensar y la palabra abstractus, abs traducido como “separación” y tractus que se entiende como “espacio o trecho”, entonces el pensamiento abstracto se entiende como la capacidad de cambiar o desplazarse desde una situación “x” a otra situación “y”. Para realizar este proceso requiere descomponer el todo en sus partes y la posibilidad de análisis de forma simultánea diversas facetas de una realidad para lograr esta transición. La función principal de la persona que logra asumir un pensamiento abstracto es aquel que le permite discernir las propiedades comunes de un objeto, lograr planear y asumir nuevas situaciones como simulaciones, para pensar y actuar de manera simbólica, según Piaget J. resulta una de las etapas de la Teoría Cognoscitiva, partir de la premisa que el desarrollo cognitivo es una construcción continua de las personas, este proceso viene marcado por varias fases, variadas necesidades y diversas acciones; ente las que se puede mencionar: la etapa sensoriomotriz (0 - 2 años), la preoperacional (2 - 7 años), la etapa de operaciones concretas (7 - 12 años) y la etapa de operaciones formales (12 años adelante), esta última etapa se caracteriza por la observación de objetos concretos, después de los 12 años empieza a ampliar la relación de objetos por ideas o conceptualizaciones más profundas. En esta dirección Piaget señala que las operaciones matemáticas básicas o elementales representan un sistema de abstracciones y métodos fundamentales que luego permitirán plantear y resolver problemas matemáticos. Así, por ejemplo, el desarrollo de la comprensión de la noción de conjunto, la agrupación de los mismos a través de conceptos como Unión e Intersección de conjuntos, aparecen con la etapa del “Estado Operacional Concreto”, los niños que no pudieron comprender los conceptos base tendrán dificultades de aprendizaje, en cambio los que lograron pueden comprenderlo y avanzar en la construcción de nuevos conocimientos. A medida que las niñas y niños crecen, el desarrollo del conocimiento también evoluciona, logra rebasar el periodo de operaciones formales lo que se conoce como metacogniciòn donde la información que se debe analizar se torna mucho más compleja. Estos elementos le permiten desarrollar su inteligencia y pensamiento en base a tres tipos de conocimiento: a) El Conocimiento Físico, que se adquiere a través de la manipulación de los objetos que se presentan a su alrededor y su interacción con el medio. b) El Conocimiento Lógico-Matemático, surge de una abstracción reflexiva, este nivel no se puede percibir fácilmente y es la persona quién lo construye en su mente a través de las relaciones con los objetos, haciendo énfasis en que el conocimiento adquirido una vez procesado no se olvida, pues la experiencia no proviene de los objetos sino de la acción de los mismos.

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c) El Conocimiento Social, es el que se adquiere en la interacción ente las personas en un determinado contexto. (Paltan G., p. 14). A partir de las experiencias vividas en los 3 tipos de conocimiento, el próximo nivel será la adquisición de conceptos matemáticos, desde lo particular a lo general. Este es un proceso que requiere de experiencias y ensayos para luego integrar a conceptos mucho más complejos, es decir, las niñas o niños no solo se limitan a asimilar información dependiendo del ritmo de integración de los nuevos conocimientos, comprendiendo paso a paso la teoría matemática para luego integrar otro tipo de operaciones matemáticas.

