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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA CARRERA DE INGENIERÍA QUÍMICA INVESTIGACIÓN OPERATIVA

PARALELO 1

SIMULACIÓN DE MONTECARLO ECUACIÓN DE NAVIER STOKES

Integrantes: Borja Dayana Cabezas Fernanda

Profesor: PhD. Edward Jiménez

Fecha de Entrega: 24 de Julio del 2019

Quito - Ecuador 2019 – 2019

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA INVESTIGACIÓN OPERATIVA Integrantes: Dayana Borja Fernanda Cabezas Paralelo: 1 Fecha: 24/JUL/2019 SIMULACIÓN DE MONTECARLO El método de Monte Carlo es una técnica numérica para calcular probabilidades y otras cantidades relacionadas, utilizando secuencias de números aleatorios. Para el caso de una sola variable el procedimiento es la siguiente: Generar una serie de números aleatorios, r1, r2,…,rm, uniformemente distribuidos en [0,1]. Usar esta secuencia para producir otra secuencia, x1, x2,…,xm, distribuida de acuerdo a lo que estamos interesados. Usar la secuencia de valores x para estimar alguna propiedad de f(x). Los valores de x pueden tratarse como medidas simuladas y a partir de ellos puede estimarse la probabilidad de que los x tomen valores en una cierta región. Formalmente un cálculo MC no es otra cosa que una integración. En general, para integrales unidimensionales pueden usarse otros métodos numéricos más optimizados. El método MC es, sin embargo, muy útil para integraciones multidimensionales. Generación de números aleatorios son necesarios para proporcionar la secuencia aleatoria inicial (uniformemente distribuida entre 0 y 1). Existen numerosos algoritmos de generación de números (pseudo) aleatorios. ECUACIÓN DE NAVIER STOKES Matemáticamente, el movimiento de un fluido se describe mediante las llamadas ecuaciones de Navier-Stokes. En el espíritu de la mecánica newtoniana, estas ecuaciones deberían determinar el movimiento futuro del fluido a partir de su estado inicial. Sin embargo, y a pesar de los notables esfuerzos que se han hecho en esta

dirección durante más de un siglo, hasta ahora no se ha conseguido demostrar matemáticamente este determinismo, ni tampoco desmentirlo. La segunda ley de Newton, la conservación de masa junto con la incompresibilidad da lugar a las ecuaciones de Navier-Stokes:

Las ecuaciones de Euler y Navier-Stokes son un sistema que se deduce a partir de la aplicación de la segunda ley de Newton y la ley de conservación de masa. El trabajo de J. Leray fue pionero en hacer un análisis matemático de las ecuaciones de Navier-Stokes. En 1933 probó la existencia local de soluciones regulares (con energía finita) donde el tiempo de existencia depende del dato inicial. 1. Planteamiento Para la generación de los números aleatorios al igual que para la resolución de la simulación se utilizó el programa informático Excel. Se pretende aplicar la ecuación de Navier Stokes para calcular los diferentes parámetros tales como tiempo, espacio para el análisis de TGA. Figura 1-1. Datos Ingresados en Excel

1.1. Generación de números aleatorios Para la generación de los números aleatorios se realizaron 10 columnas representadas por ri mismas que a su vez contenían 1000000 números aleatorios para obtener el número deseado de 107. i = 1000000*10 i = 107 Siguiendo la Ley de Uniformidad con mínima entropía el rango de los números aleatorios fue de 0,5 -0,768: [ i € U (0,5; 0,768)] 1.2. Resolución de la función de aproximación: P ( x , y , z )=

P=

r=

1 2 = kt −ur ur 1+e

2 ur

2 uP

Reemplazando r en la ecuación 1 P=

1 kt −2 / P 1+e

1.

1+e

kt −2 / P

=

1 P

1 e kt −2 / P= −1 P 2 1−P kt− =ln ⁡( ) P P 1 1−P 2 t= [ln + ] k P P

(

)

Los parámetros a reemplazar en las ecuaciones son las siguientes: u=740 y k =−0,00036

1.3. Cálculo de P P=

mo mo +mi

Una vez se realizó los cálculos pertinentes en Excel se obtuvo Pi, ti, ri. Figura 2. Tiempo vs Espacio

Tiempo vs Espacio 0.01 0.01

Ti empo

0 0 0 0 0 00 0. 0 30

00 0. 0 40

00 0. 0 50

00 0. 0 60

00 0. 0 70

00 0. 0 80

Es paci o

00 00 00 00 0. 0. 0. 0. 0 0 0 0 0 0 0 90 10 11 12

Figura 3. P vs Espacio

P = f (Espacio) 0.9 0.8 Probabi l idad Pi

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

0

0

0

0.01

0.01

0.01

Es paci o ri

Prbabilidad Pi

P = f(Tiempo) 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 .0 00 0 3

0 .0 00 0 4

0 .0 00 0 5

0 .0 00 0 6

0 .0 00 0 7

0 .0 00 0 8

0 0 0 0 .0 .0 .0 .0 00 00 00 00 0 0 0 0 9 10 11 12

Tiempo TI

Figura 4. P vs Tiempo