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EENS 2110

Mineralogía Mineralogía

Tulane University

Prof. Stephen A. Nelson

Morfología Crystal, Crystal simetría, ejes cristalográficos Tulane University

Prof. Stephen A. Nelson

Introducción y operaciones de simetría Esta página fue actualizada el 26-Ago-2011

Mineralogía Definición de un mineral Un mineral es un sólido homogéneo de origen natural con una composición química definida (pero generalmente no fija) y una disposición muy ordenada atómico, formado generalmente por un proceso inorgánico. 

Naturalmente presentes - Significa que constituye por sí mismo en la naturaleza. Humanos minerales hechas se conocen como minerales sintéticos.



Homogénea - significa que es un compuesto que contiene la misma composición química a lo largo de, y no puede por separado físicamente en el compuesto químico más de 1.



Solid - significa que no es un gas, un líquido o de plasma.



Composición química definida - significa que la composición química puede ser expresada por una fórmula química. Ejemplos:



o

El cuarzo tiene la fórmula química SiO 2 . Cada vez que encontramos cuarzo consiste de Si y O en una relación de 1 a 2 átomos de Si O.

o

El olivino es un ejemplo de un mineral que no tiene una composición química fija. En la naturaleza encontramos que los átomos de Mg y Fe tienen el mismo tamaño y la carga y por lo tanto puede sustituir fácilmente por otros en un mineral. Por lo tanto, el olivino pueden tener la fórmula química Mg 2 SiO 4 o Fe 2 SiO 4 o cualquier otra cosa. Esto normalmente se expresa con una fórmula que indica la posible sustitución - (Mg, Fe) 2 SiO 4 .

Disposición altamente ordenada atómica - significa que los átomos en un mineral están dispuestas en un patrón ordenado geométrica. Esta disposición ordenada de átomos se llama una estructura cristalina , y por lo tanto todos los minerales son cristales. Para cada mineral tiene una estructura cristalina que siempre se encontrará para que mineral, es decir, cada cristal de cuarzo tendrá la misma disposición ordenada interna de los átomos. Si la estructura cristalina es diferente, entonces le damos al mineral un nombre diferente. Un compuesto sólido que satisfaga los criterios de otros,

pero no tiene estructura de cristal definida es una dice que es amorfo . Una de las consecuencias de esta disposición ordenada interna de los átomos es que todos los cristales del mismo mineral aspecto similar. Esto fue descubierto por Nicolas Steno en 1669 y se expresa como la ley de Steno de la constancia de los ángulos interfaciales - ángulos entre las caras correspondientes de cristal del mismo mineral tienen el mismo ángulo. Esto es cierto incluso si los cristales se distorsionan como se ilustra en las secciones transversales a través de los cristales de cuarzo 3 de abajo.

Otra consecuencia es que, dado que la disposición ordenada de átomos de muestra simetría, los cristales perfectamente formados también muestran una disposición simétrica de las caras cristalinas, ya que la ubicación de las caras es controlado por la disposición de los átomos en la estructura cristalina. 

Formado generalmente por un proceso inorgánico - La definición tradicional de un mineral excluidos aquellos compuestos formados por procesos orgánicos, pero esto elimina un gran número de minerales que se forman por los organismos vivos, en particular, muchos de los minerales de carbonato y fosfato que forman las conchas y los huesos de los organismos vivos. Por lo tanto, añade una definición mejor "por lo general" a la formada por procesos inorgánicos. La mejor definición, sin embargo, probablemente debería hacer ninguna restricción sobre cómo las formas minerales. Simetría

Cristales, y por lo tanto minerales, tienen una disposición ordenada interna de los átomos. Esta disposición ordenada muestra simetría, es decir, los átomos están dispuestos de manera simétrica en una red tridimensional que se refiere como una celosía . Cuando se forma un cristal en un ambiente donde no existen impedimentos para su crecimiento, el cristal se enfrenta a la forma como lisos fronteras planas que forman la superficie del cristal. Estas caras de los cristales reflejan la disposición ordenada interna de los átomos y por lo tanto reflejan la simetría de la red cristalina. Para ver esto, primero vamos a imaginar un pequeño cristal de 2 dimensiones compuesto de átomos en un arreglo interno ordenado como se muestra a continuación. Aunque todos los átomos de esta red son los mismos, no tengo un color gris de ellos para que podamos hacer un seguimiento de su posición.

Si rotamos los cristales simples en un 90 o aviso de que la celosía de cristal y se ven exactamente lo mismo que lo que empezamos. Haga girar otros 90 o y otra vez su misma persona. Otro 90 o rotación de nuevo da como resultado un cristal idéntico, y otro 90 o rotación devuelve el cristal a su orientación original. Por lo tanto, en 1 360 o rotación, el cristal se ha repetido, o parece idéntica 4 veces. Por lo tanto decir que este objeto tiene 4-simetría de rotación.

Operaciones de simetría y elementos Una operación de simetría es una operación que se puede realizar ya sea físicamente o imaginativamente que no produce ningún cambio en la apariencia de un objeto. De nuevo se insiste en que en los cristales, la simetría es interna, es decir, es una disposición ordenada geométrica de átomos y moléculas en la red cristalina. Pero, puesto que la simetría interna se refleja en la forma externa de los cristales perfectos, nos vamos a centrar en la simetría externa, porque esto es lo que podemos observar. Hay 3 tipos de operaciones de simetría: rotación, la reflexión y la inversión. Vamos a ver cada uno de estos aspectos. Simetría Rotacional Como se ilustra anteriormente, si un objeto se puede girar alrededor de un eje y se repite cada 90 o de rotación, entonces se dice que tiene un eje de 4-simetría de rotación. El eje largo de la cual se realiza la rotación es un elemento de simetría se refiere como eje de rotación. Los siguientes tipos de ejes de simetría rotacional son posibles en los cristales. 

1-Fold eje de rotación - Un objeto que requiere la rotación de un total de 360 o con el fin de devolverle su apariencia original no tiene simetría rotacional. Puesto que se repite 1 vez cada 360 o que se dice que tiene un eje 1-pliegue de simetría de rotación.



2 veces Eje de rotación - Si aparece un objeto idéntico después de una rotación de 180 o , que es dos veces en un 360 o rotación, entonces se dice que tiene un eje de rotación de 2 veces (360/180 = 2). Tenga en cuenta que en estos ejemplos los ejes que nos referimos son líneas imaginarias que se extienden hacia usted perpendicular a la página o de la pizarra. Una forma ovalada llena representa el punto donde el eje de rotación 2 veces intersecta la página. Este simbolismo se utilizan para un eje de rotación 2 veces a lo largo de las conferencias y en el texto.



3-Fold Eje de rotación - Objetos que se repiten después de la rotación de 120 o se dice que tienen un eje de 3 veces de simetría rotacional (360/120 = 3), y se repetirá 3 veces en un 360 o rotación. Un triángulo relleno se usa para simbolizar la ubicación del eje de rotación de tres veces.



4-Fold eje de rotación - Si un objeto se repite después de 90 o de rotación, se repetirá 4 veces en un 360 o rotación, como se muestra anteriormente. Una plaza llena se usa para simbolizar el lugar de la 4-fold eje de simetría rotacional.



6 veces el eje de rotación - En caso de rotación de 60 o alrededor de un eje hace que el objeto se repite, entonces tiene seis veces eje de simetría rotacional (360/60 = 6). Un hexágono llenado se utiliza como el símbolo de un eje de rotación 6 veces.

Aunque los propios objetos pueden parecer que tienen 5 veces, 7 veces, 8 veces, o superior al doble ejes de rotación, éstas no son posibles en los cristales. La razón es que la forma externa de un cristal se basa en una disposición geométrica de los átomos. Tenga en cuenta que si se intenta combinar los objetos con simetría aparente de 5 veces y 8 veces, que no pueden combinar de tal manera que llene completamente el espacio, como se ilustra a continuación.

Mirror Symmetry Una operación de simetría especular es una operación imaginaria que se puede realizar para reproducir un objeto. La operación se realiza por imaginar que cortar el objeto en el medio, a continuación, colocar un espejo al lado de una de las mitades del objeto a lo largo del corte. Si la reflexión en el espejo reproduce la otra mitad del objeto, el objeto se dice que tiene simetría de espejo. El plano del espejo es un elemento de simetría que se refiere como un espejo plano , y está simbolizado con la letra m. Como ejemplo, el cuerpo humano es un objeto que se aproxima a la simetría de espejo, con el plano de simetría de corte a través del centro de la cabeza, el centro de la nariz y hacia abajo a la ingle.

Los rectángulos de abajo tiene dos planos de simetría de espejo. El rectángulo de la izquierda tiene un plano de simetría que se extiende verticalmente en la página y es perpendicular a la página. El rectángulo de la derecha tiene un plano de simetría que se extiende horizontalmente y es perpendicular a la página. Las partes discontinuas de los rectángulos de abajo muestran la parte de los rectángulos que sería visto como un reflejo en el espejo. Los rectángulos mostrados anteriormente tienen dos planos de simetría de espejo. Objetos tridimensionales y más complejo podría tener más. Por ejemplo, el hexágono se muestra más arriba, no sólo tiene un eje de rotación 6 veces, pero tiene 6 planos de simetría. Tenga en cuenta que un rectángulo no tiene simetría de espejo a lo largo de las líneas diagonales. Si reducimos el rectángulo a lo largo de una diagonal, tales como que la etiqueta "m???", Tal como se muestra en el diagrama superior, refleja la mitad inferior en el espejo, entonces veríamos lo que se muestra por las líneas de trazos en diagrama inferior. Dado que este no reproduce el rectángulo original, la línea "m??" no representa un plano de simetría.

Centro de simetría

Otra operación que puede realizarse es la inversión a través de un punto. En esta operación se dibujan líneas desde todos los puntos en el objeto a través de un punto en el centro del objeto, llamado un centro de simetría (simbolizado con la letra "i"). Las líneas cada uno tienen longitudes que son equidistantes de los puntos originales. Cuando los extremos de las líneas están conectadas, el objeto original se reproduce invertida de su aspecto original. En el diagrama se muestra aquí, sólo unos pocos de tales líneas se dibujan para la cara triangular pequeño. El diagrama de la derecha muestra el objeto sin las líneas imaginarias que reproducen el objeto. Si un objeto tiene sólo un centro de simetría, es decir que tiene un eje 1 rotoinversion veces. Tal eje tiene el símbolo , como se muestra en el diagrama de la derecha arriba. Tenga en cuenta que los cristales que tienen un centro de simetría se presentan la propiedad de que si se coloca sobre una mesa habrá una cara en la parte superior del cristal que será paralela a la superficie de la mesa e idéntica a la cara apoyada en la mesa. Rotoinversion Las combinaciones de rotación con un centro de simetría realizar la operación de simetría de rotoinversion. Los objetos que tienen simetría rotoinversion tienen un elemento de simetría llamado eje rotoinversion. Un eje rotoinversion 1-fold es el mismo que un centro de simetría, como se discutió anteriormente. Rotoinversion posible otro son como sigue:



2 veces Rotoinversion - La operación de 2-fold rotoinversion implica primero girar el objeto por 180 o invirtiendo entonces a través de un centro de inversión. Esta operación es equivalente a tener un espejo plano perpendicular al eje rotoinversion 2 veces. Un eje rotoinversion dos veces se simboliza como un 2 con una barra en la parte superior, y se pronuncia como "bar 2". Pero, puesto que este equivalente al de un plano de espejo, m, la barra 2 se utiliza muy poco.



3 veces Rotoinversion - Esto implica girar el objeto por 120 o (360/3 = 120), e invirtiendo a través de un centro. Un cubo es un buen ejemplo de un objeto que posee tres ejes binarios rotoinversion. Un eje rotoinversion de 3 veces se denota como (pronunciado "barra de 3"). Tenga en cuenta que en realidad hay cuatro ejes en un cubo, una corriente a través de cada una de las esquinas del cubo. Si uno tiene uno de los ejes verticales, a continuación, tenga en cuenta que hay 3 caras en la parte superior, y 3 caras idénticas boca abajo en la parte inferior que se compensan de las caras superior por 120 o .



