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ESTADISTICA

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUA PARTE II

INTEGRANTES : - PONGO FLORES, CAMILA - CYNTHIA CUADROS OBANDO - ANTONIA MENDOZA CH.

AÑO

2014 -128022 2014 -128041 2013 -38064

: CUARTO AÑO - GRUPO (B)

CURSO CURSO CURSO CATEDRA

FECHA CURSO

: PLANEAMIENTO URBANO II : ING. CESAR DIEGO MELÉNDEZ DOMINGUEZ : PLANEAMIENTO URBANO II : 17 / 06 /2017

: PLANEAMIENT O URBANO II

TACNA – PERU 2017 CURSO

: PLANEA MIENTO URBANO II

FIAG – ESAQ

CURSO

: PLANEAMIENTO URBANO II : ESTADISTICA

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ÍNDICE 1. INTRODUCCION 2. OBJETIVOS

………………………………………………………….

pág. ( 04 )

……………………………………………………..................

pág. ( 05)

3. CONCEPTOS BASICOS …………………………………………..................

pág. ( 05)

4. FUNDAMENTOS TEÓRICOS……………………………………………

pág. ( 05 )

4.1.

5.

DISTRIBUCIÓN ( T ) DE STUDENT ……………………….. ........ …….. pág. ( 05 ) 4.1.1. ANTECEDENTES.………………………...………………………………….. pág. ( 05 ) 4.1.2. DEFINICION Y USOS.………………………...…………………….. ……. pág. ( 05 ) 4.1.3. CARACTERISTICAS .………………………...…………………………….. pág. ( 05 ) 4.1.4. CÓMO DIFERENCIARLA DE LAS OTRAS DISTRIBUCIONES. … pág. ( 05 ) 4.1.5. TEORÍA DE PEQUEÑAS MUESTRAS.………...…………….......... pág. ( 05 ) 4.1.6. PROPIEDADES.………………………...……………………………… pág. ( 05 ) 4.1.7. CALCULO DE LA DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT………………. pág. ( 05 ) 4.1.8. TABLA T DE STUDENT TEORIA DE LAS PEQUEÑAS MUESTRAS pág. ( 05) 4.1.9. IMPORTANCIA.………………………...……………………………........... pág. ( 05 )

𝑿𝟐 JI CUADRADA O DISTR. DE PEARSON...................................…….. pág. ( 05 ) 5.1.1. DEFINICION .………………………...…………… pág. ( 05 ) 5.1.2. PARAMETROS .………………………...…………… pág. ( 05 ) 5.1.3. PROPIEDADES .………………………...…………… pág. ( 05 ) 5.1.4. CALCULO DE PROBABILIDADES EN X2 5.2.

DISTRIBUCION F …………………………………………..…….. 5.2.1. ¿QUÉ ES UNA…..? .………………………...…………… 5.2.2. ¿QUÉ ES UNA…..? .………………………...…………… 5.2.3. ¿QUÉ ES UNA…..? .………………………...……………

pág. pág. pág. pág.

( 06 ) ( 05 ) ( 05 ) ( 05 )

6. EJERCICIOS RESUELTOS…………………………………………...……………

pág. ( 15 )

7. CONCLUSIONES………………………………………………………………........

pág. ( 25 )

8. BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………………………

pág. (26 )

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1. INTRODUCCIÓN

En el presente trabajo se habla de las DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUA, se estudiarán algunas variables aleatorias continuas particulares cuya distribución de probabilidades se conoce. También se conocerán las principales distribuciones continuas y las distribuciones muestrales asociadas a ellas, ya que una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento. Una distribución de probabilidad es similar al distribución de frecuencias relativas. Sin embargo, en vez de describir el pasado, describe la probabilidad que un evento se realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos naturales. Las decisiones estadísticas basadas en la estadística inferencial son fundamentales en la investigación que son evaluadas en términos de distribución de probabilidades. En el presente trabajo, se estudia de manera ágil los diverso tipos de distribución probabilística, caracterizaremos cada distribución, la fundamentación matemática de los diversos resultados no se enfocaran en el presente trabajo; sólo me limitaré al estudio descriptivo de la distribución de probabilidades discretas , todo este tipo de información además de ejercicios y ejemplos de aplicación se encontrara en el siguiente trabajo que se desarrollara a continuación.

