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MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN PUNTO. (PROF. ING. JOSÉ RAFAEL GRIMÁN MORALES). Introducción. El efecto de una fuerza sobre un cuerpo rígido está compuesto por una traslación determinada por la magnitud y dirección de la fuerza y una rotación, ya sea con respecto a un punto o con respecto a un eje, quedando esta rotación determinada por la magnitud y la dirección del vector momento que produce la fuerza, ya sea con respecto a un punto o con respecto al eje de rotación del cuerpo rígido. Para estudiar las condiciones de movimiento o de reposo de un cuerpo rígido sometido a la acción de una o varias fuerzas es fundamental determinar tanto la resultante de las fuerzas como el momento resultante que producen las fuerzas sobre el cuerpo, con respecto a un punto y con respecto a un eje cualquiera y muy especialmente con respecto a un eje de rotación del cuerpo. En este material educativo se define y se aplica el concepto de momento de una fuerza con respecto a un punto. Se consideran aplicaciones a problemas en el espacio y a problemas en el plano. Momento de una fuerza con respecto a un punto. Una fuerza F actúa sobre un punto A de un sólido rígido. La posición del punto de aplicación A está definida con respecto a un sistema coordenado Oxyz por medio del vector de posición r, dirigido desde el origen O hasta el punto A. Las componentes rectangulares del vector r son iguales a las respectivas coordenadas (x, y, z) del punto A. Se define como momento Mo de la fuerza F con respecto al punto origen O, al producto vectorial r cruz F. r=xi+yj+zk F = Fx i + Fy j + Fz k

(1) (2)

Mo = r x F = Mox i + Moy j + Moz k 𝑖̂ Mo = | 𝑥 𝐹𝑥

𝑗̂ 𝑦 𝐹𝑦

(3)

𝑘̂ 𝑧 | = (y·Fz – z·Fy) i + (z·Fx – x·Fz) j + (x·Fy – y·Fx) k 𝐹𝑧

(4)

En las ecuaciones (1) y (2) se presentan respectivamente el vector de posición r del punto de aplicación A y la fuerza F expresados en componentes rectangulares. La ecuación (3) expresa el vector momento como el producto cruz de r y F y se presentan sus componentes rectangulares. En la ecuación (4) se presenta la forma de calcular el producto vectorial usando el determinante y se escribe el resultado del producto cruz, indicando las expresiones que permitirán calcular las componentes rectangulares del momento Mo.

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El vector momento Mo es perpendicular al plano que forman el vector de posición r y la fuerza F. El sentido del vector momento es tal que un observador ubicado en la punta del vector momento, vería al vector r girar en sentido contrario a las agujas del reloj al tratar de alinearlo con el vector F. Otra forma de visualizar el sentido del vector momento es cerrando los dedos de la mano derecha en el mismo sentido en que la fuerza tiende a hacer rotar al cuerpo, al hacerlo de esta manera, el dedo pulgar indica el sentido en que debe apuntar la punta de flecha que representa el sentido del momento. En la figura 1 se observa como la fuerza F y el vector de posición r forman un plano. El vector momento Mo es perpendicular a este plano. Se observa como la línea de acción del vector r forma un ángulo θ con la línea de acción de la fuerza F. Se puede ver que entre el punto O y la línea de acción de la fuerza F existe una distancia perpendicular igual a d, la cual es igual (r·sen θ). En la parte b) de la figura 1 se observa la regla de mano derecha, descrita en el párrafo anterior.

La magnitud del vector momento Mo por definición es igual a: Mo = r·F·sen θ = F·d

(5)

En la ecuación (5) se destaca que la magnitud del momento Mo se obtiene al multiplicar la magnitud de la fuerza por la distancia perpendicular d entre el punto O y la línea de acción de la fuerza F. Problemas bidimensionales. Las aplicaciones que involucran placas delgadas con fuerzas aplicadas en el plano de las placas, se pueden atender como problemas bidimensionales. En estos casos se utiliza un sistema coordenado Oxy y se tiene que la coordenada z del punto de aplicación y la componente Fz de la fuerza son iguales a cero. La ecuación (4) se reduce Ing. José Rafael Grimán Morales

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solo a la componente del momento a lo largo del eje z: Moz y esta se calcula según la ecuación (6). Con frecuencia es mucho más fácil calcular el momento Mo aplicando la ecuación (5), multiplicando la magnitud de la fuerza por la magnitud del brazo perpendicular d medido desde el punto O hasta la línea de acción de la fuerza, su dirección es perpendicular a la placa y su sentido se indica por medio de un signo (+) si la fuerza tiende a hacer girar la placa en sentido antihorario, esto representa un vector momento que sale del plano, o con un signo (-) si la fuerza tiende a hacer girar la placa en sentido horario, esto representa un vector momento que entra al plano de la placa. En la figura 2 se hace una representación de lo descrito acá. Mo = (x·Fy – y·Fx) k

