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11-2-2019

Desarrollo del Pensamiento Geométrico

Jaqueline Berrocal Vegas de Chacon UNIVERSIDA ENRRIQUE GUZMAN Y VALLE

Desarrollo del Pensamiento Geométrico

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I.

INTRODUCCIÓN

La experiencia cotidiana del espacio que habitamos, las formas más comunes de los objetos que cohabitan con nosotros en ese espacio, las simetrías que exhiben, es decir las propiedades que conservan ante ciertas transformaciones como reflexiones, rotaciones, traslaciones, expansiones y contracciones, etcétera, lleva de manera natural a conceptos como la de igualdad o congruencia de algunas figuras, la semejanza de otras, el paralelismo y la perpendicularidad entre líneas rectas y el reconocimiento de figuras especiales con simetrías muy particulares como el cuadrado, y la circunferencia. El estudio de las propiedades y relaciones entre todos estos conceptos es lo que constituye la Geometría euclidiana o Geometría clásica. A pesar de que la palabra geometría en griego significa medición de la tierra (queriendo decir medición de terrenos), la medición es solo un aspecto particular de la geometría, del que nos ocupamos a fondo en el siguiente capítulo, y que se distingue de los temas que trataremos en ´este en que aquel requiere de un sistema de numeración. En este capítulo nos ocupamos de los aspectos de la geometría que no requieren de un sistema de numeración, aspectos que los antiguos griegos desarrollaron magistralmente.

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1.1.

Los orígenes del pensamiento geométrico

Los rudimentos de un pensamiento pre-geometrico aparecen en todas las grandes culturas de la antigüedad como la egipcia, la babilonia y la china, pero en forma muy rudimentaria y siempre vinculado a las actividades de medición y cuantificación, como en los casos de longitud, ´área y volumen. De hecho, la palabra Geometría, según sus raíces griegas significa “medición de la tierra”. La cultura Sumeria dejó testimonios de sus intereses y conocimientos en miles de tablillas de arcilla y hay muy poco en ellas que pueda identificarse con una actividad matemática, y mucho menos geométrica. En la cultura de Babilonia, cuyos avances en cuestiones de aritmética y ´algebra son indudables, las manifestaciones geométricas son muy escasas.

Desarrollo del Pensamiento Geométrico 2. HISTORIA DEL PENSAMIENTO GEOMETRICO

La geometría estudia los cuerpos, sus propiedades, las relaciones existentes entre ellos, las propiedades y las características del espacio que permanecen invariantes a través de posibles transformaciones de las figura; estudia también el espacio, los objetos que en él se encuentran y sus movimientos. El objetivo de la enseñanza de la geometría en la escuela es ayudar al alumno a dominar sus relaciones con el espacio para que pueda representar y describir en forma ordenada el mundo en que vivimos y conocer los entes geométricos como modelizaciones de la realidad. El punto de partida de ese conocimiento es el tratamiento intuitivo de las nociones espaciales y geométricas. La construcción del significado de los conceptos espaciales y geométricos se lograra a través de su utilidad para resolver problemas.

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La existencia de los objetos justifica la existencia del espacio. Los procesos cognitivos comienzan a partir del conocimiento de esos objetos; ese conocimiento tiene su raíz en el descubrimiento de la existencia de algo: un objeto que se puede ver, tocar, mover, manipular; es decir, se puede accionar sobre el. El niño llega a la geometría a través de una vinculación empírica con su entorno físico. El espacio en el que se desplaza lo pone en contacto con los cuerpos reales: sus formas, sus características, los elementos que los constituyen, las semejanzas y las diferencias existentes entre ellos, etc. Por esto la enseñanza de la geometría se inicia con los cuerpos reales físicos para pasar luego a los cuerpos geométricos.

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Los conceptos y las propiedades geométricas deben construirse a partir de lo concreto, pero la simple observación no basta para lograr la abstracción de conceptos; es necesario operar sobre los objetos, producir transformaciones en ellos, explóralos a través de los sentidos. La exploración de los cuerpos y figuras se inicia con los elementos que componen el mundo en que vivimos; allí hallaremos un material rico para observar, establecer semejanzas y diferencias, descubrir elementos, comprobar propiedades, etc. Luego pasaremos a los cuerpos geométricos para poder conocerlos in-tegralmente. Ese conocimiento llevará paulatinamente al estudio de entes y propiedades inherentes a la geometría métrica euclidiana que se estudia en la escuela.

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Desarrollo Del Pensamiento Geométrico Según Van Hiele El modelo de Van Hiele abarca dos aspectos fundamentales:  Descriptivo, mediante el cual se identifican diferentes formas de razonamiento geométrico de los estudiantes y se puede valorar el progreso de estos.  Instructivo, que marca unas pautas a seguir por los profesores para favorecer el avance de los estudiantes en su nivel de razonamiento geométrico.

La idea central del componente descriptivo es que a lo largo del proceso del aprendizaje de la geometría los estudiantes pasan por una serie de niveles de razonamiento, secuenciales, ordenados de tal forma que no se puede excluir alguno. Cada nivel supone la comprensión y utilización de los conceptos geométricos de una manera distinta, lo cual muestra una forma diferente de interpretarlos, definirlos, clasificarlos y hacer demostraciones. Mientras que el componente instructivo del modelo, se basa en las fases de aprendizaje, estas constituyen unas directrices para fomentar el desarrollo de la capacidad de

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razonamiento matemático de los estudiantes y el paso de un nivel de razonamiento al siguiente, mediante actividades y problemas particulares para cada fase.

2.2. COMPONENTE DESCRIPTIVO10 Propone cinco niveles de desarrollo del pensamiento geométrico que muestran un modo de estructurar el aprendizaje de la geometría estos niveles son:  NIVEL 1: Visualización y reconocimiento: En este nivel el estudiante percibe el espacio como una totalidad, no identifica diferentes componentes de un todo, es decir el estudiante concibe los espacios y su entorno como algo completo y no se fija en detalles, partes o propiedades del espacio, pueden reconocer figuras, objetos y formas por la percepción visual que tiene de las mismas, pero no tienen en cuenta que tienen unas partes que las conforman y unas propiedades. Las descripciones que se realizan en este nivel son de forma muy visual comparándose con objetos conocidos del entorno.  NIVEL 2: Análisis: el estudiante identifica los componentes generales de un todo y sus características, pero aun no hace relaciones entre ellos, es decir puede identificar que un cuadrado o un rectángulo tiene lados y ángulos pero aun no es capaz de establecer la relación existente entre los lados y los ángulos de ese

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cuadrado o rectángulo, ni la relación existente entre el cuadrado y el rectángulo o clasificarlos según las propiedades que comparten, el estudiante aun no clasifica ni diferencia las figuras de los cuerpos o lo tridimensional de lo bidimensional.