2. Pensamiento Lógico Matemático El Pensamiento Lógico es aquel que garantiza un razonamiento correcto, es decir, le da un juicio de valor correcto a algún conocimiento, además de ser una capacidad que tiene el ser humano para lograr entender todo aquello y las interrelaciones que se dan entre estos, recurriendo al análisis, la abstracción y por supuesto la imaginación. Realizando un análisis de su origen etimológico, se puede afirmar que tanto en el latín y en el griego, ubicamos el término “pensamiento” que deviene de pensare que significa “pensar”. Asimismo, el término “lógico” tiene su origen en el idioma griego, porque procede del vocablo “logos” que se traduce como “razón”. Entonces el pensamiento lógico se establece a partir de las relaciones entre los objetos, pero la parte más importante está relacionada con la que la persona logra elaborar en su mente, esto surge a través de la abstracción que previamente ha creado internamente. Es fundamental recalcar que las diferencias y similitudes entre los objetos (real y mental) sólo existen en el cerebro de aquel que puede abstraer o crear, por esa razón el conocimiento lógico no puede enseñarse de forma directa, debe existir un proceso de adaptación y comprensión de esas relaciones, en cambio sí se puede desarrollar plenamente, mientras el sujeto interactúa de manera activa con el objeto y el contexto que le rodea. El Conocimiento Lógico Matemático es el que construye el individuo al relacionar las experiencias obtenidas en la manipulación de los objetos, por ejemplo, cuando diferencia entre un objeto de textura áspera con otro de textura lisa y establece que son diferentes. Este conocimiento surge de una abstracción reflexiva, este conocimiento no es observable y es el sujeto quien lo construye a través de las relaciones con los objetos, desarrollándose siempre de lo más simple a lo más complejo, este conocimiento posee características propias que lo diferencian de otros conocimientos. (Carchi, 2012, p. 23). En cambio, el desarrollo del Pensamiento Lógico Matemático es diferente en cada persona, se denomina así, por la aplicación del pensamiento lógico a los conceptos, reglas, teorías formales del lenguaje matemático, que consiste fundamentalmente en un conjunto de signos que representan constantes o variables, y el conjunto de relaciones lógicas que se dan entre ellos. Es un tipo de razonamiento clave en la inteligencia numérica o matemática, aquella que permite manejar con destreza las operaciones aritméticas, combinaciones numéricas, así como establecer relaciones, representar mediante modelos o gráficos y realizar cuantificaciones.

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En este sentido, el pensamiento lógico matemático sirve para analizar, argumentar, razonar, justificar o probar razonamientos matemáticos, se percibe como preciso y exacto, la matemática en la actualidad, particularmente el pensamiento lógico matemático se convierte en un instrumento bastante útil de apoyo a varias ciencias, por su carácter racional y exactitud que permite realizar avances en varios campos del desarrollo humano. 2.1 Proceso para Desarrollar el Pensamiento Lógico Matemático A continuación, se presenta el proceso que permite desarrollar el pensamiento lógico matemático, esto de acuerdo a Pastells (2002): a) Resolución de problemas, Para construir nuevo conocimiento matemático por medio de la resolución de problemas, permite modelar el contexto es considerada la parte más importante de la enseñanza en matemáticas, porque mediante la resolución de problemas, los estudiantes relacionan la utilidad de las Matemáticas con el mundo real. b) Razonamiento y demostración, el nivel de razonamiento y la demostración, resultan importantes, porque investigar teorías, conjeturar y manejar argumento y pruebas es fundamental para validar la teoría matemática. c) Comunicación, en este nivel se trabaja para organizar y consolidar el pensamiento matemático, comunicar de manera coherente y clara en el aula, analizar y evaluar el pensamiento matemático y las estrategias a usar, haciendo énfasis en que la Matemática posee un lenguaje propio. d) Conexiones, permite reconocer y utilizar conexiones entre las ideas matemáticas, comprender cómo se relacionan las matemáticas y se organizan en un todo coherente. El objetivo final es la aplicación de ideas matemáticas en contextos no matemáticos. e) Representación, crear y usar representaciones para organizar, registrar y comunicar ideas matemáticas. La acción de seleccionar, aplicar y traducir representaciones matemáticas para resolver problemas y modelizar e interpretar fenómeno, sociales y matemáticos.