4 veces Rotoinversion - Esto implica la rotación del objeto por 90 o invirtiendo a continuación a través de un centro. A cuatro ejes rotoinversion veces se simboliza como . Tenga en cuenta que un objeto que posee una 4 - eje rotoinversion veces tendrá dos caras en la parte superior y dos caras idénticas boca abajo en la parte inferior, si el eje se mantiene en la posición vertical.



6 veces Rotoinversion - Un eje rotoinversion 6 veces ( ) consiste en girar el objeto por 60 o e invirtiendo a través de un centro. Tenga en cuenta que esta operación es idéntica a la que tiene la combinación de un eje de rotación 3-pliegue perpendicular a un plano de simetría.

Las combinaciones de operaciones de simetría Como debería ser evidente, en objetos de tres dimensiones, tales como cristales, elementos de simetría puede estar presente en varias combinaciones diferentes. De hecho, en los cristales que hay 32 posibles combinaciones de elementos de simetría. Estas 32 combinaciones definir las clases de cristal 32 . Cada cristal tiene que pertenecer a una de estas clases de cristal 32. En el siguiente estudio vamos a empezar a ir a través de cada una de estas clases de cristal en detalle, pero la mejor manera de poder identificar cada clase de cristal no está escuchando a mí conferencia, no necesariamente por la lectura sobre cada clase, pero en realidad mirando modelos de cristales perfectos en el laboratorio. De hecho, es mi opinión que es casi imposible de identificar elementos de simetría y clases de cristal sin tener que gastar un montón de tiempo

a examinar y estudiar los modelos en 3 dimensiones en el laboratorio. Aquí, voy a dar un ejemplo de cómo los diferentes elementos de simetría se combinan en un cristal algo terminado. Un punto que quiero destacar en esta discusión es que si hay 2 tipos de elementos de simetría están presentes en el mismo cristal, entonces van a operar entre sí para producir otros elementos de simetría simétricos. Esto debe quedar claro a medida que avanzamos en el siguiente ejemplo.

En este ejemplo vamos a empezar con el cristal que se muestra aquí. Tenga en cuenta que este cristal tiene forma rectangular lados con una parte superior de forma cuadrada y la parte inferior. La parte superior de forma cuadrada indica que debe haber una rotación perpendicular 4 veces eje a la cara en forma de cuadrado. Esto se muestra en el diagrama.

Tenga en cuenta también que la cara de forma rectangular en el lado izquierdo del cristal debe tener un eje de rotación de 2 veces que se cruza. Tenga en cuenta que el eje de dos veces se ejecuta a través del cristal y sale en el lado izquierdo (no se ve en esta vista), a fin de que la izquierda y la derecha - mano lados del cristal son perpendiculares a un eje de rotación 2 veces.

Puesto que la cara superior del cristal tiene un eje de rotación de 4 veces, el funcionamiento de esta rotación 4 veces deben reproducir la cara con la perpendicular de 2 veces en un eje 90 o rotación. Así, las caras frontal y posterior del cristal también tendrá perpendicular de 2 veces ejes de rotación, ya que estos son requeridos por el eje 4 veces.

La parte superior de forma cuadrada del cristal también sugiere que debe haber un eje de 2 veces que corta diagonalmente a través del cristal. Este eje 2 veces se muestra aquí en el diagrama de la izquierda. Pero, de nuevo el funcionamiento del eje 4 veces

requiere que las diagonales otros también tener 2-fold eje, como se muestra en el diagrama de la derecha. Además, la parte frontal superior de forma cuadrada y rectangular en forma de cristal de la sugieren que un plano de simetría está presente como se muestra por el diagrama de la izquierda aquí. Pero, de nuevo, el funcionamiento del eje 4 veces requiere que un plano de espejo está también presente que corta a través de las caras laterales, como se muestra por el diagrama de la derecha.

La parte superior cuadrada sugiere además que debe haber un espejo plano de corte de la diagonal a través del cristal. Este plano de espejo se refleja en los planos de simetría otras de corte de los lados del cristal, o serán reproducidas por el eje de rotación de 4 veces, y por lo tanto el cristal tendrá otro espejo plano de corte a través de la otra diagonal, tal como se muestra por el diagrama a la derecha.

Por último, hay otro espejo plano que corta a través del centro del cristal paralelo a las caras superior e inferior.

Por lo tanto, este cristal tiene los elementos de simetría siguientes:   



1 a 4 veces eje de rotación (A 4 ) 4-2-fold ejes de rotación (A 2 ), 2 de corte y las caras 2 de corte de los bordes. 5 planos de simetría (m), 2 de corte a través de las caras, dos de corte a través de los bordes, y un corte horizontal a través del centro. Tenga en cuenta también que hay un centro de simetría (i).

El contenido de simetría de este cristal es, por tanto: I, 1a 4 , 4A 2 , 5m Si nos fijamos en la tabla 4.3 de la página 84 Hefferan y O'Brien, usted debe ver que esto pertenece a 4/m2/m2/m clase cristalina. Esta clase es la clase bipiramidal ditetragonal. Vamos a discutir esta notación y las clases de cristales diferentes en la próxima conferencia. Ejemplos de preguntas sobre este material que pueden formularse en un examen 1. ¿Qué es un mineral? (Asegúrese de que puede proporcionar una definición exacta y completa). 2. ¿Cuál es la diferencia entre un proceso orgánico y un proceso inorgánico? 3. Aunque esto es sólo una discusión introductoria de simetría y operaciones de simetría y usted se sienta más cómodo con este material, ya que el curso avanza, el tiempo debe ser capaz de reconocer elementos de simetría en dos planos dimensionales y 3 objetos dimensionales.

Este documento última actualización el 13-Ago-2010

Crystal Morfología y simetría del cristal

La simetría observada en los cristales como exhibidos por sus caras de cristal se debe a la disposición ordenada interna de los átomos en una estructura cristalina, como se mencionó anteriormente. Esta disposición de los átomos en los cristales que se llama un enrejado .

En 2-dimensiones un enrejado plano consta de un conjunto ordenado de puntos. La matriz se define por la distancia entre los puntos y las direcciones (o ángulos) entre los puntos. Por lo tanto, la matriz puede ser reproducida mediante la especificación de la distancia y el ángulo al pasar de un punto a otro. Esto se conoce como simetría traslacional . En este ejemplo, la matriz se reproducen moviendo hacia abajo una distancia de una y moviendo a la derecha una distancia b . El ángulo entre las dos direcciones de la traducción en este caso es 90 o

En el ejemplo de la derecha, las distancias de traslación a y b no son iguales y el ángulo de traducción no es 90 o .

Cristales, por supuesto, se componen de 3-dimensionales de los átomos. Estas tres dimensiones se llaman matrices celosías espaciales . Se discuten estos entramados espaciales en 3dimensiones con mucho más detalle más adelante. Por ahora, sin embargo, vamos a seguir buscando un avión y celosías en cuenta que todo lo que se aplica a estos enrejado 2dimensional se aplica también a celosías espaciales. Hay cuatro puntos importantes sobre redes cristalinas que destacan por nuestro estudio de los cristales: 1. Caras cristalinas desarrollar a lo largo de planos definidos por los puntos en la red. En otras palabras, todas las caras de los cristales deben intersectar átomos o moléculas que forman los puntos. Una cara es más comúnmente desarrollado en un cristal, si se cruza un mayor número de puntos de la red. Esto se conoce como la Ley de Bravais .

Por ejemplo, en el enrejado plano que se muestra a la derecha, las caras será más común si se desarrollan a lo largo de los planos de la red etiquetados 1, algo común en caso de desarrollar a lo largo de los etiquetados 2, y menos y menos comunes si se desarrollan a lo largo de planos marcados 3, 4, y 5. 2. El ángulo entre caras del cristal está controlado por la separación entre puntos de la red.

Como se puede ver a partir de la red cristalina imaginario 2-dimensional se muestra aquí, el ángulo  entre la cara que corre diagonalmente a través de la celosía y la cara horizontal dependerá de la separación entre los puntos de la red. Tenga en cuenta que los ángulos entre las caras se mide como el ángulo entre las normales (líneas perpendiculares) a las superficies. Esto se aplica en 3-dimesions también. Cambiar el espaciado reticular cambia la relación angular. La celosía se muestra aquí tiene el mismo espaciado horizontal entre puntos de la red, pero una separación vertical más pequeña. Nótese cómo el ángulo  entre la cara diagonal y la cara horizontal en este ejemplo es más pequeño que en el ejemplo anterior. 3. Dado que todos los cristales de la misma sustancia se tienen el mismo espaciamiento entre puntos de la red (que tienen la misma estructura cristalina), los ángulos entre las caras correspondientes del mismo mineral será el mismo . Esto se conoce como la ley de la constancia de los ángulos interfaciales , como se discutió previamente. 4. La simetría de la red determinará las relaciones angulares entre las caras del cristal. Así, en cristales o cristales imperfectos distorsionadas donde las longitudes de los bordes o caras de caras de simetría relacionados no son iguales, la simetría puede todavía ser determinada por los ángulos entre las caras . En el ejemplo mostrado aquí, el diagrama superior muestra un cristal perfecto con las caras relacionados simétricamente tienen longitudes iguales. El diagrama inferior muestra un cristal construido en la retícula mismo, pero con las caras distorsionadas. Tenga en cuenta que los ángulos entre las caras del cristal distorsionada son los mismos que en el cristal perfecto.

Con el fin de saber que se enfrenta a diferentes cristales están las caras correspondientes, necesitamos algún tipo de sistema de coordenadas estándar sobre el cual podemos orientar los cristales y así ser capaces de referirse a diferentes direcciones y planos diferentes dentro de los cristales. Tal sistema de coordenadas se basa en el concepto de los ejes cristalográficos. Los ejes cristalográficos

Los ejes cristalográficos son líneas imaginarias que podemos sacar dentro de la red cristalina. Estos se definen un sistema de coordenadas dentro del cristal. Para celosías espaciales 3dimensional que necesitamos 3 o en algunos casos 4 ejes cristalográficos que definen direcciones dentro de las redes cristalinas. Dependiendo de la simetría de la red, las direcciones pueden o pueden no ser perpendiculares entre sí, y las divisiones a lo largo de los ejes de coordenadas pueden o pueden no ser iguales a lo largo de los ejes. Como veremos más adelante, las longitudes de los ejes son de alguna manera proporcional a la separación de celosía a lo largo de un eje y este es definido por el grupo más pequeño de puntos necesarios para permitir la simetría de translación para reproducir el enrejado. Estamos aquí, discutir los conceptos básicos de los ejes cristalográficos. Como veremos, los ejes se definen en base a la simetría de la red y el cristal. Cada sistema de cristal tiene diferentes convenciones que definen la orientación de los ejes, y las longitudes relativas de los ejes.

Células unitarias Los "" longitudes de los ejes cristalográficos diferentes se definen sobre la base de la celda unidad. Cuando las matrices de átomos o moléculas están dispuestas en una red espacial se define un grupo de átomos tales como la celda unitaria. Esta celda unidad contiene todos los puntos necesarios en la red que se pueden traducir a repetirse en una serie infinita. En otras palabras, la celda unidad define los bloques de construcción básicos del cristal y el cristal entero se compone de células de la unidad repetidamente traducidos. En la definición de una celda unitaria de un cristal de la elección es algo arbitrario. Pero, la mejor elección es uno donde: 1. Los bordes de la celda unidad debe coincidir con la simetría de la red. 2. Los bordes de la celda unidad debe estar relacionados por la simetría de la red. 3. La célula más pequeña posible que contenga todos los elementos debe ser elegido.