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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUA PARTE II 2. OBJETIVOS   

Conocer los conceptos y aplicaciones de las principales distribuciones continuas, mediante una investigación bibliográfica para saber la función que cumplen y su respectivo entendimiento. Validar las hipótesis sobre la distribución teórica en la población que se realiza en la estadística paramétrica, i.e., contrastes de hipótesis, intervalos de confianza, regresión lineal, etc.

Antonia Conocer los conceptos y aplicaciones de las principales distribuciones continuas, mediante una investigación bibliográfica para saber la función que cumplen y su respectivo entendimiento.

3. CONCEPTOS BASICOS 3.1.

DEFINICION :

En teoría de la probabilidad una distribución de probabilidad se llama continua si su función de distribución es continua. Una distribución de probabilidad es continua, es decir, de variables cuantitativas que pueden tomar cualquier valor, y que resultan principalmente del proceso de medición. Continuas se refiere cuando los resultados posibles del experimento son obtenidos de variables aleatorias puede asumir un número infinito de valores, que son resultado de una medición. Por ejemplo, el valor de la temperatura media del aire en intervalos dados de tiempo.

3.2.

USOS:

La distribución continua de probabilidad más importante en todo el campo de la estadística es la distribución normal, describe aproximadamente muchos fenómenos que ocurren en la naturaleza, la industria y la investigación. Las mediciones físicas en áreas como los experimentos meteorológicos, estudios de la lluvia y mediciones de partes fabricadas a menudo se explican más adecuadamente con la distribución normal.

3.3.

GRAFICA:

Distribución de probabilidad para una variable aleatoria continúa, su gráfica, que se denomina curva normal, es la curva con forma de campana. El modelo probabilístico para la distribución de frecuencias de una variable aleatoria continua implica la selección de una curva, generalmente regular o aislada, a la que se llama distribución de probabilidad o función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria. Si la ecuación de esta distribución de probabilidad continua es f(x), entonces la probabilidad de que x esté en el intervalo a < x < b es el área bajo la curva de distribución para f(x) entre los dos puntos a y b. Una vez que conocemos la ecuación f(x) de una distribución de probabilidad particular se pueden encontrar probabilidades específicas, por ejemplo, la probabilidad de que x esté en el intervalo a < x ∞, la secuencia de curvas t se aproxima a Ia curva normal estándar La distribución t tiene una varianza mayor a 1, pero en la medida en que aumentan los grados de libertad, el

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valorde la varianza se aproxima a 1, lo cual lleva a que ladistribucion t se aproxime a la distribución normal en la medida que aumenta el valor de los grados de libertad.

4.1.7. CALCULO DE LA DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT    

La Prueba de Hipótesis para medias usando Distribución t de Student se usa cuando se cumplen las siguientes dos condiciones: Es posible calcular las media y la desviación estándar a partir de la muestra. El tamaño de la muestra es menor a 30. El procedimiento obedece a los 5 pasos esenciales:

PASO 1: Plantear Hipótesis Nula (Ho) e Hipótesis Alternativa (Hi).La Hipótesis alternativa plantea matemáticamente lo que queremos demostrar.La Hipótesis nula plantea exactamente lo contrario. PASO 2: Determinar Nivel de Significancia. (Rango de aceptación de hipótesis alternativa). Se considera: (0.05 para proyectos de investigación), (0.01 para aseguramiento de calidad.), (0.10 para encuestas de mercadotecnia y políticas.) PASO 3: Evidencia Maestral. Se calcula la media y la desviación estándar a partir de la muestra. PASO 4: Se aplica la Distribución t de Student para calcular la probabilidad de error (P) por medio de la fórmula. En base a la evidencia disponible se acepta o se rechaza la hipótesis alternativa.

4.1.8. TABLA T DE STUDENT Y TEORIA DE LAS PEQUEÑAS MUESTRAS La tabla de distribución t es más compacta que z y muestra las áreas y valores de t para unos cuantos porcentajes exclusivamente (10%,5%,2% y 1%) Una segunda diferencia de la tabla es que no se centra en la probabilidad de que el parámetro de la población que está siendo estimado caiga dentro del intervalo de confianza. Por el contrario, mide la probabilidad de que ese parámetro no caiga dentro del intervalo de confianza Una tercera diferencia en el empleo de la tabla consiste en que hemos de especificar los grados de libertad con que estamos trabajando. ¿CÓMO SE USA LA TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN T-STUDENT? Supongamos un riesgo del 5% ( o un nivel de confianza del 95% ), α=0.05, y grados de libertad ν=10. Utilizaremos α/2 ya que dejamos el mismo espacio correspondiente a la región de rechazo por ambos lados. ¿Cuál es el valor, pues, de 2 0.975,10 t ? Se busca la intersección y el resultado es 2.228. Éste es el valor crítico para rechazar la hipótesis alternativa. USOS DE LA TABLA DE DISTRIBUCION T  Los grados de libertad de una t de Student se indicaran como v.