3. Pensamiento Lógico Concreto y Abstracto en Matemáticas Existe un proceso importante mediante el que todas las personas elaboran y relacionan en nuestra mente las ideas sobre todo objeto que nos rodea, esta elaboración inicia en las particularidades y luego avanza a otro nivel de abstracción más compleja. Este proceso comienza en los primeros años de vida y avanza conforme la persona crece físicamente y biológicamente, en función a una serie de etapas y elementos característicos concretos. Asimismo, el proceso en cuestión genera un desarrollo de dos maneras de concebir las ideas y pensamientos: una idea primaria basada en el primer contacto con los objetos físicos del contexto, esta se conoce como pensamiento concreto; pero existe otro nivel donde se establece Neurodidáctica para la Enseñanza de la Matemática

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operaciones mentales, exige un nivel complejo se la denomina pensamiento abstracto. Con precisión se puede afirmar que el pensamiento concreto, resulta un proceso de conocimiento primario caracterizado por una descripción básica de los hechos y los objetos tangibles, se encuentra relacionado a los objetos tangibles del mundo real, el pensamiento concreto nos permite generar conceptos generales sobre fenómenos particulares y categorizarlas de una manera lógica. Los estudios relacionados con el investigador Jean Piaget sobre las etapas de formación del pensamiento, quien observo cómo los procesos de conocimiento se desarrollan gradualmente desde la infancia pasando por la pubertad hasta la adolescencia. Desde una visión biopsicológica, Piaget estudio cómo se genera el conocimiento en un niño y cuál el proceso hasta alcanzar al máximo de sus capacidades cognitivas, pudo identificar que el pensamiento formula patrones que se derivan de la herencia genética, y que se adaptan, crecen cuando reciben estimulación en un contexto sociocultural. Por lo tanto, el pensamiento concreto tiene una importancia crucial para la supervivencia, por ser primario para los niños, quienes aprenden a dominar. Los infantes recién nacidos piensan de manera muy concreta, pasando incluso por un conflicto de que no son capaces de concebir que un objeto realmente exista, en el mejor de los casos no tienen la capacidad de percibirlo. Otra característica que tiene el pensamiento concreto, es la poca influencia sobre la inteligencia, en cambio cuando se genera el pensamiento abstracto, que es un nivel más avanzado, provoca que aparezcan varios niveles de conocimiento, entonces se puede afirmar que el pensamiento abstracto ayuda a las personas a utilizar capacidades como la inteligencia lingüística, l creatividad o el pensamiento lógico. Si no existieran este conjunto de habilidades, la mayoría de las innovaciones y descubrimientos de la especie humana no existirían. Una de las características del pensamiento abstracto es la complejidad, lo interesante es que puede desarrollarse en varias direcciones en función a un mismo estímulo, es decir, se puede encontrar variantes de este tipo de pensamiento, entre los que podemos mencionar el pensamiento divergente, el pensamiento crítico-analítico y el pensamiento convergente. Por lo tanto, el encargado directo para la construcción de conocimiento teórico, es el pensamiento abstracto a través del proceso de formación de conceptualizaciones, como un reflejo activo de la realidad, es una forma primaria de conocer el contexto que le rodea, apoyado en la intuición aunado a la capacidad de procesar un conjunto de hechos al mismo tiempo, puede definir jerarquías para una respuesta, al margen de que la repuesta sea correcta o no. El pensamiento abstracto, según Delval (2001) supone: “también la capacidad de asumir un marco mental de forma voluntaria. Implica la posibilidad de cambiar a voluntad de una situación a otra, de descomponer el todo en partes y de analizar de forma simultánea distintos aspectos de una misma realidad”. Por lo mencionado anteriormente, el pensamiento abstracto presenta otra característica fundamental, porque involucra métodos propios de la Matemática, como son: la deductiva, el método de síntesis y también se presenta la interpretación en el hecho que el primero supone una serie de actos y pensamientos “simbólicos”, en el cual se involucran hechos relacionados a la deduc-

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ción, síntesis e interpretación de fenómenos; mientras que el segundo, se basa principalmente en experiencias reales, muchas de las veces creadas previamente en nuestra memoria fruto de objetos (hechos) concretos creados. Pensamiento Lógico

Pensamiento Abstracto

Interno es tangible.

No se puede describir con palabras, es decir, es intangible.

Responsable: el intelecto.

Responsable: la imaginación.