 NIVEL 3: Ordenación o clasificación: el estudiante comprende las características de los componentes de un todo y los clasifica teniendo en cuenta dichas características, en este nivel el estudiante ya realiza clasificaciones teniendo en cuenta las propiedades de las figuras y cuerpos y comprende las relaciones existentes entre las propiedades y sus consecuencias, lo que le permite comprender las definiciones geométricas y empezar a desarrollar conceptos básicos de la geometría formal. Clasifica lógicamente los objetos, realiza razonamientos lógicos formales y comprende pasos individuales de un razonamiento lógico aisladamente.



NIVEL 4: Deducción formal: El estudiante hace relación entre las características de los componentes del todo, comprende la importancia y necesidad de las demostraciones para justificar planteamientos, además comprende y comienza a buscar nuevas formas de llegar a resultados, comprobando su eficacia haciéndose consciente que puede partir de distintas proposiciones a la misma conclusión. En este nivel el estudiante ya tiene un alto nivel de razonamiento lógico, comprende y utiliza definiciones de la geometría como verdaderas e irrefutables, adquiere una visión globalizada de las matemáticas teniendo en cuenta axiomas (verdades no refutables) y el carácter axiomático mismo de las matemáticas.



NIVEL 5: Rigor: En este nivel el estudiante reconoce y comprende sistemas de teorías y axiomas referentes a la geometría y tiene la capacidad de comprender la geometría de forma abstracta, sin necesidad del trabajo concreto o gráfico.

De la misma manera como Piaget propone estadios de desarrollo cognoscitivo secuenciales, este modelo expone lo mismo para los niveles de razonamiento, deben ser secuenciales, no es posible alterar el orden; no se puede pedir a un estudiante que clasifique si antes no ha reconocido los elementos con los cuales va

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a trabajar, o que deduzca sin analizar. Los elementos implícitos en un nivel deben hacerse explícitos en el siguiente. Una de las labores del maestro es ayudar al estudiante a concientizarse del uso de sus razonamientos para el siguiente nivel y además fijarse en el nivel de razonamiento en el que se encuentran sus estudiantes, con el propósito de orientar en forma adecuada y establecer ciertas condiciones de exigencia. El estudiante puede profundizar en un tema determinado y alcanzar el nivel 3 de razonamiento, por ejemplo; pero esto no implica que en los demás temas alcance el mismo nivel. En todo concepto es indispensable el recorrido por cada uno de estos niveles.

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2.3. COMPONENTE INSTRUCTIVO11

Está formado por las cinco fases de aprendizaje:

 FASE 1: Información: Esta fase se logra a través de actividades determinadas con propósitos bien definidos. Se trata de una fase de toma de contactos, el profesor debe informar a los estudiantes sobre el campo de estudio en el que van a trabajar, qué tipo de problemas se van a plantear, qué materiales se van utilizar. Así mismo los estudiantes aprenderán a manejar el material y adquirir una serie de conocimientos básicos imprescindibles para comenzar el trabajo matemático propiamente dicho. También el profesor en esta fase debe averiguar los conocimientos previos de los estudiantes sobre el tema a abordar. Se realiza con el propósito de determinar los preconceptos que poseen los estudiantes sobre el tema especifico y ayuda a ubicar por parte del maestro los estudiantes que tienen claridad sobre el tema y a aquellos a quienes es necesario reforzarles o modificarles las ideas básicas de los conceptos.

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 FASE 2: Orientación Dirigida: La conforman una serie de actividades propuestas por el maestro para el aprendizaje y construcción de los conceptos básicos del objeto de estudio en el momento para la clase de matemáticas. En esta fase los estudiantes comienzan a explorar el campo de estudio por medio de investigaciones basadas en el material que se les proporciona, el objetivo de esta fase es conseguir que los estudiantes descubran, comprendan y aprendan cuales son los conceptos, propiedades, figuras, cuerpos principales en el área de la geometría.  FASE 3: Explicitar: Consiste en argumentar los procedimientos y las respuestas obtenidas en las actividades realizadas. Se socializan los resultados ya sea de manera oral o escrita. Esta fase está presente durante todo el trabajo. La finalidad principal es que los estudiantes intercambien sus experiencias, que comenten las regularidades que han observado, que expliquen cómo han resuelto las actividades, todo esto en un contexto de diálogo en el grupo. Esta fase no es una fase de aprendizaje de cosas nuevas, puesto que es una revisión del trabajo hecho antes, donde se sacan conclusiones de la práctica y de la forma de expresarse.

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 FASE 4: Orientación Libre: Consta de una serie de actividades dirigidas a profundizar los conocimientos adquiridos, a ampliar la aplicación de estos y a relacionarlos. Los estudiantes deben de aplicar los conocimientos y lenguaje que adquirieron a otras investigaciones diferentes, los estudiantes mejoran los conocimientos del tema en estudio, mediante el planteamiento por el profesor de problemas que puedan desarrollarse de diversas formas o que lleven a diferentes soluciones. Las actividades de esta fase deben presentar situaciones nuevas, ser abiertas, con varios caminos de solución.  FASE 5: Integración: Se resume todo lo estudiado intentando integrar los conocimientos nuevos de los ya existentes en el estudiante, ampliando de esta manera la red de conocimientos. En esta fase los estudiantes deben adquirir una visión general de los contenidos y métodos que tienen a su disposición, relacionando los nuevos conocimientos con otros campos que hayan estudiado. Es importante que estas comprensiones globales no le aporten ningún concepto o propiedad nueva al estudiante, solamente debe ser una acumulación, comparación y combinación de cosas que ya conocen.

La finalidad del modelo de Van Hiele, es describir cómo se va cambiando la forma de razonar de los estudiantes mediante los niveles de razonamiento que abarca desde la visión más sencilla de los conceptos geométricos hasta el empleo del razonamiento formal. Ahora bien, esta investigación se centró en los dos primeros niveles de razonamiento: visualización y reconocimiento, análisis; los cuales son la base fundamental de este trabajo, los cuales fueron explicados anteriormente en el componente descriptivo del desarrollo del pensamiento geométrico.

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Desarrollo Del Pensamiento Geométrico Según Holoway Se ha estudiado la evolución del pensamiento geométrico en los niños de corta edad .un autor Holoway , clasifico este pensamiento entre estadios ,el espacio vivido, el espacio percibido y el espacio concebido.



Espacio vivido: es el que manejan los niños de corta edad, hasta los 3 o 4 años .Ese espacio que loe niños recorren ,tocan ,a palpan ,sienten y que generalmente está relacionado con espacios pequeños , el aula los rincones ,el estar debajo de la mesa.