Por ejemplo, en la red 2-dimensional se muestra aquí hay 6 posibles opciones para definir la celda unidad, etiquetadas de A a F. El enrejado tiene 2-simetría de rotación alrededor de un eje perpendicular a la página. Puesto que la propia red no tiene simetría rotacional de 3 veces o 6 veces, las opciones A y B no sería decisiones inteligentes para la celda unidad. F elección puede ser eliminado porque en realidad es sólo la mitad de la celda b. Los bordes de C y E no son coincidentes o paralelos a los ejes de 2 veces que se encuentran en el plano de la página. Así, nuestra mejor opción sería la celda d. Una vez que se ha elegido una celda unidad del cristal, entonces puede ser orientado sobre los ejes cristalográficos para definir los ángulos entre los ejes y para definir las longitudes axiales. Esto nos permitirá definir direcciones dentro del cristal que se vuelven importantes cuando nos damos cuenta de que muchas de las propiedades de los cristales depende de la dirección en el cristal. Las propiedades que dependen de la dirección en el cristal se denominan propiedades vectoriales . Hablaremos de esto en una conferencia posterior. Otro punto importante es que las longitudes relativas de los ejes cristalográficos, o los bordes de la celda unidad, se puede determinar a partir de mediciones de los ángulos entre las caras del cristal. Tendremos en cuenta las mediciones de longitudes axiales, y desarrollar un sistema para definir las orientaciones y las caras de cristal etiqueta en la próxima conferencia. Ejemplos de preguntas sobre este material que pueden formularse en un examen 1. Defina lo siguiente: (a) La Ley de Bravais, (b) Ley de la constancia de los ángulos interfaciales, (c) celda unidad, (d) las propiedades vectoriales de cristales. 2. ¿Cómo están los ejes cristalográficos detemined en cada una de las 6 clases cristalinas. 3. Explicar por qué el espaciamiento de los puntos de la red y de la simetría de la red cristalina determinar los ángulos entre las caras del cristal.

EENS 2110 Tulane University

Mineralogía Prof. Stephen A. Nelson

Simetría externa de los cristales, 32 clases cristalinas Esta página fue actualizada el 12-ago-2010

Como se dijo en la última conferencia, hay 32 posibles combinaciones de operaciones de simetría que definen la simetría externa de los cristales. Estos 32 posibles combinaciones de resultado en los 32 clases cristalinas. Estos son a menudo también se refiere como los grupos de puntos 32. Vamos a repasar algunos de estos puntos en detalle en esta conferencia, pero una vez más quiero recordar a todos que la mejor manera de ver este material es mirando a los

modelos de cristal en laboratorio. Hermann-Mauguin (internacional) Símbolos Antes de entrar en las 32 clases cristalinas, en primer lugar quiero mostrar cómo derivar los símbolos Hermann-Mauguin (también llamados los símbolos internacionales) que se utilizan para describir las clases cristalinas del contenido simetría. Vamos a empezar con un cristal simple entonces algunos ejemplos más complejos. El bloque rectangular que se muestra aquí tiene 3 2-fold ejes de rotación (A 2 ), 3 planos de simetría (m), y un centro de simetría (i). Las reglas para derivar el símbolo Hermann-Mauguin son como sigue: 1. Escriba un número que representa cada uno de los ejes de rotación único presente. Un eje de rotación único es uno que existe por sí mismo y no es producida por otra operación de simetría. En este caso, todos los tres 2-ejes binarios son únicos, ya que cada uno es perpendicular a una cara de forma diferente, por lo que escribir un 2 (para 2-veces) para cada eje 222 2. A continuación se escribe una "m" para cada plano de simetría única. Una vez más, un espejo plano único es aquel que no es producido por cualquier otra operación de simetría. En este ejemplo, podemos decir que cada espejo es único porque cada uno corta una cara diferente aspecto. Así, escribimos: 2m2m2m

3. Si alguno de los ejes son perpendiculares a un plano de espejo que poner una barra (/) entre el símbolo para el eje y el símbolo para el plano de simetría. En este caso, cada uno de los ejes de 2 veces son perpendiculares a planos de simetría, por lo que se convierte en nuestro símbolo: 2/m2/m2/m Si nos fijamos en el cuadro que figura en las notas de la conferencia de abajo, verás que este modelo de cristal pertenece a la clase rómbico-bipiramidal.

Nuestro segundo ejemplo es el bloque que se muestra aquí a la derecha. Este modelo tiene un eje de 2 veces y 2 planos de simetría. Para el eje 2 veces, se escribe: 2 Cada uno de los planos de espejo es único. Podemos decir que debido a que cada uno corta una cara diferente aspecto. Así, se escribe 2 "m" s, una para cada plano de simetría: 2 mm Tenga en cuenta que el eje 2 veces no es perpendicular a un plano de simetría, por lo que necesitamos sin barras. Nuestro símbolo final es entonces: 2mm Para esta clase de cristal, la convención es escribir mm2 en lugar de 2 mm (no estoy seguro por qué). Si se consulta la tabla de abajo, verás que este modelo de cristal pertenece a la clase rómbico-piramidal. El tercer ejemplo se muestra aquí a la derecha. Contiene 1 4-fold eje, 4 ejes 2 veces, 5 planos de simetría, y un centro de simetría. Tenga en cuenta que el eje 4 veces es única. Hay 2 2-fold ejes que son perpendiculares a las caras idénticas y 2 2-ejes binarios que se ejecutan a través de los bordes verticales del cristal. Así, hay sólo 2 únicos 2 ejes de plegado, porque los otros son requeridos por el eje perpendicular 4 veces a la cara superior. Así, escribimos: 422 A pesar de que hay 5 planos de simetría en el modelo, sólo 3 de ellos son únicos. Dos planos de simetría cortar las caras frontal y lateral del cristal, y son perpendiculares a los ejes de 2 veces que son perpendiculares a estas caras. Sólo uno de ellos es único, porque el otro es requerida por el eje de rotación de 4 veces. Otra serie de 2 planos de simetría corta diagonalmente a través de la parte superior y hacia abajo de los bordes del modelo. Sólo uno de ellos es único, porque la otra es generado por el eje de rotación 4 veces y los planos de simetría anteriormente discutidas. El plano de simetría que corta horizontalmente a través del cristal y es perpendicular al eje 4 veces es única. Dado que todos los planos de simetría de espejo únicos son perpendiculares a los ejes de rotación, nuestro símbolo final se convierte en: 4/m2/m2/m Buscando en la tabla de abajo, vemos que este cristal pertenece a la clase ditetragonalbipiramidal.

Nuestro último ejemplo es el más complejo. Tenga en cuenta que tiene 3 4-plegado ejes de rotación, cada uno de los cuales es perpendicular a una cara en forma de cuadrado, 4 3-ejes binarios rotoinversion (algunos de los cuales no se muestran en el diagrama para reducir la complejidad), cada uno sobresaliendo de las esquinas de el cubo, y 6 2-fold ejes de rotación (de nuevo, no se muestran todos), que sobresale de los bordes del cubo. Además, el cristal tiene 9 planos de simetría, y un centro de simetría. Hay sólo 1 único eje 4 veces, porque cada uno es perpendicular a una cara de aspecto similar (las caras del cubo). Sólo hay un únicas tres ejes binarios rotoinversion, porque todos ellos sobresalen de las esquinas del cubo, y todos están relacionados por la simetría de 4 veces. Y, hay sólo 1 único eje 2 veces, porque todos los demás sobresalen de los bordes del cubo y están relacionados por los planos de espejo el otro juego de 2-ejes binarios. Así, se escribe un 4, un , y un 2 para cada uno de los ejes de rotación únicas. 4

2

Hay 3 planos de simetría que son perpendiculares a los ejes de plegado 4 y 6 planos de simetría que son perpendiculares a los ejes 2 veces. No son planos de simetría perpendicular a los ejes rotoinversion 3-fold. Por lo tanto, nuestro símbolo final se convierte en: 4/m 2/m Consultando la tabla en las notas de la conferencia a continuación, revela que este cristal pertenece a la clase de cristal hexoctahedral. Las 32 clases cristalinas Las 32 clases cristalinas representan las combinaciones posibles de 32 operaciones de simetría. Cada clase de cristal tendrá caras de los cristales que definen de manera única la simetría de la clase. Estas caras, o grupos de caras se denominan formas cristalinas. Tenga en cuenta que no se espera que memorizar las clases cristalinas, sus nombres, o la simetría asociado a cada clase. Usted, sin embargo, se espera que para determinar el contenido de simetría de los modelos de cristal, después de lo cual se pueden consultar las tablas de su libro de texto, folletos de laboratorio o apuntes de clase. Todas las pruebas de este material en el laboratorio estará libro abierto. En esta conferencia vamos a repasar algunas de las clases de cristal y su simetría. No será capaz de cubrir la totalidad de las 32 clases. Usted, sin embargo, ver a muchos de los 32 cursos durante el trabajo de laboratorio. Nótese que no es fácil sacar un cristal de algunas clases sin

añadir más simetría o que puede ser visto fácilmente en un dibujo en dos dimensiones. La siguiente tabla muestra las clases de cristal 32, su simetría, Hermann-Mauguin símbolo y nombre de la clase. Crystal System Triclínico

Monoclínico

Ortorrómbico

Crystal Class

Simetría

Nombre de la clase

1

ninguno

Pedial

yo

Pinacoidal

2

1A 2

Esfenoidal

m

1m

Domatic

2/m

i, 1 A 2 , 1m

Prismático

222

3A 2

Rómbico-disphenoidal

mm2 (2mm)

1A 2 , 2 m

Rómbico piramidal

2/m2/m2/m

i, 3A 2 , 3m

Rómbico-bipiramidal

4

1A 4

Tetragonal-Piramidal

4

Tetragonal

4/m

i, 1 A 4 , 1m

Tetragonal-bipiramidal

422

1A 4 , 4A 2

Tetragonal-trapezohedral

4mm

1A 4 , 4m

Ditetragonal piramidal

14,2A2,2m

Tetragonal escalenoedrica

4/m2/m2/m

i, 1 A 4 , 4A 2 , 5m

Ditetragonal-bipiramidal

3

1A 3

-Piramidal trigonal

13

Romboedro

32

1A 3 , 3A 2

Trigonal-trapezohedral

3m

1A 3 , 3m

Ditrigonal piramidal

1 3 , 3A 2 , 3m

Hexagonal escalenoedrica

1A6

Hexagonal-piramidal

16

Trigonal bipiramidal-

6/m

i, 1 A 6 , 1m

Hexagonal-bipiramidal

622

1A 6 , 6A 2

Hexagonal-trapezohedral

6mm

1A 6 , 6m

Dihexagonal piramidal

1 6 , 3A 2 , 3m

Ditrigonal-bipiramidal

6/m2/m2/m

i, 1 A 6 , 6A 2 , 7m

Dihexagonal-bipiramidal

23

3A 2 , 4A 3

Tetaroidal

2/m

3A 2 , 3 m, 4 3

Diploidal

432

3A 4 , 4A 3 , 6A 2

Gyroidal

34,4A3,6m

Hextetrahedral

2m

2/m Hexagonal

6

m2

Isométrica

Tetragonal-disphenoidal

3m 4/m 2/m

3A 4 , 4 3 , 6A 2 , 9m

Hexoctahedral

Tenga en cuenta que las 32 clases cristalinas se dividen en 6 sistemas cristalinos. 1. El sistema triclínico sólo tiene ejes rotoinversion 1-pliegue o 1 cama-. 2. El sistema monoclínico tiene solo plano de simetría (s) o de un solo eje 2 veces. 3. El sistema ortorrómbico sólo tiene dos ejes de plegado o un eje de 2 veces y 2 planos de simetría. 4. El sistema tetragonal tiene o bien un solo eje rotoinversion 4 veces o 4 veces. 5. El sistema hexagonal no tiene ejes de 4 veces, pero tiene al menos 1 eje 6 veces o 3 veces-. 6. El sistema isométrico tiene cualquiera 4 3-ejes o 4 veces 3 veces hachas rotoinversion.

Sistema triclínico Caracterizado por un solo eje rotoinversion veces o 1 cama

Clase pedial, 1, contenido Symmetry - Ninguno En esta clase no hay simetría, por lo que todas las caras de cristal son únicos y no están relacionados unos con otros por simetría. Caras se llaman pediones , por lo que esta es la clase pedial. Sólo unos pocos minerales raros están en esta clase.



Clase pinacoidal, , contenido Symmetry - i Puesto que en esta clase sólo hay un centro de simetría, pares de caras están relacionados unos con otros a través del centro. Tales caras son llamados pinacoides , por lo tanto esta es la clase pinacoidal. Entre los minerales comunes con cristales pinacoidales son: microclina (K-feldespato), plagioclasa, turquesa y wollastonita.

Sistema monoclínico Caracterizado por tener plano único espejo (s) o de un solo eje 2 veces. 

Clase esfenoidal, 2, contenido Symmetry - 1A 2 En esta clase hay un solo 2 veces eje de rotación. Caras relacionadas por un eje 2 veces son llamados esfenoides , por lo tanto esta es la clase esfenoidal. Sólo los minerales raros pertenecen a esta clase.