Capacidad de razonar sin relacionar con lo real. Divide al todo en partes y establece relacioEsquemas formales permite deducir, comparar nes entre ellas. o sacar conclusiones. Es capaz de atender objetos formales o absNo parte de relaciones observadas. tractos. Ubica el tiempo de manera lineal y objetiva. Percibe el mundo más allá de los sentidos. El hemisferio cerebral predominante es el iz- Distingue lo esencial de lo secundario entre lo quierdo. interno y externo. Genera hipótesis, hace inferencias.

Resuelve problemas lógicos con imaginación.

Se expresa mediante proposiciones y conec- Desligada del lenguaje, depende de la concientivos. cia y la personalidad.

Para profundizar... Hoy en día la enseñanza de la Matemática trata de implementar nuevas didácticas en el proceso educativo. Para ello, revisa los siguientes videos, titulado: ¿Cómo se aprende Matemática?, ¿Existe una didáctica especial para Matemática? Los encontrarás en el siguiente enlace Qr:

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El pensamiento es una función psíquica en virtud de la cual un individuo usa representaciones, estrategias y operaciones frente a situaciones o eventos de orden real, ideal o imaginario. Otras funciones de la dimensión mental son, por ejemplo, la inteligencia, las emociones, la voluntad, la memoria, la atención, la imaginación, la motivación, la cognición y el aprendizaje. Así pensar sería usar la inteligencia, el aprendizaje, la memoria, en fin, la cognición, en la experiencia del mundo.

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El Pensamiento Concreto es un proceso de conocimiento primario caracterizado por una descripción básica de los hechos y los objetos tangibles, se encuentra relacionado a los objetos tangibles del mundo real, el pensamiento concreto nos permite generar conceptos generales sobre fenómenos particulares y categorizarlos de una manera lógica.

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El Pensamiento Lógico Matemático sirve para analizar, argumentar, razonar, justificar o probar razonamientos matemáticos, se percibe como preciso y exacto. La Matemática en la actualidad, particularmente el Pensamiento Lógico Matemático, se convierte en un instrumento bastante útil de apoyo a varias ciencias, por su carácter racional y exactitud que permite realizar avances en varios campos del desarrollo humano.

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El encargado directo para la construcción de conocimiento teórico es el Pensamiento Abstracto a través del proceso de formación de conceptualizaciones, como un reflejo activo de la realidad, es una forma primaria de conocer el contexto que le rodea, apoyado en la intuición aunado a la capacidad de procesar un conjunto de hechos al mismo tiempo, puede definir jerarquías para una respuesta, al margen de que la repuesta sea correcta o no.

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La Inteligencia Lingüística y el Discurso Matemático Las y los maestros de Matemáticas tenemos un modo muy estructurado de dar clases, por ello un desafío constante es la inserción de nuevas estrategias didácticas en la clase, debemos pensarlo en función de nuestros estudiantes, debemos lograr que ellos sean los verdaderos protagonistas del proceso educativo en Matemáticas. Gustavo Tola P.

Lectura Motivadora Periodicidad y Suma La fama de los números reales en muy grande, entre los cuales hay varios que han cobrado merecida fama, por ejemplo, aquella constante que Euler denominó “e”, cuya definición proviene del límite de una sucesión:

Esto significa que si calculamos el resultado de la expresión para valores cada vez mayores a n, entonces se obtiene una aproximación cada vez mejor de dicha constante

En realidad, para valores suficientemente grandes de n se puede ver el verdadero comienzo del desarrollo decimal es el siguiente:

2,718281828……….

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No podemos negar que se trata de un número con cierto ritmo; hay allí una especie de “ocho continuo” que se repite. Sin embargo, tan acompasada sensación cambia cuando calculamos las cifras que siguen:

e=2,7182818284590452353602874….. Poco se sabe de las regularidades de e, es un hecho conocido y de fácil demostración, aunque no trivial, que se trata de un número irracional: su desarrollo cuenta con infinitas cifras no periódicas, más aun, se ha podido probar también que es trascendente vale decir, que no es raíz de una ecuación algebraica con coeficientes enteros. Pero no estamos en condiciones de responder a preguntas de los más básicas acerca de cómo es este desarrollo de la secuencia denominado periodo y delata del número un carácter mucho más rítmico, en algunos casos los números racionales vienen signados por una repetición, pero no sucede los mismo con un número irracional.