Espacio percibido: Es la posibilidad que tienen los niños mayores de comprender el espacio solo por su percepción visual. Es la posibilidad que tienen los chicos de recorrer sin caminarlo, de decir que algo esta lejos solo con verlo. A través de las diferentes edades se van a tener percepciones distintas ya que estas van ligadas con caudal de información que se va integrando.



Espacio concebido: Es el espacio que los niños van construyendo y esta formado por todas las concepciones, imágenes, conceptos geométricos que les permitan ya no tener que tocar el espacio , no tener que verlo ,sino simplemente imaginarlo. En este estadio el niño puede explicar un recorrido sin verlo.

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Los conocimientos "espacio - geométrico "

La introducción de algunos de estos conocimientos se hace desde la escuela primaria en particular los que atañen a las formas de los objetos y sus propiedades, que permiten el cálculo de las áreas y los volúmenes .

Estos conocimientos tienen una existencia estable. La justificación de su presencia en la enseñanza primaria, sin embargo , ha variado : concebido anteriormente como necesarios para las practicas de mensura ,aparecen en las instrucciones oficiales de 1970 como un lugar de ejercicio del pensamiento matemático , es decir en referencia en el saber erudito , el que es producido por la institución de matemáticos.

.

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Los conocimientos espaciales de base:

Entendemos por esto el lenguaje espacial de las posiciones y los desplazamientos la toma de los fenómenos vinculados a los cambios de puntos de vista , la elaboración y la utilización de representaciones del espacio -entorno ,etc.

Estas nunca fueron reconocidas como importantes en los programas de matemáticas en la escuela primaria. Solo forman parte de los contenidos de enseñanza si se inscriben en una finalidad profesional o en una finalidad disciplinar. Su importancia para el desarrollo de los niños solo se toma efectivamente en el jardín de infantes.

La enseñanza de la geometría remite en la escuela primaria a dos campos de conocimientos. por una parte, el de los conocimientos que el niño que necesita para controlar sus relaciones habituales con el espacio , campo designado desde hace diez años como estructuración de espacio y por otra parte el de la geometría propiamente dicha. Sin embargo ,la distinción entre estos dos campos no está muy clara y la enseñanza de la geometría en la escuela primaria .

La geometría tiene que ver con el espacio, pueden asimilarse los conocimientos espaciales necesarios para la resolución de los problemas que se plantean a todo individuo en sus relaciones con el espacio , a los que corresponden al saber matemático.

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3 ANALISIS DEL PENSAMIENTO GEOMETRICO13:

1. Se perciben las componentes y propiedades (condiciones necesarias) de los objetos y figuras. Esto lo obtienen tanto desde la observación como de la experimentación.

2. De una manera informal pueden describir las figuras por sus propiedades, pero no de relacionar unas propiedades con otras o unas figuras con otras. Como muchas definiciones en Geometría se elaboran a partir de propiedades no pueden elaborar definiciones.

3. Experimentando con figuras u objetos pueden establecer nuevas propiedades. 4. Sin embargo, no realizan clasificaciones de objetos y figuras a partir de sus propiedades.

4 ¿Que entendemos por Pensamiento Geométrico?

Las matemáticas son mucho más que contar y para los niños de edad preescolar que comienzan a entender las relaciones que se dan entre objetos, espacios y lugares para iniciarse al concepto básico de geometría pues ella se encuentra presente en su entorno, porque en él, el niño

interactúa con muchas

formas geométricas (mesa, puerta, ventana, casa, juguetes, etc.) las cuales le permiten orientarse, hacer diferenciación y apreciar la distancia, distribución y ubicación de objetos en el espacio.

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El estudio de las propiedades de nuestro espacio

La experiencia cotidiana del espacio que habitamos, las formas más comunes de los objetos que co-habitan con nosotros en ese espacio, las simetrías que exhiben, es decir las propiedades que conservan ante ciertas transformaciones como reflexiones, rotaciones, traslaciones, expansiones y contracciones, etcétera, lleva de manera natural a conceptos como la de igualdad o congruencia de algunas figuras, la semejanza de otras, el paralelismo y la perpendicularidad entre líneas rectas y el reconocimiento de figuras especiales con simetrías muy particulares como el cuadrado, y la circunferencia. El estudio de las propiedades y relaciones entre todos estos conceptos es lo que constituye la Geometría euclidiana o Geometría clásica. A pesar de que la palabra geometría en griego significa medición de la tierra (queriendo decir medición de terrenos), la medición es solo un aspecto particular de la geometría, del que nos ocupamos a fondo en el siguiente capítulo, y que se distingue de los temas que trataremos en ´este en que aquel requiere de un sistema de numeración. En este capítulo nos ocupamos de los aspectos de la

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geometría que no requieren de un sistema de numeración, aspectos que los antiguos griegos desarrollaron magistralmente. Se ha estudiado la evolución del pensamiento geométrico en los niños de corta edad. un autor Holoway , clasifico este pensamiento entre estadios ,el espacio vivido , el espacio percibido y el espacio concebido. Espacio vivido: es el que manejan los niños de corta edad , hasta los 3 o 4 años .Ese espacio que loe niños recorren ,tocan ,a palpan ,sienten y que generalmente está relacionado con espacios pequeños , el aula los rincones ,el estar debajo de la mesa. Espacio percibido: Es la posibilidad que tienen los niños mayores de comprender el espacio solo por su percepción visual. Es la posibilidad que tienen los chicos de recorrer sin caminarlo, de decir que algo está lejos solo con verlo. A través de las diferentes edades se van a tener percepciones distintas ya que estas van ligadas con caudal de información que se va integrando. Espacio concebido: Es el espacio que los niños van construyendo y está formado por todas las concepciones ,imágenes, conceptos geométricos que les permitan ya no tener que tocar el espacio , no tener que verlo ,sino simplemente imaginarlo. En este estadio el niño puede explicar un recorrido sin verlo. Los conocimientos "espacio - geométrico” La introducción de algunos de estos conocimientos se hace desde la escuela primaria en particular los que atañen a las formas de los objetos y sus propiedades, que permiten el cálculo de las áreas y los volúmenes.

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Estos conocimientos tienen una existencia estable. La justificación de su presencia en la enseñanza primaria, sin embargo, ha variado: concebido anteriormente como necesarios para las prácticas de mensura, aparecen en las instrucciones oficiales de 1970 como un lugar de ejercicio del pensamiento matemático, es decir en referencia en el saber erudito, el que es producido por la institución de matemáticos.

Su importancia para el desarrollo de los niños solo se toma efectivamente en el jardín de infantes. La enseñanza de la geometría remite en la escuela primaria a dos campos de conocimientos. por una parte ,el de los conocimientos que el niño que necesita para controlar sus relaciones habituales con el espacio , campo designado desde hace diez años como estructuración de espacio y por otra parte el de la geometría propiamente dicha. Sin embargo, la distinción entre estos dos campos no está muy clara y la enseñanza de la geometría en la escuela primaria. La geometría tiene que ver con el espacio, pueden asimilarse los conocimientos espaciales necesarios para la resolución de los problemas que se plantean a todo individuo en sus relaciones con el espacio, a los que corresponden al saber matemático.