Clase Domatic, m, contenido Symmetry - 1m Esta clase tiene un plano de simetría simple. Caras relacionadas por un plano de espejo son llamados domos , por lo tanto esta es la clase domatic. Sólo 2 minerales raros cristalizar en esta clase.



Clase prismático, 2 / m. Contenido Symmetry - 1A 2 , m, i Esta clase tiene un solo de 2 veces eje perpendicular a un plano único espejo. Esta clase tiene pinacoide caras y las caras del prisma. Un prisma se define como 3 o más caras idénticas que son todas paralelas a la misma línea. En la clase prismática, estos prismas constan de 4 caras idénticas, 2 de los cuales se muestran en el diagrama de la parte frontal del cristal. Los otros dos están en el lado posterior del cristal.

Los minerales más comunes que se producen en la clase prismática son las micas (biotita y moscovita), azurita, clorita, clinopiroxenos, epidota, yeso, malaquita, caolinita, ortoclasa, y talco. Sistema ortorrómbico Caracterizado por tener sólo dos ejes de plegado o un eje de 2 veces y 2 planos de simetría.



Rómbico-disphenoidal Class, 222, contenido Symmetry 3A 2 En esta clase hay 3 2-fold eje y no hay planos de simetría. Los ejes de 2 veces son perpendiculares entre sí. Los disphenoid caras que definen este grupo consiste de 2 caras en la parte superior del cristal 2 y las caras en la parte inferior del cristal que se compensan entre sí por 90 o . Epsomita es el mineral más común raras de esta clase.



Rómbico-piramidal de clases, 2 mm (mm2), el contenido Symmetry - 1A 2 , 2m Esta clase tiene dos planos de simetría perpendiculares y un solo 2 veces el eje de rotación. Debido a que no tiene centro de simetría, las caras en la parte superior del cristal no se producen en la parte inferior. Una pirámide , es un conjunto de 3 o más caras idénticas que se cortan en un punto. En el caso de la pirámide rómbica, estos serían 4 caras idénticas, marcadas p, en el diagrama.

Hemimorfita es el mineral más común con esta simetría. 

Rómbico-Clase bipiramidal, 2/m2/m2/m, contenido Symmetry - 3A 2 , 3 m, i Esta clase tiene 3 perpendicular 2 ejes binarios que son perpendiculares a 3 planos de simetría. Los bipirámide caras constan de 4 caras idénticas en la parte superior y 4 caras idénticas en el fondo que están relacionados entre sí por reflexión a través del plano de simetría horizontal o por rotación alrededor de las horizontales 2 ejes binarios. Los minerales más comunes de esta clase son andalucita , antofilita, aragonita, barita, cordierita, olivino, silimanita, estibina, azufre y topacio.

Sistema tetragonal

Caracterizado por un eje rotoinversion Single 4-veces o 4 veces. 

Tetragonal-piramidal Clase, 4, contenido Symmetry 1A 4 Dado que esta clase tiene un Single 4-fold eje y no hay planos de simetría, no hay caras pirámide en la parte inferior del cristal. Wulfinite es el único mineral conocido a cristalizar en esta clase.



Tetragonal-disphenoidal Clase , contenido Symmetry - 1 4 Con sólo un solo eje rotoinversion 4 veces, los rostros disphenoid constará de dos caras idénticas en la parte superior, y dos caras idénticas en el fondo, compensados por 90 o . Tenga en cuenta que no existen planos de simetría de esta clase. Sólo un mineral raro que se conoce para formar cristales de esta clase.



Tetragonal-Clase bipiramidal, 4 / m, contenido Symmetry - 1A 4 , 1 m, i Esta clase tiene un solo de 4 veces un eje perpendicular al plano de simetría. Esto resulta en 4 pirámide se enfrenta en la parte superior que se refleja a través del plano de simetría para formar 4 caras idénticas en la parte inferior del cristal. Scheelita y scapolite son los únicos minerales comunes en esta clase.



Tetragonal-trapezohedral Class, 422, contenido Symmetry - 1A 4 , 4A 2 Esta clase tiene un eje perpendicular 4 veces a 2 veces 4 ejes. No hay planos de simetría. Sólo un mineral raro pertenece a esta clase.



Ditetragonal-piramidal de clases, 4 mm, contenido Symmetry - 1A 4 , 4m Esta clase tiene un único eje de 4 veces y 4 planos de simetría. Los planos de simetría no se muestran en el diagrama, pero que puede cortar los bordes y el centro de las caras que se muestran. Tenga en cuenta que la pirámide ditetragonal es un conjunto de 8 caras que forman una pirámide en la parte superior del cristal. Sólo una formas minerales raros en la clase cristalina.



Tetragonal escalenoedrica Clase, contenido 2m, Symmetry - 1 4 , 2A 2 , 2m Esta clase tiene un eje rotoinversion 4 veces que es perpendicular a los ejes de rotación 2 de 2 veces. Los dos planos de simetría paralelo a la 45 y se encuentran en o a los ejes 2 veces. Calcopirita y estannito son los únicos minerales comunes con cristales en esta clase.



Ditetragonal bipiramidal-Class, 4/m2/m2/m, contenido Symmetry - 1A 4 , 4A 2 , 5 m, i Esta clase tiene la mayor simetría del sistema tetragonal. Tiene un Single 4-fold eje que es perpendicular a 4 2-ejes binarios. Todos los ejes de 2 veces son perpendiculares a los planos de espejo. Otro plano de simetría es perpendicular al eje 4 veces. Los planos de simetría no se muestran en el diagrama, pero sería cortar a través de todos los bordes verticales y por el centro de las caras de la pirámide. El quinto plano de simetría es el plano horizontal. Tenga en cuenta la bipirámide ditetragonalformado por los 8 caras piramidales en la parte superior y las 8 caras de pirámide en el fondo.

Minerales más comunes que se producen con esta simetría son anatasa, casiterita, apofilita, circón, y vesuvianita. Tenga en cuenta que no voy a tener tiempo en clase para cubrir el resto de las 32 clases cristalinas, es decir, los que pertenecen a los sistemas hexagonales e isométrica. Estos son difíciles de dibujar, y es mejor dejar que el alumno estudie el uso del libro de texto, páginas 180-205, y los modelos de cristal en laboratorio. Ejemplos de preguntas sobre este material que pueden formularse en un examen 1. ¿Por qué hay sólo 32 clases de cristales? 2. ¿Qué criterio se trata de dividir a las clases de cristal 32 en 6 sistemas cristalinos? 3. Tenga en cuenta que los exámenes que se le pedirá a reconocer las diferentes clases cristalinas y su simetría, los exámenes serán a libro abierto, por lo que tendrá acceso a las tablas y figuras en estas notas.

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Mineralogía Prof. Stephen A. Nelson

Ratios axiales, parámetros, índices de Miller Este documento última actualización el 23-Sep-2011

Ahora hemos visto cómo los ejes cristalográficos pueden ser definidos para los diversos sistemas cristalinos. Dos puntos importantes a tener en cuenta es que 1. Las longitudes de los ejes cristalográficos son controlados por las dimensiones de la celda unidad de la que se basa el cristal. 2. Los ángulos entre los ejes cristalográficos son controlados por la forma de la celda unidad. Hemos observado también la última vez que las longitudes relativas de los ejes cristalográficos controlar las relaciones angulares entre las caras del cristal. Esto es cierto porque las caras cristalinas sólo puede desarrollarse a lo largo de los puntos reticulares. Las longitudes relativas de los ejes cristalográficos son llamados coeficientes axiales, nuestro primer tema de discusión. Ratios axiales Relaciones axiales se definen como las longitudes relativas de los ejes cristalográficos. Normalmente se toma como respecto a la longitud del eje cristalográfico b. Por lo tanto, una relación axial se define como sigue: Axial Ratio = a / b: b / b: c / b donde a es la longitud real del eje de un cristalográfica, b, es la longitud real del eje cristalográfico b, y c es la longitud real del eje cristalográfico c. 

Para triclínico, monoclínico, y cristales ortorrómbicos, donde las longitudes de los tres ejes son diferentes, esto se reduce a a / b: 1: c / b (esto se suele reducirse a una: 1: c)



Para cristales tetragonales donde la longitud de los ejes A y B son iguales, esto se reduce a 1: 1: c / b (esto es normalmente cortocircuitado a 1: c)



Para cristales isométricos donde la longitud de los ejes a, b, y c son iguales esto se convierte 1: 1: 1 (esto es generalmente en cortocircuito a 1)



Para cristales hexagonales donde hay tres ejes de igual longitud (un 1 , un 2 y un 3 )

perpendiculares al eje c se convierte en: 1: 1: 1: c / a (acortado generalmente a 1: c) Cristalógrafos modernos pueden utilizar rayos X para determinar el tamaño de la celda unidad, y por lo tanto se puede determinar el valor absoluto de los ejes cristalográficos. Por ejemplo, el cuarzo mineral es hexagonal, con las dimensiones de la celda unidad siguientes según lo determinado por cristalografía de rayos X: un 1 = a 2 = a 3 = 4.913Å c = 5.405Å donde A es el Angstrom = 10 -10 metros. Así, la relación axial para el cuarzo se 1: 1: 1: 5.405/4.913 o 1: 1: 1: 1,1001 que simplemente dice que el eje c es 1,1001 veces más que los ejes a. Para el azufre ortorrómbico las dimensiones de la celda unidad de medida por rayos X son: un 10.47Å = b = 12.87Å c = 24.39Å Así, la relación axial para el azufre ortorrómbico es: 10.47/12.87: 12.87/12.87: 24.39/12.87 o 0,813: 1: 1,903 Debido a que las caras cristalinas desarrollar a lo largo de puntos de la red, la relación angular entre las caras debe depender de las longitudes relativas de los ejes. Mucho antes de que los rayos X se inventaron y absolutos dimensiones de la celda unidad podría obtenerse, cristalógrafos fueron capaces de determinar las relaciones axiales de minerales mediante la determinación de los ángulos entre las caras de cristal. Así, por ejemplo, en 1896 los coeficientes axiales de azufre ortorrómbico se determinó que eran casi exactamente el mismo que los descritos anteriormente a partir de mediciones de rayos x. En una conferencia posterior veremos cómo podemos determinar las relaciones axiales de las

relaciones angulares entre las caras. Primero, sin embargo, debemos determinar cómo podemos nombrar, o las caras de índice de cristales y definir direcciones dentro de los cristales.

Intersecciones de las caras de cristal (Parámetros Weiss) Caras del cristal puede ser definido por sus intersecciones sobre los ejes cristalográficos. Para no hexagonales cristales, hay tres casos. 1. Una cara del cristal intersecta sólo uno de los ejes cristalográficos. Como ejemplo, la cara del cristal superior mostrada aquí intersecta el eje c, pero no se cruza con los ejes a o b. Si suponemos que la cara intercepta el eje c a una distancia de 1 unidad de longitud, a continuación, los intercepta, a veces llamados parámetros de Weiss, son:  a,  b, 1c

2. Una cara del cristal intersecta dos de los ejes cristalográficos. Como ejemplo, la cara del cristal más oscura muestra aquí intersecta los ejes A y B, pero no el eje c. Suponiendo que los intercepta la cara de los ejes A y C 1 de la longitud de cada celda unidad, los parámetros para la cara son: 1 a, 1 b,  c

3. Una cara de un cristal que se cruza con los 3 ejes. En este ejemplo, la cara más oscura se supone que se cruzan la una b, y c ejes cristalográficos a unidad de longitud uno en cada uno. Por lo tanto, los parámetros de este ejemplo sería: 1a, 1b, 1c

Dos puntos muy importantes sobre las intersecciones de las caras:  

Las intersecciones o parámetros son valores relativos, y no indican ningún longitudes de corte reales. Ya que son relativos, una cara puede moverse paralela a sí misma sin necesidad de cambiar sus intersecciones o parámetros relativos .

Debido a que uno no suele conocer las dimensiones de la celda unidad, es difícil saber qué

número para dar la intersección de una cara, a menos que una cara está definida arbitrariamente y tienen intersecciones de 1. Por lo tanto, la convención es asignar la cara más grande que cruza los 3 ejes cristalográficos de los parámetros - 1a, 1b, 1c. Esta cara se llama el nominal unitario.