Extracto del libro: (Amster P. “Fragmentos de un discurso matemático”, Editorial: Fondo de Cultura Económica, Buenos Aires, 2008)

Para pensar... En la lectura se desarrollan varios conceptos matemáticos, identifíquelos y anote definiciones breves. ¿Cree Ud. necesario manejar un lenguaje matemático adecuado en la clase de Matemática? ¿Cuál será la relación entre la inteligencia lingüística y el discurso matemático?

1. Inteligencia lingüística Es innegable hablar del acto comunicativo que se genera en la clase de Matemática, cuando se menciona definiciones, estrategias, propiedades y procedimientos de algún ente Matemático, resulta totalmente necesario profundizar el lenguaje adecuado para que el acto comunicativo sea efectivo entre maestras(os) y estudiantes, la idea es que logren comprender, se involucren, discutan ideas, y superen dificultades para luego reconstruir estos conceptos y entender efectivamente. Las/los estudiantes requieren sentirse cómodos con el vocabulario que usan, reafirmando los conocimientos que están en constante reconstrucción, para que este proceso se

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vuelva más claro y preciso. Según Serrano: “La complejidad que representa el acto comunicativo desarrollado en el aula de matemáticas es reflejo de posturas sobre las relaciones que están asociadas a las actividades de clases, en este contexto (el aula), el acto comunicativo orientado al tratamiento de temas matemáticos (discurso matemático) adopta características relevantes: el lenguaje de las matemáticas se encuentra inmerso en él y la comprensión y la expresión de ideas matemáticas se ve influenciada ahora por el lenguaje natural y el gestual corporal. (citado en Mora D. , 2004) Entonces el discurso matemático en clase se debe dar necesariamente en forma bilateral estudiante – maestra/o y viceversa, es importante porque permite expresar las ideas, conceptos matemáticos mientras se aprende, para reforzar también se pueden adoptar otras estrategias de evaluación. En base al discurso se podrán expresar inquietudes que dificultan el aprendizaje, la/ el estudiante logrará adquirir mayor capacidad para entender y resolver problemas, principalmente tomarán conciencia del aprendizaje de conceptos - teorías matemáticas. Es así, en este proceso de intercambio de ideas y reflexiones, que se construye el conocimiento matemático. El planteamiento y la resolución de problemas que usualmente se presentan en el proceso educativo de la matemática, como las dificultades con los términos de la parte científica de la matemática, ejemplo cuando se trata de aplicación de triángulos rectángulo y oblicuángulos. La terminología que se debe manejar tiene que ver con el teorema de Pitágoras, funciones trigonométricas como: función seno, coseno y tangente. Si no se maneja adecuadamente el discurso entonces existirán dificultades en la comprensión y manejo de conceptos de la parte científica, tanto en su precisión y argumentación en las/los estudiantes. Por esta razón y otras relacionadas con los procesos educativos en la Matemática se plantea caracterizar el discurso generado en clases, identificar algunas clasificaciones y estudiar algunas de sus relaciones que tienen que ver con la organización de una clase, las estrategias inherentes y las actividades de los contenidos matemáticos a desarrollar.

2. Lenguaje Matemático Según la RAE el “lenguaje es el sistema a través del cual el hombre o los animales comunican sus ideas y sentimientos, ya sea a través del habla, la escritura u otros signos convencionales, pudiendo utilizar todos los sentidos para comunicar”, se puede entender que es un proceso sistemático ineludible para comunicarse entre personas y compartir ideas y conocimientos. En función al lugar donde se genera el lenguaje la persona puede hablar un lenguaje formal o lenguaje técnico en algún área específica que es producido en situaciones que requieren el uso del lenguaje común, así en las aulas o las reuniones pedagógicas el lenguaje informal o lenguaje cotidiano que se utiliza da lugar a usar ciertas expresiones coloquiales afines al área La Matemática es considerada un lenguaje para los que conocen su simbología, por ello utilizan ideas, conceptos; una maestra/o del área debe estar motivado para comprender profundamente todo aquello, para retroalimentar el proceso de pensamiento y generar nuevas ideas. En esta última relación tanto entre el pensamiento y el lenguaje se conjugan de modo estrecho para el surgimiento de nuevas ideas matemáticas. Según Bonilla al indicar sobre el lenguaje que se maneja en la enseñanza de las Matemática,