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¿Cómo desarrollar habilidades geométricas en los escolares?

Todo esto permitió revelar algunas insuficiencias que se presentan en el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría relacionada con el desarrollo de habilidades geométricas entre las que se pueden señalar: No pueden: 

Establecer relaciones entre dos objetos.



Comparar dos imágenes muy similares y encontrar las diferencias.



Representar figuras con diferentes materiales (por ejemplo, representar un paralelogramo con varillas de distintas longitudes);



Construir, sobre la base de pautas o datos dados en forma oral, escrita o gráfica, obtener una figura geométrica.



Extraer propiedades de las figuras.



Analizar un razonamiento deductivo.



Interpretar

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Se plantea como objetivo la elaboración de un sistema de procedimientos metodológicos contextualizados para el desarrollo de habilidades geométricas en los escolares del segundo ciclo de la escuela primaria. Los procedimientos sirven de apoyo al profesor en la concepción de las actividades docentes y son útiles al estudiante como orientación para realizar su actividad de aprendizaje, a la vez que le proporcionan estrategias que pueden ser asimiladas o servir de base para la conformación en el alumno de sus propias estrategias. Los procedimientos metodológicos para desarrollar habilidades geométricas constituyen el conjunto de acciones generales de enseñanza y aprendizaje que ejecutan los maestros y escolares para la consecución de un contenido o fin determinado,

especialmente

para

descubrir,

asimilar

y

sistematizar

los

conocimientos, que en el caso del escolar consiste en la asimilación del contenido en función del cumplimiento del objetivo. La enseñanza de la Geometría debe fomentar el desarrollo de otras habilidades que pueden ser muy prácticas y que tienen una naturaleza claramente geométrica. Estas habilidades son: habilidad visual, habilidad verbal, habilidad para dibujar, habilidad lógica y habilidad para modelar en el conocimiento del espacio geométrico. Hay que distinguir dos modos de comprensión y expresión: el que se realiza de forma directa que corresponde a la intuición geométrica, de naturaleza visual y el que se realiza de forma reflexiva. La enseñanza de la geometría debe orientarse al desarrollo de habilidades específicas: visuales, verbales, de dibujo, lógicas y de aplicación. Habilidades visuales: Cuando nos referimos a la visualización, siempre hablamos de una percepción con conceptualización. El desarrollo de habilidades visuales es de la mayor importancia para el estudio del espacio: 

Coordinar la visión con el movimiento del cuerpo.

Desarrollo del Pensamiento Geométrico 

Identificar aquello que permanece invariable (forma, tamaño, posición).



Establecer relaciones entre dos objetos.



Comparar dos imágenes muy similares y encontrar las diferencias.



Recordar un objeto que no permanece a la vista y relacionar o representar sus características.

Habilidades verbales (o de comunicación): 

Leer



Interpretar



Comunicar.



Traducir

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En matemática nos manejamos con un lenguaje paralelo; un vocabulario específico que cuando se lee y se interpreta implica una necesaria traducción. Estas tres habilidades se pueden manifestar en forma escrita o verbal. Como actividad se puede proponer construir un cuerpo a partir de instrucciones dadas o, a la inversa, redactar un mensaje para que otro elabore o construya una figura determinada.

Habilidades de dibujo: 

Representar figuras con diferentes materiales (por ejemplo, representar un paralelogramo con varillas de distintas longitudes);



Reproducir.( a partir de modelos dados, los escolares deben hacer copias en iguales o distintos tamaños);



Construir, sobre la base de pautas o datos dados en forma oral, escrita o gráfica, obtener una figura geométrica.

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Habilidades lógicas: (o “de pensamiento”): 

extraer propiedades de las figuras.



analizar un razonamiento deductivo.

La necesidad de la enseñanza de la geometría en la escuela primaria responde al papel que la geometría desempeña en la vida cotidiana. Un conocimiento geométrico básico es indispensable para desenvolverse en la vida cotidiana: para orientarse reflexivamente en el espacio; para hacer estimaciones sobre formas y distancias; para hacer apreciaciones y cálculos relativos a la distribución de los objetos en el espacio... La geometría está presente en múltiples ámbitos del sistema productivo de nuestras actuales sociedades

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La forma geométrica es también un componente esencial del arte, de las artes plásticas, y representa un aspecto importante en el estudio de los elementos de la naturaleza. El aprendizaje de la geometría en la escuela es de suma importancia ya que todo nuestro entorno está lleno de formas geométricas; en la vida cotidiana es indispensable el conocimiento geométrico básico para orientarse adecuadamente en el espacio, haciendo estimaciones sobre formas y distancias, para distribuir objetos en el espacio. La integración de la geometría con las nuevas tecnologías ha permitido llevar el conocimiento matemático de una manera más práctica y atractiva a los estudiantes.

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5 Estrategias y materiales utilizando el Desarrollo del Pensamiento Geométrico.

A. Desarrollo del pensamiento geométrico espacial en niños de

segundo de primaria desde la situación “viaje alrededor del mundo geométrico en ocho días”. Esta experiencia de aula hace alusión a un proceso seguido por cuatro estudiantes para profesor dentro del espacio de formación de práctica docente, en el que todo inicia como un reto de ocho días para abordar la enseñanza de la geometría y del pensamiento espacial en estudiantes de segundo de primaria, desde la propuesta de Linda Dickson (1991), la cual centra su atención al estudio de los objetos tridimensionales, analizando sus propiedades y características físicas-visuales para proporcionar el camino hacia el aprendizaje de las representaciones bidimensionales de los mismos; ésta metodología de enseñanza enmarcada en una situación fundamental desde Brousseau (1986), llamada “viaje alrededor del mundo geométrico en ocho días” fue lo que resultó ser una experiencia inolvidable y sin duda de maravillosos aprendizajes.