Por ejemplo, en el cristal ortorrómbico se muestra aquí, la gran cara sombreada oscura es la cara más grande que corta los tres ejes. Es la cara de la unidad, y por lo tanto se le asigna la 1a parámetros, 1b, 1c.

Una vez que la unidad se define la cara, las intersecciones de la cara más pequeña puede ser determinada. Estos son 2a, 2b, 2/3c. Tenga en cuenta que podemos dividir estos parámetros por el factor común 2, lo que resulta en 1a, 1b, 1/3c. Una vez más, esto ilustra el punto que mover un paralelo cara a sí mismo no cambia las intersecciones correspondientes. Dado que intercepta o parámetros son relativos, éstos no representan las longitudes reales de corte de los ejes.

Al especificar las intersecciones o parámetros de una cara de cristal, ahora tenemos una manera de identificar de forma única cada cara de un cristal. Sin embargo, la notación es engorroso, por lo cristalógrafos han desarrollado otra forma de identificación o la indexación de las caras. Esta notación convencional llamado Índice de Miller es nuestro siguiente tema de discusión. Índices de Miller El índice de Miller para una cara de cristal se encuentra por   

primera determinación de los parámetros segundo invirtiendo los parámetros, y tercero limpieza de las fracciones.

Por ejemplo, si la cara tiene los parámetros 1 a, 1 b, c

la inversión de los parámetros sería 1/1, 1/1, 1 /  esto sería 1, 1, 0 el índice de Miller está escrito entre paréntesis sin comas - por lo tanto (110)

Como otros ejemplos, vamos a ver que el cristal se muestra aquí. Todas las caras de este cristal son relativamente simples. La cara [etiquetados (111)] que corta los tres ejes en 1 unidad de longitud tiene la 1a parámetros, 1b, 1c. Inversión de estos, los resultados en 1/1, 1/1, 1/1 para dar el índice de Miller (111). El rostro cuadrado que corta el eje positivo de una, tiene los parámetros 1 a,  b,  c. Inversión de estos se convierte en 1/1, 1 / dar el Índice de Miller (100). La cara en la parte posterior del cristal que corta el negativo de un eje tiene los parámetros-1a,  b,  c. Por lo que su índice de Miller es ( 00). Nótese cómo la intersección negativo se indica colocando un signo menos por encima del índice. Esto se lee "menos uno, uno, uno". Por lo tanto, los otros 4 caras vistas en este cristal tendría los Índices de Miller (001), (00 ), (010), y (0 0). Ahora echemos un vistazo a algunos ejemplos más complicados. El dibujo de la derecha es el mismo cristal ortorrómbico que vimos anteriormente. Recordemos que el pequeño rostro triangular en la parte superior que corta los tres ejes tuvo la 1a parámetros, 1b, 1/3c. Inversión de estos se convierte en 1/1, 1/1, 3/1 para dar el índice de Miller para esta cara como (113). De manera similar, la cara triangular pequeña la corta el positivo de un eje y el eje b negativo, tendría el índice de Miller (1 3), la cara similar en la parte inferior del cristal, cortando un positivo, b positivo, y ejes negativa C se tienen el índice de Miller (11 ). Vea si puede determinar los índices de Miller de los 8 caras en la parte posterior del cristal que no se ven en este dibujo. Tenga en cuenta una vez más que mover un paralelo cara a sí mismo no cambia los parámetros ni el índice de Miller para esa cara. Para referirse a una cara en general que interseca los tres ejes cristalográficos donde los

parámetros no son conocidos, se utiliza la notación (hkl). Para una cara que intersecta los ejes b y c con intercepta generales o desconocida la notación sería (0kl), por una cara de la intersección y un eje c, pero paralelo a b la notación sería (h0l), y de manera similar para una cara intersectan los ejes A y B, pero paralelo a c que se utiliza la notación (hk0). Esta notación índice de Miller se aplica muy bien a cristales en los triclínico, sistemas monoclínico, ortorrómbica, tetragonal, e isométrica, pero requiere algunas modificaciones que deben aplicarse al sistema cristalino hexagonal.

Miller Bravais Indices Dado que el sistema hexagonal tiene tres "a" de ejes perpendiculares al eje "C", tanto los parámetros de una cara y la notación índice de Miller debe ser modificado. Los parámetros modificados e índices de Miller debe reflejar la presencia de un eje adicional. Esta notación modificado se conoce como Miller-Bravais Indices, con la notación general (hkil) Para ver cómo funciona esto, vamos a mirar el rostro sombreado oscuro en el cristal hexagonal que se muestra aquí. Esta cara interseca el lado positivo de un 1 unidad de longitud en el eje 1, el negativo de un 3 eje a 1 unidad de longitud, y no se cruza con los unos 2 ejes o c. Esta cara por lo tanto tiene los siguientes parámetros: 1 a 1 ,  a 2 , -1 a 3 ,  c Inversión de fracciones y de compensación da el índice de MillerBravais: (10 0) Una regla importante a recordar en la aplicación de esta notación en el sistema hexagonal, es que lo que los índices son determinados por h, k, y, i h+k+i=0

Para un cristal hexagonal similares, esta vez con la cara sombreada de corte de los tres ejes, nos encontramos para la cara sombreada en el diagrama que los parámetros son 1 a 1 , 1 a 2 , -1 / 2 a 3 ,  c. Inversión de estas intercepciones se obtiene: 1/1, 1/1, -2 / 1, 1 /  resultando en un índice de Miller-Bravais de (11 0) Nota cómo la "h + k + i = 0" regla se aplica aquí!

Las formas cristalinas A pesar de que no cubriremos esto en detalle en esta conferencia, el siguiente paso es utilizar la notación Índice de Miller para designar formas cristalinas. Una forma cristalina es un conjunto de caras cristalinas que están relacionados entre sí por simetría. Para designar una forma de cristal (que podría implicar muchas caras) se utiliza el índice de Miller, o MillerBravais notación Índice encierra los índices de llaves, es decir {Hkl} o {} hkil Esta notación se llama un símbolo de la forma . A modo de ejemplo, mira el dibujo de cristal que se muestra aquí. Este cristal es el mismo cristal ortorrómbico discutido anteriormente. Tiene dos formas. La forma {111} se compone de los siguientes 8 caras simétricamente relacionados con: (111), (11 ), (1 1), (1 ), ( 11), ( 1 ), ( 1), y ( ).

Esta forma se llama una bipirámide rombal. La otra forma es también una rómbica-bipirámide, sino que consiste en las caras de forma triangular similar a la cara (113). El símbolo de forma para esta forma es {113} y consta de los siguientes 8 caras:

(113), (1 3), (11 ), (1 ), ( 13), ( 1 ), ( 3), y ( ).

Vamos a repasar esto con más detalle en el próximo estudio.

Ejemplos de preguntas sobre este material que pueden formularse en un examen 1. Defina lo siguiente: (a) la relación axial, (b) la cara unidad, (c) la forma cristalina, d) símbolo de la forma, (3) Índice de Miller 2. Explique por qué una cara del cristal se puede mover paralelamente a sí misma sin necesidad de cambiar su índice de Miller 3. ¿Cuál es la importancia de los índices de Miller en cristalografía?

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Mineralogía Prof. Stephen A. Nelson Formulario de Crystal, Zonas, hábito cristalino Esta página fue actualizada el 10-ene-2011

Las formas cristalinas Como se indica al final de la última clase, el siguiente paso es utilizar la notación Índice de Miller para designar formas cristalinas. Una forma cristalina es un conjunto de caras cristalinas que están relacionados entre sí por simetría. Para designar una forma de cristal (que podría implicar muchas caras) se utiliza el índice de Miller, o Miller-Bravais notación Índice encierra los índices de llaves, es decir {101} o {11 1} Esta notación se llama un símbolo de la forma . Un punto importante a destacar es que un formulario se refiere a una cara o un conjunto de caras que tienen la misma disposición de los átomos. Por lo tanto, el número de caras de una forma depende de la simetría del cristal. Formas generales y formas especiales Una forma general es una forma en una clase especial de cristal que contiene caras que se cortan todos los ejes cristalográficos en diferentes longitudes. Tiene la forma de símbolos {hkl} Todas las otras formas que pueden estar presentes son llamados formas especiales . En el monoclínico, triclínico, y sistemas ortorrómbicos de cristal, la forma {111} es una forma

general, porque en estos sistemas se enfrenta de esta forma se cruzan las a, b, y c ejes a diferentes longitudes debido a que las longitudes de unidad son diferentes en cada eje . En los cristales de mayor simetría, donde dos o más de los ejes tienen igual longitud, de forma general deben intersectar los ejes de igual longitud en diferentes múltiplos de la unidad de longitud. Así, en el sistema tetragonal de la forma {121} es una forma general. En el sistema isométrico una forma general tendría que ser algo como {123}. Formas abiertas y las formas cerradas Una forma cerrada es un conjunto de caras cristalinas que encierren completamente el espacio. Así, en clases cristalinas que contienen las formas cerradas, un cristal puede estar compuesto por una sola forma. Una forma abierta es una o más caras de los cristales que no contengan por completo el espacio. 

Ejemplo 1. Pediones son simples formas de enfrentar. Dado que sólo hay una cara en forma de un pedión no completamente puede encerrar el espacio. Por lo tanto, un cristal que tiene pediones sólo, debe tener al menos 3 pediones diferentes para encerrar completamente el espacio.



Ejemplo 2. Un prisma es un tipo 3 o más cara en la que las caras de los cristales son paralelas a la misma línea. Si las caras son paralelas, entonces no se puede encerrar completamente el espacio. Así cristales que tienen prismas también debe tener al menos una forma adicional a fin de encerrar completamente el espacio.



Ejemplo 3. Un bipirámide tiene al menos 6 caras que se reúnen en puntos en los extremos opuestos del cristal. Estas caras completamente puede encerrar el espacio, por lo que es una bipirámide forma cerrada. Aunque un cristal puede estar compuesto por una sola forma de bipirámide, que también puede tener otras formas presentes.

En su libro de texto en las páginas 139 a 142, se forma 1 a 18 son formas abiertas, mientras que las formas de 19 a 48 están cerrados formas. Hay 48 formas posibles que pueden ser desarrolladas como resultado de las 32 combinaciones de simetría. Nosotros aquí discutir algunos, pero no todas estas formas. Pediones A pedión es un proceso abierto , una forma caras. Pediones son las únicas formas que se producen en la clase pedial (1). Desde un pedión no está relacionada con ninguna otra cara por simetría, cada símbolo de forma se refiere a una sola cara. Por ejemplo la forma {100} se refiere sólo a la cara (100), y es diferente de la forma { 00}, que se refiere sólo a la cara ( 00). Tenga en cuenta que mientras que las formas de la clase pedial son pediones, pediones puede ocurrir en otras clases cristalinas.

Pinacoides A pinacoide es un proceso abierto dos caras formulario consta de dos caras paralelas. En el dibujo se muestran cristal de la forma {111} es un pinacoide y consta de dos caras, (111) y ( ). La forma {100} también es un pinacoide que consiste de las dos caras (100) y ( 00). Del mismo modo la forma {010} es un pinacoide que consiste de las dos caras (010) y (0 0), y la forma {001} es una forma de dos caras que consiste de las caras (001) y (00 ). En este caso, tenga en cuenta que al menos tres de las formas anteriores son necesarias para encerrar completamente el espacio. Si bien todas las formas de la clase pinacoide son pinacoides, pinacoides puede ocurrir en clases cristalinas otros también.

Cúpulas Cúpulas son 2 - formas caras abiertas donde las 2 caras están relacionados entre sí por un plano de simetría. En el modelo de cristal que se muestra aquí, las caras sombreadas oscuras pertenecen a una cúpula. Las caras verticales a lo largo del lado del modelo son pinacoides (2 caras paralelas). Las caras de la parte frontal y posterior del modelo no están relacionados unos con otros por simetría, y por lo tanto dos pediones diferentes.

Esfenoides Esfenoides are2 - Frente formas abiertas donde las caras están relacionados entre sí por un eje de rotación 2 veces y no son paralelas entre sí. Las oscuras caras sombreadas triangulares en el modelo que se muestran aquí pertenecen a un esfenoides. Pares de caras verticales similares que cortan los bordes del dibujo son también pinacoides. Las caras superior e inferior, sin embargo, son dos pediones diferentes.

Prismas Un prisma es una forma abierta que consta de tres o más caras paralelas. Dependiendo de la simetría, varios tipos diferentes de prismas son posibles.



