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MOVIMIENTO CURVILINEO

DAVID RICARDO CHAPARRO RODRÍGUEZ, CODIGO: 213512 DAVID ALEXANDER GARRIDO RODRÍGUEZ, CODIGO: 314031 JULIÁN MAURICIO HOLGUÍN GUEVARA, CODIGO: 214034 ANGIE LICETH MEDINA CUARAN, CODIGO: 314040

PRESENTADO A: Dr. OLMER FOLLECO SOLARTE

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES 2016

I.

INTRODUCCION El movimiento curvilíneo ocurre cuando una partícula se desplaza a lo largo de una trayectoria curva. Como esta trayectoria a menudo se describe en tres dimensiones, utilizaremos análisis vectorial para formular la posición, velocidad y aceleración de una partícula.

II.

INTRODUCCIÓN HISTORICA Hacia 1605, Galileo Galilei hizo sus famosos estudios del movimiento de caída libre y de esferas en planos inclinados a fin de comprender aspectos del movimiento relevantes en su tiempo, como el movimiento de los planetas y de las balas de cañón.

Figura 1

Posteriormente, el estudio de La cicloide realizado por Evangelista Torricelli (1608-1647) fue configurando lo que se conocería como geometría del movimiento. E1 nacimiento de 1a Cinemática moderna tiene lugar con la alocución de Pierre Varignon el 20 de enero de 1.700 ante la Real Academia Real de Ciencias de Paris. Fue allí cuando definió la noción de aceleración y mostró cómo es posible deducir1a de la velocidad instantánea con la ayuda de un simple procedimiento de cálculo diferencial. En la segunda mitad del siglo XVIII se produjeron más contribuciones por Jean Le Road d’Alembert, Leonhard Euler y André-Marie Ampere y continuaron con el enunciado de la ley fundamental del centro instantáneo de rotación en el movimiento plano, de Daniel Bernoulli (1700-1782). La palabra Cinemática fue usada por primera vez por André- Marie Arnpére (1775-1336), quien delimitó el contenido de esta disciplina y aclaró su posición dentro del campo de la mecánica. Desde entonces y hasta nuestros días la Cinemática ha continuado su desarrollo hasta adquirir una estructura propia. Con la teoría de la relatividad especial de Albert Einstein en 1905 se inició una nueva etapa, la Cinemática relativista. donde el tiempo y el espacio no son absolutos, y si lo es la velocidad de la luz.

Figura 2 Obra original Galileo Galilei

III.

FUNDAMENTO TEORÍCO a. Posición: Considere una partícula situada en un punto de una curva espacial definida por la función de trayectoria. El vector 2 de posición 𝑟 = 𝑟(𝑡) designará la posición de la partícula, medida con respecto a un punto fijo 𝑂. Observe que tanto la magnitud como la dirección de este vector b. Desplazamiento. Suponga que durante un breve intervalo ∆𝑡 la partícula se mueve una distancia ∆𝑠 a lo largo de la curva a una nueva posición definida por 𝑟’ = 𝑟 + ∆𝑟, El desplazamiento ∆𝑟 representa el cambio de posición de la partícula y se determina mediante una resta vectorial, es decir ∆𝑟 = 𝑟’ − 𝑟. c. Velocidad. Durante el tiempo ∆t, la velocidad promedio de la partícula es: 𝑉𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = ∆𝑟 ∆𝑡

La velocidad instantánea se determina con esta ecuación cuando ∆𝑡 → 𝑆 0, y por

consiguiente la dirección de ∆r tiende la tangente a la curva. Por consiguiente,

𝑣 = lim ∆𝑟 ∆𝑡 𝑣 = ∆𝑡→0

𝑑𝑟 𝑑𝑡

d. Aceleración. Si la velocidad de la partícula es v en el instante 𝑡 y 𝑣’ = 𝑣 + ∆𝑣 en el instante 𝑡 + ∆𝑡, entonces la aceleración promedio de la partícula durante el intervalo ∆𝑡 es:

𝑎𝑝𝑟𝑜𝑚 =

∆𝑣 ∆𝑡

Ahora: Sea 𝐶 la curva cuya ecuación vectorial es: 𝑅(𝑡) = 𝑓(𝑡)𝑖 + 𝑔(𝑡)𝑗 + ℎ(𝑡)𝑘

Si una partícula se mueve a lo largo de 𝐶 de modo que su posición en cualquier tiempo 𝑡 unidades es el punto 𝑃(𝑓(𝑡), 𝑔(𝑡), ℎ(𝑡)) entonces el vector velocidad 𝑉(𝑡) y el vector Aceleración 𝐴(𝑡) en el punto 𝑃 se definen como: 𝑉(𝑡) = 𝑅 ′ (𝑡) ⟺ 𝑉(𝑡) = 𝑓′(𝑡)𝑖 + 𝑔′(𝑡)𝑗 + ℎ′(𝑡)𝑘 𝐴(𝑡) = 𝑅′′ (𝑡) ⟺ 𝐴(𝑡) = 𝑓 ′′(𝑡) 𝑖 + 𝑔′′(𝑡) 𝑗 + ℎ′′(𝑡) 𝑘 ⟺ 𝐴(𝑡) = 𝑉 ′ (𝑡) Donde 𝑅”(𝑡) existe. Ahora debemos definir la magnitud de 𝑟 como: 𝑟 = √𝑓 2 + 𝑔2 + ℎ2 Y la dirección de 𝑅 se especifica por el vector unitario 𝑢𝑟 =

𝑅 𝑟

Para describir el movimiento curvilíneo en un plano distinguiremos tres sistemas de coordenadas: i. Coordenadas cartesianas rectangulares ii. Componente normal/tangencial. iii. Coordenadas polares Primero que todo este movimiento se define como aquel cuya trayectoria es una línea curva, al presentarse una trayectoria curva conocida se la da su respectivo nombre. Por ejemplo, si la trayectoria es una circunferencia, se llama movimiento circular, si es una parábola es un movimiento parabólico. Además de presentarse dichas características en este movimiento, también es de importancia mencionar que la velocidad es representada por un vector cuya magnitud es igual al espacio recorrido por una unidad de tiempo y cuya dirección es tangencial a la trayectoria. La velocidad de un movimiento curvilíneo en general, varía en magnitud y dirección, mientras que la velocidad que se presenta en el movimiento rectilíneo solo varía la magnitud y en algunos casos también puede cambiar el sentido del movimiento, debido a este cambio de velocidad se afirma que hay presencia de aceleración. En general la aceleración es oblicua a la velocidad, para entender con mayor facilidad este concepto es importante descomponer la aceleración en: la dirección tangente a la curva, o sea paralela a la velocidad la cual es llamada aceleración tangencial, la cual está asociada con el cambio en la magnitud, y la otra aceleración es la llamada centrípeta o normal, que consiste en el cambio de la dirección de la velocidad. Como ya se mencionó anteriormente hay diferentes tipos de movimiento curvilíneo, que son nombrados dependiendo de su trayectoria curva. A continuación, se estudiarán con mayor profundidad. e. Movimiento Circular:

Figura 3 Posición angular

Es aquel movimiento que se presenta en una partícula en el cual su trayectoria describe una circunferencia, en el que recorre espacios o arcos iguales en tiempos iguales cualesquiera. Si, además, la velocidad de giro es constante en magnitud y se presenta una variación en dirección, se produce el movimiento circular uniforme, que es un caso particular de movimiento circular, con radio fijo y velocidad angular constante.

Figura 4 Velocidad angular

La velocidad angular se halla mediante el ángulo descrito por el radio en la unidad de tiempo, y tiene como función describir un ángulo de un radian cada segundo con movimiento circular uniforme. También aparecen otros factores que influyen en la identificación y comprensión de este movimiento como los son: Periodo, Frecuencia etc. En el movimiento circular uniforme solo hay aceleración normal o centrípeta, o sea que la única aceleración existente en este movimiento es perpendicular a la velocidad, que es la que se relaciona con el cambio en la dirección de la velocidad, y no hay presencia de aceleración tangencial ya que no se presenta un cambio en la magnitud de la velocidad.