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En la formación de estudiantes para profesor de matemáticas está sin duda el de la práctica docente, en la cual el estudiante se enfrenta a lo que será su futuro profesional. Es el espacio de formación que le brinda las experiencias suficientes para que éste comprenda y reflexione frente a su ejercicio como docente. Precisamente es el espacio que la Universidad Distrital Francisco José de Caldas y el proyecto curricular de LEBEM privilegia, dado su enfoque de formación de profesores investigadores, innovadores y 432 reflexivos de su propia práctica, de allí que este eje de formación se empiece a ejercer desde cuarto semestre de la carrera. Ésta experiencia vivida por cuatro estudiantes para profesor se enmarca en el espacio de formación de práctica intermedia III (sexto semestre). El enfoque principal de la práctica, es el uso de recursos didácticos que faciliten la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas desde la propuesta de Godino (2006) y la implementación de la situación fundamental que plantea Brousseau (1986), generando una metodología libre que deba ser pensada por los estudiantes para profesor. El reto estaba en planear, diseñar y ejecutar una unidad didáctica enfocada a desarrollar el pensamiento espacial, la enseñanza de los sólidos geométricos y las figuras planas en estudiantes de segundo que pudiera ser aplicada en ocho días. Lo fundamental no era que los estudiantes aprendieran una cantidad de figuras con sus propiedades y características, sino que a partir de los recursos didácticos utilizados y de la misma situación fundamental el estudiante reconociera la importancia y necesidad de desarrollar su pensamiento espacial y de reconocer en su entortó el mundo geométrico que lo rodea. La pregunta orientadora del curso era ¿Cuáles son los problemas del profesor que le permiten reflexionar sobre la función de los recursos didácticos en la planeación, diseño y ejecución de una secuencia didáctica en grado segundo en cuanto a la enseñanza y el aprendizaje de la geometría espacial? Es a partir de ella que empieza a diseñarse una situación fundamental que envuelva al estudiante, lo cautive y lo ayude a generar aprendizajes frente al pensamiento espacial y geométrico sin olvidar el contacto con recursos didácticos que lo ayuden a que su aprendizaje sea interesante y enriquecedor.

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Referentes Teórico – prácticos Las propuestas de varios autores frente al aprendizaje de la geometría espacial en niños preescolares, dicen que debe hacerse partiendo de las figuras tridimensionales y su comparación con los objetos físicos de la realidad, hacia la geometría bidimensional trabajada como atributos de la geometría tridimensional o a lo que Linda Dickson (1991) se refiere cuando habla de la representación bidimensional del espacio tridimensional. Es así como se hace alusión a autores como Lappan y Wibter (1979) quienes afirman que “A pesar de que vivimos en un mundo tridimensional, la mayor parte de las experiencias matemáticas que se proporcionan a los estudiantes son bidimensionales, además nos valemos de libros matemáticos que contienen figuras bidimensionales de objetos tridimensionales”. (p. 123) Para que los estudiantes vayan identificando las características bidimensionales que tienen los objetos tridimensionales, “la percepción es el conocimiento de objetos resultante del contacto directo con ellos y la representación es una evocación de los objetos en ausenta de ellos”. Desde este punto de vista, el desarrollo de representaciones mentales en el estudiante no solo será proporcionarle por medio del objeto un punto de vista global de este, por el contrario se pretende que ellos construyan esquemas mentales del objeto cuando a este se le hacen transformaciones, es decir, acciones como rotar, trasladar, girar, ordenar, moldear, cortar, pegar etc. es aquí donde se hace imprescindible el uso de recursos didácticos para el estudiante.

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Recursos didácticos En la enseñanza de las matemáticas y en lo que a nosotros concierne en el desarrollo del pensamiento geométrico y espacial, es muy importante tener en cuenta los métodos que utilizan los maestros para lograr los propósitos educativos, así como los medios a los que acuden y que otorgan a los estudiantes para facilitar el proceso de aprendizaje en ellos. A continuación, presentamos la clasificación que hace Godino (2006), a los recursos didácticos:

Referente metodológico Diseñar actividades que despierten el interés y la motivación de adquirir nuevos y útiles conocimientos no es tarea fácil, en la propuesta de Guy Brousseau (1986 ), y su teoría de las situaciones didácticas, en donde intervienen tres entes importantes en el proceso educativo de las matemáticas: el maestro, el estudiante y el medio didáctico; y como lo considera él “…el profesor debe imaginar y proponer

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a los alumnos situaciones que ellos puedan vivir y en las cuales los conocimientos aparecerán como la solución óptima a los 434 problemas propuestos, solución que el alumno debe descubrir…”1 donde es indispensable crear una situación que involucre activa y emotivamente al estudiante, lo que él llama situación fundamental:”una determinada organización de las interacciones provocadas por el maestro en las clases, entre el alumno y el saber, entre los alumnos apropósito del saber y entre alumnos y maestro sobre el mismo saber”. Recurso disciplinar Las ideas básicas del modelo Van Hiele (1984) y Hoffer (1981), pretenden establecer que la geometría es aprendida por una secuencia de niveles del pensamiento, el cual se caracteriza por ser progresivo y ordenado y como ellos mismos planteaban: “No hay un método panacea para alcanzar un nivel nuevo pero, mediante unas actividades y enseñanza adecuadas se puede predisponer a los estudiantes a su adquisición”2 . Atendiendo al intervalo de edad en el que se encuentran los estudiantes (6-8 años), podemos ubicarlos según el modelo Van hiele en el nivel de reconocimiento, con las cinco habilidades que plantea Hoffer (1981), y que deberían ser desarrollados por los niños de esta edad:

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Descripción de la experiencia El reto de lograr construir una secuencia didáctica enfocada a niños de segundo de primaria, donde prevalece el uso de recursos didácticos tanto tangibles como gráficotextuales desde una situación fundamental se convierte en una experiencia fascinante e inolvidable para los niños, ya que se emergen en lo que los maestros llamaron “viaje alrededor del mundo geométrico en ocho días”. Ésta situación trataba de crear en los estudiantes la idea de un viaje alrededor del mundo donde se conocerían nuevas y fascinantes construcciones, además de lugares, costumbres y países diferentes. En cada uno de los países en los que se viajó debería aprenderse algo nuevo referente a la geometría, pues la idea de los maestros-practicantes era mostrarles construcciones en diferentes países asociadas a algunos sólidos geométricos para que finalmente desarrollaran la capacidad de descomponer los sólidos trabajados en su sus propiedades

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bidimensionales, y desde allí envolverlos y trabajar sobre sus propiedades y características.

Como se ve en el cuadro anterior, se viajó a seis países diferentes, contemplando construcciones propias del lugar. Una buena estrategia para cautivar la atención de los estudiantes frente al aprendizaje de cierto solido geométrico y algunas características físicas de los mismos. Cada una de las sesiones correspondía a un viaje diferente y el aprendizaje de una nueva construcción asociada a un sólido geométrico. Para simular el viaje se hacía uso de material grafico-textual como lo son Videos e imágenes de los países y construcciones de cada lugar: Estos recursos grafico-textuales ayudaban a involucrar al estudiante en la situación propuesta, los constantes viajes que hacíamos a países lejanos para mirar las imágenes de construcciones arquitectónicas en forma de sólidos, generaban entusiasmo para el trabajo activo con los recursos tangibles. Es por ello que el uso de éste recurso resultó importante en cada una de las clases ya que sirvió como actividad de iniciación para el posterior trabajo activo con los recursos tangibles.