Prisma trigonal: 3 - forma de cara con todas las caras paralelas a un eje de rotación 3 veces



Ditrigonal prisma: 6 - forma de cara con las 6 caras paralelas a un eje de rotación 3-fold. Tenga en cuenta que la sección transversal de esta forma (que se muestra a la derecha del dibujo) no es un hexágono, es decir, que no tiene 6 simetría de rotación.



Prisma rómbico: 4 - Formulario de cara con todas las caras paralelas a una línea que no es un elemento de simetría. En el dibujo a la derecha, las 4 caras sombreadas pertenecen a un prisma rómbico. Las otras caras de este modelo son pinacoides (las caras de los lados pertenecen a un pinacoide lado, y las caras en la parte superior e inferior pertenecen a un pinacoide superior / inferior).



Prisma tetragonal: 4 - faced forma abierta con todas las caras paralelas a un eje de rotación 4 veces o . Las 4 caras laterales de este modelo constituyen el prisma tetragonal. Las caras superior e inferior representan la forma de una llama pinacoide arriba / abajo.



Ditetragonal prisma: 8 - forma de cara con todas las caras paralelas a un eje de rotación 4 veces. En el dibujo, las 8 caras verticales componen el prisma ditetragonal.



Prisma hexagonal: 6 - forma de cara con todas las caras paralelas a un eje de rotación 6 veces. Las 6 caras verticales en el dibujo forman el prisma hexagonal. De nuevo las caras en la parte superior e inferior son la forma pinacoide arriba / abajo.



Dihexagonal prisma: 12 - faced forma con todas las caras paralelas a un eje de rotación 6 veces. Tenga en cuenta que una sección transversal horizontal de este modelo tendría aparente 12-simetría de rotación. El prisma dihexagonal es el resultado de planos de simetría paralelos al eje de rotación 6 veces.

Pirámides Una pirámide es un 3, 4, 6, 8 o 12 forma cara abierta donde todas las caras en la forma de satisfacer, o pueden satisfacer si se extiende, en un punto.



Trigonal pirámide: 3-cara de forma que todas las caras están relacionadas por un eje de rotación 3-fold.



Ditrigonal pirámide: Formulario 6-faced donde todas las caras están relacionadas por un eje de rotación de tres veces. Tenga en cuenta que si se mira desde arriba, la pirámide ditrigonal no tienen una forma hexagonal; su sección transversal se parecería más a la del prisma trigonal discutido anteriormente.



Rómbico pirámide: Formulario de 4 caras donde las caras se relacionan mediante planos de simetría. En el dibujo se muestran los rostros marcados con "p" son las cuatro caras de la pirámide romboidal. Si se extienden, las 4 caras se encuentran en un punto.



Tetragonal pirámide: 4-faced forma en que las caras están relacionadas por un eje 4. En el dibujo de las caras triangulares pequeños que cortan las esquinas representan la pirámide tetragonal. Tenga en cuenta que si se extendiera, estos 4 caras se encuentran en un punto.



Ditetragonal pirámide: Formulario 8-faced donde todas las caras están relacionadas por un eje 4. En el dibujo se muestra aquí, la parte superior 8 caras pertenecen a la forma de pirámide ditetragonal. Tenga en cuenta que las caras verticales pertenecen al prisma ditetragonal.



Hexagonal pirámide: Formulario 6-faced donde todas las caras están relacionadas por un eje 6. Si se mira desde arriba, la pirámide hexagonal tendría una forma hexagonal.



Dihexagonal pirámide: 12-faced formulario donde todos los rostros están relacionadas por un eje de 6 veces. Esta forma resulta de planos de simetría que son paralelas al eje 6 veces.

Bipirámides Bipirámides están cerrados formas que consisten en 6, 8, 12, 16, o las caras 24. Bipirámides son pirámides que se reflejan a través de un plano de simetría. Por lo tanto, se producen en las clases cristalinas que tienen un espejo plano perpendicular a un eje de rotación o rotoinversion.



Bipirámide trigonal: 6-cara con forma de caras relacionadas por un eje 3 veces con un plano de simetría perpendicular. En este dibujo, las seis caras pertenecen a la bipirámide trigonal.



Ditrigonal-bipirámide: 12-cara con forma de caras relacionadas por un eje 3 veces con un plano de simetría perpendicular. Si se mira desde arriba, el cristal no tendrá una forma hexagonal, sino que tendría un aspecto similar a la sección transversal horizontal del prisma ditrigonal, discutido anteriormente.



Bipirámide rombal: 8-faced forma de caras relacionadas por una combinación de dos veces los ejes y planos de espejo. El dibujo de la derecha muestra 2 bipirámides rómbicas. Uno tiene el símbolo de la forma {111} y se compone de las cuatro caras más grandes se muestra más cuatro caras equivalentes en la parte posterior del modelo. El otro tiene el símbolo de la forma {113} y consta de las 4 caras más pequeñas que se muestran más los cuatro en la parte posterior.



Bipirámide tetragonal: 8-cara con forma de caras relacionadas por un eje 4 veces con un plano de simetría perpendicular. El dibujo muestra la bipirámide tetragonal 8-caras. También se muestra el prisma tetragonal 4 de rostro y la parte superior dos caras / inferior pinacoide.

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Bipirámide ditetragonal: 16-cara con forma de caras relacionadas por un eje 4 veces con un plano de simetría perpendicular. El bipirámide ditetragonal se muestra aquí. Tenga en cuenta los paramentos verticales pertenecen a un prisma ditetragonal.

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Bipirámide hexagonal: 12-cara con forma de caras relacionadas por un eje 6 veces con un plano de simetría perpendicular. Las caras verticales en este modelo constituyen un prisma hexagonal.

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Dihexagonal bipirámide: 24-cara con forma de caras relacionadas por un eje 6 veces con un plano de simetría perpendicular.

Trapezoedros Trapezohedron están cerrados 6, 8, o 12 formas de cara, con 3, 4, o 6 caras superiores de desplazamiento de 3, 4, o 6 caras inferiores. Los resultados trapezoedro de 3 -, 4 -, o ejes 6-fold combinado con una perpendicular de 2 veces eje. Un ejemplo de un tetragonal trapezoedro se muestra en el dibujo a la derecha. Otros ejemplos se muestran en su libro de texto.

Escalenoedros A escalenoedro es una forma cerrada con 8 o 12 caras. En las caras idealmente desarrollados cada una de las caras es un triángulo escaleno. En el modelo, tenga en cuenta la presencia de la perpendicular rotoinversion 3 veces eje a los 3 2-ejes binarios.

Romboedros Un romboedro es 6-faced forma cerrada en la que las caras de la parte superior 3 se compensan con 3 boca abajo idénticas caras en la parte inferior, como resultado de un eje rotoinversion 3 veces. Romboedros también puede resultar de un eje 3 veces con 2 perpendiculares ejes binarios. Romboedros sólo se producen en las clases de cristal 2 / m, 32, y .

Disphenoids A disphenoid es una forma cerrada que consta de 4 caras. Estos son sólo está presente en el sistema ortorrómbico (clase 222) y el sistema tetragonal (clase )

El resto de las formas se presentan también en el sistema isométrico, y por lo tanto tener cuatro 3 ejes binarios o cuatro ejes. Sólo algunas de las formas isométricas más comunes se discuten aquí.

Hexaedro Un hexaedro es el mismo como un cubo. 4 ejes binarios son perpendiculares a la cara del cubo, y cuatro ejes ejecutar a través de las esquinas del cubo. Tenga en cuenta que el símbolo de la forma de un hexaedro es {100}, y se compone de los siguientes 6 caras: (100), (010), (001), ( 00), (0 0), y (00 ).

Octaedro Un octaedro es una forma de 8 caras que los resultados forman tres ejes de 4 veces con planos de simetría perpendiculares. El octaedro tiene el símbolo de la forma {111} y consta de los siguientes 8 caras: (111), ( ), (1 1), (1 ), ( 1), ( 1 ), (11 ), y ( 11). Tenga en cuenta que cuatro de 3 ejes binarios están presentes que son perpendiculares a las caras triangulares del octaedro (estos ejes de 3 veces no se muestran en el dibujo).

Dodecaedro Un dodecaedro es un cerrado 12-faced formulario. Dodecaedros se puede formar cortando los bordes de un cubo. El símbolo de forma de un dodecaedro es {110}. Como ejercicio, a calcular los índices de Miller para estos 12 rostros.

Tetrahexaedro El tetrahexaedro es una forma 24-cara con un símbolo de forma general de 0HL {} Esto significa que todas las caras son paralelas a uno de los ejes a, y se intersecan con los otros 2 ejes a diferentes longitudes.

Trapezohedron Un trapezoedro isométrica es una forma cerrada 12-cara con el símbolo de forma general {} hhl. Esto significa que todas las caras se cruzan dos de los ejes en una longitud igual y se cruzan el tercero un eje a una longitud diferente.

Tetraedro El tetraedro se produce en la clase 3m y tiene el símbolo de la forma {111} (la forma mostrada en el dibujo) o {1 } 1 (2 formas diferentes son posibles). Es una forma de cuatro caras que los resultados formar tres ejes y cuatro ejes 3 veces (no mostrado en el dibujo).

Gyroid A giroide es una forma en la clase 432 (nota no planos de simetría)

Piritoedro El piritoedro es una forma 12-cara que se produce en la clase de cristal 2 / m . Tenga en cuenta que no hay ejes de 4 veces en esta clase. Las formas posibles son h0l {} o {} 0kl y cada una de las caras que componen la forma tiene 5 lados.

Diploide El diploide es la forma general {hkl} de la clase diploidal (2 / m ). De nuevo no hay ejes de 4 veces.

Tetartoid Tetartoids son formas generales de la clase tetartoidal (23), que sólo tiene tres ejes binarios y los ejes de 2 veces sin planos de simetría.

Entender Índices de Miller, símbolos de la Forma y Formularios En la clase vamos a rellenar la siguiente tabla para ayudarle a entender mejor la relación entre la forma y caras del cristal. La tarea será determinar para cada formulario aparece en la parte

superior de la tabla el número de caras en esa forma, el nombre de la forma, y el número de direcciones de escisión que el símbolo de forma que implicaría para cada una de las clases enumeradas en el cristal la columna de la izquierda. Antes de que podamos hacer esto, sin embargo, tenemos que ver la manera de definir los ejes cristalográficos en relación con los elementos de simetría en cada uno de los sistemas cristalinos. Triclínico - Dado que esta clase tiene simetría bajo tal que no hay restricciones en los ejes, pero la cara más pronunciada se debe tomar como paralelo al eje c. Monoclínico - El eje 2 veces es el eje b, o si solamente un plano de simetría está presente, el eje B es perpendicular al plano de simetría. Ortorrómbica - La convención actual es tomar el eje más largo como b, el eje intermedio es a, y el eje más corto es c. Una convención mayor era para tomar el eje c como el más largo, el eje intermedio b, y el eje de una como el más corto. Tetragonal - El eje c es o bien el eje de rotación 4 veces o el eje rotoinversion. Hexagonal - El eje c es el 6 veces, 3 veces, eje o . Isométrica - La longitud igual unos ejes son o bien los 3 4-plegado ejes de rotación, los ejes rotoinversion, o, en los casos en que no 4 o ejes están presentes, los 3 2-ejes binarios.

{010} Simetría

Faces #

Formulario

{001} # Llegar Cleavage

Faces #

Formulario

# Llegar Cleavage

1 2 2/m 2/m2/m2/m 4/m2/m2/m 4/m 2/m

{110} Simetría 1 2

Faces #

Formulario

{111} # Llegar Cleavage

Faces #

Formulario

# Llegar Cleavage

2/m 2/m2/m2/m 4/m2/m2/m 4/m 2/m

Zonas y Símbolos de Zona Una zona se define como un grupo de caras cristalinas que se cruzan en los bordes paralelos. Dado que los bordes todo será paralela a una línea, se puede definir que la dirección de la línea usando una notación similar a Índices de Miller. Esta notación se llama el símbolo de la zona . El símbolo de la zona parece un Índice de Miller, pero está encerrado entre corchetes, es decir [uvw]. Para un grupo de caras en la misma zona, se puede determinar el símbolo de la zona para todos los minerales no-hexagonal, eligiendo dos caras no paralelas (hkl) y (PQR).

