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• Huxley Alexander Flores Bustamante

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Problema 1: Una muestra de germanio es impurificada con 10 átomos donadores/cm3 y 7  10 átomos aceptadores/cm3. A la temperatura de la muestra la resistividad del germanio puro (intrínseco) 14

13

es 60 cm. Si se aplica un campo eléctrico de 2V/cm. Calcular la densidad de corriente total de conducción. Solución:

N D  1014 cm3

i  60cm

N A  7  1013 cm 3

;

  2V cm

,

J   nn  p p  e   i ni 

i  ;

1 i

i 1  19 e   n   p  60  1.6 10   3800  1800 

ni  1.86  1013 cm 3 pn  ni 2   1.86 1013 

2

p  n  N A  N D  3 1013 Con

 y    :

...    ...   

n  3.88 1013 cm 3

p  0.88 1013 cm 3 J   3.88   3800    0.88   1800   1013  1.6  1019   2  J  523 A cm 2

Problema 2: a. En una muestra de germanio tipo n la concentración de donadores corresponde a 1 8

átomo por 10 átomos de germanio. Suponer que la masa efectiva del electrón es igual a la mitad de su masa verdadera. A temperatura ambiente, ¿A qué distancia del borde de la banda de conducción está el nivel de Fermi? ¿Está E F por encima o por debajo de EC? b. Repetir la parte a. si se añaden impurezas en la proporción de 1 átomo donador por

103 de germanio. c. ¿En qué caso EF coincidirá con EC? Solución:

a.

N  NA 

 M

1023  5.32  4.411022 átomos 3 cm 72.6 N D   108   4.41 1022   4.411014 cm3 N  6.02 

3

m* 2 3 N C  4.82  105  e  T 2 cm3  m  N C  8.87  1018 cm3 EF  EC  k BT ln

b.

NC  0.025  9.9  0.257eV ND

N D   103   4.41 1022   4.41 1019 cm3

EF  EC  0.025ln

8.87 1018 eV 4.411019

EF  EC  0.0415eV encima de Ec

c. Si

N D  NC

ND 

,

EF  E

Concentracíon donadores  4.411022 N x átomos de Ge

N x  20 105 5

Se cumple para 20 átomos donadores por 10 átomos de germanio.

Problema 3: Deduzca la masa efectiva

Solución: Masa Efectiva Cualquier electrón está sujeto a fuerzas F TOTAL=F Ext + F∫ ¿=ma ¿

Si expresamos la ecuación sólo en función de las fuerzas externas

F Ext =m¿ ⋅a

El electrón se comporta como si su masa cambiara. Esta es la masa efectiva. Consideremos la velocidad de grupo

v g=

ⅆω 1 ⅆε = ⋅ ⅆk ℏ ⅆk

Tomemos su derivada :

ⅆ vg 1 ⅆ2 ε 1 ⅆ 2 ε ⅆk = ⋅ = ⋅ 2⋅ ⅆt ℏ ⅆt ⋅ ⅆk ℏ ⅆ k ⅆt El momento lineal del electrón se puede expresar como ℏk así que:

ⅆ ( ℏk ) =−ⅇE ⅆt

Entonces:

ⅆ vg 1 ⅆ2 ε 1 ⅆ 2 ε ⅆk 1 ⅆ 2 ε ⅆ ( ℏk ) 1 ⅆ 2 ε = ⋅ = ⋅ 2⋅ = ⋅ 2⋅ = 2 ⋅ 2 ⋅ (−ⅇE ) ⅆt ℏ ⅆt ⋅ ⅆk ℏ ⅆ k ⅆt ℏ ⅆ k ⅆt ℏ ⅆk La masa efectiva es entonces:

1 1 ⅆ2 ε = ⋅ m ¿ ℏ2 ⅆ k 2

Problema 4: Demostrar que en un semiconductor tipo n se tiene:

donde nn es la concentración de potadores mayoritarios y p n la de portadores minoritarios

Solución En general, todo cristal semiconductor dopado puede contener cargas debidas a los portadores o a los átomos de impurezas. Cuando el cristal es eléctricamente neutro la suma de todas las cargas debe ser cero. Denotaremos por no y po las concentraciones de electrones y huecos, respectivamente. Si tenemos que Nd es la densidad de átomos dadores y Na la de aceptores, de los cuales hay por

unidad de volumen nd y na átomos neutros, entonces habrá Na−na aceptores cargados negativamente. En estas condiciones podemos escribir la condición de de neutralidad eléctrica en la forma: 

Si consideramos que todos los átomos están ionizados y que solo hay dadores (por tratarse de un semiconductor tipo n) la expresión anterior toma la forma:

Por otro lado, sabemos que para todo semiconductor en equilbrio térmico se cumple:

A partir de esas dos expresiones, tenemos:

Pero tenemos que considerar que cuando no se tienen impurezas, nn ha de ser igual a ni , por lo que en la expresión anterior debemos tomar el signo positivo para la raíz:

y esta es la expresión que nos da la concentración de mayoritarios. Si en la ecuación (2) despejamos n en vez de p, resulta en (1):

Y resolviendo:

Como también en este caso pn debe ser igual a ni cuando no se tengan impurezas, tomaremos el signo positivo para la raíz: y esta será la concentración de minoritarios en un semiconductor tipo n.