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Se recurría a recursos tangibles y manipulativos durante todas las sesiones, los cuales correspondían a Sólidos construidos, realizados por los profesores encargados y el objetivo principal era el motivar al estudiante a la exploración táctil y visual de los mismos para que proporcionaran las primeras informaciones sobre las características de los mismos y Materiales para caracterizar propiedades del sólido, donde básicamente se llevaban materiales con los cueles el estudiante tenía la oportunidad de realizar acciones como moldear, construir, pegar para representar el sólido a trabajar y establecer las comparaciones pertinentes de los sólidos trabajados a partir de sus características, así se trabajaron materiales como: palitos, chaquiras, plastilina, lana, cartulina, pegante, colores, etc. Siguiendo la idea de Jean Piaget (1964) quien hace distinguir este proceso y dice: “la percepción es el conocimiento de objetos resultante del contacto directo con ellos, para que posteriormente la representación sea una evocación de los objetos en ausenta de ellos”. Logros y fracasos El objetivo final después del reconocimiento de sólidos y su caracterización de los mismos, se pretendía que los estudiantes estuvieran en la capacidad de descomponer los sólidos en sus propiedades bidimensionales, logrando así evidenciar las formas planas que componían a un sólido. Esta actividad que corresponde a la última de la secuencia se desarrollo durante el viaje a Rusia, donde el aula de clase se convirtió en una galería de arte geométrico Ruso, simulando el arte abstracto geométrico del siglo XVIII donde se usaban configuración de figuras planas para crear valiosas y bonitas obras.

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En ésta sesión el estudiante debía crear su propia obra pero no con pincel sino con los mismos sólidos (material tangible) anteriormente trabajados, pues debían usar cada una de las caras planas de los sólidos para simular un sello y plasmarlas sobre una cartulina evidenciando las propiedades tridimensionales de los sólidos que ya habían trabajado. Así creaban sus obras con figuras planas y a la par comprendían la composición bidimensional de objetos tridimensionales La manipulación y visualización de los sólidos como lo plantea el modelo Van Hiele ayudó a reconocer algunas de sus características físicas; pues los estudiantes hacían alusión a sus bordes y sus puntas, realizaban conteos para saber cuántas puntas poseía, cuantas caras la constituían, etc. Sin embargo a la hora de realizar un dibujo que representara un sólido, los estudiantes manifiestan la dificultad de realizarlo, ya que sus dibujos son un intento fallido de representar objetos tridimensionales.

En cuanto a las características físicas de un sólido como las aristas, ellos empezaban a asociar esas propiedades según lo que percibían y podían tocar; por ejemplo al mostrarles los vértices de la pirámide decían que ese nombre era muy

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raro que preferían llamarle “puntas o las cositas que chuzaban”, lo que ayudo a su mejor reconocimiento y posterior conteo para saber cuántas poseía.

En cuanto a las aristas, que también consideraban un nombre muy raro y no lo relacionaban con nada, las caracterizaban como los bordes que se podían sentir con los dedos y finalmente las caras las reconocían como aquello sobre lo cual la pirámide podía quedar de pie “Pues si intentas ponerlo de pie sobre una punta se cae igualmente si intentas pararla sobre el borde, el único lugar sobre queda quieta es sobre sus caras planas. La esfera no tiene caras planas ya que por donde quieras que lo colocas sobre una superficie nunca se pone de pie fijamente”. Finalmente gracias a estas características que ellos mismos de manera curiosa les atribuían a

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la pirámide, lograban realizar los conteos de cada una de las partes, lo que no se dificultó en ningún sentido. Reconocían igualmente la representación bidimensional de la pirámide, pues identificaban figuras como triángulos y cuadrados en la misma, dibujándolas de acuerdo a la cantidad. Reflexión final Los materiales manipulativos tangibles ayudan a la compresión de conceptos gracias a que hacen una conexión con el estudiante permitiéndole a partir de situaciones nuevas para él, adquirir nuevos conocimientos, donde el material por sí mismo no es nada, lo es cuando se le da un enfoque por parte del maestro para tratar conceptos y llegar a la concepción en este caso de la geometría – espacial, así la enseñanza y el aprendizaje se dota de una forma dinámica y comprensible para el estudiante. Uno de los aspectos que se consideran valiosos en la práctica, es hacer que los estudiantes comprendieran la importancia de las matemáticas en la vida cotidiana. Llevarlos a un proceso en el cual generan un pensamiento crítico y flexible, gracias a las situaciones en las que se veían involucrados y a las decisiones que tomaron para poder solucionarlas. 438 Es importante hacer mención a la importancia que tienen los recursos gráfico-textuales como lo son los videos y las imágenes interactivas, haciendo uso de nuevas tecnologías, ya que en la educación matemática actual no se tienen muy en cuenta y por lo que se logró en esta experiencia de aula, se puede concluir que son recursos agradables e interesantes a la vista del estudiante, gracias a éste, el estudiante crea nuevos interés por los procesos de aprendizaje, motiva el trabajo activo e involucran al estudiante en una situación donde debe acceder a nuevos conocimientos gracias a la propia acción y descubrimientos que realiza. Recurrir a situaciones de aprendizaje en el aula, teniendo en cuenta la realidad y la cotidianidad del estudiante es un método efectivo para garantizar el proceso de enseñanza-aprendizaje, ya que se genera en el estudiante la importancia que tiene la matemática en el mundo en el que vive que gracias a los saberes que descubre y construye a partir de la situación le ayudan a desenvolverse en su entorno, y además recurrirá a nuevas situaciones de aprendizaje posteriores y construidas por él mismo con el fin de crear

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conocimientos nuevos y autónomos. La plantación, diseño y ejecución de actividades para una secuencia didáctica debe estar fundamentada en que los estudiantes puedan formular razonamientos, construir y descubrir de forma autónoma los conocimientos que permitan contribuir a la solución de una situación que se ha planteado para motivar procesos metales y de acción en ellos.

B. EL PENSAMIENTO GEOMÉTRICO EN LOS ESTUDIANTES DE

PRIMER GRADO DE SECUNDARIA Aquí se abordan los procesos que se implican en el pensamiento geométrico de los estudiantes de primer grado de educación secundaria, se inicia con una descripción del planteamiento curricular que atañe al aprendizaje de las matemáticas en la escuela secundaria, se hace la distinción entre el pensamiento matemático y el pensamiento geométrico, destacando los ambientes de aprendizaje convencional y apoyado con tecnologías para su abordaje de parte del profesor. En esta aproximación, se deja ver el tema de tesis doctoral, en su implicación cognitivadidáctica.