Para ello, escribimos el índice de Miller para cada cara dos veces, una cara directamente debajo de la otra, como se muestra a continuación. El primer y último número en cada línea se descartan. Entonces aplicamos la siguiente fórmula para determinar los índices en el símbolo de la zona. u = k * r - l * q, v = l * p - h * r, y w = h * q - k * p Por ejemplo, las caras (110) y (010) no son paralelos entre sí. El símbolo de la zona de estas caras (y cualesquiera otras caras que se encuentran en la misma zona) se determina por escrito 110 dos veces y luego inmediatamente a continuación, escribir 010 dos veces. Aplicando la fórmula anterior muestra el símbolo de la zona para esta zona como [001].

Tenga en cuenta que este símbolo de la zona implica una línea que es perpendicular a la cara con el mismo índice. En otras palabras, [001] es una línea perpendicular a la cara (001). Por lo tanto, se puede utilizar como un símbolo de una línea. En este caso, la línea es el eje cristalográfico c.

Símbolos de zona, por lo tanto, a menudo se utilizan para denotar direcciones a través de cristales. Ser capaz de especificar las direcciones en los cristales es importante porque muchas propiedades de los minerales depende de la dirección. Estos se llaman propiedades vectoriales.

Propiedades vectoriales de Cristales Aunque una estructura de cristal es una disposición ordenada de átomos en una retícula, como hemos visto, el orden puede ser diferente a lo largo de distintas direcciones en el cristal. Así, algunas propiedades de los cristales depende de la dirección. Estos se denominan propiedades vectoriales, y se pueden dividir en dos categorías: continuos y discontinuos. Continua Propiedades Vectorial Continuas propiedades vectorial depende de la dirección, pero a lo largo de cualquier dada la dirección de la propiedad es el mismo. Algunas de las propiedades vectoriales continuos son: 

Dureza - En algunos minerales que hay una diferencia en la dureza en diferentes direcciones en el cristal. Ejemplos: cianita, biotita, moscovita. Esto puede convertirse en una importante propiedad de la identificación y / o puede conducir a confusión acerca de la dureza si uno no es consciente de la dependencia direccional.



La velocidad de la luz (índice de refracción) - Para todos los minerales, excepto aquellos en el sistema isométrico, la velocidad de la luz es diferente, ya que la luz viaja a lo largo de diferentes direcciones en el cristal. Vamos a utilizar esta dependencia direccional de velocidad de la luz como una herramienta importante en la segunda mitad del curso. Índice de refracción se define como la velocidad de la luz en un vacum dividida por la velocidad de la luz en el material. Debido a que la velocidad de la luz depende de la dirección, el índice de refracción dependerá también de dirección.



Conductividad Térmica - La capacidad de un material para conducir el calor se llama conductividad térmica. Como la luz, el calor puede ser llevado a cabo a diferentes velocidades a lo largo de diferentes direcciones en los cristales.



Conductividad eléctrica - La capacidad de un material para permitir el paso de electrones se llama conductividad eléctrica, que es también direccionalmente dependiente excepto en los cristales isométricos.



Expansión Térmica - ¿Cuánto la red cristalina se expande cuando se calienta se conoce como expansión térmica. Algunos cristales se expanden más en una dirección que en otras, por lo tanto la expansión térmica es una propiedad vectorial.



Compresibilidad - La compresibilidad es una medida de cómo la red se reduce como átomos se pone más cerca a presión. Algunas direcciones en los cristales pueden ser más compresible que otros.

Discontinuos Propiedades Vectorial Discontinuos propiedades vectoriales se refieren sólo a ciertas direcciones o planos dentro de un cristal. Para este tipo de propiedades, direcciones intermedias pueden no tener valor de la propiedad. Entre las propiedades vectoriales discontinuos son: 

Cleavage - La escisión se define como un plano dentro de la red a lo largo de la cual se produce la rotura más fácilmente que a lo largo de otras direcciones. Una dirección de escisión se desarrolla a lo largo de zonas de debilidad en la red cristalina. La escisión es discontinua debido a que sólo se produce a lo largo de ciertos planos.



Tasa de crecimiento - tasa de crecimiento se define como la velocidad a la que los átomos se pueden añadir con el cristal. En algunas direcciones menos átomos debe ser añadido al cristal que en otras direcciones, y por lo tanto algunas direcciones pueden permitir un crecimiento más rápido que otros.



Caudal de la solución - caudal de la solución es la velocidad a la que puede ser un sólido disuelto en un disolvente. En este caso, depende de la forma unida firmemente los átomos están en la estructura cristalina, y esto por lo general depende de la dirección. Crystal Habit

En la naturaleza cristales perfectos son raros. Las caras que se desarrollan en un cristal dependerá del espacio disponible para que los cristales crezcan. Si los cristales crecen uno dentro de otro o en un entorno restringido, es posible que no las caras cristalinas bien formadas se desarrollará. Sin embargo, los cristales de desarrollar ciertas formas veces más frecuentemente que otros, aunque la simetría puede no ser fácilmente evidentes a partir de estas formas comunes. El término utilizado para describir la forma general de un cristal es costumbre. Algunos hábitos cristalinos comunes son como sigue. 

Cubic - formas cúbicas



Octaédrica - en forma de octaedros, como se describió anteriormente.



Tabular - formas rectangulares.



Equant - un término usado para describir los minerales que tienen la totalidad de sus límites de longitud aproximadamente igual.



Fibrosa - racimos alargados de fibras.



Acicular - cristales largos y delgados.



Prismático - abundancia de las caras del prisma.



Bladed - como una cuña o cuchilla



Dendríticas - la árbol-como crecimientos



Botrioidales - formas bulbosas lisos

Ejemplos de preguntas sobre este material que pueden formularse en un examen 1. Definir los siguientes que se refieren a formas cristalinas: (a) Pedion, (b) pinacoide, (c) prisma, (d) la pirámide, (e) bipirámide, octahedrn, (f) dodechahedron. 2. ¿Cuál es la diferencia entre una forma cerrada y forma abierta. 3. ¿Qué es una zona de anotación y lo usamos para indicar una zona o una dirección en un cristal? 4. Dada la simetría de un cristal y un símbolo de la forma, será capaz de determinar el número de caras que se producen en la forma (como en las tablas de ejemplo, más arriba). 5. ¿Cuál es la diferencia entre una propiedad vectorial continuo y una propiedad vectorial discontinuo? Dé algunos ejemplos de cada uno.

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Materiales de la Tierra Prof. Stephen A. Nelson

Proyección estereográfica de las caras de cristal Esta página fue actualizada el 07-Sep-2010

Ángulos cristalográficos

En primer lugar, definimos el ángulo interfacial entre dos caras de los cristales como el ángulo entre las líneas que son perpendiculares a las caras. Tal líneas se llaman los polos a la cara del cristal. Tenga en cuenta que este ángulo se puede medir fácilmente con un dispositivo llamado un goniómetro de contacto. A continuación, necesitamos una forma sistemática para definir ángulos cristalográficos. Para ello se utilizan una proyección esférica. Imaginemos que tenemos un cristal en el interior de una esfera. De cada cara del cristal trazamos una línea perpendicular a la cara (postes a la cara).

El polo de un hipotético (010) cara coincidirá con la b eje cristalográfico, y incidirá en el interior de la esfera en el ecuador. Definimos esta cara (010) que tiene una  ángulo de 0 o . Para cualquier otra cara, la  ángulo se mide desde el b eje en un sentido agujas del reloj en el plano del ecuador. Se define la  ángulo, como el ángulo entre la c eje y el polo de la cara del cristal, medido hacia abajo desde el polo norte de la esfera. En el diagrama se muestra aquí, una cara del cristal tiene un  ángulo medido en el plano vertical que contiene el eje de la esfera y la cara polar, y una  ángulo medido en el plano ecuatorial horizontal. Tenga en cuenta que la cara (010) tiene un  = ángulo de 90 o .

Tenga en cuenta que estas medidas angulares son similares a los que usamos para latitud y longitud a las posiciones de la trama de puntos en la superficie de la Tierra. Para la Tierra, la longitud es similar a la  ángulo, excepto la longitud se mide desde el meridiano de Greenwich, definido como  = 0 o . La latitud se mide en el plano vertical, hacia arriba desde el ecuador, que se muestra como el ángulo  . Por lo tanto, la  ángulo es lo que se llama la colatitud (90 o - latitud).

Como ejemplo, el  y  ángulos de la cara del cristal (111) en un modelo de cristal se muestra aquí. Nótese de nuevo que la  ángulo es medido en el plano vertical que contiene el c eje y el polo de la cara, y la  ángulo es medido en el plano horizontal, en sentido horario desde la b eje.

En general, es que los ángulos de la proyección esférica,  y  , que se dan para cada cara de un cristal. Si estos son conocidos, entonces los ángulos real entre dos caras se puede obtener fácilmente a través de la trigonometría, o mediante el uso de la stereonet como se discute a continuación. Recuerde que es las relaciones angulares entre las caras cristalinas que en realidad refleja la disposición ordenada interna de los átomos y por lo tanto la simetría interna en la que se basa la simetría externa de un cristal. Así, incluso en cristal distorsionada que presentan caras de cristal, la simetría puede ser determinada por las relaciones angulares. Esto es más fácil para ver si podemos invocar un método de proyección de ángulos cristalográficos llama proyección estereográfica. Proyección estereográfica Proyección estereográfica es un método utilizado en cristalografía y geología estructural para representar las relaciones angulares entre las caras de cristal y estructuras geológicas, respectivamente. Aquí se discute el método utilizado en la cristalografía, pero es similar al método usado en geología estructural.

Imaginar otra vez que tenemos un cristal dentro de una esfera. Esta vez, sin embargo, primero se verá en una sección transversal de la esfera como se muestra en el diagrama de la izquierda abajo. Orientamos el cristal de modo que el polo de la cara (001) (eje c) es vertical y señala el polo norte de la esfera. Para la cara (011) dibujamos el poste a la cara a la intersección con el exterior de la esfera. A continuación, trazamos una línea desde el punto de la esfera directamente al polo sur de la esfera. Cuando esta línea se cruza con el plano ecuatorial es donde trazamos el punto. La proyección estereográfica a continuación aparece en el plano

ecuatorial.

En la mano derecha diagrama vemos la proyección estereográfica de las caras de un cristal isométrica. Nótese cómo el  ángulo se mide como la distancia desde el centro de la proyección a la posición donde las parcelas cara del cristal. La  ángulo se mide alrededor de la circunferencia del círculo, en una dirección de las agujas del reloj desde el eje cristalográfico b o la posición de trazado de la cara (010) de cristal.

Con el fin de hacer de trazado de la proyección estereográfica más fácil, un dispositivo llamado una red estereográfica o stereonet utiliza. Tal stereonet se muestra en el siguiente diagrama. Aunque el norte (N) y sur (S) se muestran en la stereonet, éstos no corresponden a los Polos Norte y Sur tal como se define en la proyección anterior. Sin embargo, al trazar los datos direccionales en geología estructural, representan el Norte y Sur geográficos.

Como se define en nuestra proyección, los polos N y S que trazar directamente por encima y por debajo del centro de la stereonet.

Por stereonet, vemos varios componentes diferentes que definimos aquí. 

El Círculo Primitivo es el círculo que rodea al stereonet.



Grandes círculos son las líneas curvas que conectan los puntos etiquetados N y S en el stereonet. La EW y NS ejes, así como el Círculo Primitivo también son círculos máximos. relaciones angulares entre los puntos sólo se puede medir en grandes círculos .



Los círculos pequeños son las líneas curvas que muy curva hacia arriba y hacia abajo en la stereonet.