Figura 5 Aceleración angular

Se dice también que siempre que un objeto acelera debe haber una fuerza que origina tal aceleración, así en el movimiento circular uniforme tiene que existir una fuerza neta que produzca la aceleración centrípeta. Esta fuerza apunta en la misma dirección que la aceleración o sea el centro y por esto es que son llamados aceleración centrípeta y fuerza centrípeta. f. Movimiento Oscilatorio: Una partícula efectúa un movimiento oscilatorio cuando se mueve alrededor de una posición de equilibrio estable, el sentido del movimiento cambia constantemente en un ir y venir. Por lo tanto, resulta esencial a la hora de determinar si un movimiento es oscilatorio o no, el que exista dicha posición de equilibrio que, además, deberá ser estable, es decir, el sistema deberá permanecer allí salvo que lo apartemos de dicha posición, pero al hacerlo, regresará a ella. No debemos confundir un movimiento oscilatorio con un movimiento periódico. Este último se define como aquél que se repite a sí mismo. Las definiciones no son coincidentes ni se implican entre sí. Efectivamente, como ejemplo de movimiento periódico podemos citar el de la Tierra alrededor del Sol, el cual no es, sin embargo, oscilatorio ya que no existe posición de equilibrio en dicho movimiento. Como veremos, un movimiento oscilatorio amortiguado, como el de un péndulo real, es, ciertamente, oscilatorio, pero sin embargo no es periódico, ya que no se repite a sí mismo. g. Movimiento Parabólico: Se denomina movimiento parabólico al realizado por un objeto cuya trayectoria describe una parábola. Se corresponde con la trayectoria ideal de un proyectil que se mueve en un medio que no ofrece resistencia al avance y que está sujeto a un campo gravitatorio uniforme que puede ser analizado como la composición de dos movimientos rectilíneos: un movimiento rectilíneo uniforme horizontal y un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado vertical. Hay dos tipos de movimiento parabólico los cuales son: Movimiento de media parábola o Movimiento semi parabólico, se puede considerar como la composición de un avance horizontal rectilíneo uniforme y la caída libre. El otro tipo de movimiento parabólico es el movimiento parabólico completo, se puede considerar como la composición de un avance horizontal rectilíneo uniforme y un lanzamiento vertical hacia arriba, que es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado hacia abajo (por la acción de la gravedad). h. Movimiento elíptico:

IV.

Es un objeto en movimiento cuya trayectoria dibuja una elipse. Una elipse es una figura geométrica. El círculo viene a ser un caso particular de elipse, en que los focos se encuentran en el mismo punto. Cuanto más alejados los focos, más alargada la elipse será. Tal movimiento lo describe los planetas, donde uno de sus focos se ubica el Sol. i. Movimiento ondulatorio: Se mide por la frecuencia, es decir, por el número de ciclos u oscilaciones que tiene por segundo. La unidad de frecuencia es el Hertz (Hz), que equivale a un ciclo por segundo. Una onda es una perturbación que avanza o que se propaga en un medio material o incluso en el vacío. A pesar de la naturaleza diversa de las perturbaciones que pueden originarlas, todas las ondas tienen un comportamiento semejante. El tipo de movimiento característico de las ondas se denomina movimiento ondulatorio. Su propiedad esencial es que no implica un transporte de materia de un punto a otro. Las partículas constituyentes del medio se desplazan relativamente poco respecto de su posición de equilibrio. Lo que avanza y progresa no son ellas, sino la perturbación que transmiten unas a otras. El movimiento ondulatorio supone únicamente un transporte de energía y de cantidad de movimiento. Junto a una primera clasificación de las ondas en mecánicas y electromagnéticas, es posible distinguir diferentes tipos de ondas atendiendo a criterios distintos. En relación con su ámbito de propagación las ondas pueden clasificarse en: Mono dimensionales, Bidimensionales, Periódicas, No periódicas, Transversales, Longitudinales. EJEMPLOS EJEMPLO #1: Se disipara un proyectil desde un cañón que tiene un ángulo de elevación de 𝜋 6

𝑟𝑎𝑑. y su velocidad de salida es de 480 𝑝𝑖𝑒/𝑠. Obtenga:

(a) el vector de velocidad inicial (b) el vector de posición 𝑅(𝑡) y las ecuaciones paramétricas de la trayectoria del proyectil (c) el tiempo de recorrido del proyectil (d) el alcance del proyectil (e) la altura máxima alcanzada por el proyectil (f) el vector velocidad y la rapidez en el momento del impacto (g) el vector de posición. el vector velocidad y la rapidez a los 2 𝑠 y (h) una ecuación cartesiana de la trayectoria del proyectil. SOLUCIÓN: 𝜋 (a) De 10 con 𝑉𝑜 = 480 y 𝛼 = 6 , el vector de velocidad inicial es:

𝜋 6

𝜋 6

𝑉𝑜 = 480 cos ( ) 𝑖 + 480 sen ( ) 𝑗 𝑉𝑜 = 240√3𝑖 + 240𝑗 (b) El vector de posición a los 𝑡 segundos se puede obtener al aplicar la siguiente ecuación: 1 𝑅(𝑡) = 𝑡𝑉𝑜 cos(𝛼)𝑖 + (𝑡𝑉𝑜 sen(𝛼) − 𝑔𝑡 2 ) 𝑗 2 Así se tiene que: 1 𝑅(𝑡) = 240√3𝑡𝑖 + (240𝑡 − 𝑔𝑡 2 ) 𝑗 2

Si se considera 𝑔 = 32 se tiene: 𝑅(𝑡) = 240√3𝑡𝑖 + (240𝑡 − 16𝑡 2 )𝑗 Si (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) es la posición del proyectil a los 𝑡 segundos, entonces: 𝑥(𝑡) = 240√3𝑡 y 𝑦(𝑡) = 240𝑡 − 16𝑡 2 (c) Con el propósito de calcular el tiempo de recorrido del proyectil, se debe obtener 𝑡 cuando 𝑦(𝑡) = 0. De esta manera, se considera 𝑦(𝑡) = 0 en la ecuación obtenida anteriormente para 𝑦(𝑡): 240𝑡 − 16𝑡 2 = 0 𝑡(240 − 16𝑡) = 0 𝑡=0 y 𝑡 = 15 El valor 0 para 𝑡 se presenta cuando el proyectil se dispara. Como 𝑦(15) = 0, el tiempo de recorrido es de 15 𝑠. (d) Con el fin de obtener el alcance del proyectil se calcula 𝑥(15). De la ecuación obtenida anteriormente para 𝑥(𝑡), 𝑥(15) = 3600√3. En consecuencia, el alcance es de 3600√3 ≈ 6200 ft. (e) El proyectil alcanza su máxima altura cuando la componente vertical del vector velocidad es cero, esto es cuando 𝑦′(𝑡) = 0. Al calcular 𝑦′(𝑡) de la ecuación obtenida para 𝑦(𝑡) se tiene: 𝑦 ′ (𝑡) = 240 − 32𝑡 Si se considera 𝑦′(𝑡) = 0, se obtiene 𝑡 = 7.5, el cuál es la mitad del tiempo total de recorrido. (f) Puesto que el tiempo total de recorrido es de 15 𝑠, el vector velocidad en el momento del impacto es 𝑉(15). Con 𝑉(𝑡) = 𝑅 ′ (𝑡) se obtiene de la ecuación para 𝑥(𝑡): 𝑉(𝑡) = 240√3𝑖 + (240 − 32𝑡)𝑗 Así, 𝑉(15) = 240√3𝑖 + 240𝑗 Como ‖𝑉(15)‖ = 480, la rapidez en el momento del impacto es de 480 ft/s. (g) De (b) y (f), 𝑅(𝑡2) = 240√3𝑡𝑖 + 416𝑗 𝑉(2) = 240√3𝑖 + 176𝑗 ‖𝑉(2)‖ = √(240√3)2 + (176)2 = 32√199 Por tanto, a los 2𝑠 la rapidez es de 32√199ft/s ≈ 450 ft/s (h) A fin de obtener una ecuación cartesiana de la trayectoria del proyectil, se elimina el parámetro 𝑡 de las ecuaciones paramétricas obtenidas en (b). Al sustituir el valor de 𝑡 de la primera ecuación en la segunda se obtiene: 2 𝑥 𝑥 𝑦 = 240 ( ) − 16 ( ) 240√3 240√3

𝑥2 𝑦= − √3 10800 La cual es la ecuación que representa una parábola. 𝑥

V.

