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• Mauricio Martínez

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UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA, ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES

Perfecta Combinación entre, Energía e Intelecto. Cristian Mauricio Chacón Martinez-2144756 Brayan Buitrago Ramirez-2144747 Sergio Andrés Ibáñez -2130550

Resumen de Modelamiento de un Motor DC. Modelamiento El circuito equivalente de la armadura y el diagrama de cuerpo libre del rotor de un motor DC puede verse como:

Figura 1. Circuito armadura y rotor de motor DC Para este sistema tenemos un Voltaje V como entrada y la posición angular θ (theta). Del diagrama, ley de voltajes de Kirchhoff y ecuaciones de movimiento rotacional obtenemos el siguiente modelo: 𝑇 = 𝐾𝑇 θ

(1)

𝑒 = 𝐾𝑏 θ̇

(2)

𝐽θ̈ + 𝑏θ̇ = 𝐾 𝑖 𝐿

𝑑𝑖 𝑑𝑡

+ 𝑅 𝑖 = 𝑉 − 𝐾θ

(3) (4)

Donde constante de torque del motor, al igual que constante para la fuerza electromotriz

-

Función de transferencia

Aplicando transformada de Laplace tenemos: 𝑠(𝐽𝑠 + 𝑏)θ = 𝐾 𝑖

(5)

(𝐿𝑠 + 𝑅)𝑖 = 𝑉 − 𝐾θ

(6)

Y despejando la salida sobre la entrada, conseguimos la función de transferencia del sistema: θ(𝑠)

𝐾

𝑃(𝑠) = 𝑉(𝑠) = 𝑠((𝐽𝑠+𝑏)(𝐿𝑠+𝑅)+𝐾2

-

(7)

Espacio de estados

De las ecuaciones diferenciales (3) y (4), si tomamos la posición del motor, la velocidad del motor y la corriente de armadura como variables de estado, además consideramos la misma entrada y salida, podemos construir el siguiente espacio de estados

(8)

(9)

-

Representación en Matlab

Para la simulación de la función de transferencia se hace uso del comando tf, y para el espacio de estados utilizamos el comando ss.

-

Representación en Simulink

La aceleración del rotor y de la rata de cambio de la corriente de armadura se describen en las siguientes integrales.

Ahora en Simulink se crean las ecuaciones con los bloques integradores:

De ley de Newton y ley de voltajes de Kirchhoff obtenemos:

Y en Simulink respectivamente:

Se expresa en un diagrama de bloques, tomando una entrada de voltaje y como salida la posición del motor como se muestra a continuación:

-

Para el sistema en lazo abierto

Para simular el sistema en lazo abierto, se coloca un bloque de función escalón en la entrada, para observar la salida lo hacemos con un osciloscopio.

Se configuran los parámetros de la simulación como el tiempo de simulación y el solucionador numérico, para este caso, se seleccionó 0.2 segundos y ode15s respectivamente. Finalmente, se ingresan los parámetros físicos (R,L,K,J,b) en el Command Window en Matlab y podemos observar el comportamiento inestable que se esperaba

Análisis del sistema En el modelado se obtuvieron las ecuaciones dinámicas del circuito y su función de transferencia, las cuales serían las siguientes

Respuesta del sistema en lazo abierto

Se crea la función de transferencia en matlab del sistema en circuito abierto tal como se modeló anteriormente definiendo los parámetros y la función de tranferencia como la ecuación (3) anterior J = 3.2284E-6; b = 3.5077E-6; K = 0.0274; R = 4; L = 2.75E-6; s = tf ( 's' ); P_motor = K / (s * ((J * s + b) * (L * s + R) + K ^ 2)) Teniendo como respuesta P_motor = 0.0274 ------------------------------------------8.878e-12 s ^ 3 + 1.291e-05 s ^ 2 + 0.0007648 s Se grafica la respuesta del sistema sin realimentación para analizar su comportamiento definiendo un vector de tiempo en el cual graficar seguido del comando paso con el cual graficaremos la respuesta a una entrada escalón t = 0: 0,001: 0,2; paso (P_motor, t)

Vemos que la salida crece sin control, lo que nos da un indicador que éste sistema de lazo abierto no estable, para comprobar la estabilidad del sistema existe un comando en Matlab el cual puede comprobarla, éste es isstable, en el cual entrega un valor lógico 1 si el sistema estable y un 0 si el sistema es inestable, en nuestro caso: isstable (P_motor) ans = lógico 0 Para comprobar por otra forma la estabilidad del sistema, como ya sabemos, analizando los polos de la función de transferencia, si estos se encuentran en lado negativo del eje jw, con el comando de Matlab Polo podemos encontrar estos polos polo (p_motor)

ans = 1.0e + 06 * 0 -1.4545 -0.0001 Vemos que el sistema tiene un polo imaginario en el lado derecho , esto nos indica inestabilidad RESPUESTA EN LAZO CERRADO Se realimenta el sistema con la función sys_cl = feedback (P_motor, 1) con ganancia de realimentación 1, quedando de la siguiente forma sys_cl = feedback (P_motor, 1) sys_cl = 0.0274 -------------------------------------------------- 8.878e-12 s ^ 3 + 1.291e-05 s ^ 2 + 0.0007648 s + 0.0274

Analizaremos la respuesta de la función de tranferencia dada una entrada escalón, tal como se hizo con el sistema en lazo abierto, con el comando paso.

Obteniendo una respuesta del sistema sub amortiguado, esto indica que al adicionar el sistema de realimentación el sistema se estabilizó, ahora analizaremos el comportamiento de los polos con la función de Matlab pzmap, el cual traza los polos de la función

Con esto vemos que los polos se encuentran en el lado izquierdo comprobando que el sistema es estable.