Las caras superiores de un cristal isométrica se representan gráficamente en la stereonet

anteriormente. Estas caras pertenecen a formas {100}, {110} y {111}. Tenga en cuenta que las caras (111) y (110) tienen ambos una  ángulo de 45 o . El  ángulo de estas caras se mide a lo largo de una línea desde el centro de la stereonet (donde los (001) parcelas cara) hacia el borde. Por la cara (111) de la  ángulo es 45 o , y para el (110) frente a la  ángulo es de 90 o . En Lab, su instructor le mostrará cómo construir un stereonet para el trazado caras del cristal. Esta consistirá en una stereonet montado sobre una pieza de cartón con una tachuela a través del centro. A continuación, puede colocar una hoja de papel de calcar sobre la stereonet y girar alrededor de la chincheta. Las siguientes reglas se aplican: 1. Todas las caras de los cristales se representan como polos (líneas perpendiculares a la cara del cristal. Así, los ángulos entre las caras cristalinas son realmente los ángulos entre los polos a caras del cristal. 2. El b eje cristalográfico se toma como punto de partida. Tal eje será perpendicular a la cara de cristal (010) en cualquier sistema de cristal. La [010] Eje (símbolo de nota zona) o (010) cara del cristal por lo tanto, representar en  = 0 o y  = 90 o . 3. Positivas  ángulos se miden en sentido horario en la stereonet, y negativos  ángulos se miden en sentido antihorario en la stereonet. 4. Caras de los cristales que se encuentran en la parte superior del cristal ( < 90 o ) se representan como círculos abiertos, y caras de los cristales en la parte inferior del cristal (  > 90 o ) se representan como signos "+". 5. Coloque una hoja de papel de calcar sobre la stereonet y trazar el gran círculo más externo. Hacer una marca de referencia en el lado derecho del círculo (East). 6. Para dibujar un rostro, mida primero la  ángulo a lo largo del gran círculo más exterior, y hacer una marca en su papel de calco. Siguiente girar el papel de calco manera que la marca se encuentra en el extremo del eje de la EW stereonet. 7. Medir la  ángulo hacia fuera desde el centro de la stereonet lo largo del eje de la EW stereonet. Tenga en cuenta que los ángulos sólo se puede medir a lo largo de círculos grandes. Estos incluyen el círculo primitivo, y el eje EW y NS de la stereonet. 8. Las dos caras de la misma gran círculo se encuentran en la misma zona. Las zonas pueden ser mostradas como líneas que atraviesan el gran círculo que contiene los rostros en esa zona. El eje de zona se pueden encontrar mediante el establecimiento de dos caras en la zona en el círculo mismo, y contando 90 o lejos de la intersección de la gran círculo a lo largo del eje EW. 9. Para trazar los ejes de simetría en la stereonet, utilice las siguientes convenciones: = 2fold eje = 3-fold eje = eje de 4 veces = 6-fold eje = eje = eje = eje

Como ejemplo todas las caras, superior e inferior, para un cristal de la clase 4 / m 2 m / en las formas {100} (hexaedro - 6 caras), {110} (dodecaedro, 12 caras), y { 111} (octaedro, 8 caras) en el estereograma a la derecha. Ejes de rotación se indica con los símbolos como se discutió anteriormente. Planos de simetría se muestran como líneas continuas y las curvas, y el círculo primitivo representa un plano de simetría. Nótese cómo la simetría del cristal se puede observar fácilmente en la estereograma.

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Mineralogía Prof. Stephen A. Nelson

Cálculos cristalográficos Esta página fue actualizada el 07-Sep-2010

Cálculos cristalográficos Cálculos cristalográficos incluir lo siguiente: 1. Índices de Miller ( hkl ) 2. Relaciones axiales -. A: 1: c 3.  y  ángulos correspondientes a un índice de Miller ( hkl ) 4. ángulos entre ejes cristalográficos si en monoclínico o triclínico sistemas. La mayoría de lo que va a hacer en el laboratorio o en los exámenes implicará cálculos cristalográficos en los sistemas ortorrómbica, tetragonal, hexagonal o isométrica, donde los ángulos de los ejes son fijos. Tenga en cuenta que siempre se le dará la información suficiente para resolver el problema. Algunos de los problemas que podría esperarse para resolver implican la determinación de los índices de Miller de la  e  ángulos, para determinar el  e  ángulos de las caras conocidas de mineral con proporciones axiales, o para determinar las relaciones axiales de minerales que tienen rostros de conocidos  e  ángulos. En primer lugar vamos a repasar algunas de las cosas que sabemos sobre los índices de Miller y e ángulos. En los sistemas ortorrómbica, tetragonal o isométrico. 

Si h es 0, es decir ( 0kl ) es el índice de Miller, a continuación, la cara es paralela a la de

un eje cristalográfico. Por lo tanto, = 0 o o = 180 o 

Si k es 0, es decir ( h0l ) es el índice de Miller, a continuación, la cara es paralela a la b eje cristalográfico. Por lo tanto, = 90 o o = 270 o



Si l es 0, es decir ( hk0 ) es el índice de Miller, a continuación, la cara es paralela a la c eje cristalográfico. Por lo tanto, = 90 o



Si h y k son 0, es decir, ( 00L ) es el índice de Miller, a continuación, la cara es perpendicular a la c eje Así, = 0 o o = 180 o , y es indefinido.



Si h y l son 0, es decir, ( 0K0 ) es el índice de Miller, a continuación, la cara es perpendicular a la b eje. Por lo tanto, = 90 o y = 0 o o = 180 o .



Si l y k son 0, es decir, ( H00 ) es el índice de Miller, a continuación, la cara es perpendicular a la de un eje. Por lo tanto, = 90 o y = 90 o o = 270 o .

Ahora vamos a ver algunos ejemplos 1. Teniendo en cuenta los índices de Miller y y ángulos de las caras cristalinas que, en combinación, se cruzan todos los ejes cristalográficos, calcular las relaciones axiales del mineral. a. Caras   (110) 90 o 45 o (011) 70 o 0o

Para el (110) observamos que no forma intersección con el eje c, por lo que podemos ver en el plano de dos dimensiones que contiene A y B hachas, como se muestra en el dibujo de abajo. De esta cara que debe ser capaz de determinar la relación A / B axial. Puesto que la  ángulo es el ángulo entre la normal a la cara y el eje b, por triángulos semejantes sabemos que la  ángulo también se produce entre el eje A y la cara.

Por lo tanto, podemos escribir: tan 45 o = 1b/1a entonces 1a/1b 1/tan = 45 o = 1 Así, a / b: b / b = 1: 1

Señalamos a continuación que el (011) se cruza con los ejes B y C solamente, para que podamos examinar esta cara en el plano que contiene sólo B y C, como se muestra a continuación. De este dibujo se puede obtener la relación de c / b axial. Dado que el  ángulo es el ángulo entre el poste a la cara y el eje c, de nuevo por triángulos semejantes sabemos que la  ángulo también se produce entre el eje B y la cara (011).

Por lo tanto, podemos escribir: tan 70 o = 1c/1b entonces c / b = arctan 70 o Por lo tanto, c / b = 2,7475 así, a: b: c = 1: 1: 2,7475 y el mineral debe ser tetragonal, ya que a / b = 1.

b.

Caras   (120) 90 o 70 o (011) 32 o 0o La cara (120) no intersecta el eje c, por lo que podemos ver esta cara en el plano que contiene sólo los ejes a y b. Hay que recordar también que Índices de Miller representan la inversa de los intercepta, por lo que la cara (120) corta el eje de una a dos veces el número de longitudes de unidad que se interseca con el eje b. Puesto que la  ángulo es el ángulo entre la normal a la cara y el eje b, por triángulos semejantes sabemos que la  ángulo también se produce entre el eje de una y la cara (120).

Entonces podemos escribir: tan 70 o = 1b/2a a / b = 1/2tan70 o 1a/1b = 0,18199

Señalamos a continuación que el (011) se cruza con los ejes B y C solamente, para que podamos examinar esta cara en el plano que contiene sólo B y C, como se muestra a continuación. De este dibujo se puede obtener la relación de c / b axial. Dado que el  ángulo es el ángulo entre la cara y el eje c, de nuevo por triángulos semejantes sabemos que la  ángulo también se produce entre el eje B y la cara (011).

En esta cara se puede determinar que tan 32 o = 1c/1b 1c/1b = 0,6248

así, a: b: c = 0,18199: 1: 0,6248, y el mineral es ortorrómbica c. Faces   (311) 24 o 33 o Esta cara es más complicado porque se cruza con los tres ejes.

En primer lugar, tratar de dibujar una vista 3dimensional de esta cara. Observe que la  ángulo es medido en el plano horizontal que incluye los ejes a y b. El  ángulo es medido en un plano vertical que incluye el c eje y la línea normal a la cara en la a -. plano horizontal b, y se mide entre el eje c, y una línea normal a la cara Tenga en cuenta también, que para la (311) cara, la intersección con el eje a es 1/3 lo que es en la b y c ejes, debido a que el índice de Miller es la inversa de los intercepta ..

Podemos determinar el a / b parte de la relación axial mirando a la proyección de esta cara en el a - b plano. 1b / (1/3) a = tan 33 o 1a/3b = 1/tan 33 1a/1b = 3/tan 33 1a/1b = 4,6196

Con el fin de determinar la longitud de la c eje, es necesario conocer la longitud de la línea denominada t, porque esta línea forma la base del triángulo en el que la  se mide el ángulo. La longitud de la línea t es: t / b = cos 33 o t / b = 0,8397 t = 0,8397 b

Ahora podemos usar esto para determinar la relación c / b axial. 1c / t = tan 24 o 1c = 0,8387 b bronceado 24 o c / b = 0,3747

Así, la relación axial para este mineral es 4,6196: 1: 0,3747

Ahora vamos a ver un ejemplo en el que se nos da la relación axial del mineral y pide calcular la y ángulos de las caras. 1. Dada la relación axial para un mineral es 1: 1: 5,0, lo son y para la cara (111).

En primer lugar, tratar de dibujar una vista 3dimensional de esta cara. Observe que el nuevo  ángulo es medido en el plano horizontal que incluye los ejes a y b. El  ángulo es medido en un plano vertical que incluye el eje c y la línea normal a la cara en la a -. plano horizontal b, y se mide entre el eje c, y una línea normal a la cara En este caso la intersección con las de los tres ejes: 1.

Puesto que la  ángulo para esta cara se mide en la horizontal a - b plano, podemos sacar el plano que contiene sólo los unos ejes y b para determinar el ángulo. Puesto que la relación axial nos dice que las longitudes relativas de los ejes a y b son iguales tan  = 1b/1b = 1  = 45 o

Con el fin de determinar el  ángulo, es necesario conocer la longitud de la línea denominada t, porque esta línea forma la base del triángulo en el que la  se mide el ángulo. La longitud de la línea t es: t / b = cos 45 o t = 0,7071 b

Ahora se puede determinar el ángulo por el dibujo del plano que incluye el eje c y la línea t. En este plano se puede dejar que la longitud de la c = 5b, a partir de la relación axial. Entonces: tan  = 5b / t tan  = 5b/0.7071b tan  = 5/0.7071 tan  = 7,071  = arctg (7,071) = 81,95 O Así que para la cara (111) en este cristal  = 81,95 O y  = 45 o .

2. Dado el cristal tetragonal se muestra a continuación y la siguiente información: Para la cara (101) = 70 o = 90 o a. ¿Cuál es la relación axial de este cristal? b. ¿Cuáles son los índices de Miller para las caras etiquetados ( 0kl ) y ( h0l ), dado que ambas caras tienen = 53,9478 o ? a. Para encontrar la relación axial observamos que podemos usar la cara (101) y sacar en este plano de los unos y c ejes (ya que la cara no intersecta el eje b. Entonces, podemos determinar que bronceado = 1c/1a así, tan 70 o = c / a = 2,7475 y la relación axial es: 1: 1: 2,7475 b. Para encontrar los índices de Miller de la cara ( h0l ) se procede de la siguiente manera: Dado que todo lo que necesitamos es la longitud relativa de intersección para el cálculo de los parámetros, se puede asumir una de las longitudes = 1, es decir, 1a. Esto es lo mismo que mover la cara paralela a sí misma de modo que interseca el eje de una en una unidad de longitud de 1. La cara intersecta el eje c en 2.7475x, donde el valor de 2,7475 es la longitud del eje C con respecto a la unidad de longitud del eje a. Entonces

tan (53,9478) = 2.7475x / 1, y por lo tanto, x = 0,5 Los parámetros de este rostro son entonces: 1, , 1/2, que se puede invertir para dar el índice de Miller - (102).

Dado que el mineral es tetragonal, la cara de la etiqueta ( 0HL ) tendría el índice de Miller (012). Problemas como estos se puede pedir en cualquier examen de laboratorio.

http://www.tulane.edu/~sanelson/eens211/index.html http://webmineral.com/help/Forms.shtml#paper