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 

De manera análoga a la definición utilizada para la Normal, si X es una tv,α de Student con v grados de libertad, entonces: El valor tv,α se busca en las tablas de la t de Student.

 La tabla que utilizamos recoge los valores de distintos cuantiles para distintos grados de libertad.

4.1.9. IMPORTANCIA Si al aplicar muestreo no es posible extraer muestras mayores a 30 elementos, la utilización de la distribución normal presenta grandes riesgos estadísticos. Para ello, la teoría de pequeñas muestras presenta como alternativa a la distribución t- student, en el entendido de que conforme el tamaño de la muestra tienda a 30 elementos, la distribución t-student tiende a la distribución normal. Por ello es

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importante el estudiar la distribución T de student ya que toda inferencia estadística que se desee realizar con muestras pequeñas tiene más validez si se hace con la distribución t-student.

4.2.

𝑿𝟐 JI CUADRADA O DISTR. DE PEARSON

4.2.1 DEFINICION En estadística, la distribución de Pearson, llamada también ji cuadrada(o) o chi cuadrado(a) (χ²), es una distribución de probabilidad continua con un parámetro que representa los grados de libertad de la variable aleatoria Se define con la sgt. expresión 2

Donde: Zi= variable independiente K o n = grado de libertad Definición formal: Zi < N(0,1)

MEDIA

DESVIACION ESTANDAR

4.2.2 PARÁMETROS A) CAMPO DE VARIACIÓN Si:

𝑋 2 = 𝑍12 + 𝑍22 + 𝑍32 + …+ 𝑍𝑛2 ≥ 0

𝑍𝑖 2 ≥ 0

B) FUNCIÓN DENSIDAD DE PROBABILIDAD f(x) 𝑏

P( a < 𝑋 2 (n) ≤ 𝑏) = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 USO DE TABLA DE CONTINGENCIA O DE DISTR. DE CHI CUADRADO

Donde: 𝛾 es la función gamma

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4.2.3 PROPIEDADES 1) f(x) ≥ 𝟎 +∞ 2) ∫𝟎 𝒇(𝒙)𝒅𝒙 = 𝟏

SUCESO

En forma gráfica: 3) ↑ 𝒏 → 𝒙𝟐 (𝒏) ≈ 𝑵𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍

n≥ 30

4.3 CALCULO DE PROBABILIDADES EN X2 CASO 1: P ( 𝑋 2 (5) ≥ 6.63) = 0.25 = 25%

CASO 2: P ( 𝑋 2 (8) < 3.49) = 1 - P ( 𝑋 2 (8) ≥ 3.49) = 1- 0.9 = 0.1

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CASO 3: P ( 11.59 < 𝑋 2 (21) ≤ 20.34) =P (𝑋 2 (21) ≥ 11.59) – P(X2(21) ≥ 20.34 =0.95 – 0.50= 0.45= 45%

4.3.

DISTRIBUCION F



Antonia

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5. EJERCICIOS DE APLICACION A) EJERCICIO DE T STUNDENT:

PROBLEMASe desea obtener un intervalo de confianza al 99% para el tiempo medio requerido para realizar un trabajo. Una muestra aleatoria de 16 mediciones produce una media y una desviación estándar de 13 y 5.6 minutos respectivamente. ENCONTRANDO T t= Una confianza del 99% con (n-1) grados de libertad. GL=16-1=15 DATOS n= 16 X=13 minutos S= 5.6 minutos t=2.947

x=x± t s . √n

Tiempo medio requerido para realizar el trabajo será entre 8.88 y 17.12 minutos con una certeza del 99%. ∂=13±2.947(5.6/√16) ∂=13±4.12 ∂1=17.12 minutos ∂2=8.88 minutos

La siguiente figura presenta Ia gráfica de varias distribuciones t. La apariencia general de Ia distribución t es similar a Ia de Ia distribución normal estándar: ambas son simétricas y unimodales, y el valor máximo de Ia ordenada se alcanza en Ia media µ = O. 12