(6)

Momento con respecto a un punto B diferente del origen O. En la figura 3 se representa los elementos para determinar el momento de una fuerza con respecto a un punto cualquiera B. El procedimiento es el mismo, solo que ahora el vector de posición va dirigido desde B hacia el punto de aplicación A y queda definido por la ecuación (7). En la ecuación (8) se tiene la forma de calcular las componentes rectangulares del momento con respecto al punto B: rA/B = xA/B i + yA/B j + zA/B k = (xA – xB) i + (yA – yB) j + (zA – zB)k 𝑖̂ MB = |𝑥𝐴/𝐵 𝐹𝑥

𝑗̂ 𝑦𝐴/𝐵 𝐹𝑦

(7)

𝑘̂ 𝑧𝐴/𝐵 | = 𝐹𝑧

MB = (yA/B ·Fz – zA/B ·Fy) i + (zA/B ·Fx – xA/B ·Fz) j + (xA/B ·Fy – yA/B ·Fx) k

(8)

En el problema bidimensional la ecuación (8) se reduce la expresión dada en la ecuación (9). MB = (xA/B ·Fy – yA/B ·Fx) k

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(9)

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Teorema de Varignon El teorema de Varignon establece que el momento de la resultante de varias fuerzas aplicadas a un mismo punto A de un sólido rígido es igual a la suma de los momentos de cada una de las fuerzas con respecto al punto O o con respecto a un punto cualquiera B. Este teorema esta expresado en la ecuación (10) y representado en la figura 4. Mo = r x (  F) = r1 x F1 + r2 x F2 + r3 x F3 ….. + rn x Fn

(10)

Este teorema se aplica en el cálculo del momento con respecto a O de una fuerza expresada en componentes rectangulares y por esto es el fundamento de las ecuaciones (4) y (8).

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Ejemplo 01:

Figura 5. Fuente R.C. Hibbeler.(2010) Ingeniería Mecánica. Estática. 12va. Edición. Prentice Hall. México. p. 132.

Figura 6. Se destaca el vector de posición del punto de aplicación A. 1) Se lee con detenimiento el enunciado y se observa cuidadosamente la figura 5 para entender la situación física planteada y poder tomar nota de los datos disponibles para resolver el problema. Se puede ver que corresponde a un problema en dos dimensiones. 2) Se representa gráficamente el vector de posición del punto de aplicación, tal como se muestra en la figura 6, para que resulte más fácil expresarlo en componentes rectangulares. Luego se descomponen también las fuerzas en sus componentes rectangulares. Aplicando la ecuación (1) se tiene: rA = 0,425 i + 0,25 j m Las fuerzas F1 y F2 en componentes rectangulares según la ecuación (2) son iguales a: Ing. José Rafael Grimán Morales

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F1 = (4·500 / 5) i + (3·500 / 5) j = 400 i + 300 j N F2 = (600 · cos 60º)) i - (600 · sen 60º) j = 300 i - 519,615 j N Para determinar el momento Mo se aplica la ecuación (6) y el teorema de Varignon. Mo = (0,425·300 – 0,25·400) k + [0,425·(-519,615) – 0,25·300] k Mo = 27,5 k - 295,836 k = - 268,336 k

(Respuesta)

Una forma alternativa para calcular el momento con respecto a O trabajando con cantidades escalares se explica a continuación. Igual se descompone cada fuerza en componentes rectangulares, pero se destaca los brazos perpendiculares d de cada componente para poder calcular la magnitud del momento de cada componente multiplicando la fuerza por su brazo perpendicular. En la figura (7) se muestra la fuerza F1 descompuesta en sus componentes F1x y F1y , se destacan también las distancias perpendiculares desde O hasta cada una de las componentes.

Figura 7. Componentes de F1 y sus brazos perpendiculares con respecto a O. El momento con respecto a O de la fuerza F1 se obtiene sumando los momentos de sus componentes, los cuales se obtienen con el producto F·d y colocándole el signo (+) si tiende la componente a producir rotación antihoraria o signo menos si la componente tiende a producir rotación horaria. Mo1 = (-400 · 0,25) + (300 · 0,425) = + 27,5 N En forma similar se obtiene el momento con respecto O de la fuerza F2. En la figura 8 se muestra las componentes rectangulares de la fuerza y sus brazos perpendiculares. Mo2 = (-519,615 · 0,425) + (- 300 · 0,25) = -295,836 N

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Figura 8. Componentes de F2 y sus brazos perpendiculares con respecto a O. El momento Mo es igual a la suma algebraica de Mo1 más Mo2 de lo cual resulta: Mo = Mo1 + Mo2 = 27,5 N – 295,836 N = - 268,336 N Luego se puede expresar la respuesta en forma vectorial escribiendo: Mo = - 268,336 k

N (Respuesta)

o acompañando el resultado obtenido con un semicírculo con punta de flecha que indica el sentido de rotación que produce el momento resultante: Mo = 268,336 N

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

(Respuesta)

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Ejemplo 02.