LGR El análisis del LGR, es realizado en lazo abierto. A partir de ello la función de transferencia del modelo a analizar queda de la siguiente manera: 𝑃(𝑠) =

𝜃(𝑠) 𝐾 𝑟𝑎𝑑 = [ ] 2 𝑉(𝑆) 𝑠((𝐽𝑠 + 𝑏)(𝐿𝑠 + 𝑅) + 𝑘 ) 𝑉

Siendo 𝜃 la salida de la posición del eje, y 𝑉 se asume como la entrada del sistema que es la fuente de voltaje del circuito. La estructura del sistema de control tiene la forma que se muestra en la siguiente figura: ¿Qué se busca con él LGR? El objetivo del LGR es predecir la respuesta de lazo cerrado a partir de la gráfica del lugar de las raíces, que representa las posibles ubicaciones de los polos de lazo cerrado y se extrae de la función de transferencia de lazo abierto Luego, agregando ceros y polos a través del controlador, el lugar de la raíz se puede modificar para lograr una respuesta de lazo cerrada deseada. Análisis de la ganancia de Lazo Para obtener una referencia de paso de 1 [rad/s], los criterios de diseño son los siguientes: • • •

Tiempo de asentamiento inferior a 2 segundos. (Ts), es el tiempo que tarda la respuesta en tomar un margen de variación del 2% o 5%. Sobrepasar menos del 5%. Error de estado estacionario inferior al 1%.

La ubicación de los polos de circuito cerrado del sistema proporciona información sobre la respuesta transitoria del sistema. El Diseñador de sistemas de control le permite especificar la región en el plano s complejo que corresponde a los requisitos de diseño específicos. Las regiones proporcionadas corresponden a un sistema canónico de segundo orden, pero en general son un buen lugar para comenzar, incluso para sistemas de orden superior o sistemas con ceros.

Fig 1. LGR De la anterior gráfica se puede concluir que, la región deseada resultante para los polos de lazo cerrado se muestra mediante la región no sombreada. La línea vertical en s=-2 , representa el requisito de tiempo de establecimiento, donde indica que entre más se aleje del origen más pequeño será el tiempo de establecimiento, por dicha 4 formula que dice: 𝑇(𝑠) = 𝜎 , 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝜎 = 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑠. Para comprobar los parámetros establecidos, se analiza el sistema en estado estacionario, la figura correspondiente a esto se mostrará de la siguiente forma.

Fig 2. Estado Estacionario del sistema A partir de la inspección de lo anterior, se puede ver que no se produce un rebasamiento y que el tiempo de establecimiento es inferior a un segundo, por lo tanto, se cumplen los requisitos de tiempo de rebasamiento y ajuste. Sin embargo, también podemos observar que el error de estado estacionario es aproximadamente del 50%. Si aumentamos la ganancia del lazo para reducir el error de estado estable, le rebasamiento será demasiado grande. Ya dicho esto, se puede comprobar gráficamente moviendo los polos de lazo cerrado verticalmente hacia arriba a lo largo del lugar de las raíces, esto corresponde aumentar la ganancia del lazo. Para poder contraer dicho problema de error, se agrega un controlador de

retardo para reducir el error de estado estacionario y así al mismo tiempo satisfacer los requisitos transitorios. Forma de como adicionar el controlador de Retraso De acuerdo a lo anterior se pudo demostrar que los parámetros tiempo de establecimiento y ajuste se cumplieron con el controlador proporcional, pero el error de estado estacionario no se cumplió. Un compensador de retraso es un tipo de controlador que se sabe que puede reducir el error de estado estable. Sin embargo, debemos tener cuidado en nuestro diseño para no aumentar demasiado el tiempo de establecimiento. La forma del controlador se muestra en la siguiente formula. 𝐶(𝑠) =

𝑠+1 𝑠 + 0.1

Este proceso de agregar un polo y cero al sistema se hace por medio de la herramienta de Compensator Editor de Matlab, que es explicado en el tutorial de control para un Motor DC. ¿Cómo Encontrar la ganancia de lazo con un controlador de retraso? Después de realizar el proceso anterior, en la gráfica la raíz cambiara de ubicación para reflejar la adición del polo y el cero del compensador de retardo, como se muestra en la figura.

Fig 3. LGR con el compensador de retardo. La gráfica de estado estacionario, se actualizará automáticamente para coincidir con la figura que se muestra a continuación.

Fig 4. Estado estacionario con el compensador de retardo. Como puede ver, la respuesta no es del todo satisfactoria a pesar de que dos de los polos de bucle cerrado se colocaron en la región deseada. La razón de esto es que el sistema de circuito cerrado ya no tiene la forma de un sistema canónico de segundo orden. Específicamente, hay un tercer polo en el eje real indicado en el gráfico del lugar de la raíz que está fuera de la región deseada. El hecho de que este tercer polo esté a la derecha de los dos polos conjugados colocados arriba significa que ralentizará la respuesta del sistema, por lo que ya no se cumple el requisito del tiempo de establecimiento. Además, el requisito de rebasamiento se cumple fácilmente, aunque los dos polos conjugados estén cerca del borde de la región permitida. Esto se debe nuevamente al tercer polo que está bien amortiguado y tiende a dominar la respuesta porque es "más lento" que los otros polos. Lo que esto significa es que podemos aumentar aún más la ganancia de bucle de manera que los polos conjugados se muevan más allá de las líneas diagonales y al mismo tiempo cumplan con el requisito de sobre impulso.