B) EJERCICIO 𝑿𝟐 JI CUADRADA O DISTR. DE PEARSON EJERCICIO 1 Un investigador quiere estudiar si hay asociación entre la práctica deportiva y la sensación de bienestar. Extrae una muestra aleatoria de 100 sujetos. Los datos aparecen a continuación. Sensación de Bienestar

Práctica deportiva

Total

Sí

no

Sí

20

25

45

No

10

45

55

Total

30

70

100

Contraste la hipótesis de independencia entre bienestar y práctica de deporte (alfa = 0,01). SOLUCIÓN 1° Calculemos las frecuencias esperadas:

eij  eij

f i. f. j n = Frecuencia esperada o teorica

Ho = No hay asociación entre la práctica deportiva y la sensación de bienestar

f i.

HIPOTESIS

= total de la frecuencia i

= total de la frecuencia j

f. j

Hi = Si hay una asociación entre la práctica deportiva y la sensación de bienestar

= total de nro de datos

n

Sensación de bienestar

Práctica deportiva Sí

No

Sí

(45x30)/100=13,5

(45x70)/100=31,5

No

(55x30)/100=16,5

(55x70)/100=38,5

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2) Determinamos los grados de libertad, son: K = (número de fila-1)x(número de columnas-1) = (2-1)x(2-1) = 1 3) Calculamos chi cuadrado:

 2   i

Donde

2

eij

j

• • •

(𝑓 − 𝑓𝑒)2 𝑥 =∑ 𝑓𝑒

( f ij  eij ) 2

fe= Frecuencia esperada o teorica f= frecuencia X2 = chi cuadrado

Sensación de bienestar

Práctica deportiva Sí

No

Sí

3,1296

1,3413

No

2,5606

1,0974

2 exp  3,1296  1,3413  2,5606  1,0974  8,13

Tenemos: 2  exp  8,13

4) Ahora calculemos el valor de la tabla Chi-cuadrado a) grados de libertad, es: K=1 b) El valor alfa 0,01 c) El valor que buscamos

 g2.l .;  12;0,01  6,64

|

Tenemos:

Por tanto, comparamos:

SIGNIFICADO en el ejemplo: La práctica deportiva y la sensación de bienestar estás asociadas.

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2 exp  12;0,01

 SIGNIFICADO: Las variables no son independientes SE DEBE CUMPLIR QUE: Si: X2 calculado > X2 tabla

Ho Hi

C) EJERCICIO DISTR. F

Antonia

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6. CONCLUSIONES 





Es una distribución de probabilidad que se usa cuando el tamaño de la muestra es menor de 30 datos, no se conoce la desviación estándar de la población y cuando la población de la que se extrae la muestra es normal. La distribución T student, tiene forma acampanada. Sus aplicaciones en la inferencia estadística son para estimar y probar una media y una diferencia de medias (independiente y pareada). El estadístico ji-cuadrado (o chi cuadrado), que tiene distribución de probabilidad del mismo nombre, sirve para someter a prueba hipótesis referidas a distribuciones de frecuencias. En términos generales, esta prueba contrasta frecuencias observadas con las frecuencias esperadas de acuerdo con la hipótesis nula.



7. FUENTES BIBLIOGRAFICAS           

DEVORE, J. L., "Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias". Grupo Editorial International Thon Editores. FREUND, J. F., MILLER, I., MILLER, M. "Estadística Matemática con Aplicaciones". Grupo Editorial Prentice Hall. McCLAVE, S., "Probabilidad y Estadística para Ingeniería". Grupo Editorial Iberoamericana. MENDELHALL, W., WACKERLY, D., ACHEAFFER, R. "Estadística Matemática con Aplicaciones". Segunda Edición. Grupo Editorial Iberoamericana. México. 1994. MILLER, I., FREUND, J. E., JOHNSON, R. A. "Probabilidad y Estadística para Ingenieros". Quinta Edición. Prentice Hall Hispanoamericana. México. 1997. MONTGOMERY, D. C., RUNGER, G. C. "Probabilidad y Estadística Aplicada a la Ingeniería". Primera Edición. McGraw Hill. México. 1996. Introducción a la Bioestadística. Robert R. Sokal& F. James Rohlf. http://www.fcv.unlp.edu.ar/sitios- cátedras/2/material/Distribucion%20de%20Ji.pdf http://www.scribd.com/doc/6703611/Ji-Cuadrado http://www.naumkreiman.com.ar/test_ji_cuadrado.html http://www.monografias.com/trabajos27/hipotesis/hipotesis.shtml

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