Figura 8. Fuente R.C. Hibbeler.(2010) Ingeniería Mecánica. Estática. 12va. Edición. Prentice Hall. México. p. 132. 1) Se lee con detenimiento el enunciado y se observa cuidadosamente la figura 8 para entender la situación física planteada y poder tomar nota de los datos disponibles para resolver el problema. Se puede ver que corresponde a un problema en el espacio. Observe que los ejes coordenados no están ubicados de la misma manera como se mostró en las primeras figuras de este material. 2) Se determina el vector de posición del punto de aplicación B con respecto al origen O y se expresa la fuerza F en componentes usando el vector unitario de la línea de acción BC. rB = 1 i + 4 j + 2 k pie BC =4 i – 4 j – 2 k

pie

BC = √42 + (−4)2 + (−2)2 = 6 𝑝𝑖𝑒 𝐹⃗𝐵𝐶 =

120 (4 𝑖̂ − 4𝑗̂ − 2𝑘̂) = 80 𝑖̂ − 80 𝑗̂ − 40 𝑘̂ 6

𝑙𝑏

3) Se determina el momento con respecto a O en componentes rectangulares aplicando la ecuación (4). 𝑖̂ Mo = | 1 80

𝑗̂ 𝑘̂ 4 2 |= −80 −40

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Mo = [4·(-40) – 2·(-80)] i +[2·(80) – 1· (-40)] j + [1·(-80) – 4·80] k Mo = 0 i + 200 j - 400 k

lb · pie

lb

(Respuesta)

Ejemplo 03.

Figura 9. Fuente R.C. Hibbeler.(2010) Ingeniería Mecánica. Estática. 12va. Edición. Prentice Hall. México. p. 138. 1) Se lee con detenimiento el enunciado y se observa cuidadosamente la figura 9 para entender la situación física planteada y poder tomar nota de los datos disponibles para resolver el problema. Se puede ver que corresponde a un problema en el espacio. Observe que los ejes coordenados no están ubicados de la misma manera como se mostró en las primeras figuras de este material. 2) Para obtener el vector unitario perpendicular al plano inclinado se aplica el producto cruz de dos vectores contenidos en el plano, como por ejemplo el vector CA cruz el vector CB de manera que el vector unitario obtenido esté saliendo del plano. CA = 0 i - 4 j +3 k m CB= 3 i - 4 j + 0 k m 𝑖̂ 𝑗̂ 𝑘̂ CA x CB = |0 −4 3| = [0 – 3·(- 4)] i + [ 3 · 3 - 0)] j + [ 0 – (-4) · 3] k 3 −4 0 Ing. José Rafael Grimán Morales

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CA x CB = 12 i + 9 j +12 k

m2

Norma o magnitud del vector: || CA x CB || = √122 + 92 + 122 = 19,2094 𝑚2  CA x  CA x

CB

12

CB

= 19,2094 𝑖̂ +

9 19,2094

𝑗̂ +

12 19,2094

𝑘̂

= 0,624695 𝑖̂ + 0,468521 𝑗̂ + 0,624695 𝑘̂

3) La fuerza F en componentes rectangulares se obtiene multiplicando la magnitud de 400 N por el vector unitario normal al plano inclinado que se acaba de obtener. 𝐹⃗ = 400 (0,624695 𝑖̂ + 0,468521 𝑗̂ + 0,624695𝑘̂) = 249,878 𝑖̂ + 187,409 𝑗̂ + 249,878 𝑘̂

𝑁

4) Para determinar el momento con respecto al punto B se aplica la ecuación (8) expresada así: 𝑖̂ MB = |𝑥𝐶/𝐵 𝐹𝑥

𝑗̂ 𝑦𝐶/𝐵 𝐹𝑦

𝑘̂

𝑖̂ 𝑗̂ 𝑧𝐶/𝐵 | = | −3 4 249,878 187,409 𝐹𝑧

𝑘̂ 0 | 249,878

MB = (4 · 249,878 – 0) i +[0 – (-3)· 249,878] j + [(-3)· 187,409 – 4 · 249,878] k N · m MB = 999,512 i + 749,634 j – 1561,739 k N · m

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(Respuesta)

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