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Estudiar cómo se desarrolla el aprendizaje de las matemáticas en la educación básica es un reto que constantemente se plantean los educadores matemáticos para estar en posibilidades de plantear mejores formas de enseñanza. Por ello 83 la investigación en ese campo de la ciencia gana cada vez más adeptos en una especie de comunidad informal en crecimiento. Así, la investigación en campo de la educación matemática, como basamento una la didáctica para esta ciencia, tiene un amplio y atractivo campo para indagar las potencialidades que dan todas sus ramas, entre las cuales, destaca la geometría por su potencialidad para proporcionar al estudiante de educación básica escenarios áulicos donde él pueda construir, con los apoyos docentes, aprendizajes útiles para el desarrollo de las competencias que le reclama un mundo cada vez más demandante de creatividad e ingenio. Así, es de gran valor académico plantear investigaciones que den cuenta de cómo puede desarrollarse el pensamiento matemático en general, y en el pensamiento geométrico en particular cuando es referido al estudio de las formas, el espacio y sus medidas en la escuela básica. En tal sentido, es necesario precisar los conceptos en torno a los cuales ha de plantearse un investigación encaminada a explicar cómo es la construcción del pensamiento geométrico en la escuela secundaria, nivel en el que se consolidan los aprendizajes y se abre la expectativa para el estudio de temas matemáticos que involucren la transición del pensamiento concreto al pensamiento abstracto. De ese modo, han de analizarse, adelante, los conceptos e ideas relacionadas con el estudio del desarrollo del pensamiento geométrico en el primer grado de la educación secundaria, clarificando lo que es pensamiento matemático, los entornos convencional y tecnológico, el estudiante de secundaria como sujeto que aprende matemáticas y de las matemáticas como asignatura de la educación básica. Para ello es necesario describir cómo se estructura el programa de estudios de matemáticas en la escuela secundaria y cuál es el lugar y relevancia que tiene la geometría en ese planteamiento. En tal sentido es pertinente destacar que el Programa de Estudios (2011) señala que: "la asignatura de matemáticas se organiza para su estudio en tres niveles de 84 desglose. El primero corresponde a los ejes, el segundo a los temas y el tercero a los contenidos. Para primaria y secundaria se consideran tres ejes, que son: Sentido

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numérico y pensamiento algebraico, Forma, espacio y medida, y Manejo de la información". En ese esquema, el estudio de la geometría se presenta en el eje Forma, espacio y medida, que, de según está tipificado en el Programa de Estudios en cuestión incluye los tres aspectos esenciales del estudio de la geometría y medición en la escuela secundaria, los cuales son: exploración de las características y propiedades de las figuras y cuerpos geométricos, generación de condiciones para un trabajo con características deductivas, y justificación de las fórmulas que se utilizan para el cálculo geométrico." Programa de Estudios (2011). Como consecuencia de lo que se ha expuesto, es razonable plantear un soporte teórico de investigación sustentado en cuatro apartados relacionados: el pensamiento matemático y el pensamiento geométrico; el entorno convencional como escenario para hacer matemáticas, y el entorno tecnológico como ambiente para enseñar y aprender geometría con apoyo de programas computacionales; caracterización del estudiante de matemáticas de primer grado de secundaria; y, finalmente, las matemáticas como asignatura en la escuela secundaria. Bajo ese marco se abordan adelante los cuatro apartados referidos.

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El pensamiento matemático y el pensamiento geométrico. La enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, desde un enfoque constructivista, se orienta a favorecer el desarrollo del pensamiento matemático. Por ello es preciso, para los fines de un trabajo de investigación, tener un acercamiento con ese proceso, del cual se ofrece un punto de partida, en la siguiente idea: “Si quisiéramos describir el proceso de desarrollo del pensamiento matemático tendríamos que considerar que éste suele interpretarse de 85 diferentes formas; por un lado se le entiende como una reflexión espontánea que los matemáticos realizan sobre la naturaleza de su conocimiento y sobre la naturaleza del proceso de descubrimiento e invención en matemáticas. Por otra parte, se entiende al pensamiento matemático como parte de un ambiente científico en el cual los conceptos y técnicas matemáticas surgen y se desarrollan en la resolución de tareas; finalmente, una tercera visión considera que el pensamiento matemático se desarrolla en todos los seres humanos en el enfrentamiento cotidiano a múltiples tareas…” Cantoral (2008) En ese sentido, cuando el desarrollo del pensamiento matemático hace referencia a la geometría, como rama de las matemáticas, es adecuado denominarlo desarrollo del pensamiento geométrico, en el cual la visualización se constituye como uno de los procesos asociados más potentes desde el punto de vista didáctico. Cantoral (2008), la concibe como “…la habilidad para representar, transformar, generar, comunicar, documentar y reflejar información visual” y reconoce que su amplio uso no sólo en la geometría, sino en las demás ramas de las matemáticas y aún en la ciencia en general. Al definirse el desarrollo del pensamiento geométrico como un proceso complejo, algunos autores como el educador matemático Pierre van Hiele, citado por Musser y Burguer (en SEP, 1996) han propuesto describirlo a través de niveles de madurez que se van alcanzando de manera graduada, de acuerdo al avance en la estructuración del conocimiento. Para ello propone cinco niveles, los cuales son, a saber: nivel 0, denominado de visualización; nivel 1, llamado descripción; nivel 2, al que llama de relaciones; nivel 3, ó de deducción; y, finalmente, nivel 4 ó de axiomatización. Estos niveles se van dando paulatinamente en el estudiante y requieren de un escenario didáctico que los favorezca.

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Entornos convencional y tecnológico. Siguiendo el esquema planteado es preciso describir tanto el entorno convencional como el tecnológico y tenerlos plenamente diferenciados para poder observar cómo ocurre el aprendizaje en esos dos ambientes. El aprendizaje de las matemáticas en general, y de manera específica el aprendizaje de la geometría ha transcurrido de acuerdo a ciertas convenciones, como los son: el uso de papel impreso o en blanco, juegos geométricos individuales y de pizarrón, carteles proyecciones para visualizar, diversas formas geométricas manipulables, diferentes instrumentos de medición manual, y la utilización de recursos no relacionados con la computadora. A este tipo de entorno para la enseñanza y el aprendizaje se le denomina, para fines de este estudio, aprendizaje en entorno convencional. Sin embargo, a lo largo de las últimas dos décadas, el desarrollo tecnológico ha favorecido el hecho de que se incorpore al aula de matemáticas el uso de diversas tecnologías, denominadas de la información. Los programas computacionales en el aprendizaje de la geometría. Como se ha visto, el entorno tecnológico, derivado de los adelantos en esa materia, tiende a transformar el escenario de aprendizaje en el que tradicionalmente se han desenvuelto los estudiantes de secundaria. Por ello es preciso estudiar sus ventajas y dificultades que ofrece. García, Martínez y Miñano (2005), prevén algunos aspectos que han de considerarse al trabajar con software educativo. De ellos, todos son importantes, pero se destacan los dos más relevantes:  Interactividad y facilidad de manipulación, esto es, ha de facilitar que el alumno interactúe con el programa en forma amigable.  Conocimiento por parte del profesor de las posibilidades y límites del programa, ello significa que, a pesar de la potencia del programa hay construcciones que rebasan su capacidad de las cuales el docente debe estar informado. Existen varios programas que pueden asistir la enseñanza con apoyo de la computadora en la escuela secundaria. Uno de ellos es el llamado “Cabri”, el cual tiene la virtud de ser relativamente sencillo en su uso y está enfocado a la construcción y medida en las figuras geométricas.

