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• Flor Santiago Victoria

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Matemáticas Universitarias

MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS

Sesión No. 11 Nombre: Funciones exponenciales y logarítmicas. Objetivo de la asignatura: En esta sesión el estudiante aplicará los conceptos relacionados con las funciones exponenciales y logarítmicas, sus elementos, métodos de solución para obtener resultados de problemas reales

Contextualización

Las funciones exponenciales y logarítmicas son trascendentes, ya que no se pueden definir sólo en términos de suma, resta, multiplicación, división y potencias racionales de una variable x. Tienen gran importancia en matemáticas y se aplican en casi todos los campos de trabajo del hombre En esta sesión aprenderemos a conocer e interpretar las funciones exponenciales y logarítmicas y entender que entre ellas hay una estrecha relación siendo la principal relación entre ellas que son inversas.

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Introducción al Tema

¿En qué áreas de trabajo se pueden aplicar las funciones exponenciales y logarítmicas? ¿Estas funciones también se pueden trabajar como ecuaciones y se podrá encontrar su solución? Las funciones exponencial y logarítmica son funciones que se aplican ampliamente en el campo laboral del hombre; resultando especialmente útiles en los campos de la química, biología, física e ingeniería, donde contribuyen a describir cómo crecen o decrecen las magnitudes de la naturaleza.

http://bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/ciencia/volumen2/ciencia3/094/imgs/lasrad43.gif

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Explicación

Función exponencial. Definición de la función exponencial general: Si f(x) = ax para todo x en el conjunto de los reales, donde a>0 y a≠0. Interpretación Grafica:

La curva verde representa la gráfica de f para a>1. La curva rosa representa la gráfica de f para 0 < a < 1.

http://1.bp.blogspot.com/8f3lOdwp3B8/TayJa6Az1SI/AAAAAAAAAHg/VrJ JptsjO0A/s1600/Aprendizaje827.jpg

Una de las aplicaciones que podemos darle a la función exponencial es la de solucionar ecuaciones. Ejemplo 1. Resuelve la ecuación 35 x −8 = 9 x + 2 Solución: Por el teorema de funciones exponenciales biunívocas sabemos que si dos ecuaciones exponenciales tienen la misma base tendrán el mismo exponente.

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MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS Entonces en nuestra ecuación consideremos que para que las bases sean iguales debemos de transformar el 9 en forma exponencial como 32, por lo tanto: 3 5 x −8 = 3 2 ( x + 2 )

Al tener bases semejantes, se igualan los exponentes: 5x-8 = 2(x+2) Despejamos de esta ecuación “x” obtenemos: x= 4.

Aplicaciones prácticas de la función exponencial Crecimiento de bacterias. Las funciones exponenciales resultan útiles para describir el crecimiento de ciertas poblaciones. Como ilustración supongamos que a nivel experimental se observa que el número de bacterias de un cultivo se duplica cada día. Si hay 1000 ejemplares en el comienzo, se obtiene la tabla siguiente, donde t es el tiempo en días y f(t) es el conteo de bacterias en el tiempo t. T(tiempo en días)

0

1

2

3

4

f(t)(conteo de bacterias)

1000

2000

4000

8000

16000

Está claro que f(t) = (1000)2t Con esta fórmula se puede predecir la cantidad de bacterias presentes en cualquier tiempo t; por ejemplo en t=1.5 F (1.5) = (1000)21.5 = 2828. Definición de función exponencial natural. Está definida por f(x) = ex para todo número real x. Aplicación práctica. Interés compuesto continuamente. Formula: A = Ceit

, donde C = Capital inicial, i= tasa de interés anual

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MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS t= los años que C está invertido A = Cantidad acumulada después de t años. Ejemplo 2: Supón que se depositan $20,000 en una cuenta de mercado de dinero que paga interés a razón de 8% por año compuesto continuamente. Determina el saldo de la cuenta después de 5 años. Solución: aplicamos la formula con C = 20,000, i=.08 y t= 5, tenemos A= (20,000) e (.08) (5) = 20000e.04 Usando la calculadora vemos que A = $29, 836.49

Funciones logarítmica Definición: sea a un número real positivo diferente de 1. El logaritmo de x con base a se define como y= log a x si y solo si

x=ay

Para toda x>0 y todo número real en y. Notaras que las ecuaciones de la definición son equivalentes. El diagrama que viene puede ayudarte en dominar esta conversión de una en otra.

http://educativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio//1750/1998/html

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Conclusión

En esta sesión aprendimos a resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas, a interpretar sus gráficas y reconocer que una es inversa de la otra. Aprendimos a resolver problemas de aplicación para la función exponencial que es uno de los usos más importantes de esta función. La siguiente sesión trabajaremos con las progresiones aritméticas y geométricas.

http://3.bp.blogspot.com/_4QjOxGx-UV0/TIPjsV700nI/AAAAAAAAABU/xLmJbVlV-mw/s1600/GEO3.png

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Para aprender más

En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer tu aprendizaje. Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.

•

Educatina. (2012). Ecuaciones logarítmicas. Consultado el 25 de abril de 2013: http://www.youtube.com/watch?v=K6Bl9AY1F0U

•

Funciones exponenciales y logarítmicas. (s/f). Consultado el 25 de abril de 2013: http://brd.unid.edu.mx/funciones-exponenciales-y-logaritmicas-3/

Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito.

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Actividad de Aprendizaje

Con los conocimientos adquiridos en esta sesión sobre funciones exponenciales y logarítmicas, los aplicaras para resolver los problemas que a continuación se presentan: I.- Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 7x+6=73x-4 b) 3 2 x +3 = 3 x

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c) log 6 (4x-5) = log 6 (2x+1) II.- Resuelve los siguientes problemas de aplicación. c) Población de alces. Se introducen 100 alces, cada uno de un año de edad, en una bioreserva. El numero N (t) de animales vivos después de t años se predice mediante la función exponencial N (t)=100(.09) t. Estima el número de animales vivos después de 1 año, 5 años y 10 años. d) ¿Cuánto dinero, invertido a una tasa de interés de 11% por año compuesto continuamente, alcanzara un monto de 100,000 dólares después de 18 años? Sube tu trabajo a la plataforma.

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Bibliografía

Swokowski, E., y Cole, J. (2002). Algebra y trigonometría con geometría analítica. México. Thomson Learning.

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