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afirma que en última instancia lo que hace el lenguaje matemático es la comunicación de ideas matemáticas, el lenguaje es el medio para que se pueda establecer tal comunicación, entonces es importante, fundamental para la disciplina de la matemáticas el uso correcto del lenguaje matemático tanto para los profesores como los estudiantes, asimismo reafirma que en última instancia es describir el proceso de enseñanza de las matemáticas como un escenario de exploración ensayo, descubrimiento, discusión y no la eventual unilateralidad de parte del profesor (Mora, 2004, p. 209 – 210).

Modelo de Beyer Según el Modelo de Beyer, el desarrollo del lenguaje matemático se desarrolla del siguiente modo: según la relación de P1 a P2 que representan sujetos participantes en las actividades desarrolladas en la clase de matemática o el contexto, la transmisión de ideas concepto, propiedades, y teorías matemáticas se desarrollan por medio del lenguaje. El código descrito por Beyer contempla expresiones del vocabulario matemático (función, anillo, cuerpo, dominio…) y expresiones propias de la matemática (“si y solamente si”, “para todo”, “si… entonces”…) símbolos matemáticos (+,-,*,/, dy/dx,…), gráficos, histogramas, diagramas de Venn, gráficos de funciones, geoplanos, tangram, reglas, compas, a las cuales llama respectivamente dimensiones verbal (V), simbólica (S), gráfica (G) y materiales (M), entre otras. Esta descripción en detalle de componentes didácticos, de conceptos y expresiones propias de la matemática permite estudiar con precisión el acto comunicativo que ocurre en la clase de especialidad, con lo que se puede afirmar que el manejo adecuado del lenguaje matemático permite comunicar y transmitir las ideas matemáticas para lograr una enseñanza efectiva. A continuación, se detalla cómo se genera la transmisión o comunicación de las ideas matemáticas, tanto el código y medios utilizados para emitirlas y la comprensión de estas:

Lo que sucede en la clase de Matemática es que las ideas transmitidas puede que no sean comprendidas por algunos de los sujetos participantes o serán entendidas parcialmente (Estudiantes) en el proceso de comunicación Matemática, por eso se recurre a diferentes formas de comunicación incluyendo la verbal, gestual y corporal. Por esta razón se definirá entonces lenguaje matemático como el código empleado por una persona para expresar ideas matemáticas.