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El estudiante de matemáticas de primer grado de secundaria. Además de definir a la matemática como objeto de aprendizaje es preciso caracterizar al sujeto que ha de aprender esas matemáticas por medio de la intervención docente. Para ese efecto Piaget (1975) propone seis estadios del desarrollo mental, los cuales define en los siguientes términos: estadio de los reflejos o montajes hereditarios, estadio de los primeros hábitos motores y de las primeras precepciones organizadas, estadio de la inteligencia sensoriomotriz o práctica, estadio de la inteligencia intuitiva, estadio de las operaciones intelectuales concretas, y estadio de las operaciones intelectuales abstractas, 88 de la formación de la personalidad y de la inserción afectiva e intelectual en la sociedad de los adultos. De esos periodos, para los fines de un estudio enfocado a la escuela secundaria, interesan enfáticamente los dos últimos: el de las operaciones intelectuales concretas, que va de los siete a los once o doce años, porque en él hace su aparición la lógica, que es de gran relevancia para establecer relaciones entre las partes de un todo; y el de las operaciones intelectuales abstractas, que va de los once o doce en adelante. Cabe señalar que, dada la flexibilidad que pudiera tener la clasificación expuesta, y que la experiencia ha mostrado que no todos los sujetos maduran al mismo ritmo, es conveniente que la enseñanza en la secundaria se oriente tanto a los aspectos concretos como abstractos, teniendo como objetivo el logro de abstracciones en el último tramo de la formación básica.

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Las matemáticas como asignatura de la escuela secundaria. El programa de Estudios de Matemáticas 2011 define los propósitos, los estándares curriculares, el enfoque didáctico y la organización de los aprendizajes para la escuela secundaria. De esos componentes se da cuenta adelante. En relación con los propósitos que han de lograr los niños y los adolescentes en la asignatura matemáticas en la educación básica, es relevante citar el primero de los tres, se explicita que ellos “Desarrollen formas de pensar que les permitan formular conjeturas y procedimientos para resolver problemas, y elaborar explicaciones para ciertos hechos numéricos y geométricos” (SEP, 2011). Los dos adicionales se refieren a las técnicas asociados al primer propósito y la actitud para lograrlo en el marco del trabajo colaborativo. De ahí se derivan los ocho propósitos para la escuela secundaria, de las cuales tres se relacionan directamente con la geometría, uno enunciando que los estudiantes “Utilicen la propiedades de rectas, segmentos, ángulos, 89 triángulos cuadriláteros, polígonos regulares e irregulares, círculo, prisma, pirámides, como cilindro y esfera” (SEP, 2011). Los otros dos se relacionan con el teorema de Pitágoras, la obtención de perímetros, áreas y volúmenes, y su tratamiento en el marco del enfoque de problemas. En lo que hace a los estándares de matemáticas, se definen como “…el conjunto de aprendizajes para en los alumnos para conducirlos en los cuatro periodos escolares a altos niveles de alfabetización matemática” (SEP, 2011). Se organizan en cuatro ejes curriculares que son: sentido numérico y pensamiento algebraico; forma, espacio y medida, que es el eje en torno al cual se plantea la presente investigación; manejo de la información; y, actitud hacia el estudio de las matemáticas. En referencia al enfoque didáctico, se tiene presente que el Programa de Estudios (2011) para la asignatura de matemáticas, tipifica que el enfoque didáctico de la enseñanza “…consiste en utilizar secuencias didácticas de situaciones problemáticas que despierten interés en los alumnos y los inviten a reflexionar, a encontrar diferentes formas de resolver problemas y a formular argumentos que validen los resultados”. Por ello, al plantear o resolver problemas, el estudiante puede utilizar materiales concretos en las soluciones que planteé, o bien argumentos abstractos, considerando que éstos últimos son los más deseables toda vez que corresponden al periodo de desarrollo

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tipificado por Piaget (1975), para los sujetos mayores de 12 años. En relación con los aprendizajes esperados, el programa de matemáticas lo señala como “…“los conocimientos y las habilidades que todos los alumnos deben alcanzar como resultado del estudio de varios contenidos, incluidos o no en el bloque en cuestión” (SEP, 2011), los cuales no se corresponden necesariamente uno a uno con los contenidos de cada bloque temático, toda vez que se construyen como resultado de vivir los procesos áulicos de manera integral. Como puede esperarse, al citarse los aspectos del programa de estudios, el lenguaje utilizado se sugiere un panorama en el que se ha de estudiar cómo han de transcurrir los aprendizajes descritos en el salón de clase. De ello se ha 90 de ocupar la matemática educativa, a la cual se hace adelante un primer acercamiento. La matemática educativa se ocupa de hacer que la matemática como campo de la ciencia tenga posibilidades de ser aprendida por los estudiantes en una forma tal que, sin perder su carácter científico, se adecue a la edad y posibilidades de los estudiantes. En algunos países es denominada también como Educación Matemática, o Didáctica de las matemáticas. Lo que se ha expuesto conforma un marco teórico para una investigación del aprendizaje y la enseñanza de la geometría, a la luz de la educación matemática. Seguramente los supuestos que lo conforman, se enriquecerán en la medida que el estudio avance, teniendo como propósito la búsqueda de una matemática escolar más amable para los estudiantes y estudio de la geometría mucho más promisorio.

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Bibliografía 

Según Holoway http://naturalezageometrica.blogspot.com/2007/08/desarrollo-delpensamiento-geometrico.html



Según Van Heley: desarrollo del pensamiento Geometrico http://repositorio.utp.edu.co/dspace/bitstream/handle/11059/7179/37276 P153.pdf?sequence=1&isAllowed=y



Aplicación del pensamiento geométrico : Viaje de 8 dias. http://funes.uniandes.edu.co/2283/1/GonzalezDesarrolloAsocolme2011. pdf



El pensamiento geometrico en los estudiantes del primer grado de educación secundaria file:///C:/Users/Alcides/Downloads/DialnetElPensamientoGeometricoEnLosEstudiantesDePrimerGra4713493.pdf

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