APLICACIONES a. Cuando montamos en bicicleta, ¿Cuántos movimientos observas? La bicicleta avanza (velocidad lineal) porque las ruedas giran (velocidad angular). Los neumáticos de los automóviles son de distintas dimensiones según la potencia del vehículo.

Figura 6 Rueda de automovil

Así pues, un Seat Ibiza monta un neumático 185/55/R15 mientras que un Seat Altea monta un neumático 205/55/R16. El primer número indica el ancho de sección (de pared a pared) de la cubierta, expresado en milímetros. El segundo número es el perfil, o altura del lado interior de la cubierta y se expresa en el porcentaje del ancho de cubierta que corresponde al flanco o pared de la cubierta. El tercer número es el diámetro de la circunferencia interior del neumático en pulgadas, o también, el diámetro de la llanta sobre la que se monta. ¿Qué neumático recorrerá mayor distancia, para un mismo tiempo, si las ruedas de ambos coches giran con la misma velocidad angular? (Despreciar cualquier otra influencia). Respuesta: Si 𝑣 = 𝜔𝑅, a mayor radio mayor v para una misma 𝜔. El Seat Altea, recorrerá mayor distancia para un mismo tiempo ya que tiene mayor diámetro (R16). b. La República de Colombia puede considerarse situada en la zona ecuatorial de la Tierra. (Radio de la Tierra de 6370 𝐾𝑚).

Figura 7 Planeta tierra

Calcular: a) ¿Cuál es la rapidez angular de una persona en Colombia en relación al movimiento rotatorio de la Tierra? b) ¿Cuál es el módulo de la velocidad tangencial o lineal? c) Cuál es la aceleración centrípeta que experimenta cualquier cuerpo situado en Colombia? Solución: a) La Tierra da una vuelta completa en un tiempo de 24 horas describiendo por lo tanto un ángulo de 2𝜋𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠. 𝜔 = 2𝜋 𝑇 = 2 · 3.14 24ℎ/𝑟𝑎𝑑 = 0.26 𝑟𝑎𝑑/ℎ b) 𝑉 = 𝜔 ∗ 𝑅 = 1.66 × 103 𝑘𝑚/ℎ = 463 𝑚/𝑠𝑒𝑔 c) 𝑎𝑐 =

𝑉2 𝑅

=

(1.66×103 𝑘𝑚/ℎ)2 6.37×103 𝑘𝑚

= 432.3 𝑘𝑚/ℎ2

c. Calcular la rapidez angular, la velocidad tangencial y aceleración centrípeta para la Traslación de la Tierra en torno al Sol.

Figura 8 Órbita de la tierra

Solución: La Traslación de la Tierra en torno al Sol se completa en un año (365 días) y la distancia media de la Tierra al Sol es aproximadamente de 150 𝑥 106 𝐾𝑚 = 1,5 𝑥 1011𝑚. Rapidez Angular 2𝜋 2 ∗ (3.14) 𝜔= = = 1.99 × 10−7 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 (365) ∗ (86400) 𝑇 Velocidad Tangencial

10−7 𝑟𝑎𝑑 104 𝑚 11 𝑉 = 𝜔 ∗ 𝑅 = (1.99 × ) ∗ (1.5 × 10 𝑚) = 2.98 × = 29.8 𝑘𝑚/𝑠𝑒𝑔 𝑠𝑒𝑔 𝑠𝑒𝑔 Aceleración Centrípeta

𝑉2 𝑎𝑐 = = 𝜔2 ∗ 𝑅 𝑅 𝑎𝑐 = (1.99 ×

10−7 𝑟𝑎𝑑 𝑠𝑒𝑔

2

) ∗ (1.5 × 1011 𝑚) = 6 × 10−3 𝑚/𝑠𝑒𝑔2

REFERENCIAS [1] Física en perspectiva; Eugene Hecht. Addison Wesley Iberoamérica. [2] Ingenieria Mecanica: Dinamica R. C. HIBBELER [3] Leithold, L., 1999. El Cálculo, 7 ed. Oxford University Press. México. [4] Antonio Cipriano Santiago Z, María José Santiago P. 2012, Historia y Fundamentos de física. MadridEspaña. Editorial Aebius. [5] Movimiento circular uniforme: http://www.proyectosalonhogar.com/Enciclopedia_ilustrada/ciencias/movimiento_circular.htm.