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3. El discurso matemático en la clase de Matemática Cuando reflexionamos sobre el lenguaje que se maneja en clases, donde la/el maestro asume un diálogo que realmente contribuye a que las/los estudiantes logren un aprendizaje y si la maestra o el maestro usa un lenguaje matemático apropiado, o solo usa una comunicación tipo monólogada, donde hace preguntas que nadie responde, entonces se nota que existen dificultades al momento de manejar un lenguaje matemático apropiado, lo que pasa es que solo se presentan conocimientos estructurados que responden a un programa curricular ya definido. La gran dificultad frecuente es que sólo si se estudian conceptos y procedimientos recurriendo a la memorización, entonces el conocimiento se lo ve ya construido sin discusión como consecuencia de esto la/el estudiante queda excluido de la construcción de conocimiento. El conocimiento acabado no le permite a la/el estudiante plantear nuevas formas de reflexión, hipótesis menos transformar las situaciones de tal forma que se busquen otros significados. Otro aspecto que es recurrente es que la/el maestro se preocupe solo por conocer cuánto conocimiento previo de la matemática del curso anterior saben sus estudiantes y de memoria, no se preocupa por indagar cuanto conoce realmente de ese conocimiento y si se puede aplicar a algún contexto definido. Gran parte de las veces no se le presenta el origen de los conceptos, qué personajes de la historia son los que realmente aportaron, es así que no entienden ni su historia y menos el desarrollo. Lo que se observa es que el maestro habla de un cierto tema de forma unilateral, es un conocimiento estructurado resulta una imposición porque se relega a un segundo plano en la construcción de estos conceptos, esta negación a la construcción del concepto provoca la exclusión de la construcción social de conocimiento matemático. La pregunta que se repite durante cada generación de estudiantes de secundaria, es: ¿el concepto para que nos sirve? o ¿Dónde lo aplicaremos en la vida real?, y lo que cuestionas realmente es a los conocimientos que no tienen sentido para muchos de las/los estudiantes por solo se usan dentro el contexto de la clase, pareciera otra realidad muy distante de su vida diaria. Después de este análisis la pregunta clave es: ¿Cómo debe ser el discurso matemático en la clase de matemáticas para que contribuya a una enseñanza efectiva de nuestras/os estudiantes?, es el propósito de esta unidad temática que intenta describir y analizar elementos fundamentales que hacen a la mejora del dominio del lenguaje matemático para mejorar notablemente la enseñanza impartida a los mismos. La idea principal es para que las/los estudiantes se sientan involucrados en su aprendizaje, una estrategia es que investiguen y luego expliquen el concepto matemático en cuestión, esta actividad les permitirá sentirse capaces e involucrados en el proceso educativo. El discurso matemático en la clase necesariamente debe ser compartido entre maestras(os) y estudiantes, la clase debe estar configurada de tal forma que todos se vean y se oigan, de esta forma no es necesario alzar la voz ni que la /el maestro repita lo que dijo a la/el estudiante. Las respuestas equivocadas revelan errores que se necesitan aclarar, son oportunidades para la maestra(o) porque permiten planear actividades de aprendizaje apropiadas; las respuestas erróneas mediante el discurso apropiado pueden ayudar a las(os) estudiantes a comprender que el error no es falta de habilidad, sino que han iniciado un esfuerzo por aprender. Nuestras/os estudiantes necesitan desarrollar un leguaje apropiado en la clase de matemáticas, por lo que a través del diálogo y de la práctica adquieren esta conceptualización. Neurodidáctica para la Enseñanza de la Matemática

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Analizando con profundidad este acto comunicativo generado en la clase de Matemática, se puede decir que es una compleja combinación de elementos del lenguaje matemático con elementos adicionales de otros lenguajes utilizados. Es así que se presenta dos tipos de acto comunicativo: ●● (A) el que tiene que ver con la introducción y desarrollo de temas matemáticos ●● (B) que refiere a elementos de comunicación no matemáticos Hacia adelante se tomará en cuenta sólo el acto comunicativo A el que se denomina discurso matemático en la clase, el investigador Beyer, describe la Matriz Lacombe-Adda-Beyer (MLAB) siguiente: NIVEL

VERBAL V

ARTIFICIAL S

G

M

MATEMÁTICO METAMATEMÁTICO PERIMATEMÁTICO Como una forma de representar el Discurso Matemático en el contexto de la clase el modelo tipo matriz, tanto en la modalidad oral como la escrita donde las filas se denominan Niveles y las columnas dimensiones. Detallando se puede mencionar que el Nivel Matemático consiste en los mensajes donde los referentes son objetos matemáticos (“sea a>b”, “el cuadrado de todo número real en un número no negativo”…); profundizando en el análisis el nivel Metamatemático abarca aquellos mensajes que hacen al nivel matemático y los analiza para dar un juicio de valor, (de la proposición “el cuadrado de todo número real es un número no negativo es verdadera”); y en el nivel Perimatemático, también conocido como Heurístico se encuentran expresiones y símbolos cuya finalidad permite reforzar el contenido desarrollado en los anteriores niveles, estos mensajes pueden manifestarse en las dimensiones Verbal (V), simbólica (S), Gráfica (G) o Mixta (M) apoyados por medios didácticos calculadora, multimedia, computadora, software especializado, etc. (Serrano W, El discurso matemático en aula, Editorial GIDEM, Caracas 2004, pág. 214-215) Ejemplo 1. La/el maestro explica a las/los estudiantes de 3er. año de secundaria la división de polinomios: para obtener el primer término del cociente de la división.

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Cada parte del procedimiento a partir del primero analiza un cociente del factor 3x4/x2, para obtener el primer término del cociente de la división, como operaciones auxiliares. Cada uno de los pasos del algoritmo de la división de polinomios sucede una y otra vez hasta completar todo el ejercicio, en el ejercicio solo se puede observar dos niveles el Matemático y el Metamatemático. Ejemplo 2. Patricia tiene $37.000 y puede ahorrar $9.000 a la semana. Si no gasta su dinero: Encuentra una expresión analítica que exprese la relación entre tiempo (variable independiente) y el dinero (variable dependiente). •Al cabo de 8 semanas, ¿cuánto dinero tendrá Patricia? •Si quiere comprar un video que cuesta $127.000, ¿en cuántas semanas juntará el dinero? Análisis (Nivel Matemático, Metamatemático y el Heurístico-Perimatemático): Debemos tener una tabla que nos permita ver el dinero que ella va ahorrando: Tiempo/Semana 0

Dinero 37000

1

46000

2

55000

3

64000

…

…

a) Vemos que el incremento por semana es constante, es decir, $9.000 siempre. Por lo tanto, su expresión se puede representar como una ecuación lineal. Tomamos dos relaciones (0, 37.000) y (1, 46.000) Utilizamos la fórmula:

, para hacer aparecer la ecuación. Recuerda que

“x” e “y” quedan fijos y sólo se debe reemplazar en x1, x2, y1, y2. Reemplazando queda: Despejando y, tenemos:

-

(Expresión analítica)

Transformándola a función queda: f(x) = 9.000 x + 37.000

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b) Si definimos el significado de las variables “x” e “y”, “x” significa el tiempo e “y” el dinero ahorrado, entonces, si queremos saber cuánto a ahorrado al cabo de 8 semanas debemos calcular f(8): f(8) = 9.000 ( 8) + 37.000 = 109.000 Luego, podemos decir que Patricia a ahorrado $109.000. c) Cómo nos dan el dinero y nos piden encontrar el tiempo, debemos utilizar el siguiente procedimiento: 127.000 = 9000 x + 37.000, donde lo único que no conocemos es el tiempo, pero al despejar “x” se tiene: x = 10, así la cantidad de semanas que debe ahorrar es de 10.

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En Resumen... •

El acto comunicativo que se genera en la clase de Matemática, donde se mencionan definiciones, estrategias, propiedades y procedimientos de algún ente matemático, resulta totalmente necesario profundizar el lenguaje adecuado para que el acto comunicativo sea efectivo entre maestras(os) y las(os) estudiantes. La idea es que ellas y ellos logren comprender, se involucren y discutan ideas.

•

En la clase de Matemática las ideas transmitidas puede que no sean comprendidas por algunos o sean entendidas parcialmente en el proceso de comunicación Matemática, por eso se recurre a diferentes formas de comunicación incluyendo la verbal, gestual y corporal. Por esta razón se definirá entonces lenguaje matemático como el código empleado por una persona para expresar ideas matemáticas.

•

El discurso matemático en la clase necesariamente debe ser compartida entre la/el maestro y las/los estudiantes. La clase debe estar configurada en la clase de tal forma que todos se vean y se oigan, de esta forma no es necesario alzar la voz ni que la/el maestro repita lo que dijo la/el estudiante; de lo contrario, las respuestas equivocadas revelan errores que se necesitan aclarar, son oportunidades para el profesor porque permiten planear actividades de aprendizaje apropiadas. Las respuestas erróneas mediante el discurso apropiado pueden ayudar a los estudiantes a comprender que el error no es falta de habilidad, sino que han iniciado un esfuerzo por aprender.

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